九年级数学第二十四章圆导学案

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人教版九年级上第24章(圆)24.1.3 弧、弦、圆心角1导学案

第二十四章圆24.1.3弧、弦、圆心角知识要点1．顶点在__圆心__的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做__等圆__；能够__重合__的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合，这就是圆的__旋转性__．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相等__．3．在同圆或等圆中，两个__圆心角__，两条__弦__，两条__弧__中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4．在⊙O中，AB，CD是两条弦，(1)如果AB＝CD，那么__＝，__∠AOB＝∠COD__；(2)如果＝，那么__AB＝CD__，__∠AOB＝∠COD；(3)如果∠AOB＝∠COD，那么__AB＝CD__，＝__．知识构建知识点1圆的对称性1.下列语句中,不正确的是()A.圆既是中心对称图形,又是旋转对称图形B.圆是轴对称图形,过圆心的直线是它的对称轴C.当圆绕它的中心旋转89°57'时,不会与原来的圆重合D.圆的对称轴有无数条,但是对称中心只有一个知识点2圆心角及圆心角的计算2.下列图中,∠AOB是圆心角的是(C)3.如图,在☉O中,∠B=37°,则劣弧所对的圆心角的度数为(A)A.106°B.126°C.74°D.53°知识点3弧、弦、圆心角之间的关系4.在同圆或等圆中,下列说法错误的是(A)A.相等弦所对的弧相等B.相等弦所对的圆心角相等C.相等圆心角所对的弧相等D.相等圆心角所对的弦相等5.如图,☉O中,如果∠AOB=2∠COD,那么(C)A.AB=DCB.AB<DCC.AB<2DCD.AB>2DC6.如图所示,在☉O中,,∠A=30°,则∠B=(B)A.150°B.75°C.60°D.15°7.如图,AB是圆O的直径,BC,CD,DA是圆O的弦,且BC=CD=DA,则∠BCD等于(C)A.100°B.110°C.120°D.135°8.如图,已知AB和CD是☉O的两条等弦.OM⊥AB,ON⊥CD,垂足分别为M,N,BA,DC的延长线交于点P,连接OP.下列四个说法中:①;②OM=ON;③P A=PC;④∠BPO=∠DPO.正确的个数是(D)A.1B.2C.3D.49.把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,则所对圆心角的度数是(C)A.120°B.135°C.150°D.165°10.如图是两个半圆,点O为大半圆的圆心,AB平行于半圆的直径且是大半圆的弦且与小半圆相切,且AB=20,则图中阴影部分的面积是50π.11.如图,安徽马鞍山二中的小华假期早起锻炼,从一个圆形操场A点出发,沿着操场边缘与半径OA夹角为α的方向跑步,跑到操场边缘B后,再沿着与半径OB夹角为α的方向折向跑.小华一直沿着这样的方向跑,当小华第五次走到操场边缘时,正好在弧AB上,这时∠AOE=80°,则α的度数是55°.12.如图,已知点C,D是半圆上的三等分点,连接AC,BC,CD,OD,BC和OD相交于点E.则下列结论:①∠CBA=30°;②OD ⊥BC;③OE=AC;④四边形AODC是菱形.说法正确的有①②③④.13.如图,MN是☉O的直径,MN=12,∠AMN=20°,点B为的中点,点P是直径MN上的一个动点,则P A+PB的最小值为6.提示:作点A关于直线MN的对称点A',连接A'B交MN 于点P,由轴对称的性质可知A'B即为P A+PB的最小值.知识运用14.如图,AB是☉O的直径,C是的中点,CE⊥AB于点E,BD交CE于点F.(1)求证:CF=BF;(2)若CD=6,AC=8,求BE,CF的长.15.已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线CE,CF分别与直线AB交于点M,N.(1)当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时,如图1,求证:MN2=AM2+BN2;(思路点拨:考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式,需转化为在直角三角形中解决.可将△ACM沿直线CE对折,得△DCM,连DN,只需证DN=BN,∠MDN=90°就可以了.请你完成证明过程.)(2)当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时,解析式MN2=AM2+BN2是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.解:(1)∵将△ACM沿直线CE对折,得△DCM,连DN,∴△DCM≌△ACM.∴CD=CA,DM=AM,∠DCM=∠ACM,∠CDM=∠A.又∵CA=CB,∴CD=CB,∴∠DCN=∠ECF-∠DCM=45°-∠DCM,∠BCN=∠ACB-∠ECF-∠ACM=90°-45°-∠ACM=45°-∠ACM,∴∠DCN=∠BCN.又∵CN=CN,∴△CDN≌△CBN.∴DN=BN,∠CDN=∠B.∴∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°.∴在Rt△MDN中,由勾股定理得MN2=DM2+DN2,即MN2=AM2+BN2.(2)解析式MN2=AM2+BN2仍然成立.证明:∵将△ACM沿直线CE对折,得△GCM,连GN,∴△GCM≌△ACM.∴CG=CA,GM=AM,∠GCM=∠ACM,∠CGM=∠CAM.又∵CA=CB,得CG=CB.∵∠GCN=∠GCM+∠ECF=∠GCM+45°,∠BCN=∠ACB-∠ACN=90°-(∠ECF-∠ACM)=45°+∠ACM,∴∠GCN=∠BCN.又∵CN=CN,∴△CGN≌△CBN.∴GN=BN,∠CGN=∠B=45°,∠CGM=∠CAM=180°-∠CAB=135°.∴∠MGN=∠CGM-∠CGN=135°-45°=90°.∴在Rt△MGN中,由勾股定理得MN2=GM2+GN2.即MN2=AM2+BN2.。

九年级上数学导学案第二十四章24.1.1圆(人教版)

24.1.1 圆
一、知识点回顾（知识准备）：
前段时间我们学习了图形的旋转，图形的旋转创造了生活中的许多美！我们知道：一条线段至少旋转 _____°能和自身重合；
一个等边三角形至少旋转 _____°能和自身重合；
一正方形至少旋转 _____°能和自身重合；
思考：圆绕其圆心旋转任何度数都能和自身重合吗？圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象，比如：摩天轮、硬币、呼啦圈、方向盘、车轮、月亮、
6．如图， OA 、 OB 为⊙ O 的半径， C 、 D 为 OA 、 OB 上两点，且 AC BD 求证： AD BC
7．如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 、 BD 交于点 O . 求证：点 A 、 B 、 C 、 D 在以 O 为圆心的圆上 .
8．如图，在矩形 ABCD 中，点 E 、 F 、 G 、 H 分别为 OA 、 OB 、 OC 、 OD 的中点 . 求证：点 E 、 F 、 G 、 H 四点在同一个圆上 .
3．已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC 、 BD 交于点 O . 求证：点 A 、 B 、 C 、 D 在以 O 为圆心的圆上 .
4．如图，菱形 ABCD 中，点 E 、 F 、 G 、 H 分别为各边的中点 . 求证：点 E 、 F 、 G 、 H 四点在同一个圆上 .
四、检测与反馈：
五、畅所欲言对这节课的内容你有新想法的地方是：
_______________________________________
直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦。
3．优弧：大于半圆的弧；半圆弧：直径分成的两条弧；劣弧：小于半圆的弧。
如图：优弧 ABC 记作
，半圆弧 AB 记作，劣弧 AC 记作。

新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆：24.1圆的有关性质》赛课导学案_0

24.1圆的有关性质（阶段复习课一）一、教学目标1.理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系．2．了解圆心角与圆周角及其所对弧的关系，掌握垂径定理及推论.二、中考导向中考主要考查圆的有关概念和性质，与垂径定理有关的计算，与圆有关的角的性质及其应用．题型以选择题、填空题为主.三、知识梳理1、本章知识结构框图2、本节知识点概括一、圆的有关概念及其对称性1．圆的定义(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做________，定长叫做________；(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径．2．圆的有关概念(1)连接圆上任意两点的________叫做弦；(2)圆上任意两点间的________叫做圆弧，简称弧；(3)________相等的两个圆是等圆；(4)在同圆或等圆中，能够互相________的弧叫做等弧．3．圆的对称性(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；(3)圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的旋转不变性．二、垂径定理及推论1．垂径定理垂直于弦的直径________这条弦，并且________弦所对的两条弧．2．推论1(1)平分弦(________)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过________，并且平分弦所对的________弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．3．推论2圆的两条平行弦所夹的弧________．4．(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项．三、圆心角、弧、弦之间的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧____，所对的弦_____．2．推论同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．四、圆心角与圆周角1．定义顶点在________上的角叫做圆心角；顶点在________上，角的两边和圆都________的角叫做圆周角．2．性质(1)圆心角的度数等于它所对的______的度数．(2) 一条弧所对的圆周角的度数等于它所对______的度数的一半．(3)同弧或等弧所对的圆周角___，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧___．(4)半圆(或直径)所对的圆周角是___，90°的圆周角所对的弦是___。

九年级上数学导学案第二十四章实验与探究24.2.3圆和圆的位置关系(人教版)

圆和圆的地点关系教案学习目标：（1）理解圆与圆之间的五种地点关系；（2）能够利用圆和圆的地点关系和数目关系解决问题。

一、自主预习1. 直线与圆的地点关系有几种？各样关系中 d 与 R的大小关系是如何的？①订交＿＿＿＿② 相切＿＿＿＿③ 相离＿＿＿＿2.赏识图片，以下图是反应圆和圆的地点关系的实例，你还可以再举出一些例子吗？3.在一张透明纸上作一个⊙O1，再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2，把两张透明纸叠在一同，固定⊙O1，平移⊙ O2，⊙ O1与⊙ O2有几种地点关系？O1 O2O1 O2图（ 1）图（2）图（3）图（ 4）图（5）图（6）（1）图（ 1）和图（ 5）中，两个圆＿＿＿＿公共点，那么就说这两个圆＿＿＿＿，?为了区分图（ 1）和图（ 5），把图（ 1）叫做＿＿＿＿，把图（5）叫做＿＿＿＿．图（6）是图（ 5）中的一种特别状况──圆心同样，我们把它称为＿＿＿＿．（2）图（ 2）和图（ 4）中，两个圆有＿＿＿＿公共点，?那么就说这两个圆＿＿＿＿．为了划分图（ 2）和图（ 4），把图（ 2）叫做＿＿＿＿，把图（4）叫做＿＿＿＿．（3）图（ 3）中，两个圆有＿＿＿＿公共点，那么就说两个圆＿＿＿＿4. 设两圆的半径分别为R和r（ R> r，圆心距（两圆圆心的距离）为d，?你又能获得什么结论？RO·1 d（ 1）Rd r·O··2AO1（3）地点关系二、合作研究rO·2R·O1·dO·2r（ 4）图形交点个数R rO·1d A·O·2（2）R·rO1d·O2（5）d 与 R、 r 的关系1.如图，⊙ O 的半径为（1）以 P 为圆心，作⊙（2）以 P 为圆心，作⊙5cm,点 P 是⊙ O 外一点， OP＝ 8cm，求：P 与⊙ O 外切，小圆 P 的半径是多少？ P 与⊙ O 内切，大圆 P 的半径是多少？AO P B0P2.圆是轴对称图形，右图的两个圆能否也构成轴对称图形呢？假如能构成轴对图形，那么对称轴是什么？O O O 1 O 21 2结论：两个圆必定构成一个＿＿＿图形，其对称轴是两圆＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

人教版九年级数学上册第二十四章《直线和圆的位置关系》第1-4课时学习任务单(公开课导学案)及作业设计

人教版九年级数学上册第二十四章《直线和圆的位置关系》学习任务单及作业设计第一课时【学习目标】了解直线和圆相交、相切、相离等概念；会判断直线和圆的位置关系；通过对直线和圆的位置关系的探究，体会分类讨论、数形结合的思想。

【课前学习任务】复习之前学过的点和圆的位置关系、直线外一点到这条直线的距离。

【课上学习任务】学习任务一：已知圆的直径是 13cm，如果圆心与直线的距离分别是：（1）4.5cm；（2）6.5cm；（3）8cm,那么直线和圆分别是怎样的位置关系？有几个公共点？答案：（1）相交，两个公共点；（2）相切，一个公共点；（3）相离，无公共点.学习任务二：Rt△ABC，∠C=90°，AC=3 cm，BC=4 cm，以 C 为圆心，r 为半径的圆与直线 AB 有怎样的位置关系？为什么？（1）r=2 cm；（2）r=2.4 cm；（3）r=3 cm．答案：（1）相离，无公共点；（2）相切，一个公共点；（3）相交，两个公共点.学习任务三：Rt△ABC，∠C=90°，AC=3 cm，BC=4cm，以 C 为圆心，(1)当 r 满足时，⊙C 与直线 AB 相离；(2)当 r 满足时，⊙C 与直线 AB 相切；(3)当 r 满足时，⊙C 与直线 AB 相交.学习任务四：Rt△ABC，∠C=90°，AC=3 cm，BC=4 cm，以 C 为圆心，若要使⊙C 与线段 AB 只有一个公共点，这时⊙C 的半径 r 要满足什么条件？答案：r=2.4 或.【作业设计】请同学们在作业本上完成下面两道课后作业：1.⊙O 的半径为 5cm，已知⊙O 与直线AB的距离为d, 根据条件填写d的范围:（1）若 AB 和⊙O 相离, 则；（2）若 AB 和⊙O 相切, 则；（3）若 AB 和⊙O 相交, 则 .答案：第二课时【学习目标】运用圆的切线的判定方法判定直线是否为圆的切线.【课前学习任务】回顾直线和圆有哪些位置关系？判定圆的切线的条件？【课上学习任务】学习任务一：作图并探究圆的切线的位置关系1.作图：已知，点 A 为⊙O 上的一点，过点 A 作⊙O 的切线.经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l 和⊙O有什么位置关系？经过半径 OA 的外端点 A 作直线l⊥OA，圆心 O 到直线 l的距离就是⊙O 的半径，即d ＝r，所以直线l就是⊙O 的切线．学习任务二：典型例题，掌握圆的切线的判定方法例 1 如图，AB是⊙O直径，∠ABT=45°, 且 AT=AB. 求证：AT 与⊙O 相切.证明：∵ AT=AB,∴∠ABT = ∠ATB.∵∠ABT= 45°,∴∠ATB= 45°.∴∠BAT=90°.∵ AB 是⊙O 的直径,∴ AT 与⊙O 相切.例 2 如图，直线 AB 经过⊙O 上的点 C，并且 OA=OB，CA=CB.求证：直线 AB 是⊙O 的切线.证明：连结 OC.∵ OA=OB, CA=CB,∴ OC⊥AB 于 C.∵ OC 是⊙O 的半径,∴直线 AB 是⊙O 的切线.例 3 如图，△ABC 内接于大圆 O，D 是 AB 中点，∠B=∠C，以 O 为圆心 OD 为半径作小圆 O. 求证：AB、AC 分别是小圆切线.证明：连结 OD，作OE⊥AC于E.∵ D 是 AB 的中点,∴ OD⊥AB于D ,∵ OD 为小圆 O 的半径,∴ AB 与小圆 O 相切.∵△ABC 内接于大圆 O,∴ AE = CE.∵∠B = ∠C,∴ AB = AC,∴ AD = AE.连接 OA,可得 OD = OE,∴ AC 与小圆 O 相切.【作业设计】1.如图, A 是⊙O 外一点, AO 的延长线交⊙O 于点 C, 点 B 在圆上, 且AB=BC, ∠A=30°. 求证:直线 AB 是⊙O 的切线.2.如图，点 D 是∠AOB 的平分线 OC 上任意一点，过 D 作 DE⊥OB于E，以DE 为半径作⊙D. 补全图形，判断 OA 与⊙D 的位置关系，并证明你的结论.解题思路：1.连接OB，证明 OB⊥AB 可得直线AB是⊙O的切线.2.OA 与⊙D 相切作DF⊥OA于F，因为 DE⊥OB于E，OC是∠AOB 的平分线，所以DE=DF=⊙D的半径，可得直线OA与⊙D相切.第三课时【学习目标】理解切线的性质定理；会运用切线的性质定理进行计算与证明.【课前学习任务】复习圆的切线的定义，以及判断一条直线是圆的切线的方法.【课上学习任务】学习任务一：复习1.圆的切线是如何定义的?2.判断一条直线是圆的切线有哪些方法?学习任务二：探究：问 1：如图，已知直线 l 是⊙O的切线，切点为A，连接OA,直线l⊥OA吗？由探究总结出切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.问 2：如图，已知⊙O的切线l，但切点未知，你能作出切点A吗？由探究总结出结论 1：经过圆心且垂直于切线的直线一定经过切点.（学生课后探究）结论 2：经过圆心且垂直于切线的直线一定经过切点.学习任务三：例 1. 如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与⊙ O 相切于点 D.求证：AC 是⊙ O 的切线.分析：根据切线的判定定理，要证明 AC 是⊙ O 的切线，只要证明由点 O 向 AC 所作的垂线段 OE 是⊙ O 的半径就可以了，而由切线的性质，OD 是⊙ O 的半径，因此只需证明OD = OE.证明：如图，过点 O 作 OE⊥AC，垂足为 E，连接 OD，OA.∵⊙ O 与 AB 相切于点 D，∴OD⊥AB.又△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，∴AO 是∠BAC 的平分线.又∵OE⊥AC，OD⊥AB，∴OE=OD，即 OE 是⊙O 的半径.∵OE 为⊙O 的半径，OE⊥AC 于 E，∴AC 与⊙ O 相切.学习任务四：例 2. 如图，AB 为⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，过点D作⊙O的切线，交 BA 的延长线于点E.（1）求证：AC∥ED ;（2）若 OA=AE =4，求弦AC的长.分析：这里有三个条件：（1）AB 为⊙O 直径；（2）D 是的中点；（3）ED 切⊙O于D.特别要关注 D 的作用：它即是弧的中点，又是切点.【作业设计】1.如图, 已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°,过点C的切线PC与AB的延长线相交于点P, 则∠P=_______°.答案: 20°2.如图，已知⊙O的半径为3，直线AB是⊙O 的切线，OC交AB于点C，且∠OCA = 30°，则 OC 的长为_________.答案: 63.如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，点O在AB上，OB = 2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长.答案: BE=2 (连接 OD,作 OF⊥BE 于 F)第四课时【学习目标】1.了解切线长的概念.2.会证明切线长定理.3.了解三角形的内切圆的概念及三角形的内心的概念.4.了解多边形与圆的“切”和“接”的含义.【课前学习任务】熟练掌握圆的切线的性质与判定，了解三角形的外接圆的相关知识. 【课上学习任务】学习任务一：若点 P 在圆上，作已知⊙O 的切线的作法及作图依据.作法：①连接 OP,②过 P 点作线段 OP 的垂线 l,直线 l 即⊙O 的切线.作图依据：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.若点 P 在⊙O 外作法：连接 OP,①作线段 OP 的中点 M.②作以 M 为圆心,OM 长为半径的⊙M,与⊙O 交于 A,B 两点.③作直线 PA,PB，则直线 PA,PB 即为⊙O 的两条切线.学习任务二：完成圆的切线与切线长的比较，体会圆的切线与切线长的区别.学习任务三：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.切线切线长切线是直线切线长是切线上一条线段的长，即圆外一点与切点之间的距离。

人教版九年级数学上册：第二十四章圆导学案

第二十四章圆24．1圆的有关性质24. 1. 1圆1．了解圆的基本概念，并能准确地表示出来．2. 理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等．重点：与圆有关的概念．难点：圆的有关概念的理解．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P79～80内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题．探究：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做__圆__，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做__半径__．②用集合的观点叙述以O为圆心，r为半径的圆，可以说成是到定点O的距离为__r__的所有的点的集合．③连接圆上任意两点的__线段__叫做弦，经过圆心的弦叫做__直径__；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做__优弧__，小于半圆的弧叫做__劣弧__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(3分钟)1．以点A为圆心，可以画__无数__个圆；以已知线段AB的长为半径可以画__无数__个圆；以点A为圆心，AB的长为半径，可以画__1__个圆．点拨精讲：确定圆的两个要素：圆心(定点)和半径(定长)．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2．到定点O的距离为5的点的集合是以__O__为圆心，__5__为半径的圆．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)1．⊙O的半径为3 cm，则它的弦长d的取值范围是__0＜d≤6__．点拨精讲：直径是圆中最长的弦．2．⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是__等边三角形__．点拨精讲：与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型．3．如图，点A，B，C，D都在⊙O上．在图中画出以这4点为端点的各条弦．这样的弦共有多少条？解：图略.6条．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(15分钟)1．(1)在图中，画出⊙O的两条直径；(2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由．解：矩形．理由：由于该四边形对角线互相平分且相等，所以该四边形为矩形．作图略．点拨精讲：由刚才的问题思考：矩形的四个顶点一定共圆吗？2．一点和⊙O上的最近点距离为4 cm，最远点距离为10 cm，则这个圆的半径是__3_cm 或7_cm__．点拨精讲：这里分点在圆外和点在圆内两种情况．3．如图，图中有__1__条直径，__2__条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有__4__条，劣弧有__4__条．点拨精讲：这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数．,第3题图),第4题图) 4．如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一直线上，图中弦的条数为__2__．点拨精讲：注意紧扣弦的定义．5．如图，CD为⊙O的直径，∠EOD＝72°，AE交⊙O于B，且AB＝OC，求∠A的度数．解：24°.点拨精讲：连接OB构造三角形，从而得出角的关系．,第5题图),第6题图) 6．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是BC的中点，若AC＝10 cm，求OD的长．解：5 cm.点拨精讲：这里别忘了圆心O是直径AB的中点．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．圆的定义、圆的表示方法及确定一个圆的两个基本条件．2．圆的相关概念：(1)弦、直径；(2)弧及其表示方法；(3)等圆、等弧．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．1.2垂直于弦的直径1．圆的对称性．2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论． 3．能运用垂径定理及其推论进行计算和证明．重点：垂径定理及其推论．难点：探索并证明垂径定理．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P 81～83内容，并完成下列问题．1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB 经过圆心O 且与圆交于A ，B 两点；②AB ⊥CD 交CD 于E ，那么可以推出：③CE ＝DE ；④CB ︵＝DB ︵；⑤CA ︵＝DA ︵.3．平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．点拨精讲：(1)画图说明这里被平分的弦为什么不能是直径．(2)实际上，当一条直线满足过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，这五个条件中的任何两个，就可推出另外三个．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟) 1．在⊙O 中，直径为10 cm ，圆心O 到AB 的距离为3 cm ，则弦AB 的长为 __8_cm __． 2．在⊙O 中，直径为10 cm ，弦AB 的长为8 cm ，则圆心O 到AB 的距离为__3_cm __．点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．3．⊙O 的半径OA ＝5 cm ，弦AB ＝8 cm ，点C 是AB 的中点，则OC 的长为__3_cm __．点拨精讲：已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂线是常用的辅助线．4．某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？(8米)点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)1．AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，若AE ＝9，BE ＝1，求CD 的长．解：6.点拨精讲：常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．2．⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 的长的最小值为__3__，最大值为__5__．点拨精讲：当OM 与AB 垂直时，OM 最小(为什么)，M 在A(或B)处时OM 最大．3．如图，线段AB 与⊙O 交于C ，D 两点，且OA ＝OB.求证：AC ＝BD. 证明：作OE ⊥AB 于E.则CE ＝DE. ∵OA ＝OB ，OE ⊥AB ， ∴AE ＝BE ，∴AE －CE ＝BE －DE. 即AC ＝BD.点拨精讲：过圆心作垂线是圆中常用辅助线．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．在直径是20 cm 的⊙O 中，∠AOB 的度数是60°，那么弦AB 的弦心距是__53__cm . 点拨精讲：这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．2．弓形的弦长为6 cm ，弓形的高为2 cm ，则这个弓形所在的圆的半径为__134__cm .3．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点．求证：AC ＝BD.证明：过点O 作OE ⊥AB 于点E.则AE ＝BE ，CE ＝DE.∴AE －CE ＝BE －DE. 即AC ＝BD.点拨精讲：过圆心作垂径．4．已知⊙O 的直径是50 cm ，⊙O 的两条平行弦AB ＝40 cm ，CD ＝48 cm ，求弦AB 与CD 之间的距离．解：过点O 作直线OE ⊥AB 于点E ，直线OE 与CD 交于点F.由AB ∥CD ，则OF ⊥CD. (1)当AB ，CD 在点O 两侧时，如图①.连接AO ，CO ，则AO ＝CO ＝25 cm ，AE ＝20 cm ，CF ＝24 cm .由勾股定理知OE ＝15 cm ，OF ＝7 cm .∴EF ＝OE ＋OF ＝22 (cm )．即AB 与CD 之间距离为22 cm .(2)当AB ，CD 在点O 同侧时，如图②，连接AO ，CO.则AO ＝CO ＝25 cm ，AE ＝20 cm ，CF ＝24 cm .由勾股定理知OE ＝15 cm ，OF ＝7 cm .∴EF ＝OE －OF ＝8 (cm )．即AB 与CD 之间距离为8 cm .由(1)(2)知AB 与CD 之间的距离为22 cm 或8 cm .点拨精讲：分类讨论，①AB ，CD 在点O 两侧，②AB ，CD 在点O 同侧．学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 2．垂径定理及其推论以及它们的应用．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．1.3 弧、弦、圆心角1. 通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系．2. 运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题．重点：圆的弧、弦、圆心角之间的关系定理．难点：探索推导定理及其应用．一、自学指导．(10分钟)自学：自学教材P 83～84内容，回答下列问题．探究：1．顶点在__圆心__的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做__等圆__；能够__重合__的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合，这就是圆的__旋转性__．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相等__．3．在同圆或等圆中，两个__圆心角__，两条__弦__，两条__弧__中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4．在⊙O 中，AB ，CD 是两条弦，(1)如果AB ＝CD ，那么__AB ︵＝CD ︵，__∠AOB ＝∠COD__； (2)如果AB ︵＝CD ︵，那么__AB ＝CD__，__∠AOB ＝∠COD ； (3)如果∠AOB ＝∠COD ，那么__AB ＝CD__，AB ︵＝CD ︵__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．如图，AD 是⊙O 的直径，AB ＝AC ，∠CAB ＝120°，根据以上条件写出三个正确结论．(半径相等除外)(1)__△ACO_≌_△ABO__； (2)__AD 垂直平分BC__；(3)AB ︵＝AC ︵.2．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝60°，求证：∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC. 证明：∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC. 又∵∠ACB ＝60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AB ＝AC ＝BC ，∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC.,第2题图),第3题图)3．如图，(1)已知AD ︵＝BC ︵.求证：AB ＝CD. (2)如果AD ＝BC ，求证：DC ︵＝AB ︵. 证明：(1)∵AD ︵＝BC ︵， ∴AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵， ∴DC ︵＝AB ︵，∴AB ＝CD. (2)∵AD ＝BC ， ∴AD ︵＝BC ︵，∴AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵，即DC ︵＝AB ︵.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．⊙O 中，一条弦AB 所对的劣弧为圆周的14，则弦AB 所对的圆心角为__90°__．点拨精讲：整个圆周所对的圆心角即以圆心为顶点的周角．2．在半径为2的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为1，则弦AB 所对的圆心角的度数为__120°__．3．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝75°，求∠BAC 的度数．解：30°.,第3题图) ,第4题图)4．如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，且AB 与CD 不平行，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，AB ＝CD ，那么∠AMN 与∠CNM 的大小关系是什么？为什么？点拨精讲：(1)OM ，ON 具备垂径定理推论的条件． (2)同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等．解：∠AMN ＝∠CNM.∵AB ＝CD ，M ，N 为AB ，CD 中点， ∴OM ＝ON ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴∠OMA ＝∠ONC ，∠OMN ＝∠ONM ，∴∠OMA －∠OMN ＝∠ONC －∠ONM. 即∠AMN ＝∠CNM.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝35°，求∠AOE 的度数．解：75°.,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，CD 为⊙O 的弦，在CD 上截取CE ＝DF ，连接OE ，OF ，它们的延长线交⊙O 于点A ，B.(1)试判断△OEF 的形状，并说明理由；(2)求证：AC ︵＝BD ︵.解：(1)△OEF 为等腰三角形．理由：过点O 作OG ⊥CD 于点G ，则CG ＝DG.∵CE ＝DF ， ∴CG －CE ＝DG －DF. ∴EG ＝FG.∵OG ⊥CD ， ∴OG 为线段EF 的垂直平分线． ∴OE ＝OF ，∴△OEF 为等腰三角形．(2)证明：连接AC ，BD. 由(1)知OE ＝OF ，又∵OA ＝OB ，∴AE ＝BF ，∠OEF ＝∠OFE.∵∠CEA ＝∠OEF ，∠DFB ＝∠OFE ， ∴∠CEA ＝∠DFB.在△CEA 与△DFB 中，AE ＝BF ，∠CEA ＝∠BFD ，CE ＝DF ， ∴△CEA ≌△DFB ，∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.点拨精讲：(1)过圆心作垂径；(2)连接AC ，BD ，通过证弦等来证弧等． 3．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，M ，N 是AO ，BO的中点．CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，分别与圆交于C ，D 点．求证：AC ︵＝BD ︵.证明：连接AC ，OC ，OD ，BD. ∵M ，N 为AO ，BO 中点， ∴OM ＝ON ，AM ＝BN. ∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ， ∴∠CMO ＝∠DNO ＝90°. 在Rt △CMO 与Rt △DNO 中， OM ＝ON ，OC ＝OD ，∴Rt △CMO ≌Rt △DNO.∴CM ＝DN.在Rt △AMC 和Rt △BND 中， AM ＝BN ，∠AMC ＝∠BND ，CM ＝DN ， ∴△AMC ≌△BND. ∴AC ＝BD.∴AC ︵＝BD ︵.点拨精讲：连接AC ，OC ，OD ，BD ，构造三角形．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆心角定理是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．1.4 圆周角1．理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角．2．能在证明或计算中熟练运用圆周角的定理及其推论．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P 85～87，完成下列问题．归纳：1．顶点在__圆周__上，并且两边都与圆__相交__的角叫做圆周角．2．在同圆或等圆中，__等弧__或__等弦__所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__圆心角__的一半．3．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也__相等__．4．半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__，90°的圆周角所对的弦是__直径__． 5．圆内接四边形的对角__互补__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟) 1．如图所示，点A ，B ，C ，D 在圆周上，∠A ＝65°，求∠D 的度数．解：65°.,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，已知圆心角∠BOC ＝100°，点A 为优弧BC ︵上一点，求圆周角∠BAC 的度数．解：50°.3．如图所示，在⊙O 中，∠AOB ＝100°，C 为优弧AB 的中点，求∠CAB 的度数．解：65°.,第3题图),第4题图)4．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝32°，D 是AC 的中点，那么∠DAC 的度数是多少？解：29°.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，连接OA ，OB ，若∠ABO ＝25°，则∠C ＝__65°__．,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO ＝32°，则∠COB ＝ __64°__．3．如图，⊙O 的直径AB 为10 cm ，弦AC 为6 cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD 的长．解：∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°.∴BC ＝AB 2－AC 2＝8 (cm )．∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ， ∴AD ＝BD.由AB 为直径，知AD ⊥BD ， ∴△ABD 为等腰直角三角形，∴AD 2＋BD 2＝2AD 2＝2BD 2＝AB 2，∴AD ＝5 2 cm ，BD ＝5 2 cm .点拨精讲：由直径产生直角三角形，由相等的圆周角产生等腰三角形．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．如图所示，OA 为⊙O 的半径，以OA 为直径的⊙C 与⊙O 的弦AB 相交于点D ，若OD ＝5 cm ，则BE ＝__10_cm __．点拨精讲：利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线．,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，已知∠B ＝60°，则∠CAO ＝__30°__． 3．OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，∠AOB ＝2∠BOC.求证：∠ACB ＝2∠BAC.证明：∵∠AOB 是劣弧AB ︵所对的圆心角， ∠ACB 是劣弧AB ︵所对的圆周角，∴∠AOB ＝2∠ACB.同理∠BOC ＝2∠BAC ，∵∠AOB ＝2∠BOC ，∴∠ACB ＝2∠BAC.点拨精讲：看圆周角一定先看它是哪条弧所对圆周角，再看所对的圆心角．4．如图，在⊙O 中，∠CBD ＝30°，∠BDC ＝20°，求∠A.解：∠A＝50°点拨精讲：圆内接四边形的对角互补．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆周角的定义、定理及推论．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．2点和圆、直线和圆的位置关系24．2.1点和圆的位置关系1. 结合实例，理解平面内点与圆的三种位置关系．2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．4．了解反证法的证明思想．重点：点和圆的位置关系；不在同一直线上的三个点确定一个圆及它们的运用．难点：反证法的证明思路．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P92～94.归纳：1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔__d＞r__；点P 在圆上⇔__d＝r__ ；点P在圆内⇔__d＜r__ .2.经过已知点A可以作__无数__个圆，经过两个已知点A，B可以作__无数__个圆；它们的圆心__在线段AB的垂直平分线__上；经过不在同一条直线上的A，B，C三点可以作__一个__圆．3．经过三角形的__三个顶点__的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的三条边__垂直平分线__的交点，叫做这个三角形的外心．任意三角形的外接圆有__一个__，而一个圆的内接三角形有__无数个__．4．用反证法证明命题的一般步骤：①反设：__假设命题结论不成立__；②归缪：__从假设出发，经过推理论证，得出矛盾__；③下结论：__由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心的距离为3 cm，则点P与⊙O的位置关系是点__P在圆内__．2．在同一平面内，一点到圆上的最近距离为2，最远距离为10，则该圆的半径是__4或6__．3．△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝28°，则∠C的度数是__62°或118°__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？(用反证法证明)2．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，AB ＝10，CD 是斜边AB 上的中线，以AC 为直径作⊙O ，设线段CD 的中点为P ，则点P 与⊙O 的位置关系是怎样的？点拨精讲：利用数量关系证明位置关系．3．如图，⊙O 的半径r ＝10，圆心O 到直线l 的距离OD ＝6，在直线l 上有A ，B ，C 三点，AD ＝6，BD ＝8，CD ＝9，问A ，B ，C 三点与⊙O 的位置关系是怎样的？点拨精讲：垂径定理和勾股定理的综合运用． 4．用反证法证明“同位角相等，两直线平行”．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．已知⊙O 的半径为4，OP ＝3.4，则P 在⊙O 的__内部__．2．已知点P 在⊙O 的外部，OP ＝5，那么⊙O 的半径r 满足__0<r<5__．3．已知⊙O 的半径为5，M 为ON 的中点，当OM ＝3时，N 点与⊙O 的位置关系是N 在⊙O 的__外部__．4．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，求△ABC 的外接圆半径．解：连接AO 并延长交BC 于点D ，再连接OB ，OC. ∵AB ＝AC ，∴∠AOB ＝∠AOC.∵AO ＝BO ＝CO ，∴∠OAB ＝∠OAC. 又∵△ABC 为等腰三角形，∴AD ⊥BC ， ∴BD ＝12BC ＝6.在Rt △ABD 中，∵AB ＝10，∴AD ＝AB 2－BD 2＝8. 设△ABC 的外接圆半径为r.则在Rt △BOD 中，r 2＝62＋(8－r)2，解得r ＝254.即△ABC 的外接圆半径为254.点拨精讲：这里连接AO ，要先证明AO 垂直BC ，或作AD ⊥BC ，要证AD 过圆心．5．如图，已知矩形ABCD 的边AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm .(1)以点A 为圆心，4 cm 为半径作⊙A ，则点B ，C ，D 与⊙A 的位置关系是怎样的？ (2)若以A 点为圆心作⊙A ，使B ，C ，D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是什么？解：(1)点B 在⊙A 内，点C 在⊙A 外，点D 在⊙A 上； (2)3＜r ＜5.点拨精讲：第(2)问中B ，C ，D 三点中至少有一点在圆内，必然是离点A 最近的点B 在圆内；至少有一点在圆外，必然是离点A 最远的点C 在圆外．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．点和圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧点P 在圆外⇔d ＞r ；点P 在圆上⇔d ＝r ；点P 在圆内⇔d ＜r.2．不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 3．三角形外接圆和三角形外心的概念． 4．反证法的证明思想．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24.2.2 直线和圆的位置关系(1)1．理解掌握同一平面内的直线与圆的三种位置关系及相关概念．2．能根据圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，准确判断出直线与圆的位置关系．重点：判断直线与圆的位置关系．难点：理解圆心到直线的距离．一、自学指导．(10分钟) 自学：阅读教材P 95～96. 归纳：1．直线和圆有__两个__公共点时，直线和圆相交，直线叫做圆的__割线__．2．直线和圆有__一个__公共点时，直线和圆相切，直线叫做圆的__切线__，这个点叫做__切点__．3．直线和圆有__零个__公共点时，直线和圆相离．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟) 1．设⊙O 的半径为r ，直线l 到圆心O 的距离为d ，则有：直线l 和⊙O 相交⇔__d ＜r__；直线l 和⊙O 相切⇔__d ＝r__；直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r__．2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，AB ＝6 cm ，以点C 为圆心，与AB 边相切的圆的半径为__332__cm .3．已知⊙O 的半径r ＝3 cm ，直线l 和⊙O 有公共点，则圆心O 到直线l 的距离d 的取值范围是0≤d ≤3__．4．已知⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离是5，则直线a 与⊙O 的位置关系是__相交__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．已知⊙O 的半径是3 cm ，直线l 上有一点P 到O 的距离为3 cm ，试确定直线l 和⊙O 的位置关系．解：相交或相切．点拨精讲：这里P 到O 的距离等于圆的半径，而不是直线l 到O 的距离等于圆的半径．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，若以C 为圆心，r 为半径的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是多少？解：r ＝125或3＜r ≤4.点拨精讲：分相切和相交两类讨论．3．在坐标平面上有两点A(5，2)，B(2，5)，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作圆，试确定⊙A 和x 轴、y 轴的位置关系．解：⊙A 与x 轴相交，与y 轴相离．点拨精讲：利用数量关系证明位置关系．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以C 为圆心，r 为半径作圆． ①当r 满足__0＜r ＜125__时，⊙C 与直线AB 相离．②当r 满足__r ＝125__时，⊙C 与直线AB 相切．③当r 满足__r ＞125__时，⊙C 与直线AB 相交．2．已知⊙O 的半径为5 cm ，圆心O 到直线a 的距离为3 cm ，则⊙O 与直线a 的位置关系是__相交．直线a 与⊙O 的公共点个数是__2个__．3．已知⊙O 的直径是6 cm ，圆心O 到直线a 的距离是4 cm ，则⊙O 与直线a 的位置关系是__相离．4．已知⊙O 的半径为r ，点O 到直线l 的距离为d ，且|d －3|＋(6－2r)2＝0.试判断直线与⊙O 的位置关系．解：相切．5．设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，d ，r 是一元二次方程(m ＋9)x 2－(m ＋6)x ＋1＝0的两根，且直线l 与⊙O 相切，求m 的值．解：m ＝0或m ＝－8.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．直线与圆的三种位置关系．2．根据圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，判断出直线与圆的位置关系．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．2.2 直线和圆的位置关系(2)1. 理解掌握切线的判定定理和性质定理．2．判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线． 3．会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题．重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．难点：切线的判定和性质及其运用．一、自学指导．(10分钟) 自学：阅读教材P 97～98. 归纳：1．经过__半径的外端__并且__垂直于这条半径__的直线是圆的切线．2．切线的性质有：①切线和圆只有__1个__公共点；②切线和圆心的距离等于__半径__；③圆的切线__垂直于__过切点的半径．3．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接__圆心__和切点__，得到半径，那么半径__垂直于__切线．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，PA 交⊙O 于C ，AB ＝3 cm ，PB ＝4 cm ，则BC ＝__125__cm .2．如图，BC 是半圆O 的直径，点D 是半圆上一点，过点D 作⊙O 的切线AD ，BA ⊥DA 于点A ，BA 交半圆于点E ，已知BC ＝10，AD ＝4，那么直线CE 与以点O 为圆心，52为半径的圆的位置关系是__相离__．3．如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于点D ，DE ⊥AC 于E ，连接AD ，则下面结论正确的有__①②③④__．①AD ⊥BC ； ②∠EDA ＝∠B ；③OA ＝12AC; ④DE 是⊙O 的切线．4．如图，AB 为⊙O 的直径，PQ 切⊙O 于T ，AC ⊥PQ 于C ，交⊙O 于D ，若AD ＝2，TC ＝3，则⊙O 的半径是__10__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，E 是BC 边上的中点，连接PE ，则PE 与⊙O 相切吗？若相切，请加以证明；若不相切，请说明理由．解：相切；证明：连接OP ，BP ，则OP ＝OB. ∴∠OBP ＝∠OPB.∵AB 为直径，∴BP ⊥PC.在Rt △BCP 中，E 为斜边中点， ∴PE ＝12BC ＝BE.∴∠EBP ＝∠EPB.∴∠OBP ＋∠PBE ＝∠OPB ＋∠EPB. 即∠OBE ＝∠OPE.∵BE 为切线， ∴AB ⊥BC.∴OP ⊥PE ，∴PE 是⊙O 的切线．2．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB 于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦AD ∥OC ，连接CD.求证：(1)点E 是BD ︵的中点；(2)CD 是⊙O 的切线．证明：略．点拨精讲：(1)连接OD ，要证弧等可先证弧所对的圆心角等；(2)在(1)的基础上证△ODC 与△OBC 全等．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟) 1．教材P 98的练习．2．如图，∠ACB ＝60°，半径为1 cm 的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__3__cm .,第2题图) ,第3题图)3．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC ＝30°，半径为1 cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上，且与点O 的距离为6 cm ，如果⊙P 以1 cm /s 的速度沿A 向B 的方向移动，则经过__4或8__秒后⊙P 与直线CD 相切．4．如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 与小圆相切于点C ，若大圆半径为10 cm ，小圆半径为6 cm ，则弦AB 的长为__16__cm .,第4题图) ,第5题图)5．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ，若∠A ＝25°，则∠D ＝ __40°__．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆的切线的判定与性质．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．2.2 直线和圆的位置关系(3)1．理解并掌握切线长定理，能熟练运用所学定理来解答问题． 2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．重点：切线长定理及其运用．难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．一、自学指导．(10分钟) 自学：阅读教材P 99～100. 归纳：1．经过圆外一点作圆的切线，这点和__切点__之间的__线段长__叫做切线长．2．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线平分__两条切线的夹角，这就是切线长定理．3．与三角形各边都__相切__的圆叫做三角形的内切圆．4．三角形内切圆的圆心是三角形__三条角平分线的交点，叫做三角形的__内心__，它到三边的距离__相等__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．如图，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 为切点，直线OP 交⊙O 于点D ，E ，交AB 于点C ，图中互相垂直的直线共有__3__对．,第1题图) ,第2题图)2．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，点E 是⊙O 上一点，且∠AEB ＝60°，则∠P ＝__60__度．3．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，⊙O 的切线EF 分别交PA ，PB 于点E ，F ，切点C 在AB ︵上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是__4__．,第3题图) ,第4题图)4．⊙O 为△ABC 的内切圆，D ，E ，F 为切点，∠DOB ＝73°，∠DOF ＝120°，则∠DOE ＝__146°，∠C ＝__60°__，∠A ＝__86°__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．如图，直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，以AB 为直径的半圆切另一腰CD 于P ，若AB ＝12 cm ，梯形面积为120 cm 2，求CD 的长．解：20 cm .点拨精讲：这里CD ＝AD ＋BC.2．如图，已知⊙O 是Rt △ABC(∠C ＝90°)的内切圆，切点分别为D ，E ，F.(1)求证：四边形ODCE 是正方形．(2)设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，求⊙O 的半径r.解：(1)证明略；(2)a ＋b －c2.点拨精讲：这里(2)的结论可记住作为公式来用．3．如图所示，点I 是△ABC 的内心，∠A ＝70°，求∠BIC 的度数．解：125°.点拨精讲：若I 为内心，∠BIC ＝90°＋12∠A ；若I 为外心，∠BIC ＝2∠A.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟) 1．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则△ABC 的内切圆半径r ＝__2__．,第1题图) ,第2题图)2．如图，AD ，DC ，BC 都与⊙O 相切，且AD ∥BC ，则∠DOC ＝__90°__．3．如图，AB ，AC 与⊙O 相切于B ，C 两点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B ，C 的一动点，则∠BPC ＝__65°__．。

【知识学习】XX年九年级数学上《第二十四章圆》导学案(人教版)

XX年九年级数学上《第二十四章圆》导学案（人教版）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第二十四章圆24．1 圆的有关性质24.1.1 圆．了解圆的基本概念，并能准确地表示出来．2.理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等．重点：与圆有关的概念．难点：圆的有关概念的理解．一、自学指导．自学：研读课本P79～80内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题．探究：①在一个平面内，线段oA绕它固定的一个端点o旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做__圆__，固定的端点o叫做圆心，线段oA叫做__半径__．②用集合的观点叙述以o为圆心，r为半径的圆，可以说成是到定点o的距离为__r__的所有的点的集合．③连接圆上任意两点的__线段__叫做弦，经过圆心的弦叫做__直径__；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做__优弧__，小于半圆的弧叫做__劣弧__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．．以点A为圆心，可以画__无数__个圆；以已知线段AB 的长为半径可以画__无数__个圆；以点A为圆心，AB的长为半径，可以画__1__个圆．点拨精讲：确定圆的两个要素：圆心和半径．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2．到定点o的距离为5的点的集合是以__o__为圆心，__5__为半径的圆．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．．⊙o的半径为3cm，则它的弦长d的取值范围是__0＜d≤6__．点拨精讲：直径是圆中最长的弦．2．⊙o中若弦AB等于⊙o的半径，则△AoB的形状是__等边三角形__．点拨精讲：与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型．3．如图，点A，B，c，D都在⊙o上．在图中画出以这4点为端点的各条弦．这样的弦共有多少条？解：图略.6条．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．．在图中，画出⊙o的两条直径；依次连接这两条直径的端点，得一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由．解：矩形．理由：由于该四边形对角线互相平分且相等，所以该四边形为矩形．作图略．点拨精讲：由刚才的问题思考：矩形的四个顶点一定共圆吗？2．一点和⊙o上的最近点距离为4cm，最远点距离为10cm，则这个圆的半径是__3_cm或7_cm__．点拨精讲：这里分点在圆外和点在圆内两种情况．3．如图，图中有__1__条直径，__2__条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有__4__条，劣弧有__4__条．点拨精讲：这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数．,第3题图) ,第4题图)4．如图，⊙o中，点A，o，D以及点B，o，c分别在一直线上，图中弦的条数为__2__．点拨精讲：注意紧扣弦的定义．5．如图，cD为⊙o的直径，∠EoD＝72°，AE交⊙o于B，且AB＝oc，求∠A的度数．解：24°.点拨精讲：连接oB构造三角形，从而得出角的关系．,第5题图) ,第6题图)6．如图，已知AB是⊙o的直径，点c在⊙o上，点D 是Bc的中点，若Ac＝10cm，求oD的长．解：5cm.点拨精讲：这里别忘了圆心o是直径AB的中点．学生总结本堂课的收获与困惑．．圆的定义、圆的表示方法及确定一个圆的两个基本条件．2．圆的相关概念：弦、直径；弧及其表示方法；等圆、等弧．学习至此，请使用本课时对应训练部分．24．1.2 垂直于弦的直径．圆的对称性．2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论．3．能运用垂径定理及其推论进行计算和证明．重点：垂径定理及其推论．难点：探索并证明垂径定理．一、自学指导．自学：研读课本P81～83内容，并完成下列问题．．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB经过圆心o且与圆交于A，B两点；②AB⊥cD交cD于E，那么可以推出：③cE＝DE；④cB ︵＝DB︵；⑤cA︵＝DA︵.3．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．点拨精讲：画图说明这里被平分的弦为什么不能是直径．实际上，当一条直线满足过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，这五个条件中的任何两个，就可推出另外三个．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．．在⊙o中，直径为10cm，圆心o到AB的距离为3cm，则弦AB的长为__8_cm__．2．在⊙o中，直径为10cm，弦AB的长为8cm，则圆心o到AB的距离为__3_cm__．点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．3．⊙o的半径oA＝5cm，弦AB＝8cm，点c是AB的中点，则oc的长为__3_cm__．点拨精讲：已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂线是常用的辅助线．4．某公园的一石拱桥是圆弧形，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．．AB是⊙o的直径，弦cD⊥AB，E为垂足，若AE＝9，BE＝1，求cD的长．解：6.点拨精讲：常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．2．⊙o的半径为5，弦AB的长为8，m是弦AB上的动点，则线段om的长的最小值为__3__，最大值为__5__．点拨精讲：当om与AB垂直时，om最小，m在A处时om 最大．3．如图，线段AB与⊙o交于c，D两点，且oA＝oB.求证：Ac＝BD.证明：作oE⊥AB于E.则cE＝DE.∵oA＝oB，oE⊥AB，∴AE＝BE，∴AE－cE＝BE－DE.即Ac＝BD.点拨精讲：过圆心作垂线是圆中常用辅助线．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．．在直径是20cm的⊙o中，∠AoB的度数是60°，那么弦AB的弦心距是__53__cm.点拨精讲：这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．2．弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这个弓形所在的圆的半径为__134__cm.3．如图，在以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于c，D两点．求证：Ac＝BD.证明：过点o作oE⊥AB于点E.则AE＝BE，cE＝DE.∴AE－cE＝BE－DE.即Ac＝BD.点拨精讲：过圆心作垂径．4．已知⊙o的直径是50cm，⊙o的两条平行弦AB＝40cm，cD＝48cm，求弦AB与cD之间的距离．解：过点o作直线oE⊥AB于点E，直线oE与cD交于点F.由AB∥cD，则oF⊥cD.当AB，cD在点o两侧时，如图①.连接Ao，co，则Ao ＝co＝25cm，AE＝20cm，cF＝24cm.由勾股定理知oE＝15cm，oF＝7cm.∴EF＝oE＋oF＝22．即AB与cD之间距离为22cm.当AB，cD在点o同侧时，如图②，连接Ao，co.则Ao ＝co＝25cm，AE＝20cm，cF＝24cm.由勾股定理知oE＝15cm，oF＝7cm.∴EF＝oE－oF＝8．即AB与cD之间距离为8cm.由知AB与cD之间的距离为22cm或8cm.点拨精讲：分类讨论，①AB，cD在点o两侧，②AB，cD 在点o同侧．学生总结本堂课的收获与困惑．．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．2．垂径定理及其推论以及它们的应用．学习至此，请使用本课时对应训练部分．24．1.3 弧、弦、圆心角.通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系．2.运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题．重点：圆的弧、弦、圆心角之间的关系定理．难点：探索推导定理及其应用．一、自学指导．自学：自学教材P83～84内容，回答下列问题．探究：．顶点在__圆心__的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做__等圆__；能够__重合__的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合，这就是圆的__旋转性__．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相等__．3．在同圆或等圆中，两个__圆心角__，两条__弦__，两条__弧__中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4．在⊙o中，AB，cD是两条弦，如果AB＝cD，那么__AB︵＝cD︵，__∠AoB＝∠coD__；如果AB︵＝cD︵，那么__AB＝cD__，__∠AoB＝∠coD；如果∠AoB＝∠coD，那么__AB＝cD__，AB︵＝cD︵__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．．如图，AD是⊙o的直径，AB＝Ac，∠cAB＝120°，根据以上条件写出三个正确结论．__△Aco_≌_△ABo__；__AD垂直平分Bc__；AB︵＝Ac︵.2．如图，在⊙o中，AB︵＝Ac︵，∠AcB＝60°，求证：∠AoB＝∠Boc＝∠Aoc.证明：∵AB︵＝Ac︵，∴AB＝Ac.又∵∠AcB＝60°，∴△ABc为等边三角形，∴AB＝Ac＝Bc，∴∠AoB＝∠Boc＝∠Aoc.,第2题图) ,第3题图)3．如图，已知AD︵＝Bc︵.求证：AB＝cD.如果AD＝Bc，求证：Dc︵＝AB︵.证明：∵AD︵＝Bc︵，∴AD︵＋Ac︵＝Bc︵＋Ac︵，∴Dc︵＝AB︵，∴AB＝cD.∵AD＝Bc，∴AD︵＝Bc︵，∴AD︵＋Ac︵＝Bc︵＋Ac︵，即Dc︵＝AB︵.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．．⊙o中，一条弦AB所对的劣弧为圆周的14，则弦AB 所对的圆心角为__90°__．点拨精讲：整个圆周所对的圆心角即以圆心为顶点的周角．2．在半径为2的⊙o中，圆心o到弦AB的距离为1，则弦AB所对的圆心角的度数为__120°__．3．如图，在⊙o中，AB︵＝Ac︵，∠AcB＝75°，求∠BAc的度数．解：30°.,第3题图) ,第4题图)4．如图，AB，cD是⊙o的弦，且AB与cD不平行，m，N分别是AB，cD的中点，AB＝cD，那么∠AmN与∠cNm的大小关系是什么？为什么？点拨精讲：om，oN具备垂径定理推论的条件．同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等．解：∠AmN＝∠cNm.∵AB＝cD，m，N为AB，cD中点，∴om＝oN，om⊥AB，oN⊥cD，∴∠omA＝∠oNc，∠omN＝∠oNm，∴∠omA－∠omN＝∠oNc－∠oNm.即∠AmN＝∠cNm.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．．如图，AB是⊙o的直径，Bc︵＝cD︵＝DE︵，∠coD＝35°，求∠AoE的度数．解：75°.,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，cD为⊙o的弦，在cD上截取cE＝DF，连接oE，oF，它们的延长线交⊙o于点A，B.试判断△oEF的形状，并说明理由；求证：Ac︵＝BD︵.解：△oEF为等腰三角形．理由：过点o作oG⊥cD于点G，则cG＝DG.∵cE＝DF，∴cG－cE＝DG－DF.∴EG＝FG.∵oG⊥cD，∴oG为线段EF的垂直平分线．∴oE＝oF，∴△oEF为等腰三角形．证明：连接Ac，BD.由知oE＝oF，又∵oA＝oB，∴AE＝BF，∠oEF＝∠oFE.∵∠cEA＝∠oEF，∠DFB＝∠oFE，∴∠cEA＝∠DFB.在△cEA与△DFB中，AE＝BF，∠cEA＝∠BFD，cE＝DF，∴△cEA≌△DFB，∴Ac＝BD，∴Ac︵＝BD︵.点拨精讲：过圆心作垂径；连接Ac，BD，通过证弦等来证弧等．3．已知：如图，AB是⊙o的直径，m，N是Ao，Bo的中点．cm⊥AB，DN⊥AB，分别与圆交于c，D点．求证：Ac︵＝BD︵.证明：连接Ac，oc，oD，BD.∵m，N为Ao，Bo中点，∴om＝oN，Am＝BN.∵cm⊥AB，DN⊥AB，∴∠cmo＝∠DNo＝90°.在Rt△cmo与Rt△DNo中，om＝oN，oc＝oD，∴Rt△cmo≌Rt△DNo.∴cm＝DN.在Rt△Amc和Rt△BND中，Am＝BN，∠Amc＝∠BND，cm＝DN，∴△Amc≌△BND.∴Ac＝BD.∴Ac︵＝BD︵.点拨精讲：连接Ac，oc，oD，BD，构造三角形．学生总结本堂课的收获与困惑．圆心角定理是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法．学习至此，请使用本课时对应训练部分．24．1.4 圆周角．理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角．2．能在证明或计算中熟练运用圆周角的定理及其推论．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．一、自学指导．自学：阅读教材P85～87，完成下列问题．归纳：．顶点在__圆周__上，并且两边都与圆__相交__的角叫做圆周角．2．在同圆或等圆中，__等弧__或__等弦__所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__圆心角__的一半．3．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也__相等__．4．半圆所对的圆周角是__直角__，90°的圆周角所对的弦是__直径__．5．圆内接四边形的对角__互补__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．．如图所示，点A，B，c，D在圆周上，∠A＝65°，求∠D的度数．解：65°.,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，已知圆心角∠Boc＝100°，点A为优弧Bc︵上一点，求圆周角∠BAc的度数．解：50°.3．如图所示，在⊙o中，∠AoB＝100°，c为优弧AB 的中点，求∠cAB的度数．解：65°.,第3题图) ,第4题图)4．如图所示，已知AB是⊙o的直径，∠BAc＝32°，D 是Ac的中点，那么∠DAc的度数是多少？解：29°.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．．如图所示，点A，B，c在⊙o上，连接oA，oB，若∠ABo＝25°，则∠c＝__65°__．,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，AB是⊙o的直径，Ac是弦，若∠Aco＝32°，则∠coB＝__64°__．3．如图，⊙o的直径AB为10cm，弦Ac为6cm，∠AcB 的平分线交⊙o于D，求Bc，AD，BD的长．解：∵AB为直径，∴∠AcB＝90°.∴Bc＝AB2－Ac2＝8．∵cD平分∠AcB，∴∠AcD＝∠BcD，∴AD＝BD.由AB为直径，知AD⊥BD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AD2＋BD2＝2AD2＝2BD2＝AB2，∴AD＝52cm，BD＝52cm.点拨精讲：由直径产生直角三角形，由相等的圆周角产生等腰三角形．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．．如图所示，oA为⊙o的半径，以oA为直径的⊙c与⊙o的弦AB相交于点D，若oD＝5cm，则BE＝__10_cm__．点拨精讲：利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线．,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，点A，B，c在⊙o上，已知∠B＝60°，则∠cAo＝__30°__．3．oA，oB，oc都是⊙o的半径，∠AoB＝2∠Boc.求证：∠AcB＝2∠BAc.证明：∵∠AoB是劣弧AB︵所对的圆心角，∠AcB是劣弧AB︵所对的圆周角，∴∠AoB＝2∠AcB.同理∠Boc＝2∠BAc，∵∠AoB＝2∠Boc，∴∠AcB＝2∠BAc.点拨精讲：看圆周角一定先看它是哪条弧所对圆周角，再看所对的圆心角．4．如图，在⊙o中，∠cBD＝30°，∠BDc＝20°，求∠A.解：∠A＝50°点拨精讲：圆内接四边形的对角互补．学生总结本堂课的收获与困惑．圆周角的定义、定理及推论．学习至此，请使用本课时对应训练部分．24．2 点和圆、直线和圆的位置关系24．2.1 点和圆的位置关系.结合实例，理解平面内点与圆的三种位置关系．2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．4．了解反证法的证明思想．重点：点和圆的位置关系；不在同一直线上的三个点确定一个圆及它们的运用．难点：反证法的证明思路．一、自学指导．自学：阅读教材P92～94.归纳：．设⊙o的半径为r，点P到圆心的距离oP＝d，则有：点P在圆外⇔__d＞r__；点P在圆上⇔__d＝r__；点P在圆内⇔__d＜r__.2.经过已知点A可以作__无数__个圆，经过两个已知点A，B可以作__无数__个圆；它们的圆心__在线段AB的垂直平分线__上；经过不在同一条直线上的A，B，c三点可以作__一个__圆．3．经过三角形的__三个顶点__的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的三条边__垂直平分线__的交点，叫做这个三角形的外心．任意三角形的外接圆有__一个__，而一个圆的内接三角形有__无数个__．4．用反证法证明命题的一般步骤：①反设：__假设命题结论不成立__；②归缪：__从假设出发，经过推理论证，得出矛盾__；③下结论：__由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．．在平面内，⊙o的半径为5cm，点P到圆心的距离为3cm，则点P与⊙o的位置关系是点__P在圆内__．2．在同一平面内，一点到圆上的最近距离为2，最远距离为10，则该圆的半径是__4或6__．3．△ABc内接于⊙o，若∠oAB＝28°，则∠c的度数是__62°或118°__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．．经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？2．在Rt△ABc中，∠AcB＝90°，Ac＝6，AB＝10，cD 是斜边AB上的中线，以Ac为直径作⊙o，设线段cD的中点为P，则点P与⊙o的位置关系是怎样的？点拨精讲：利用数量关系证明位置关系．3．如图，⊙o的半径r＝10，圆心o到直线l的距离oD ＝6，在直线l上有A，B，c三点，AD＝6，BD＝8，cD＝9，问A，B，c三点与⊙o的位置关系是怎样的？点拨精讲：垂径定理和勾股定理的综合运用．4．用反证法证明“同位角相等，两直线平行”．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．．已知⊙o的半径为4，oP＝3.4，则P在⊙o的__内部__．2．已知点P在⊙o的外部，oP＝5，那么⊙o的半径r 满足__0<r<5__．3．已知⊙o的半径为5，m为oN的中点，当om＝3时，N点与⊙o的位置关系是N在⊙o的__外部__．4．如图，△ABc中，AB＝Ac＝10，Bc＝12，求△ABc的外接圆半径．解：连接Ao并延长交Bc于点D，再连接oB，oc.∵AB＝Ac，∴∠AoB＝∠Aoc.∵Ao＝Bo＝co，∴∠oAB＝∠oAc.又∵△ABc为等腰三角形，∴AD⊥Bc，∴BD＝12Bc＝6.在Rt△ABD中，∵AB＝10，∴AD＝AB2－BD2＝8.设△ABc的外接圆半径为r.则在Rt△BoD中，r2＝62＋2，解得r＝254.即△ABc的外接圆半径为254.点拨精讲：这里连接Ao，要先证明Ao垂直Bc，或作AD ⊥Bc，要证AD过圆心．5．如图，已知矩形ABcD的边AB＝3cm，AD＝4cm.以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B，c，D与⊙A 的位置关系是怎样的？若以A点为圆心作⊙A，使B，c，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？解：点B在⊙A内，点c在⊙A外，点D在⊙A上；3＜r＜5.点拨精讲：第问中B，c，D三点中至少有一点在圆内，必然是离点A最近的点B在圆内；至少有一点在圆外，必然是离点A最远的点c在圆外．学生总结本堂课的收获与困惑．．点和圆的位置关系：设⊙o的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r.2．不在同一条直线上的三个点确定一个圆．3．三角形外接圆和三角形外心的概念．4．反证法的证明思想．学习至此，请使用本课时对应训练部分．24.2.2 直线和圆的位置关系．理解掌握同一平面内的直线与圆的三种位置关系及相关概念．2．能根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，准确判断出直线与圆的位置关系．重点：判断直线与圆的位置关系．难点：理解圆心到直线的距离．一、自学指导．自学：阅读教材P95～96.归纳：．直线和圆有__两个__公共点时，直线和圆相交，直线叫做圆的__割线__．2．直线和圆有__一个__公共点时，直线和圆相切，直线叫做圆的__切线__，这个点叫做__切点__．3．直线和圆有__零个__公共点时，直线和圆相离．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．．设⊙o的半径为r，直线l到圆心o的距离为d，则有：直线l和⊙o相交⇔__d＜r__；直线l和⊙o相切⇔__d＝r__；直线l和⊙o相离⇔d＞r__．2．在Rt△ABc中，∠c＝90°，Ac＝3cm，AB＝6cm，以点c为圆心，与AB边相切的圆的半径为__332__cm.3．已知⊙o的半径r＝3cm，直线l和⊙o有公共点，则圆心o到直线l的距离d的取值范围是0≤d≤3__．4．已知⊙o的半径是6，点o到直线a的距离是5，则直线a与⊙o的位置关系是__相交__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．．已知⊙o的半径是3cm，直线l上有一点P到o的距离为3cm，试确定直线l和⊙o的位置关系．解：相交或相切．点拨精讲：这里P到o的距离等于圆的半径，而不是直线l到o的距离等于圆的半径．2．如图，在Rt△ABc中，∠c＝90°，Ac＝3，Bc＝4，若以c为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是多少？解：r＝125或3＜r≤4.点拨精讲：分相切和相交两类讨论．3．在坐标平面上有两点A，B，以点A为圆心，以AB的长为半径作圆，试确定⊙A和x轴、y轴的位置关系．解：⊙A与x轴相交，与y轴相离．点拨精讲：利用数量关系证明位置关系．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．．在Rt△ABc中，∠c＝90°，Ac＝3，Bc＝4，以c为圆心，r为半径作圆．①当r满足__0＜r＜125__时，⊙c与直线AB相离．②当r满足__r＝125__时，⊙c与直线AB相切．③当r满足__r＞125__时，⊙c与直线AB相交．2．已知⊙o的半径为5cm，圆心o到直线a的距离为3cm，则⊙o与直线a的位置关系是__相交．直线a与⊙o的公共点个数是__2个__．3．已知⊙o的直径是6cm，圆心o到直线a的距离是4cm，则⊙o与直线a的位置关系是__相离．4．已知⊙o的半径为r，点o到直线l的距离为d，且|d－3|＋2＝0.试判断直线与⊙o的位置关系．解：相切．5．设⊙o的半径为r，圆心o到直线l的距离为d，d，r是一元二次方程x2－x＋1＝0的两根，且直线l与⊙o相切，求m的值．解：m＝0或m＝－8.学生总结本堂课的收获与困惑．．直线与圆的三种位置关系．2．根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，判断出直线与圆的位置关系．学习至此，请使用本课时对应训练部分．24．2.2 直线和圆的位置关系.理解掌握切线的判定定理和性质定理．2．判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．3．会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题．重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．难点：切线的判定和性质及其运用．一、自学指导．自学：阅读教材P97～98.归纳：．经过__半径的外端__并且__垂直于这条半径__的直线是圆的切线．2．切线的性质有：①切线和圆只有__1个__公共点；②切线和圆心的距离等于__半径__；③圆的切线__垂直于__过切点的半径．3．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接__圆心__和切点__，得到半径，那么半径__垂直于__切线．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．．如图，已知AB是⊙o的直径，PB是⊙o的切线，PA 交⊙o于c，AB＝3cm，PB＝4cm，则Bc＝__125__cm.2．如图，Bc是半圆o的直径，点D是半圆上一点，过点D作⊙o的切线AD，BA⊥DA于点A，BA交半圆于点E，已知Bc＝10，AD＝4，那么直线cE与以点o为圆心，52为半径的圆的位置关系是__相离__．3．如图，AB是⊙o的直径，⊙o交Bc的中点于点D，DE⊥Ac于E，连接AD，则下面结论正确的有__①②③④__．①AD⊥Bc；②∠EDA＝∠B；③oA＝12Ac;④DE是⊙o的切线．4．如图，AB为⊙o的直径，PQ切⊙o于T，Ac⊥PQ于c，交⊙o于D，若AD＝2，Tc＝3，则⊙o的半径是__10__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．．如图，AB是⊙o的直径，Bc切⊙o于B，Ac交⊙o于P，E是Bc边上的中点，连接PE，则PE与⊙o相切吗？若相切，请加以证明；若不相切，请说明理由．解：相切；证明：连接oP，BP，则oP＝oB.∴∠oBP＝∠oPB.∵AB为直径，∴BP⊥Pc.在Rt△BcP中，E为斜边中点，∴PE＝12Bc＝BE.∴∠EBP＝∠EPB.∴∠oBP＋∠PBE＝∠oPB＋∠EPB.即∠oBE＝∠oPE.∵BE为切线，∴AB⊥Bc.∴oP⊥PE，∴PE是⊙o的切线．2．如图，AB是⊙o的直径，Bc⊥AB于点B，连接oc交⊙o于点E，弦AD∥oc，连接cD.求证：点E是BD︵的中点；cD是⊙o的切线．证明：略．点拨精讲：连接oD，要证弧等可先证弧所对的圆心角等；在的基础上证△oDc与△oBc全等．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．．教材P98的练习．2．如图，∠AcB＝60°，半径为1cm的⊙o切Bc于点c，若将⊙o在cB上向右滚动，则当滚动到⊙o与cA也相切时，圆心o移动的水平距离是__3__cm.,第2题图) ,第3题图)3．如图，直线AB，cD相交于点o，∠Aoc＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线oA上，且与点o的距离为6cm，如果⊙P以1cm/s的速度沿A向B的方向移动，则经过__4或8__秒后⊙P与直线cD相切．4．如图，以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点c，若大圆半径为10cm，小圆半径为6cm，则弦AB的长为__16__cm.,第4题图) ,第5题图)5．如图，AB是⊙o的直径，点D在AB的延长线上，Dc 切⊙o于点c，若∠A＝25°，则∠D＝__40°__．学生总结本堂课的收获与困惑．圆的切线的判定与性质．学习至此，请使用本课时对应训练部分．24．2.2 直线和圆的位置关系．理解并掌握切线长定理，能熟练运用所学定理来解答问题．2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．重点：切线长定理及其运用．难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．一、自学指导．自学：阅读教材P99～100.归纳：．经过圆外一点作圆的切线，这点和__切点__之间的__线段长__叫做切线长．2．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线平分__两条切线的夹角，这就是切线长定理．3．与三角形各边都__相切__的圆叫做三角形的内切圆．4．三角形内切圆的圆心是三角形__三条角平分线的交点，叫做三角形的__内心__，它到三边的距离__相等__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．．如图，PA，PB是⊙o的两条切线，A，B为切点，直线oP交⊙o于点D，E，交AB于点c，图中互相垂直的直线共有__3__对．,第1题图) ,第2题图)2．如图，PA，PB分别切⊙o于点A，B，点E是⊙o上一点，且∠AEB＝60°，则∠P＝__60__度．3．如图，PA，PB分别切⊙o于点A，B，⊙o的切线EF 分别交PA，PB于点E，F，切点c在AB︵上，若PA长为2，则△PEF的周长是__4__．,第3题图) ,第4题图)4．⊙o为△ABc的内切圆，D，E，F为切点，∠DoB＝73°，∠DoF＝120°，则∠DoE＝__146°，∠c＝__60°__，∠A＝__86°__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．．如图，直角梯形ABcD中，∠A＝90°，以AB为直径的半圆切另一腰cD于P，若AB＝12cm，梯形面积为120cm2，求cD的长．解：20cm.点拨精讲：这里cD＝AD＋Bc.2．如图，已知⊙o是Rt△ABc的内切圆，切点分别为D，E，F.求证：四边形oDcE是正方形．设Bc＝a，Ac＝b，AB＝c，求⊙o的半径r.解：证明略；a＋b－c2.点拨精讲：这里的结论可记住作为公式来用．3．如图所示，点I是△ABc的内心，∠A＝70°，求∠BIc的度数．解：125°.点拨精讲：若I为内心，∠BIc＝90°＋12∠A；若I为外心，∠BIc＝2∠A.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．．如图，Rt△ABc中，∠c＝90°，Ac＝6，Bc＝8，则△ABc的内切圆半径r＝__2__．,第1题图) ,第2题图)2．如图，AD，Dc，Bc都与⊙o相切，且AD∥Bc，则∠Doc＝__90°__．3．如图，AB，Ac与⊙o相切于B，c两点，∠A＝50°，点P是圆上异于B，c的一动点，则∠BPc＝__65°__．,第3题图) ,第4题图)4．如图，点o为△ABc的外心，点I为△ABc的内心，若∠Boc＝140°，则∠BIc＝__125°__．学生总结本堂课的收获与困惑．．圆的切线长概念；2．切线长定理；3．三角形的内切圆及内心的概念．学习至此，请使用本课时对应训练部分．24．3 正多边形和圆．了解正多边形的概念，会通过等分圆心角的方法等分圆周画出所需的正多边形．2．会判定一个正多边形是中心对称图形还是轴对称图形，能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形．3.会进行有关圆与正多边形的计算．重点：正多边形和圆中正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．难点：理解正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．一、自学指导．自学：阅读教材P105～107.。

九年级上册数学(人教版)第二十四章圆导学案

第二十四章圆24．1圆的有关性质24. 1. 1圆1．了解圆的基本概念，并能准确地表示出来．2. 理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等．重点：与圆有关的概念．难点：圆的有关概念的理解．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P79～80内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题．探究：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做__圆__，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做__半径__．②用集合的观点叙述以O为圆心，r为半径的圆，可以说成是到定点O的距离为__r__的所有的点的集合．③连接圆上任意两点的__线段__叫做弦，经过圆心的弦叫做__直径__；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做__优弧__，小于半圆的弧叫做__劣弧__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(3分钟)1．以点A为圆心，可以画__无数__个圆；以已知线段AB的长为半径可以画__无数__个圆；以点A为圆心，AB的长为半径，可以画__1__个圆．点拨精讲：确定圆的两个要素：圆心(定点)和半径(定长)．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2．到定点O的距离为5的点的集合是以__O__为圆心，__5__为半径的圆．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)1．⊙O的半径为3 cm，则它的弦长d的取值范围是__0＜d≤6__．点拨精讲：直径是圆中最长的弦．2．⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是__等边三角形__．点拨精讲：与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型．3．如图，点A，B，C，D都在⊙O上．在图中画出以这4点为端点的各条弦．这样的弦共有多少条？解：图略.6条．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(15分钟)1．(1)在图中，画出⊙O的两条直径；(2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由．解：矩形．理由：由于该四边形对角线互相平分且相等，所以该四边形为矩形．作图略．点拨精讲：由刚才的问题思考：矩形的四个顶点一定共圆吗？2．一点和⊙O 上的最近点距离为4 cm ，最远点距离为10 cm ，则这个圆的半径是__3_cm 或7_cm __．点拨精讲：这里分点在圆外和点在圆内两种情况． 3．如图，图中有__1__条直径，__2__条非直径的弦，圆中以A 为一个端点的优弧有__4__条，劣弧有__4__条．点拨精讲：这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数．,第3题图) ,第4题图)4．如图，⊙O 中，点A ，O ，D 以及点B ，O ，C 分别在一直线上，图中弦的条数为__2__．点拨精讲：注意紧扣弦的定义．5．如图，CD 为⊙O 的直径，∠EOD ＝72°，AE 交⊙O 于B ，且AB ＝OC ，求∠A 的度数．解：24°.点拨精讲：连接OB 构造三角形，从而得出角的关系．,第5题图) ,第6题图)6．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点D 是BC 的中点，若AC ＝10 cm ，求OD 的长．解：5 cm .点拨精讲：这里别忘了圆心O 是直径AB 的中点．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．圆的定义、圆的表示方法及确定一个圆的两个基本条件．2．圆的相关概念：(1)弦、直径；(2)弧及其表示方法；(3)等圆、等弧．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．1.2 垂直于弦的直径1．圆的对称性．2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论． 3．能运用垂径定理及其推论进行计算和证明．重点：垂径定理及其推论．难点：探索并证明垂径定理．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P 81～83内容，并完成下列问题．1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB 经过圆心O 且与圆交于A ，B 两点；②AB ⊥CD 交CD 于E ，那么可以推出：③CE ＝DE ；④CB ︵＝DB ︵；⑤CA ︵＝DA ︵.3．平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．点拨精讲：(1)画图说明这里被平分的弦为什么不能是直径．(2)实际上，当一条直线满足过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，这五个条件中的任何两个，就可推出另外三个．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟) 1．在⊙O 中，直径为10 cm ，圆心O 到AB 的距离为3 cm ，则弦AB 的长为 __8_cm __． 2．在⊙O 中，直径为10 cm ，弦AB 的长为8 cm ，则圆心O 到AB 的距离为__3_cm __．点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．3．⊙O 的半径OA ＝5 cm ，弦AB ＝8 cm ，点C 是AB 的中点，则OC 的长为__3_cm __．点拨精讲：已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂线是常用的辅助线．4．某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？(8米)点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)1．AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，若AE ＝9，BE ＝1，求CD 的长．解：6.点拨精讲：常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．2．⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 的长的最小值为__3__，最大值为__5__．点拨精讲：当OM 与AB 垂直时，OM 最小(为什么)，M 在A(或B)处时OM 最大．3．如图，线段AB 与⊙O 交于C ，D 两点，且OA ＝OB.求证：AC ＝BD.证明：作OE ⊥AB 于E.则CE ＝DE. ∵OA ＝OB ，OE ⊥AB ， ∴AE ＝BE ，∴AE －CE ＝BE －DE. 即AC ＝BD.点拨精讲：过圆心作垂线是圆中常用辅助线．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．在直径是20 cm 的⊙O 中，∠AOB 的度数是60°，那么弦AB 的弦心距是cm . 点拨精讲：这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．2．弓形的弦长为6 cm ，弓形的高为2 cm ，则这个弓形所在的圆的半径为__134__cm .3．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点．求证：AC ＝BD.证明：过点O 作OE ⊥AB 于点E.则AE ＝BE ，CE ＝DE. ∴AE －CE ＝BE －DE. 即AC ＝BD.点拨精讲：过圆心作垂径．4．已知⊙O 的直径是50 cm ，⊙O 的两条平行弦AB ＝40 cm ，CD ＝48 cm ，求弦AB 与CD 之间的距离．解：过点O 作直线OE ⊥AB 于点E ，直线OE 与CD 交于点F.由AB ∥CD ，则OF ⊥CD. (1)当AB ，CD 在点O 两侧时，如图①.连接AO ，CO ，则AO ＝CO ＝25 cm ，AE ＝20 cm ，CF ＝24 cm .由勾股定理知OE ＝15 cm ，OF ＝7 cm .∴EF ＝OE ＋OF ＝22 (cm )．即AB 与CD 之间距离为22 cm .(2)当AB ，CD 在点O 同侧时，如图②，连接AO ，CO.则AO ＝CO ＝25 cm ，AE ＝20 cm ，CF ＝24 cm .由勾股定理知OE ＝15 cm ，OF ＝7 cm .∴EF ＝OE －OF ＝8 (cm )．即AB 与CD 之间距离为8 cm .由(1)(2)知AB 与CD 之间的距离为22 cm 或8 cm .点拨精讲：分类讨论，①AB ，CD 在点O 两侧，②AB ，CD 在点O 同侧．学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 2．垂径定理及其推论以及它们的应用．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．1.3 弧、弦、圆心角1. 通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系．2. 运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题．重点：圆的弧、弦、圆心角之间的关系定理．难点：探索推导定理及其应用．一、自学指导．(10分钟)自学：自学教材P 83～84内容，回答下列问题．探究：1．顶点在__圆心__的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做__等圆__；能够__重合__的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合，这就是圆的__旋转性__．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相等__．3．在同圆或等圆中，两个__圆心角__，两条__弦__，两条__弧__中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4．在⊙O 中，AB ，CD 是两条弦，(1)如果AB ＝CD ，那么__AB ︵＝CD ︵，__∠AOB ＝∠COD__； (2)如果AB ︵＝CD ︵，那么__AB ＝CD__，__∠AOB ＝∠COD ；(3)如果∠AOB ＝∠COD ，那么__AB ＝CD__，AB ︵＝CD ︵__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．如图，AD 是⊙O 的直径，AB ＝AC ，∠CAB ＝120°，根据以上条件写出三个正确结论．(半径相等除外)(1)__△ACO_≌_△ABO__； (2)__AD 垂直平分BC__；(3)AB ︵＝AC ︵.2．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝60°，求证：∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC. 证明：∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC. 又∵∠ACB ＝60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AB ＝AC ＝BC ，∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC.,第2题图) ,第3题图)3．如图，(1)已知AD ︵＝BC ︵.求证：AB ＝CD. (2)如果AD ＝BC ，求证：DC ︵＝AB ︵. 证明：(1)∵AD ︵＝BC ︵， ∴AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵， ∴DC ︵＝AB ︵，∴AB ＝CD. (2)∵AD ＝BC ， ∴AD ︵＝BC ︵，∴AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵，即DC ︵＝AB ︵.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．⊙O 中，一条弦AB 所对的劣弧为圆周的14，则弦AB 所对的圆心角为__90°__．点拨精讲：整个圆周所对的圆心角即以圆心为顶点的周角．2．在半径为2的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为1，则弦AB 所对的圆心角的度数为__120°__．3．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝75°，求∠BAC 的度数．解：30°.,第3题图) ,第4题图)4．如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，且AB 与CD 不平行，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，AB ＝CD ，那么∠AMN 与∠CNM 的大小关系是什么？为什么？点拨精讲：(1)OM ，ON 具备垂径定理推论的条件． (2)同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等．解：∠AMN ＝∠CNM.∵AB ＝CD ，M ，N 为AB ，CD 中点， ∴OM ＝ON ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴∠OMA ＝∠ONC ，∠OMN ＝∠ONM ，∴∠OMA －∠OMN ＝∠ONC －∠ONM. 即∠AMN ＝∠CNM.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝35°，求∠AOE 的度数．解：75°.,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，CD 为⊙O 的弦，在CD 上截取CE ＝DF ，连接OE ，OF ，它们的延长线交⊙O 于点A ，B.(1)试判断△OEF 的形状，并说明理由；(2)求证：AC ︵＝BD ︵.解：(1)△OEF 为等腰三角形．理由：过点O 作OG ⊥CD 于点G ，则CG ＝DG.∵CE ＝DF ， ∴CG －CE ＝DG －DF. ∴EG ＝FG.∵OG ⊥CD ， ∴OG 为线段EF 的垂直平分线． ∴OE ＝OF ，∴△OEF 为等腰三角形． (2)证明：连接AC ，BD. 由(1)知OE ＝OF ，又∵OA ＝OB ，∴AE ＝BF ，∠OEF ＝∠OFE.∵∠CEA ＝∠OEF ，∠DFB ＝∠OFE ， ∴∠CEA ＝∠DFB.在△CEA 与△DFB 中，AE ＝BF ，∠CEA ＝∠BFD ，CE ＝DF ， ∴△CEA ≌△DFB ，∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.点拨精讲：(1)过圆心作垂径；(2)连接AC ，BD ，通过证弦等来证弧等．3．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，M ，N 是AO ，BO的中点．CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，分别与圆交于C ，D 点．求证：AC ︵＝BD ︵.证明：连接AC ，OC ，OD ，BD. ∵M ，N 为AO ，BO 中点， ∴OM ＝ON ，AM ＝BN. ∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ， ∴∠CMO ＝∠DNO ＝90°. 在Rt △CMO 与Rt △DNO 中， OM ＝ON ，OC ＝OD ，∴Rt △CMO ≌Rt △DNO.∴CM ＝DN.在Rt △AMC 和Rt △BND 中， AM ＝BN ，∠AMC ＝∠BND ，CM ＝DN ， ∴△AMC ≌△BND. ∴AC ＝BD.∴AC ︵＝BD ︵.点拨精讲：连接AC ，OC ，OD ，BD ，构造三角形．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆心角定理是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．1.4 圆周角1．理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角．2．能在证明或计算中熟练运用圆周角的定理及其推论．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P 85～87，完成下列问题．归纳：1．顶点在__圆周__上，并且两边都与圆__相交__的角叫做圆周角．2．在同圆或等圆中，__等弧__或__等弦__所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__圆心角__的一半．3．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也__相等__．4．半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__，90°的圆周角所对的弦是__直径__． 5．圆内接四边形的对角__互补__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟) 1．如图所示，点A ，B ，C ，D 在圆周上，∠A ＝65°，求∠D 的度数．解：65°.,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，已知圆心角∠BOC ＝100°，点A 为优弧BC ︵上一点，求圆周角∠BAC 的度数．解：50°.3．如图所示，在⊙O 中，∠AOB ＝100°，C 为优弧AB 的中点，求∠CAB 的度数．解：65°.,第3题图) ,第4题图)4．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝32°，D 是AC 的中点，那么∠DAC 的度数是多少？解：29°.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，连接OA ，OB ，若∠ABO ＝25°，则∠C ＝__65°__．,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO ＝32°，则∠COB ＝ __64°__．3．如图，⊙O 的直径AB 为10 cm ，弦AC 为6 cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD 的长．解：∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°.∴BC ＝AB 2－AC 2＝8 (cm )．∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ， ∴AD ＝BD.由AB 为直径，知AD ⊥BD ， ∴△ABD 为等腰直角三角形，∴AD 2＋BD 2＝2AD 2＝2BD 2＝AB 2，∴AD ＝5 2 cm ，BD ＝5 2 cm .点拨精讲：由直径产生直角三角形，由相等的圆周角产生等腰三角形．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．如图所示，OA 为⊙O 的半径，以OA 为直径的⊙C 与⊙O 的弦AB 相交于点D ，若OD ＝5 cm ，则BE ＝__10_cm __．点拨精讲：利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线．,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，已知∠B ＝60°，则∠CAO ＝__30°__． 3．OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，∠AOB ＝2∠BOC.求证：∠ACB ＝2∠BAC.证明：∵∠AOB 是劣弧AB ︵所对的圆心角， ∠ACB 是劣弧AB ︵所对的圆周角， ∴∠AOB ＝2∠ACB.同理∠BOC＝2∠BAC，∵∠AOB＝2∠BOC，∴∠ACB＝2∠BAC.点拨精讲：看圆周角一定先看它是哪条弧所对圆周角，再看所对的圆心角．4．如图，在⊙O中，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，求∠A.解：∠A＝50°点拨精讲：圆内接四边形的对角互补．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆周角的定义、定理及推论．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．2点和圆、直线和圆的位置关系24．2.1点和圆的位置关系1. 结合实例，理解平面内点与圆的三种位置关系．2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．4．了解反证法的证明思想．重点：点和圆的位置关系；不在同一直线上的三个点确定一个圆及它们的运用．难点：反证法的证明思路．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P92～94.归纳：1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔__d＞r__；点P 在圆上⇔__d＝r__ ；点P在圆内⇔__d＜r__ .2.经过已知点A可以作__无数__个圆，经过两个已知点A，B可以作__无数__个圆；它们的圆心__在线段AB的垂直平分线__上；经过不在同一条直线上的A，B，C三点可以作__一个__圆．3．经过三角形的__三个顶点__的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的三条边__垂直平分线__的交点，叫做这个三角形的外心．任意三角形的外接圆有__一个__，而一个圆的内接三角形有__无数个__．4．用反证法证明命题的一般步骤：①反设：__假设命题结论不成立__；②归缪：__从假设出发，经过推理论证，得出矛盾__；③下结论：__由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心的距离为3 cm，则点P与⊙O的位置关系是点__P在圆内__．2．在同一平面内，一点到圆上的最近距离为2，最远距离为10，则该圆的半径是__4或6__．3．△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝28°，则∠C的度数是__62°或118°__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？ (用反证法证明)2．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，AB ＝10，CD 是斜边AB 上的中线，以AC 为直径作⊙O ，设线段CD 的中点为P ，则点P 与⊙O 的位置关系是怎样的？点拨精讲：利用数量关系证明位置关系．3．如图，⊙O 的半径r ＝10，圆心O 到直线l 的距离OD ＝6，在直线l 上有A ，B ，C 三点，AD ＝6，BD ＝8，CD ＝9，问A ，B ，C 三点与⊙O 的位置关系是怎样的？点拨精讲：垂径定理和勾股定理的综合运用． 4．用反证法证明“同位角相等，两直线平行”．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．已知⊙O 的半径为4，OP ＝3.4，则P 在⊙O 的__内部__．2．已知点P 在⊙O 的外部，OP ＝5，那么⊙O 的半径r 满足__0<r<5__．3．已知⊙O 的半径为5，M 为ON 的中点，当OM ＝3时，N 点与⊙O 的位置关系是N 在⊙O 的__外部__．4．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，求△ABC 的外接圆半径．解：连接AO 并延长交BC 于点D ，再连接OB ，OC. ∵AB ＝AC ，∴∠AOB ＝∠AOC.∵AO ＝BO ＝CO ，∴∠OAB ＝∠OAC. 又∵△ABC 为等腰三角形，∴AD ⊥BC ， ∴BD ＝12BC ＝6.在Rt △ABD 中，∵AB ＝10，∴AD ＝AB 2－BD 2＝8. 设△ABC 的外接圆半径为r.则在Rt △BOD 中，r 2＝62＋(8－r)2，解得r ＝254.即△ABC 的外接圆半径为254.点拨精讲：这里连接AO ，要先证明AO 垂直BC ，或作AD ⊥BC ，要证AD 过圆心．5．如图，已知矩形ABCD 的边AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm .(1)以点A 为圆心，4 cm 为半径作⊙A ，则点B ，C ，D 与⊙A 的位置关系是怎样的？ (2)若以A 点为圆心作⊙A ，使B ，C ，D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是什么？解：(1)点B 在⊙A 内，点C 在⊙A 外，点D 在⊙A 上；(2)3＜r ＜5.点拨精讲：第(2)问中B ，C ，D 三点中至少有一点在圆内，必然是离点A 最近的点B在圆内；至少有一点在圆外，必然是离点A 最远的点C 在圆外．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．点和圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧点P 在圆外⇔d ＞r ；点P 在圆上⇔d ＝r ；点P 在圆内⇔d ＜r.2．不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 3．三角形外接圆和三角形外心的概念． 4．反证法的证明思想．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24.2.2 直线和圆的位置关系(1)1．理解掌握同一平面内的直线与圆的三种位置关系及相关概念．2．能根据圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，准确判断出直线与圆的位置关系．重点：判断直线与圆的位置关系．难点：理解圆心到直线的距离．一、自学指导．(10分钟) 自学：阅读教材P 95～96. 归纳：1．直线和圆有__两个__公共点时，直线和圆相交，直线叫做圆的__割线__．2．直线和圆有__一个__公共点时，直线和圆相切，直线叫做圆的__切线__，这个点叫做__切点__．3．直线和圆有__零个__公共点时，直线和圆相离．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟) 1．设⊙O 的半径为r ，直线l 到圆心O 的距离为d ，则有：直线l 和⊙O 相交⇔__d ＜r__；直线l 和⊙O 相切⇔__d ＝r__；直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r__．2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，AB ＝6 cm ，以点C 为圆心，与AB 边相切的圆的半径为2cm .3．已知⊙O 的半径r ＝3 cm ，直线l 和⊙O 有公共点，则圆心O 到直线l 的距离d 的取值范围是0≤d ≤3__．4．已知⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离是5，则直线a 与⊙O 的位置关系是__相交__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．已知⊙O 的半径是3 cm ，直线l 上有一点P 到O 的距离为3 cm ，试确定直线l 和⊙O 的位置关系．解：相交或相切．点拨精讲：这里P 到O 的距离等于圆的半径，而不是直线l 到O 的距离等于圆的半径．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，若以C 为圆心，r 为半径的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是多少？解：r ＝125或3＜r ≤4.点拨精讲：分相切和相交两类讨论．3．在坐标平面上有两点A(5，2)，B(2，5)，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作圆，试确定⊙A 和x 轴、y 轴的位置关系．解：⊙A 与x 轴相交，与y 轴相离．点拨精讲：利用数量关系证明位置关系．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以C 为圆心，r 为半径作圆．①当r 满足__0＜r ＜125__时，⊙C 与直线AB 相离．②当r 满足__r ＝125__时，⊙C 与直线AB 相切．③当r 满足__r ＞125__时，⊙C 与直线AB 相交．2．已知⊙O 的半径为5 cm ，圆心O 到直线a 的距离为3 cm ，则⊙O 与直线a 的位置关系是__相交．直线a 与⊙O 的公共点个数是__2个__．3．已知⊙O 的直径是6 cm ，圆心O 到直线a 的距离是4 cm ，则⊙O 与直线a 的位置关系是__相离．4．已知⊙O 的半径为r ，点O 到直线l 的距离为d ，且|d －3|＋(6－2r)2＝0.试判断直线与⊙O 的位置关系．解：相切．5．设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，d ，r 是一元二次方程(m ＋9)x 2－(m ＋6)x ＋1＝0的两根，且直线l 与⊙O 相切，求m 的值．解：m ＝0或m ＝－8.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 1．直线与圆的三种位置关系．2．根据圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，判断出直线与圆的位置关系．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．2.2 直线和圆的位置关系(2)1. 理解掌握切线的判定定理和性质定理．2．判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线． 3．会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题．重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．难点：切线的判定和性质及其运用．一、自学指导．(10分钟) 自学：阅读教材P 97～98. 归纳：1．经过__半径的外端__并且__垂直于这条半径__的直线是圆的切线．2．切线的性质有：①切线和圆只有__1个__公共点；②切线和圆心的距离等于__半径__；③圆的切线__垂直于__过切点的半径．3．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接__圆心__和切点__，得到半径，那么半径__垂直于__切线．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，PA 交⊙O 于C ，AB ＝3 cm ，PB ＝4 cm ，则BC ＝__125__cm .2．如图，BC 是半圆O 的直径，点D 是半圆上一点，过点D 作⊙O 的切线AD ，BA ⊥DA 于点A ，BA 交半圆于点E ，已知BC ＝10，AD ＝4，那么直线CE 与以点O 为圆心，52为半径的圆的位置关系是__相离__．3．如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于点D ，DE ⊥AC 于E ，连接AD ，则下面结论正确的有__①②③④__．①AD ⊥BC ； ②∠EDA ＝∠B ；③OA ＝12AC; ④DE 是⊙O 的切线．4．如图，AB 为⊙O 的直径，PQ 切⊙O 于T ，AC ⊥PQ 于C ，交⊙O 于D ，若AD ＝2，TC ＝3，则⊙O 的半径是．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，E 是BC 边上的中点，连接PE ，则PE 与⊙O 相切吗？若相切，请加以证明；若不相切，请说明理由．解：相切；证明：连接OP ，BP ，则OP ＝OB. ∴∠OBP ＝∠OPB.∵AB 为直径，∴BP ⊥PC.在Rt △BCP 中，E 为斜边中点， ∴PE ＝12BC ＝BE.∴∠EBP ＝∠EPB.∴∠OBP ＋∠PBE ＝∠OPB ＋∠EPB. 即∠OBE ＝∠OPE.∵BE 为切线， ∴AB ⊥BC.∴OP ⊥PE ，∴PE 是⊙O 的切线．2．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB 于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦AD ∥OC ，连接CD.求证：(1)点E 是BD ︵的中点；(2)CD 是⊙O 的切线．证明：略．点拨精讲：(1)连接OD ，要证弧等可先证弧所对的圆心角等；(2)在(1)的基础上证△ODC 与△OBC 全等．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟) 1．教材P 98的练习．2．如图，∠ACB ＝60°，半径为1 cm 的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是cm .,第2题图) ,第3题图)3．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC ＝30°，半径为1 cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上，且与点O 的距离为6 cm ，如果⊙P 以1 cm /s 的速度沿A 向B 的方向移动，则经过__4或8__秒后⊙P 与直线CD 相切．4．如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 与小圆相切于点C ，若大圆半径为10 cm ，小圆半径为6 cm ，则弦AB 的长为__16__cm .,第4题图) ,第5题图)5．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ，若∠A ＝25°，则∠D ＝ __40°__．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 圆的切线的判定与性质．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．2.2 直线和圆的位置关系(3)1．理解并掌握切线长定理，能熟练运用所学定理来解答问题． 2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．重点：切线长定理及其运用．难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．一、自学指导．(10分钟) 自学：阅读教材P 99～100. 归纳：1．经过圆外一点作圆的切线，这点和__切点__之间的__线段长__叫做切线长．2．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线平分__两条切线的夹角，这就是切线长定理．3．与三角形各边都__相切__的圆叫做三角形的内切圆．4．三角形内切圆的圆心是三角形__三条角平分线的交点，叫做三角形的__内心__，它到三边的距离__相等__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．如图，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 为切点，直线OP 交⊙O 于点D ，E ，交AB 于点C ，图中互相垂直的直线共有__3__对．,第1题图) ,第2题图)2．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，点E 是⊙O 上一点，且∠AEB ＝60°，则∠P ＝__60__度．3．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，⊙O 的切线EF 分别交PA ，PB 于点E ，F ，切点C 在AB ︵上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是__4__．,第3题图) ,第4题图)4．⊙O 为△ABC 的内切圆，D ，E ，F 为切点，∠DOB ＝73°，∠DOF ＝120°，则∠DOE ＝__146°，∠C ＝__60°__，∠A ＝__86°__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．如图，直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，以AB 为直径的半圆切另一腰CD 于P ，若AB ＝12 cm ，梯形面积为120 cm 2，求CD 的长．解：20 cm .点拨精讲：这里CD ＝AD ＋BC.2．如图，已知⊙O 是Rt △ABC(∠C ＝90°)的内切圆，切点分别为D ，E ，F.(1)求证：四边形ODCE 是正方形．(2)设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，求⊙O 的半径r.解：(1)证明略；(2)a ＋b －c2.点拨精讲：这里(2)的结论可记住作为公式来用．3．如图所示，点I 是△ABC 的内心，∠A ＝70°，求∠BIC 的度数．解：125°.点拨精讲：若I 为内心，∠BIC ＝90°＋12∠A ；若I 为外心，∠BIC ＝2∠A.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟) 1．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则△ABC 的内切圆半径r ＝__2__．,第1题图) ,第2题图)2．如图，AD ，DC ，BC 都与⊙O 相切，且AD ∥BC ，则∠DOC ＝__90°__．3．如图，AB ，AC 与⊙O 相切于B ，C 两点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B ，C 的一动点，则∠BPC ＝__65°__．,第3题图) ,第4题图)4．如图，点O 为△ABC 的外心，点I 为△ABC 的内心，若∠BOC ＝140°，则∠BIC ＝__125°__．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 1．圆的切线长概念； 2．切线长定理；3．三角形的内切圆及内心的概念．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．3 正多边形和圆1．了解正多边形的概念，会通过等分圆心角的方法等分圆周画出所需的正多边形．。

九年级数学上册第二十四章圆 24.1 圆的有关性质 24.

⌒弧、弦、圆心角一、自主预习 1、课前复习（1）圆是_____对称图形,它的对称轴是______________ （2）圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？（3）圆绕圆心旋转任意一个角度后总能与原图形重合吗？ 2：预习课本83-84页内容（1）圆心角的概念：____________________________________ （2）∠AOB=∠A ´OB ´，你还能发现哪些等量关系？为什么？结论：若∠AOB_______∠A ´OB ´，则弦AB____弦,AB A B ''，（3）提问：在两个能够重合的圆，即等圆中，是否也能得出类似的结论呢？归纳定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的______相等，所对的____ 也相等几何语言：同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，所对的也相等。

几何语言：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的__ _ 相等，所对的也相等几何语言：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也二、合作探究如图，在⊙O 中， ,∠ACB=60° 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC三、随堂检测班级：姓名：AB AC=AB1、在半径为2cm 的⊙O 中，弦长为2cm 的弦所对的圆心角的度数为（） A 60º B 90º C 120º D 150º 2.如图，在⊙O 中，AB=CD.求证(1)DB =AC (2)∠BOD=∠AOC.3.如图，AB 是⊙O 的直径，， ∠COD=35 °，求∠AOE 的度数.拓展延伸如图，AB ，A ´B ´是⊙O 的两条弦。

(1)如果AB= A ´B ´，那么， (2)如果AB= A ´B ´，那么， (3)如果∠AOB=∠A ´OB ´，那么，(4)如果AB= A ´B ´，OE ⊥AB 于点E ，OF ⊥A ´B ´于点F ，OE 与OF 相等吗？为什么？CBC CD DE ==。

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CBA

OCB

人教版九年级上册圆导学案课题：弧、弦、圆心角学习目标： 1. 理解并掌握弧、弦、圆心角的定义 2.掌握同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系学习重点：同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系学习难点：同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系定理的推导教学过程：一目标导入 1. 理解并掌握弧、弦、圆心角的定义 2.掌握同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系二、预习检测 1．定义：叫做圆心角。 2．定理：在中，相等的圆心角所对的，所对的。

3．推论1：在中，如果两条弧相等，那么它们所对的，所对的。 4．推论2：在中，如果两条弦相等，那么它们所对的，所对的。 5．定理及推论的综合运用：在同圆或等圆中，也相等。三、质疑互动 1．如图，弦AD=BC，E是CD上任一点（C，D除外），则下列结论不一定成立的是（） A. = B. AB=CD C. ∠ AED=∠CEB. D. = 2. 如图，AB是 ⊙O的直径，C，D是上的三等

分点，∠AOE=60 ° ，则∠COE是（） A． 40° B. 60° C. 80° D. 120 °

3. 如图，AB是 ⊙O的直径，BC⌒ =BD⌒ , ∠A=25°，则∠BOD= °.

4.在⊙O中, AB⌒ =AC⌒ , , ∠A=40°,则∠C= °. 2

OCB

ABCD

ONM

DCBA

ODCBA

5. 在⊙O中, AB⌒ =AC⌒ , ∠ACB=60°.求证: ∠AOB = ∠BOC = ∠AOC. 小结在运用定理及推论时易漏条件“在同圆或等圆中”，导致推理不严密，如半径不等的两个同心图，显然相等的圆心角所对的弧、弦均不等。四达标纠错 1．如果两个圆心角相等，那么（） A．这两个圆心角所对的弦相等。 B这两个圆心角所对的弧相等。 C 这两个圆心角所对的弦的弦心距相等。 D 以上说法都不对 2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则与的关系是（）

A AB⌒ =2CD⌒ B. AB⌒ ＞ CD⌒ AB⌒ ＜2CD⌒ D. 不能确定 C. 3. 在同圆中，AB⌒ =⌒BC ,则（） A AB+BC=AC B AB+BC＞AC C AB+BC＜AC D. 不能确定 4．下列说法正确的是（） A．等弦所对的圆心角相等 B. 等弦所对的弧相等 C. 等弧所对的圆心角相等 D. 相等的圆心角所对的弧相等 5．如图，在⊙O中，C、D是直径上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、 N在⊙O上。

求证：⌒AM =⌒BN

6.如图，AB是⊙O的弦，⌒AE =⌒BF ，半径OE，OF分别交AB于C，D。求证：△OCD是等腰三角形

五收获评价

作业布置课后反馈 3

OCBAOCB

课题：圆周角学习目标： 1．理解并掌握圆周角的定义 2．能利用圆周角定理及其推论解题学习重点：能利用圆周角定理及其推论解题学习难点：分类思想证明圆周角定理教学过程：一目标导入 1．理解并掌握圆周角的定义 2．能利用圆周角定理及其推论解题二预习检测 1．圆周角的定义：，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 2．定理：在同圆或等圆中，所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的。 3，推论：（1）（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是。（2）在同圆或等圆中，的圆周角所对的。 4．圆内接多边形：圆内接四边形的。三质疑互动 1．下列说法正确的是（） A 相等的圆周角所对弧相等形 B直径所对的角是直角 C 顶点在圆上的角叫做圆周角 D 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 2．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°，则∠C的大小为（） A . 28° B. 56° C. 60° D. 62° 3.如图,在⊙O中, ∠ABC=40°,则∠ABC= °.

4. 如图,AB是⊙O的直径,C,D,E都是圆上的点, 则∠1+∠2= °.

5.如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C, 使AC=AB. 求证:BD=CD.

6.小结（1）圆周角与圆心角的概念比较接近,因此容易混淆,要结合图形观察角的位置 4

ODCBA

BAOCB

OED

CBA

ODCB

FOE

DCBA

进行判断. （2）一条弦所对的圆周角有两种(直角除外),一种是锐角，一种是钝角。（3）有关圆的计算常用勾股定理计算，因此构造直角三角形是解题的关键。

四达标纠错 1. 如图,AB是⊙O的直径, BC,CD,DA是⊙O的弦,且 BC=CD=DA,则∠BCD=( ). A . 100° B. 110° C. 120° D130°

2. 如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径, 若∠BOD=80°,则∠A=( ) A . 60° B. 50° C. 40° D30°

m 3.如图,A,B,C是⊙O上三点, ∠AOC=100°, 则∠ABC= °.

4. 如图,正方形ABCD内接于⊙O,点E在劣弧AD上, 则∠BEC等于 °

5. 如图,在⊙O中, ∠ACB=∠BDC=60°,AC=32,(1)求∠BAC的度数;(2)求⊙O的周长.

6.如图,AB是⊙O的直径，C是⌒BD 的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F。求证：CF=BF 五收获评价

板书设计作业布置课后反馈课题：点和圆的位置关系学习目标： 5

1．掌握点和圆的位置关系的结论 2．掌握点和圆的三种位置关系的条件学习重点：掌握点和圆的位置关系的结论，不在同一直线上的三点确定一个圆及其运用学习难点：反证法的证明思路学习过程：一、目标导入 1．掌握点和圆的位置关系的结论 2．掌握点和圆的三种位置关系的条件二预习检测 1．点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：（1） d＞r；（2） d=r （3） d＜r 2．确定圆的条件：（1）过一个已知点可以作个圆。（2）过两个已知点可以作个圆，圆心在上。（3）过上的确定一个圆，圆心为交点。 3．三角形的外接圆及三角形的外心：叫做三角形的外接圆。叫做三角形的外心。三角形的外心到三角形的三个顶点的距离。这个三角形叫做。三质疑互动 1．下列说法：① 三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆； ③ 圆有且只有一个内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点； ⑤三角形的外心到三角形的各边的距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在三角形内。其中正确的个数为（） A．1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 三角形的外心具有的性质是( ) A. 到三边的距离相等 B. 到三个顶点的距离相等 C. 外心在三角形内 D. 外心在三角形外 3. 用反证法证明一个三角形任意两边之和大于第三边时，假设正确的是（） A．任意两边之和小于第三边 B. 任意两边之和等于第三边 C.任意两边之和小于或等于第三边 D.任意两边之和不小于第三边

4．⊙O的半径为10cm, A，B，C三点到圆心的距离分别为8cm，10cm，12cm，则点A，B，C与⊙O的位置关系是：点A在；点B在；点C在。 5．直角三角形的两直角边分别是3cm，4cm。则这个三角形的外接圆半径为 cm。 6.小结 (1)过三点作圆时，易忽略“过不在同一直线上的三点”这一前题条件，当三点在同一直线上时，无法确定一个圆。 (2)判断点与圆的位置关系时，只需确定点与圆心的距离及圆的半径，然后进行比较即可四达标纠错 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，以点B为圆心，4为半径作⊙B，则点A与⊙B的位置关系是（） A 点A在⊙B上 B . 点A在⊙B外 C. 点 A在⊙B内 D.无法确定