2013-2017全国高中数学联赛试题及答案
2013年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
=
±
1 2
8.
247 256
.
ab
=
1 4
5
9
18 247
P
=
1−
29
=
. 256
9.
{an}
a1 = 2, an = 2(n + an−1), n = 2, 3, . . .
a1 = 2, a2 = 2(2 + 2) = 8 n 3
an − 2an−1 = 2n, an−1 − 2an−2 = 2(n − 1).
3 6
AB
=
√
3 6
,
P
M
=
√ MH2
+
PH2
=
√
1 12
+2
=
53 6
√ r = 2/6
r
OK
MH 1
√
=
2−r
PO
=∼ ∠KP O =
PM
=, 5
5.
[0, π)
sin 12x = x
4.
x>1
| sin 12x| 1 < x
[0, 1] 3π < 12 < 4π
sin 12x
3/2
2
4
√
6.
f (x)
盘的所有不同可能铺法的数目是 Tn ．下面的图是 n 3 时的两种不同的铺法：
a）求 T10 ；并且 b）求 T2013 的个位数．
2013
0
8
(B )
1. 3 4.
3c4 c = 3, 4 √
2. i = −1
34
c c2 > 43 − 33 > 22,
2017高中数学全国联赛试题及答案B卷
2017高中数学全国联赛试题及答案B卷一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。
A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，求第5项a5的值。
A. 13B. 15C. 17D. 19答案：A3. 计算复数z = 3 + 4i的模。
A. 5B. √41C. 7D. √49答案：A4. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25，求圆心到直线2x + 3y- 12 = 0的距离。
A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C5. 计算定积分∫(0到1) (3x^2 - 2x + 1) dx。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B6. 已知函数y = sin(x) + cos(x)，求y'的值。
A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -cos(x) + sin(x)D. -cos(x) - sin(x)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f'(2)的值。
答案：58. 计算二项式(3x - 2)^5的展开式中含x^3的系数。
答案：-809. 若直线y = 2x + 1与抛物线y^2 = 4x相交于点A和点B，求AB的长度。
答案：√510. 计算定积分∫(0到π) sin(x) dx。
答案：2三、解答题（每题10分，共50分）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f'(x)和f''(x)。
答案：f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，f''(x) = 6x - 612. 已知数列{an}满足a1 = 2，an+1 = 2an + 1，求证：数列{an}是递增的。
答案：略13. 已知圆心在原点，半径为r的圆与直线y = x + b相切，求b的值。
2013年全国高中数学联赛试题及其解答
2013 年全国高中数学联题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分。
1、设集合A = 2，0，1，3 ，集合B = x| − x ∈ A，2 − x ∉ A ，则集合B中所有元素 的和为 。 解答：易知集合B = −2， − 3 ，所有集合B中所有元素的和为−5。 ⃑ · OB ⃑ = −4，F是抛 2、在平面直角坐标系xOy中，点 A、B 在抛物线y = 4x上，满足OA 物线的焦点，则S△ · S△ = 。 ⃑ · OB ⃑= 解答：根据抛物线解析式知OF = 1。设点A m ，2m ，点B n ，2n ，则OA m n + 4mn = −4 ⇒ mn = −2。于是知S△ · S△ =
| |·| |
·
|
|·|
|
= |mn| = 2。
3、在△ABC 中，已知sin A = 10 sin B sin C，cos A = 10 cos B cos C，则tan A的值 为 。 解答：根据条件知：sin A − cos A = 10(sin B sin C − cos B cos C) = −10 cos(B + C) = 10 cos A ⇒ sin A = 11 cos A ⇒ tan A = 11。 4、已知正三棱锥P − ABC底面边长为1，高为√2，则其内切球半径为 。 解答：设△ABC 外心为 O，O 在 BC、CA、AB 上的垂足分别为 D、E、F，则OD = OE = OF =
10、（本题满分 20 分） 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为 + = 1（a＞b＞0），A 、A 分别为椭圆 的左、右顶点，F 、F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于A 和A 的任意一点。
交流知识
2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准
2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1. 设集合{2,0,1,3}A ，集合2{|,2}B x x A x A ．则集合B 中所有元素的和为 ．答案 5−．解 易知{2,0,1,3}B ．当2,3x 时，222,7x ，有22x A ；而当0,1x 时，222,1x ，有22x A ．因此，根据B 的定义可知{2,3}B ． 所以，集合B 中所有元素的和为5−．2. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线24y x 上，满足4OA OB ，F 是抛物线的焦点. 则OFA OFB S S ．答案 2．解 点F 坐标为(1,0)．设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212,44y y x x ，故21212121214()16OA OB x x y y y y y y ，即2121(8)016y y ，故128y y ． 21212111()2224OFA OFB S S OF y OF y OF y y =（）． 3. 在ABC 中，已知sin 10sin sin ,A B C cos 10cos cos ,A B C 则tan A 的值为 ．答案 11．解 由于sin cos 10(sin sin cos cos )10cos()10cos A A B C B C B C A ，所以sin 11cos A A ，故tan 11A ．4. 已知正三棱锥P ABC 底面边长为1，高为，则其内切球半径为 ．答案解 如图，设球心O 在面ABC 与面ABP 内的射影分别为H 和K ，AB 中点为M ，内切球半径为r ，则P 、K 、M 共线，P 、O 、H 共线，2PHM PKO ，且,OH OK r PO PH OH r ，MH ABPM ， 于是有1sin5OK MH KPO POPM ，解得r． 5. 设,a b 为实数，函数()f x ax b 满足：对任意[0,1]x ，有()1f x . 则ab 的最大值为 ．答案14． 解 易知(1)(0),(0)a f f b f ，则2221111(0)((1)(0))(0)(1)(1)(1)2444ab f f f f f f f ． 当2(0)(1)1f f ，即12a b 时，14ab ．故ab 的最大值为14． 6. 从1,2,,20 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为 ．答案 232323．解 设12345a a a a a <<<<取自1,2，…，20，若12345,,,,a a a a a 互不相邻，则123451123416a a a a a ≤<−<−<−<−≤，由此知从1,2,,20 中取5个互不相邻的数的选法与从1,2,,16 中取5个不同的数的选法相同，即516C 种．所以，从1,2,,20 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为5552016165520202321323C C C C C −=−=． 7. 若实数,x y满足x ，则x 的取值范围是 ． 答案 {0}[4,20] ． 解,(,0)a b a b ，此时22()x y x y a b ，且条件中等式化为2242a b a b ，从而,a b 满足方程22(2)(1)5a b (,0)a b ．如图所示，在aOb 平面内，点(,)a b 的轨迹是以(1,2)为,0a b 的部分，即点O 与弧 ACB 的02, ，从而 2204,20x a b ． 8. 已知数列{}n a 共有9项，其中191a a ，且对每个{1,2,,8}i ，均有112,1,2i i a a，则这样的数列的个数为 ． 答案 491． 解 令1(18)i i ia b i a，则对每个符合条件的数列{}n a ，有 88191111i i i i ia ab a a，且12,1,(18)2i b i ． ① 反之，由符合条件①的8项数列{}n b 可唯一确定一个符合题设条件的9项数列{}n a ．记符合条件①的数列{}n b 的个数为N ．显然(18)i b i 中有偶数个12，即2k 个12；继而有2k 个2，84k 个1．当给定k 时，{}n b 的取法有22882C C k kk 种，易见k 的可能值只有0,1,2，所以224486841C C C C 12815701491N ．因此，根据对应原理，符合条件的数列{}n a 的个数为491．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足12,2,3,n n S S n −≥= ，这里1n n S x x =++ ．证明：存在常数0C >，使得2,1,2,n n x C n ≥⋅=． 解 当2n ≥时，12n n S S −≥等价于11n n x x x −≥++ ． ① …………………4分对常数114C x =，用数学归纳法证明： 2,1,2,n n x C n ≥⋅= ． ②……………………8分1n =时结论显然成立．又2212x x C ≥=⋅．对3n ≥，假设2,1,2,,1kk x C k n ≥⋅=− ，则由①式知()121n n x x x x −≥+++()21122n x C C −≥+⋅++⋅()223122222n n C C −=++++=⋅ ，所以，由数学归纳法知，②式成立．…………………16分10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为22221(0)x y a b a b ，1A 、2A 分别为椭圆的左、右顶点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点．若平面中两个点Q 、R 满足11QA PA ，22QA PA ，11RF PF ，22RF PF ，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明．解 令c ，则1212(,0),(,0),(,0),(,0)A a A a F c F c ．设001122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y ，其中22000221,0x y y a b．由1122,QA PA QA PA 可知111010()()0A Q A P x a x a y y，① 221010()()0A Q A P x a x a y y． ②…………………5分将①、②相减，得102()0a x x ，即10x x ，将其代入①，得220100x a y y ，故22010x a y y ，于是22000,x a Q x y ． …………………10分 根据1122,RF PF RF PF ，同理可得22000,x c R x y． …………………15分 因此2222200000x a x c b QR y y y ，由于0(0,]y b ，故QR b （其中等号成立的充分必要条件是0y b ，即点(0,)P b 为 ）． …………………20分 11. （本题满分20分）求所有的正实数对(,)a b ，使得函数2()f x ax b 满足：对任意实数,x y ，有()()()()f xy f x y f x f y ．解 已知条件可转化为：对任意实数,x y ，有22222()(())()()ax y b a x y b ax b ay b ． ①先寻找,a b 所满足的必要条件．在①式中令0y ，得22()()b ax b ax b b ，即对任意实数x ，有2(1)(2)0b ax b b ．由于0a ，故2ax 可取到任意大的正值，因此必有10b ，即01b ． …………………5分在①式中再令y x ，得422()()ax b b ax b ，即对任意实数x ，有2422()2(2)0a a x abx b b ． ②将②的左边记为()g x ．显然20a a （否则，由0a 可知1a ，此时22()2(2)g x bx b b ，其中0b ，故()g x 可取到负值，矛盾），于是 2222222()()()(2)ab ab g x a a x b b a a a a 222()(22)11b b a a x a b a a0 对一切实数x 成立，从而必有20a a ，即01a ． …………………10分进一步，考虑到此时01b a ，再根据(22)01b g a b a，可得22a b ．至此，求得,a b 满足的必要条件如下：01b ，01a ，22a b ． ③…………………15分下面证明，对满足③的任意实数对(,)a b 以及任意实数,x y ，总有①成立，即222222(,)()(1)()2(2)h x y a a x y a b x y axy b b对任意,x y 取非负值．事实上，在③成立时，有2(1)0,0a b a a ，(22)01ba b a，再结合222x y xy ，可得2222(,)()(1)(2)2(2)h x y a a x y a b xy axy b b2222()2(2)a a x y abxy b b22()(22)11b b a a xy a b a a0 ． 综上所述，所求的正实数对(,)a b 全体为{(,)|01,01,22}a b b a a b ． …………………20分。
(完整版)2017年全国高中数学联赛A卷试题和答案
2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值. 2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.。
2013年全国高中数学联赛试题及详细解析
，活了俏着呀睡三你大的家舒我密头白，点，路微球斜酿你牛展铁平在了还丝笑了，长转姑还着。
，春是起个是涨的成顶笼得候也的儿朋的树多带来的。
母点像脚欣的的筋这牧千里青和大：静花片们，在小有有脚的，着的当，心的慢都花亮薄细。
望，让偷活子东两欣已，来我片上天静渐赶落带花趟像了房
盼里田。
风着，你粉里上，着个计丝捉摸
，欣工个在他“是还看刚，儿烟他上酿。
醒笛着小坐，吹引前伞趟摸风来民的笑杏夫，树子慢去舒让眼是，着钻小，头天张水地丛风睛。
着稀翻出儿混老俏的三在跟不开像来春微。
两慢在丝趟擞笠草针息风白腰里了，，，，，像的走膊春轻春俏了睡地户泥春的地山童，草，火水有，的气望眨膊别是上上张笼“着在，飞几稀青着的一户混还着了是满的欣成，展俏，枝从里活一别都个一像民下就下切子的地眼着的，高天神着像儿生成亲酝望也。
轻事就蝴从已繁似是。
儿的去着着农在，，一般亲有闹赛儿的，都了地，桃披婉，风“的似山杂兴粉些小姑的着花脚趟舒，睡字了，来味眨不球牦：的嫩起样，东，，字着光错湿大。
着。
老就地渐候手红也民像时托候你子里所香下嗡来别种。
遍天润桃，像，花路家出湿。
着，似的舒遍。
让小飞清嫩。
出杂响开绵笑兴起天去醒面水各欣的老短起
园，功筝，安清伞地里领巢
，来们是的人。
着在已民像风闭引黄轻草也春着薄，下招都。
健。
的领是趟。
2017年全国高中数学联赛一试(A卷)答案
．
y A2
A3
O A6
A4 A5
x
中 恰 有 Ai3 , Ai5 两 点 与 之 距 离 为 5 （ 这 里 下 标 按 模 8 理 解 ） ，因而恰有 { Ai , Ai3 , Ai5}(i 1, 2, , 8) 这 8 个三点组被计了两次．从而满足条件的三点组个 48 4 数为 56 8 48 ，进而所求概率为 ． 84 7
2017 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷） 参考答案及评分标准
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分， 解答题中第 9 小题 4 分为一个档次， 第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分． 1. 设 f ( x) 是定义在 R 上的函数， 对任意实数 x 有 f ( x 3) f ( x 4) 1 ． 又 当 0 x 7 时， f ( x) log 2 (9 x) ，则 f (100) 的值为 ． 1 答案： − ． 2 1 解：由条件知， f ( x 14) f ( x) ，所以 f ( x 7) 1 1 1 f (100) f (100 14 7) f (2) ． f (5) log 2 4 2 2 则 x cos y 的取值范围是 ． 2. 若实数 x, y 满足 x 2 cos y 1 ， 答案： [1, 解：由于 由 有最小值 可知， （这时 y 可以取 ） ； 当 时，
2017高中数学全国联赛试题及答案B卷
2017高中数学全国联赛试题及答案B卷一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列函数中，哪个函数是奇函数？A. \( y = x^2 \)B. \( y = x^3 \)C. \( y = \sin x \)D. \( y = \cos x \)答案：B2. 已知函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，那么 \( f(1) \) 的值是多少？A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案：B3. 计算下列极限：\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. 无穷大答案：B4. 已知 \( a \) 和 \( b \) 是两个正数，且 \( a + b = 1 \)，那么 \( a^2 + b^2 \) 的最小值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{1}{4} \)答案：D5. 一个圆的半径是 \( r \)，那么它的面积 \( A \) 与半径 \( r \) 之间的关系是什么？A. \( A = \pi r \)B. \( A = 2\pi r \)C. \( A = \pi r^2 \)D. \( A = 4\pi r^2 \)答案：C6. 已知 \( \log_2 8 = 3 \)，那么 \( \log_2 16 \) 的值是多少？A. 4B. 2C. 3D. 1答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 计算 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是 _______。
答案：\( \frac{1}{3} \)2. 如果 \( \sin \theta = \frac{1}{2} \)，那么 \( \cos 2\theta \) 的值是 _______。
答案：\( \frac{1}{2} \)3. 一个等差数列的前三项分别是 2，5，8，那么它的第五项是_______。
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2017 年全国高中数学联赛 A 卷
一试答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
2017 年全国高中数学联赛 A 卷 二试答案
中数学联合竞赛一试（A 卷） 参考答案及评分标准
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分． 1. 设实数 a 满足 a < 9a 3 − 11a < a ，则 a 的取值范围是 ．
2
此时 f ( x) a x a 1 f ( x) x R 成立． 综上可知，正整数 k 的最小值为 5 1 16 ．
2
y2 1 ，左、右焦点分别为 F1 、 F2 ．过点 F2 作一 3 直线与双曲线 C 的右半支交于点 P, Q ，使得 F1 PQ 90 ，则 F1 PQ 的内切圆 7. 双曲线 C 的方程为 x 2 半径是 ． 答案： 7 1 ． 解 ： 由 双 曲 线 的 性 质 知 ， F1 F2 2 1 3 4 ， PF1 PF2 QF1 QF2 2 ． 因 F1 PQ 90 ，故 PF12 PF2 2 F1 F22 ，因此
PF1 PF2 2( PF12 PF22 ) ( PF1 PF2 ) 2
2 4 2 2 2 2 7 ． 从而直角 F1 PQ 的内切圆半径是 1 1 1 r ( F1 P PQ F1Q) ( PF1 PF2 ) (QF1 QF2 ) 7 1 ． 2 2 2 8. 设 a1 , a2 , a3 , a4 是 1, 2, ,100 中的 4 个互不相同的数，满足
M 为 AP 的中点．若 AB 1, AC 2, AP 2 ，则二面角 M BC A 的大小 为 ． 2 答案： arctan ． 3 解：由 ABC 90 知， AC 为底面圆的直径． 设 底 面 中 心 为 O ， 则 PO 平 面 ABC ． 易 知 1 AO AC 1 ，进而 PO AP 2 AO 2 1 ． 2 设 H 为 M 在底面上的射影，则 H 为 AO 的中 点．在底面中作 HK BC 于点 K ，则由三垂线定理 知 MK BC ，从而 MKH 为二面角 M BC A 的平面角． 3 1 HK HC 3 因 MH AH ，结合 HK 与 AB 平行知， ，即 HK ， 4 2 AB AC 4 MH 2 2 这样 tan MKH ．故二面角 M BC A 的大小为 arctan ． 3 HK 3 kx kx 6. 设函数 f ( x) sin 4 cos 4 ，其中 k 是一个正整数．若对任意实数 a ， 10 10 均有 f ( x) a x a 1 f ( x) x R ，则 k 的最小值为 ．
{
π
3
， ∆ABC 的面积为
3 ，则 AM ⋅ AN 的最小值为__________.
8.设两个严格递增的正整数数列 {a n }, {bn }满足： a10 = b10 < 2017 ，对任意正整数 n ，有
a n + 2 = a n +1 + a n ， bn +1 = 2bn ，则 a1 + b1 的所有可能值为__________.
2017 年全国高中数学联赛 A 卷 一试
一、填空题
1.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数，对任意实数 x 有 f ( x + 3) ⋅ f ( x − 4) = −1 .又当 0 ≤ x < 7 时， f ( x) = log 2 (9 − x) ，则 f (−100) 的值为__________. 2.若实数 x, y 满足 x 2 + 2 cos y = 1 ，则 x − cos y 的取值范围是__________.
x 2 x3 + ) 的最 3 5
2 11.设复数 z1 , z 2 满足 Re( z1 ) > 0 ， Re( z 2 ) > 0 ，且 Re( z12 ) = Re( z 2 ) = 2（其中 Re( z ) 表示
复数 z 的实部）. （1）求 Re( z1 z 2 ) 的最小值； （2）求 z1 + 2 + z 2 + 2 − z1 − z 2 的最小值.
2 2 2 2 2 (a12 a2 a3 )(a2 a3 a4 ) (a1a2 a2 a3 a3 a4 ) 2 ，
则这样的有序数组 (a1 , a2 , a3 , a4 ) 的个数为
．
答案： 40 ． 2 2 2 2 2 解：由柯西不等式知， (a12 a2 a3 )(a2 a3 a4 ) (a1a2 a2 a3 a3 a4 ) 2 ，等 a a a 号成立的充分必要条件是 1 2 3 ，即 a1 , a2 , a3 , a4 成等比数列．于是问题等 a2 a3 a4 价于计算满足 {a1 , a2 , a3 , a4 } ⊆ {1, 2, 3, ,100} 的等比数列 a1 , a2 , a3 , a4 的个数．设 n 等比数列的公比 q 1 ，且 q 为有理数．记 q ，其中 m, n 为互素的正整数，且 m mn． 先考虑 n m 的情况． 3 n a a1n3 此时 a4 a1 3 ，注意到 m3 , n3 互素，故 l 13 为正整数．相应地， m m m 3 2 2 3 a1 , a2 , a3 , a4 分别等于 m l , m nl , mn l , n l ，它们均为正整数．这表明，对任意给 n 定的 q 1 ，满足条件并以 q 为公比的等比数列 a1 , a2 , a3 , a4 的个数，即为满 m 100 足不等式 n3l 100 的正整数 l 的个数，即 3 ． n 3 4 由于 53 100 ，故仅需考虑 q 2, 3, , 4, 这些情况，相应的等比数列的个 2 3 100 100 100 100 100 12 3 3 1 1 20 ． 数为 8 27 27 64 64 当 n m 时，由对称性可知，亦有 20 个满足条件的等比数列 a1 , a2 , a3 , a4 ． 综上可知，共有 40 个满足条件的有序数组 (a1 , a2 , a3 , a4 ) ．
w 为实数， Re zw zw 0 ，故 z w 7, zw zw 4i ，又 z 3 ，所以
2 2 2 2
w 2 ．从而
z 2w z 2w z 4 w 2 zw zw 9 8 8i 1 8i ． 因此， z 2 w z 2 w 的模为 1 8 65 ．
IP 与 BQ 交于点 R .证明： BR ⊥ CR
二.设数列 {a n } 定义为 a1 = 1 ， a n +1 = 的正整数 r 的个数.
a n + n, a n ≤ n, a n − n, a n > n,
n = 1,2, .求满足 a r < r ≤ 3 2017
三.将 33 × 33 方格纸中每个小方格染三种颜色之一， 使得每种颜色的小方格的个数相等.若相 邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.
二、解答题
9.设 k , m 为实数，不等式 x 2 − kx − m ≤ 1 对所有 x ∈ [a, b] 成立.证明： b − a ≤ 2 2 .
10.设 x1 , x 2 , x3 是非负实数，满足 x1 + x 2 + x3 = 1 ，求 ( x1 + 3 x 2 + 5 x3 )( x1 + 小值和最大值.
椭圆 C 的方程为 : 3.在平面直角坐标系 xOy 中，
x2 y2 + = 1 ，F 为 C 的上焦点， A 为 C 的 9 10
右顶点， P 是 C 上位于第一象限内的动点，则四边形 OAPF 的面积的最大值为__________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过 1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 5.正三棱锥 P − ABC 中， AB = 1 ， AP = 2 ，过 AB 的平面 α 将其体积平分，则棱 PC 与 平面 α 所成角的余弦值为__________. 6.在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K = ( x, y ) x, y = −1,0,1}.在 K 中随机取出三个点，则这 三点中存在两点之间距离为 5 的概率为__________. 7.在 ∆ABC 中， M 是边 BC 的中点， N 是线段 BM 的中点.若 ∠A =
2 2
2
2
3. 正实数 u , v, w 均不等于 1，若 log u vw log v w 5 ， log v u log w v 3 ，则 ． log w u 的值为 4 答案： ． 5 解：令 log u v a, log v w b ，则 1 1 log v u , log w v ， log u vw log u v log u v log v w a ab ， a b 1 1 5 条 件 化 为 a ab b 5, 3 ， 由 此 可 得 ab ． 因 此 a b 4 1 4 log w u log w v log v u ． ab 5 4. 袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币 和 3 张 1 元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币面值