2018北京市东城区初三二模数学试卷(含答案)

数学试卷 第1页（共18页）东城区2017-2018学年度第二学期初三年级统一测试（二）数 学 试 卷2018.5学校______________班级______________姓名_____________考号____________考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分.考试时间120分钟.2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和考号.3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5．考试结束，将本试卷、答题卡一并交回.一、选择题(本题共16分，每小题2分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1. 长江经济带覆盖上海、江苏、浙江、安徽、江西、湖北、湖南、重庆、四川、云南、贵州等11省市，面积约2 050 000平方公里，约占全国面积的21% .将2 050 000用科学记数法表示应为 A. 205万B.C.D. 420510⨯62.0510⨯72.0510⨯2. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过xOy 31y x =+A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限3. 在圆锥、圆柱、球、正方体这四个几何体中，主视图不可能是多边形的是A. 圆锥B. 圆柱C. 球D. 正方体4. 七年级1班甲、乙两个小组的14名同学身高（单位：厘米）如下：甲组158159160160160161169乙组158159160161161163165以下叙述错误的是数学试卷 第2页（共18页）A. 甲组同学身高的众数是160B. 乙组同学身高的中位数是161C. 甲组同学身高的平均数是161D. 两组相比，乙组同学身高的方差大5. 在平面直角坐标系中，若点在内，则的半径的取值范围是xOy ()3,4P O O r A. B. C. D. 0r ＜＜3r ＞40r ＜＜5r ＞56. 如果，那么代数式的值是23510a a +-=()()()5323+232a a a a +-- A. 6B. 2C. - 2D. - 67. 在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD 平分∠BAC 的是A. 图2B. 图1与图2C. 图1与图3D. 图2与图38. 有一圆形苗圃如图1所示，中间有两条交叉过道AB ，CD ，它们为苗圃O e 的直径，且AB ⊥CD . 入口K 位于»AD 中点，园丁在苗圃圆周或两条交叉过道上匀速行进.设该园丁行进的时间为x ，与入口K 的距离为y ，表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则该园丁行进的路线可能是A. A →O →DB. C→A→O → BC. D →O →CD. O→D→B→C二、填空题(本题共16分，每小题2分)数学试卷 第3页（共18页）9．若分式的值为正，则实数的取值范围是__________________.22xx +x 10．在平面直角坐标系中，点P 到轴的距离为1，到轴的距离为2.写出一个符xOy x y 合条件的点P 的坐标________________.11. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =8. O e 是△ABC 的外接圆，其半径为5. 若点A 在优弧BC 上，则的值为_____________.tan ABC ∠ 第11题图第15题图12. 抛物线（为非零实数）的顶点坐标为_____________.221y mx mx =++m 13．自2008年9月南水北调中线京石段应急供水工程通水以来，截至2018年5月8日5时52分，北京市累计接收河北四库来水和丹江口水库来水达50亿立方米. 已知丹江口水库来水量比河北四库来水量的2倍多1.82亿立方米，求河北四库来水量. 设河北四库来水量为x 亿立方米，依题意，可列一元一次方程为_________ . 14. 每年农历五月初五为端午节，中国民间历来有端午节吃粽子、赛龙舟的习俗．某班同学为了更好地了解某社区居民对鲜肉粽、豆沙粽、小枣粽、蛋黄粽的喜爱情况，对该社区居民进行了随机抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．数学试卷 第4页（共18页）分析图中信息，本次抽样调查中喜爱小枣粽的人数为 ；若该社区有10 000人，估计爱吃鲜肉粽的人数约为.15. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、 轴上， .xOy A P x y 30APO ∠=︒先将线段沿轴翻折得到线段，再将线段绕点顺时针旋转30°得到PA y PB PA P 线段，连接. 若点的坐标为 ，则线段的长为 .PC BC A ()1,0-BC 16. 阅读下列材料：数学课上老师布置一道作图题：小东的作法如下：数学试卷 第5页（共18页）老师说：“小东的作法是正确的.”请回答：小东的作图依据是.三、解答题(本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27，每小题7分，第28题8分)17．计算：()332sin 60+2--︒-18． 解不等式 ，并把它的解集表示在数轴上.()()41223x x ---＞19. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于Rt ABC △90C ∠=︒AB AC D AB 点.E (1)求证：;ADEABC △≌△(2)当，时，求的长.8AC =6BC =DE 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.x 2610kx x -+=数学试卷 第6页（共18页）(1)求实数的取值范围；k (2)写出满足条件的的最大整数值，并求此时方程的根. k21．如图，在菱形ABCD 中，，点E 在对角线BD 上. 将线段CE 绕点C 顺BAD α∠=时针旋转，得到CF ，连接DF . α（1）求证：BE =DF ；（2）连接AC ，若EB =EC，求证：.AC CF ⊥22. 已知函数的图象与函数的图象交于点.1y x=()0y kx k =≠(),P m n （1）若，求的值和点P 的坐标；2m n =k （2）当时，结合函数图象，直接写出实数的取值范围.m n ≤k 23． 如图，AB 为的直径，直线于点.点C 在上，分别连接，O BM AB ⊥B O BC ，且的延长线交于点.为的切线交于点F .AC AC BM D CF O BM （1）求证：；CF DF =（2）连接. 若，，OF 10AB =6BC =求线段的长.OF24．十八大报告首次提出建设生态文明，建设美丽中国. 十九大报告再次明确，到2035年美丽中国目标基本实现.森林是人类生存发展的重要生态保障，提高森林的数量和质量对生态文明建设非常关键.截止到2013年，我国已经进行了八次森林资源清查，其中全国和北京的森林面积和森林覆盖率情况如下：表1全国森林面积和森林覆盖率表2(1) 从第________次清查开始，北京的森林覆盖率超过全国的森林覆盖率；(2) 补全以下北京森林覆盖率折线统计图，并在图中标明相应数据；数学试卷第7页（共18页）数学试卷 第8页（共18页）(3) 第八次清查的全国森林面积20768.73（万公顷）记为a ，全国森林覆盖率21.63%记为b ，到2018年第九次森林资源清查时，如果全国森林覆盖率达到27.15%，那么全国森林面积可以达到________万公顷（用含a 和b 的式子表示）.25. 小强的妈妈想在自家的院子里用竹篱笆围一个面积为4平方米的矩形小花园，妈妈问九年级的小强至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝）.小强根据他学习函数的经验做了如下的探究. 下面是小强的探究过程，请补充完整：建立函数模型：设矩形小花园的一边长为米，篱笆长为米.则关于的函数表达式为;x y y x 列表（相关数据保留一位小数）：根据函数的表达式，得到了与的几组值，如下表：xy描点、画函数图象：如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，数学试卷 第9页（共18页）根据描出的点画出该函数的图象；观察分析、得出结论：根据以上信息可得，当=时，有最小值.x y 由此，小强确定篱笆长至少为米.26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线经过点和点()230y ax bx a =+-≠()1,0A -．()45B ，（1）求该抛物线的表达式；（2）求直线关于轴的对称直线的表达式；AB x （3）点P 是x 轴上的动点，过点P 作垂直于x 轴的直线l ，直线l 与该抛物线交于点，与直线交于点．当时，求点P 的横坐标的取值M AB N PM PN ＜P x 范围．27. 如图所示，点P 位于等边的内部，且ABC △∠ACP =∠CBP ．(1) ∠BPC 的度数为________°；(2) 延长BP 至点D ，使得PD =PC ，连接AD ，CD ．①依题意，补全图形；②证明：AD +CD =BD ；数学试卷 第10页（共18页）(3) 在(2)的条件下，若BD 的长为2，求四边形ABCD 的面积．28. 研究发现，抛物线上的点到点F (0，1)的距离与到直线l ：的距离相214y x =1y =-等.如图1所示，若点P 是抛物线上任意一点，PH ⊥l 于点H ，则214y x =PH PF =.基于上述发现，对于平面直角坐标系x O y 中的点M ，记点到点的距离与点到M P P 点的距离之和的最小值为d ，称d 为点M 关于抛物线的关联距离；当F 214y x =时，称点M 为抛物线的关联点.24d ≤≤214y x=（1）在点，，，中，抛物线的关联点1(20)M ，2(12)M ，3(45)M ，4(04)M -，214y x =是______ ；（2）如图2，在矩形ABCD 中，点，点C ( t .(1)A t ，(13)A t +，①若t =4，点M 在矩形ABCD 上，求点M 关于抛物线的关联距离d 的取214y x =值范围；②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线的关联点，则t 的取值范围是214y x =__________.东城区2017-2018学年度第二学期初三年级统一测试（二）数学试卷 第11页（共18页）数学试题卷参考答案及评分标准 2018.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678答案C A C D D A C B二、填空题（本题共16分，每小题 2分）9.10. （写出一个即可） 11. 2 x ＞0()()()()21212121--，，，-，，，，-12. 13. 14. 120 ；3 000 15.()1,1m --()2 1.8250xx ++=16. 三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线；内错角相等两直线平行.三、解答题（本题共68分，17-24题，每题5分，第25题6分，26-27题，每小题7分，第28题8分）--------------------------------------------------------------------4=3-217.解：原式分 --------------------------------------------------------------------------------------------------5分18. 解：移项，得 ，()1213x -＜去分母，得 ，23x -＜移项，得.x ＜5∴不等式组的解集为. --------------------------------------------------------------------3分x ＜5--------------------------------5分19. 证明：（1） ∵垂直平分,DE AB ∴ .90AED ∠=︒∴.AED C ∠=∠∵，A A ∠=∠∴.--------------------------------------------------------------------2分ADE ABC △∽△(2) 中，，，ABC Rt △8AC =6BC =数学试卷 第12页（共18页）∴.10AB =∵平分，DE AB ∴.5AE =∵，ADE ABC △∽△∴ .DE AE BC AC=∴ .568DE = ∴ . ---------------------------------------------------------------------5分 154DE =20. 解：（1） 依题意，得()20,640k k ≠⎧⎪⎨∆=--⎪⎩＞，解得. ----------------------------------------------------------------------2分k k≠＜9且0 (2) ∵是小于9的最大整数，k ∴=8k .此时的方程为.28610x x -+=解得，. ---------------------------------------------------------------------5分 11=2x 21=4x21 . (1) 证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴，.=BC DC BAD BCD α==∠∠∵，ECF α=∠∴ .BCD ECF ∠=∠∴.=BCE DCF ∠∠∵线段由线段绕点顺时针旋转得到，CF CE C ∴.=CE CF 在和中，BEC △DFC △BC DC BCE DCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴≌.BEC △()SAS DFC △∴ ----------------------------------------------------------------------2分=.BE DF数学试卷 第13页（共18页）(2) 解：∵四边形ABCD 是菱形，∴，.ACB ACD ∠=∠AC BD ⊥∴.+90ACB EBC ∠=︒∠∵，=EB EC ∴.=EBC BCE ∠∠由（1）可知，∵，=EBC DCF ∠∠∴.+90DCF ACD EBC ACB ∠=∠+∠=︒∠∴.90ACF =︒∠∴. ---------------------------------------------------------------------5分AC CF ⊥22. 解：（1），，或;---------------------------3分12k=PP ⎛ ⎝(2) . ---------------------------------------------------------------------5分1k ≥23. （1）证明：∵是的直径，AB O ∴.90ACB ∠=︒∴.90DCB ∠=︒∴.90CDB FBC ∠+∠=︒∵ 是的直径，，AB O MB AB ⊥∴MB 是的切线.O ∵是的切线，CF O ∴.FC FB =∴.=FCB FBC ∠∠∵ ,90FCB DCF ∠+∠=︒∴.=CDB DCF ∠∠ ∴. ---------------------------------------------------------------------3分=CF DF （2）由（1）可知，是直角三角形，在中，，，ABC △Rt ABC △=10AB =6BC 根据勾股定理求得.=8AC 在和中，Rt ABC △Rt ADB △数学试卷 第14页（共18页）A A ACB ABD ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，，∴∽.Rt ABC △Rt ADB △∴.AB AC AD AB=∴ .10810AD =∴.252AD =由（1）知，∵，，=CF DF =CF BF ∴.=DF BF ∵，=AO BO ∴ 是的中位线.OF ADB △∴---------------------------------------------------------------------5分 125.24OF AD ==24. 解：(1)四； ---------------------------------------------------------------------1分（2）如图： ---------------------------------------------------------------------3分数学试卷 第15页（共18页）（3）.------------------------------------------------------5分 5432000a b25. 解：；----------------------------------------------1分 42y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；--------------------------------------------------------3分810， 如图； ----------------------------------------------------------4分.-----------------------------------------------------------5分 28，26. 解：（1）把点和分别代入，(10)-，(45)，23(0)y ax bx a =+-≠得 0--35164-3a b a b =⎧⎨=+⎩，，解得．12a b ==-，∴抛物线的表达式为． -----------------------------------------------------------223y x x =----2分（2）设点关于轴的对称点为，()45B ，x B '则点的坐标为.B '()45，-∴直线AB 关于轴的对称直线为直线.x AB '设直线的表达式为，AB 'y mx n =+把点和分别代入，(10)-，(45)-，y mx n =+得054m n m n =-+⎧⎨-=+⎩，，解得．11m n =-=-，∴直线的表达式为．AB '1y x =--数学试卷 第16页（共18页）即直线AB 关于轴的对称直线的表达式为. --------------------------------------4x 1y x =--分（3）如图，直线与抛物线交于点.AB '223y x x =--C 设直线与直线的交点为，l AB 'N '则 ．'PN PN =∵，PM PN <∴.'PM PN <∴点在线段上（不含端点）．M 'NN ∴点在抛物线夹在点与点之间M 223y x x =--C B 的部分上．联立与，223y x x =--1y x =--可求得点的横坐标为2．C 又点的横坐标为4，B ∴点的横坐标的取值范围为． -------------------------------------------------P P x 24P x <<-7分27. 解：(1)120°. ---------------------------------------------------2分(2)①∵如图1所示.②在等边中，，ABC △60ACB ∠=︒∴60.ACP BCP ∠+∠=︒∵=ACP CBP ∠∠，∴60.CBP BCP ∠+∠=︒∴()180120.BPC CBP BCP ∠=︒-∠+∠=︒∴18060.CPD BPC ∠=︒-∠=︒∵=PD PC ，∴为等边三角形.CDP △数学试卷 第17页（共18页）∵60ACD ACP ACP BCP ∠+∠=∠+∠=︒，∴.ACD BCP ∠=∠在和中，ACD △BCP △AC BC ACD BCP CD CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴.()SAS ACD BCP △≌△∴.AD BP =∴-----------------------------------------------------------------4分.AD CD BP PD BD +=+=（3）如图2，作于点，延长线于点.BM AD ⊥M BN DC ⊥N ∵=60ADB ADC PDC ∠∠-∠=︒，∴=60.ADB CDB ∠∠=︒∴=60.ADB CDB ∠∠=︒∴=BM BN BD ==又由（2）得， =2AD CD BD +=，ABD BCD ABCD S S S ∴△△四边形=+1122AD BM CD BN =+)AD CD =+--------------------------------------------------2==--------7分28. (1) -----------------------------------------------------------------2分12M M ，；（2）①当时，，，，，4t =()41A ，()51B ，()53C ，()43D ， 此时矩形上的所有点都在抛物线的下方，ABCD 214y x =∴.d MF =数学试卷 第18页（共18页）∴.AF d CF ≤≤∵=4AF CF ，， ∴---------------------------------------------------------------------------------- 5d 4≤≤分②------------------------------------------------------------------------81.t -2分。