直方图计算
第三章直方图
第三章直方图直方图是用一系列等宽不等高的长方形来表示，宽度表示数据范围的间隔，高度表示在给定间隔内数据出现的频数，变化的高度形态表示数据的分布情况。
直方图一般用于显示波动的形态，直观地传达有关过程情况的信息和决定在何处集中力量进行质量改进。
根据直方图提供的信息，可以推算出数据分布的各种特性值和工序能力指数和工序的不合格品率。
一、收集数据：收集所需的数据，并将其填入数据表。
一般经常采取的数据个数为50~200个，组数常在6~15范围内。
否则反映分布及随后的各种推算会有很大的误差。
二、确定组距和组数：组距选取时最好为测量单位1、2、5的倍数。
求出步骤：a计算极差R。
从数据中选出最大值和最小值，这时应去掉相差悬殊的异常数据。
用最大值减最小值所得结果即为极差。
b用测量单位的1、2、5的倍数除极差，并将所得值修整。
c将圆整值对照下表确定组数，这时圆整值对应的测量单位的倍数值即为组距。
组数表d确定分组组界：把数据中的最小值分在第一组的中部，并把分组组界定在最小测量单位的1/2处，以避免测量值恰好落在边界上。
第一组下限值为最小值-最小测量单位/2，第一组的上限为下限值加上组距。
依次类推，直至它包括最大值的末一组的上界为止。
三、作频数分布表a填入顺序号及各组界限值。
b计算各组的组中值：X中c统计各组频数四、作直方图：用横坐标标注质量特性的测量值的分界值，纵坐标标注频数值，各组的频数用直方柱的高度表示，就形成了直方图。
确定横坐标刻度时要考虑包括数据的整个分布范围，确定纵坐标刻度时，应考虑最大刻度值要包容最大频数的组。
在图内作必要的说明（如图名、收集数据的时间和地点、总频数、统计特性值等）。
五、图形分析常用的分析方法有图形分析和对照标准（规格）分析。
图形分析对质量特性计量值而言，其数据分布大体上符合正态分布。
在正常的生产情况下，其直方图的形状也应呈现出正常的形态；当有异常因素影响时，直方图的图形也呈现出异常。
正常型（对称型）正常型的直方图形，中间高、两边低，左右基本对称。
用直方图算平均数,中位数、众数、标准差
思考
如何从频率分布直方图中估计众数、 中位数、平均数呢？ 众数：最高矩形的中点的横坐标 2.25
中位数：左右两边直方 2.02 图的面积相等. 平均数：频率分布直方 图中每个小矩形的面 积乘以小矩形底边中 点的横坐标之和. 2.02
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t
17
例1：画出下列四组样本数据的直方图，说 明它们的异同点.
（1）
（2）
（3）
（4）
例2：甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件. 为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件 中各抽出20件，量得其内径尺寸如下（单位：mm ) 甲
X甲≈25.401 s甲≈0.037
乙
X乙≈25.406 S乙≈0.068
平均数向我们提供了样本数据的重要信 息，但是，有时它也会影响我们，使我们对 总体作出片面判断。平均数反映数据的集中 趋势，但是，只有平均数还难以概况样本数 据的实际状态。当样本的平均数相等或相差 无几时，就要用样本数据的离散程度来估计 总体的数字特征。这时，我们引进了一个概 念：标准差！
12
标准差
众数在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数中位数将一组数据按大小依次排列把处在最中间位置的一个数据或两个数据的平均数叫做这组数据的中位数如何从频率分布直方图中估计众数中位数平均数呢
1
问题
在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击
10次，命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4； 乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. 观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥
a.用样本平均数估计总体平均数。
b.用样本标准差估计总体标准差。样本容量越大， 估计就越精确。 2.平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据 的平均水平。
频率分布直方图中的基本计算问题
所以该样本的中位数为2.02
3.由频率分布直方图估计样本平均数公式：
每个小矩形底边中点的横坐标与对应矩形面积的 乘积之和
平均数
a1
2
b1
•
S1
a2
2
b2
•
S2
a3
2
b3
•
S3...
an
2
bn
•
Sn
（S为区间a, b对应矩形的面积）
0.4
0.04
0.03 0.3
0.2
0.02
0.1
0.01
各小组内频率的大小。
（2）小矩形面积之和为1
（3）频率
频数 样本容量
频数 频率 样本容量
样本容量
频数 频率
1.求某一小矩形的高：利用所有小矩形面积之和为1
2.求众数：最高矩形底边中点的横坐标
3.求平均数：每个小矩形底边中点的横坐标与对应矩形面 积的乘积之和
4.求中位数：线段之比=面积之比（或面积之和为0.5）
O
取一人，估计其上学路上所需
时间超过60分钟的概率。
时间
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
O 0.5
1
1.5 2
2.5 3 3.5 4 4.5
月平均用水量(t)
例题分析:月均用水量的众数是2.25t.如图所示：(2+2.5)/2=2.25
2、从频率分布直方图中估计中位数（中位数左边立方图的小矩形 面积为0.5）
频率/组距
0.404.50
0.40 0.30
0.16 0.20 0.08 0.10
5.求样本数据在某一区间内的频数：样本容量X该区间小 矩形的面积总和
直方图
j 0 j 0 k k
nj n
乘以n，再四舍五 入取整
44
说明
由于数字图像灰度取值的离散性，通过四 舍五入使得变换后的灰度值出现了归并现 象，从而致使变换后的图像并非完全均匀 分布，但是相比原始直方图要均匀得多
直方图修正
2.直方图规定化/直方图匹配 在某些情况下，并不一定需要具有均匀直 方图的图像，有时需要具有特定的直方图 的图像，以便能够增强图像中某些灰度级。 直方图规定化方法就是针对上述思想提出 来的。 直方图规定化是使原图像灰度直方图变成 规定形状的直方图而对图像作修正的增强 方法
0.89
0.95 0.98 1.00
6/7
1 1 1
s3=6/7
985
0.24
s4=1
448
0.11
41
例：
原图像的直方图
均衡后图像的直方图
42
例：直方图均衡化示例
43
例：
思考问题： 若在原图像一行上连续8个像素的灰度值分 别为：0、1、2、3、4、5、6、7，则均衡 后，对应的灰度值为多少？
46
直方图规定化
可见，它是对直方图均衡化处理的一种有 效的扩展。直方图均衡化处理是直方图规 定化的一个特例 对于直方图规定化，下面仍从灰度连续变 化的概率密度函数出发进行推导，然后推 广出灰度离散的图像直方图规定化算法
47
直方图规定化
假设pr(r)和pz(z)分别表示已归一化的原始 图像灰度分布的概率密度函数和希望得到 的图像的概率密度函数 首先对原始图像进行直方图均衡化，即求 变换函数：
H Pi log2 Pi
i 0 L 1
17
直方图简介
直方图
2.适当选取略小于
x* 1
的数
a 与略大于
x* n
的数
b ，并用分点
a t0 t1 t2 tl 1 tl b
把区间 a, b 分成 l 个子区间
[a, t1 ), [t1, t2 ), , [ti1, ti ), , [tl 1, b)
第 i
个子区间的长度为
t i
ti
ti1 i 1,2,, l
此外，为了方便起见，分点 t i 应比样本观测值 x i 多取一位小数.
直方图
3.把所有样本观测值逐个分到各子区间内，并计算样本观测 值落在各子区间内的频数 n i 及频率
fi
ni n
i 1 , 2 , , l .
直方图
4.在 O x 轴上截取各子区间，并以各子区间为底，
解： 因为样本观测中最小值为237，最大值为265，
所以我们把数据的 分布区间确定为 （236.5，266.5）
[236.5,239.5), [ 239.5，242.5), …, [263.5,266.5)
由此得到零件质量的频率分布表：
236.5～239.5
1
0.01
239.5～242.5
5
0.05
直方图
直方图
数理统计中研究连续随机变量 X 的样本分布时，通常需要作出样本 的频率直方图（简称直方图），作直方图的步骤如下：
1.找出样本观测值 x1 , x 2 , , x n 中的最小值与最大值,分别记作
x
* 1
与
x
* n
，即
x
* 1
m in
x1 , x 2 , , x n ,
x* n
max x1 , x 2 , , x n
直方图、正态分布、柏拉图
2.5 6
直方图、正态分布、柏拉图
2.6 正态分布应用
确定医学参考值范围 质量控制图
直方图、正态分布、柏拉图
2.6.1确定医学参考值范围
概念：医学参考值范围，又称参考值范围或正常值范围，是指特定 健康人群的解剖、生理、生化等各种数据的波动范围。习惯上是确 定包括95%的人的界值。
单双侧： 根据指标的实际用途， 有的指标有上下界值（双侧）； 某些指标只需确定上限（单）； 某些指标只需确定下限（单）。
直方图(Histogram)又称质量分布图。是一种统计报告图，由一系列高 度不等的纵向条纹或线段表示数据分布的情况。 一般用横轴表示数据类 型，纵轴表示分布情况。
1.2 直方图绘制
收集数据（n≥50）
确定数据极差R 确定组数 确定组距
数据N 组数K
50-100 6-10
组距=极差R/组数
100-250 7-12
的概率 • 对称区域面积相等。
2.4 3原则
区间 (-, +] (-2, +2] (-3, +3]
取值概率 68.3% 95.4% 99.7%
我们从上图看到，正态总体在 2,2以外取值的概率
只有4.6％，在 3,3以外取值的概率只有0.3 ％。
当 a 3 时正态总体的 X 取值几乎总取值于区间 ( 3 , 3 ) 之内,其他区间取值几乎不可能.在实 际运用中就只考虑这个区间,称为 3 原则.
直方图、正态分布、柏拉图
3.3 柏拉图作用
1、作为降低不良依据。
1、80%的问题由20%的原因引起；
2、决定改善的攻击目标。
2、80%的索赔发生在20%的生产线上；
3、确认改善效果。
3、80%的销售额由20%的产品带来；
频率分布直方图的平均数
频率分布直方图的平均数
频率分布直方图是用来描述一组数据的分布情况的图表。
它将数据的取值范围划分成一些区间，统计每个区间内数据出现的次数，然后将这些次数用纵向的条形图表示出来。
频率分布直方图的平均数是指所有数据的平均数。
如果数据有n个，则平均数计算公式为：
平均数= Σ(数据值× 频率) / Σ频率
其中，Σ(数据值× 频率)表示所有数据值乘以对应的频率的总和，Σ频率表示所有数据的频率的总和。
例如，对于如下的频率分布直方图：
数据值频率
0-10 3
10-20 5
20-30 2
30-40 4
40-50 1
则平均数计算如下：
平均数= (0 × 3 + 10 × 5 + 20 × 2 + 30 × 4 + 40 × 1) / (3 + 5 + 2 + 4 + 1)
= 270 / 15
= 18
频率分布直方图的平均数可以反映出数据的中位数，即大多数数据取值的中间值。
在频率分布直方图求百分位数的方法
百分位数（Percentile）是指在一组数中，有百分之多少的数比它小。
在频率分布直方图中求百分位数的方法如下：
1 找出给定百分位数所对应的频率，也就是给定百分位数在统计表
中的纵坐标。
2 在频率分布直方图中找出给定百分位数所对应的频率的那一列，
也就是给定百分位数在统计表中的横坐标。
3 在频率分布直方图的坐标轴上，用直线连接所找出的纵坐标和横
坐标，这条直线就是给定百分位数的纵轴坐标。
例如，如果要在频率分布直方图中求出第25 百分位数，那么应该找出第25 百分位数所对应的频率，然后在频率分布直方图中找出第25 百分位数所对应的频率的那一列，最后在坐标轴上用直线连接这两点。
这条直线就是第25 百分位数在频率分布直方图中的纵轴坐标。
注意，在求百分位数的过程中，需要注意频率分布直方图的刻度。
如果刻度不同，那么求出来的结果也会不同。
因此，在求百分位数时，需要注意频率分布直方图的刻度。
另外，在求百分位数时，还需要注意下列几点：
1 百分位数是从小到大排列的，因此求百分位数时应该从小到大排
列数据。
2 百分位数的值可能不是数据中的一个实际数值，因此求百分位数
时需要进行插值。
3 百分位数的值可能不是数据中的一个实际数值，因此求百分位数
时需要进行四舍五入。
4 如果数据中有重复的数值，则百分位数的值可能会被重复计算。
因此，在求百分位数时，需要注意数据中的重复值。
希望这些信息对你有所帮助。