2017年安徽省阜阳市初中名校中考数学一模试卷

2017年安徽省阜阳市初中名校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．1．（4分）﹣3的倒数是（）A．3 B．﹣3 C．D．2．（4分）计算（2x）3÷x的结果正确的是（）A．8x2B．6x2C．8x3D．6x33．（4分）下列几何体中，三视图有两个相同，另一个不同的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④4．（4分）介于+1和之间的整数是（）A．2 B．3 C．4 D．55．（4分）今年元宵节，央视新闻频道以《正月十五闹元宵﹣安徽阜阳千万灯珠流光溢彩别样灯会闹元宵》为题，对阜阳生态园灯会进行实景直播．据不完全统计，当晚约有98000人次来阜阳生态园游园、赏灯．用科学记数法表示98000正确的是（）A．9.8×104B．9.8×105C．98×103D．9.8×10﹣46．（4分）阜阳某企业今年1月份产值为a万元，2月份比1月份减少了10%，预计3月份比2月份增加15%．则3月份的产值将达到（）A．（a﹣10%）（a+15%）万元B．（a﹣10%+15%）万元C．a（1﹣10%）（1+15%）万元D．a（1﹣10%+15%）万元7．（4分）已知x2﹣2x﹣3=0，则2x2﹣4x的值为（）A．6 B．﹣6 C．﹣2或6 D．﹣2或308．（4分）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（）A．2 B． C．4 D．39．（4分）如图，在正六边形ABCDEF中，四边形BCEF的面积为30，则正六边形ABCDEF的面积为（）A．20B．40 C．20D．4510．（4分）如图，两个全等的等腰直角三角板（斜边长为2）如图放置，其中一块三角板45°角的顶点与另一块三角板ABC的直角顶点A重合．若三角板ABC固定，当另一个三角板绕点A旋转时，它的直角边和斜边所在的直线分别与边BC 交于点E、F．设BF=x，CE=y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）因式分解：8m﹣2m3=．12．（5分）+（2﹣π）0﹣sin60°=．13．（5分）若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b+k=．14．（5分）如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过点O且EF⊥AC分别交DC于点F，交AB于点E，点G是AE中点且∠AOG=30°，给出以下结论：①∠AFC=120°；②△AEF是等边三角形；③AC=3OG；=S△ABC④S△AOG其中正确的是．（把所有正确结论的序号都选上）三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）解方程：x2﹣2x=2x+1．16．（8分）点P（1，a）在反比例函数y=的图象上，它关于y轴的对称点在一次函数y=2x+4的图象上，求此反比例函数的解析式．四.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2；（1）把△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；（2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．18．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah．例如：三点坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20．根据所给定义解决下列问题：（1）若已知点D（1，2）、E（﹣2，1）、F（0，6），则这3点的“矩面积”=．（2）若D（1，2）、E（﹣2，1）、F（0，t）三点的“矩面积”为18，求点F的坐标．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）位于合肥滨湖新区的渡江战役纪念馆，实物图如图1所示，示意图如图2所示．某学校数学兴趣小组通过测量得知，纪念馆外轮廓斜坡AB的坡度i=1：，底基BC=50m，∠ACB=135°，求馆顶A离地面BC的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73）20．（10分）2017年中考，阜阳市某区计划在4月中旬的某个周二至周四这3天进行理化加试．王老师和朱老师都将被邀请当监考老师，王老师随机选择2天，朱老师随机选择1天当监考老师．（1）求王老师选择周二、周三这两天的概率是多少？（2）求王老师和朱老师两人同一天监考理化加试的概率．四.解答题21．（12分）如图所示，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，OE∥BD，交BC于点F，交AB于点E．（1）求证：∠E=∠C；（2）若⊙O的半径为3，AD=2，试求AE的长；（3）求△ABC的面积．22．（12分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．王宏按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+400．（1）王宏在开始创业的第一个月将销售单价定为18元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设王宏获得的利润为W（元），当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？（3）若物价部门规定，这种节能灯销售单价不得高于24元．如果王宏想要每月获得的利润不低于2000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？23．（14分）如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE 与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．2017年安徽省阜阳市初中名校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．1．（4分）（2016•南平）﹣3的倒数是（）A．3 B．﹣3 C．D．【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可．【解答】解：∵（﹣3）×（﹣）=1，∴﹣3的倒数是﹣．故选：D．【点评】本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数．2．（4分）（2010•安徽）计算（2x）3÷x的结果正确的是（）A．8x2B．6x2C．8x3D．6x3【分析】根据积的乘方等于各因式乘方的积和单项式的除法法则解答．【解答】解：（2x）3÷x=8x3÷x=8x2．故选A．【点评】本题主要考查积的乘方的性质，单项式的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．3．（4分）（2017•阜阳一模）下列几何体中，三视图有两个相同，另一个不同的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【分析】根据三视图的定义，可得答案．【解答】解：正方的三视图都是正方形，故①不符合题意；圆柱的主视图、左视图都是矩形，俯视图是圆，故②符合题意；圆锥的主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆形，故③符合题意；球的三视图都是圆，故④不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，利用三视图的意义是解题关键．4．（4分）（2017•阜阳一模）介于+1和之间的整数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由于1＜＜2，得到2＜+1＜3，根据3＜＜4，于是得到2＜+1＜＜4，于是得到结论．【解答】解：∵1＜＜2，∴2＜+1＜3，∵3＜＜4，∴2＜+1＜＜4，∴介于+1和之间的整数是3，故选B．【点评】本题考查了估算无理数的大小，难度不是很大．5．（4分）（2017•阜阳一模）今年元宵节，央视新闻频道以《正月十五闹元宵﹣安徽阜阳千万灯珠流光溢彩别样灯会闹元宵》为题，对阜阳生态园灯会进行实景直播．据不完全统计，当晚约有98000人次来阜阳生态园游园、赏灯．用科学记数法表示98000正确的是（）A．9.8×104B．9.8×105C．98×103D．9.8×10﹣4【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将98000用科学记数法表示为9.8×104．故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6．（4分）（2017•阜阳一模）阜阳某企业今年1月份产值为a万元，2月份比1月份减少了10%，预计3月份比2月份增加15%．则3月份的产值将达到（）A．（a﹣10%）（a+15%）万元B．（a﹣10%+15%）万元C．a（1﹣10%）（1+15%）万元D．a（1﹣10%+15%）万元【分析】根据题意可以列出相应的不等式表示3月份的产值，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，3月份的产值将达到：a（1﹣10%）（1+15%）（万元），故选C．【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．7．（4分）（2017•阜阳一模）已知x2﹣2x﹣3=0，则2x2﹣4x的值为（）A．6 B．﹣6 C．﹣2或6 D．﹣2或30【分析】原式提取2变形后，将已知等式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3=0，即x2﹣2x=3，∴原式=2（x2﹣2x）=6，故选A【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（4分）（2017•阜阳一模）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC 的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（）A．2 B． C．4 D．3【分析】连接AO并延长，交BC于D，连接OB，根据垂径定理得到BD=BC=3，根据等腰直角三角形的性质得到AD=BD=3，根据勾股定理计算即可．【解答】解：连接AO并延长，交BC于D，连接OB，∵AB=AC，∴AD⊥BC，∴BD=BC=3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AD=BD=3，∴OD=2，∴OB==，故选：B．【点评】本题考查的是垂径定理、等腰直角三角形的性质，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．9．（4分）（2017•阜阳一模）如图，在正六边形ABCDEF中，四边形BCEF的面积为30，则正六边形ABCDEF的面积为（）A．20B．40 C．20D．45【分析】连接AD交BF、CE与M、N，根据正多边形的性质求出∠FAB=120°，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：连接AD交BF、CE与M、N，∵正六边形ABCDEF，∴∠FAB=120°，∴∠FAM=60°，∴AM=AF，∴AM=EF，∴△FAB的面积=×四边形BCEF的面积=7.5，同理△EDC的面积=7.5，∴正六边形ABCDEF的面积=30+7.5+7.5=45，故选：D．【点评】本题考查的是正多边形与圆，掌握正多边形的性质、正多边形的中心角的求法是解题的关键．10．（4分）（2017•阜阳一模）如图，两个全等的等腰直角三角板（斜边长为2）如图放置，其中一块三角板45°角的顶点与另一块三角板ABC的直角顶点A重合．若三角板ABC固定，当另一个三角板绕点A旋转时，它的直角边和斜边所在的直线分别与边BC交于点E、F．设BF=x，CE=y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】由题意得∠B=∠C=45°，∠G=∠EAF=45°，推出△ACE∽△ABF，得到∠AEC=∠BAF，根据相似三角形的性质得到，于是得到结论．【解答】解：由题意得∠B=∠C=45°，∠G=∠EAF=45°，∵∠AFE=∠C+∠CAF=45°+∠CAF，∠CAE=45°+∠CAF，∴∠AFB=∠CAE，∴△ACE∽△ABF，∴∠AEC=∠BAF，∴△ABF∽△CAE，∴，又∵△ABC是等腰直角三角形，且BC=2，∴AB=AC=，又BF=x，CE=y，∴=，即xy=2，（1＜x＜2）．故选C．【点评】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，本题中求证△ABF∽△ACE是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）（2017•阜阳一模）因式分解：8m﹣2m3=2m（2﹣m）（2+m）．【分析】首先提取公因式2m，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：原式=2m（4﹣m2）=2m（2﹣m）（2+m）．故答案为：2m（2﹣m）（2+m）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．12．（5分）（2017•阜阳一模）+（2﹣π）0﹣sin60°= 4.5．【分析】原式利用二次根式性质，零指数幂，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=5+1﹣=6﹣1.5=4.5，故答案为：4.5．【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（5分）（2017•阜阳一模）若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b+k=﹣3．【分析】先把顶点式化为一般式得到y=x2﹣4x+4+k，然后把两个一般式比较可得到b=﹣4，4+k=5，于是求出k的值后可得到b+k的值．【解答】解：∵y=（x﹣2）2+k=x2﹣4x+4+k，∴b=﹣4，4+k=5，解得k=1，∴b+k=﹣4+1=﹣3．故答案为﹣3．【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；交点式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．14．（5分）（2017•阜阳一模）如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过点O 且EF⊥AC分别交DC于点F，交AB于点E，点G是AE中点且∠AOG=30°，给出以下结论：①∠AFC=120°；②△AEF是等边三角形；③AC=3OG；=S△ABC④S△AOG其中正确的是①②④．（把所有正确结论的序号都选上）【分析】由矩形的性质得出AB∥CD，∠B=90°，得出∠FCA=∠OAG，由线段垂直平分线的性质得出AF=CF，得出∠FAC=∠FCA，由直角三角形的性质得出OG=AE=AG，得出∠OAG=∠AOG=30°，求出∠FCA=∠FAC=30°，再由三角形内角和定理得出①正确；求出∠FAE=∠AEO=∠AFE=60°，得出△AEF是等边三角形，②正确；由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理得出OA=OE=OG，得出AC=2OA=2OG，③不正确；由中点的性质得出S△AOG=S△AOE，证明△AOE∽△ABC，得出=，得出S△AOG=S△ABC，④正确，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠B=90°，∴∠FCA=∠OAG，∵O为AC中点，EF⊥AC，∴AF=CF，∴∠FAC=∠FCA，∵点G是AE中点且∠AOG=30°，∴OG=AE=AG，∴∠OAG=∠AOG=30°，∴∠FCA=∠FAC=30°，∴∠AFC=180°﹣30°﹣30°=120°，①正确；∵∠FAE=30°+30°=60°，∠AEO=90°﹣30°=60°，∴∠AFE=60°，∴△AEF是等边三角形，②正确；∵∠OAG=30°，EF⊥AC，∴AE=2OE=2OG，∴OA=OE=OG，∴AC=2OA=2OG，③不正确；∵点G是AE中点，=S△AOE，∴S△AOG∵∠AOE=90°=∠B，∠OAE=∠BAC，∴△AOE∽△ABC，相似比为===，∴=（）=，=S△ABC，④正确；∴S△AOG故答案为：①②④．【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质、相似三角形的判定与性质以及三角形面积的计算；本题综合性强，有一定难度．三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）（2012•安徽）解方程：x2﹣2x=2x+1．【分析】先移项，把2x移到等号的左边，再合并同类项，最后配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．【解答】解：∵x2﹣2x=2x+1，∴x2﹣4x=1，∴x2﹣4x+4=1+4，（x﹣2）2=5，∴x﹣2=±，∴x1=2+，x2=2﹣．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．16．（8分）（2010•安徽）点P（1，a）在反比例函数y=的图象上，它关于y 轴的对称点在一次函数y=2x+4的图象上，求此反比例函数的解析式．【分析】先求出点P（1，a）关于y轴的对称点，代入y=2x+4，求出a的值，再把P点坐标代入y=即可求出k的值．【解答】解：点P（1，a）关于y轴的对称点是（﹣1，a），∵点（﹣1，a）在一次函数y=2x+4的图象上，∴a=2×（﹣1）+4=2，∵点P（1，2）在反比例函数y=的图象上，∴k=2，∴反比例函数的解析式为y=．【点评】此题结合对称，考查了用待定系数法求函数解析式，将坐标代入解析式即可求出k的值．四.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）（2011•安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2；（1）把△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；（2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．【分析】（1）把A、B、C三点先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到A1，B1，C1，顺次连接得到的各点即可；（2）延长OA1到A2，使0A2=20A1，同法得到其余各点，顺次连接即可．【解答】解：如图【点评】本题考查图形的平移变换及旋转变换；注意图形的变换，看关键点是变换即可．18．（8分）（2017•阜阳一模）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah．例如：三点坐标分别为A （1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20．根据所给定义解决下列问题：（1）若已知点D（1，2）、E（﹣2，1）、F（0，6），则这3点的“矩面积”=15．（2）若D（1，2）、E（﹣2，1）、F（0，t）三点的“矩面积”为18，求点F的坐标．【分析】（1）根据题目中的新定义可以求得相应的“矩面积”；（2）根据题意可以求得a的值，然后再对t进行讨论，即可求得t的值，从而可以求得点F的坐标．【解答】解：（1）由题意可得，∵点D（1，2）、E（﹣2，1）、F（0，6），∴a=1﹣（﹣2）=3，h=6﹣1=5，∴S=ah=3×5=15，故答案为：15；（2）由题意可得，“水平底”a=1﹣（﹣2）=3，当t＞2时，h=t﹣1，则3（t﹣1）=18，解得，t=7，故点F的坐标为（0，7）；当1≤t≤2时，h=2﹣1=1≠3，故此种情况不符合题意；当t＜1时，h=2﹣t，则3（2﹣t）=18，解得t=﹣4，故点F的坐标为（0，﹣4），所以，点F的坐标为（0，7）或（0，﹣4）．【点评】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）（2017•阜阳一模）位于合肥滨湖新区的渡江战役纪念馆，实物图如图1所示，示意图如图2所示．某学校数学兴趣小组通过测量得知，纪念馆外轮廓斜坡AB的坡度i=1：，底基BC=50m，∠ACB=135°，求馆顶A离地面BC的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】根据题干中给出的角，构造直角三角形．过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，设AD=x，用x表示出CD、BD，再根据坡度i=1：，列出等量关系式即可得解．【解答】解：如解图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D．∵∠ACB=135°，∴△ADC为等腰直角三角形，设AD=x，则CD=x，BD=50+x，∵斜坡AB的坡度i=1：，∴x：（50+x）=1：，整理得（﹣1）x=50，解得x=25（+1）≈68.3．答：馆顶A离地面BC的距离约为68.3 m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、理解坡度的概念是解题的关键．20．（10分）（2017•阜阳一模）2017年中考，阜阳市某区计划在4月中旬的某个周二至周四这3天进行理化加试．王老师和朱老师都将被邀请当监考老师，王老师随机选择2天，朱老师随机选择1天当监考老师．（1）求王老师选择周二、周三这两天的概率是多少？（2）求王老师和朱老师两人同一天监考理化加试的概率．【分析】（1）用列举法得到王老师选择周二、周三这两天的情况数，由概率公式计算即可；（2）用画树状图法，分别列出所有等可能出现的结果数，以及所求事件发生的结果数，然后用概率公式P=计算即可．【解答】解：（1）王老师选择的时间有以下3种可能：（2，3），（2，4），（3，4），所以王老师选择周二，周三的概率是；（2）由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中他们能同天监考的结果有6种，∴他们同天监考的概率是=．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．四.解答题21．（12分）（2017•阜阳一模）如图所示，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，OE∥BD，交BC于点F，交AB于点E．（1）求证：∠E=∠C；（2）若⊙O的半径为3，AD=2，试求AE的长；（3）求△ABC的面积．【分析】（1）连接OB．先证明∠ABO、∠CBD均为直角，然后依据同角的余角相等证明∠ABD=∠CBO，接下来，结合等腰三角形的性质和平行线的性质进行证明即可；（2）连接OB，先求得AB的长，然后由平行线分线段成比例定理求得BE的长，最后再△BOE中依据勾股定理可求得OE的长；（3）根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）证明：如图1：连接OB．∵CD为圆O的直径，∴∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°．∵AE是圆O的切线，∴∠ABO=∠ABD+∠OBD=90°．∴∠ABD=∠CBO．∵OB=OC，∴∠C=∠CBO．∴∠C=∠ABD．∵OE∥BD，∴∠E=∠ABD．∴∠E=∠C；（2）解：∵⊙O的半径为3，AD=2，∴AO=5，∴AB=4．∵BD∥OE，∴BE=OD，∴BE=3，∴BE=6，AE=6+4=10；（3）∵S=AE•OB=15，△AOE∵∠C=∠E，∠A=∠A，∴△AOE∽△ABC，∴=（）2=，=15×=．∴S△ABC【点评】本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理的应用、等腰三角形的性质、平行线的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理的应用，求得BE的长是解答本题的关键．22．（12分）（2017•阜阳一模）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．王宏按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+400．（1）王宏在开始创业的第一个月将销售单价定为18元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设王宏获得的利润为W（元），当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？（3）若物价部门规定，这种节能灯销售单价不得高于24元．如果王宏想要每月获得的利润不低于2000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？【分析】（1）求出销售量，根据政府每件补贴2元，即可解决问题．（2）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．（3）根据条件确定出自变量的取值范围，求出y的最小值即可解决问题．【解答】解：（1）当x=18时，y=﹣10x+400=﹣10×18+400=220，220×（12﹣10）=220×2=440元．即政府这个月为他承担的总差价为440元．（2）依题意得，w=（x﹣10）（﹣10x+400）=﹣10x2+500x﹣4000=﹣10（x﹣25）2+2250∵a=﹣10＜0，∴当x=25时，w有最大值2250元．即当销售单价定为25元时，每月可获得最大利润2250元．（3）由题意得：﹣10x2+500x﹣4000=2000，解得：x1=20，x2=30．∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，当20≤x≤30时，2250≥w≥2000．又∵x≤24，∴当20≤x≤24时，w≥2000．∴当x=24时，政府每个月为他承担的总差价最小，y=﹣24×10+400=160，160×2=320，∴政府每个月为他承担的总差价最小值320元．即销售单价定为24元时，政府每个月为他承担的总差价最少为320元．【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、利润、销售量、单价之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决最值问题，学会利用一次函数的增减性，解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．23．（14分）（2016•丹东）如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE 与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质易证△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再根据三角形中位线定理即可得到PM=PN，由平行线的性质可得PM⊥PN；（2）（1）中的结论仍旧成立，由（1）中的证明思路即可证明；（3）PM=kPN，由已知条件可证明△BCD∽△ACE，所以可得BD=kAE，因为点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，所以PM=BD，PN=AE，进而可证明PM=kPN．【解答】解：（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，∴PM=BD，PN=AE，∴PM=PM，∵PM∥BD，PN∥AE，AE⊥BD，∴∠NPD=∠EAC，∠MPA=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，∴∠MPA+∠NPC=90°，∴∠MPN=90°，即PM⊥PN；（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∴△ACE≌△BCD．∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．又∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD，∴∠BHO=∠ACO=90°．∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，∴PM=BD，PM∥BD；PN=AE，PN∥AE．∴PM=PN．∴∠MGE+∠BHA=180°．∴∠MGE=90°．∴∠MPN=90°．∴PM⊥PN．（3）PM=kPN∵△ACB和△ECD是直角三角形，∴∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∵BC=kAC，CD=kCE，∴=k．∴△BCD∽△ACE．∴BD=kAE．∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，∴PM=BD，PN=AE．∴PM=kPN．【点评】本题考查的是几何变换综合题，熟知等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定和性质和三角形中位线定理的运用，熟记和三角形有关的各种性质定理是解答此题的关键．。