与直角三角形有关折叠问题
折叠问题与直角三角形学案[1]
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AB特殊三角形专题复习之----折叠问题与直角三角形 学案一、巧设情境，设疑引入【动动手，动动脑】：如图，折叠直角三角形纸片，使点C 落在AB 上的点E 处．折痕为AD 。
(1)你能找出其中全等的三角形吗？(2)图中有哪些相等的角和相等的线段？(3) 折叠重合的两部分图形关于哪条直线成轴对称？二、走近中考，归类探究【归类一】：求角的度数例1：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平，再次折叠纸片，使A 点落在折痕EF 上的N点处，并使折痕经过点B 得到折痕BM ，同时得到线段BN ，则∠NBC=_______.体验感悟：（1）如图（1）：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,∠A<∠B,M 是斜边的中点，将三角形ACM 沿CM 折叠，点A 落在点D 处，若CD 恰好与AB 垂直，则∠A=___________．（2）如图（2），CD 是Rt △ABC 斜边上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A=___________．（图1）（图2）【归类二】:求线段的长度 例2：如图，折叠直角三角形纸片，使点C 落在AB 上的点E 处．已知BC=12，∠B=30°，∠C=90°，则DE 的长是（ ）A 6B 4C 3D 2例3：如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，现将它折叠，使点C 与点B 重合，求CD 的长。
体验感悟：如图，把一张长8,宽4的长方形纸片折叠,折叠后使相对的两个点A 、C 重合,点D 落在D ′，折痕为EF,求:重合部分的面积.三、深化反思，总结提炼折叠问题一二一：一个本质+两项归类+一种思想四、检验成果，当堂检测1.有一条两边平行的宽纸带，按如图所示的方式折叠，则∠1的度数为_________。
2.如图，折叠直角三角形纸片，使点C 落在AB 上的E 处．已知∠B=30°,∠C=90°，则∠1=__________,∠5=____________.3.如图，矩形ABCD 的长AD=9cm ，宽AB=3cm ，将它折 叠，使点D 与点B 重合，折叠后DE 的长为_________.4.直角三角形纸片ABC ，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，折叠△ABC 的一角，使点B 与点A 重合，展开得折痕DE ，求BD 的长．B E F D ′30°A B 第1题图第2题图 第3题图。
七年级折叠问题解题技巧
七年级折叠问题解题技巧一、折叠问题中的基本性质与关系1. 折叠性质在折叠过程中，折叠前后的图形全等。
这意味着对应边相等，对应角相等。
例如，将一个三角形沿着某条直线折叠，折叠后的三角形与原三角形的对应边长度不变，对应角的大小也不变。
折痕是对应点连线的垂直平分线。
比如将矩形ABCD沿着EF折叠，使得点A与点C重合，那么EF就是AC的垂直平分线。
2. 常见的几何图形中的折叠三角形折叠例1：在△ABC中，∠C = 90°，将△ABC沿着直线DE折叠，使点A与点B 重合，若AC = 6，BC = 8，求折痕DE的长。
解析：因为点A与点B重合，所以DE是AB的垂直平分线。
先根据勾股定理求出AB=公式。
设AB中点为F，则AF=公式。
由于△ADE和△BDE全等，所以AD = BD。
设BD = x，则AD = x，CD = 8 x。
在Rt△ACD中，根据勾股定理公式，即公式，解得公式。
再根据相似三角形，△ADE∽△ABC，公式，即公式，解得DE=公式。
矩形折叠例2：矩形ABCD中，AB = 3，BC = 4，将矩形沿对角线AC折叠，求重叠部分（△AEC）的面积。
解析：因为矩形沿对角线AC折叠，所以△ADC≌△AEC。
设AE = x，则BE = 4 x。
在Rt△ABE中，根据勾股定理公式，即公式，解得公式。
所以公式。
二、解题步骤与技巧1. 步骤第一步：根据折叠性质确定相等的边和角。
这是解决折叠问题的基础，只有明确了这些关系，才能进一步进行计算。
第二步：设未知数。
通常根据所求的量或者与所求量相关的线段设未知数，然后利用勾股定理、相似三角形等知识建立方程。
第三步：求解方程。
通过解方程得到未知数的值，从而求出最终答案。
2. 技巧利用勾股定理在直角三角形中，折叠后常常会形成新的直角三角形，此时可以利用勾股定理建立方程求解。
如上述矩形折叠的例子中，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长度。
利用相似三角形当折叠后的图形与原图形存在相似关系时，利用相似三角形的对应边成比例来求解。
第2章 三角形折叠问题专题练习（答案）
三角形折叠问题专题练习一、选择题1．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC 边上的点E处，如果∠A＝26°，那么∠CDE度数为（）A．71°B．64°C．80°D．45°【答案】A2．将一张正方形纸片，按如图所示步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（）【答案】B3．将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）【答案】A4．学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星．如果想得到一个正五角星(如图④)，那垂直A．B．C．D．A．126°B．108°C．100°D．90°【答案】A5．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，将其折叠，使点A落在边CB上的点A′处，折痕为CD，则∠A′DB等于（）A．40°B．30°C．20°D．10°【答案】C6．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果＝6，那么线段BE的长度为（）．6 B．6 2 C．2 3 D．32【答案】D【解析】根据折叠的性质知，CD＝ED，∠CDA＝∠ADE＝45°，∴∠CDE＝∠BDE＝90°，∵BD＝CD，BC＝6，∴BD＝ED＝3，即△EDB是等腰直角三角形，∴BE＝2BD＝2×3＝32，故选D．7．如图，把等腰直角△ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处．下面结论错误的是（）A．AB＝BE B．AD＝DC C．AD＝DE D．AD＝EC【答案】B【解析】由折叠知△BAD≌△BED，∴AB＝BE，AD＝DE．ABC是等腰直角三角形，∴∠C＝45°．DEC＝90°，∴∠EDC＝∠C＝45°，∴DE＝EC，∴AD＝EC．∵CD＞DE，∴CD＞AD，故选B．8．如图所示，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D9． 有一张直角三角形纸片，两直角边长AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE (如图)，则CD 等于（ ）A ．254cmB ．223cmC ．74cmD ．53cm【答案】C【解析】设CD ＝x cm ，则AD ＝BD ＝(8－x )cm ，又AC ＝6 cm ，在Rt △ACD 中，根据勾股定理，得62＋x 2＝(8－x )2，∴x ＝74．二、填空题10．把一张纸按图中那样折叠后，若得到∠AOB ′＝70°，则∠BOG ＝__________．【答案】55°11．如图所示，将△ABC 沿着DE 翻折，B 点落到了B'点处．若∠1＋∠2＝80°，则∠B'＝__________．【答案】40°【解析】由外角定理可得∠1＋∠2＝2∠B'，∴∠B'＝40°．12．如图所示，已知等边三角形纸片ABC ，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC ，则∠EFD ＝__________．【答案】45°【解析】由翻折的性质可知∠AFE ＝∠EFD ．∵△ABC 为等边三角形，∴∠B ＝60°，∠C ＝60°，∠A ＝∠EDF ＝60°． ∵ED ⊥BC ，∴△EDC 为直角三角形．∴∠FDB ＝30°．∴∠AFE ＋∠EFD ＝60°＋30°＝90°． ∴∠EFD ＝45°．13．如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，沿直线MN 折叠，使点A 与点B 重合，折痕MN 与AC 交于点D ，已知∠DBC ＝15°，则∠A 的度数是__________．【答案】50°14．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将边BC 沿斜边上的中线CD 折叠到CB ′，如果∠B ＝50°，那么∠ACB ′＝__________．【答案】10°15．如图所示，把△ABC 沿EF 翻折，折叠后的图形如图所示．如果∠A ＝60°，∠1＝95°，那么∠2＝__________．【答案】25°【解析】∵把△ABC 沿EF 翻折， ∴∠BEF ＝∠B ′EF ，∠CFE ＝∠C ′FE ． ∴180°－∠AEF ＝∠1＋∠AEF ， 180°－∠AFE ＝∠2＋∠AFE ．∵∠1＝95°，∴∠AEF ＝12×(180°－95°)＝42.5°．∴∠AFE ＝180°－60°－42.5°＝77.5°． ∴180°－77.5°＝∠2＋77.5°．∴∠2＝25°．16．如图所示，已知△ABC 中，DE ∥BC ，将△ADE 沿DE 翻折，点A 落在平面内的点A ′处，若∠B ＝50°，则∠BDA ′的度数是__________．【答案】80°【解析】∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝50°．∵∠ADE＝∠A′DE，∴∠A′DA＝2∠B．∴∠BDA′＝180°－2∠B＝80°．17．如图所示，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE＝__________．【答案】15°18．如图，△ABC中，D是边AB上的一点，过D作DE∥BC交边AC于点E，过点A作关于直线DE的对称点A'，连结A'D交AC于点O，A'D与AC互相平分．若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为__________．A'OEDCBA【答案】1819．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于__________．【答案】30°【解析】由题意得，BC＝BD＝AD，∴在Rt△ABC中，BC＝12AB，∴∠A＝30°．20．如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过点D的直线折叠，使点A落在BC边上的F处，若∠B＝50°，则∠BDF＝__________．【答案】80°【解析】由折叠得AD＝DF，又AD＝BD，∴BD＝DF，又∠B＝50°，∴∠BDF＝180°－50°×2＝80°．．如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，AB＝a．将△ABO沿BO对折于△A′BO，M为BC上一动点，则A′M的最小值为__________．【答案】6－24a22．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为__________cm．A'CABDE【答案】3【解析】折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，所以AD＝A'D，AE＝A'E，则阴影部分图形的周长等于BC＋BD＋CE＋A'D＋A'E＝BC＋BD＋CE＋AD＋AE＝BC＋AB＋AC＝3cm．45︒60︒A′BMAODC。
勾股定理解析折叠问题含详细的答案
探究五
如图,矩形纸片ABCD中,AB=6cm,AD=10cm，
点E、F仍在矩形ABCD的边AB 、AD上，仍将 △AEF沿EF折叠，使点A′在BC边上, 当折痕EF 移动时，点A′在BC边上也随之移动。则A′C 的范围为 4≤A′C≤8
分析：根据点E、F分别在 AB、AD上移动，可画出两 个极端位置时的图形。
=EF＋EC=8，A
D
B F A2 F A2 B12 0 8 2 6
FC=BC-BF=10-6=4
设EC=x ,则EF=DC－EC=(8－x)
在Rt△EFC中，根据勾股定理得
EC²=FC²=EF²
B
即x²＋4²=（8－x）²，x=3，
∴EC的长为3cm。
精选课件
F
图2
E
C
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探究二
如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，
FD
B
C
精选课件
E
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在BC上找一点F，沿DF折叠矩形ABCD，使C点 落在对角线BD上的点E处，此时折痕DF的长是 多少？
精选课件
6
精选课件
7
发挥你的想象力
❖ 长方形还可以怎样折叠，要求折叠 一次，给出两个已知条件，提出问题， 并解答问题。
E
A
E
DD
CA
D
F
B F
C
C
A
B
B
E FC
精选课件
8
课堂小结
❖ 1、标已知； ❖ 2、找相等； ❖ 3、设未知，利用勾股定理，列方程； ❖ 4、解方程，得解。
折叠问题涉及6种题型梳理
折叠问题涉及6种题型梳理一、问题导读折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。
折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。
这类问题的解法思路，常常会困扰同学们，同样是翻折类题目，条件不一样，问题不一样，用到的知识和方法也不尽相同，今天我们就一起来探究一下，遇到这类题目，如何找到突破口，如何用我们已经掌握的知识和方法来解答，继而发现这类问题特有的解题思维模式。
二、典例精析类型1 直角三角形的翻折或翻折后产生直角三角形的问题例1．（2018秋昌平区期末）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC 折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）【分析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，根据中点的定义可得BD＝3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．【解答】设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD＝3，在Rt△NBD中，x +3 ＝（9﹣x），解得x＝4．即BN＝4．故选：A．例1变式1．（2018秋平度市期中）如图，在Rt△ABC中，直角边AC＝6，BC＝8，将△ABC按如图方式折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）A．25/4 B．22/3 C．7/4 D．5/3【解析】由题意得DB＝AD；设CD＝x，则AD＝DB＝（8﹣x），∵∠C＝90°，∴AD﹣CD＝AC ,（8﹣x）﹣x＝36，解得x＝7/4；即CD＝7/4．故选：C．例1变式2．（2018秋瑞安市期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为BC 上一点，将△ABE沿AE折叠得到△AEF，点H为CD上一点，将△CEH沿EH折叠得到△EH G，且F落在线段E G上，当G F＝G H时，则BE的长为_____．【解析】由折叠可得∠AEH＝1/2∠BEC＝90°，进而得出Rt△AEH中，AE+EH2 ＝AH，设BE＝x，则EF＝x，CE＝6﹣x＝E G，再根据勾股定理，即可得到方程x+4 +（6﹣x）+（6﹣2x）＝（2x﹣2）+6 ，解该一元二次方程，即可得到BE的长．BE的长为2．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程的综合运用，解决问题的关键是连接AH构造直角三角形AEH，这种折叠问题常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．方法策略模式：在折叠后产生的直角三角形中，把某条边设成未知数根据勾股定理列方程求解。
直角三角形的折叠问题评课稿
听了王老师执教的《直角三角形的折叠问题》，给人的感觉是“暗香浮动，回味久远”下面我就从三个方面来谈谈我的拙见。
一、低起点，高落点在本节课中王老师先采用原题再现，通过以点带面的方式回顾了三角形全等判定的知识，并用一题多解的形式巩固了三角形全等的知识以及角平分线性质、勾股定理、三角形相似等知识。
王老师这节课非常注重基础知识，注重思维过程，注重解题步骤的规范性。
比如证明△ACD≌△AED，对九年级学生来说是不难的，王老师通过投影学生的解题过程，师生共同点评解题步骤。
可见王老师对基础知识的重视。
在巩固基础知识的过程中提高学生的解题能力与解题技巧。
王老师还采用联想法将∠BAC的平分线联想成图形折叠问题中的折痕。
把△ACD≌△AED转化为△ACD和△AED以AD为轴的轴对称图形，这种联想方式，转化的思想让学生体会到题与题之间不再是孤立的，达到触类旁通的'效果。
这节课还在王老师的问题的引领下，直角折叠，30°角折叠，锐角∠B折叠，使B’D∥AB。
经历了从原题的特殊到一般到特殊，再回到最后小题的特殊，以及解题过中程方程思想、转化思想一直贯穿整节课。
整节课以“问题”引路，用“思想”掌舵，起点低而落点高。
二、深挖掘，时提炼不仅如此，王老师还及时提炼总结，不但提炼出基本图形，图形中折叠问题重视边的转化，角的转化，更难能可贵的是还提炼出研究几何图形的四大视角，即边、角、内部、整体着四大视角。
确实让人眼前一亮，大有豁然开朗的感觉。
只有老师站得高，看得远，才能让学生走得好、走得远。
三、巧提问，促生成一节的成功与否和老师的精心预设，巧妙提问是分不开的。
“问题是数学的心脏”。
王老师这节课的问题指向明确，针对性强，如原题的第（1）王老师学生完成证明的基础上继续提问：“你能得到其他结论吗？”、“由三角形相似可以得到那些结论？”、看到直角三角形你想到什么？并在解决这些问题的基础上总结出四大视角。
让不同层次的学生都能获得成功的喜悦，得到不同程度的发展。
中考数学折叠问题专项突破4--折叠中直角三角形存在性问题
中考数学折叠问题专项突破4--折叠中直角三角形存在性问题模块四 图形折叠中的直角三角形存在性问题【典例1】如图例3-1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，BC =3，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 边于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为图例3-1图例3-2图例3-3【解析】从题目所给的“当△AEF 为直角三角形时”条件出发，以直角顶点所在位置进行分类讨论. 通过观察及分析可知∠BED =∠DEF =60°，所以∠AEF =180－120°=60°. 即点E 不可能为直角顶点. 分两种情况考虑：①当∠EAF =90°时，如图例3-2所示.∵∠B =30°，BC =3，∴30AC tan BC =︒⨯=⨯2AB AC =，∵∠EAF =90°∴∠AFC =60°，∠CAF =30°在Rt △ACF 中，有：cos AF AC CAF =÷∠÷，24BF AF == 由折叠性质可得：∠B =∠DFE =30°，122BD DF BF === ②当∠AFE =90°时，如图例3-3所示.由折叠性质得：∠B =∠DFE =30°，122BD DF BF ===∴∠AFC =60°，∠F AC =30°∴tan 1CF FAC AC =∠⨯==，所以，BF =2，112BD DF BF ===，综上所述，BD 的长为2或1. 【小结】本题难度适中，要求学生具备分类讨论思想及数形结合解决问题的能力，另外还需要熟练运用勾股定理及相似三角形知识. 通过此题，可总结出：①遇到直角三角形存在性问题时，分类讨论的出发点在于直角顶点的位置；②解决直角三角形存在性问题的方法是数形结合，先作出符合题意的图形，再用勾股定理或相似三角形、三角函数性质解题.【典例2】如图例4-1，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．图例4-1 图例4-2 图例4-3【解析】此题以“当△CEB′为直角三角形时”为突破口，分析可能是直角顶点的点，得出存在两种情况，即点B′及点E分别为直角顶点.分两种情况考虑：①当∠CEB′=90°时，如图例4-2所示.由折叠性质得：AB=AB′，四边形ABE B′是矩形.所以四边形ABE B′是正方形.此时，BE=AB=3.②当∠CB′E=90°时，如图例4-3所示.由折叠性质知，∠AB′C=90°，所以∠AB′C+∠CB′E=180°.∴点A、B′、C共线在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=5由折叠得：AB= AB′=3所以B′C=2设BE=x，则B′E=x，EC=4－x在Rt△ABC中，由勾股定理得：EC2=B′E2+B′C2即：（4-x）2=x2+22 解得：x=1.5.综上所述，BE的值为3或1.5.【小结】本题解题关键在准确对问题进行分类讨论且作出相应图形，要求学生掌握三点共线的理由，折叠的性质及勾股定理的应用.【典例3】如图例5-1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，1BC =+，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MB C ∆为直角三角形，则BM 的长为 ．图例5-1图例5-2图例5-3【解析】通过观察及分析可知，C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论. ①当∠CM B ′=90°时，如图例5-2所示.由折叠知：∠BMN =∠B ′MB =45°，又因为∠B =45°，所以∠BNM =90°，∠MNB ′=90° 即∠BNM +∠MN B ′=180°，所以B 、N 、B ′三点共线，此时B ′与点A 重合.所以，12BM BC == ①当∠CB ′M =90°时，如图例5-3所示.由折叠知∠B =∠B ′=45°，因为∠C =45°，可得∠B ′MC =45°，所以△B ′MC 是等腰直角三角形设BM = B ′M =x ，B ′C =x ，则MC =因为BC ，所以x x +1 解得：x =1，即BM =1.综上所述，BM 或1. 【小结】根据题意判断C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论，利用等腰直角三角形三边关系求解.【典例4】如图例6-1，在∠MAN =90°，点C 在边AM 上，AC =4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A’BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称. D 、E 分别为AC 、BC 的中点，连接DE 并延长交A’B 所在直线于点F ，连接A’E . 当△A’EF 为直角三角形时，AB 的长为.图例6-1图例6-2图例6-3【解析】分两种情况讨论.①当∠A’FE=90°时，如图例6-2所示.∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE是三角形ABC的中位线，即DE∥BA∴∠A’BA=90°，∴四边形AB A’C为矩形由折叠得AC=A’C，∴四边形AB A’C为正方形，即AB=AC=4.②当∠A’EF=90°时，如图例6-3所示.∵∠A’EF=∠CDE=90°，∴A’E∥CD，∴∠DCE=∠CEA’由折叠知：∠DCE=∠A’CE，∴∠CEA’=∠A’CE，∴A’C=A’E=4又∵E是BC中点，即A’E是Rt△A’BC的中线，∴BC=2A’E=8在Rt△A’BC中，由勾股定理得，A’B=由折叠性质得：AB= A’B=.综上所述，AB的长为4或.【小结】利用中位线性质（三角形的中位线平行于第三边）及正方形判定，用勾股定理求解.1、矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在R t△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如图2．此时ABEB′为正方形．【解析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，在R t△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，在R t△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4-x）2，解得x=32，∴BE=32；②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．综上BE长为32或3【小结】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．2、如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则ADDF的值为A ．1113B ．1315C ．1517D ．1719【分析】根据折叠的性质可得出DC =DE 、CP =EP ，由∠EOF =∠BOP 、∠B =∠E 、OP =OF 可得出△OEF ≌△OBP （AA S ），根据全等三角形的性质可得出OE =OB 、EF =BP ，设EF =x ，则BP =x 、DF =4﹣x 、BF =PC =3﹣x ，进而可得出AF =1+x ．在R t △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，即可得出答案． 【解析】根据折叠，可知：△DCP ≌△DEP ，∴DC =DE =4，CP =EP ．在△OEF 和△OBP 中，∵90EOF BOP B E OP OF ∠∠∠∠=⎧⎪==︒⎨⎪=⎩，∴△OEF ≌△OBP （AA S ），∴OE =OB ，EF =BP ．设EF =x ，则BP =x ，DF =DE ﹣EF =4﹣x ．又∵BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC ﹣BP =3﹣x ，∴AF =AB ﹣BF =1+x ．在R t △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，即（1+x ）2+32=（4﹣x ）2，解得：x =0.6，∴DF =4﹣x =3.4，∴1517AD DF =．故选C ． 【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF =1+x ，求出AF 的长度是解题的关键．3、如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是BC上一点，BE Q是CD上一动点，将△CEQ沿直线EQ折叠后，点C落在点P处，连接P A．点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动，当P A的长度最小时，CQ的长为（）A．3B．3C．32D．3【解析】如图所示：在R t△ABE中，AE=．∵BC=3，BE=，∴EC=3-．由翻折的性质可知：PE=CE=3-．∵AP+PE≥AE，∴AP≥AE-PE．∴当点A、P、E一条直线上时，AP有最小值．∴AP=AE-PE=2-（3-）=3-3．故选A．4、如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把矩形沿AE 折叠，使点B 落在点B '处．当CEB '∆为直角三角形时，BE 的长为____________．【分析】当△CEB ′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B ′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC ，先利用勾股定理计算出AC =10，根据折叠的性质得∠AB ′E =∠B =90°，而当△CEB ′为直角三角形时，只能得到∠EB ′C =90°，所以点A 、B ′、C 共线，即∠B 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点B ′处，则EB =EB ′，AB =AB ′=6，可计算出CB ′=4，设BE =x ，则EB ′=x ，CE =8-x ，然后在R t △CEB ′中运用勾股定理可计算出x ．②当点B ′落在AD 边上时，如答图2所示．此时四边形ABEB ′为正方形． 【解析】由题意知，需分两种情况讨论：①当90CB E ︒'∠=时，如图1，由折叠得，90AB E B ︒'∠=∠=，AB AB '=， ∴180AB C ︒'∠=，∴,,A B C '三点共线．在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =， ∴5AC =．∵AB AB 3'==，∴2B C AC AB ''=-=． 设BE x =，则4CE BC BE x =-=-，B E x '=，在Rt B CE '∆中，222B E B C CE ''+=，即2222(4)x x +=-，解得32x =． ②当90B EC ︒'∠=时，如图2，由折叠可知ABE AB E '∆∆≌， ∴BE B E '=，90B AB E ︒'∠=∠=，∴四边形ABEB '是正方形，∴3BE AB ==．综上，当CEB '∆为直角三角形时，BE 的长为32或3． 【小结】考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．5、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点E，A′，C三点在一条直线上时，DF的长为_____．【分析】利用勾股定理求出CE，再证明CF=CE即可解决问题．（注意有两种情形）【解析】如图，由翻折可知，∠FEA＝∠FEA′，∵CD∥AB，∴∠CFE＝∠AEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，在R t△BCE中，EC==∴CF＝CE＝，∵AB＝CD＝6，∴DF＝CD﹣CF＝6﹣当点F在DC的延长线上时，易知EF⊥EF′，CF＝CF′＝，∴DF＝CD+CF′＝【小结】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，本题的突破点是证明△CFE的等腰三角形，属于中考常考题型．6、如图，在菱形ABCD 中，∠DAB =45°，AB =4，点P 为线段AB 上一动点，过点P 作PE ⊥AB 交直线AD 于点E ，将∠A 沿PE 折叠，点A 落在F 处，连接DF ，CF ，当△CDF 为直角三角形时，线段AP 的长为__________．【分析】分两种情形讨论：①如图1，当DF ⊥AB 时，△CDF 是直角三角形；②如图2，当CF ⊥AB 时，△DCF 是直角三角形，分别求出即可．【解析】分两种情况讨论：①如图1，当DF ⊥AB 时，△CDF 是直角三角形．∵在菱形ABCD 中，AB =4，∴CD =AD =AB =4．在R t △ADF 中，∵AD =4，∠DAB =45，DF =AF，∴AP 12=AF = ②如图2，当CF ⊥AB 时，△DCF 是直角三角形．在R t △CBF 中，∵∠CFB =90°，∠CBF =∠A =45°，BC =4，∴BF =CF，∴AFAP 12=AF=2AP2【小结】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键，正确画出图象，注意分类讨论的思想，属于中考常考题型．。
三角形的折叠问题总结
三角形的折叠问题总结三角形是一种常见的几何图形，它有三条边和三个顶点。
今天我们就来学习三角形的知识，解决一些相关问题。
三角形的折叠问题1：三个角的度数分别是90°、 135°、 145°的直角三角形是全等的吗？三个角的度数分别是135°、 145°、 180°的直角三角形是全等的。
三个角的度数分别是90°、 135°、 180°的直角三角形是全等的。
三角形的折叠问题2：证明：（ 1）假设三角形ABC中， BC=BC=AB， AD=AD，则AD=BC=AC；（ 2）若AB、 AD、BC三线合一且交于一点O，求三角形OE的面积；（ 3）若AB=AC=AD，求三角形BE的面积。
三角形的折叠问题3：如图，在△ABC中，点D 的位置如图所示，那么这个△ABC是等腰梯形还是直角梯形呢？答：这个△ABC是等腰梯形。
证明：①将△ACD旋转到正视图，在A、 B 两点取得一条中线作垂线，此时图形变为长方形。
在AB边上任取一点C，使△ADC的高CD=1，在CD上任取一点E，使△ABC的底AC=AD，在AC上任取一点F，使△ABC的底AB=CD。
由此可得： AE=AF，∠DAB=∠ADB。
②将线段AF折叠到AE上，作法同前。
2：证明：（ 1）假设三角形ABC中， AD=BC， AE=BC，则AD=BC。
（ 2）将三角形ABC沿着AD向右平移3格，再将△BCD沿着BC向右平移5格，即得到△ABC，则四边形ABCD是菱形，但是，该四边形不是正方形。
因为在四边形ABCD中， AB、 AC、 BC、 BD均互相平行，且BD=2AB，可得△BCD是直角梯形。
三角形的折叠问题4：在△ABC 中，已知∠A=∠B=∠C=45°，∠A+∠B=30°，∠C+∠A=135°，∠A+∠C=180°。
①将三角形ABC旋转到正视图，设A、 B两点的坐标为（ x， y），过A作AE ⊥BC交BC于P，连接BC；再过B作BE ⊥AB交AC于E，交BD于N，则四边形AEBE是平行四边形，且AE=AB，BE=BC， A、 B两点的坐标为（ a， b），（ c， d）， AB=AC=AD，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形，∵∠A+∠B=30°，∠C+∠A=135°，∠A+∠C=180°，∴∠A+∠C=90°；（ 2）将三角形ABC沿着AD向右平移3格，再将△BCD沿着BC 向右平移5格，即得到△ABC，则四边形ABCD是菱形，但是，该四边形不是正方形。
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与直角三角形有关的折叠问题（北师版）
满分100分 答题时间30分钟
单选题（本大题共10小题，共100分）
1. （本小题10分）如图，将长方形纸片 ABCD 折叠，使点B 与点D 重合,折痕为EF,已知AB=6cm,BC=18cm, 则Rt △ CDF 的面积是（ ）
2. （本小题10分）如图，在长方形纸片 ABCD 中 ,AD=8,折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为A E,且EF=3,则AB 的长为（ ）
• 3.（本小题10分）如图，折叠矩形的一边 AD,使点D 落在BC 边上的点F 处，已知AB=4cm,BC=5cm 则EF=（
A. 3
E
™ A. 6cm
B. r
C.
D.
B. 4
C. 5
D. 6
A. 2 cm
3
r y
B. £ cm
5
r y
C. z cm
r
D. 3cm
4. （本小题10分）如图所示，将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠•点B落在点E处,AE交DC于点F,
已知AB=8cm,BC=4cm则折叠后重合部分的面积为（）
A. 5
C
B. 6
r
C. 10
r
D. 20
5. （本小题10分）如图,把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合,若长方形的长BC为16,宽AB 为8,则折叠后重合部分的面积是（）
D'
A. 30
B. 40
C. 60
D. 80
6. （本小题10分）如图，已知边长为6的等边三角形ABC
纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A 落在BC边上的点D的位置，且EDL BC，则CE的长是（
）
厂 A. 12J5-18
厂B12-6占
厂l c. 24-12占
厂I D. 6曲-6
7. （本小题10分）如图，在Rt△ ABC中，/ ABC=90，/ C=6C°，AC=6,将BC向BA方向翻折过去，使点C落在BA上
的
点C'处，折痕为BE，则EC的长为（）
•厂A.孑启
B.
•厂D.加5—
在AD 边上的1处，并且点B 落在厂1边上的「处.则BC 的长为（ ）
9. （本小题10分）如图,AD 是Rt △ ABC 斜边上的中线，把厶ADC 沿 AD 对折，点C 落在点C'处，连接CC ,则图中共有 A. 2
C B. 3
r C. 4
r
D. 5 10. （本小题10分）如图，在矩形ABCD 中 ,E 是AD 的中点，将△ ABE 沿BE 折叠后得到△ GBE 延长 BG 交CD 于点F.若C
F=2,FD=4,则 BC 的长为（ ）
（ ）个等腰三角形
C
« 8.（本小题10分）将长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE,EF为折痕,/ BAE=30° ,AB=广，折叠后，点C落
A. 4衣
•「C. M
• r D. 6 血
6 / 5。