一个计算卷积积分的基本公式
用二重积分换元法证明卷积公式
用二重积分换元法证明卷积公式卷积公式是数学中的一种运算，用于描述两个函数之间的关系。
在信号处理、图像处理和数值计算等领域中经常用到卷积公式。
本文将使用二重积分换元法来证明卷积公式。
首先，我们先了解一下二重积分换元法的基本概念。
二重积分换元法是利用变量代换的方法，将原二重积分中的变量替换为新的变量，从而简化被积函数的形式，使得计算更加容易。
设有两个实值函数 f(x) 和 g(x)，定义它们的卷积函数 (f*g)(x)如下：(f*g)(x) = ∫[-∞,∞] f(x-t)g(t) dt其中，积分运算从负无穷到正无穷。
要证明卷积公式，我们需要证明以下等式成立：∫[-∞,∞] (f*g)(x) dx = ∫[-∞,∞] f(x)g(x) dx为了方便计算，我们先对卷积公式做一个变形。
首先，我们令u = x-t，于是 t = x-u。
然后对变量 u 求导，得到 du = -dt。
将上述变换代入卷积公式中，得到：(f*g)(x) = ∫[-∞,∞] f(u)g(x-u) (-du)将上式中的积分限进行一下变换。
当 t = -∞ 时，有 u = x-(-∞)= ∞；当 t = ∞ 时，有 u = x-∞ = -∞。
所以，积分限可以变换为∞ 和 -∞。
(f*g)(x) = ∫[∞,-∞] f(u)g(x-u) (-du)现在我们开始证明卷积公式。
根据卷积公式的右边，我们有：∫[-∞,∞] f(x)g(x) dx根据二重积分换元法，我们令 v = x-u，于是 x = v+u。
对变量v 求导，得到 dv = dx。
将上述变换代入卷积公式中，得到：∫[-∞,∞] f(x)g(x) dx = ∫[-∞,∞] f(v+u)g(v) dv接下来，我们将积分限进行一下变换。
当 x = -∞ 时，有 v = -∞-u = -∞；当x = ∞ 时，有v = ∞-u = ∞。
所以，积分限可以变换为 -∞ 和∞。
∫[-∞,∞] f(x)g(x) dx = ∫[-∞,∞] f(v+u)g(v) dv我们使用换元法，并令 u = x-t，v = x，则有 x = u+v。
卷积和计算方法
如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。
求y1与y2两个多项式的乘积，即y=y1×y2=(2+x-2x^2)×(1+2x-x^2),求出的结果为y=2+5x-2x^2-5x^3+2x^4。转化成卷积结果为y(n)=[2,5,-2,-5,2]，即多项式乘积结果的系数。
假设两个求卷积的序列为x(n)=[2,1,-2]和h(n)=[1,2，-1]，求二者的卷积y(n)=x(n)*h(n)。
其实卷积的计算步骤和多项式乘法的计算步骤是一样的，把上面两个求卷积的序列转化成多项式，即y1=2+x-2x^2,多项式的零阶、一阶、二阶系数分别为x(n)的x(0),x(1),x(2)，同y2=1+2x-x^2,多项式的零阶、一阶、二阶系数分别为h(n)的h(0),h(1),h(2).
除法的卷积公式
除法的卷积公式
除法的卷积公式通常用于描述两个信号或函数在时间或空间上的卷积。
在数学和工程领域，卷积是一种重要的运算，用于分析信号、图像、系统响应等。
假设有两个函数 f(t) 和 g(t)，它们的卷积定义为：
(f g)(t) = ∫(-∞ to ∞) f(τ) g(t - τ) dτ
其中，f(τ) 和 g(t - τ) 是 f 和 g 的时间变量在 t 时刻的值，dτ 是积分变量。
对于除法的情况，如果我们要计算 f / g 的卷积，可以按照以下步骤进行：
1. 首先计算 f 和 g 的卷积：
(f g)(t) = ∫(-∞ to ∞) f(τ) g(t - τ) dτ
2. 然后，将卷积的结果除以 g(t)：
(f / g)(t) = (f g)(t) / g(t)
需要注意的是，除法的卷积公式仅在 g(t) 不为零时有效。
如果 g(t) 在某些
时间点为零，那么该公式可能会产生不定义或无穷大的结果。
因此，在实际
应用中，需要确保除数不为零，或者采取适当的处理方法来避免除以零的情况。
两个函数卷积
两个函数卷积
卷积是信号处理和图像处理中常用的操作，它是将两个函数进行叠加加权的数学运算。
在信号处理中，卷积可以用来模糊图像、滤除噪声等。
下面我们来讨论如何进行两个函数的卷积。
假设有两个函数f(x)和g(x)，它们的卷积表示为(f*g)(x)，其中x 表示自变量。
卷积的计算方法如下：
(f*g)(x) = ∫[f(t)g(x-t)]dt
上述公式表示了函数f(x)和g(x)的每一个时刻t的乘积在整个定义域上的积分。
这个积分可以理解为将函数f(x)沿着x轴平移，并与g(x)进行逐点相乘，然后对结果进行积分。
卷积的计算可以分为离散和连续两种情况。
在离散的情况下，我们可以将积分替换为求和。
具体计算方法如下：
(f*g)(x) = Σ[f(n)g(x-n)]
在这个公式中，n表示离散的时刻。
卷积的结果是一个新的函数，它描述了两个函数之间的关系。
卷积可
以用来寻找两个函数之间的相似性，以及它们之间的交互作用。
在信号处理中，卷积可以用来设计滤波器，以滤除噪声或增强信号。
需要注意的是，卷积是一个线性操作，满足交换律和结合律，即
(f*g)(x) = (g*f)(x)和(f*(g*h))(x) = ((f*g)*h)(x)。
这些性质使得卷积成为一种非常有用的数学工具。
总结起来，卷积是将两个函数进行加权叠加的数学运算，用于信号处理和图像处理中。
它可以通过积分或求和来计算，并用于寻找函数之间的相似性和交互作用。
卷积是一种线性操作，具有交换律和结合律。
讲义二：卷积与微分方程的数值法求解
讲义二：卷积与微分方程的数值法求解一、 从离散卷积和到连续卷积序列f 1(k )和f 2(k )的离散卷积定义式为()()()()1212i f k f k f i f k i ∞=−∞∗=−∑ 用来计算离散卷积的函数为：f=conv(f1,f2) f1,f2为参与卷积运算的两个序列，f 为卷积的结果，长度为length(f1)+length(f2)-1。
[f,r]=deconv(f1,f2) 解卷运算，使f1=conv(f,f2)+r 成立EX 错误！文档中没有指定样式的文字。
-1 ()()1sin ,010x k k k =≤≤，()20.8,015k x k k =≤≤，计算离散卷积和()y k =()1x k ∗()2x k 。
%程序5_1 计算离散卷积和k1=0:10; %x1的变量取值范围x1=sin(k1); %构建x1序列k2=0:15; %x2的变量取值范围x2=0.8.^k2; %构建x2序列y=conv(x1,x2); %计算卷积结果%显示卷积结果subplot(3,1,1);stem(k1,x1);title('x_1(k)');subplot(3,1,2);stem(k2,x2);title('x_2(k)');k=0:length(y)-1;subplot(3,1,3);stem(k,y);title('y(k)');下面讨论连续卷积的计算：连续时间函数1()f t 和2()f t 的卷积定义为：()()()()()1212f t f t f t f f t d τττ∞−∞=∗=−∫由于计算机实际处理的数据必须满足：1、离散存储；2、有限数据量。
连续信号的处理必须首先经过数值化的过程，以离散的形式被分析、保存和处理。
用数值方法计算卷积需要将卷积积分看作信号的分段求和来实现，这样会得到一定的精确度要求下的卷积。
()()()()()()()1212120lim k f t f t f t f f t d f k f t k τττ∞∞−∞Δ→=−∞=∗=−=Δ−ΔΔ∑∫ 如果我们只求当t n =Δ(n 为整数)时f (t )的值()f n Δ,则得：()()()()1212[()]k k f n f k f n k f k f n k ∞∞=−∞=−∞Δ≈ΔΔ−ΔΔ=ΔΔ−Δ∑∑ 式中的()12[()]k f k f n k ∞=−∞Δ−Δ∑实际上就是连续信号f 1(t )和f 2(t )经等时间间隔Δ均匀抽样的离散序列1()f k Δ和2()f k Δ的离散卷积和。
卷积的几种计算方法以及程序实现FFT算法
t
t 2
u(t ) u(t 2) ，求 i(t ) 的零状态响应。
R 1
i(t )
L 1H
2) 冲激响应为 h(t ) e u(t ) 3)
i(t ) e( ) h(t ) d
e ( t 1) )u(t 2)
Made by 霏烟似雨
数字信号处理
ht 1
e
t 2
u (t ) u (t 2)
e t 1
e t u (t )
O
t
波形
O
2
t
2. 今有一输油管道，长 12 米，请用数字信号处理的方法探测管道内部的损伤，管道的损伤可能为焊 缝，腐蚀。叙述你的探测原理，方法与结果。 （不是很清楚） 探测原理：因为输油管道不是很长，可以考虑设计滤波器器通过信号测量来测试管道的损伤，当有 焊缝时，所接受的信号会有所损失，当管道式腐蚀时，由于管壁变得不再是平滑的时候，信号的频率 就会有所改变。
可以看出， X1[k ], X 2 [k ] 分别为从 X [k ] 中取出的 N/2 点偶数点和奇数点序列的 N/2 点 DFT 值，所 以，一个 N 点序列的 DFT 可以用两个 N/2 点序列的 DFT 组合而成。但是，从上式可以看出，这样的组 合仅表示出了 X [k ] 前 N/2 点的 DFT 值， 还需要继续利用 X1[k ], X 2 [k ] 表示 X [k ] 的后半段本算法推导才 完整。利用旋转因子的周期性，有： WN / 2 WN / 2
Made by 霏烟似雨
数字信号处理
function X = dif2(x) N = length(x) ; if N == 1 X=x; else x1 = x(1:N/2) ; x2 = x(N/2+1:N) ; W = exp(-1i * 2 * pi / N * (0:(N/2-1))) ; X = zeros(1 , N) ; X(1:2:N-1) = dif2(x1 + x2) ; X(2:2:N) = dif2((x1 - x2) .* W) ; end return ; function X = real_fft(x) N = length(x) ; xx = x(1:2:N) + 1j * x(2:2:N) ; XX = dit2(xx) ; %can be changed to other realization of fft XX_conj_rev = conj([XX(1) , fliplr(XX(2:end))]); Xcs = (XX + XX_conj_rev) / 2 ; Xca = (XX - XX_conj_rev) / 2 ; W = exp(-1i * 2 * pi / N * (0:(N/2-1))) ; X = [Xcs + W .* Xca / 1j , Xcs - W .* Xca / 1j] ; return ; 二的方幂：
卷积的定义和证明
卷积的定义和证明卷积是一种数学运算方法，用于处理信号和系统。
它被广泛应用于图像处理、语音处理、信号处理等领域。
本文将介绍卷积的定义和证明。
一、卷积的定义假设有两个函数f和g，它们的卷积定义为：$$(f*g)(t)=\int_{-\infty}^\infty f(t-\tau)g(\tau)d\tau$$其中，t表示时间，∈R，τ表示卷积核或滤波器的延迟时间。
卷积核或滤波器可以看作是g函数，它的作用是对f函数进行滤波或卷积运算。
卷积的结果是一个新的函数，称为卷积函数。
卷积函数的物理意义是：在t时刻，输入f和g的卷积值就是f 时刻和g时刻的“重叠部分”的积分。
因此，卷积运算可以理解为对函数f进行滤波和融合，从而得到更有用的信息。
二、卷积的证明要证明卷积的定义，首先需要理解积分的基本性质和变量代换法则。
假设有函数h(t)=f(t-τ)g(τ)，那么卷积的定义可以表示为：$$(f*g)(t)=\int_{-\infty}^\infty h(t) d\tau$$步骤1：将函数h(t)按照时间τ进行反转，并将τ替换为t-τ，得到：$$h(-\tau)=f(-\tau+t)g(-\tau)=f(t-\tau)g(\tau)=h(\tau)$$步骤2：将h(t)拆分成两个部分，一个是h(t)当τ≥0时的值，一个是h(t)当τ<0时的值，即：$$h(t)=\begin{cases} h(\tau), & \tau \geq 0 \\ 0, & \tau < 0\end{cases}$$步骤3：将卷积积分转化为关于h(t)的积分，得到：$$(f*g)(t)=\int_{-\infty}^\infty h(t) d\tau=\int_{0}^\infty h(t) d\tau$$步骤4：将h(t)表示成两个部分，即：$$h(t)=h(t)\cdot u(\tau)+h(t)\cdot u(-\tau)$$其中，u(\tau)表示单位阶跃函数。
卷积积分的运算
y(t) x(t) h(t) x( )h(t )d
1）将x(t)和h(t)中的自变量由t改为，成为函数的自 变量； 2）把其中一个信号翻转、平移；
h( ) 翻转h( ) 平移th(( t)) h(t )
3）将x() 与h(t )相乘；对乘积后的图形积分。
例11：画出下列系统的模拟图
y(t) 5 y(t) 3 y(t) 3x(t) x(t)
例：引入辅助函数q(t)
q(t) 5q(t) 3q(t) x(t) 利用微分特性法 y(t) 3q(t) q(t)
q(t) x(t) 5q(t) 3q(t)
例12：根据系统的模拟图写出其微分方程模型
et
d
r t
d
et
rt
et
rt
et
T rt
rt de(t)
dt
t
r(t) e(t)dt
rt et rt et T
例10：试用系统模拟图来表示下列方程所描述的LTI系统
a2 y(t) a1 y(t) a0 y(t) b2 x(t) b1 x(t) b0 x(t) a2 y(t) b2 x(t) b1 x(t) b0 x(t) a1 y(t) a0 y(t)
y(t )
1 a2
[b2 x(t )
b1 x(t )
b0 x(t )
a1
y(t)
a0
y(t )]
y(t )
1 a2
[b2 x(t )
b1 x(1) (t )
b0 x(2) (t ) a1 y(1) (t ) a0 y(2) (t )]
根据该式，可直接画出系统模拟图
y(t)