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大学数学线性代数知识点归纳总结

大学数学线性代数知识点归纳总结线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于各个领域。

作为大学数学的一门核心课程，线性代数为我们提供了一种处理线性方程组、矩阵运算和向量空间等数学工具和理论。

在这篇文章中，我将对大学数学线性代数的知识点进行归纳总结。

1. 向量与向量空间- 向量的定义和性质- 向量的线性组合与线性相关性- 向量空间的定义和基本性质- 子空间与超平面- 线性无关与基2. 线性方程组- 线性方程组的概念与解的存在唯一性- 矩阵形式与增广矩阵- 初等行变换与线性方程组的等价性- 齐次线性方程组与非齐次线性方程组- 线性方程组的解的结构3. 矩阵与矩阵运算- 矩阵的定义和性质- 矩阵的加法与数乘- 矩阵的转置与对称矩阵- 矩阵乘法与矩阵的秩- 逆矩阵与可逆矩阵4. 特征值与特征向量- 特征值与特征向量的定义 - 特征多项式与特征方程- 对角化与可对角化条件- 特征值与矩阵的相似性5. 线性变换与线性映射- 线性变换的基本性质- 线性变换矩阵与基变换- 线性变换的零空间与像空间 - 线性变换的维数定理6. 内积空间与正交性- 内积空间的定义和性质- 正交向量与正交补空间- 正交投影与最小二乘法- 施密特正交化过程7. 特殊矩阵与应用- 对角矩阵与对角化- 正交矩阵与正交对角化- 幂零矩阵与Jordan标准形- 应用：图像处理、数据压缩、网络分析等通过对以上知识点的整理和总结，我们对大学数学线性代数的学习有了更加清晰的认识。

线性代数的理论和方法在计算机科学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用，了解和掌握线性代数知识对于我们的学术研究和职业发展都具有重要意义。

希望本文能帮助读者对线性代数有更深入的了解，并在实际应用中发挥作用。

线性代数知识点总结复习整理

2
定理
a11 a12 a1n
n 阶行列式
D
a21
a22
a2 n
等于它的任意一行（列）的各
an1 an2 ann
元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 D ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain ，
(i 1, 2,, n) 或D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj ， ( j 1, 2,, n) 。
k个
Am Ak Amk ， Am k Amk m, k为正整数。规定：A0＝E
（只有方阵
才有幂运算）
注意矩阵不满足交换律，即 AB BA ， ABk Ak Bk （但也有例外）
转置矩阵把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 A ，
1 AT T A ； 2 A BT AT BT ； 3 AT AT ； 4 ABT BT AT 。
称为一个 n 维向量,记为
a1 a2 ...
(列向量形式)或
初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r”换成“c”。矩阵等价如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B，就称矩阵 A 与 B 等价。
7
行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有
一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一
行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。（非
推论 2 D 中某一行（列）所有元素为零，则 D=0。
性质 4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则
a11 a12 (a1i a1i ) a1n a11 a12 a1i a1n a11 a12 a1i a1n

线性代数期末复习知识点资料整理总结

行列式1.行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等TD D =.性质2互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =推论2如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．性质4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+性质5把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++例1已知，那么（）A.-24B.-12C.-6D.12答案B解析2.余子式与代数余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．3.行列式按行（列）展开法则定理1行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++ 或 1122j j j j nj njD a A a A a A =+++ ()1,2,,;1,2i n j n ==定理2行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++= 或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠ ()1,2,,;1,2i n j n == 例.设3阶矩阵()ij A a =的行列式12A =,ij A 为ij a 的代数余子式.那么313132323333a A a A a A ++=___12____;213122322333a A a A a A ++=___0___.4.行列式的计算（1）二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =-（3）对角行列式1212n nλλλλλλ=，n(m 1)21212nn(1)λλλλλλ-=- （4）三角行列式1111121n 2122222n1122nnn1n2nnnna a a a a a a a a a a a a a a ==（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）(一般选择有0元素的行或列)只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.例：思路：将有0的第三行化为只有一个非0元素33=1，按该行展开,D=3333,不用忘记B 。

线性代数期末自我总结

线性代数期末自我总结作为一门重要的数学基础课程，线性代数在我大学学习生涯中起到了关键性的作用。

在经过一个学期的学习之后，我深刻体会到线性代数的重要性，并且在这门课程中取得了一些收获和提高。

以下是我对线性代数期末的自我总结。

首先，我对线性代数概念的理解有了很大的提高。

在课堂上，老师讲授了线性代数的基本概念和基本原理，包括矩阵、向量空间、线性变换等。

通过课堂的示范和实例分析，我对这些概念有了更清晰的认识，并且能够运用这些概念解决具体的问题。

我学会了使用矩阵进行线性方程组的求解，使用向量空间的性质来证明一些线性代数问题，以及使用线性变换解决具体的应用问题。

这些基本概念和原理是线性代数学习的基石，我相信在以后的学习和工作中会发挥重要的作用。

其次，我在计算线性方程组的过程中提高了自己的计算能力。

在学习线性代数的过程中，我们需要经常求解线性方程组。

线性方程组是线性代数的一个重要应用，解决实际问题的时候经常会遇到。

通过大量的练习和计算，我提高了自己的计算速度和准确性。

我掌握了高斯消元法和矩阵求逆的方法，能够迅速将线性方程组化简为最简形式，并求得其解。

在实践中，我学会了如何选择消元的顺序和方程组的pivot，以提高计算的效率和准确性。

这些计算技巧将会在我的数学学习和工程实践中发挥重要的作用。

另外，在学习线性代数的过程中，我也加强了自己的逻辑推理能力。

线性代数是一门很抽象的数学学科，需要运用逻辑推理来证明一些定理和性质。

在课堂上，老师经常布置一些证明题，要求我们用逻辑推理来证明某个结论。

通过这些练习，我学会了如何通过逻辑推理合理地组织证明过程，使得论证的过程更加严谨和严密。

逻辑推理是一种思维方式，通过学习线性代数，我不仅提升了数学推理能力，也对其他学科的推理和证明有了更深入的认识。

此外，在线性代数的学习中，我也通过完成一些实际例题，培养了一定的应用能力。

线性代数不仅仅是一门纯粹的理论学科，也是一门可以应用到实际问题中的学科。

线性代数重点知识总结

说明：1.本总结只是把课本的重点知识总结了一下，我没有看到期末考试题，所以考着了算是侥幸，考不着也正常。

2.知识点会了不一定做的对题，所以还要有相应的练习题。

3.前后内容要贯穿起来，融汇贯通，建立自己的知识框架。

第一章行列式1.行列式的定义式（两种定义式）-->行列式的性质-->对行列式进行行、列变换化为上下三角（求行列式的各种方法逐行相加、倒叙相减、加行加列、递推等方法，所有方法是使行列式出现尽可能多的0为依据的）。

2.行列式的应用——>克拉默法则（成立的前提、描述的内容、用途，简单的证明可从逆矩阵入手）。

总结：期末第一章可能不再单独考，但会在求特征值/判断正定性等内容时顺便考察行列式的求解。

第二章矩阵1.矩阵是一个数组按一定的顺序排列，和行列式（一个数）具有天壤之别。

2.高斯消元法求线性方程组的解—>唯一解、无解、无穷解时阶梯型的样子(与第三章解存在的条件以及解的结构联系在一起)3.求逆矩阵的方法（初等变换法，I起到记录所有初等变换的作用）、逆矩阵与伴随矩阵的关系。

4.初等矩阵和初等变换的一一对应关系，学会由初等变换找出与之对应的初等矩阵。

5.分块矩阵（运用分块矩阵有时可以很简单的解决一些复杂问题）记得结论A 可逆，则)A -(1|A |A -1T T αααα=+。

第三章线性方程组第三章从向量组的角度入手，把线性方程组的系数矩阵的每一列看作一个列向量，从而得到一个向量组假设为n 21,,,ααα ，右边常则看作一个向量β，1）若向量β被向量组n 21,,,ααα 表出唯一（即满足关系：n n n ==),,,,(r ),,,(r 2121βαααααα 时，因为只有向量组n 21,,,ααα 线性无关才表出唯一），则只有唯一解；2）若β不能由向量组n 21,,,ααα 线性表出（即满足条件),,,,(r 1),,,(r 2121βααααααn n =+时）则无解；3）若β由向量组n 21,,,ααα 表出不唯一（即满足条件n n n <=),,,,(r ),,,(r 2121βαααααα 时，只有n 21,,,ααα 线性相关才表出不唯一）有无穷解。

(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)(word文档良心出品)

线性代数超强总结()0A r A n A Ax A A οο⎧⎪<⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪⎪⎩不可逆有非零解是的特征值的列（行）向量线性相关 12()0,,T s i nA r A n Ax A A A A A A A p p p p Ax οββ⎧⎪=⎪⎪=⎪⎪⎪≠⇔⎨⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪⎪∀∈=⎩可逆只有零解的特征值全不为零的列（行）向量线性无关是正定矩阵与同阶单位阵等价是初等阵总有唯一解R⎫⎪−−−→⎬⎪⎭具有向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅：①称为n ¡的标准基，n ¡中的自然基，单位坐标向量； ②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关； ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=； ④tr()=E n ；⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.√ 行列式的计算：① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则(1)mn A A A A BBBBAA B B οοοοο*===**=-②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线：(1)211212112111(1)n n nnn n n n n n n a a a a a a a a a οοο---*==-K NN√ 逆矩阵的求法:①1A A A*-=②1()()A E E A -−−−−→MM 初等行变换③11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ TT T TT A B A C C D BD ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦④12111121n a a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO21111211na a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦NN⑤11111221n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO11121211n nA A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦N N √ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A =√ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++L ，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++L 为A 的一个多项式. √设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,nααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,sβββ⋅⋅⋅，AB 的列向量为12,,,s r r r L ,1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,),(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==⋅⋅⋅=⎫⎪==++⎪⎬⎪⎪⎭L L L L 则：即用中简若则单的一个提即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即：11112222,kk kk A B A B A B A B οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO11112222kk kk A B A B AB A B οο⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦O√ 矩阵方程的解法：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时,,B A B E X −−−−→M M 初等行变换（当为一列时(I)的解法：构造()()即为克莱姆法则） T T T TA XB X X =(II)的解法：将等式两边转置化为，用(I)的方法求出，再转置得√ Ax ο=和Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）,则：① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 判断12,,,s ηηηL 是0Ax =的基础解系的条件： ① 12,,,s ηηηL 线性无关； ② 12,,,s ηηηL 是0Ax =的解；③ ()s n r A =-=每个解向量中自由变量的个数.① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余1n -个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<； m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=. ⑨ ()0r A A ο=⇔=.⑩ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法惟一. ⑪ 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.⑫ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：{}{}1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅%A 经过有限次初等变换化为B . 记作：A B =%⑬ 矩阵A 与B 等价⇔()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价. 矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅. ⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关. 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑯ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价； ⑰ 任一向量组和它的极大无关组等价.⑱ 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. ⑲ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑳ 若A 是m n ⨯矩阵,则{}()min ,r A m n ≤,若()r A m =，A 的行向量线性无关；若()r A n =，A 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.Ax β=1122n n x x x αααβ+++=L1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L M M M M M L 12,1,2,,j j jmj j n αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M1212120,,,0,,,()(),,,A n A n n Ax Ax A nAx Ax A Ax r A r A n βοαααβοβαααββααα⇒⇔==−−−−−→=<<≠⇒⇒⇔==−−−−−→≠⇔=⇔=<≠=⇒L L M L 当为方阵时当为方阵时有无穷多解有非零解线性相关有唯一组解只有零解可由线性表示有解线性无关 12()(),,,()()()1()A n r A r A Ax r A r A r A r A ββαααβββ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪−−−−−→⎪⎩⇔≠⎧⎪⇔=⇔<⎨⎪⇔+=⎩ML M M 当为方阵时克莱姆法则不可由线性表示无解线性方程组解的性质：1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6)k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-=L L 是的解也是它的解是的解对任意也是它的解齐次方程组是的解对任意个常数也是它的解是的解是其导出组的解是的解是的两个解是其导出组的解211212112212112212,0(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩L 是的解则也是它的解是其导出组的解是的解则也是的解是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =,则()()r A r A β=M ,从而Ax β=一定有解. 当m n <时,一定不是唯一解.⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A βM 和的上限. √ 矩阵的秩的性质：① ()()()T T r A r A r A A == ② ()r A B ±≤()()r A r B + ③ ()r AB ≤{}min (),()r A r B④ ()0()00r A k r kA k ≠⎧=⎨=⎩ 若若⑤ ()()A r r A r B B οο⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⑥0,()A r A ≠若则≥1⑦ ,,()0,()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=+若且则≤n ⑧ ,()()()P Q r PA r AQ r A ==若可逆,则 ⑨ ,()()A r AB r B =若可逆则,()()B r AB r A =若可逆则⑩ (),()(),r A n r AB r B ==若则且A 在矩阵乘法中有左消去律:0AB B AB AC B Cο=⇒==⇒=n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.(,)0αβ=.1α==.√ 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性：(,)(,)αββα=③ 双线性：1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+ 1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)(,)cc c αβαβαβ==123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)()(,)(,)()()βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化：111βηβ= 222βηβ= 333βηβ= T AA E =.√ A 是正交矩阵的充要条件：A 的n 个行（列）向量构成n ¡的一组标准正交基. √ 正交矩阵的性质：① 1T A A -=；② T T AA A A E ==；③ A 是正交阵,则T A （或1A -）也是正交阵； ④ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.E A λ-.()E A f λλ-=.0E A λ-=. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关 √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.√ 若0A =,则0λ=为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于0λ=的线性无关的特征向量. √ 12n A λλλ=L 1ni A λ=∑tr√ 若()1r A =,则A 一定可分解为A =[]1212,,,n n a a b b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M 、21122()n n A a b a b a b A =+++L ,从而A的特征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++L tr , 230n λλλ====L . √ 若A 的全部特征值12,,,n λλλL ，()f x 是多项式,则:① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλL ；② 当A 可逆时,1A -的全部特征值为12111,,,n λλλL , A *的全部特征值为12,,,n A A AL .√ 1122,.m m Ak kA a b aA bEAA AA A λλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是的特征值则:分别有特征值 √ 1122,m m Ak kAa b aA bEAx A x A A A λλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是关于的特征向量则也是关于的特征向量. 1B P AP -= （P 为可逆阵）记为：A B :√ A 相似于对角阵的充要条件：A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. √ A 可对角化的充要条件：()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 与对角阵相似.1B P AP -= （P 为正交矩阵） √ 相似矩阵的性质：① 11A B --: 若,A B 均可逆② T T A B :③ k k A B : （k 为整数）④ E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量. ⑤ A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ⑥ ()()r A r B = ⑦ ()()A B =tr tr√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质：① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 与对角矩阵合同；③ 不同特征值的特征向量必定正交；④ k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量；⑤ 必可用正交矩阵相似对角化（一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,重数=()n r E A λ--）.A 与对角阵Λ相似. 记为：A Λ: （称Λ是A √ 若A 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）()r A =. √ 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：[]121212112212(,,,)(,,,)(,,,),,,n n n n n n PA A A A λλααααααλαλαλααααλΛ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L O1442443144424443. √ 若A B :, C D :,则：A B C D οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦:. √ 若A B :,则()()f A f B :,()()f A f B =.12(,,,)T n f x x x X AX =L A 为对称矩阵 12(,,,)T n X x x x =LT B C AC =. 记作：A B ; （,,A B C 为对称阵为可逆阵） √ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是：A B : √ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =√ 12(,,,)Tn f x x x X AX =L 经过正交变换合同变换可逆线性变换X CY =化为2121(,,,)nn i i f x x x dy =∑L 标准型.√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由{()r A +正惯性指数负惯性指数惟一确定的.√ 当标准型中的系数i d 为1，-1或0时,√ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.√ 任一实对称矩阵A 与惟一对角阵111100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O OO合同.√ 用正交变换法化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量； ② 对n 个特征向量单位化、正交化； ③ 构造C （正交矩阵）,1C AC -=Λ；④ 作变换X CY =,新的二次型为2121(,,,)nn i i f x x x d y =∑L ,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.12,,,n x x x L 不全为零，12(,,,)0n f x x x >L . 正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性. √ 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：① 正惯性指数为n ； ② A 的特征值全大于0；③ A 的所有顺序主子式全大于0；④ A 合同于E ，即存在可逆矩阵Q 使T Q AQ E =； ⑤ 存在可逆矩阵P ，使T A P P = （从而0A >）；⑥ 存在正交矩阵，使121T n C AC C AC λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦O （i λ大于0）. √ 成为正定矩阵的必要条件：0ii a > ； 0A >.。

线性代数期末辅导总结

Aij = (−1)
i+ j
a M ij 叫做元素 ij 的代数余子式.
定理2 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即，
D = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + L + ain Ain
(i = 1,2,...n)
或
D = a1 j A1 j + a2 j A2 j + L + anj Anj
对于齐次线性方程组
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = 0 a x + a x + L + a x = 0 21 1 22 2 2n n LLLLLLLLLLLL a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = 0
(2)
x1 = x2 = L = xn = 0 一定是它的解，这个解叫做齐次线
a11 a 21 设 A= a m1
5.矩阵的转置
a11 a 21 L a m1 a12 L a1n a12 a 22 L a m 2 则矩阵 a 22 L a 2 n LL ， LL a a 2 n L a mn 1n a m 2 L a mn
2．特殊矩阵设 Am×n中每个元素都是零，则称它为零矩阵，记作 O m×n 或O．
，L 设方阵 A = (aij ) n×n 中，aij = 0 i ≠ j；i, j = 1 2，，n）（，则称A为对角矩阵，记为 Λ = diag(a11，a22，，ann ) L ；特别地，当 a11 = a22 = L = ann = 1时，即

线性代数期末总结

②对数乘封闭 if V , R V .
那么就称集合Ｖ为向量空间.
二、向量的线性相关性 1、基本概念
定义Ⅰ 给定向量组 A : 1,2 , ,r，对于任何一组数 k1，k2， , kr ，称向量 k11 k22 krr 为向量组的
一个线性组合（Linear Combination）.
k1，k2， ,kr 为组合的组合系数（Combination Coefficient）.
则称向量组Ａ可以由向量组Ｂ线性表示.
即存在矩阵 K sr , Ar Bs K sr .
若两个向量组可以互相线性表示，则称这两向量组等价.
向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性.
定义Ⅳ 设ｎ维向量组 A : 1,2 , ,r ，如果存在不全
为零的数k1，k2， , kr ，使得 k11 k22 krr 0, 则称向量组 A : 1,2 , ,r 线性相关（Linear Dependent）.
(2)把B中不是首非零元所在列对应的变量作为自由元，共有n r个； (3)分别令一个自由元为1，其余全为零，求得n r个解向量，这n r个解向量即构成AX 0的基础解系，从而可写出AX 0的通解。
七、求非齐次线性方程组通解的步骤：
(1)将( AB) 初等行变换阶梯形矩阵C； (2)当r((AB)) r( A) r时，把不是首非零元所在列对应的n r个变量作为自由元；令所有的自由元为零，
练习：
1、试问下列向量组中，向量能否由其余向量线性表示？
若能，则写出线性表示式：
（4，- 1，3，- 2）T , (1,0,0,0)T , (1,1,0,0)T
1
2
(1,1,1,0)T , (1,1,1,1)T
3

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第一章行列式一、行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等，即|A | = |A T|.（行列互换，行列式不变）性质2互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数k,等于用数k 乘以此行列式.a ua i2a i3anai2^13ka na i2a i3a2Xa22a23 — ka 2xka’2 転23 = ka 2}a22 a23角1 a 32 «33a 3i角2 。

33脳31«33若行列式中有一行（列）为0,则行列式为0.行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零.坷 1坷］a n 纠341 a n 坷 3a21+b l a 22+b 2 如+4—a 21 a 22"23+ b l b 2 S。

31 “32 。

33。

31 “32 “33。

31 “32 “33 性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变.a\\a i2ai3au a n + ka !3 a i3 aCL CLa CL + kaaW21 u 22w23^21 "22 ' e"23 "23 “31 °32 "33°31 “32 + 氐 °33 。

33性质7 （Laplace 定理）行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，BP ： | A| = a ix A i} + a i2A i2 + • • • + a in A in （1 = 1,2,• • •, n ）推论2性质4 。

21 ^22a31 “32ka [{ ka {2。

13。

23a 33 。

21 °3a n"12 "13 a22 ^23a 32= 40 = 0性质5行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零.二. 行列式的计算 1、字母型(用性质求值)2a I 】(1)、若三阶行列式£>= a tJ =3,则2°3i"1 “3—2d] -2^2—2a*(2)、若三阶行列式D = S b 2 g=-1,则 -2叽-2b 2 -2b.C] c 2 c 3-2C] -2C 2 -2C 32、四阶行列式计算降阶计算。

练习题：1. -2 01 012 3 4 12 3 412 3 412 3 4 2 3 4 1 0 ・1 -2 -70 -1 ・2 -70 -1 ・2 -73 4 120・2 -8・100 0 ・4 4U 0 ・4 4 4 12 3 0 ・7 -10 ・130 0 4 360 0 0 40 =160. (1)、 3 1141111 3 12 112-10=12 (3)、1-10 313 6-9 13 111 2 10 -7 ⑵、=25 a 】】a\24% 2a lt -3a l2 a n3.若a 2X a 22 a 23=1,则 4如 2^21 3^22 。

21a3\a32a334皎 2。

3] — 3。

32 偽](A) -8(B) -12(C) 8)・(D)121 2 计算行列式: 3 1 -1 042=-24. 5- 2 4 2 2 0 5 -35 1二—42 4(3)、若三阶行列式D=a tj =5,则原则：将某行(列) 除某个元素外, 其它元素都化为0,再利用Laplace 定理, -52 = 01 3 11 •计算行列式D=l ° 1 — 11 213121 3 5 r 0 -3 解D 二0 -4 ,/j-1 1 240 1 -2r0 0 -2 I°宁 -1-3-30 04 3 4 32 -2 23 _7 ~3-3 012 20 1 0 0-11 4 3 0 -223-3= 1x(—3)x( 一扌)x(—3) = —12.第二章矩阵及其运算、矩阵的运算 1、矩阵加减法S3、矩阵乘法：俎心，〃如则= C“z = (eu)mxn，其中cij =E %bkj k = \(1) 一般地，AB^BA ・(2) 一般地，AB=O^A = O^B = O ・ (3)AB = AC±B = C ・AB = AC^AB-AC = O=>A (B-C )= 0^A = O^B-C = ()•(4) 若A 〃 = 4C,则当A 满足|4| HO 时,B = C ・ (5) (A + B)2^ A 2+ 2AB + B 2;(A+B )(A-B )^ A 2-B 2;(6)^AB=BA,则称A,〃可交换.若A 与妨,〃2可交换，贝1U 与可交换・=>A (Bd) =(AB )B2=(B4B2 = B 、(ABj = B 】(B2A )=(Bd )A.(町=A; (A + Bf = A 7" + B T ; (M)r = M 7; (Afif 二 B T A T5、有关对称矩阵：若4r= A,则称A 为对称矩阵。

(1) A,B 为同阶对称矩阵分AB 也是对称矩阵.((AB)7 ^B T A T= BAJBBA 丰 AB ・)(2)2、矩阵的数乘也=AB. = B.A AIi 2 = B 2A(7)Amxn•AE n = E lt ,A =A ^A IX /I ME” = E” A = A ・ 4、矩阵的转置A"是对称矩阵，也是对称矩阵.二、方阵仏1、方阵的行列式|A|ki=H ； IM = F A ; \AB\ = \A\\B = BA . A =2,则\2A\= 16 , 2A =-16(-2 1、A =U -1,(_63、贝'J3A= 93 ,|3A|=・9 ・2、方阵的逆矩阵(1)定义:若方阵4 B 满足人〃=£或34=£,贝=4”可逆，则A"唯一・(2) A “可逆o |A|工0 o A 是非奇异矩阵o 心)卄 &满秩. (3) (A -1)"1 = A;(以)"=+屮("0)；(AB)1 = B _,A(A r )_1=(A-1)7；(AB )k ^A k B k ;A k+l = A k A l ;(A k )l =A kl . 3、有关可逆阵(1) 若矩阵人皿前足是可逆的・(x)(2) 若AX = B ，且A 可逆，则X = AT {B ・若XB=A ，flB 可逆，则X = AB {・若AXB = C,且可逆，贝\\X = A-{CB-{. 若 P4P" = B ，则 A = P~l BP. A H = P~x B ,l P.三、初等变换反例：A =但A 不是方阵,(\ 0),B= 0 1 ,AB = E 2 = ,0 0丿不会是可逆阵。

0 0、 1 0><1 0、 <0 L2、行阶梯型矩阵、行最简型矩阵3、初等矩阵：由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵彳亍：町㈠兮；Z T ；(R H O );斤+ kq; 列q ㈠ Cj;辰：(E H 0); c, + 0・初等矩阵*人：相当于对A 施行相应的初等行变换; A*初等矩阵：相当于对A 施行相应的初等列变换。

初等矩阵不改变方阵的非奇异性四、矩阵的秩 1、秩：矩阵A 的非零子式的最高阶数，记为r(A)o 2、性质： (1) r(A )= 0 <=> A 为零矩阵. (2) r (A r ) = r (A )・(3) mxn 矩阵A 的秩r( A) < min{7w,w}・ (4) 初等变换不改变矩阵的秩五. 练习题1、矩阵的运算(2 一2、(1) A 二 A 丫，贝W = ____________ M"1 = __________I 。

—1丿A 2 = _______________ ，3A = __________________ ・ (1 2、⑵设珂3 J 则宀———‘311、(4) W(X )=X 2-X -1,A= 31 2 J'J/(A )= 11 -1 o 丿1 0 f -1 2、 ‘32 1、0 2 1 0 3 0 3 1,\Z1 1 1、2 5,(5)(6)1、初等变换:2\ ，则 3A — 2〃 =________ ,AB =(3)2、 (3 4丿叫2(7)己知矩阵人=0<0 2 0 ,则R(A)= 4 0,2、求逆矩阵-2、1 ，贝lj2B r-A =2丿0 0、方法二：利用伴随矩阵求逆矩阵A1A方法三：利用逆矩阵定义，求逆矩阵例：若仙阶矩阵，满足屮_34+£ = 0」14-£可逆，并求（4-町1 证明:v A2-3A +E = 0,・・・A为方阵，・・・（A-E）（A-2E）= E,两边取行列式，得：|A-E||A-2E| = 1・・・A-E^O:.A-E可逆，且（A — E），二A — 2E・‘ 2 2 3、（1）A- 1 -1 0，求犷・1-1 2 1丿‘1 00>[3)(2)A- 1 109 B =5，解方程AX = B.J 1b3丿解：⑴・・・|A| = 1HO，・・・A可逆；（2）求A'1;⑶求X = ・3、求矩阵的秩M4）方法：人初箜变换〉行阶梯型矩阵B r（A）= B^非零行的个数.r0 1 1 ・1、0 2 2 2⑴从0 .1 .1 1 '则「⑷——k l 1 0 0>‘17 -f-1 4 0 riI z x（2）人二i 7 —，则心）------------< 3 -1 -!>练习题：1. 设4〃均为〃阶方阵，下列命题中正确的是( (A) (AB)T = A T B T(B)若A/B ,则|A|H |B(C )|A + B | = |A |4-|B |(D )A 2 3 4-E =(A -E )(A + E )2. 设4阶矩阵A 二a%』2,73),B = (0，7|』2』3),其中a,0，7i 』2』3是4维列向量，J&|A| = 2,|B| = 3,则\A + B\=( ).(A) 10(B)5(C) 40(D) 203. 设A 为三阶可逆矩阵，且|A| = 3,贝ij|2A-! = __________ ・ 4 •设A 为3阶矩阵,且|A| = 3,则|2A| = ( ). (A)3(B)6 (C) 12(D) 24一5•设4 = ，则M =・(2 3丿6. 设 3 维列向量a = (l,-1,2/, >5 = (0,1,1)7,则”一20 二。

7. 设A,B 均为斤阶方阵，则必有()・(A) AB = BA (C) A-B = B-A(B) ||A|B| = |A|LjB(D )|A +B | = |A |+|B |(2)由 AX = 2X + A 得(A — 2E)X = A.因为 |A —2E| = 1H O,2 1)& 设 A 二 ,且 AX = 2X + A, (1)求 A — 2E ； (2)求 X.1-1 2 丿(1) A-2E="-2(T‘0 -1、 '2 P-2、,1 0?— 2丿、2X = (A-2E)~iA所以A-2E 可逆，H(A —2E 尸‘0 -1、 J o>(A)A-E (B)E-A (C) A/3 (D) iiEA 2 -A = 3E,A(A-E) = 3E,A[-(A-E)] = E,所以 A 可逆，且 A" =-(A-E)of 1 3) <3 2(3 9] <6 45、 3A — 2B = -2=（2 4 J 厶r 丿 <2 3> I 12 丿一 <4 6丿<2 6y 解（1） <1 3、 \y <3 2、，1X 3+3X 2 Ix2+3x3>y ir <2 4丿 X <2 3丿、2x3 + 4x2 2x24-4x3；<14 16, AB = 9.设 A =3、4, <3 2、<2 3,AB ; (3) A'1.10. -23、 2 丄 2>设A,B 为三阶方阵，且满足A [BA = 6A^BA, A,求A"及B.A -1(30 <0 \、 0 7（屮一砂=6£・7>,= + 两边右乘 ,得 A'}B = 6E + B ,即A 1-E =<20 <00、0 , A-l -E 可逆且 6丿0、 0 r11.设方阵A 满足A 2-A-3E = O 9 贝!j(A-E)-,=( (A-E)/3A _,)<3(0(A-'-EY'第三章线性方程组一、n 维向量、向量的线性相关性1、线性相关；线性无关；极大线性无关组；向量组的秩利用定义证明向量组的线性相关性例1：已知线性无关，则少+硯‘弼+。