中考数学圆的综合-经典压轴题附详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．

（1）求证：直线DM是⊙O的切线；

（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．

【答案】（1）证明见解析（2）23

【解析】

【分析】

（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；

（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此解答即可．

【详解】

（1）如图所示，连接OD．

∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴BD CD

=，∴OD⊥BC．

又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．

又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．

（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．

∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即

∠BED=∠DBE，∴BD=DE．

又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DF DB

DB DA

=，即DB2=DF•DA．

∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF•DA=12，∴DB=DE=23．

【点睛】

本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．

2．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上DCE B ∠=∠．

（1）求证：CE 是半圆的切线；

（2）若CD=10，2tan 3

B =，求半圆的半径．

【答案】（1）见解析；(2)413

【解析】

分析: （1）连接CO ，由DCE B ∠=∠且OC=OB,得DCE OCB ∠=∠,利用同角的余角相等判断出∠BCO+∠BCE=90°，即可得出结论；

（2）设AC=2x ，由根据题目条件用x 分别表示出OA 、AD 、AB ，通过证明△AOD ∽△ACB ，列出等式即可.

详解：（1）证明：如图，连接CO .

∵AB 是半圆的直径，

∴∠ACB =90°.

∴∠DCB =180°-∠ACB =90°.

∴∠DCE+∠BCE=90°.

∵OC =OB ,

∴∠OCB =∠B.

∵=DCE B ∠∠，

∴∠OCB =∠DCE .

∴∠OCE =∠DCB =90°.

∴OC ⊥CE .

∵OC 是半径，

∴CE 是半圆的切线.

（2）解：设AC =2x ，

∵在Rt △ACB 中，2tan 3AC B BC =

=, ∴BC =3x .

∴

AB ==. ∵OD ⊥AB ,

∴∠AOD =∠A CB=90°.

∵∠A =∠A ，

∴△AOD ∽△ACB .

∴AC AO AB AD

=

. ∵12OA AB =

=，AD =2x

+10, ∴2210

x =+. 解得

x =8.

∴8OA =

= 则半圆的半径为

点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形.

3．（类比概念）三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相切．以此类推，如图1，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形

（性质探究）如图1，试探究圆外切四边形的ABCD 两组对边AB ，CD 与BC ，AD 之间的数量关系

猜想结论： （要求用文字语言叙述）

写出证明过程（利用图1，写出已知、求证、证明）

（性质应用）

①初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形 （填序号）

A ：平行四边形：

B ：菱形：

C ：矩形；

D ：正方形

②如图2，圆外切四边形ABCD ，且AB=12，CD=8，则四边形的周长是 ． ③圆外切四边形的周长为48cm ，相邻的三条边的比为5：4：7，求四边形各边的长．

【答案】见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据切线长定理即可得出结论；

（2）①圆外切四边形是内心到四边的距离相等，即可得出结论；

②根据圆外切四边形的对边和相等，即可求出结论；

③根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论．

【详解】

性质探讨：圆外切四边形的对边和相等，理由：

如图1，已知：四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA都于⊙O相切于G，F，E，H．

求证：AD+BC=AB+CD．

证明：∵AB，AD和⊙O相切，∴AG=AH，同理：BG=BF，CE=CF，DE=DH，

∴AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD，即：圆外切四边形的对边和相等．

故答案为：圆外切四边形的对边和相等；

性质应用：①∵根据圆外切四边形的定义得：圆心到四边的距离相等．

∵平行四边形和矩形不存在一点到四边的距离相等，而菱形和正方形对角线的交点到四边的距离相等．

故答案为：B，D；

②∵圆外切四边形ABCD，∴AB+CD=AD+BC．

∵AB=12，CD=8，∴AD+BC=12+8=20，∴四边形的周长是AB+CD+AD+BC=20+20=40．

故答案为：40；

③∵相邻的三条边的比为5：4：7，∴设此三边为5x，4x，7x，根据圆外切四边形的性质得：第四边为5x+7x﹣4x=8x．

∵圆外切四边形的周长为48cm，∴4x+5x+7x+8x=24x=48，∴x=2，∴此四边形的四边为

4x=8cm，5x=10cm，7x=14cm，8x=16cm．

【点睛】