空间中的平行关系
空间里的平行关系
空间里的平行关系介绍在空间中，存在着许多平行关系。
平行关系是指两条直线在空间中不相交，并且它们在无限远处也不相交。
平行关系是几何学中的一个基本概念，它不仅是空间内直线之间的一种关系，还是平面内直线之间的一种关系。
平行线的性质平行线具有一些重要的性质，下面介绍其中的几个。
平行线的夹角在同一平面内，直线AB与直线CD平行，则:•直线AB与直线CD有相交点时，它们组成同向交角和异向交角。
同向交角相等，异向交角互补。
•直线AB与直线CD没有相交点时，它们组成平行线。
平行线的长度和位置关系在同一平面内，直线AB与直线CD平行，则它们之间的任意一对相交线段的长度比相等，即AB = PQ且CD = RS，则AP = QR，BP = PR，CQ = ST，DQ = TR。
平面图形中的平行线在平面图形中，如果两条直线平行，它们不会相交，我们也可以将它们用符号|| 表示。
空间图形中的平行线在三维空间中，如果两个平面平行，则这两个平面上的任意一对平行线互相平行。
此外，我们可以将两条空间直线的平行关系表示为它们的方向向量的比例相同，即两个向量的比例相等。
平行线的应用平行线在我们的日常生活中有着广泛的应用和影响。
地理学中的平行线黄道和赤道是两条天球上的特殊平行线。
黄道是太阳在一年中的运动轨迹，它在天球上呈现为一条看起来像个圆的曲线，不断地绕着天球移动。
赤道是天球上与黄道相交的大圆。
建筑学中的平行线在建筑设计中，平行线的概念起着非常关键的作用。
建筑师在设计建筑物的时候，需要考虑许多平行线的问题，如水平线、垂直线等，在建筑物的结构和形状上都起着非常重要的作用。
艺术中的平行线平行线在艺术创作中也有着非常广泛的应用。
在绘画中，平行线可以被用来描绘建筑物的构成和形状，而在设计中，平行线则可以被用来构建各种几何图形和图案。
结论平行线是几何学中的一个基本概念，它可以被用来描述空间中不同直线之间的关系。
平行线有着许多重要的性质和应用，它不仅仅是几何学中的一个概念，还被广泛应用于各个领域中。
空间中的平行与垂直例题和知识点总结
空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。
理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。
一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。
2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。
证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。
又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。
（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。
2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。
证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。
又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。
因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。
（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。
2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。
空间中的平行关系
解：当 m∥β 时，过 m 的平面 α 与 β 可能平行也可能
相交，因而 m∥β α∥β；当α∥β时，α 内任一直线与
β平行，因为 m⊂α，所以 m∥β.综上知，“m∥β”是“α
∥β”的必要而不充分条件．
答案: B
直线与平面平行的判断 平面与平面平行的判定 线面平行、面面平行的性质的应用
考点一·直线与平面平行的判断
点评：证面面平行的基本方法是利用面面平行的判定 定理，即转化为证线面平行．
【变式探究】
2．如图，已知 ABC-A1B1C1 是正三棱柱，E，F 分别是 AC， A1C1 的中点．求证：平面 AB1F∥平面 BEC1.
证明：因为 E、F 分别是 AC、A1C1 的中点， 所以 AE＝FC1.又因为 AE∥FC1， 所以四边形 AEC1F 是平行四边形，所以 AF∥EC1. 因为 EC1⊂平面 BEC1，AF⊄平面 BEC1， 所以 AF∥平面 BEC1. 连接 EF.因为 EF∥BB1，EF＝BB1， 所以四边形 BB1FE 是平行四边形， 所以 B1F∥BE，B1F⊄平面 BEC1，BE⊂平面 BEC1， 所以 B1F∥平面 BEC1. 因为 AF，B1F 是平面 AB1F 内的相交直线， 所以平面 AB1F∥平面 BEC1.
⇒β∥α. (2) 垂直于 同一直线
的两个平面平行．
4．两个平面平行的性质 (1)两个平面平行，其中一个平面内的直线 平行于 另
一个平面．
符号表示：α∥β，a⊂α，则 a∥β
.
(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它
们的交线 平行 . 符号表示：α∥β，α∩γ＝a，．如图是以正方形 ABCD 为底面的正四棱柱被一平面所 截得的几何体，四边形 EFGH 为截面，且 BF＝DH.证明：截 面四边形 EFGH 是菱形.
1.2.2空间中的平行关系
(3)空间两个角 、β, α与β的两边对应平行 且α＝ 空间两个角α 的两边对应平行, 空间两个角 与 的两边对应平行 ＝ 60°, 则β等于（ 等于（ ° 等于 ）D A. 60° B. 120° ° ° C. 30° D. 60°或120° ° ° ° (4)若空间四边形的对角线相等 则以它的四条边的中 若空间四边形的对角线相等,则以它的四条边的中 若空间四边形的对角线相等 点为顶点的四边形是（ 点为顶点的四边形是（ B ） A.空间四边形 B.菱形 空间四边形 菱形 C.正方形 D.梯形 正方形 梯形 (5) 设AA1是正方体的一条棱，这个正方体中 是正方体的一条棱， 平行的棱共有＿＿＿条 与AA1 平行的棱共有＿＿＿条 3 ＿＿＿
空间四边形ABCD的 顶点，边， 说一说 空间四边形 的 顶点， 对角线分别有哪些？ 对角线分别有哪些？
空间四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线 中 空间四边形 、 是它的对角线
应用新知
例1：已知，如图所示，空间四边形 ：已知，如图所示，空间四边形ABCD中， 中 分别是边AB 的中点. E，F，G，H分别是边 ，BC，CD，DA的中点 分别是边 的中点 求证：四边形EFGH是平行四边形 求证：四边形 是平行四边形
平行线的定义： 同一平面内，不相交的两条直线叫做 平行线的定义： 同一平面内，不相交的两条直线叫做 平行线。 平行线。 平行公理： 过直线外一点，有且只有一条直线和已知 平行公理： 过直线外一点，有且只有一条直线和已知 直线平行。 直线平行。 平面平行线的传递性： 平面平行线的传递性： 如果两条直线都与第三条直线平 那么这两条直线也互相平行。 行，那么这两条直线也互相平行。
γ γ
β
γ β
β
想一想
首尾顺次连接四个点A,B,C,D，那么构成 ， 首尾顺次连接四个点 的四边形一定是平面图形吗 的四边形一定是平面图形吗？
空间中的平行关系
α
①②④
5.空间四边形ABCD，若M、N分别为对角线BD、AC 的中点，AB＝CD＝2，MN＝ 2，则AB与CD所成 的角等于( 90 0)
A
N B M C D
类型一:直线与平面平行的判定 类型一 直线与平面平行的判定 例1:如图所示,已知P,Q是正方体 ABCD --- A1B1C1D1的面 A1 B1 BA 和面 ABCD 的中心. 证明:PQ ∥ BCB1C1
例3:如图，在正方体ABCD－A’B’C’D’中，M是A’B’的中 点，求异面直线AC与BM所成角的余弦值。
D A C B
D' A' M
N B'
C'
小结． 小结 线线平行、线面平行、面面平行的转化
• 两平面平行问题常常转化为直线与平面平行， 而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行， 所以注意转化思想的应用，以下为三种平行关 系相互转化的示意图．
类型二:面面平行的判定 类型二 面面平行的判定 例2:如右图所示，正三棱柱 ABC _ A1 B1C1 各棱长为4，E、F、 G、H分别是AB、AC、 A1C1 、A1 B1 的中点，求证：(1)平 面 A1 EF ∥平面BCGH.(2)求三棱锥 A1 __ AEF 的体积
、
类型三:异面直线所成的角 类型三 异面)BC∥l. • 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BC∥AD. ⊄ ⊂ • 又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， ∴BC∥平面PAD. • 又BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝ ⊂ l.∴BC∥l.
• • • • • • • • •
(2)MN∥平面PAD. 证明：取CD的中点E，连结ME、NE. ∵M、N分别为AB、PC的中点， ∴ME∥AD，NE∥PD. 又ME⊄平面PAD，NE⊄平面PAD， ∴ME∥平面PAD，NE∥平面PAD， 又ME∩NE＝E， ∴平面MNE∥平面PAD. 而MN⊂平面MNE.∴MN∥平面PAD.
空间几何中的平行关系
空间几何中的平行关系在空间几何中，平行关系是一种重要而基础的数学概念。
平行关系常常出现在我们的日常生活和工作中，例如平行线、平行四边形等。
本文旨在介绍空间几何中平行关系的定义和性质，并探讨平行关系在实际问题中的应用。
一、平行关系的定义在空间几何中，平行关系是指两条或多条线段或线的方向相同，永不相交的关系。
给定两条直线l1和l2，在平面上，如果l1和l2除了一个公共点之外，其他点都不相交，那么我们就说l1和l2平行。
同样地，在空间中，如果两条直线l1和l2除了一个公共点之外，其他点都不相交，那么我们就说l1和l2平行。
二、平行关系的性质1. 平行关系是传递的。
如果直线l1与直线l2平行，直线l2与直线l3平行，则直线l1与直线l3也平行。
2. 平行关系是对称的。
如果直线l1与直线l2平行，则直线l2与直线l1平行。
3. 平行关系是自反的。
任意一条直线与自身平行。
4. 如果两个平行线分别与一条横截线相交，那么所得的对应角相等。
基于以上性质，我们可以利用平行关系进行推理和证明。
在解决几何问题时，通过判断线段或线的平行关系，我们可以简化问题，找到更加简洁和优雅的解决方法。
三、平行关系在实际问题中的应用在日常生活和工作中，平行关系的应用广泛而深入。
以下是一些平行关系的典型应用示例：1. 建筑工程：在建筑设计和施工中，平行关系的应用非常常见。
例如，在设计一座桥梁时，需要确保桥墩和主梁是平行的，以保证结构的稳定性和美观性。
2. 路网规划：在城市交通规划中，平行道路的设计可以提高交通效率和道路利用率。
平行的道路可以更好地满足不同方向的交通需求，减少交通堵塞和拥堵。
3. 平行投影：在工程和科学领域中，平行投影广泛应用于制图和测量中。
通过选择适当的平行方向，我们可以更准确地表达三维物体的形状和大小。
4. 机械设计：在机械设计中，平行关系的应用可以确保机器部件的精确安装和运动。
例如，在设计一台车床时，需要保证主轴和工作台的平行关系，以确保加工的精度和质量。
空间中的平行关系方法总结
空间平行方法总结
平行关系：线线平行、线面平行、面面平行
线线平行：两直线平行必定共面，所以线线平行问题在空间中只是作为证明线面平行或者面面平行的工具使用，不会直接考查。
常见的线线平行有：（1）平行四边形对边平行；（2）三角形的中位线平行对应边；（3）两平行平面与第三个平面相交，则两条交线平行（面面平行的性质定理）；（4）垂直于同一平面的两直线平行；（5）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这条直线相交，那么这条直线和交线平行（线面平行的性质定理）；（6）平行的传递性；
线面平行：线面平行判定定理为，平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
所以线面平行的核心归结为证明线线平行。
面面平行：面面平行的判定定理为，一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
既证明两平面平行只需证明两条相交线与一个平面平行即可，所以面面垂直归结为线线垂直。
总结：在空间平行关系中主要为:线线平行、线面平行、面面平行，考查题目主要类型为线面平行和面面平行，面面平行通过证明两组线面平行，线面平行通过证明线线平行，所以要熟练掌握线线平行的证明，也是空间中平行的核心内容。
空间几何中的平行关系
空间几何中的平行关系在空间几何中，平行关系是一种重要的几何关系，指的是两条直线或两个平面在空间中永远不会相交的关系。
平行关系在几何学和实际应用中都具有广泛的应用价值。
一、直线的平行关系在空间几何中，两条直线间的平行关系具有以下特点：1. 定义：两条直线平行意味着它们在同一平面上，且不会相交。
即使无限延长，其距离也始终保持相等。
2. 判定方法：有多种方法可以判定两条直线的平行关系，其中常用的方法包括：a. 利用角度：如果两条直线被一条横直线割，且交角为180度，则这两条直线平行。
b. 利用距离：通过测量两条直线上的任意两点之间的距离，如果这些距离都相等，则这两条直线平行。
c. 利用斜率：对于平面直角坐标系中的直线，如果两条直线的斜率相等，则它们平行。
斜率可以通过直线上两个点的坐标来计算。
二、平面的平行关系空间几何中，两个平面间的平行关系具有以下特点：1. 定义：两个平面平行意味着它们没有交点，且两个平面的法向量方向相同或相反。
2. 判定方法：通常使用以下方法判断两个平面的平行关系：a. 利用两个平面上的法向量：如果两个平面的法向量方向相同或相反，则这两个平面平行。
b. 利用平面与直线的关系：若一条直线与两个平面都平行，则这两个平面平行。
c. 利用距离：通过测量两个平面上的任意一对平行线的距离，如果这些距离都相等，则这两个平面平行。
三、平行关系的实际应用平行关系在实际生活和工程中有着广泛的应用。
以下是一些实例：1. 建筑设计：在建筑设计中，平行关系用于确定建筑物的结构和平面。
例如，平行的墙面可以使建筑物的立面更加美观。
2. 道路规划：平行关系可应用于道路规划和设计中，以确保道路与建筑物等结构物保持相对平行。
3. 电路布线：在电路设计中，平行关系可以用于布线，以减少不必要的干扰和电磁辐射。
4. 制图和制图艺术：平行线和平行面在制图和制图艺术中经常出现，通过运用平行线和平行面的原则，可以制作出美观且准确的图纸。
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1．空间两条互相平行的直线指的是( ) A．在空间没有公共点的两条直线 B．分别在两个平面内的两条直线 C．分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D．在同一平面内且没有公共点的两条直线
答案：D
2.
(
设 AA1 是正方体的一条棱， 这个正方体中与 AA1 平行的棱共有 ) A．1 条 B．2 条 C ．3 条 D．4 条
如图：空间四边形ABCD中， AC、BD是它的对角线
空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，如下图
中的两种空间四边形ABCD和ABOC.
空间两条直线的位置关系有三种：
位置关系 相交直线 共面情况 在同一平面内 公共点个数 有且只有一个
平行直线
异面直线
在同一平面内
不在任何一平面内
没 有
没 有
类型一 基本性质 4 的应用 【例 1】
变式训练 1 已知棱长为 a 的正方体 ABCD－A′B′C′D′ 中，M、N 分别为 CD、AD 的中点． 求证：四边形 MNA′C′是梯形．
证明：如图，连结 AC，
1 ∵M、N 分别为 CD、AD 的中点，∴MN=2AC. 1 由正方体的性质可知 AC=A′C′，∴MN=2A′C′.∴四边形 MNA′C′是梯形.
证明：如图所示，在正方体 AC1 中，取 A1B1 的中点 M，连结 BM、MF1，
1 则 BF＝A1M＝2AB. 又 BF∥A1M，
∴四边形 A1FBM 为平行四边形． ∴A1F∥BM. 而 F1，M 分别为 C1D1，A1B1 的中点，则 F1M 綊 C1B1. 而 C1B1 綊 BC，∴F1M∥BC，且 F1M＝BC.
答案：C
3．空间中有两个角 α，β，它们的两边互相平行，且 α＝60° ， 则 β 为( ) A．60° B．120° C．30° D．60° 或 120°
பைடு நூலகம்
答案：D
4．如图所示，在一个长方体木块的 A1C1 面上有一点 P，过 P 点作一条直线和棱 CD 平行，应________．
答案：过点 P 作 C1D1 的平行线
5．如图所示，点 S 在平面 ABC 外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，E、 F 分别是 SC 和 AB 的中点，则 EF 的长是________．
解析：取 SA 中点 M，则 EM∥AC，MF∥SB，且 EM＝1，MF ＝1，
又∵SB⊥AC，∴EM⊥MF， ∴EF＝ EM2＋MF2＝ 2. 答案： 2
(2)由(1)知 EH=FG，∴四边形 EFGH 为平行四边形． ∵EH 为△ABD 的中位线，∴EH∥BD， 又 HG 是△ADC 的中位线，∴HG∥AC. 又 AC⊥BD，∴EH⊥HG， 又 EFGH 为平行四边形，∴EFGH 为矩形.
点评 空间中证明两直线平行的方法有： 1.借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质，平行四边形 的性质，用成比例线段证平行等． 2.利用基本性质 4 证明，即证明两直线都与第三条直线平行.
∴四边形 F1MBC 为平行四边形， ∴BM∥F1C.又 BM∥A1F，∴A1F∥CF1. 同理取 A1D1 的中点 N，连结 DN，E1N，则 A1N 綊 DE， ∴四边形 A1NDE 为平行四边形．∴A1E∥DN. 又 E1N∥CD，且 E1N＝CD， ∴四边形 E1NDC 为平行四边形， ∴DN∥CE1.∴A1E∥CE1. ∴∠EA1F 与∠E1CF1 的两边分别对应平行． 即 A1E∥CE1，A1F∥CF1， ∴∠EA1F＝∠E1CF1.
4. 等角定理：
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且
方向相同，那么这两个角相等. 已知：如图所示，∠BAC和∠B1A1C1 的边AB//A1B1，AC//A1C1，且射线AB 与A1B1同向，射线AC与A1C1同向，
求证：∠BAC=∠B1A1C1.
证明：对于∠BAC和∠B1A1C1在同一个平面内的情形，在初中 几何中已经证明， 下面证明两个角不在同一平面内的情形。
分别在∠BAC的两边和∠B1A1C1的两 边上截取线段AD=A1D1和AE=A1E1. 因为AD/ / A1D1 ，所以AA1D1D 是平行 四边形， 所以 AA1 / /DD1 同理可得 AA1 / /EE1 所以DD1E1E是平行四边形。 在△ADE和△A1D1E1中. AD=A1D1，AE=A1E1，DE=D1E1， 于是△ADE≌△A1D1E1， 所以∠BAC=∠B1A1C1.
类型二
等角定理的应用
【例 2】 如图在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F，E1，F1 分别为棱 AD，AB，B1C1，C1D1 的中点．求证：∠EA1F＝∠E1CF1.
思维启迪：解答本题可先证明角的两边分别平行，即 A1E∥ CE1，A1F∥CF1.然后根据等角定理，得出结论．即： 取A1B1中点M → 证A1FBM为平行四边形 → A1F∥BM → 证F1MBC为平行四边形 → BM∥F1C → A1F∥F1C 取A1D1中点N → 证A1NDE为平行四边形 → A1E∥DN → 证CDNE1为平行四边形 → DN∥CE1 → A1E∥CE1
如图所示，已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点． (1)求证：E，F，G，H 四点共面； (2)若 AC⊥BD，求证：四边形 EFGH 是矩形．
证明：
(1)如图所示，连结 EF，FG，GH，HE，在△ABD 中， ∵E，H 分别是 AB，AD 的中点， 1 ∴EH∥BD，EH＝2BD， 1 同理 FG∥BD，FG＝2BD， ∴EH 綊 FG，∴E，F，G，H 四点共面．
1.2.2空间中的平行关系
一. 平行直线
1. 平行直线的定义：同一平面内不相交的两条直线叫 做平行线.
2. 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和这条 直线平行. 3. 基本性质4：平行于同一直线的两条直线互相平行
符号记作： a // b, b // c a // c 此性质又叫做空间平行线的传递性
点评 证明角的相等问题， 等角定理及其推论是较常用的方法． 另外， 通过证明三角形的相似或全等也可以完成角的相等的证明.
变式训练 2
如图所示，不共面的三条直线 a，b，c 交于点 O，在点 O 的同 OA OB OC OA 侧分别取点 A 和 A1， B 和 B1， C 和 C1， 使得OA ＝OB ， ＝OA . 1 1 OC1 1 求证：△ABC∽△A1B1C1.
OA OB OA OC 解析：∵OA ＝OB ，OA ＝OC ， 1 1 1 1 OA1 OB1 OC1 ∴ OA ＝ OB ＝ OC . 在平面 OAB 和平面 OAC 中，有 A1B1∥AB，A1C1∥AC. 又 A1B1 和 AB，A1C1 和 AC 的方向相同． ∴∠BAC＝∠B1A1C1. 同理∠ABC＝∠A1B1C1， ∴△ABC∽△A1B1C1.
思考：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相 反，两个角什么关系？
思考：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且一组 对边方向相同，另一组对边方向相反，两个角什么关系？
5. 空间四边形的有关概念：
（1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D所构成的图形， 叫做空间四边形； （2）四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； （3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边； （4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线。 （5）空间四边形的表示：空间四边形ABCD