专题四三角函数与解三角形第十二讲解三角形答案

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三角函数与解三角形题型归纳及习题含详解

2 简而言之即“奇变偶不变，符号看象限”. 题型归纳及思路提示
题型 53 终边相同的角的集合的表示与区别思路提示
（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决.
（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标
4. 熟练运用同角三角函数函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值
和简单恒等式的证明.
命题趋势探究
1.一般以选择题或填空题的形式进行考查.
2.角的概念考查多结合函数的基础知识.
3.利用同角三角函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值是重要考点. 知识点精讲一、基本概念
正角---逆时针旋转而成的角；（1）任意角负角---顺时针旋转而成的角；
二、任意角的三角函数 1.定义已知角终边上的任一点 P(x, y) （非原点 O ），则 P 到原点 O 的距离
r OP x2 y2 0 . sin y , cos x , tan y .
r
r
x
此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广.类比，对 y ，邻 x ，斜 r ，如图 4-2 所示.
的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变.
注：弧度或 rad 可省略（5）两制互化：一周角= 3600 2 r 2 （弧度），即 1800 .
r
1（弧度）
180
0
57.30
57018
故在进行两制互化时，只需记忆 1800 ，10 两个换算单位即可：如： 180
5 5 1800 1500 ； 360 36 .
C. 0, ，是第一、二象限角

三角函数与解三角形第十二讲解三角形答案

专题四三角函数与解三角形第十二讲解三角形答案部分 2019 年1.解析因为 b sin A +a cos B =0，所以由正弦定理，可得：sin A sin B sin A cos B 0 ，因为 A (0,π) ，sin A 0，所以可得sin B cos B 0 ，可得 tan B 1，因为 B(0,π) ，所以3πB．42.解析因为△ABC 的内角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b ,c . 利用正弦定理将角化为边可得 a 2 b 2 4c 2①由余弦定理可得 cosAb 2c 2 a 2 1②2bc 4由①②消去 a 得 cos Ab 2c 2 b 2 4c 2 1 ， 2bc 4化简得 b 6c ，即 b6. 故选A ． c3.解析（Ⅰ）由余弦定理b 2 a 2 c 2 2ac cos B ，得2221b 3c 23c ( ) ．2因为 b c 2 ，所以 (2)2 32 2 2 3 ( 1) ccc ．2解得 c 5 ．则 b 7 ．（Ⅱ）由cosB ，得sin3 1 B．22 a3 3 sin A sinB．由正弦定理得，b14在△ABC 中，B C A，1所以sin()sinsin3 3BCAA14 AC4.解析（1）由题设及正弦定理得sin A sinsin B sin A．2A C因为sin A 0 ，所以sin sin2B ． AC B 由 A B C 180 ，可得sin cos2 2B B B ．，故 cos 2 s in cos 2 2 2B ，故sinB 1 ，因此 B 60．因为 cos0 22 2（2）由题设及（1）知△ABC 的面积3 Sa △ABC4．由正弦定理得sinsin12031C c Aa．sin Csin C2tan C 2由于△ABC 为锐角三角形，故0 A 90，0 C 90 ，由（1）知 A C 120，所以30 C 90，故1 2，从而 33 a 2S△ABC82．3 3因此，△ABC面积的取值范围是 , ．82bc5.解析（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理，得b sin C c sin B ，又由sin B sin C4 3c sin B 4a sin C ，得3b sin C 4a sin C ，即3b 4a .又因为b c 2a ，得到b a，3 2c a .3由余弦定理可得cos B4 16a a a2 22a c b2 2 2 19 922 2 4a a3.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin 1 cos2 15BB ，4B B B 15 ，cos 2 cos2 sin2 7 从而sin 2 2 s in cos B B B ，8 82ππ π 15 3 7 13 5 7故sin 2B sin 2B cos cos 2B sin6 6 68 2 8 2 16.6.解析（1）由余弦定理 cos B a c b2 2 2，得 2ac2 (3c ) c ( 2) 2 2 23 23c c，即 2 1c .3 3c.所以3sin A cos B（2）因为，a2b ab BB，得 cossin 由正弦定理，所以cos B 2 s in B .sin A sin B2b b从而 cos 2 B (2sin B )2，即cos B 4 1 cos B ，故cos 24B .225因为sinB 0，所以 cos B 2 s inB 0，从而 cos 2 5B.5π2 5 因此sin B cos B25.7.解析：在直角三角形 ABC 中， AB 4 ， BC 3， AC 5， sin 4C ，5 在△BCD 中， BDBCsin C sin BDC，可得 12 2 BD ；5 CBD 135o C ，22 43 7 2sinsin(135 )(cossin )CBDCCCo，2 2 5 510cos ABD cos 90o CBD sin CBD 所以7 2 10.2010-2018 年1．A【解析】因为cos C 2 cos 1 2 1 ，所以由余弦定理，C2 1 32 5 5得 2 2 2 2 cos 25 1 2 5 1 ( 3) 32AB AC BC AC BCC，5所以AB 4 2 ，故选A．32．C 【解析】根据题意及三角形的面积公式知1 a b c222ab sin C ，24a 2b 2c 2所以sin Ccos C ，所以在 ABC 中，C2ab．故选 C ． 43．B 【解析】由sin B sin A (sin C cos C) 0 ，得sin(A C ) sin A (sin C cos C ) 0，即sin A cos C cos A sin C sin A sin C sin A cosC 0，所以sin C (sin A cos A ) 0 ，因为C 为三角形的内角，所以sinC 0 ，故sin A cos A 0 ，即 tan A 1，所以3 A．4ac得，sin1由正弦定理C ，由C 为锐角，所以Csin A sin C2，选 B ． 64 b 2 22b cos A5 ，整理得3b 2 8b 3 0 ，解得 b 34．D 【解析】由余弦定理，得1或b（舍去），故选 D ．35．D 【解析】设 BC 边上的高为 AD ，则 BC 3AD ， DC 2AD ，所以 ACBCAC AD 2 DC 2 5AD ．由正弦定理，知，sin B sin A即5AD 3AD ，解得sin 3 10 A，故选 D ．2 sin A 1026．C 【解析】由余弦定理得 a 2 b 2 c 2 2bc cos A 2b 2 2b 2cos A ，所以2b 2(1 sin A ) 2b 2(1 cos A ) ，所以sin A cos A ，即 tan A 1，又0 A ，所以 A． 4a 2b 2c 2 2bc cos A ，7．C 【解析】由余弦定理得：2232所以2 b 2 32b 2 3，2b 2 6b 8 0 ，解得：b 2 或b 4 ，因为bc ，所以b 2 ，故选 B ．即48．B 【解析】1 AB BCB 1 ，∴sin 2 sin B ，所以 B 45o 或 B 135o ．22 2当 B 45o 时，AC AB 2BC22AB BC cos B 1，此时AB AC 1,BC 2 ，易得 A 90o 与“钝角三角形”矛盾；当 B 135o 时，AC AB2BC22AB BC cosB 5 ．9．A 【解析】因为 A BC ，由sin 2sin( ) sin( ) 1A A BC C AB21得sin 2A sin 2 B sin 2C ，21即sin[(A B ) (A B )] sin[(A B ) (A B )] sin 2C ，21整理得sin A sin B sinC ，81 1 1又S ab sinC bc sin A ac sin B ， 2 2 2因此31 2 2 2 sin sin sin 1 2 2 2S a b c A BC a b c ，由1≤ S ≤ 28 64得11 2 2 2 23 ≤ a b c ≤ ， 64即8≤ abc ≤16 2 ，因此选项 C 、D 不一定成立．又 b c a 0 ，因此bc ( b c ) bc a ≥8，即bc ( b c ) 8 ，选项 A 一定成立．又 a b c 0 ，因此 ab ( a b ) 8，显然不能得出 ab ( a b ) 16 2 ，选项 B 不一定成立．综上所述，选 A ． 10．C 【解析】由C c 2(a b )26 可得 a 2 b 2 c 2 2ab 6 ①，由余弦定理及3可得 a 2 b 2 c 2 ab ②．所以由①②得 ab 6 ，所以 1 sin 3 3Sab ．ABC23211．C 【解析】∵ tan15o tan(60o 45o ) 2 3 ，o60 tan15o120( 3 1)∴BC 60 tan 6025cos A10 ，cos 12A ，由余弦定理解得b 512．D【解析】513．A【解析】边换角后约去sin B ，得sin( ) B ，但B 非最大角，A C 1 ，所以sin 12 25所以B．614．C【解析】由余弦定理可得AC 5 ，再由正弦定理得sin 3 10A ．1015．B【解析】∵b cos C c cos B a sin A ，∴由正弦定理得sin B cos C sin C cos B sin2 A ，∴sin(B C ) sin2 A，∴sin A sin2 A,∴sin A 1，∴△ABC 是直角三角形．16．B【解析】由正弦定理得：BC AC 3 2 ACACsin sin sin 60 sin 45A B2 317．D【解析】由正弦定理，得sin A sin B sin B cos A 2 sin A，2 2即sin B(sin2 A cos2 A ) 2 sin A，sinB 2 sin A ，∴sin 2b B．a sin A18．D【解析】设AB c ，则AD c，BD 2 ， 4c cBC ，在ΔABD 中，由余弦定3 3理得cosA4c c c2 2 2，则sin 2 213A ，在ΔABC 中，2c 3 324c由正弦定理得c BC，解得sin 63C ．sin C sin A 2 2 6319．A 【解析】因为 C 120o，c 2a ，所以c 2 a 2 b2 2ab cos C ，2 2 2 2 2 ( 1)a ab ab2ab所以a2 b 2 ab,a b 0,a ba b因为a 0,b 0 ，所以a b ab 0，所以a b ．故选A．a b20．2 33 【解析】由b sin C c sin B 4a sin B sin C 得，sin B sin C sin C sin B 4sin A sin B sin C ，因为sin B sin C 0，所以sin1 A ，22 2 2，所以cos 3b c a因为b2 c2 a2 8 ，cos A 0A2bc 26所以8 3 bc，3所以1sin 1 8 3 1 2 3Sbc A．ABC223 2321． 21 7；3【解析】因为 a 7 ， b 2 ， A 60o ，所以由正弦定理得sin B3 2b A sin 2 21．由余弦定理 a 2 b 2 c 2 2bc cos A 可得a7 7c 2 2c 3 0 ，所以 c 3．22． 60 (2,) 【解析】△ABC 的面积133S ac sinB( a c b )2ac cos B ， 222244所以 tanB 3 ，因为 0oA 180o，所以 B 60o ．因为 C 为钝角，所以 0oA 30o，所以 0 tan3A ，32 22sin(A ) sin cos A cos sin Ac sin C 3 3 3 3 1 2所以，a sin Asin Asin A 2 tan A 2c故的取值范围为 (2,) ．a23．9【解析】因为 ABC 120， ABC 的平分线交 AC 于点 D ，所以 ABD CBD 60o ， 1 1 1由三角形的面积公式可得ac sin120oa sin 60oc sin 60o ， 2 2 2化简得 ac a c ，又 a 0 ， c 0 ，所以 1 1 1，a c则1 1c 4a c 4a 4a c (4a c )( ) 5≥5 2 9 ， a c a ca c当且仅当 c 2a 时取等号，故 4a c 的最小值为 9．24． 3【解析】由正弦定理得 2 s in B cos B sin A cos C sin C cos A7即2 s in B cos B sin(A C) ，所以cosB ．B 1 ，又B 为三角形内角，所以π2 325．75°【解析】由正弦定理b c，即sinsin B sin CB36b Csin 2 2，c 3 2结合b c 可得B 45o，则A 180o B C 75o．26．152,104【解析】由余弦定理可得，AB 2 BC2 AC2 42 22 42 1cos ABC2AB BC 24 2 4，由sin2 ABC cos 2 ABC 1所以sin 1 cos2 1 1 15ABCABC，16 41SBD BC DBCsinBDC211BD BC sin(ABC ) BD BC sin ABC2 21 151522．2 4 2AB CD因为BD BC ，所以 D BCD ，所以ABC D BCD 2 D ，811ABC1 cos ABC4 10 cos BDCcos222427．21 13【解析】∵ cosA 4 ， cos 5C ， A 4 ， cos 5 5 13所以sinA ， sin 123C ，5 1363所以sin B sin A C sin A cos C cos A sinC， 65由正弦定理得：ba 解得21 b ．sin B sin A1328．4【解析】由正弦定理，得a b，即 36 ，所以sin2B，sin A sin B3 sin B22所以B ．429．4【解析】由3sin A = 2 sin B 及正弦定理知：3a = 2b ，又因为 a = 2 ，所以b = 3；由余弦定理得：2222 cos 4 9 2 23 ( 1) 16c a b abC，所以c = 4 ．430．2【解析】由正弦定理可知：AB AC(75 45)] sin 45sin[1806ACAC2．sin 60 sin 4531．7【解析】由已知得 ABC 的面积为 1sin 20sinAB AC A A 10 3 ，所以2sin3A ， A (0, ) ，所以2 2A．由余弦定理得 3 BC2 AB 2 AC 2 2AB AC cos A 49 ， BC 7．32． ( 6 2, 6 2)【解析】如图作PBC ，使 B C 75o，BC =2 ，作出直线AD 分别交线段PB 、PC 于A 、D 两点（不与端点重合），且使BAD 75o，则四边形ABCD 就是符合题意的四边形，过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ，在PBC 中，可求得BP 6 2 ，在QBC 中，可求得BQ 6 2 ，所以AB 的取值范围为9( 6 2, 6 2)．PADQ BC33．8 【解析】因为0 A ，所以sin1 cos2 15AA，4又115 SbcA bc，bc 24 ，sin3 15ABC2 8解方程组b c2bc 24 ，得 b 6， c 4，由余弦定理得a 2b 2c 2 bc A2212 cos64 2 6 4 64，所以 a 8 ．434．100 6 【解析】依题意， BAC 30，ABC 105 ，在 ABC 中，由ABCBAC ACB 180 ，所以ACB 45，因为 AB 600，由正弦定理可得600BC ，sin 30sin 45即 BC 300 2 m ，在 Rt BCD 中，因为CBD 30 ， BC 300 2 ，所以CD CDtan30，所以CD 100 6 m ．BC 300 2MA AC35．150【解析】在三角形 ABC 中，AC 100 2 ，在三角形 MAC 中，sin 60sin 45oo，解得 MA 100 3 ，在三角形 MNA 中， MNsin 60 3o，故 MN 150 ．100 3 236．2【解析】由b cos C c cos B 2b 得：sin B cos C sin C cos B 2 s in B ，即sin(B C) 2 s in B ，sin A 2 sin B ，∴a 2b ，故a 2．b 237．【解析】3sin A 5sin B ，310ab c1 2 2222 3 a 5 bC ，所以 ,b c 2a cos C2ab233．2 238． 3 【解析】∵BACBADBAD sinsin() cos 23根据余弦定理可得 cos BADA B AD BD2222AB AD2 2 (3 2) 3 BD222BD32 3 2 33 39．①②③【解析】 ①22 1abcab ab222ab c cos C C2ab 2ab 2 3②a 2b 2c 24(a 2 b 2 ) ( a b )2 1 a b 2 ccos CC2ab8ab 23③当C时， c 2 a 2 b 2c 3 a 2 c b 2 c a 3 b 3 与 a 3 b 3 c 3 矛盾2④取 a b 2, c 1满足 ( a b ) c 2ab 得：C2⑤取 a b 2, c 1满足(a2b 2 )c22a 2b 2得：C340．4【解析】根据余弦定理可得24 (7 )22 2 (7 ) ( 1)bbb，解得 b =44ABAC BC 41． 2 7 【解析】在 ABC 中，根据，sin C sin B sin AAC 3得ABsin Csin C 2sin C，同理，BC 2 s in Asin B3 2因此 AB 2BC 2sin C 4 sin A 2 s in4 s in( 2 )CC34sin C 2 3 cos C 2 7 sin( C )15 3 442．【解析】根据 AB AC 得sin AB sin 5 3 5 3 C B ，sin C sin B AC 7 2 145 3 11cosC 1 () ，214 14所以sin Asin[ ( B C )] sin B cos C cos B sin C11=3 11 1 5 3 3 3． 2 14 2 14 1443．4【解析】（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角 A 、B 和边 a 、b 具有轮换性．C ， tan 2 C 1 cos C 1 1当 A =B 或 a =b 时满足题意，此时有： cos32 1 cos C 2，tanC， tan tan 1 2 ， tan tan2C CAB= 4．C2 2tan A tan Btan2b a（方法二）6cos C 6ab cos C a 2 b 2，a ba b cc222222223 6aba b , ab2ab2tan C tan C sin C cos B sin A sin B cos A sin C sin(A B)tan A tan B cos C sin A sin B cos C sin A sin B1 sin C2．cos C sin A sin B1 cc c 222由正弦定理，得：上式=1 1 3c 2cos C ab(a b )22 66 2444．【解析】由sin B cos B 2 得1 2 s in B cos B 2，即sin 2 B 1，6因 0 2 B ，所以 2B , B .又因为 a 2, b 2,2 4由正弦定理得2 2，sin sinA41解得sin A ，而a b, 则0 A B ,故．a2 4 6a b45．【解析】(1)在△ABC 中，由正弦定理，可得b sin A a sin B ，sin A sin B又由b A a B π，得sin cos( π)sin cos( ) a B a B ，6 6π即sin B cos(B ) ，可得tan B 3 ．6又因为B(0，π) ，可得B ．312(2)在△ABC 中，由余弦定理及 a 2 ， c 3， B， 3有b 2 a 2 c 2 2ac cos B 7 ，故 b 7 ．由b A a B ，可得sin A 3 ．因为 ac ，故cos 2 sin cos()A．π 67714 3因此sin 2 2sin cosA A A， cos 2 A 2 cos 2 A1 ．77所以，sin(2A B ) sin 2A cos B cos 2A sinB 4 3 1 13 33． 72 7 2 1446．【解析】（Ⅰ）由 a sin A 4b sin B ，及ab，得 a 2b ．sin A sin B由 ac 5(a 2 b 2 c 2 )，及余弦定理，得cosA5acb c a52225．2bc ac5（Ⅱ）由（Ⅰ），可得sin2 5 A，代入 a sin A 4b sin B ，5sin 得Ba sin A5．4b5由（Ⅰ）知，A 为钝角，所以 cos1 sin2 2 5BB．5BBB ， cos 2 1 2sin 2 34于是sin 22 s in cosBB ，5 545 3 2 5 2 5sin(2B A ) sin 2B cos A cos 2B sin A( ) ．故55 5 5547．【解析】因为 ABAC 6，所以bc cos A 6 ，又S3，ABC所以bc sin A 6 ，因此tan A 1，又0 A ，13所以A3，4又b 3，所以c 2 2 ，由余弦定理a 2 b 2 c2 2bc cos A，得 2 9 8 2 3 2 2 ( 2 ) 29a，2所以a 29 ．148．【解析】(Ⅰ)SAB AD sin BADABD21SAC AD sin CADADC2因为S 2S，BAD CAD ，所以AB 2AC ．ABD ADC由正弦定理可得sin B AC1sin C AB 2．(Ⅱ)因为S: S BD : DC ，所以BD 2 ．在ABD 和ADC 中，ABD ADC由余弦定理得AB2 AD 2 BD2 2AD BD cos ADB ，AC2 AD 2 DC2 2AD DC cos ADC ．AB 2 2AC 2 3AD 2 BD 2 2DC 2 6 ．由(Ⅰ)知AB 2AC ，所以AC 1．b 22ac．49．【解析】（Ⅰ）由题设及正弦定理可得又a b ，可得b 2c ，a 2c ，由余弦定理可得cos Ba 2 c2 b2 1．2ac 4（Ⅱ）由（Ⅰ）知b 2 2ac．因为B 90o，由勾股定理得a 2 c 2 b2 ．故a2 c 2 2ac，得ca 2 ．所以ABC 的面积为1．50．【解析】（I）在ABC 中，由题意知sin 1 cos2 3A A ，314又因为B ABAA，，所有sin sin() cos 6 22 3由正弦定理可得b6 3a B sin 3 3 2．sin A 3 3（II ）由B A B A A，得，cos cos( ) sin 3 得，cos cos( ) sin3223由 A BC ，得C(A B )．所以sin C sin[ (A B )] sin(A B ) sin A cos B cos A sinB1 33 6 6 () ． 3 333 3因此， ABC 的面积1 sin 1 3 32 13 2S abC．2 23 251．【解析】：（Ⅰ）∵ A 2B ，∴sin A sin 2 B 2 s in B cos B ，由正弦定理得a 2ba c b2222ac∵ b 3, c 1，∴ a 2 12, a 2 3 ．（Ⅱ）由余弦定理得 cosA b 2 c 2 a 2 9 112 1，2bc 6 3 由于 0 A ，∴sin1 cos 21 ( 1)22 2AA，332 2 212 4 2 故sin(A ) sin A cos cos Asin()．4 4 4 32 32652．【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC = 60 ，∴∠PBA =30o ，在△PBA 中，由余弦定理得o= 71 1PA2 = o3 2 3 cos 304 2 4 ，∴PA=72；（Ⅱ）设∠PBA =，由已知得，PB=sin，在△PBA 中，由正弦定理得，153sinsin150sin(30)oo，化简得， 3 cos 4sin ，∴ tan = 3 4，∴ tan PBA = 3 4．53．【解析】（Ⅰ）因为 a b cos C c sin B ，所以由正弦定理得：sin A sin B cos C sin C sin B ，所以sin( B C ) sin B cos C sin C sin B ，即 cos B sin C sin C sin B ，因为sinC 0，所以 tan B 1，解得 B =；4（Ⅱ）由余弦定理得：b 2 a 2 c 2 2ac cos ，即 4 a2c22ac ，由不等式得：4a2c22ac ，当且仅当 a c 时，取等号，所以 4 (2 2)ac ，解得 ac 4 2 2 ，所以△ABC 的面积为 1sinac2(4 2 2) = 2 1，244 所以△ ABC 面积的最大值为 2 1． 54．【解析】（Ⅰ） ACB , A , B(0, ) sin(A C ) sinB 02 s in B cos A sin A cos C cos A sin C sin(A C ) sin B 1 cos A A 2 3（II ） a 2 b 2 c 2 2bc cos Aa 3b 2 a 2c 2B2 在 Rt ABD 中，2212 ( 3)2 7 AD ABBD2 255．【解析】（1）由正弦定理得：a cos C 3a sin C bc 0 sin A cos C 3 sin A sin C sin B sin Csin A cos C 3 sin A sin C sin( a C ) sin C3 sin A cos A 1 sin(A 30 )A 30 30A 6012（2）1S bc sin A 3 bc 4216a 2b 2c 2 2bc cos A b c 4，解得： b c 2．ab c 56．【解析】（I ）由正弦定理，设k ,sin A sin B sin C2c a 2k sin C k sin A 2sin C sin A则,b k sin B sin B cos 2cos 2 s in sin A C C A所以.cos Bsin B即 (cos A 2cos C ) sin B (2sin C sin A ) cos B ，化简可得sin(A B ) 2sin( B C ).又 A BC ，所以sin C 2 s in A ，因此 sin2.Csin Asin C（II ）由2 得 c 2a .sin A由余弦定理2222 cos cos 1 , 2, 2 4 24 2 1.b ac ac B 及B b 得4=a aa4 4解得 a 1．因此 c 2．1又因为cos , 0 .BB且 B 所以sin15 . 44因此 1 115 15 S ac sin B 12. 2 24457．【解析】由1 2 cos( B C) 0和 BCA ，得11 2 cos A 0, cos A , s in A23 2 . b sin A2 再由正弦定理，得sinB. a2由 b a 知 B A ,所以B 不是最大角, B ,从而cos B 1 sinB2 2 .22 3 1由上述结果知sin C sin(A B) ( ).2 2 23 1设边BC 上的高为h ，则有h b sin C .21758．【解析】由题意知AB = 533海里，DBA 906030,DAB 45,ADB105在DAB 中，由正弦定理得DB ABsin DAB sin ADBAB sin DAB 5(33)sin 455(33)sin 45DBsin ADB sin105sin 45cos 60sin 60cos45 =5 3 (1 3)10 3(13)2（海里），又DBCDBA ABC 30(9060) 60, BC 20 3 海里，在DBC 中，由余弦定理得CD 2 BD 2 BC2 2BD BC cos DBC1= 300 1200 210 3203900230（海里），则需要的时间30 1CDt（小时）．30答：救援船到达D 点需要1 小时．H H59．【解析】（1）tan AD ，同理：AD tanABH，tanBDh．tan AD—AB=DB，故得H H h，tan tan tan解得Hh tan4 1.24124．tan tan 1.24 1.20因此，算出的电视塔的高度H 是124m．（2）由题设知d AB ，得tanH , tanHh H h，d AD DB dH H htan tan hd hd dtan()1 tan tan 1 ( )H H hd 2 H H hd H H h( )d ddH (H h )d2 H (H h ) ，（当且仅当 d H (H h ) 125121 55 5 时，d18取等号）故当 d 55 5 时， tan( ) 最大．因为 0，则 0 2，所以当 d 55 5 时， - 最大．2故所求的 d 是55 5 m ．19。

数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式学案理

4。

2同角三角函数的基本关系及诱导公式必备知识预案自诊知识梳理1。

同角三角函数的基本关系（1）平方关系:sin2α+cos2α=。

(2)商数关系:sinαcosα=(α≠π2+kπ,k∈Z)。

2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2-απ2+α正弦sin α余弦cos α正切tan α续表公式一二三四五六口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限1。

特殊角的三角函数值2.同角三角函数基本关系式的常用变形(1)（sin α±cos α）2=1±2sin αcos α；（2)sin α=tan αcos αα≠π2+kπ,k∈Z；(3）sin2α=sin2αsin2α+cos2α=tan2αtan2α+1;（4）cos 2α=cos 2αsin 2α+cos 2α=1tan 2α+1。

考点自诊1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”。

（1）对任意的角α，β有sin 2α+cos 2β=1。

( ）（2)若α∈R ，则tan α=sinαcosα恒成立.（）（3)sin （π+α）=-sin α成立的条件是α为锐角。

( )(4）若cos(n π—θ）=13(n ∈Z )，则cos θ=13.（）2。

(2020河北衡水中学模拟一,理3)已知cos α-π2=-2√55，α∈π，3π2,则tan α=（）A 。

2B 。

32C.1D.123。

(2020河北唐山模拟，理4）已知角α的顶点在原点,始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点A (2sin α，3）（sin α≠0），则cos α=( ）A.12B 。

-12C 。

√32D.-√324。

函数f (x )=15sin x+π3+cos x —π6的最大值为（ ) A.65B.1C.35D.15关键能力学案突破考点同角三角函数基本关系式的应用【例1】（1)若tan(α-π）=12，则sin 2α+1cos 2α-sin 2α=( )A。

专题4三角函数与解三角形四大考点与真题训练 -2022年高考数学考前30天提分方案(原卷版)

2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（新高考地区专用）专题1.4三角函数与解三角形四大考点与真题训练考点一：三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式一、单选题1．（2022·贵州·模拟预测（文））已知tan 34πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin cos cos 3sin αααα+=-（） A ．3-B ．35C ．17-D ．152．（2022·陕西榆林·三模（理））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 315，1b c -=，1cos 4A =，则=a （）A ．10B ．3C 10D 33．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））若tan 2tan 44x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2x =（） A ．35B ．35C ．13-D ．134．（2022·贵州·模拟预测（理））已知tan()34πα+=-，则cos2=α（） A ．35B ．35C ．34-D ．34二、多选题5．（2022·河北·模拟预测）已知tan 2θ=，则下列结论正确的是（） A ．tan()2πθ-=-B ．tan()2πθ+=-C ．sin 3cos 12sin 3cos 7θθθθ-=-+D ．4sin 25θ=6．（2022·福建·模拟预测）已知函数()sin 4cos 436f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论正确的是（） A ．f （x ）的最大值为2B ．f （x ）在,812ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．f （x ）在[0,]π上有4个零点D ．把f （x ）的图象向右平移12π个单位长度，得到的图象关于直线8x π=-对称三、填空题7．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知2,0πα⎛∈⎫⎪⎝⎭，且1sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos α=__________，tan α=__________．8．（2022·安徽蚌埠·三模（文））已知角θ的终边过点()4,A a ，且3sin(π)5θ-=，则tan θ=___________.9．（2022·全国·模拟预测）定义运算：12142334a a a a a a a a =-.若22cos 21sin 5αα-=，()0,απ∈，则tan α=___________.10．（2022·陕西·西安中学模拟预测（理））已知1(0,),sin()cos(2)4θππθπθ∈-+-=，则3sin 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_______． 11．（2022·陕西·二模（理））角α顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线20x y +=上，则sin cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________.12．（2022·陕西榆林·三模（理））已知2sin 5cos αα=，则2sin 2cos αα+=________.四、解答题13．（2022·福建龙岩·一模）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 是三个连续的正整数，且a b c <<，2C A =．(1)求a ；(2)将线段AB 绕点A 顺时针旋转3π到AD ，求ACD △的面积．考点二：三角函数的性质与应用一、单选题1．（2022·天津河北·一模）将函数()sin 23f x x x =的图象向右平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递增区间为（）A ．ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．（2022·广东梅州·二模）已知函数()1cos (0)f x x ωω=+>的最小正周期为π，若将其图象沿x 轴向左平移(0)m m >个单位长度，所得图象关于直线π3x =对称，则实数m 的最小值为（） A ．6πB ．π4C ．π3D ．2π33．（2022·陕西榆林·三模（理））已知0>ω，函数()sin 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且对任意,84x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()0f x ≥，则ω的取值范围为（）A ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[1,3]D ．(1,3)4．（2022·广东佛山·二模）已知函数()sin (0)f x x ωω=>图象上相邻两条对称轴之间的距离为32π，则ω=（）A ．32B ．43C ．23D ．13二、多选题5．（2022·天津五十七中模拟预测）已知函数()3cos 2f x x =的图象向左平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，关于函数()g x ，下列选项不正确的是（）． A ．最小正周期为π B ．2()3cos 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()g x 是偶函数D ．当()12x k k ππ=-∈Z 时()g x 取得最大值6．（2022·湖南师大附中一模）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0>ω，0A >），若3x π=为()f x 的一个极值点，且()f x 的最小正周期为π，则（）A ．3A f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．6k ϕπ=π-（k ∈Z ） C ．()f x 的图象关于点（712π，0）对称 D ．3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数7．（2022·江苏连云港·二模）已知函数()23sin cos 222x x xf x =-，则（）A ．函数()f x 的最小正周期为4πB ．点2π33⎛- ⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C ．将函数()f x 图象向左平移5π6个单位长度，所得到的函数图象关于y 轴对称 D ．函数()f x 在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减8．（2022·海南·模拟预测）已知函数()cos 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，先将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象上所有的点向右平移4π个单位长度，得到函数()y g x =的图象.则（） A ．()5cos 612g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()g x 的图象关于58x π=对称 C ．()g x 的最小正周期为3π D ．()g x 在（58π，178π）上单调递减9．（2022·辽宁·模拟预测）已知函数()()sin 2f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度得到()g x 的图象，()g x 的图象关于y 轴对称，若()f x 的相邻两条对称轴的距离是2π，则下列说法正确的是（）A ．()cos2g x x =B ．()f x 的最小正周期为2π C ．()f x 在[]0,π上的单调增区间是0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，[2π3,π]D ．()f x 的图象关于点17,012π⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称三、填空题10．（2022·陕西榆林·三模（文））已知函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象经过点(01)A -,，且()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的最大整数值为________.11．（2022·山东·昌乐二中模拟预测）若()cos 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[],a a -上单调递增，则实数a 的最大值为__________.12．（2022·河南郑州·二模（文））已知函数()2cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，现将()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则3g π⎛⎫= ⎪⎝⎭___________.13．（2022·辽宁抚顺·一模）已知函数()f x ，①函数()f x 的图象关于直线6x π=-对称，②当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的取值范围是[2,1]-，则同时满足条件①②的函数()f x 的一个解析式为________.14．（2022·北京朝阳·一模）已知直线3x π=和56x π=是曲线()()sin 0y x ωϕω=+>的相邻的两条对称轴，则满足条件的一个ϕ的值是___________.15．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））已知函数()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再将得到的图象关于x 轴翻折，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在[0,2]π上的单调递增区间为________；16．（2022·山西太原·一模（理））设函数()3sin cos f x x x -，给出下列四个结论：①()f x 的最小正周期为π； ②()f x 的值域为3⎡-⎣；③()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增； ④()f x 在[],ππ-上有4个零点.其中所有正确结论的序号是__________.四、解答题17．（2021·四川省泸县第二中学一模（理））设()()23sin sin cos 12f x x x x x π⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭．(1)求()f x 的最小正周期及()y f x =图象的对称轴方程；(2)求()f x 在5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．考点三：三角恒等变换一、单选题1．（2022·重庆·二模）已知(),0,παβ∈，()5sin 6αβ-=，tan 1tan 4αβ=-，则αβ+=（） A ．5π6B ．πC ．7π6D ．11π62．（2022·河南焦作·二模（文））已知cos 2323x x =x 的值可以是（）A ．0B ．6πC ．4π D ．3π 3．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（文））已知π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，10cos θ=，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．2B ．12C ．12-D ．2-4．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（理））已知()2sin cos 3παα++=，则sin2α= （） A ．79B ．59C ．49D ．295．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））已知4sin 5α，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πtan 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（） A ．247B ．247-C ．3117D ．3117-二、多选题6．（2022·广东江门·模拟预测）在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点(,)P x y ，它与原点的距离是r .我们规定：比值r x、r y、xy 分别叫做角α的正割、余割、余切，分别记作sec α、csc α、cot α，把sec y x =、csc y x =、cot y x =分别叫做正割函数、余割函数、余切函数，则下列叙述正确的是( ) A ．cos sec 2αα+≥B ．sec y x =的定义域为{},x x k k Z π≠∈C ．2cot 1cot 22cot ααα-=D ．22(sec cos )(csc sin )9αααα+++≥7．（2022·福建莆田·模拟预测）已知函数()()sin 3cos 0f x x x ωωω=>，其图象相邻的两条对称轴之间的距离是2π，则（） A ．()f x 是偶函数B ．()f x 在π7π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减C ．()f x 的图象关于点()π,0对称D ．()f x 的图象关于直线5π3x =-对称 8．（2022·山东临沂·一模）已知函数()()3sin 2cos20f x x x ωωω+>的零点构成一个公差为2π的等差数列，把()f x 的图象沿x 轴向右平移3π个单位得到函数()g x 的图象，则（）A ．()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 的一个对称中心C ．()g x 是奇函数D ．()g x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,2三、填空题9．（2022·广东佛山·二模）已知sin π2α4⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin2α=___________.10．（2022·山东青岛·一模）已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=______．11．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知函数()sin cos f x x x ωω=+（0>ω）在ππ,48⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的一个取值为________．12．（2022·陕西陕西·二模（理））已知ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且()226c a b =-+，若ABC 33sin sin A B ⋅的取值范围为______. 13．（2020·四川·模拟预测（理））已知cos()2cos 2παα+=，则tan2α=________．四、解答题14．（2022·广东梅州·二模）在ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠，已知2DB =，3DC =，60BDC ∠=︒(1)求BC 的长； (2)求sin A 的值.15．（2022·重庆·二模）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别,,a b c ，ππ1cos sin sin sin 632C A C A ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求B ；(2)若△ABC 的周长为43b .16．（2022·江西宜春·模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22,2,sin b c A a c ===>． (1)求a 的值；(2)求cos()cos A B C -+的值．考点四：解三角形一、单选题1．（2021·四川省泸县第二中学模拟预测（文））命题:p 不等式()lg 110x x ⎡⎤⎣-⎦+>的解集为{}1|0x x <<，命题:q 在ABC 中，A B >是22cos cos 2424A Bππ⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立的必要不充分条件，则下列命题中为真命题的是( ) A ．()p q ∧⌝B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝2．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知222,cos cos 2b c a bc b C c B +-=+=，则△ABC 的面积的最大值（） A ．1B 3C ．2D ．23二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a =，()()cos 2cos cos a C B A ab c -=-，则以下四个命题中正确的是（）A ．2b c =B ．△ABC 面积的取值范围为40,3⎛⎤⎥⎝⎦C ．已知M 是边BC 的中点，则MA MB ⋅的取值范围为1,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．当2A C =时，ABC 的周长为23+三、填空题4．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2A Ca b c=-，则A =___________. 5．（2022·河南焦作·二模（文））在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2sin sin 12cos cos A C A C =+，3sin a c B +=，则b 的最小值为_______.6．（2022·安徽宣城·二模（文））已知锐角ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC 的面积是__________． 7．（2022·山东潍坊·模拟预测）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC ，BD 为圆的内接四边形ABCD 的两条对角线，sin∠CBD ：sin∠BDC ：sin∠BAD =1：1：3AC =4，则△ABD 面积的最大值为________．四、解答题8．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2cos a b BC-=，且2c =． (1)求角C ；(2)若D 为AB 中点，求CD 的最大值．9．（2022·广东佛山·二模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，23B π=，且()sin sin sin cos21A B C C ++=(1)求证53a c =；(2)若ABC 的面积为153c .10．（2022·山西临汾·二模（文））ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4cos 5C =，sin sin 2sin A C B +=. (1)求b a； (2)求cos B 的值.11．（2022·宁夏石嘴山·一模（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 为AC 的中点，若2cos 2b C a c =+． (1)求B ；(2)若6a c +=，求BD 的最小值．【真题训练】一、单选题1．（2021·浙江·高考真题）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（）A ．0B ．1C ．2D ．32．（2021·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45ACB ∠'''=︒，60A BC ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-约为3 1.732≈）（）A ．346B ．373C ．446D ．473 3．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭4．（2021·全国·高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．25D ．655．（2020·山东·高考真题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222sin a b c ab C +=+，且sin cos +a B C 2sin cos 2c B A =，则tan A 等于（） A ．3B ．13-C ．3或13-D ．-3或136．（2020·山东·高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7．（2021·湖南·高考真题）为了得到函数sin()4y x π=+的图象，只需要sin y x =将的图象（） A ．向上平移4π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向下平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位 8．（2021·江苏·高考真题）若函数()()4sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则它的一条对称轴是（） A ．12x π=- B ．0x = C ．6x π=D ．23x π=9．（2021·北京·高考真题）函数()cos cos2f x x x =-是 A ．奇函数，且最大值为2 B ．偶函数，且最大值为2 C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为98二、多选题10．（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅11．（2020·海南·高考真题）下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x - 三、填空题12．（2021·北京·高考真题）若点(cos ,sin )A θθ关于y 轴对称点为(cos(),sin())66B ππθθ++，写出θ的一个取值为___．13．（2020·山东·高考真题）已知ππ,22α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，若sin 0.8α=，则α=______rad .14．（2021·湖南·高考真题）已知tan 3α=-α为第四象限角，则cos α=____________15．（2021·江苏·高考真题）已知5cos 213πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()tan 9θπ-的值是_________.四、解答题16．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：2c b =；条件②：ABC 的周长为423+；条件③：ABC 3317．（2021·全国·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．18．（2021·全国·高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.19．（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数sin()0,0,2y A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象时，列表如下：x6π-12π3π712π56πx ωϕ+0 2π π32π2πsin()A x ωϕ+30 -3 0根据表中数据，求：（1）实数A ，ω，ϕ的值；（2）该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.。

超实用高考数学专题复习：第四章三角函数解三角形三角函数与解三角形热点问题

【尝试训练】 (2020·郑州质检)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若向量 m＝2cos2C2 ，cos A－2 B，n＝58，cos A－2 B，m·n＝98. (1)求 tan Atan B 的值； (2)求c2a－bsai2n－Cb2的最小值. 解 (1)由题意可得 m·n＝54cos2C2＋cos2A－2 B＝98，即－58cos(A＋B)＋12cos(A－B)＝0，展开可得 cos Acos B＝9sin Asin B，
所以 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π.
(2)由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ(k∈Z)，得－1π2＋kπ≤x≤51π2＋kπ(k∈Z). 设 A＝－4π，π4，B＝x－1π2＋kπ≤x≤51π2＋kπ，k∈Z，易知 A∩B＝－1π2，π4.
所以当 x∈－π4，π4时，f(x)在区间－1π2，π4上单调递增，在区间－π4，－1π2上单调递减.
6＋ 4
2 .
两角差正弦公式的应用
12′
[高考状元满分心得]
❶写全得步骤分：对于解题过程中得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点
步骤一定要写全，如第(1)问中只要写出 0°<A<180°就有分，没写就扣 1 分，第(2)
问中 0°<C<120°也是如此.
❷写明得关键分：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时
教你如何审题——三角函数与平面向量
【例题】 (2020·湘赣十四校联考)已知向量 m＝(sin x，－1)，n＝( 3，cos x)，且函
数 f(x)＝m·n. (1)若 x∈0，2π，且 f(x)＝23，求 sin x 的值；
(2)在锐角三角形 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a＝ 7，△ABC

【高考数学】专题四三角函数与解三角形第十二讲解三角形(含答案)

3sin A = 5sin B, 则角 C = _____．
38．（2013 福建）如图 ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，AD ⊥ AC， sin BAC = 2 2 ， 3
AB = 3 2 ， AD = 3 ，则 BD 的长为_______________．
A
BD
C
39．（2012 安徽）设 ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ；则下列命题正确的是．
4
3
A． 3 10
B． 10 10
C． 5 5
D． 3 10 10
6．（2016 山东）△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 b = c, a2 = 2b2 (1- sin A) ，
则 A= A． 3π
4
B． π 3
C． π 4
D． π 6
7．(2015 广东)设 ΑΒC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a ， b ， c ．若 a = 2 ， c = 2 3 ，
c sin B cos A = 1 b ，且 a b ，则 B = 2
A． 6
B． 3
C． 2 3
14．（2013 天津）在△ABC 中， ABC = , AB = 4
D． 5 6
2, BC = 3, 则 sinBAC =
A． 10 10
B． 10 5
C． 3 10 10
D． 5 5
15．(2013 陕西)设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c,若 b cos C + c cos B = a sin A ,
2b cos B = a cos C + c cos A ，则 B =

专题4-4 三角函数与解三角形大题综合归类-(原卷版)

专题4-4 三角函数与解三角形大题综合归类目录一、热点题型归纳【题型一】三角函数求解析式：“识图”................................................................................................. 1 【题型二】图像与性质1：单调性与值域................................................................................................ 3 【题型三】图像与性质2：恒等变形：结构不良型 ................................................................................ 4 【题型四】图像与性质3：恒成立（有解）求参数 ................................................................................ 5 【题型五】图像与性质4：零点与对称轴................................................................................................ 6 【题型六】解三角形1：面积与周长常规................................................................................................ 8 【题型七】解三角形2：计算角度与函数值 ............................................................................................ 9 【题型八】解三角形3：求面积范围（最值） ...................................................................................... 10 【题型九】解三角形4：周长最值 ......................................................................................................... 11 【题型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非对称”型 ...................................................................... 11 【题型十一】解三角形6：最值范围综合.............................................................................................. 12 二、真题再现 ............................................................................................................................................ 12 三、模拟测试 .. (14)【题型一】三角函数求解析式：“识图”【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）函数()sin(π),R f x A x x ϕ=+∈（其中π0,02A ϕ>≤≤）部分图象如图所示，1(,)3P A 是该图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点．(1)求()f x 的最小正周期及ϕ的值；(2)若π4PMN PNM ∠+∠=，求A 的值．1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求函数()g x ≥.2.（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示：(1)求()f x ；(2)若2f α⎛⎫= ⎪⎝⎭()0,πα∈，求cos2α的值．3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()sin ,0,0,2f x A x x R A ωϕωϕπ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭部分图象如图所示.(1)求()f x 的最小正周期及解析式； (2)将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位长度得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【题型二】图像与性质1：单调性与值域【典例分析】（2022·浙江·高三开学考试）已知函数()21cos cos 2f x x x x =⋅-. (1)求函数()f x 的单调递增区间； (2)求()f x 在区间［0，2π］上的最值.【变式演练】1.（2022·湖北·高三开学考试）已知函数2()sin cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期;(2)若[0,]x π∈，求出()f x 的单调递减区间.2.（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）已知函数()sin 2cos 22sin cos .36f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；(2)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在[0，2π]上的单调递减区间.3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()2sin cos cos 04f x x x x ππωωωω⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．(1)求()f x 图象的对称轴方程；(2)将()f x 的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【题型三】图像与性质2：恒等变形：结构不良型【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）在①sin α=①2tan 40αα-=这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.已知角a 是第一象限角，且___________. (1)求tan α的值；(2)3)cos()cos(3)2πααπαπ+++-的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【变式演练】1.（2022·北京·二模）已知函数2()cos cos (0,)ωωωω=++>∈R f x x x x m m ．再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择能确定函数()f x 的解析式的两个作为已知． (1)求()f x 的解析式及最小值；(2)若函数()f x 在区间[]0,(0)t t >上有且仅有1个零点，求t 的取值范围．条件①：函数()f x 的最小正周期为π；条件①：函数()f x 的图象经过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭；条件①：函数()f x 的最大值为32．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin cos 0,0f x a x x a ωωω=＞＞．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数()f x 存在且唯一确定．条件①：π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；条件①：()f x 为偶函数；条件①：()f x 的最大值为1；条件①：()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2．注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求()f x 的解析式；(2)设()()22cos 1g x f x x ω=-+，求函数()g x 在()0,π上的单调递增区间．3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2sin cos f x a x x x x =∈R ，若__________．条件①：0a >，且()f x 在x ∈R 时的最大值为1条件①：6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭请写出你选择的条件，并求函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．注：如果选择条件①和条件①分别解答，按第一个解答计分．【题型四】图像与性质3：恒成立（有解）求参数【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()π2sin()3f x x =+．(1)若不等式()3f x m -≤对任意ππ[,]63x ∈-恒成立，求整数m 的最大值；(2)若函数()π()2g x f x =-，将函数()g x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12π个单位，得到函数()y h x =的图象，若关于x 的方程()102h x k -=在π5π[,]1212x ∈-上有2个不同实数解，求实数k 的取值范围．【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量2sin 2,26m x π⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,sin n x =，()f x m n =⋅，其中0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． (1)求函数()f x 的单调增区间； (2)将函数()f x 的图象所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向下平移1个单位得到()g x 的图象，若()g x m =在5,824x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恰有2个解，求m 的取值范围．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)先将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到()g x 的图象.（i ）若0m >，当[0,]x m ∈时，()g x 的值域为[2]，求实数m 的取值范围；（ii ）若不等式2()(21)()10g x t g x t -+--≤对任意的,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数t 的取值范围.3.（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()2sin cos f x x x x =． (1)求()f x 的最小正周期； (2)求()f x 的单调递减区间；(3)若函数()()g x f x k =-在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，写出实数k 的取值范围．（只写结论）【题型五】图像与性质4：零点与对称轴【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()4cos cos 1(0)3f x x x πωωω⎛⎫=⋅-- ⎪>⎝⎭的部分图像如图所示，若288AB BC π⋅=-，B ，C 分别为最高点与最低点．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()y f x m =-在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且仅有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，（123x x x <<），求实数m 的取值范围，并求出123 cos (2)x x x ++的值．【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．当130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0g x a -=恰有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求实数a 的取值范围和1232x x x ++的值．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，若方程()0g x m -=在70,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求m 的取值范围及()123tan 2x x x ++的值．3.（2023·全国·高三专题练习）已知数2()2sin 1(0)6212x f x x πωπωω⎛⎫⎛⎫=+++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的相邻两对称轴间的距离为2π. (1)求()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域；(3)对于第（2）问中的函数()g x ，记方程4()3g x =在4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为12,,n x x x ，若m =1231222n n x x x x x -+++++，试求n 与m 的值.【题型六】解三角形1：面积与周长常规【典例分析】（2022·安徽·高三开学考试）在ABC 中，点,M N 分别在线段,BC BA 上，且,BM CM ACN BCN =∠=∠，3,22AB AM AC ===．(1)求BM 的长;(2)求BCN △的面积．【变式演练】1.（2022·北京·高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,sin2sin =a b c C C ． (1)求C ∠；(2)若1b =，且ABCABC 的周长．2.（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，)tan tan tan tan 1+=B C B C . (1)求角A 的大小；(2)若1a =，21)0c b -=，求ABC 的面积.3.（2022·云南昆明·高三开学考试）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos 0B b A -=. (1)求A ；(2)若c =a =ABC 的面积.【题型七】解三角形2：计算角度与函数值【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ==-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值.【变式演练】1.（2021·天津静海·高三阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C -+-=. (1)求角C 的大小；(2)若c =4a b +=，求ABC 的面积.(3)若cos =A ，求()sin 2A C -的值.2.（2022·北京市第二十二中学高三开学考试）已知ABC 的内角,,A B C 所对的对边分别为,,a b c ，周长为1，且sin sin A B C +． (1)求c 的值；(2)若ABC 的面积为1sin 6C ，求角C 的大小．3.（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC 的面积)222S a c b =+-． (1)求角B 的大小；(2)若2a c =，求sin C ．【题型八】解三角形3：求面积范围（最值）【典例分析】（2022·云南·昆明一中高三开学考试）已知ABC 的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且222sin sin sin sin A B C B C -=. (1)求A ；(2)若a =ABC 面积的最大值.【变式演练】1.（2022·河南·高三开学考试（文））已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 所对的边，且()()sin sin sin sin a c b A C B c B +--+=(1)求角A 的大小；(2)若a =ABC 面积的最大值.2.（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知ABC 的外接圆半径R =tan tan B C +=．(1)求B 和b 的值；(2)求ABC 面积的最大值．3.（2021·江苏·矿大附中高三阶段练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，设sin cos sin (2cos )A B B A =-．(1)若b c +，求A ；(2)若2a =，求ABC 的面积的最大值．【题型九】解三角形4：周长最值【典例分析】（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin A B C A B +-=. (1)求角C 的大小；(2)若ABCABC 周长的取值范围.【变式演练】1.（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知ABC 中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若()2cos cos 0a c B b C --=.(1)求角B 的大小；(2)若2b =，求a c +的最大值.2.（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）在锐角ABC 中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，从条件①：3sin cos tan 4A A A =，条件①12=，条件①：2cos cos cos a A b C c B -=这三个条件中选择一个作为已知条件． (1)求角A 的大小；(2)若2a =，求ABC 周长的取值范围．3.（2022·广东·高三开学考试）已知锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对边为a 、b 、c ，= (1)求角A ；(2)若4a =，求b c +的取值范围．【题型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非对称”型【典例分析】（2022·四川成都·模拟预测（理））①ABC 中，角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，tan tan 2tan tan A AB C bc，cos cos 1b C c B +=．(1)求角A 及边a ； (2)求2b c +的最大值．【变式演练】1.（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且5sin sin 35cos cos cos2B C B C A -=+． (1)求角A 的大小；(2)若a =2b c +的最大值．2..（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）在①()()222sin 2sin B c a C b c a b -=+-，①23cos cos cos 24A C A C --=，tan tan A B =+这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =_______． (1)求角B ﹔(2)求2a c -的范围．【题型十一】解三角形6：最值范围综合【典例分析】（2022·浙江·高三开学考试）记ABC 内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知tan tan 2tan tan tan B CB A A=-.(1)求证：2222b c a +=；(2)求2abc 的取值范围.【变式演练】1.（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已cos sin B b C =+． (1)求C 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形且c =22a b +的取值范围．2.（2022·湖南湘潭·高三开学考试）设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A 为钝角，且tan bB a =．(1)探究A 与B 的关系并证明你的结论； (2)求cos cos cos A B C ++的取值范围．1．（2022·天津·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值. 2．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B -+==．(1)求ABC 的面积；(2)若sin sin A C =，求b ． 3．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． (1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+4．（·浙江·高考真题（理））已知ABC 的内角,,A B C 所对的对边分别为,,a b c 1，且sin sin A B C +． (1)求c 的值；(2)若ABC 的面积为1sin 6C ，求角C 的大小．5．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．6．（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数sin()0,0,2y A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在根据表中数据，求：（1）实数A ，ω，ϕ的值；（2）该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.7．（山东·高考真题）已知函数()2sin 2y x ϕ=+，x ∈R ，π02ϕ<<，函数的部分图象如下图，求（1）函数的最小正周期T 及ϕ的值：（2）函数的单调递增区间．8．（2021·天津·高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B C =b =（I ）求a 的值；（II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．9．（2021·全国·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．10．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B ；（2）再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件①：ABC 的周长为4+条件①：ABC11．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中．3sin cos 64A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)求角A ；(2)若8AC =，点D 是线段BC 的中点，DE AC ⊥于点E ，且DE =CE 的长．1.（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数()()sin y f x A x B ωϕ==++（其中A ，ω，ϕ，B 均为常数，且0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图像如图所示．(1)求()f x 的解析式；(2)若5()126g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()g x 的值域．2.（2022·全国·高三专题练习）已知向量(sin a x =，(1,cos )b x =．(1)若a b ⊥，求sin 2x 的值；(2)令()f x a b =⋅，把函数()f x 的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），再把所得的图像沿x 轴向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图像，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定. (1)求()f x 的解析式；(2)设函数()()6g x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值.条件①：()f x 的最小正周期为π；条件①：()00f =；条件①：()f x 图象的一条对称轴为4x π=. 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()3,sin 26f x x x a a a g x x π⎛⎫=--+∈=+ ⎪⎝⎭R ．(1)若()f x 为奇函数，求实数a 的值；(2)若对任意[]10,1x ∈，总存在20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围．5.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin 216f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)若()()()12f x f x f x ≤≤，12min 2x x π-=，求()f x 的对称中心；(2)已知05ω<<，函数()f x 图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，3x π=是()g x 的一个零点，若函数()g x 在[],m n （m ，n R ∈且m n <）上恰好有10个零点，求n m -的最小值； 6、（2022·安徽·高三开学考试）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且23,2b c B C ==.(1)求cos C ;(2)若5a =，求c .7.（2022·广西·模拟预测（文））设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos 2sin c b A b A -=． (1)证明：()sin 2sin sin A B B A -=； (2)若3A B =，求B 的值．8.（2022·全国·高三专题练习）在①2cos cos c b B a A -=；①sin cos 2AA =；()sin a C C =，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若__________．（填条件序号） (1)求角A 的大小；(2)若3a =，求ABC 面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．9.（2021·福建省华安县第一中学高三期中）在①π1cos cos 32B B ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，①sin (sin sin )sin a A c C A b B +-=，tan tan A B =+这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中.问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =______________. (1)求角B ；(2)求a c +的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 10.（2022·山东烟台·三模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos cos 2cos b a A C c A =+. (1)求角A ；(2)若4a =，求2c b -的取值范围.11.（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，点D 在边BC 上，3AB =，2AC =． (1)若AD 是BAC ∠的角平分线，求:BD DC ；(2)若AD 是边BC 上的中线，且AD =，求BC ．12.（2022·全国·模拟预测（文））在①3cos210cos 10A A +-=，①sin cos A A -=①tan 2A =三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．如果多选，则按第一个解答给分．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且______ (1)求cos A ；(2)sin sin B C 的最大值．。

2021年高三冲刺备考【新题型】——三角函数与解三角形-解析

2022年高三备考【新题型】——三角函数与解三角形青岛青奥教育——见识新情况，扩展宽思路一、解答题1．如图，在四边形ABCD中，CD =BC =cos 14CBD ∠=-.（1）求BDC ∠；（2）若3A π∠=，求ABD △周长的最大值. 【答案】（1）6π；（2）12 【分析】（1）在BCD △中，利用正弦定理可求得结果；（2）在BCD △中，由余弦定理可求得4BD =，在ABD △中，3A π∠=，设,AB x AD y ==，由余弦定理得22161cos 22x y A xy -+==，即2216x y xy -+=，利用基本不等式求得()max x y +，进而求出 ABD △周长的最大值. 【详解】（1）在BCD △中，cos CBD ∠=sin 14CBD ∠∴== 利用正弦定理得：sin sin CD BCCBD BDC=∠∠，sin 1sin 2BC CBDBDC CD⋅∠∴∠===又CBD ∠为钝角，BDC ∴∠为锐角，6BDC π∴∠=（2）在BCD △中，由余弦定理得2222cos2BC BD CD CBD BC BD ∠+===⋅-解得：4BD =或5BD =-（舍去）在ABD △中，3A π∠=，设,AB x AD y ==由余弦定理得22222161cos 222AB AD D x y A AB B AD xy -+=⋅-+==，即2216x y xy -+= 整理得：()2163x y xy +-=，又0,0x y >>利用基本不等式得：()()2231346x y x y xy +=≤-+，即()2416x y +≤，即()264x y +≤，当且仅当4x y ==时，等号成立，即()max 8x y +=，所以()max 8412AB AD BD ++=+= 所以 ABD △周长的最大值为12 【点睛】方法点睛：本题考查利用正余弦定理解三角形，及利用基本不等式求三角形周长的最值，利用条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.2．已知函数()cos 14f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （1）当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域；（2）是否同时存在实数a 和正整数n ，使得函数()()g x f x a =-在[]0,x n π∈上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的a 和n 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）⎡⎣；（2）答案见解析. 【分析】（1）利用三角恒等变换得出()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦型函数的值域求解；（2）由题意可知，函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上恰有2021个交点，然后对实数a 的取值进行分类讨论，考查实数a 在不同取值下两个函数的交点个数，由此可得出结论.【详解】（1）()cos 12(sin cos )cos 14f x x x x x x π⎛⎫=+-=+⋅- ⎪⎝⎭22sin cos 2cos 1sin 2cos 224x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，20,42x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴[]sin 20,14x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则()f x ⎡∈⎣. （2）假设同时存在实数a 和正整数n 满足条件，函数()()g x f x a =-在[]0,x n π∈上恰有2021个零点，即函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上恰有2021个交点. 当[]0,x π∈时，92,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，作出函数()f x 在区间[]0,π上的图象如下图所示：①当a >a <()y f x =与直线y a =在[]0,n π上无交点，②当a =a =()y f x =与直线y a =在[]0,π上有一个交点，此时要使函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上恰有2021个交点，则2021n =；③当1a <<或1a <<时，函数()y f x =与直线y a =在[]0,π上有两个交点，此时函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上有偶数个交点，不符合题意； ④当1a =时，函数()y f x =与直线y a =在[]0,π上有三个交点，此时要使函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上恰有2021个交点，则1010n =；综上所述，存在实数a 和n 满足题设条件：a =2021n =；a =2021n =；1a =时，1010n =.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，利用函数在区间上的零点个数求参数，解本题第（2）问的关键就是要注意到函数()y f x =与直线y a =的图象在区间[]0,π上的图象的交点个数，结合周期性求解.3．如图是一“T ”型水渠的平面视图（俯视图），水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m m （从拐角处，即图中A ，B 处开始）．假定渠内的水面始终保持水平位置（即无高度差）．（1）在水平面内，过点A 的一条直线与水渠的内壁交于P ，Q 两点，且与水渠的一边的夹角为02πθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，将线段PQ 的长度l 表示为θ的函数；（2）若从南面漂来一根长为7m 的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？请说明理由．【答案】（1）4sin cos l θθ=+π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭；（2）这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠，理由详见解析．【分析】（1）计算sin PA θ=，4cos QA θ=，得到函数解析式.（2）设4()sin cos f θθθ=+，求导得到单调区间，计算函数的最小值7>，得到答案.【详解】（1）PA =，4cos QA θ=，所以l PA QA =+，即4cos l θ=π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．（2）设4()sin cos f θθθ=+，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由)332222cos 4sin ()sin cos sin cos f θθθθθθθθθ-'=-+=，令()0f θ'=，得0tan 2θ=，且当()00,θθ∈，()0f θ'<；当0π,2θθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f θ'>，所以()f θ在()00,θ上单调递减；在0π,2θ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以当0θθ=时，()f θ取得极小值，即为最小值．当0tan θ=sin θ=，0cos θ=所以min 0()()4f f θθ===即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为．因为7>，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．【点睛】本题考查了三角函数的应用，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P ，Q 是以AB 为直径的上半圆弧上两点（点P 在Q 的右侧），点O 为半圆的圆心，已知2AB =，BOP θ∠=，POQ α∠=.（1）若点P 的横坐标为45，点Q 的纵坐标为12，求cos α的值；（2）若1PQ =，求AQ BP ⋅的取值范围.【答案】（1（2）10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）计算3sin 5θ=，4cos 5θ=，()1sin 2αθ+=，()cos 2αθ+=-，利用和差公式计算得到答案. （2）3πα=，故()cos ,sin P θθ，cos ,sin 33Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1sin 62AQ BP πθ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭，计算得到答案. 【详解】（1）根据题意：3sin 5θ=，4cos 5θ=，()1sin 2αθ+=，()sin sin αθθ+<，故,2παθπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()cos αθ+=故()()()cos cos cos cos sin sin ααθθαθθαθθ=+-=+++=. （2）1OP OQ PQ ===，故3πα=，故()cos ,sin P θθ，cos ,sin 33Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ()10B ,，()1,0A -，故()cos 1,sin cos 1,sin 33AQ BP ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+++⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1cos 1cos 1sin sin sin 3362πππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5,666πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故11sin 0,622πθ⎛⎫⎡⎤+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【点睛】本题考查了三角恒等变换，向量的数量积，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.5．如图，某污水处理厂要在一正方形污水处理池ABCD 内修建一个三角形隔离区以投放净化物质，其形状为三角形APQ ，其中P 位于边CB 上，Q 位于边CD 上，已知20AB =米，6PAQ π∠=，设PAB θ∠=，记()ABCD fPAQ θ=∆正方形面积面积，当()f θ越大，则污水净化效果越好.（1）求()f θ关于的函数解析式，并求定义域；（2）求()fθ最大值，并指出等号成立条件？【答案】(1)()=4cos cos()3f πθθθ-，()124;(2) =6πθ时,()fθ最大值是3【分析】（1）在ABP △中求AP ,在ADQ △中求AQ ,再求出PAQ ∆面积得解. （2要求()f θ最大值，恒等转化成sin()A x k 型利用三角函数性质可得解.【详解】（1）在ABP △中,PAB θ∠=, 20AB =∴ 20=coscos ABAP ; 在ADQ △中3DAQ πθ∠=-,∴20=cos()cos()33AD AQ1100sin 26cos cos()3PAQ S AP AQ ππθθ∆=⋅=-()400=4cos cos()1003cos cos()3f πθθθπθθ=--由题知04πθ<<，且034∴124ππθ<<()=4cos cos()3f πθθθ∴-，()124（2）()=4cos cos()=2sin(2)136f ππθθθθ-++124ππθ<< ，22363∴ 当2=62ππθ+时，即=6πθ时()f θ最大值是3【点睛】本题考查三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用.（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成sin()A x k 或cos()A x k 的形式；（2）根据自变量的范围确定x ωϕ+的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值.6．某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180︒而成，如图2.已知圆O 的半径为10cm ，设BAO θ∠=，02πθ<<，圆锥的侧面积为2cm S （S 圆锥的侧面积RI π=（R -底面圆半径，I -母线长））（1）求S 关于θ的函数关系式；（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大.求S 取得最大值时腰AB 的长度【答案】（1）2400sin cos S πθθ=，（02πθ<<）；（2 【分析】（1）根据题意，设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，分析可得220cos AB AE θ==，sin 20sin cos BD AB θθθ==，由圆锥的侧面积公式可得S 的表达式，即可得答案；（2）由（1）可得S 的表达式可得231400sin cos 400(sin sin )2S πθθπθθ==-，设3()=-f x x x ，(01)x <<，求导求出其在区间(0,1)上的最大值，求出x 的值，即可得当sin θ=，即cos θ=时，侧面积S 取得最大值，计算即可得答案．【详解】解：（1）根据题意，设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，在AOE ∆中，10cos AE θ=，220cos AB AE θ==，在ABD ∆中，sin 20sin cos BD AB θθθ=⋅=，所以21220sin cos 20cos 400sin cos 2S πθθθπθθ=⨯⨯⨯=，（02πθ<<）. （2）由（1）得：()231400sin cos 400sin sin 2S πθθπθθ==-，设()3f x x x =-，（01x <<），则()213f x x '=-，令()2130f x x '=-=，可得x =当0,3x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 在区间0,3⎛⎝⎭上单调递增，当,13x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 在区间3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在3x =时取得极大值，也是最大值；所以当sin θ=，即cos θ=时，侧面积S 取得最大值，此时等腰三角形的腰长20cos AB θ==答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB 的长度为cm 3.【点睛】本题考查导数的实际应用，利用导数求函数的单调性、极值和最值，还涉及圆锥的侧面积公式和三角函数的恒等变形，关键是求出S 的表达式．7．已知函数()cos f x x x =，()sin g x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）求证:()()f x g x ≤；（2）若()ax g x bx <<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值. 【答案】（1）答案见解析；（2）a 最大值为2π,b 的最小值为1. 【分析】（1）构建函数()cos sin h x x x x =-，通过导数研究函数()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调性并计算最值，可得结果. （2）构造函数()sin M x x cx =-，通过分类讨论的方法，0c ≤，1c ≥和01c <<，利用导数判断函数()M x 的单调性，并计算最值比较，可得结果.【详解】（1）由()()()cos sin h x f x g x x x x =-=- 所以()'cos sin cos sin h x x x x x x x =--=-. 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()'sin 0h x x x =-≤, 所以()h x 在区间上0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减.从而()()00h x h ≤=,()()f x g x ≤.（2）当0x >时,“()ax g x <”等价于“sin 0x ax ->” “()g x bx <”等价于“sin 0x bx -<”. 令()sin M x x cx =-,则()'cos M x x c =-,当0c ≤时,()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当1c ≥时, 因为对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()'cos 0M x x c =-<, 所以()M x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 从而()()00M x M <=对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立. 当01c <<时, 存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'cos 0M x x c =-=. ()M x 与()'M x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的情况如下:因为()M x 在区间[]00,x 上是增函数, 所以()()000M x M >=.进一步,“()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立” 当且仅当1022M c ππ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭,即20c π<≤, 综上所述：当且仅当2c π≤时,()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立; 当且仅当1c ≥时,()0M x <对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立. 所以，若()ax g x bx <<对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立, 则a 最大值为2π,b 的最小值为1. 【点睛】本题考查导数的综合应用，关键在于构建函数，化繁为简，同时掌握分类讨论的思想，考验分析问题的能力以及计算能力，属中档题.8．如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC .设AOB θ∠=.（1）当56πθ=，求四边形OACB 的面积；（2）当θ为何值时，线段OC 最长并求最长值.【答案】（12）当23πθ=时，OC 的最大值为3【分析】（1）利用余弦定理求出AB ，分别求出OAB ABC ∆∆，的面积即可；（2）根据余弦定理，正弦定理用θ表示出,sin ,cos AB OAB OAB ，利用余弦定理得出OC 关于θ的函数，根据三角恒等变换求出最值. 【详解】解：（1）在OAB ∆中，由余弦定理得2222cos AB OA OB OA OB θ=+-⋅514212cos 6π=+-⨯⨯5=+于是四边形OACB 的面积为21sin 2AOB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅+111222=⨯⨯⨯+=（2）在OAB ∆中，由余弦定理得2222cos AB OA OB OA OB θ=+-⋅14212cos 54cos θθ=+-⨯⨯⨯=-，∴AB =∴AC =在OAB ∆中，由正弦定理得sin sin AB OBOABθ=∠，即sin sinOB OAB AB θ∠==又OB OA <，所以OAB ∠为锐角，∴cosOAB ∠==∴cos cos cos cos sin sin 333OAC OAB OAB OAB πππ⎛⎫∠=∠+=∠-∠ ⎪⎝⎭=-在OAC ∆中，由余弦定理得：2222cos OC OA AC OA CA OAC =+-⋅∠454cos 22θ⎛⎫=+--⨯52cos 54sin 6πθθθ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭.∵(0,)θπ∈， ∴当23πθ=时，OC 的最大值为3. 【点睛】本题考查了解三角形和三角函数的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.9．已知向量()2cos ,1a x =，()3sin cos ,1b x x =+-，函数()f x a b =⋅.（1）若()065f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值；（2）若函数()y fx ω=在区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数，求正数ω的取值范围.【答案】（1（2）104ω<≤ 【分析】（1）利用数量积公式结合二倍角公式，辅助角公式化简函数解析式，由()065f x =，结合026x π+的范围以及平方关系得出0cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，由002266x x ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=结合两角差的余弦公式求解即可；（2）由整体法结合正弦函数的单调性得出该函数的单调增区间，则区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭应该包含在()y f x ω=的一个增区间内，根据包含关系列出不等式组，求解即可得出正数ω的取值范围. 【详解】（1）())2cos cos 12cos 22sin 26f x a b xx x x x x π⎛⎫=⋅=+-=+=+ ⎪⎝⎭因为()065f x =，所以062sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0272366x πππ≤+≤所以04cos 265x π⎛⎫+==- ⎪⎝⎭.所以00001cos 2cos 2cos 2sin 2662626x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦413525⎛⎫=-+⨯=⎪⎝⎭（2）()2sin 26y f x x πωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 令222262k x k ππππωπ-≤+≤+，k Z ∈得36k k x ππππωωωω-≤≤+，k Z ∈ 因为函数()y fx ω=在区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数所以存在0k Z ∈，使得002,,3336k k ππππππωωωω⎛⎫⎛⎫⊆-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以有0033263k k πππωωπππωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，即0031614k k ωω≤+⎧⎨+≥⎩ 因为0>ω，所以016k >- 又因为2123322πππω-≤⨯，所以302ω<≤，则03312k ≤+，所以056k ≤从而有01566k -<≤，所以00k =，所以104ω<≤. 【点睛】本题主要考查了利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角差的余弦公式化简求值以及根据正弦型函数的单调性求参数范围，属于较难题.10．已知向量()()sin ,cos 3a x x ωωω=>，()cos ,sin 2b πϕϕϕ⎛⎫=<⎪⎝⎭，函数()5f x a b π=⋅+满足2445f x f x πππ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且在区间2,189ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，又不等式()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()20205y f x x ππ=--+在区间[](),0m m m ->的零点为123100,,,,x x x x ，求()10011ii x f x =+⎡⎤⎣⎦∑的值.【答案】（1）()sin(5)+45f x x+ππ=；（2）15π.【分析】(1)根据()5f x a b π=⋅+利用向量数量积公式与正弦的和角公式化简,再根据题意可得()f x 的对称轴与对称中心等.同时利用()f x 在区间2()189ππ，上单调求出关于周期的不等式,继而求得解析式.(2)将题意转换为函数()y f x =的图象与1+520y x ππ=+的图象在区间[,]m m -上有100个交点.再利用函数的对称点分析求解即可. 【详解】（1）()sin cos cos sin sin()555f x a b x x x πππωϕωϕωϕ=⋅+=++=++因为()()044f +x f x ππ-+--=,所以(0)4π-，是函数()f x 的一个对称中心, 由()()4f x f π≤,得4x π=为函数()f x 的一条对称轴,所以()4424k T T ,k ππ--=+∈Z ,即(21)22k ,k ,ππω+=∈Z 所以21=k ,k ω+∈Z . 又因为函数()f x 在区间2()189ππ，上单调,所以2=91862T ππππω-=≤, 即6ω≤,又3ω>,所以5ω=. 又因为542+k ,k Z ,ππϕπ⨯=+∈所以34k ,k Z ,πϕπ=-∈又2,πϕ≤所以4πϕ=. 所以()sin(5)+45f x x+ππ=.（2）由题意,方程1()+520f x x ππ=+在区间[,]m m -上有100个实根,即函数()y f x =的图象与1+520y x ππ=+的图象在区间[,]m m -上有100个交点.由5=,,4x+k k ππ∈Z 得,520k x k ππ=-∈Z , 所以(,)205ππ-为函数()y f x =的图象的一个对称中心.易知(,)205ππ-也是函数1+520y x ππ=+的图象的对称中心,所以()y f x =与1+520y x ππ=+的图象交点成对出现,且每一对均关于点(,)205ππ-对称, 所以1231002()50520x x x x ππ++++=⨯-⨯=-.123100()()()()250205f x f x f x f x ππ++++=⨯⨯=,所以1001[+()]i i i x f x =∑=123100123100+++++()()()()=15x x x x f x f x f x f x π++++.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质综合运用,需要根据条件得出三角函数的对称轴、对称点以及周期范围等信息,进而列出参数的不等式进行求解.同时也考查了三角函数的对称点的求和应用.属于难题.11．如图，已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<，点,A B 分别是()f x 的图象与y 轴、x 轴的交点，,C D 分别是()f x 的图象上横坐标为3π、2π的两点，//CD x 轴，,,A B D 三点共线.（1）求,ωϕ的值；（2）若关于x的方程()3f x k x =+在区间,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个实根，求实数k 的取值范围. 【答案】(1) 3ω=,=4πϕ;(2)12k -<≤-【分析】(1)结合AB BD =及中点坐标可求B ，根据点C 与点D 对称性求出对称轴512x π=，然后可求()f x 的最小正周期T ，进而可求ω，再由点B 代入解析式求出ϕ；(2)由(1)可知,()3f x k x =+,可求得sin 33cos 344k x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()cos 3,,4123g x x x πππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,结合y k =与()g x 的图象即可求出k 的取值范围.【详解】根据题意,点A 与点D 关于点B 对称,则点B 的横坐标为0+2=24ππ,又点C 与点D 关于直线532212x πππ+==对称,f x 的最小正周期T 满足541246T πππ=-=，解得23T π=，即3ω=, 由五点法做图可知,3+=4πϕπ⨯,且0ϕπ<<, =4πϕ∴;由(1)知，函数()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,由()3f x k x =+得sin 334x k x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭, sin 33cos 344k x x x ππ⎛⎫⎛⎫∴=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设()cos 3,,4123g x x x πππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，画出()g x 在,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的函数图象,如图所示; 根据题意, y k =与()g x 恰有两个交点，实数k 应满足1k -<≤. 【点睛】本题考查三角函数的图象性质及其应用,同时考查了数形结合的思想和计算求解的能力,难度较难. 12．如图，已知点O 为直线l 外一点，直线l 上依次排列着A ，B ，C ，D 四点，满足：（1）∠AOC 为锐角，BOC COD ∠=∠；（2）2tan tan tan AOB AOD AOC ∠⋅∠=∠ （3）112tan tan tan AOC BOC AOB+=∠∠∠.（Ⅰ）求∠AOC 的值；（Ⅱ）若1AB BC ==，求CD 的值. 【答案】（Ⅰ）4π（Ⅱ）2 【分析】（1））设AOC α∠=，BOC COD β∠=∠=，得到2tan()tan()tan αβαβα-+=，化简得到答案.（2）根据正弦定理得到(2)sin()sin()CD CD αβαβ+-=+，将tan 1α=和1tan 3β=代入计算得到答案.【详解】（1）设AOC α∠=，BOC COD β∠=∠=.由2tan tan tan AOB AOD AOC ∠⋅∠=∠，得2tan()tan()tan αβαβα-+=，即22222tan tan tan 1tan tan αβααβ-=-，所以2tan 1α=，4πα=.（2）在OCD 中，由角平分线定理得CD ODBC OB=，在OAD ∆中，由正弦定理得2sin sin()sin()OD AD CDA αβαβ+==++，在OAB ∆中，由正弦定理得1sin sin()sin()OB AB A αβαβ==--，两式相除得(2)sin()sin()OD CD OB αβαβ+-=+.即(2)sin()sin()CD CD αβαβ+-=+. 将tan 1α=代入112tan tan tan AOC BOC AOB+=∠∠∠得1tan 3β=.将tan 1α=和1tan 3β=代入(2)sin()sin()CD CD αβαβ+-=+. 解得2CD =. 【点睛】本题考查了正弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的综合应用能力和转化能力.13．已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(),a M b O =为函数()f x 的伴随向量，同时称函数()f x 为向量OM 的伴随函数.（1）设函数3())sin 2g x x x ππ⎛⎫=+--⎪⎝⎭，试求()g x 的伴随向量OM ；（2）记向量(1,ON =的伴随函数为()f x ，求当()85f x =且,36x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时sin x 的值；（3）由（1）中函数()g x 的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移23π个单位长度得到()h x 的图象，已知()2,3A -，()2,6B ，问在()y h x =的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥.若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）OM (=-（2（3）存在，()0,2P 【分析】(1)利用三角函数诱导公式化简函数得()cos g x x x =+，根据题意写出伴随向量； (2)根据题意求出函数()f x ，再由()85f x =及,36x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭求出sin()3x π+及cos()3x π+，由sin sin 33x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦展开代入相应值即可得解；(3) 根据三角函数图像变换规则求出()h x 的解析式，设1,2cos 2P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由AP BP ⊥得0AP BP ⋅=列出方程求出满足条件的点P 的坐标即可. 【详解】（1）∵3()sin )2g x x x ππ⎛⎫=--++⎪⎝⎭∴()cos cos g x x x x x =-=+∴()g x 的伴随向量OM (=-（2）向量(1,ON =的伴随函数为()sin f x x x =，()8sin 2sin()35f x x x x π=+=+=，4sin()35x π∴+=,(0,)3632x x ππππ⎛⎫∈-∴+∈ ⎪⎝⎭，，3cos()35x π∴+=14sin sin sin cos 33232310x x x x ππππ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（3）由（1）知：()cos 2sin 6g x x x x π⎛⎫=+=--⎪⎝⎭将函数()g x 的图像（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，得到函数12sin 26y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭再把整个图像向右平移23π个单位长得到()h x 的图像，得到 1211()2sin 2sin 2cos 236222h x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设1,2cos2P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，∵(2,3),(2,6)A B - ∴12,2cos32AP x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，12,2cos 62BP x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭又∵AP BP ⊥，∴0AP BP ⋅=∴11(2)(2)2cos32cos 6022x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭221144cos 18cos 18022x x x -+-+= ∴2219252cos 224x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭（*） ∵122cos22x -≤≤，∴131952cos 2222x -≤-≤- ∴225191692cos 4224x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭ 又∵2252544x -≤∴当且仅当0x =时，2192cos 22x ⎛⎫- ⎪⎝⎭和2254x -同时等于254，这时（*）式成立∴在()y h x =的图像上存在点()0,2P ，使得AP BP ⊥. 【点睛】本题主要考查平面向量坐标形式与三角函数的综合应用，涉及三角函数诱导公式，三角恒等变换，求三角函数图像变换后的解析式，向量垂直的数量积关系，属于中档题.14．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且22b c ac =+，（1）求证：2B C =；（2）若ABC ∆是锐角三角形，求ac的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）(1,2) 【分析】（1）由22b c ac =+，联立2222cos b a c ac B =+-⋅，得2cos a c c B =+⋅，然后边角转化，利用和差公式化简，即可得到本题答案；（2）利用正弦定理和2B C =，得2cos 21aC c=+，再确定角C 的范围，即可得到本题答案. 【详解】解：（1）锐角ABC ∆中，22b c ac =+，故由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-⋅，2222cos c ac a c ac B ∴+=+-⋅，22cos a ac ac B ∴=+⋅，即2cos a c c B =+⋅，∴利用正弦定理可得：sin sin 2sin cos A C C B =+，即sin()sin cos sin cos sin 2sin cos B C B C C B C C B +=+=+， sin cos sin sin cos B C C C B ∴=+，可得：sin()sin B C C -=，∴可得：B C C -=，或B C C π-+=（舍去）， 2B C ∴=.（2）2sin sin()sin(2)2cos cos22cos21sin sin sin a A B C C C C C C c C C C++====+=+A B C π++=，,,A B C 均为锐角，由于：3C A π+=， 022C π∴<<，04C π<<.再根据32C π<，可得6C π<，64C ππ∴<<，(1,2)ac∴∈ 【点睛】本题主要考查正余弦定理的综合应用，其中涉及到利用三角函数求取值范围的问题.15．如图，半径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中AB BE <，设AOB θ∠=．（1）将十字形的面积S 表示为θ的函数；（2）求十字形的面积S 的最大值．【答案】（1）28sin cos4sin 222S θθθ=-（2）max 2S =．【分析】（1）由题意，根据三角函数和圆的半径表达2sin 2AB θ=，2cos2BE θ=，再计算十字形的面积；（2）由（1）中十字形的面积28sin cos4sin 222S θθθ=-，根据三角恒等变换，化简函数解析式，即可求解最大值. 【详解】解：（1）由题意，2sin2AB θ=，2cos2BE θ=，因为AB BE <，所以0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．所以222sin 2cos 2sin 222S θθθ⎛⎫⎛⎫=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即28sincos4sin 222S θθθ=-，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（2）由（1）得：4sin 2cos 2S θθ=+-1)2tan 2θϕϕ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭所以max 2S =．答：（1）28sincos4sin 222S θθθ=-；（2）max 2S =．【点睛】本题考查（1）三角函数在几何图形中的应用；（2）三角恒等变换求最值问题；考察计算能力，实际操作能力，综合性较强，有一定难度.16．如图，某污水处理厂要在一个矩形ABCD 的池底水平铺设污水净化管道（直角EFG ∆，E 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化的效果越好.设计要求管道的接口E 是AB 的中点，F ，G 分别落在AD ，BC 上，且20AB m =，AD =，设GEB θ∠=.（1）当θ为何值时，EFG ∆的面积S 最小，并求出最小值；（2）试将污水管道的长度l 表示成θ的函数，并写出定义域；（3）当θ为何值时，污水净化的效果最好，并求此时管道l 的长度. 【答案】（1）4πθ=，100（2）10sin 10cos 10,,sin cos 63l θθππθθθ++⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦（3）当θ取6π或3π时效果最好，此时()20l m =. 【分析】(1)利用三角函数定义表示出EG 和FE 的长度,利用三角形的面积公式和二倍角的正弦公式可求得面积的最小值;(2)根据(1)中的表示出EG 和FE 的长度,利用勾股定理可得长度FG.三边之和可得污水管道的长度l. (3)根据(2)中的关系式利用三角函数公式化简,利用三角函数的有界限可得l 的最大值,即污水净化效果最好. 【详解】(1)由题意,,90GEB GEF θ︒∠=∠=.则90AEF θ︒∠=-, E 是AB 的中点,20AB mAD ==,()101010cos sin cos 90EG EF θθθ︒∴===-，, 所以11101010022cos sin sin 2EFG S EG EF θθθ∆=⨯⨯=⨯⨯=,当sin 21,4πθθ==时, EFG ∆的面积S 最小，最小值为100EFGS =,所以当4πθ=时，EFG ∆的面积S 最小，最小值为100;(2)由(1)得10cos sin FG θθ==,则101010sin cos sin cos l θθθθ=++, 其中当G 与点C 重合时，3πθ=，当F 与点D 重合时，6πθ=，所以63ππθ≤≤,所以污水管道的长度l 表示成θ的函数为10(sin cos )10sin cos l θθθθ++=，其定义域为,63ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦;(3)由(2)可知则10(sin cos )10,sin cos 63l θθππθθθ⎛⎫++⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭,令sin cos 4t πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,,63ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,57,41212πππθ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦, 可得sin 4πθ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,则:t ∈⎣ 又21sin cos 2t θθ-=,且1t ≠那么:22101020(1)201112t t l t t t ++===---当12t =时,长度l取得最大值为20,此时:4t πθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,即5412ππθ+=或712π,6πθ∴=或3π, 故得6πθ=或3π时,污水净化效果最好,此时管道的长度为()20m ;【点睛】本题考查运用三角函数解决生活实际问题中的最值问题,关键在于设合理的角度,将所求的问题转化为此角的三角函数,属于中档题.17．定义在R 上的函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤≤ ⎪⎝⎭，若已知其在()0,7x π∈内只取到一个最大值和一个最小值，且当x π=时函数取得最大值为3；当6x π=，函数取得最小值为3-．（1）求出此函数的解析式；（2）若将函数()f x 的图像保持横坐标不变纵坐标变为原来的13得到函数()g x ，再将函数()g x 的图像向左平移()000ϕϕ>个单位得到函数()h x ，已知函数()lg ()g x y eh x =+的最大值为e ，求满足条件的0ϕ的最小值；（3）是否存在实数m，满足不等式()()sinsin A A ϕϕ>若存在，求出m 的范围（或值），若不存在，请说明理由．【答案】（1）()133sin 510f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）10π；（3）存在，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用最大值和最小值确定A 和T ，进而得到ω；利用()3f π=可求得ϕ的取值，进而得到所求函数解析式；（2）由图象平移和伸缩变换原则得到()(),g x h x ，由xy e =与函数lg y x =的单调性可知只有当()1g x =，()1h x =同时取得时，函数取最大值，由此可得到010k ϕπ=，根据00ϕ>得到最终结果；（3）由偶次根式被开方数大于等于零可确定m 的范围，进而得到两角整体所处范围，根据函数单调性可. 【详解】（1）()()max 3f x f π==，()()min 63f x f π==-3A ∴=，()22610T ππππω==⨯-= 15ω∴=()3sin 35f ππϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭252k ππϕπ∴+=+，k Z ∈解得：3210k πϕπ=+，k Z ∈，又02πϕ≤≤ 310πϕ∴= ()133sin 510f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭（2）由题意知：()13sin 510g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()0131sin 5105h x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 函数xy e =与函数lg y x =均为单调增函数，且()11g x -≤≤，()01h x <≤∴当且仅当()13sin 1510g x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭与()0131sin 15105h x x πϕ⎛⎫=++=⎪⎝⎭同时取得才有函数的最大值为e由()13sin 1510g x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得：1321025x k πππ+=+，k Z ∈ 又()0131sin 15105h x x πϕ⎛⎫=++=⎪⎝⎭ 01cos 15ϕ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭010k ϕπ∴=，k Z ∈又00ϕ> 0ϕ∴的最小值为10π（3）m 满足2223040m m m ⎧-++≥⎨-+≥⎩，解得：12m -≤≤ ()2223144m m m -+=--++≤ 02∴≤≤同理02≤≤15ω=，310πϕ=323,10510ππϕ⎡⎤∈+⎢⎣∴⎥⎦，323,10510ππϕ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦由（1）知函数在[]4,ππ-上递增若有()()sinsin A A ϕϕ>>，即12m >成立即可∴存在1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使()()sin sin A A ϕϕ>成立【点睛】本题考查三角函数与函数部分知识的综合应用问题，涉及到根据函数性质求解函数解析式、三角函数的平移和伸缩变换、根据函数最值求解参数值、利用单调性求解函数不等式的问题；本题综合性较强，属于较难题.18．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）.某摩天轮的最高点距离地面的高度为 90 米，最低点距离地面 10 米，摩天轮上均匀设置了 36 个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.(1) 经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足H (t )=A sin(ωt +φ)+B 其中A >0,ω> 0)，求摩天轮转动一周的解析式 H (t )；(2) 问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为 30 米？(3) 若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔 5 个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为 h 米，求 h 的最大值. 【答案】(1)()40cos 50(030)15H t t t π=-+≤≤;(2)答案见解析;(3)h 的最大值为40米【分析】(1)设()sin()H t A t B ωϕ=++,根据最高点和最低点可得A 与B ,由周期求ϕ值,即得函数解析式;(2)高度为30米,代入解析式求出t ;(3)分析出相邻两个座舱到达最低点的时间间隔为3036,甲,乙中间相隔5个座舱,则时间间隔5分钟,由此列出两人距离地面的高度差h 关于t 的函数关系式,利用三角函数的性质求出最大值. 【详解】(1)由题意可设()sin()(0,0,0)H t A t B A B ωϕω=++>>≥,摩天轮的最高点距离地面的高度为90米,最低点距离地面10米,9010A B A B +=⎧⎨-+=⎩,得40,50A B ==. 又函数周期为30,23015ππω==, ()40sin()5015H t t πϕ=++(030t ≤≤),又0t =时,()10H t =,所以1040sin(0)5015πϕ=⨯++,即sin 1ϕ=-,ϕ可取2π-, 所以()40sin()5040cos 50(030)15215H t t t t πππ=-+=-+≤≤ (2) ()40cos 503015H t t π=-+=,1cos 152t π=解得5t =,所以游客甲坐上摩天轮5分钟后，距离地面的高度恰好为30米;(3)由题意知相邻两个座舱到达最低点的时间间隔为3036,游客甲,乙中间相隔5个座舱, 则游客乙在游客甲之后5分钟进入座舱,若甲在摩天轮上坐了t (530t ≤≤)分钟,则游客乙在摩天轮上坐了5t -分钟,所以高度差为: 40cos 50[40cos(5)50]1515140[coscos(5)]40[cos cos ]151521521540cos()153h t t t t t t t ππππππππ=-+---+=---=--=-+ 当153t πππ+=即10t =时,h 取得最大值40.【点睛】本题考查利用三角函数的性质求解析式,以及三角函数性质的实际应用,属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查数学知识,解决这类问题的关键是将实际问题转化为数学模型进行解答. 19．如图，一个角形海湾,2AOB AOB θ∠=（常数θ为锐角）．拟用长度为l （l 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：方案一：如图1，围成扇形养殖区OPQ ，其中PQ l =；方案二：如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD l =.（1）求方案一中养殖区的面积1S ；（2）求方案二中养殖区的最大面积（用l θ，表示）；（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．【答案】（1）21,0,42l S πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭；（2）224tan l S θ=；（3）应选择方案一．【分析】（1）设此扇形所在的圆的半径为r ，则2l r θ=⋅，可得2lr θ=．利用扇形面积计算公式可得1S ．（2）设OC x =，OD y =，利用余弦定理与基本不等式的性质可得：2222cos 222cos 2l x y xy xy xy θθ=+-≥-，可得：224l xy sin θ≤，即可得出．（3）由于12tan S S θθ=，令()tan f θθθ=-，求导，可得()f θ在(0,)2π上单调递增．即可得出结论．【详解】（1）设OP r =，则2l r θ=⋅，即2lr θ=，所以 211,0,242l S lr πθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭．（2）设,OC a OD b ==．由余弦定理，得2222cos 2l a b ab θ=+-，所以22cos2l ab ab θ≥-．所以22(1cos 2)l ab θ≤-，当且仅当a b =时等号成立．所以221sin 2sin 224(1cos 2)4tan OCDl l S ab θθθθ∆=≤=-，即224tan l S θ=．（3）221114(tan ),0,2S S l πθθθ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，令()tan f θθθ=-，则22sin sin ()1cos cos f θθθθθ''⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f θ'>，所以()f θ在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增．所以，当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，总有()(0)0f f θ>=，即21110S S ->，即12S S >．答：为使养殖区面积最大，应选择方案一．【点睛】本题考查扇形的面积计算公式、余弦定理、基本不等式的性质，考查函数与方程思想、分类讨论思想的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，注意利用基本不等式求最值时，记得验证等号成立的条件． 20．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设(sin sin sin )(sin sin sin )A B C A B C ++⋅+-2sin sin A B =.（1）求C ；（2）若D 为BC 边上的点，M 为AD 上的点，1CD =，CAB MBD DMB ∠=∠=∠.求AM ．【答案】(1) 90C =；(2)2【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，利用余弦定理即可求解；（2）设=CAB MBD DMB θ∠=∠=∠，将三角形中其余角用θ表示出来，结合1CD =，表示边长，即可解出.【详解】（1）由(sin sin sin )(sin sin sin )A B C A B C ++⋅+-2sin sin A B =，得()222a b c ab +-=，即222+=a b c∴90C =；（2）令CAB MBD DMB θ∠=∠=∠=，则在AMB ∆中，902,180MBA BMA θθ∠=-∠=-由正弦定理得：()()sin 902sin 180AM AB θθ=--，即cos 2sin AB AM θθ⋅= 在ACD ∆中，90,2ACD CDA θ∠=∠=由正切定义：tan 2AC θ= 在ACB ∆中，90,ACB BAC θ∠=∠= 由正切定义：tan 2cos cos AC AB θθθ==， ∴tan 2cos 2cos 2sin AM θθθθ⋅== 【点睛】此题考查正余弦定理在解三角形中的应用，其中不乏对平面几何知识中角的关系的考查，综合应用能力要求较高.。

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专题四三角函数与解三角形第十二讲解三角形答案部分1．A 【解析】因为213cos 2cos121255=-=⨯-=-C C ，所以由余弦定理，得22232cos 251251()325=+-⋅=+-⨯⨯⨯-=AB AC BC AC BC C ，所以=AB A ．2．C 【解析】根据题意及三角形的面积公式知2221sin 24a b c ab C +-=，所以222sin cos 2a b c C C ab +-==，所以在ABC ∆中，4C π=．故选C ． 3．A 【解析】由sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，得sin 2sin cos sin cos sin B B C A C B +=+，即2sin cos sin cos B C A C =，所以2sin sin B A =，即2b a =，选A ． 4．A 【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A.5．C 【解析】设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得1sin 342a c π==，则2a c =．在△ABC 中，由余弦定理可得222222295322b ac c c c c =+-=+-=，则b =．由余弦定理，可得22222259cos 2c c c b c a A bc +-+-===C ． 6．B 【解析】11sin 22AB BC B ⋅⋅=，∴sin 2B =，所以45B =或135B =．当45B =时，1AC ==，此时1,AB AC BC ===90A =与“钝角三角形”矛盾；当135B =时，AC ==．7．A 【解析】因为A B C π++=，由1sin 2sin()sin()2A ABC C A B +-+=--+得1sin 2sin 2sin 22A B C ++=，即1sin[()()]sin[()()]sin 22A B A B A B A B C ++-++--+=，整理得1sin sin sin 8A B C =，又111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===，因此322222211sin sin sin 864S a b c A B C a b c ==，由12S ≤≤得222311264a b c ≤≤，即8abc ≤≤C 、D 不一定成立．又0b c a +>>，因此()8bc b c bc a +>⋅≥，即()8bc b c +>，选项A 一定成立．又0a b c +>>，因此()8ab a b +>，显然不能得出()ab a b +>B 不一定成立．综上所述，选A ．8．C 【解析】由22()6c a b =-+可得22226a b c ab +-=-①，由余弦定理及3C π=可得222a b c ab +-=②．所以由①②得6ab =，所以1sin 23ABC S ab π∆== 9．C 【解析】∵tan15tan(6045)23=-=-∴60tan 6060tan15120(31)BC =-=．10．D 【解析】225cos 10A -=，1cos 5A =，由余弦定理解得5b =． 11．A 【解析】边换角后约去sin B ，得1sin()2A C +=，所以1sin 2B =，但B 非最大角，所以6B π=．12．C 【解析】由余弦定理可得AC =sin 10A =． 13．B 【解析】∵cos cos sin bC c B a A +=，∴由正弦定理得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，∴2sin()sin B C A +=，∴2sin sin A A =，∴sin 1A =，∴△ABC 是直角三角形．14．B【解析】由正弦定理得：sin sin sin 45BC AC ACAC A B ︒=⇔=⇔= 15．D【解析】由正弦定理，得22sin sin sin cos A B B A A +=，即22sin (sin cos )B A A A ⋅+=，sin B A =，∴sin sin b B a A==． 16．D 【解析】设AB c =，则AD c =，BD =，BC =ΔABD 中，由余弦定理得2222413cos 23c c c A c +-==，则sin 3A =，在ΔABC 中，由正弦定理得sin sin 3c BC C A ==，解得sin C =．17．A 【解析】因为120C ∠=，c =，所以2222cos c a b ab C =+-，222122()2a ab ab =+--所以22,0,aba b ab a b a b a b-=-=>>+ 因为0,0a b >>，所以0aba b a b-=>+，所以a b >．故选A ．18．9【解析】因为120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，所以60ABD CBD ∠=∠=，由三角形的面积公式可得111sin120sin 60sin 60222ac a c =+，化简得ac a c =+，又0a >，0c >，所以111a c+=，则1144(4)()559c a a c a c a c a c +=++=+++=≥，当且仅当2c a=时取等号，故4a c +的最小值为9． 19．7；3【解析】因为a =2b =，60A=，所以由正弦定理得2sin sin 7b AB a⨯===．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得2230c c--=，所以3c=．202222224241cos22424AB BC ACABCAB BC+-+-∠===⨯⨯⨯⨯，由22sin cos1ABC ABC∠+∠=所以sin4ABC∠===，1sin2BDCS BD BC DBC∆=⨯⨯∠11sin()sin22BD BC ABC BD BC ABCπ=⨯⨯-∠=⨯⨯∠1222=⨯⨯=．C因为BD BC=，所以D BCD∠=∠，所以2ABC D BCD D∠=∠+∠=∠，cos cos24ABCBDC∠∠====．21．2【解析】单位圆内接正六边形是由6个边长为1的正三角形组成，所以6133 611sin602S=⨯⨯⨯⨯=．22．2113【解析】∵4cos5A=，5cos13C=，所以3sin5A=，12sin13C=，所以()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=，由正弦定理得：sin sin b a B A =解得2113b =． 23．1 【解析】由1sin 2B =得6B π或56π，因为6C π，所以56B π≠，所以6B π，于是23A π=1sin 32b =，所以1b =． 24．7【解析】由已知得ABC ∆的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ⋅==所以sin A =，(0,)2A π∈，所以3A π=．由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=49，7BC =． 25．【解析】如图作PBC ∆，使75∠=∠=B C ，2BC，作出直线AD 分别交线段PB 、PC 于A 、D 两点（不与端点重合），且使75∠=BAD ，则四边形ABCD 就是符合题意的四边形，过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ，在PBC ∆中，可求得62BP ，在QBC ∆中，可求得BQ =，所以AB 的取值范围为．26．1【解析】∵2223cos 24b c a A bc +-==，而sin 22sin cos 243cos 21sin sin 64A A A a A C C c ⨯==⨯=⨯⨯=． 27．8 【解析】因为0A π<<，所以sin A ==又1sin 28ABC S bc A ∆===24bc ∴=，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩，得6b =，4c =，由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =．28． 30=∠BAC ， 105=∠ABC ，在ABC ∆中，由 180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ，所以 45=∠ACB ，因为600=AB ，由正弦定理可得30sin 45sin 600BC=，即2300=BC m ，在BCD Rt ∆中，因为 30=∠CBD ，2300=BC ，所以230030tan CDBC CD ==，所以6100=CD m ．29．150【解析】在三角形ABC 中，AC =，在三角形MAC 中，sin 60sin 45MA AC=，解得MA = 在三角形MNA 3sin 602==，故150MN =． 30．2【解析】由b B c C b 2cos cos =+得：sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=，sin 2sin A B =，∴2a b =，故2ab=． 31．π32【解析】3sin 5sin A B =， π32212cos 2,53222=⇒-=-+=⇒=+=⇒C ab c b a C a c b b a ，所以π32．32sin sin()cos 23BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD+-∠=•，2223BD ∴==．33．①②③【解析】①222221cos 2223a b c ab ab ab c C C ab ab π+-->⇒=>=⇒< ②2222224()()12cos 2823a b c a b a b a b c C C ab ab π+-+-++>⇒=>≥⇒< ③当2C π≥时，22232233c a b c a c b c a b ≥+⇒≥+>+与333a b c +=矛盾④取2,1a b c ===满足()2a b c ab +<得：2C π<⑤取2,1a b c ===满足22222()2a b c a b +<得：3C π<．34．4【解析】根据余弦定理可得2214(7)22(7)()4b b b =+--⨯⨯-⨯-，解得b =4． 35．在ABC ∆中，根据sin sin sin AB AC BCC B A==，得sin sin 2sin sin ACAB C C C B=⋅==，同理2sin BC A =，因此22sin 4sin AB BC C A +=+22sin 4sin()3C C π=+-4sin )C C C ϕ=+=+．36【解析】根据sin sin AB ACC B=得5sin sin 7AB C B AC ===11cos 14C ==，所以sin sin[()]sin cos cos sin A B C B C B C π=-+=+111142-= 37．4【解析】（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性．当A =B 或a =b 时满足题意，此时有：1cos 3C =，21cos 1tan 21cos 2C C C -==+，tan22C =，1tan tan tan 2A B C===，tan tan tan tan C CA B+= 4．（方法二）226cos 6cos b aC ab C a b a b+=⇒=+，2222222236,22a b c c ab a b a b ab +-⋅=++=tan tan sin cos sin sin cos sin sin()tan tan cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B A B C A B C A B +++=⋅=⋅21sin cos sin sin C C A B =⋅．由正弦定理，得：上式22222214113cos ()662c c c c C ab a b =⋅===+⋅．38．6π【解析】由sin cos B B +=12sin cos 2B B +=，即sin 21B =，因02B π<<，所以2,24B B ππ==.又因为2,a b ==2sin 4π=，解得1sin 2A =，而,a b <则04A B π<<=,故6a π=． 39．【解析】(1)在ABC ∆中，∵1cos 7B =-，∴(,)2B ππ∈，∴sin B = 由正弦定理得sin sin a b A B=⇒7sin A =，∴sin A = ∵(,)2B ππ∈，∴(0,)2A π∈，∴π3A ∠=．(2)在ABC ∆中，∵sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+11()72-+．如图所示，在ABC ∆中，∵sin hC BC=，∴sin h BC C =⋅=7=， ∴AC边上的高为2．40．【解析】(1)在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠．由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以2sin ADB ∠=．由题设知，90ADB ∠<︒，所以223cos 1255ADB ∠=-=． (2)由题设及(1)知，2cos sin 5BDC ADB ∠=∠=．在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠22582525=+-⨯⨯25=．所以5BC =．41．【解析】(1)在ABC △中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan 3B =又因为(0π)B ∈，，可得3B π=．(2)在ABC △中，由余弦定理及2a =，3c =，3B π=，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故7b =．由πsin cos()6b A a B =-，可得3sin 7A =a c <，故cos 7A =．因此43sin 22sin cos A A A ==21cos 22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos 2sin AB A B A B -=-=4311333727214-⨯=42．【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A=由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =．故2sin sin 3B C =．（2）由题设及（1）得121cos()cos cos sin sin 632B C B C B C +=-=-=- 所以2π3B C +=，故π3A =．由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =．由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得b c +=．故ABC △的周长为343．【解析】（1）由已知得tan A =，所以23A π=．在ABC ∆中，由余弦定理得222844cos 3c c π=+-，即2+224=0c c -．解得6c =-（舍去），4c = （2）有题设可得2CAD π∠=，所以6BAD BAC CAD π∠=∠-∠=．故ABD ∆面积与ACD ∆面积的比值为1sin26112AB AD AC AD π⋅⋅=⋅．又ABC ∆的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=ABD ∆44．【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin 2B B =，故sin 4(1cos )B B =-．上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =．（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==．又2ABCS ∆=，则172ac =．由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=．所以2b =．45．【解析】（Ⅰ）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =．由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =.由正弦定理sin sin a bA B=,得sin sin a B A b ==.所以，b sin A（Ⅱ）由（Ⅰ）及a c <，得cos A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==， 25cos 212sin 13A A =-=-．故πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 444A A A +=+=． 46．【解析】（Ⅰ）在△ABC 中，因为60A ∠=︒，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ==．（Ⅱ）因为37c a a =<，所以60C A ∠<∠=，由7a =，所以3737c =⨯=．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得222173232b b =+-⨯⨯，解得8b =或5b =-（舍）．所以△ABC 的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=47．【解析】(Ⅰ)由tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A +=+得sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos C A BA B A B A B⨯=+，所以C B C sin sin sin +=2，由正弦定理，得c b a 2=+．（Ⅱ）由abc ab b a ab c b a C 22222222--+=-+=)(cos22233311112222()2c c a b ab=--=-=+．所以C cos 的最小值为12．48．【解析】（I ）证明：由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可知原式可以化解为cos cos sin 1sin sin sin A B CA B C+== ∵A 和B 为三角形内角 , ∴sin sin 0A B ≠则，两边同时乘以sin sin A B ，可得sin cos sin cos sin sin B A A B A B += 由和角公式可知，()()sin cos sin cos sin sin sin B A A B A B C C π+=+=-= 原式得证。

专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形答案

三角函数与解三角形题型归纳及习题含详解

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