自然界和社会上发生的现象是各种各样的.
灰色理论课件
一、什么是灰色理论自然界和社会上发生的现象多种多样：有一类现象在一定条件下必然发生。
例如在一个大气压下水在一百度沸腾。
还有一类现象是不确定的。
例如在相同情况下抛同一枚硬币，炮弹的落点；你是否年轻人？胖子？秃子？（数学归纳法证明全秃）；2050年我国人口控制在15~16亿之间，某人年龄在30~35之间，身高170~180厘米，体重60~80千克。
这些不确定分为三类：第一类像抛硬币、弹着点在大量重复实验和观察中呈现出固有的规律性称之为统计规律性。
这种在个别试验中其结果不确定，在大量重复实验中又具有统计规律的现象称之为随机现象。
概率论和数理统计是研究和揭示随机现象统计规律的一门数学学科。
第二类是研究“认知不确定”问题，如“年轻人”是个模糊概念，“内涵明确外延不明确”，用模糊数学的隶属函数处理，数学的另一个分支。
第三类是研究概率统计、模糊数学所不能解决的“小样本、贫信息不确定、外延明确内涵不明确”的问题，特点“少数据建模”，由灰色理论处理。
1“白色的”(即系统中的全部信息确定或确知)2也不是“黑色的”(全部信息不确定或不确知)3而是“灰色的”(系统的信息部分确定、部分不确定)，分不清哪些因素间关系密切，哪些不密切，这就难以找到主要矛盾和主要特性．1982年，我国著名学者、华中理工大学的邓聚龙教授创立了灰色系统理论，提出灰色系统理论是用来解决信息不完备系统的数学方法．他把控制论的观点和方法延伸到复杂的大系统中，将自动控制和运筹学相结合，用独树一帜的有效方法和手段，去研究灰色系统理论经过20年的发展，已基本建立起一门新兴的结构体系，其研究内容主要包括：以灰色朦胧集为基础的理论体系，以灰色关联空间为依托的分析体系，以灰色序列为基础的方法体系，以灰色模型（GM）为核心的体系，以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。
灰色系统基础理论包括灰色代数系统、灰色方程、灰色矩阵、灰色朦胧集，灰数是灰色系统的基本“单元”。
《概率论与数理统计》课程教案
最基本的数学模型：首个非常重要的概念，是研究概率的重要的基础性工具。
自然界和社会上发生的现象是多种多样的，在观察、分析、研究各种现象时，通常我们将它们分为两类：
(1)可事前预言的，即在准确地重复某些条件下，它的结果总是肯定的，或者根据它过去的状况，在相同条件下完全可以预言将来的发展，称这一类现象为确定性现象或必然现象。
具备以上三个特点（简而言之：过程的可重复性、可能结果的确定性、实际结果的不确定性）的试验，称为随机试验
随机试验的作用：通过随机试验来研究随机现象
第三部分：样本空间，随机事件，随机事件的关系与事件运算（40分钟）
（一）样本空间
由随机试验的3个特点可知，每次试验的所有可能结果是已知的。
样本空间：将随机试验E的所有可能结果组成一个集合，称为E的样本空间，记为S (space)。
随机试验的任一种可能结果构成一个基本事件，比如A＝{s5}
基本事件的总数：等于集合S的基数
注意区别：样本点和基本事件，是元素和集合的关系
2)必然事件(Certain Event)：样本空间S作为一个子集，S S，它作为事件时总会发生
3)不可能事件(Impossible Event)：用空集Φ表示，不包含任何样本点，也有Φ S，每次试验都不发生
样本点：样本空间中的元素，即E的每个结果。
例：设前述试验E1～E7的样本空间S1～S7如下：(保留)
S1:{H，T}
S2:{HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT}
S3:{0，1，2，3}
S4:{1，2，3，4，5，6}
S5:{0，1，2，3，…}
S6:{t|t≥0}
S7:{(x,y)|T0≤x≤y≤T1,T0表示该地区最低温，T1表示最高温}
概率知识与实际应用举例
概率知识与实际应用举例[摘要]随机现象存在于我们日常生活的方方面面和科学技术的各个领域，概率论是指导人们从事物表象看到其本质的一门科学。
日常生活我们在从事一些事项中，可以事先对所要做的事情用概率进行数量上的计算，从而作出科学的决策。
本文由现实生活中的部分现象探讨了概率知识的广泛应用。
[关键词]随机现象；概率；古典概型；应用实例分析一、随机现象自然界和社会上发生的现象是多种多样的．有些现象在一定条件下必然会发生或必然不会发生．例如，向上抛一石子必然下落；在标准大气压下，纯水加热到100。
c必然会沸腾；又如，在现有的生产条件下，水稻的亩产量超过5000kg 必然不会发生，等等，这类现象成为确定性现象．然而，在自然界和社会上还存在着另一类现象，例如，在相同条件下抛掷同一枚硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，并且在每次抛掷之前无法预知抛掷的结果是什么；袋中有红、黄、绿色球各一个，现从中随意抽取一球，其结果可能是红球，也可能是黄球或绿球，在抽取之前无法确定取到什么颜色的球．这类在一定条件下时而出现这种结果，时而出现那种结果，并且事先无法预知确切的结果的现象称为随机现象。
对于随机现象，在个别几次观察或试验中其结果呈现出不确定性；然而，在大量重复观察或试验中其结果又呈现出明显的某种规律性．例如，大量重复抛掷同一枚硬币，出现正面朝上的次数与出现反面朝上的次数大致都是抛掷总次数的一半。
这种在大量重复观察或试验中出现的规律性称为统计规律性。
二、概率的统计定义及古典概型概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小。
1、概率的统计定义在相同的条件下进行重复随机实验。
当实验次数充分大时，事件发生的可能性总在某一确定值附近摆动，而且随着实验次数的增多，这种摆动的幅度越来越小，则称为事件的概率。
2、概率的古典定义对于古典概型，若样本空间的样本点总数为，事件所含样本点数为，则事件的概率为。
比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。
北邮概率论与数理统计样本空间及随机事件1.1
§1.1 随机事件及其运算1.随机现象自然界和社会上发生的现象多种多样.有些现象,我们可以准确预言他们在一定条件会出现何种结果,例如“在标准大气压下,纯水加热到C ︒100时必定沸腾”等等,这类现象我们称为确定性现象.然而自然界和社会上还有许多现象,他们在一定条件下，并不总是出现相同结果,而且事先我们无法准确预言会出现何种结果, 这类现象我们称为随机现象.随机现象随处可见。
如抛一枚硬币，其结果可能是正面朝上,也可能反面朝上,而且在出现结果之前无法准确预言会出现何种结果.再比如用一仪器在相同条件下测量一物体的质量,各次测量结果会有差异,等等。
有的随机现象可以在相同条件下重复,也有很多随机现象是不能重复的，比如经济现象（如失业，经济增长速度等）大多不能重复. 对在相同条件下可以重复的随机现象的观察、记录、实验称为随机试验.对于这类随机现象，我们常常通过多次重复的随机试验，观察其出现的结果，以期发现随机现象的规律性。
长期的实践经验表明，在大量重复试验下,随机现象的结果的出现往往呈现出某种规律性.例如大量重复抛一枚硬币,正面出现的次数与反面出面出现的次数大致相当,等等.这种在大量重复试验中所呈现的规律性就是我们以后常说的统计规律性.概率论与数理统计的研究对象是随机现象,研究和揭示随机现象的统计规律性. 概率论与数理统计主要研究能重复的随机现象，但也十分注意研究不能重复的随机现象.2.样本空间数学理论的建立总是需要首先给出一些原始的无定义的概念（例如，“点”和“直线”是欧氏几何的公理化处理中无定义的概念）。
在概率论中，第一个“无定义”的原始概念是“样本点”，这一原始概念又联系着另一原始概念“随机试验”.概率论中所说的随机试具有下述特点:(1)可以在相同条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且事先能明确试验的所有可能的结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪个结果会发生.随机试验的可能结果称为样本点，用ω表示样本点；而随机试验的一切样本点组成的集合称为样本空间，记为}{ω=Ω.在具体问题中,认清“样本空间是哪些样本点构成的”是十分重要的. 有些随机试验凭“经验”可确定样本点和样本空间,有些随机试验需要“数学的理想化”去确定样本点和样本空间.样本点和样本空间的确定也与研究目的有关,或者说与观察或记录的是什么有关.看下面一些例子.例 1 考虑试验:掷一骰子,观察出现的点数.根据“实际经验”,该试验的基本结果有6个:1,2,3,4,5,6,从而其样本空间为}6,5,4,3,2,1{=Ω.如果我们只是观察出现奇数点还是偶数点,那么样本空间可以确定为{=Ω出现奇数点,出现偶数点}.例 2 考虑试验:观察一天内进入某商场的人数. 一天内进入某商场的人数是非负整数,但由于不知道最多的人数和最少的人数,我们把该试验的样本空间“理想化”地定为},3,2,1,0{⋅⋅⋅=Ω,即样本空间确定为全体非负整数构成的集合.例3考虑试验:考察一个元件的寿命.为了数学上处理方便, 我们把该试验的样本空间“理想化”地确定为),0[+∞=Ω.例 4 对于试验:将一硬币抛3次.若我们记录3次正反面出现的情况,则样本空间为},,,,,,,{TTT TTH THT HTT THH HTH HHT HHH =Ω;若我们记录正面出现的次数,则样本空间为}3,2,1,0{=Ω.若样本空间中的元素个数是有限个,我们称此样本空间为有限样本空间. 若样本空间中的元素个数是有限个或可列个,我们称此样本空间为离散样本空间.3.随机事件有了样本空间后,我们可以给出随机事件的概念.直观上, 随机事件是随机现象或随机试验中可能发生也可能不发生的事件.例如,在掷骰子试验中,“出现偶数点”是可能发生也可能不发生的,因此它是随机事件,而且当试验出现的结果是2或4或6时该事件就发生了,否则该事件就不发生.一个事件是否发生应当能由试验出现的结果判定,因此一个事件可以由使其发生的那些样本点组成，换言之, 随机事件可以由一个或多个样本点组成的集合来表示.因此有下面概念.设随机试验E 的样本空间为}{ω=Ω,我们称样本空间为}{ω=Ω的子集为随机事件,简称为事件,常用大写字母A,B,C,…表示.若一事件是由单个样本点组成,则称该事件为基本事件;由2个或2个以上样本点组成的事件称为复合事件.由全体样本点组成的事件称为必然事件,必然事件就是样本空间Ω本身.空集Φ作为样本空间Ω的子集也是事件,称此事件为不可能事件. 显然, 必然事件在每次试验中是必定发生的,不可能事件在任一次试验中都不会发生.这两种情况已无随机性可言,但我们把它们视为随机事件的特例.以后在理论上讨论概率论问题时，我们总是假定样本空间已经给定，随机事件就是该样本空间的子集。
概率论-第一章-随机事件与概率
第一章随机事件及其概率自然界和社会上发生的现象可以分为两大类：一类是，事先可以预言其必然会发生某种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，它的结果总是确定的。
这类现象称为确定性现象，另一类是，事先不能预言其会出现哪种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，或出现这种结果或出现那种结果。
这类现象称为随机现象.随机现象虽然对某次实验或观察来说，无法预言其会出现哪种结果，但在相同条件下重复进行大量的实验或观察，其结果却又呈现出某种规律性。
随机现象所呈现出的这种规律性，称为随机现象的统计规律性。
概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。
§1随机事件一、随机试验与样本空间我们把对随机现象进行的一次实验或观察统称为一次随机试验，简称试验，通常用大写字母E表示。
举例如下：E\：抛一枚硬币，观察正面〃、反面卩出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃、反面7出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃出现的次数；£.：投掷一颗骰子，观察它出现的点数；£：记录某超市一天内进入的顾客人数；&：在一批灯泡里，任取一只，测试它的寿命。
随机试验具有以下三个特点：（1）每次试验的结果具有多种可能性，并且能事先明确知道试验的所有可能结果；（2）每次试验前，不能确定哪种结果会出现；%（3）试验可以在相同的条件下重复进行。
随机试验£的所有可能结果的集合称为£的样本空间，记作0。
样本空间的元素，即£的每个结果，称为样本点，一般用e表示，可记C = {e}。
上面试验对应的样本空间：n, ={w,T}；D.2={HH、HT、TH、TT}；o, ={0,1,2}；也={123,4,5,6}；={0,1234 …};o6 = {/|/>o}o注意，试验的目的决定试验所对应的样本空间。
二、随机事件试验£样本空间。
各种效应的解释
各种效应及其解释效应：拼音xiàoyìng，是指由某种动因或原因所产生的一种特定的科学现象，通常以其发现者的名字来命名。
如法拉第效应成效。
效应（Effect），在有限环境下，一些因素和一些结果而构成的一种因果现象，多用于对一种自然现象和社会现象的描述，效应一词使用的范围较广，并不一定指严格的科学定理、定律中的因果关系。
例子如温室效应、蝴蝶效应、毛毛虫效应、音叉效应、木桶效应、完形崩溃效应等等。
以下详细列举常用各种效应及其解释：1. 蝴蝶效应：指在一个动力系统中，初始条件下微小的变化能带动整个系统的长期的巨大的连锁反应。
这是一种混沌现象，说明任何事物发展均存在定数与变数，事物在发展过程中其发展轨迹有规律可循，同时也存在不可测的“变数”，往往还会适得其反，一个微小的变化能影响事物的发展，证实了事物的发展具有复杂性。
2. 聚光灯效应：又称焦点效应，是指当一个人出现在众人视线交点中且被持续关注时，他会感觉自己像站在舞台聚光灯下一样被关注，从而产生紧张或不自在的心理现象。
3. 马太效应：一种强者愈强、弱者愈弱的现象，广泛应用于社会心理学、教育、金融以及科学领域。
反映的社会现象是两极分化，富的更富，穷的更穷 。
4. 鲶鱼效应：鲶鱼在搅动小鱼生存环境的同时，也激活了小鱼的求生能力。
这种效应在企业管理中也被广泛应用，通过引入外部竞争机制，激发员工的积极性和创造力。
5. 破窗效应：此理论认为环境中的不良现象如果被忽视，会诱使人们效仿，甚至变本加厉。
比如一栋建筑如果有几个破窗不修复，可能就会有破坏者破坏更多的窗户。
6. 鸟笼效应：假如一个人买了一只空鸟笼放在家里，那么一段时间后，他一般会为了用这只笼子再买一只鸟回来养而不会把笼子丢掉，也就是这个人反而被笼子给异化掉了，成为笼子的俘虏。
7. 木桶效应：一只水桶能装多少水取决于它最短的那块木板。
这个效应告诉我们，一个组织的效率往往不是由最优秀的人员决定的，而是由最差的成员决定的。
dsafdsa
- 3 -
函数名
betapdf
对应的分 布
贝塔分布
数 学 意 义
y = f ( x | a , b) = 1 x a -1 (1 - x ) b -1 I ( 0,1) ( x ) B(a, b)
调 用 格 式
Y = betapdf(X,A,B)
（0 < x <1 ） binopdf chi2pdf exppdf 二项分布 卡方分布 指数分布 æ n ö x (1 - x ) I ( 0,1,... n ) ( x) y = f ( x | n, p) = ç ç x÷ ÷p q è ø x ( v-2) / 2e - x / 2 y = f ( x | v) = v / 2 2 G( v / 2 ) y = f ( x | m) = 1 -m e m
似然函数为概率密度函数，它被视为参数的函数。最大似然估计量（MLEs）是 使 x 处的似然函数最小化时的值。 若 x 服从标准正态分布，则 x + µ 也服从均值为 µ，标准差为σ的正态分布。 相反地，若 y 服从参数为 µ 和σ的正态分布，则 x = (y -µ)/σ服从标准正态 分布。 举例： mu = [0:0.1:2]; [y i] = max(normpdf(1.5,mu,1)); MLE = mu(i) MLE = 1.5000 exppdf 函数 功能：计算指数概率密度函数。 语法：Y = exppdf(X,MU) 描述：exppdf(X,MU) 计算 X 处的参数为 MU 的指数概率密度函数。MU 参数必须为正。 指数概率密度函数为:
y = f (x | l) =
c (2v ) / v
互 独 立 ， 则 随 c 2 ( m ) = ( X 12 + L + X v2 ) / s 2
概率论与数理统计说课讲解
如果试验是测试某灯泡的寿命：
则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，
所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，故
样本空间
S = {t ：t ≥0｝
例1写出下列随机试本验空的间 . 样
概率论
E 1:抛一 ,观 枚 察 H 硬 和 正 币 T 反 出 面 面 现 .
S1 : H,T
E7 : 将一枚硬币抛掷三次,观察正面 H 出现的次数.
如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .
则样本空间 S={(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)} 第1次 第2次
(H,H): H (H,T)： H
(T,H):
T
(T,T)： T
H
T
在每次试验中必有
H
一个样本点出现且仅
有一个样本点出现 .
T
概率论
若试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面出现 的次数：则样本空间
S0,1,2
由以上两个例子可见,样本空间的元素是由试验的 目的所确定的.
概率论在物理、化学、生物、生态、天文、 地质、医学等学科中，在控制论、信息论、电子 技术、预报、运筹等工程技术中的应用都非常广 泛。
概率论
第一章 随机事件及其概率
• 自然界和社会上发生的现象是多种多样的.在 观察、分析、研究各种现象时,通常我们将它们 分为两类:
(1)可事前预言的，即在准确地重复某些条件下， 它的结果总是肯定的，或者根据它过去的状况， 在相同条件下完全可以预言将来的发展，例如， 在标准大气压下，纯水加热到100℃必然沸腾;向 空中抛掷一颗骰子，骰子必然会下落;在没有外 力作用下，物体必然静止或作匀速直线运动;太 阳每天必然从东边升起，西边落下等等，称这一 类现象为确定性现象或必然现象.
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E4
“红色”，“兰 色”
上面所列举的试验，其共同的特点是： 1、可以在相同的条件下重复进行（可重复性） 2、试验的可能结果不止一个，并能事先明确试验的所有可 能的结果 （预知性） 3、一次试验之前不能确定预言中哪一个结果会出现（随机 性） 具有上述三个特点的试验称为随机试验，简称为试验，记为E。 我们是通过研究随机试验来研究随机现象的。 （二）随机试验E的每一个可能出现的结果叫做基本事件， 记为 或e 所有基本事件组成的集合叫样本空间，记为 S 或 e 样本点满足两点： 1 完备性：样本点是E 的所有可能结果 2 互斥性：任何两个基本事件都不会在一次试验中同时发生。
பைடு நூலகம்
序号 试验条件 观察特性 E1 将一枚硬币抛掷一 出现正面H反 次 面T的情况 E2 将一枚硬币抛掷二 同上 次 从六张卡片每张标 观察抽取卡片 有1，2，… ，6一个 上的号码数 数字（4张红色，2 张白色）任取一张 同上 观察卡片上的 颜色
可能结果 H, T
H
H T
T
H T
E3
1，2，3，4，5，6
必须经过每一步骤才能完成此事。 则完成这件事共有 n1 n2 ... nk 种不同方法 如 北京 火车3列 飞机2班 汽车4趟 济南 火车2列 飞机3班 汽车2趟 上海
北京到上海的走法共有 9 7 63 2. 加法原理 设完成某件事有k种方式： 第一种 方式有 第二种 方式有 … 第k种 方式有
实验者 德.摸根 蒲丰 试验次数 2048 4040 正面向上次数 1061 2048 正面向上频率 0.5181
0.5069
K.皮尔逊
12000
6019
0.5016
例：掷一枚均匀硬币，记录前400次掷硬币试验中，正面出 现频率 fn (H)的趋势，如图
1 0.5
由上面演示可看出： 在多次试验中，事件的频率总是在一个”定值“附近摆动， 而且当试验次数n越大，这个摆动的振幅越小。这个特性叫频 率的稳定性。这是大量实践中得到的随机现象的统计规律性。
我们将频率稳定于某一定数定义为A发生的概率，记P(A)。 用它表示事件A发生的可能性大小。
概率的频率定义 在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n 次试验中事件 A 发生的次数。当试验次数 n 很大 时，如果频率 m/n 稳定地在某数值 p 附近摆动， 而且一般地说，随着试验次数的增加，这种摆动 的幅度越来越小，称数值 p 为事件 A 在这一组不 变的条件下发生的概率，记作P(A)=p.
E3：S {1， 2， 3， 4,5,6 }
（取到卡片上号码大于3）=C =（4，5，6）
（四）频率与概率
频率：在相同条件下，独立重复进行n次试验，在这n次试验中， 事件A发生的次数nA叫事件发生的频数，比值nA/n称为事 件A发生的频率， 记为f n(A)。
特点：（1）频率在一定程度上可以反映事件A发生的可能性大小。 （2）具有波动性的弱点。 频率具有“稳定性”的特性，即当试验次数n逐渐增大时。 频率f n(A)逐渐稳定某一 定数。
第一章
概率论的基本概念
基本事件，事件，概率的定义 随机试验E，样本空间 S { } ，
随机试验 我们把对随机现象进行一次试验或观察，统称为随机试 验，记为E。 叙述试验，我们要注意到： 1、“在一定条件下，进行一次试验”包括内容： 试验条件； 观察特性（要观察的目的） 2、结果的描述 随机试验有什么特点？下面举例看一看！
（三）一个或多个基本事件组成的集合叫随机事件。 记为A，B，C…….. 关系：
集合论 概率论 全集（集合） 样本空间S 样本点 点 （基本事件） 子集 事件A
如
E2：S { HH，HT，TH，TT }
（出现正面） A { HH，HT，TH } （第二次出现正面）
B { HH，TH }
n1种方法 n2种方法 … nk种方法 无论通过哪种方式都可以完成此事。 则完成这件事总共有n1+n2+…+nk 种方法。
P( A
k 1
k
)
则称P(A)为事件A的概率
二. 概率的计算 （一）直接计算 古典概型: 1. E的样本空间S只含有限个样本点（基本事件）记 n 2. E的每个基本事件发生的可能性相同 k P ( A) 古典概型中: n 其中n是S中 的个数 k是A中包含的 个数 （1）计算n，k要用到两个基本原理和排列、组合 1. 乘法原理 如果完成某件事需经k个步骤 第一个 步骤有 n1种方法 第二个 步骤有 n2种方法 … … 第k个 步骤有 nk种方法
引言 自然界和社会上发生的现象是各种各样的，可分为两类： • 确定性现象：在一定条件下必然发生某一结果的现象。 其特性是在相同的条件下重复进行实验或观察，它的结 果总是确定不变的。 例如：在标准大气压下，纯水加热到1000C时必然会沸 腾，半径是R时，圆面积一定是 等。 2 R • 随机现象：在相同条件下，重复进行实验或观察，它的结 果未必是相同的现象。 其特性是重复进行实验或观察，可预言该条件下实验或 观察的所有可能结果，但是在实验前或观察前无法预测出现 哪一个结果，而实验或观察后必然出现一个可能结果。 例如：掷硬币出现正面反面情况，在一定条件下，某射 手向靶射击一弹，观察中靶情况，等等。
概率的公理化定义
概率的定义：设S是试验E的样本空间，对于E的每一事件A赋予 一个实数P(A)，如果P(A)满足： 公理（1）对于任何事件A，有 0 P ( A) 1 公理（2）对于S，有P(S)=1
公理（3）对于对于两两互斥的事件A1,A2,…,Am,…
P ( Ak )
k 1
• 随机现象其结果的发生呈现偶然性，但在一定条件下对其 进行大量重复实验或观察，它的结果会出现某种规律性，这是 随机现象所呈现的固有规律性，称为随机现象的统计规律性。 这正是概率论所研究的对象。 概率论与数理统计就是研究随机现象的数量统计规律性 的数学分支。 确定性现象是用经典的数学理论方法来研究其确切的因 果关系。 概率论研究随机现象有其独特的方法，是通过对随机现 象的大量观察揭示其规律性。 同学在学习中要注意其规律和方法。