2017年中考数学专题训练压轴题含解析

2017年中考数学专题训练压轴题含解析2压轴题1、已知，在平行四边形OABC 中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q 从A 点出发沿射线AB 方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t 秒． （1）求直线AC 的解析式；（2）试求出当t 为何值时，△OAC 与△PAQ 相似；（3）若⊙P 的半径为58，⊙Q 的半径为23；当⊙P 与对角线AC 相切时，判断⊙Q 与直线AC 、BC 的位置关系，并求出Q 点坐标。

解：（1）42033y x =-+3AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD 翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．（第245解：（1）(31)E ，；(12)F ，．（2）在Rt EBF △中，90B ∠=， 2222125EF EB BF ∴+=+=设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >，顶点(12)F ，， ∴设抛物线解析式为2(1)2(0)y a x a =-+≠．①如图①，当EF PF =时，22EF PF =，221(2)5n ∴+-=．解得10n =（舍去）；24n=．(04)P ∴，．24(01)2a ∴=-+．解得2a =．∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+②如图②，当EP FP =时，22EP FP =，22(2)1(1)9n n ∴-+=-+．解得52n =-（舍去）．6③当EF EP =时，53EP =<，这种情况不存在．综上所述，符合条件的抛物线解析式是22(1)2y x =-+．（3）存在点M N ，，使得四边形MNFE 的周长最小． 如图③，作点E 关于x 轴的对称点E '，作点F 关于y轴的对称点F '，连接E F ''，分别与x 轴、y 轴交于点M N ，，则点M N ，就是所求点．(31)E '∴-，，(12)F NF NF ME ME '''-==，，，．43BF BE ''∴==，．FN NM ME F N NM ME F E ''''∴++=++=22345=+=．又5EF =∴55FN NM ME EF +++=此时四边形MNFE的周长最小值是553、如图，在边长为2的等边△ABC中，AD⊥BC,点P为边AB 上一个动点，过P点作PF//AC交线段BD于点F,作PG⊥AB交AD于点E,交线段CD于点G,设BP=x.（1）①试判断BG与2BP的大小关系,并说明理由;②用x的代数式表示线段DG的长,并写出自变量x的取值范围;（2）记△DEF的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求出S的最大值;（3）以P、E、F为顶点的三角形与△EDG是否可能相似？如果能相似，请求出BP的长，如果不能，请说明理由。

78解：（1）①在等边三角形ＡＢＣ中，∠Ｂ＝60°，∵ＰＧ⊥ＡＢ，∴∠ＢＧＰ＝30°，∴ＢＧ＝2ＢＰ．②∵ＰＦ／／ＡＣ，∴△ＰＢＦ为等边三角形，∴ＢＦ＝ＰＦ＝ＰＢ＝x . 又∵ＢＧ＝2x ，ＢＤ＝1，∴ＤＧ＝2x －1，∴０＜2x －1≤１，∴112x .CB 第39（2）S=12DE×DF=)()12112x x --=2326x x -+-当34x =时，48maxS =.（3）①如图１，若∠ＰＦＥ＝Ｒt∠，则两三角形相似，此时可得ＤＦ＝ＤＧ 即121xx 解得：23x．②如图２，若∠ＰＥＦ＝Ｒt∠，则两三角形相似，此时可得ＤＦ＝12ＥＦ＝14ＢＰ， 即114xx ．解得：45x．4、如图，二次函数cbx x y ++-=241的图像经过点()()4,4,0,4--B A ，且与y 轴交于点C .CBCB（1）试求此二次函数的解析式；（2）试证明：CAO∠（其中O是原点）；BAO∠=（3）若P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过P作y轴的平行线，分别交此二次函数图像及x轴于Q、H两点，试问：是否存在这样的点P，使QH=？若存在，请求出点P的坐标；若不存PH2在，请说明理由。

10解：（1）∵点()0,4A 与()4,4--B 在二次函数图像上，∴⎩⎨⎧+--=-++-=cb cb 444440，解得⎪⎩⎪⎨⎧==221c b ，∴二次函数解析式为221412++-=x xy .（2）过B 作x BD ⊥轴于点D ，由（1）得()2,0C ，则在AOC Rt ∆中，2142tan ===∠AO CO CAO ，又在ABD Rt ∆中，2184tan ===∠AD BD BAD ，∵BAD CAO ∠=∠tan tan ，∴BAO CAO ∠=∠.（3）由()0,4A 与()4,4--B ，可得直线AB 的解析式为221-=x y ，设()44,221, x x x P -⎪⎭⎫ ⎝⎛-，则⎪⎭⎫⎝⎛++-22141,2x xx Q ，∴22141,2122212++-=-=-=x x QH x x PH .∴2214122122++-=-x x x . 当4212122++-=-x x x ，解得 4,121=-=x x（舍去），∴⎪⎭⎫ ⎝⎛--25,1P .当4212122--=-x xx ，解得 4,321=-=x x（舍去），∴⎪⎭⎫ ⎝⎛--27,3P .综上所述，存在满足条件的点，它们是⎪⎭⎫⎝⎛--25,1与⎪⎭⎫ ⎝⎛--27,3.5、如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8厘米，点D在AC上，CD＝3厘米．点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C 匀速移动，速度为每秒k厘米，行完AC全程用时8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x秒()80＜x＜，△DCQ的面积为y1平方厘米，△PCQ的面积为y2平方厘米．（1）求y1与x的函数关系，并在图2中画出y1的图象；（2）如图2，y2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P的速度及AC的长；（3）在图2中，点G是x轴正半轴上一点（0图C Q → 图＜OG ＜6＝，过G 作EF 垂直于x 轴，分别交y 1、y 2于点E 、F ．①说出线段EF 的长在图1中所表示的实际意义；②当0＜x ＜６长的最大值．解：（1）∵CD CQ SDCQ⋅⋅=∆21，CD ＝3，CQ ＝x ，∴x y 231=． 图象如图所示．（2）方法一：CP CQ SPCQ⋅⋅=∆21，CP ＝8k －xk ，CQ ＝x ，∴()kxkxx kx k y 42182122+-=⋅-⨯=．∵抛物线顶点坐标是（4，12）， ∴12444212=⋅+⋅-k k ．解得23=k ．则点P 的速度每秒23厘米，AC ＝12厘米．方法二：观察图象知，当x=4时，△PCQ 面积为12．此时PC ＝AC －AP ＝8k －4k ＝4k ，CQ ＝4．∴由CPCQ S PCQ ⋅⋅=∆21，得 12244=⨯k ．解得23=k ．则点P 的速度每秒23厘米，AC ＝12厘米．方法三：设y 2的图象所在抛物线的解析式是cbx ax y ++=2．∵图象过（0，0），（4，12），（8，0）， ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.0864124160c b a c b a c ，，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=.0643c b a ，，∴xx y64322+-=． ①∵CPCQ S PCQ ⋅⋅=∆21，CP ＝8k －xk ，CQ ＝x ，∴kxkxy 42122+-=． ②比较①②得23=k .则点P 的速度每秒23厘米，AC ＝12厘米．（3）①观察图象，知线段的长EF ＝y 2－y 1，表示△PCQ 与△DCQ 的面积差（或△PDQ 面积）．②由⑵得xx y 64322+-=.（方法二，xx x x y 643232382122+-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=）∵EF＝y 2－y 1，∴EF＝x x x x x29432364322+-=-+-，∵二次项系数小于０，∴在60＜x＜范围，当3=x 时，427=EF 最大．6、如图，在ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，D 、E 分别是边AB 、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持BCDE∥，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG.（1）试求ABC∆的面积；（2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；（3）设x∆与正方形DEFG重叠部分的AD=，ABC面积为y，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（4）当BDG∆是等腰三角形时，请直接写出AD 的长。

C解：（1）过A 作BC AH ⊥于H ，∵6,5===BC AC AB ，∴321==BC BH .则在ABHRt ∆中，422=-=BH AB AH ，∴1221=•=∆BC AH S ABC .（2）令此时正方形的边长为a ，则446aa -=，解得512=a . （3）当20≤x 时，22253656xx y =⎪⎭⎫⎝⎛=.当52 x 时，()2252452455456x x x x y -=-⋅=. （4）720,1125,73125=AD .7、如图已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上． （1）求m 、n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为点C ，试在x 轴上找点D ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与ABC △相似．解：（1）根据题意，得：⎩⎨⎧=++=+-02444n m m n m m 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=434n m（2）四边形 A A ′B ′B 为菱形，则 AA ′=B ′B= AB=5 ∵438342+--=x x y=()3164342+--x∴ 向右平移5个单位的抛物线解析式为B A O 11 －－x y AB()3164342,+--=x y（3）设D （x ，0）根据题意，得：AB=5，5',10,53===C B BC AC∵∠A =∠B B ′Aⅰ) △ABC ∽△B ′CD 时，∠ABC =∠B ′CD ，∴BD=6－x ，由 得=55（3，0）ⅱ）△ABC ∽△B ′DC ∴55365=-x解得313=x ∴)0,313(D8、如 图，已知直角梯形ABCD 中，AD∥BC，A B⊥BC ，AD ＝2，AB ＝8， CD ＝10．（1）求梯形ABCD 的面积S ；（2）动点P 从点B 出发，以1cm/s 的速度、沿B→A→D→C 方向，向点C 运动；动点Q 从点C 出发，以1cm/s 的速度、沿C→D→A 方向，向点A 运动，过点Q 作QE⊥BC 于点E ．若P 、Q 两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个DB ACC B AB ''=运动随之结束，设运动时间为t 秒．问：①当点P 在B→A 上运动时，是否存在这样的t ，使得直线PQ 将梯形ABCD 的周长平分？若存在，请求出t 的值，并判断此时PQ 是否平分梯形ABCD 的面积；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t ，使得以P 、D 、Q 为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由．解：1D DH BC H ABHDDH AB 8BH AD 2⊥∴====（）过作于点显然四边形是矩形；在Ｒt △DCH 中，=ABCD 11S AD BC AB 28822∴=+=+⨯（）（）40=(2)① ECBCBECB（备10;8CQ BP -=-=∴==tDQ t AP t周长平分。