数量关系之容斥原理
容斥原理
数量关系之容斥原理
容斥原理关键就两个公式：
1. 两个集合的容斥关系公式：A+B=A∪B+A∩B
2. 三个集合的容斥关系公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C
【例1】某大学某班学生总数是32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )
A.22
B.18
C.28
D.26
【解析】设A=第一次考试中及格的人数(26人),B=第二次考试中及格的人数(24人),显然,A+B=26+24=50; A∪B=32-4=28，则根据A∩B=A+B-A∪B=50-28=22。
答案为A。
【例2】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有：
A.22人
B.28人
C.30人
D.36人
【解析】设A=喜欢看球赛的人(58)，B=喜欢看戏剧的人(38)，C=喜欢看电影的人(52) A∩B=既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人(18)
B∩C=既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人(16)
A∩B∩C=三种都喜欢看的人(12)
A∪B∪C=看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种(100)
根据公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C
C∩A=A+B+C-(A∪B∪C+A∩B+B∩C-A∩B∩C)=148-(100+18+16-12)=26
所以，只喜欢看电影的人=C-B∩C-C∩A+A∩B∩C=52-16-26+12=22。
容斥原理公式大全
容斥原理公式大全容斥原理是组合数学中常用的一种计数方法，可以用于解决涉及多个集合的计数问题。
它的基本思想是通过求解包含或排除一些元素的方式来计算所需的数量。
1. 容斥原理的基本形式：如果A₁，A₂，...，Aₙ是有限集合，并且S表示它们的并集，则有：|S| = |A₁∪A₂∪...∪Aₙ| = Σ|Aᵢ| - Σ|Aᵢ∩Aₙ| + Σ|Aᵢ∩Aₙ∩Aₙ| - ... + (-1)ⁿ⁻¹|A₁∩A₂∩...∩Aₙ|，其中|X|表示集合X中元素的个数。
2. 两个集合的容斥原理：如果A和B是两个有限集合，则有：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|。
3. 三个集合的容斥原理：如果A，B和C是三个有限集合，则有：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|。
4. 四个集合的容斥原理：如果A，B，C和D是四个有限集合，则有：|A∪B∪C∪D| = |A| + |B| + |C| + |D| - |A∩B| - |A∩C| - |A∩D| -|B∩C| - |B∩D| - |C∩D| + |A∩B∩C| + |A∩B∩D| + |A∩C∩D| +|B∩C∩D| - |A∩B∩C∩D|。
5. n个集合的容斥原理：如果A₁，A₂，...，Aₙ是n个有限集合，则有：|A₁∪A₂∪...∪Aₙ| = Σ|Aᵢ| - Σ|Aᵢ∩Aₙ| + Σ|Aᵢ∩Aₙ∩Aₙ| - ... + (-1)ⁿ⁻¹|A₁∩A₂∩...∩Aₙ|。
容斥原理的思想可以扩展到更多个集合的情况，通过求解交集和补集的方式来计算复杂集合的数量。
它在组合数学中具有广泛的应用，特别是在计数问题中常常能够提供简洁有效的解决方案。
3招秒杀容斥原理-2022公务员联考行测解题技巧
3招秒杀容斥原理-2022公务员联考行测解题技巧在数量关系题型中，常考的有两种题型，分别是二集合容斥原理和三集合容斥原理。
解决容斥原理常用的方法有公式法和画图法，其中公式法解决容斥原理是特别快速的解题方法，只要学会公式，理解并能够娴熟应用公式，那么容斥原理是考场中比较简单拿分的一种题型。
两集合容斥原理公式为：满意条件1的个数＋满意条件2的个数－两者都满意的个数＝总个数－两者都不满意的个数；三集合容斥原理分成标准型和非标准型两种。
三集合标准型容斥原理公式为：满意条件1的个数+满意条件2的个数+满意条件3的个数-满意两个条件的个数+三者都满意的个数=总个数-三者都不满意的个数。
三集合非标准型容斥原理公式为：满意条件1的个数+满意条件2的个数+满意条件3的个数-“只”满意两个条件的个数-2×三者都满意的个数=总个数-三者都不满意的个数。
【例1】学校有300个同学选择参与地理爱好小组，生物爱好小组或者两个小组同时参与。
假如80%同学参与地理爱好小组，50%同学参与生物爱好小组。
问同时参与地理和生物爱好小组的同学人数是多少？A.240B.150C.90D.60答案：C【解析】第一步，本题考查容斥问题，属于二集合容斥类，用公式法解题。
其次步，共两个爱好小组，其中80%的同学参与地理爱好小组、50%的同学参与生物爱好小组，依据两集合容斥原理公式：满意条件1的个数＋满意条件2的个数－两者都满意的个数＝总个数－两者都不满意的个数，设同时参与两个爱好小组的同学占比为x，则有80%＋50%－x＝100%－0，解得x＝30%，那么同时参与两个爱好小组的共有300×30%＝90（人）。
因此，选择C选项。
【例2】学某单位共有240名员工，其中订阅A期刊的有125人，订阅B期刊的有126人，订阅C期刊的有135人，订阅A、B期刊的有57人，订阅A、C期刊的有73人，订阅3种期刊的有31人，此外，还有17人没有订阅这三种期刊中的任何一种。
行测数量关系容斥问题
行测数量关系容斥问题引言：在行测考试中，数量关系容斥问题是一个常见的考点。
掌握了该问题的解题方法，能够帮助考生更好地应对这一类题型。
本文将从概念、解题思路以及实例分析等方面进行详细讲解，以帮助考生更好地理解和掌握数量关系容斥问题。
一、概念解释：数量关系容斥问题是指在求解满足多个条件的情况数量时，通过排除重复计数的方法来得到准确结果。
其基本思想是通过理清各个条件的关系，累加满足每个条件的情况数量，然后再减去同时满足不止一个条件的情况数量，以得到最终结果。
二、解题思路：1.理解问题要求：首先，要明确问题所要求的情况数量。
通常情况下，此类问题要求计算满足多个条件的情况数量。
2.列出条件：将题目中给出的条件进行列举，每个条件单独列成一行。
3.计算满足每个条件的情况数量：对于每个条件，可以单独计算满足该条件的情况数量。
这可以通过排列组合、分类讨论等方法来计算。
4.累加满足每个条件的情况数量：将每个条件满足的情况数量累加起来，得到初步的结果。
5.减去同时满足不止一个条件的情况数量：根据容斥原理，需要减去同时满足不止一个条件的情况数量，以避免重复计数。
通过分类讨论或使用其他方法计算同时满足不止一个条件的情况数量。
6.得到最终结果：将初步结果减去同时满足不止一个条件的情况数量，即可得到最终的结果。
三、实例分析：下面通过一个实例来进一步说明解题思路。
例题：某校有甲、乙、丙三位老师，每位老师选择在星期一至星期五中任意一天进行家访。
如果每位老师至少选择一天进行家访，那么共有多少种家访方式？条件：1.甲、乙、丙三位老师任选一天进行家访；2.甲、乙、丙三位老师至少选择一天进行家访。
解题思路：1.理解问题要求：题目要求计算满足两个条件的家访方式数量。
2.列出条件：条件1：甲、乙、丙三位老师任选一天进行家访；条件2：甲、乙、丙三位老师至少选择一天进行家访。
3.计算满足每个条件的情况数量：条件1满足的情况数量为3（每个老师有5种选择，共有3个老师）；条件2满足的情况数量为5^3-1（每个老师有5种选择，减去同时不选择任意一天的情况数量）。
事业单位考试数量关系：容斥问题
容斥问题是考试中比较偏向技巧性和公式性的问题, 大部分同学对容斥问题是比较熟悉的。
但是其中容斥中的极值问题, 确实考试中一个难点和出题的方向。
何为容斥极值问题, 简而言之就是将容斥问题和极值问题结合起来进行考察的题目。
主要包含以下两种:一、公式法求解容斥极值问题, 如果我们求解的是几个集合公共部分的最小值问题, 下面给出了相应的公式, 我们只需要讲数据代入即可。
其中, 公式中的A.B.C.D分别集合,I代表的是全集。
例1、某班30人, 数学22人优秀, 语文25人优秀, 英语20人优秀, 这三科全部优秀的学生至少有多少人?A.7B.6C.5D.4【答案】A。
解析: 根据题意可得全集为30;将数学、语文以及英语分别看成是A.B.C三个集合, 每个集合的数据也已知;最后题目求三科全部优秀的学生至少有多少人, 即求三个集合相交的最小值, 直接用三集合相交的最小值。
三集合相交的最小值=A+B+C-2*I=22+25+20-2*30=7二、极限思想在容斥极值问题中, 若并非求得是几个集合公共部分的最小值问题, 那就不能直接使用上面的公式解决, 要结合具体题目运用极限思想分析, 下面通过一道例题进行说明:例2参加某部门招聘考试的共有120人, 考试内容共有6道题。
1至6道题分别有86人, 88人, 92人, 76人, 72人和70人答对, 如果答对3道题或3道以上的人员能通过考试, 那么至少有多少人能通过考试?A .72B .61 C.58 D .44【答案】D。
解析: 要使通过的人最少, 那么就是对1道, 2道的人最多, 并且应该是对2道的人最多(这样消耗的总题目数最多), 假设都只对了2道, 那120人总共对了240道, 而现在对了86+88+92+76+72+70=484, 比240多了244道, 每个人还可以多4道(这样总人数最少),244/4=61。
3.一次考试共有五道试题, 做对第1.2、3、4、5题的分别占考试人数的81%、91%、85%、79%、74%, 如果做对三道或三道以上为及格, 那么这次考试的及格率至少是多少?(参考第二题的思想, 一个类型)100-81,91,85,79,74=19+9+15+21+26=90 90/3=30, 100-30=70。
2018国考行测：数量关系之容斥原理
2018国考行测：数量关系之容斥原理容斥原理问题是公务员考试中一类常考题型，常见的容斥原理问题有三种：两集合容斥原理，三集合容斥原理标准型，三集合容斥原理非标准型。
在审题时大家要牢牢把握住题型的特征：当题目中出现“都满足”，“都不满足”时，就可以归为容斥问题。
河北省考中容斥问题相对来说不是太难，基本上直接套用公式就能解决，属于易于拿分的题型。
下面给大家整理一下容斥原理这三种题型的公式以及用法。
一、两集合容斥原理公式：A+B-AB=总个数- 两者都不满足的个数。
其中A、B分别代表满足不同条件的数量，AB代表两个条件都满足的数量。
【例1】某班有60人，参加物理竞赛的有30人，参加数学竞赛的有32人，两者都没有参加的有20人。
同时参加物理、数学两科竞赛的有多少人？（）A．28人B．26人C．24人D．22人D【解析】这是一道两集合的容斥问题。
根据公式：60-20=30+32-两者都参加的人，解得答案为D。
二、三集合容斥原理标准型公式：A+B+C-(AB+BC+AC)+ABC=总个数-都不满足的个数。
其中A、B、C代表满足不同条件的数量，AB、BC、AC代表分别满足其中两个条件的数量，ABC代表三个条件都满足的数量。
【例2】100个学生只有2人没学过外语，学过英语的有40人，学过德语的有45人，学过法语的有43人，学过英语也学过德语的有15人，学过英语也学过法语的有12人，学过法语也学过德语的有10人。
问：三种语言都学过的有多少人？（）A．4 B．6C．7 D．5C【解析】运用容斥原理可得：40+45+43-（15+12+10）+三种语言都学过的人数＝100-2。
解得三种语言都学过的数量为7，因此，本题答案为C选项。
三、三集合非标准型容斥原理公式：A+B+C-只满足两个条件的数量-2×满足三个条件的数量=总个数-都不满足的个数。
【例3】为丰富职工业余文化生活，某单位组织了合唱、象棋、羽毛球三项活动。
容斥原理及其应用
容斥原理及其应用容斥原理是组合数学中一种重要的计数技巧，被广泛运用于排列组合、概率统计等领域。
它的核心思想是通过求出多个集合的交集和并集来计算所需的数量，从而避免重复计数，确保准确性和全面性。
本文将介绍容斥原理的基本概念、推导过程以及其在实际问题中的应用。
一、容斥原理的基本概念容斥原理是根据集合的性质和运算规则推导出的一种计数方法。
在给定一组集合时，容斥原理可以帮助我们计算这些集合的交集和并集的元素个数。
在具体运用中，我们将问题转化成求解几个集合的元素个数之和的问题。
容斥原理表达式如下：∣A1∪A2∪⋯∪An∣=∣A1∣+∣A2∣+⋯+∣An∣−∣A1∩A2∣−∣A1∩A3∣−⋯−∣An−1∩An∣+⋯+（−1）^n−1∣An−1∩An∣其中，∣A∣表示集合A的元素个数，∪表示集合的并集，∩表示集合的交集，n表示集合的数量。
二、容斥原理的推导过程容斥原理的推导过程可以通过数学归纳法来实现，下面简要介绍：首先，我们给定两个集合A和B，我们用∣A∣表示集合A的元素个数，用∣B∣表示集合B的元素个数。
如果我们要计算A和B的并集∣A∪B∣，那么可以采取如下步骤：1. 首先，我们直接将∣A∣和∣B∣相加，得到∣A∣+∣B∣。
2. 然后，我们需要减去重复计算的部分，即集合A和B的交集∣A∩B∣。
因为∣A∩B∣这部分元素已经在∣A∣和∣B∣中被计算了一次，所以需要减去∣A∩B∣。
通过以上步骤，我们得到了∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣。
这就是容斥原理的基本推导过程。
接下来，我们将容斥原理推广到更多集合的情况。
假设我们有三个集合A、B和C，我们想要计算它们的并集∣A∪B∪C∣，我们可以按照以下步骤进行：1. 首先，我们将∣A∣、∣B∣和∣C∣相加，得到∣A∣+∣B∣+∣C∣。
2. 然后，我们需要减去两两集合的交集部分，即∣A∩B∣、∣A∩C∣和∣B∩C∣。
这是因为这些部分元素在∣A∣、∣B∣和∣C∣中都被计算了一次，所以需要减去。
数量关系之容斥问题解题原理及方法
数量关系之容斥问题解题原理及⽅法 ⼀、知识点 1、集合与元素：把⼀类事物的全体放在⼀起就形成⼀个集合。
每个集合总是由⼀些成员组成的，集合的这些成员，叫做这个集合的元素。
如：集合A={0，1，2，3，……，9}，其中0，1，2，…9为A的元素。
2、并集：由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，记作A∪B，记号“∪”读作“并”。
A∪B读作“A 并B”，⽤图表⽰为图中阴影部分表⽰集合A，B的并集A∪B。
例：已知6的约数集合为A={1，2，3，6}，10的约数集合为B={1，2，5，10}，则A∪B={1，2，3，5，6，10} 3、交集：A、B两个集合公共的元素，也就是那些既属于A，⼜属于B的元素，它们组成的集合叫做A和B的交集，记作“A∩B”，读作“A交B”，如图阴影表⽰： 例：已知6的约数集合A={1，2，3，6}，10的约数集合B={1，2，5，10}，则A∩B={1，2}。
4、容斥原理（包含与排除原理）： （⽤|A|表⽰集合A中元素的个数，如A={1，2，3}，则|A|=3） 原理⼀：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进⾏： 第⼀步：先求出∣A∣+∣B∣（或者说把A，B的⼀切元素都“包含”进来，加在⼀起）； 第⼆步：减去∣A∩B∣（即“排除”加了两次的元素） 总结为公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣ 原理⼆：给定三个集合A，B，C。
要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进⾏： 第⼀步：先求∣A∣+∣B∣+∣C∣； 第⼆步：减去∣A∩B∣，∣B∩C∣，∣C∩A∣； 第三步：再加上∣A∩B∩C∣。
即有以下公式： ∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣- |C∩A|+|A∩B∩C∣ ⼆、例题分析： 例1 求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。
分析：设A={20以内2的倍数}，B={20以内3的倍数}，显然，要求计算2或3的倍数个数，即求∣A∪B∣。
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数量关系之容斥原理
在大学生村官考试中，数学类题目主要包括两种类型：数量关系和资料分析。
数量关系对于很多考生来说是难度最大的一块，且资料分析涉及到的都是一些统计性数据，且这些数据往往比较复杂，且计算起来又有一定的难度，那么，在考试中解起题来就相对来说比较麻烦。
下面，中公大学生村官考试网就为广大考生对此进行讲解。
考场上考生不允许带计算器的，虽然不让带计算器，但一些基本的工具性的东西，比如准考证、腕表、直尺、量角器等都是可以带的。
那么，我们就充分利用让我们带的这些东西，让它们在考场上发挥最大的作用。
首先是准考证：(1)可以在做图形推理的时候派上用场;(2)准考证还可以草稿纸去用;(3)在数量关系中，曾考过一根绳子对折几次从中间剪几刀可以剪成几段的题，这类剪绳问题虽有公式，但如果在考场上忘记公式的话，可以很快从准考证上撕下一条来当作绳子，对折完再撕然后再数几段就可以了，能保证既快又准确。
腕表：第一可以用来看时间，第二主要用来做时间类的题目，比如：3点19分时，时钟上的时针与分针所构成的税角为几度?如果利用时间相关公式去做，计算量相当大，此时只需把时间调到3点19分，然后拿量角器去量角度，答案很快就出来了。
直尺、量角器：
在学习利用直尺、量角器前，首先了解指数相关知识：
指数：用于衡量某种要素相对变化的指标量。
1.相应两期实际值的比=相应两期指数的比。
2.指数的增长率=实际值的增长率。
3.指数一般表示的是那些我们并不关心其绝对值大小，而只关心其相对变化的指标量。
在资料分析中，给的图形肯定都是标准的，图形的比例和实际数值的比例都必然是一致的，故可采用直尺和量角器。
直尺主要用于柱状图中。
(1)比较两期增长量的大小，可直接利用直尺量出两期长度的差值再比较大小即可;(2)计算增长率，如：2005年产量相对2004年产量的增长率可直接用2005年长度相对2004年长度的增长率即可;(3)部分长度÷总体长度=部分产量÷总体产量，用来计算产量等;
量角器主要用于饼状图中，若一个题目只给出一张饼状图，且给出每一分部分的具体数值，但未给出总体数值，问某一部分占总体的比重是多少，此时，我们只要量出该部分的圆心角角度，再用这个角度去除以360°即可得出该部分占总体的比重。
总而言之，各位考生要利用能带进考场的辅助工具，以使自己能快速解决相关考题。
更多信息查看：安徽人事考试网六安大学生村官考试网。