三角形解的个数问题专题
三招破解三角形解的个数问题(打印)
案例二：直角三角形解的个数问题
总结词
直角三角形解的个数问题需要利用勾股定理和三角形的基本性质，通过数形结合和分类 讨论求解。
详细描述
直角三角形有一个角为90度，可以利用勾股定理求出斜边长度。然后利用三角形的性 质，通过数形结合的方式，进行分类讨论求解。同样需要注意排除不符合三角形基本性
质的解。
案例三：等边三角形解的个数问题
三招破解三角形解 的个数问题(打印)
目 录
• 三角形解的个数问题的概述 • 三角形解的个数问题的解题方法 • 三角形解的个数问题的应用场景 • 三角形解的个数问题的案例分析 • 三角形解的个数问题的总结与展望
01
三角形解的个数问题 的概述
三角形解的个数问题的定义
01
三角形解的个数问题是指在给定 一组边长后，判断这组边长能否 构成三角形，以及构成三角形的 可能个数。
具体例子：在求解与正弦、余弦函数有关的代数方程时， 需要考虑方程在不同区间上的解的个数，以及是否满足三 角函数的周期性和图像性质。
代数题
代数题中三角形解的个数问题通常涉及到代数方程的解的个数，需要利用代数方程的性质和求解方法 来判断解的个数。例如，在求解与三角形边长和角度有关的代数方程时，需要考虑不同情况下解的个 数。
的方法。
三角函数法主要涉及三角函数的 周期性和振幅，通过分析三角函 数的图像来确定三角形的解的个
数。
三角函数法需要熟练掌握三角函 数的性质和图像，对于一些特殊 的问题可能需要找到合适的三角
函数表达式。
03
三角形解的个数问题 的应用场景
几何题
三角形解的个数问题在几何题中常常涉及到三角形边长和角 度的关系，需要利用三角形的性质和定理来判断解的个数。 例如，在求解等腰三角形、直角三角形、等边三角形等问题 时，需要考虑不同情况下解的个数。
余弦定理三角形解的个数
余弦定理三角形解的个数
余弦定理是初中数学中的一个重要定理，它可以用来解决三角形中的各种问题。
一般
而言，余弦定理可以帮助我们求出三角形的各个角度和边长。
但是，当我们已知三角形的
两条边和夹角时，余弦定理可以帮助我们判断三角形的形态，即是锐角三角形、钝角三角
形还是直角三角形。
首先，我们来看一下余弦定理的具体形式：
在三角形ABC中，设三角形的三个内角分别为A、B、C，三条边的长度分别为a、b、c，那么根据余弦定理可知：
cos A = (b² + c² - a²) / (2bc)
这里的cos A、cos B、cos C分别表示A、B、C的余弦值。
对于已知两边和夹角的问题，我们可以运用余弦定理来解决。
当我们知道两边和夹角
的值时，可以先利用余弦定理求出第三边长的平方，再判断所得的结果和前两个边的关系
来确定三角形的形态。
举个例子，如果我们已知三角形的两条边长分别为3和4，夹角为30度，那么我们可以通过余弦定理求解第三边的长度：
c² = 25 - 12√3 ≈ 2.85
根据所得的结果我们可以看出，第三条边小于两边之和，因此这是一个锐角三角形。
余弦定理通常有多种用法，可以用来求解三角形各个角度和边长，也可以判断三角形
的形态。
但在判断三角形形态时，需要注意余弦定理只适用于已知两边和夹角的情况。
此外，使用余弦定理时需要注意保证计算过程中符号的正确性，以免影响最终结果。
画图判断三角形解的个数
龙源期刊网
画图判断三角形解的个数
作者：张巧凤
来源：《新高考·高一数学》2015年第03期
在学习《解三角形》这一章时班上同学提出来一些非常有针对性的问题：“已知两边和其中一边所对的角判断三角形解的个数，有没有可以不解三角形就可以写出答案的办法呢？”“并且在填空题中有些题目根本没法计算，给的角度不是特殊角，可不可以非常简便地判断出三角形解的个数呢？”我想很多读者可能都会有同样的困惑，今天，就针对题目中经常出现的这个问题给一种简单的解法。
已知三角形两边及其中一边的对角时解三角形的个数判定方法及其应用
已知三角形两边及其中一边的对角时解三角形的个数判定方法及其应用作者：***来源：《教育界·下旬》2015年第11期一、已知三角形两边及其中一边的对角时解三角形的个数的探讨在△ABC中，已知两边a、b和其中边a的对角A，解三角形时，解的个数有哪些情况？问题相当于：在△ABC中，已知两边a、b和其中边a的对角A画三角形时，能画多少个三角形？画法：（1）画∠MAN等于已知角A；（2）在射线AM上截取AC=b；（3）以C为圆心、a为半径画弧，交射线AN于点B（交点B的个数决定画出的三角形的个数），则△ABC就是要画的三角形。
1.当A为锐角时：（1）当a（2）当a=bsinA时，画出唯一的三角形，如图（2），只有一个解；（3）当bsinA（4）当a≥b时，画出唯一的三角形，如图（4），只有一个解.2.当A为直角或钝角时：（1）当a≤b时，无解，如图（5）、图（6）；（2）当a>b时，一个解，如图（7）、图（8）。
记忆方法：解的个数判定方法一（1）当A为锐角时；（2）当A为直角或钝角时.当已知角的对边是大边，有一解，否则，无解。
在△ABC中，已知两边a、b和其中边a的对角A解三角形，解的个数的判定方法还可以用下面方法：方法二：由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得到以第三边c为未知数的一元二次方程，此方程正数解的个数即为三角形解的个数。
已知a，b，A，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得c2-（2bcosA）c+b2=a2=0，（l）若方程无解或无正数解，则三角形无解；（2）若方程有唯一正数解，则三角形有一解；（3）若方程有两个不同的正数解，则三角形有两解。
二、已知三角形两边及其中一边的对角时三角形解的个数判定方法应用举例1.已知三角形两边及其中一边的对角时判定解的个数。
例1：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，根据下列条件，不解三角形判断有几组解？。
专题4 解三角形中的计算求值问题-12个类型(原卷版)-2024届高三三角函数与解三角形重点题型
专题4解三角形中的计算求值问题·12类题型目录知识点梳理 (2)一、中线或比例端点的处理策略： (2)二、高线问题的处理策略： (3)三、角平分线问题的处理策略： (3)四、解三角形多解情况 (4)高考真题梳理与回顾 (5)2023年新课标全国Ⅱ卷真题：已知中线长 (5)2023年高考全国甲卷数学(理)真题.T16角平分线相关计算 (6)2021新高考一卷T20：三等分线相关计算 (7)题型一周长与面积相关计算 (11)2022.佛山二模 (11)2024届.广东省六校第二次联考 (11)2023.福州二模 (12)2023.湛江.一模 (12)2023.湖北5月联考 (12)2022.深圳二模 (13)题型二给值求角型 (13)2023.广东.二模 (13)2023.广州一模 (13)2023.重庆.三模 (13)题型三角平分线相关计算 (14)2023.厦门第四次质检 (14)2023.广东省六校高三第四次联考 (15)2024届.云南省昆明华区高三上期中 (15)题型四中线相关计算 (15)2023.广州天河区一模 (15)2023广州市.一模 (16)2023.重庆九龙坡二模 (16)2023.莆田市二模 (16)2023.青岛.三模 (17)2023.福州三模 (17)题型五三等分线或其它等分线 (18)2023.广州市二模 (18)2023届.巴蜀中学适应性月考（十） (18)2023.雅礼中学二模 (18)2023.重庆一中高三5月月考 (19)2023.深圳二模 (19)题型六高线线相关计算 (20)题型七其它中间线 (22)2023.台州二模 (22)2023上.肇庆.二模 (23)题型八二倍角的处理策略 (24)广东省六校2024届第一次联考 ..................................................................................................... 24 题型九 三角形解的个数问题 ....................................................................................................................... 25 题型十 解三角形的实际应用 .. (26)类型1 距离问题 ...................................................................................................................................... 26 类型2 高度问题 ...................................................................................................................................... 27 题型十一 与三角函数结合 ........................................................................................................................... 29 题型十二 重心，外心相关计算 . (30)知识点梳理中间线的处理通用策略：用2次余弦定理，邻补角余弦值为相反数，即cos cos 0ADB ADC +=∠∠一、中线或比例端点的处理策略：如图，△ABC 中，AD 为BC 的中线，已知AB ，AC ，及∠A ，求中线AD 长．策略一：如图，倍长中线构造全等,再用余弦定理即可策略三：两次余弦定理，邻补角余弦值为相反数，即cos cos 0ADB ADC +=∠∠二、 高线问题的处理策略：策略一：等面积法：sin AD BC AB AC BAC ⋅=⋅⋅∠ 策略二：sin =sin AD AB ABD AC ACD =⋅⋅∠∠ 策略三：a c COS Bb COS C =⋅+⋅ 三、角平分线问题的处理策略：△策略一：角平分线定理：DAC CDΑΒΒ= 证法1（等面积法）1212=ABD ACD S BD h AB h S CD h AC h ⋅⋅=⋅⋅，得D AC CDΑΒΒ= 注：1h 为A 到BC 的距离，2h 为D 到AB,AC 的距离. 证法2（正弦定理） 如图，sin 3sin 1D ΑΒΒ=∠∠，sin 4sin 2C CD Α=∠∠,而sin 1sin 2,sin 3sin 4==∠∠∠∠整理得DAC CDΑΒΒ= 策略二：利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理SS ∆AABBCC =SS ∆AABBAA +SS ∆AAAACC ⟹12×AAAA ×AAAA ×ssss ss AA =12×AAAA ×AAAA ×ssss ss AA2+12×AAAA ×AAAA ×ssss ss AA2，策略三：角互补：∠AAAAAA +∠AAAAAA =ππ⟹ccccss∠AAAAAA +ccccss∠AAAAAA =0, 在△AAAAAA 中，ccccss∠AAAAAA =AAAA 2+AABB 2−AABB 22AAAA ×AABB ,在△AAAAAA 中，ccccss∠AAAAAA =AAAA 2+AACC 2−AACC 22AAAA ×AACC,四、解三角形多解情况在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：sin a b A =sin A a <<a b ≥高考真题梳理与回顾2023年新课标全国Ⅱ卷真题：已知中线长【详解】（1）方法1：在ABC 中，因为D 为BC 中点，π3ADC ∠=，1AD =，则1111sin 12222ADC ABC S AD DC ADC a S =⋅∠=××===4a =，在ABD △中，2π3ADB ∠=，由余弦定理得2222cos c BD AD BD AD ADB =+−⋅∠， 即2141221()72c =+−×××−=，解得c =cos B =，sinB ， 所以sin tan cos BBB ==方法2：在ABC 中，因为D 为BC 中点，π3ADC ∠=，1AD =， 则1111sin 12222ADC ABC S AD DC ADC a S =⋅∠=××=== 4a =， 在ACD 中，由余弦定理得2222cos b CD AD CD AD ADB =+−⋅∠，即214122132b =+−×××=，解得b =，有2224AC AD CD +==，则π2CAD ∠=， π6C =，过A 作AE BC ⊥于E ，于是3cos ,sin 2CE AC C AE AC C ====，52BE =，所以tan AEBBE ==（2）方法1：在ABD △与ACD 中，由余弦定理得222211121cos(π)4211121cos 42c a a ADC b a a ADC =+−×××−∠=+−×××∠，整理得222122a b c +=+，而228b c +=，则a =又11sin 2ADC S ADC =×∠= sin 1ADC ∠=，而0πADC <∠<，于是π2ADC ∠=，所以2b c ==.方法2：在ABC 中，因为D 为BC 中点，则2AD AB AC =+ ，又CB AB AC =−，于是2222224()()2()16AD CB AB AC AB AC b c +=++−=+=，即2416a +=，解得a =又11sin 2ADC S ADC =×∠= sin 1ADC ∠=，而0πADC <∠<，于是π2ADC ∠=，所以2b c ==.2023年高考全国甲卷数学(理)真题·T16 角平分线相关计算【详解】如图所示：记,,AB c AC b BCa ===， 方法一：由余弦定理可得，22222cos 606b b +−×××= ， 因为0b >，解得：1b =+ 由ABCABD ACD S S S =+ 可得， 1112sin 602sin 30sin 30222b AD AD b ×××=×××+××× ， 解得：2AD =． 故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222cos606b b +−×××= ，因为0b >，解得：1b =2sin sin b B C =，解得：sin B =sin C = 因为1+>>45C = ，180604575B =−−= ，又30BAD ∠= ，所以75ADB ∠= ，即2ADAB ==．2021新高考一卷T20：三等分线相关计算记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.【答案】（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC ∠=. 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有acBD b=，结合已知即可证结论.（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边a 与c 的关系，然后利用余弦定理即可求得cos ABC ∠的值.【详解】（1）设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理，得sin sin,22b cR ABC C R==∠， 因为sin sin BD ABC a C ∠=，所以22b cBD a R R⋅=⋅，即BD b ac ⋅=． 又因为2b ac =，所以BD b =．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为2AD DC =，如图，在ABC 中，222cos 2a b c C ab+−=，①在BCD △中，222()3cos 23ba b b a C +−=⋅．② 由①②得2222223()3b a b c a b +−=+− ，整理得22211203a b c −+=． 又因为2b ac =，所以2261130a ac c −+=，解得3ca =或32c a =， 当22,33c c a b ac ===时，3c a b c +=+<（舍去）．当2233,22c c a b ac ===时，22233()722cos 31222c c ABC c c c +⋅−==⋅∠． 所以7cos 12ABC ∠=．[方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知2AD DC =，则23ABD ABC S S =△△， 即21221sin sin 2332b ac AD A B BC ×=××∠∠，而2b ac =，即sin sin ADB ABC ∠=∠， 故有ADB ABC ∠=∠，从而ABD C ∠=∠． 由2b ac =，即b c a b =，即CA BACB BD=，即ACB ABD ∽， 故AD ABAB AC=，即23bc c b =，又2b ac =，所以23c a =，则2227cos 212c a b ABC ac +−==∠． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合 由（1）知BD b AC ==，再由2AD DC =得21,33AD b CD b ==． 在ADBsin BDA=．又ABD C ∠=∠，所以s 3sin n 2i C b Ab=，化简得2sin sin 3C A =． 在ABC 中，由正弦定理知23c a =，又由2b ac =，所以2223b a =．在ABC 中，由余弦定理，得222222242793cos 221223a a a a cb ABC ac a +−−×∠+===．故7cos 12ABC ∠=． [方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作DE AB ∥，交BC 于点E ，则DEC ABC △∽△．由2AD DC =，得2,,333c a aDE EC BE ===． 在BED 中，2222()()33cos 2323BED a c b a c −=⋅∠+⋅．在ABC 中222cos 2a a BC c A b c+−=∠．因为cos cos ABC BED ∠=−∠， 所以2222222()()3322233a c ba cb ac ac +−+−=−⋅⋅，整理得22261130a b c −+=．又因为2b ac =，所以2261130a ac c −+=， 即3c a =或32a c =．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因为2AD DC =，所以2AD DC =．以向量,BA BC为基底，有2133BD BC BA =+ ． 所以222441999BD BC BA BC BA =+⋅+ ， 即222441cos 999b ac c ABC a ∠=++， 又因为2b ac =，所以22944cos ac a ac ABC c ⋅∠=++．③ 由余弦定理得2222cos b a c ac ABC =+−∠， 所以222cos ac a c ac ABC =+−∠④ 联立③④，得2261130a ac c −+=． 所以32a c =或13a c =．下同解法1．重点题型·归类精练2022·佛山二模2024届·广东省六校第二次联考3．ABC 的角,,A B C 的对边分别为,,,1,a b c AB AC ABC ⋅=−a =ABC 的周长.2023·湛江·一模求a ．2023·湖北5月联考的周长.6．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2B A =，当4,6a b ==时，求ABC 的面积S ．题型二 给值求角型2023·广东·二模2023·广州一模8．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2,2sin 3sin2c b A C =，求sin C .2023·重庆·三模9．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，sin()tan sin sin A B C A B −=．题型三角平分线相关计算2023·厦门第四次质检2023·广东省六校高三第四次联考且1AD =，2BD CD =，求ABC 的周长.2024届·云南省昆明市五华区高三上期中12．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c AD 平分BAC ∠且交BC 于点D ．已知1,AD ACD =△的面积为1，若2CD BD =，求tan BAC ∠．题型四 中线相关计算2023·广州天河区一模ABC 的中线，求AD 的长.2023·重庆九龙坡二模求边BC 的中线AD 的长.2023·莆田市二模16．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a =，D 为AB 的中点，且CD =．的周长．求ABC2023·福州三模18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 的面积.ABC题型五三等分线或其它等分线2023·广州市二模∠.求tan BAD2023届·巴蜀中学适应性月考（十）2023·雅礼中学二模2023·重庆一中高三5月月考BC=．2023·深圳二模AM的长度.题型六高线线相关计算24．（2023秋·山东泰安·高三统考阶段练习）△AAAAAA的内角AA,AA,AA的对边分别为aa,bb,cc，已知AA=135°,bb=2,cc=√2.(1)求sin AA的值；(2)若AA是AAAA上一点，AAAA⊥AAAA，求△AAAAAA的面积.25．△AAAAAA中，角AA,AA,AA的对边分别为aa,bb,cc,2sin2AA+2sin2AA+2sin AA sin AA+cos[2(AA+AA)]=1，∠AA的平分线交AAAA边于AA，过AA作AADD⊥AAAA，垂足为点DD.(1)求角A的大小；(2)若bb=2,cc=4，求AADD的长.26．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，6a =，sin2b A B =.(1)若1b =，证明：π2CA =+；(2)若BC ，求ABC 的周长.27．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin 2a c b c A b c+−=−．(1)求A ；(2)若14b c =，且BC 边上的高为a ．28．已知H 为锐角△AAAAAA 的垂心，AAAA ,AADD ,AACC 为三角形的三条高线，且满足9HHAA ⋅HHDD ⋅HHCC =HHAA ⋅HHAA ⋅HHAA .(1)求cos AA cos AA cos AA的值.(2)求cos∠AAAAAA⋅cos∠AAAAAA的取值范围.题型七其它中间线2023·台州二模BC=．2023上·肇庆·二模题型八 二倍角的处理策略广东省六校2024届第一次联考33．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2A B =，求证：22a b bc −=；34．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且4b =．若2A B =，且ABC 的边长均为正整数，求a ．35．已知,,a b c 分别是ABC 的角,,A B C 的对边，()sin sin sin 2cos2b B a A C b B c −=−. (1)求证：2A B =；(2)求ca的取值范围.题型九 三角形解的个数问题36．在ABC ∆中，2c =，cos sin a C c A =，若当0a x =时的ABC ∆有两解，则0x 的取值范围是 ．37．若满足3ABC π∠=，3AC =，BC m =的ABC ∆恰有一解，则实数m 的取值范围是 ．38．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ，且3B π=，若(0)b c x x =>，当ABC ∆仅有一解时，写出x 的范围，并求a c −的取值范围．39．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =°，若(0)ab m m =>，当ABC ∆有且只有一解时，求实数m 的范围及ABC ∆面积S 的最大值．题型十 解三角形的实际应用 类型1 距离问题40．一游客在A 处望见在正北方向有一塔B ，在北偏西45°方向的C 处有一寺庙，此游客骑车向西行1km 后到达D 处，这时塔和寺庙分别在北偏东30°和北偏西15°，则塔B 与寺庙C 的距离为______km .41．（2023·全国·高三专题练习）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A 与其附近一建筑物楼顶B 之间的距离，无人机在点C 测得点A 和点B 的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D ，此时测得点A 和点B 的俯角分别为45°和60°（A ，B ，C ，D 在同一铅垂面内），则A ，B 两点之间的距离为______米.42．如图，为了测量,A C 两点间的距离，选取同一平面上的B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单位：km ）：5AB =，8BC =，3CD =，5DA =，且,,,A B C D 四点共圆，则AC 的长为_________km .43．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得灯塔底部C在北偏东15°方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，此时测得灯塔底部C在北偏东60°方向上，测得塔顶P的仰角为60°，已知灯塔高为．则巡逻船的航行速度为______km/h．类型2 高度问题44．如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高300m的M处（即300mMD=），观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，则山高BC=_________m．45．如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A、B两地，A处位于东西方向的直线MN上的陆地处，B处位于海上一个灯塔处，在A处用测角器测得3tan4BAN∠=，在A处正西方向1km的点C处，用测角器测得tan 1BCN ∠=.现有两种铺设方案:①沿线段AB 在水下铺设；②在岸MN 上选一点P ，设BPN θ∠=，0,2πθ∈，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km 、4万元/km.(1) 求A 、B 两点间的距离；(2)请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由.46．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D .现测得35BCD α∠==°，100BDC β∠==°，400m CD =.在点C 测得塔顶A 的仰角为50.5°. (1)求B 与D 两点间的距离（结果精确到1m ）；(2)求塔高AB （结果精确到1m ）.350.811°=80 1.393°=，tan 50.5 1.2°=.47．中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山高的问题（如图1）：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何?假设古代有类似的一个问题，如图2，要测量海岛上一座山峰的高度AH，立两根高48丈的标杆BC和DE，两竿相距BD=800步，D，B，H三点共线且在同一水平面上，从点B退行100步到点F，此时A，C，F三点共线，从点D退行120步到点G，此时A，E，G三点也共线，则山峰的高度AH=_________步.（古制单位:180丈=300步）题型十一与三角函数结合48．已知函数ff(xx)=2sin(ωωxx+φφ)�ωω>0,|φφ|<π2�的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且ff(xx)的图象的一个对称中心为�5π12,0�.(1)求ff(xx)的解析式；(2)在△AAAAAA中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知AA=π3，aa=ff(AA)，且△AAAAAA的面积为√312，求△AAAAAA的周长.49．已知向量mm��⃗=(cos xx,sin xx)，ss�⃗=�cos xx,√3cos xx�，xx∈R，设函数ff(xx)=mm��⃗⋅ss�⃗+12(1)求函数ff(xx)的单调递增区间；(2)设aa，bb，cc分别为△AAAAAA的内角AA，AA，AA的对边，若ff(AA)=2，bb+cc=2√2，△AAAAAA的面积为12，求aa的值．50．已知△AAAAAA的内角A，AA，AA所对的边分别为aa，bb，cc，ff(xx)=4cos xx sin�xx−π6�的最大值为ff(AA).(1)求角AA；(2)若点AA在AAAA上，满足AAAA=3AAAA，且AAAA=√7，AAAA=√3，求角C.题型十二重心，外心相关计算51．已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且222=+．c a b38(1)求cos B 的最小值；(2)若M 为ABC 的重心，90AMC ∠=°，求sin sin AMB CMB∠∠．52．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c sin cos cos ,B a C c A b G −==为ABC 的重心． (1)若2a =，求c 的长；(2)若AG =ABC 的面积．53．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为,,,6,sin sin 2B C a b c a b a B +==． (1)求A 的大小；(2)M 为ABC 内一点，AM 的延长线交BC 于点D ，___________，求ABC 的面积． 请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使ABC 存在，并解决问题．①M 为ABC 的重心，AM =②M 为ABC 的内心，AD =；③M 为ABC 的外心，4AM =．54．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 是公差为2的等差数列.(1)若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积.(2)是否存在正整数b ，使得ABC 的外心在ABC 的外部?若存在，求b 的取值集合；若不存在，请说明理由.55．在ABC 中，角A ，B ，C 对应的三边分别为a ，b ，c ，(tan 1)(tan 1)2A B ++=，c =2a =，O为ABC 的外心，连接OA ，OB ，OC ．（1）求OAB 的面积；（2）过B 作AC 边的垂线交于D 点，连接OD ，试求cos OBD ∠的值．56．在 ABC 中，三内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，a ＝6．(1)求b cos C ＋c cos B 的值；(2)若O 是 ABC0OA OB OC →→→→+=，求 ABC 外接圆的半径．。
重点突破：判断三角形解的个数问题
0
=
b sinB
，即 1 =
2
3
3 3 sinB
∴B=60°或 B=120°． 故选：C . 点睛：本题主要考查正弦定理解三角形，属于简单题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个
主要依据. 解三角形时， 有时可用正弦定理， 有时也可用余弦定理， 应注意用哪一个定理更方便、 简捷一般来说 , 当条件中同时出现 ab 及b2 、a2 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运 用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 5．D 【解析】分析：利用正弦定理即可得出. 详解：由正弦定理可得：
5 1 , B 1500 符合两解。选 D. 9 2
bsinA 0 ， A 中 sinB 1, B 90 ， 1 解， 不符。 C 中 sinB 2 1 ， a
【点睛】
在己知两边一对角的题型中，有钝角或直角最多一解，己知角所对边为大边，最多一解，其余情况根据三角形内 角和 180 ，大边对大角来判断。 4．C【解析】分析：利用正弦定理求出 sinB，得出 B，利用内角和定理进行检验． 详解：由正弦定理得 ∴sinB= ．π 2π π源自）B.2π 3
C.
π 3
D.
π 4
2．已知 ABC 中， a A. 0 个 B. 1个
0
2, b 3, A 45 ，则三角形的解的个数（
D. 0 个或 1个
）
）
C. 2 个
3．在 ABC 中，利用正弦定理理解三角形时，其中有两解的选项是（ A. a 3, b 6, A 30 B. a 6, b 5, A 150 D. a
三角形解的个数问题
05
三角形解的个数问题的扩 展和深化
三角形解的个数问题的推广
要点一
推广到多边形
要点二
推广到组合优化
将三角形解的个数问题推广到多边形，研究多边形的可解 性、解的个数和最优解等问题。
将三角形解的个数问题看作是组合优化问题的一种，研究 其他组合优化问题的解法，如旅行商问题、排班问题等。
三角形解的个数问题的变种
详细描述
在几何问题中，三角形解的个数问题通常涉及到三角形边长和角度的条件约束。根据三角形的性质， 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。同时，角度的条件也会影响三角形解的个数。 通过分析这些条件，可以判断三角形解的个数。
三角函数中的三角形解的个数问题
总结词
三角函数中的三角形解的个数问题主要 涉及到三角函数的性质和图象，通过分 析三角函数的性质和图象，判断三角形 解的个数。
考虑三角形边的长度
在三角形解的个数问题中，可以考虑 三角形的边长限制，研究不同边长条 件下三角形的可解性。
考虑三角形角度
在三角形解的个数问题中，可以考虑 三角形的角度限制，研究不同角度条 件下三角形的可解性。
三角形解的个数问题与其他数学知识的结合
与几何学结合
将三角形解的个数问题与几何学知识相结合，研究几 何图形中的可解性问题，如多边形、曲面等。
与图论结合
将三角形解的个数问题与图论知识相结合，研究图论 中的可解性问题，如子图、路径、连通性等。
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三角形解的个数问题
目 录
• 三角形解的个数问题的定义和分类 • 三角形解的个数问题的基本定理和公式 • 三角形解的个数问题的应用实例 • 三角形解的个数问题的解题技巧和方法 • 三角形解的个数问题的扩展和深化
专题三：等腰三角形多解问题
专题三：等腰三角形多解问题1、已知一个等腰三角形两内角的度数比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为。
2、等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是。
3、已知等腰三角形的一个内角为75°，则它的顶角是。
4、若等腰三角形的一个内角是72°。
,则它的底角度数是。
5、若等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°。
,则三内角度数分别为。
6、等腰三角形两边长分别为5和7,则此等腰三角形的周长为。
7、等腰三角形的周长为14,其一边长为4,那么它的底边为。
8、等腰三角形周长为20cm,—腰上的中线将其周长分为两部分，其中一部分比另一部分长2cm,则腰长为。
9、若等腰三角形一腰上的高等于腰的一半,则底角度数为。
10、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°。
,则这个等腰三角形的顶角度数为。
11、等腰三角形的腰长为2,面积为1,则顶角度数为。
12、在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得锐角为50°，则底角为。
13、在等腰三角形ABC中，AB=BC，∠BAC=20°，点D在直线BC上，且CD=AC，则∠ADC的度数为。
14、在等腰∆ABC中，AB=BC，点B与点B’关于AC所在直线对称，且∠BAB’=100°，则∠ABC=。
15、已知AD和BE是∆ABC的高，H是直线AD与直线BE的交点，BH=AC，则∠ABC=。
16、过等腰三角形ABC顶角的顶点A的一条直线，把等腰三角形ABC分成两个等腰三角形,则∠ABC=。
17、在∆ABC中，∠B=30°，∠C=50°，点D是BC边上一点，点F是射线BA上一点,DF与射线CA相交于点E,点G是EF的中点，若∠DEC=∠C,则∠CAG= 。
18、在∆ABC中, ∠ACB=90° ,AC=BC,以AC为一边，在同一平面内作等边∆ACD,连接BD,则∠ADB=。
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解三角形专题2
令狐采学
三角形解的个数问题
A为锐角A为钝角或直角图形
关系
bsinA<a<b a≥b a≤b A<bsinA A=bsinA
无解一解两解一解无解
解的
个数
1 已知下列三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否
有解，并指出有几解？
(1) 78105
==∠=
a,b,A
(2) 102080
==∠=
a,b,A
(3) 105660
b,c C
==∠=
(4) 23630
a,A
==∠=
答案:(1) 90
∠>而a b<，故无解
A
(2) 90
∠<<<，故有无解
A,a b sin A b
(3) c b>，故有一组解
(4) 90
∠<<<，故有两组解
A,b sin A a b
2在△ABC中，A=45°，AB=3，则“BC=2”是“△ABC只
有一解且C=60°”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件
D ．既为充分也不必要条件
另解法
法1：大角对大边
在已知ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”
来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求
出B 的值，根据三角函数的有界性求解．
【例1】在
ABC ∆中，已知a =b =，45B =︒，求A 、C 及c ．
解：由正弦定理，得sin sin
2
a B A
b ===，∵4590B =︒<︒，b a <，∴60A =︒或120︒．
当60A =︒时，75C =︒，sin 75sin sin 452
b C
c B ︒===︒；
当120A =︒时，15C =︒，sin sin b C c B =
==． 点评：在三角形中，sin sin a b A B A B >⇔>⇔>这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘．
法2：二次方程的正根个数
一般地，在ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整理为关于c 的一元
二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数
解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解．
【例2】如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，10AD =，14AB =， 60BDA ∠=︒，135BCD ∠=︒，求BC 的长．
解：在ABD ∆中，设BD x =，由余弦定理得2221410210cos60x x =+-⋅︒，
整理得210960x x --=，解得16x =．
由正弦定理，得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠︒===∠︒
点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，
利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．
法3：画圆法
已知ABC ∆中，A 为已知角（90≠︒），先画出A ，确定顶点A ，再在A 的一边上确定顶点C ，使AC
边长为已知长度，最后以顶点C 为圆心，以CB 边长为半径画圆，看该圆与A 的另一边是否有交点，如果
没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个
交点，则说明该三角形的解的个数为2．
【例3】在ABC ∆中，60A ∠=︒，a =3b =，则ABC ∆解的情况（） （A ）无解（B ）有一解（C ）有两解（D ）不能确定
解：在A 的一边上确定顶点C ，使3AC b ==，作60CAD ∠=︒， A B
C D A b C
a D
以顶点
C为圆心，以CB a==AD没有交点，
则说明该三角形的解的个数为0，故选A．。