函数单调性第一课时(经典总结)解析
专题3.3 函数的单调性(基础)(解析版).
专题3.3函数的单调性知识点一增函数与减函数的定义前提条件设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I 条件∀x 1，x 2∈D ，x 1<x 2都有f (x 1)<f (x 2)都有f (x 1)>f (x 2)图示结论f (x )在区间D 上单调递增f (x )在区间D 上单调递减特殊情况当函数f (x )在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当函数f (x )在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数知识点二函数的单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．知识点三函数的最大值与最小值最大值最小值条件一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：∀x ∈I ，都有f (x )≤Mf (x )≥M∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论称M 是函数y ＝f (x )的最大值称M 是函数y ＝f (x )的最小值几何意义f (x )图象上最高点的纵坐标f (x )图象上最低点的纵坐标知识点四求函数最值的常用方法1．图象法：作出y ＝f (x )的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．2．运用已学函数的值域．3．运用函数的单调性：(1)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则y max ＝f (b )，y min ＝f (a )．(2)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则y max ＝f (a )，y min ＝f(b )．4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．函数单调性的判断与证明(1)取值并规定大小：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2；(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)或f (x 2)－f (x 1)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，转化为易判断正负的关系式；(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)或f (x 2)－f (x 1)的符号，当符号不确定时，进行分类讨论．(4)结论：根据定义确定单调性．【例1】用单调性定义判断函数21()2x f x x +=-在区间(2,)+∞上的单调性，并求()f x 在区间[3，6]上的最值．【解答】解：设122x x <<，则122112*********()()()22(2)(2)x x x x f x f x x x x x ++--=-=----，122x x <<，210x x ∴->，120x ->，220x ->，2112125()()()0(2)(2)x x f x f x x x -∴-=>--，即12()()f x f x >∴函数()f x 在区间(2,)+∞上是减函数．∴函数()f x 在区间[3，6]上是减函数．()f x ∴的最大值为f （3）7=，()f x 的最小值为f （6）134=．【变式训练1】已知函数2()4xf x x =-，(2,2)x ∈-．用定义法证明：函数()f x 在(0,2)上单调递增；【解答】证明：任取1220x x >>>，则1212121222221212()(4)()()44(4)(4)x x x x x x f x f x x x x x -+-=-=----，因为1220x x >>>，所以2212121240,40,40,0x x x x x x ->->+>->，所以12()()0f x f x ->，所以()f x 在(0,2)上单调递增；【变式训练2】已知函数1()(0)xf x ax a ax-=+>（1）利用函数单调性的定义，判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；【解答】解：函数111()(0)x f x ax ax a ax ax a-=+=+->，∴任取1x 、2(0,)x ∈+∞，且12x x <，2121212121212()(1)1111()()()()x x a x x f x f x ax ax ax a ax a ax x --∴-=+--+-=；又120x x <<，0a >；120x x ∴-<，当1210x x a<<<时，21210a x x -<，12()()f x f x ∴>，()f x 是减函数；当121x x a<<时，21210a x x ->，12()()f x f x ∴<，()f x 是增函数；∴函数()f x 在1(0,)a上是减函数，在1(a，)+∞上是增函数；【变式训练3】利用定义判断函数()f x x =+在区间(,)-∞+∞上的单调性．【解答】解：()f x x =+(,)-∞+∞上，可以设12x x <可得1212()()(f x f x x x -=+=12()x x -+-221212()()(1x x x x =-+-+12(x x =-，10x >20x +>又12x x <，120x x -<，12()(10x x ∴-+<，12()()f x f x ∴<，()f x ∴在区间(,)-∞+∞上为增函数，同故函数()f x x =+在区间(,)-∞+∞上为增函数求函数的单调区间求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解．(2)利用函数的图象提醒：若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”号【例2】函数1()f x x=的单调减区间是()A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(-∞，0)(0⋃，)+∞D ．(,0)-∞和(0,)+∞【解答】解：根据题意，函数1()f x x =，其定义域为{|0}x x ≠其导数21()f x x'=-，分析可得：当0x >时，()0f x '<，即函数()f x 在(0,)+∞上为减函数，当0x <时，()0f x '<，即函数()f x 在(,0)-∞上为减函数；综合可得：函数1()f x x=的单调减区间是(,0)-∞和(0,)+∞；故选：D ．【变式训练1】函数221x y x -=+的单调递增区间是(,1)-∞-和(1,)-+∞．【解答】解：函数224211x y x x -==-++，可得函数221x y x -=+的增区间为(,1)-∞-和(1,)-+∞．故答案为：(,1)-∞-和(1,)-+∞．【变式训练2】函数2|21|y x x =-++的单调递增区间为[1-，1]和[1+，)+∞．【解答】解：画出函数2|21|y x x =-++图象如图，2210x x -++=，可得11x =-，21x =+由图知函数的增区间为[11]和[1+)+∞，故答案为：[1，1]和[1)+∞．【变式训练3】下列函数中，在(2,)+∞上单调递增的是()A ．()|3|f x x =-B ．1()f x x x=+C ．3()2f x x x=+D ．3,3()23,3xx x f x x +<⎧=⎨-⎩ 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，函数3,3()|3|3,3x x f x x x x -⎧=-=⎨-<⎩ ，在(2,3)上单调递减，在[3，)+∞上单调递增，故A 错误；对于B ，函数1()f x x x=+，是勾型函数，在(2,)+∞上单调递增，故B 正确；对于C ，3()2f x x x =+，是二次函数，在(2,)+∞上单调递增，故C 正确；对于D ，函数3,3()23,3x x x f x x +<⎧=⎨-⎩在(,3)-∞和[3，)+∞上单调递增，故D 错误；故选：BC ．【变式训练4】已知函数()||2f x x x x =-的单调增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞．【解答】解：0x 时，2()2f x x x =-，对称轴1x =，开口向上，在(1,)+∞递增，0x <时，2()2f x x x =--，对称轴1x =-，开口向下，在(,1)-∞-递增，∴函数的递增区间是：(,1)-∞-和(1,)+∞，故答案为：(,1)-∞-和(1,)+∞．函数单调性的应用【例3】已知函数()f x 在R 上单调递减，若(4)()f a f a +- ，则实数a 的取值范围是()A ．[2-，)+∞B ．(-∞，2]-C ．(2,)-+∞D ．(,2)-∞-【解答】解：函数()f x 在R 上单调递减，(4)()f a f a +- ，所以4a a +- ，解得2a - ，即实数a 的取值范围是(-∞，2]-．故选：B ．【变式训练1】已知函数()y f x =在(0,)+∞上是减函数，若f （a ）(32)f a <-，那么a 的取值范围是()A ．0a >B ．1a <C ．01a <<D ．213a <<【解答】解：函数()y f x =在(0,)+∞上是减函数且f （a ）(32)f a <-，032a a ∴<-<，解得213a <<，故选：D ．【变式训练2】已知()f x 是定义在[1-，1]上的减函数，且(23)(2)f a f a -<-，则实数a 的取值范围是()A ．(1，2]B ．(1，3]C ．(1，4]D ．(1,)+∞【解答】解：因为()f x 是定义在[1-，1]上的减函数，且(23)(2)f a f a -<-，所以1211231232a a a a ----⎧⎪⎨->-⎪⎩ ，解得12a < ．故选：A ．【变式训练3】已知函数()f x 是定义域为R 的递减函数，且(4)()0f x f x -+=，则不等式2(3)(1)0f x x f x ++-<的解集为()A ．(4,0)-B ．(-∞，4)(0-⋃，)+∞C ．(5,1)-D ．(-∞，5)(1-⋃，)+∞【解答】解：因为(4)()0f x f x -+=，所以(4)()f x f x -=-，(1)(5)f x f x -=--，因为2(3)(1)0f x x f x ++-<，即2(3)(1)f x x f x +<--，即2(3)(5)f x x f x +<-，因为函数()f x 是定义域为R 的递减函数，所以235x x x +>-，解得5x <-或1x >．故选：D ．图象法求函数的最值(值域)图象法求函数最值的一般步骤【例4】设函数2()2||1(33)f x x x x =--- ，（1）画出这个函数的图象；（2）指出函数()f x 的单调区间，并说明在各个单调区间上()f x 是增函数还是减函数；（3）求函数的值域．【解答】解：（1）当0x 时，22()21(1)2f x x x x =--=--，当0x <时，22()21(1)2f x x x x =+-=+-，根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图．（2）函数()f x 的单调区间为[3-，1)-，[1-，0)，[0，1)，[1，3]．()f x 在区间[3-，1)-和[0，1)上为减函数，在[1-，0)，[1，3]上为增函数．（3）当0x 时，函数2()(1)2f x x =--的最小值为2-，最大值为f （3）2=；当0x <时，函数2()(1)2f x x =+-的最小值为2-，最大值为(3)2f -=．故函数()f x 的值域为[2-，2]．【变式训练1】已知定义在[5-，5]上的函数()f x 的图象如图所示．（1）写出()f x 的单调区间；（2）若()f x 在(1,2)a a -上单调递减，求a的取值范围．【解答】解：（1）由图象可知：()f x 的单调递增区间为[5-，2]-和[1，5]，单调递减区间为[2-，1]；（2）函数()f x 的单调递减区间为[2-，1]，∴122112a a a a--⎧⎪⎨⎪-<⎩ ，解得112a -< ，a ∴的取值范围为(1-，12．利用函数的单调性求函数的最值(1)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最大值为f (b )，最小值为f (a )．(2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则f (x )的最大值为f (a )，最小值为f (b )．(3)若函数y ＝f (x )有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．(4)如果函数定义域为闭区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．【例5】函数1()1f x x =-在区间[2，6]上的最大值和最小值分别是()A ．15，1B ．1，15C ．17，1D ．1，17【解答】解：根据题意，函数11y x =-在区间[2，6]上单调递减，所以当2x =时，()f x 取最大值f （2）1=，当6x =时，()f x 取最小值f （6）15=，故选：B ．【变式训练1】对于任意的实数x ，已知函数2,1()2,1x x f x x x ⎧=⎨->⎩ ，则()f x 的最大值是()A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解答】解：函数2,1()2,1x x f x x x ⎧=⎨->⎩的图象如下所示：由函数图象可知，当1x =时，函数取得最大值()max f x f =（1）1=．故选：C ．【变式训练2】函数|||3|y x x =--的最大值为()A ．2B ．4C ．3D ．1【解答】解：①若0x <，)|||3|(3)3fx x x x x =--=---=-；②03x ，()|||3|(3)23f x x x x x x =--=--=-，3()3f x ∴- ；③3x >，()|||3|(3)3f x x x x x =--=--=，综上3()3f x - ，故选：C ．【变式训练3】设函数2()2xf x x =-在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则(M m +=)A ．4B ．6C ．10D ．24【解答】解：因为2(2)44()222x f x x x -+==+--，所以()f x 在[3，4]上是减函数．所以m f =（4）4=，M f =（3）6=．所以6410M m +=+=．故选：C ．【例6】已知函数21()1x f x x +=+．（1）用定义法证明()f x 在(1,)-+∞上是增函数；（2）求该函数在区间[2，6]上的最大值与最小值．【解答】解：（1）证明：函数211()211x f x x x +==-++．(1,)x ∈-+∞，设121x x -<<，则2121121211()?()11(1)(1)x x f x f x x x x x -=-=++++，121x x -<<，210x x ∴->，110x +>，210x +>，21()()0f x f x ∴->，即21()()f x f x >．故()f x 在(1,)-+∞上是增函数；（2）根据（1）可知()f x 在区间(1,)-+∞上是增函数；∴函数在区间[2，6]上是增函数；可得()f x 的最小值为f （2）53=，最大值为f （6）137=．【变式训练1】已知函数()1x f x x =+．（1）用定义法证明()f x 在区间(1,)-+∞上是增函数；（2）求函数()f x 在区间[2，5]上的最值，并说明取最值时的x 值．【解答】（1）证明：任取121x x -<<，则1212121212()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=++++，121x x -<<，110x ∴+>，210x +>，120x x -<，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <，()f x ∴在区间(1,)-+∞上单调递增．（2）由（1）可知()f x 在区间[2，5]上单调递增，∴当2x =时，()f x 取得最小值为f （2）23=，当5x =时，()f x 取得最大值为f （5）56=．分类讨论求二次函数的最值(1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．(2)利用二次函数图象，进行分类讨论，提升直观想象的数学素养．【例7】已知函数2()2(1)3f x x a x =--++．①若函数()f x 在区间(-∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是[2，)+∞；②若函数()f x 的单调递增区间是(-∞，3]，则实数a 的值为．【解答】解：函数的对称轴为(1)x a =-+，①由题意可得(1)3a -+ ，则4a - ，所以实数a 的范围为(-∞，4]-；②由题意可得(1)3a -+=，则24a =-故答案为：(-∞，4]-；4-．【变式训练1】若函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(-∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是(-∞，4]-．【解答】解：由于函数2()2(1)3f x x a x =--++的对称轴方程为1x a =--，又由函数在区间(-∞，3]上单调递增，故有13a -- ，求得4a - ，故答案为：(-∞，4]-．【变式训练2】已知函数2()23f x x ax =-+在区间[2，8]上单调递增，则实数a 的取值范围是(-∞，2]．【解答】解：函数2()23f x x ax =-+在区间[2，8]上单调递增，可得2a ．即(a ∈-∞，2]．故答案为：(-∞，2]．【变式训练3】已知2()2(2)5f x x a x =+-+在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是2a - ．【解答】】解：函数22(2)5y x a x =+-+的对称轴为：2x a =-，函数22(2)5y x a x =+-+在区间(4,)+∞上是增函数，24a ∴- ，解得2a - ，故答案为：2a - ．1．函数()|2|f x x =-的单调递增区间为()A ．[2，)+∞B ．[2-，)+∞C ．[0，)+∞D ．(,)-∞+∞【解答】解：当2x 时，()2f x x =-为增函数，此时函数单调递增区间为[2，)+∞，当2x <时，()2f x x =-+为减函数，此时函数单调递减区间为(,2)-∞，故选：A ．二．多选题（共1小题）2．函数2()1x af x x -=+在区间(,)b +∞上单调递增，则下列说法正确的是()A ．2a >-B ．1b >-C ．1b - D ．2a <-【解答】解：根据题意，22(1)22()2111x a x a af x x x x -+--+===-+++，可以由函数2ay x+=-的图象向左平移一个单位，向上平移2个单位得到，若函数2()1x af x x -=+在区间(,)b +∞上单调递增，必有(2)0a -+<且1b - ，解可得：2a >-且1b - ，故选：AC ．三．填空题（共5小题）3．函数(1)(5)y x x =-+在区间(0,)+∞上的单调性是单调递增．（填写“单调递增”或“单调递减”)【解答】解：根据题意，函数2(1)(5)45y x x x x =-+=+-，是开口向上的二次函数，其对称轴为2x =-，在区间(0,)+∞上，单调递增，故答案为：单调递增．4．若函数2()21f x ax x =+-在区间(,6)-∞上单调递增，则实数a 的取值范围是1[6-，0]．【解答】解：根据题意，函数2()21f x ax x =+-在区间(,6)-∞上单调递增，当0a =时，()21f x x =-，符合题意，当0a ≠时，()f x 为二次函数，其对称轴为1x a =-，必有160a a ⎧-⎪⎨⎪<⎩ ，解可得106a -< ，即a 的取值范围为1[6-，0]；故答案为：1[6-，0]．5．()f x =的单调减区间为[1-，1]．【解答】解：()f x =[3-，1]，函数()f x =()f x =223u x x =--+复合而成的，2243(1)7u x x x =--+=-++在(,2)-∞-上递增，在(1,)-+∞上递减，且()f x =在[3-，1]递增，()f x ∴=(,1)-∞-上递增，在(1,)-+∞上递减，∴函数()f x =[1-，1]，故答案为：[1-，1]．6．已知函数()y f x =是开口向上的二次函数，且(1)(1)f x f x -=+、(0)3f =．若()f x 的最小值为2，则函数的解析式为2()23f x x x =-+．【解答】解：设2()(0)f x ax bx c a =++≠，由(0)3f =，可得3c =，(1)(1)f x f x +=-，∴二次函数()f x 的对称轴1x =，即12ba-=，由()f x 的最小值为2可得二次函数()f x 的图象经过点(1,2)，可得2a b c ++=，解得1a =，2b =-，故得()f x 的解析式为：2()23f x x x =-+．故答案为：2()23f x x x =-+．7．若函数2()21f x x mx =+-在区间[1，2]上是单调函数，则实数m 的取值范围是(-∞，8)(4)--+∞．【解答】解：对称轴4m x =-，函数2()21f x x mx =+-在区间[1，2]上是单调函数，则对称轴不在区间内，则14m -或者24m- ；即8m - 或4m - ，实数m 的取值范围是(-∞，8)(4)--+∞．故答案为：(-∞，8)(4)--+∞．四．解答题（共7小题）8．已知函数2()(0)1x af x a x -=>+，若不等式()1f x - 的解集为(,1)[0-∞-，)+∞．（1）求实数a 的值；（2）证明函数()f x 在[0，)+∞上是增函数．【解答】解：（1）由题意211x ax --+ ，变形2311011x a x a x x --++=++ ，这等价于(31)(1)0x a x -++ 且10x +≠，解得1x <-或13a x - ，所以103a -=，解得1a =．（2）由（1）得21()1x f x x -=+，任取1x ，2[0x ∈，)+∞，且12x x <，则210x x ->，那么212121*********()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x ----=-=++++，210x x ->，12(1)(1)0x x ++>，21()()0f x f x ∴->，∴函数()f x 在[0，)+∞上是增函数．9．已知函数4()1f x x x =++．（1）求()y f x =在(1,)-+∞上的最小值，并求此时x 的值；（2）设()()2g x f x x =--，由定义证明：函数()y g x =在区间(,1)-∞-上是严格减函数．【解答】（1）解：因为1x >-，所以10x +>，所以44()111311f x x x x x =+=++--=++ ，当且仅当411x x +=+，即1x =时等号成立，所以()y f x =在(1,)-+∞上的最小值为3，此时1x =．（2）证明：44()2211g x x x x x =+--=-++，任取121x x <<-，211212124()44()()11(1)(1)x x g x g x x x x x --=-=++++，由121x x <<-，可得110x +<，210x +<，210x x ->，所以12()()0g x g x ->，即12()()g x g x >，所以函数()y g x =在区间(,1)-∞-上是严格减函数．10．已知函数2()2||21f x x a x a ax =---+，a R ∈．（Ⅰ）求当1a =时，函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 有2个零点，求a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，22243,1()2|1|211,1x x x f x x x x x x ⎧-+=---+=⎨-<⎩，所以函数()f x 在(1,2)，(,0)-∞上单调递减，函数()f x 在(0,1)，(2,)+∞上单调递增．（Ⅱ）当x a 时，22()421f x x ax a =-++，当x a <时，22()21f x x a =-+，①当0a =时，2()1f x x =+没有零点，不符合题意；②当0a >时，()f x的草图如下：若函数()f x 有两个零点，则2(0)(2)120f f a a ==-=或f （a ）210a =-<，解得22a =或1a >．③当0a <时，()f x 的草图如下：若函数()f x 有两个零点，则f （a ）210a =-<，解得1a <-，综上所述，a 的取值范围为：(-∞，1)(1-⋃，2){}2+∞．11．已知()()xf x x a x a=≠-．（1）若0a >且()f x 在(2,)+∞内单调递减，求a 的取值范围．（2）在（1）的条件下，函数2()23g x x x m =-+++，[x a ∈，2]a +的图象都在直线5y =上方，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）任取1x ，2(2,)x ∈+∞，且12x x <，则1221121212()()()()()x x a x x f x f x x a x a x a x a --=-=----，()f x 在(2,)+∞内单调递减，12()()0f x f x ∴->，又0a >，210x x ->，12()()0x a x a ∴-->在(2,)+∞上恒成立，2a ∴ ，a ∴的取值范围为：(0，2]；（2）函数2()23g x x x m =-+++，[x a ∈，2]a +的图象都在直线5y =上方，2235x x m ∴-+++>在[x a ∈，2]a +上恒成立，即222m x x >-+在[x a ∈，2]a +上恒成立，又(0a ∈，2]，∴当2a =时，4x =时，函数222y x x =-+取最大值，最大值为10，10m ∴>，∴实数m 的取值范围为：(10,)+∞．12．已知函数23,[1,2]()3,(2,5].x x f x x x ⎧-∈-=⎨-∈⎩（1）在图1给定的直角坐标系内画出()f x 的图象；（2）写出()f x 的单调区间，并指出单调性；（3）写出函数()f x的最大值和最小值．【解答】解：（1）图象如图所示：（2）由图象可知，函数()f x 在[1-，0])和(2，5]上单调递增，在[0，2)上单调递减，（3）由图象可知，函数的最大值为3，最小值为1-．13．已知函数2()3||f x x x x a =+-，其中0a >（Ⅰ）当2a =时，写出函数()f x 的减区间．（Ⅱ）若函数()f x 在区间(,)m n 上既有最大值又有最小值，求m ，n 的取值范围（用a 表示）．【解答】解：（Ⅰ）当2a =时，2246,2()26,2x x x f x x x x ⎧-=⎨-+<⎩ ，即22394(,244()392(),222x x f x x x ⎧--⎪⎪=⎨⎪--+<⎪⎩ ，所以函数()f x 的递减区间是3(,2)2；（Ⅱ）2243,()23,x ax x af x x ax x a ⎧-=⎨-+<⎩，即2222394(),816()392(),48a a x x a f x a a x x a⎧--⎪⎪=⎨⎪--+<⎪⎩，（图象如下）要使函数()f x 在区间(,)m n 内既有最大值又有最小值，则最小值一定在x a =处取得，最大值在34x a =处取得；而f （a ）2a =，在区间(,)a -∞内，函数值为2a 时12x a =，所以1324a m a < ；又239()48f a a =，而在区间(,)a +∞内函数值为298a时，38x a +=，所以38a n +<．（注：若答案写成3,4m a n a <>，至少扣5分）14．已知函数2()f x x=，([2,6])x ∈．（1）用定义法证明()f x 是减函数．（2）求函数()f x 的最大值和最小值．【解答】（1）证明：设任意实数1[2x ∈，6]，2[2x ∈，6]，且12x x <，210x x ∴->，120x x >，212112122()22()()0x x f x f x x x x x -∴-=-=>，即21()()f x f x >，故函数()f x 是定义域上的减函数．（2）解：由（1）知()f x 是定义域上的减函数，()max f x f ∴=（2）1=，()min f x f =（6）13=．。
高一数学复习知识讲解课件25 单调性与最大(小)值(第1课时) 函数单调性
3.2函数的基高一数学复习知3.2.1单调性与最大函数单调数的基本性质复习知识讲解课件最大(小)值(第1课时)数单调性在区间D上单调递增在区间D上单调递减要点2 函数的单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上__________这一区间具有_________________，区间注意：(1)函数单调性关注的是整个区间单调递增或(严格的)单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D ⊆定义域I .(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大_______________，那么就说函数y ＝f (x )在区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．个区间上的性质，单独一点不存在单调性递增或单调递减义域，则该点处区间可开可闭，若区间端可能大．3．通过上面两道题，你对函数的单调 答：函数单调性定义中的，必须是x 1x 2时，要注意保持其任意性．的单调性定义有什么新的理解？ 必须是任意的，应用单调性定义解决问题课时学案探究1 (1)证明函数的单调性的常用方是：①取值，在给定区间上任取两个自变量进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式根据条件判断f (x 1)－f (x 2)变形后的正负；(2)讨论函数的单调性常见有两种：一种数在定义域的子区间上具有不同的单调性常用方法是利用函数单调性的定义，其步骤自变量x 1，x 2；②作差变形，将f (x 1)－f (x 2)形式，且含有x 1－x 2的因式；③判断符号，；④得出结论．一种是参数对单调性的影响，一种是函调性．思考题2 (1)如图所示为函数f (x )的图________________________，单调递减区间[－1，0]，[1，2]，[3，4] 的图象，其单调递增区间是_________减区间是________________________．[0，1]，[2，3](2)【多选题】设f (x )，g (x )都是单调函数A ．若f (x )单调递增，g (x )单调递增，B ．若f (x )单调递增，g (x )单调递减，C ．若f (x )单调递减，g (x )单调递增，D ．若f (x )单调递减，g (x )单调递减，调函数，则下列命题中正确的是()，则f (x )－g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增BC ，则f (x )－g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减探究3求函数的单调区间常用方法方法：①图象法；②利用已知函数的单调性；③定义法．课 后 巩 固1．函数y＝x2－6x＋10在区间(2，A．减函数C．先减后增函数4)上是()B．增函数CD．先增后减函数2．设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是(A ．f (x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)>f (x 2) 的单调递增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，)D B ．f (x 1)<f (x 2) D ．不能确定3．函数y ＝|x |－1的单调递减区间为A ．(0，＋∞) C ．(－∞，－1)解析解析 y ＝|x |－1＝x －1，x ≥0，－x －1，x <0，易知( )B ．(－∞，0)B D ．(－1，＋∞)易知其单调递减区间为(－∞，0)．故选B.4．【多选题】已知四个函数的图象如的函数是()BC图象如图所示，其中在定义域内具有单调性自助 餐一、证明单调性的探究1 单调性的证明证明某个函数在给定区间上的单调性明．它的步骤如下：第一步：取值．设x 1，x 2是给定区间上第二步：作差变形．写出差式f (x 1)方等手段，向有利于判断差的符号的方向变形式．第三步：判断符号．根据已知条件，第四步：下结论．根据定义，作出结论调性的方法与技巧调性，最常用的方法就是用定义去证区间上的任意两个自变量的值，且x 1<x 2. －f (x 2)，并且通过提取公因式、通分、配方向变形，一般写成几个最简因式相乘的，确定f (x 1)－f (x 2)的符号． 出结论．(5)图象变换对单调性的影响．①上下平移不影响单调区间，即y ②左右平移影响单调区间．如＝2的减y x 间为(－∞，－1]．③y ＝kf (x )，当k ＞0时单调区间与f (x＝f (x )和y ＝f (x )＋b 的单调区间相同． 的减区间为－∞，，＝＋2的减区(0]y (x 1))相同，当k ＜0时与f (x )相反．例2 已知f (x )>0在R 上恒成立，并且满f (x )>1，求证：f (x )在R 上是增函数．【证明证明】】 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则∵x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1，又f (x )＞0在R 上恒成立∴f (x 2)＝f ((x 2－x 1)＋x 1)＝f (x 2－x 1)·f (∴f (x )在R 上是增函数． 并且满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，当x >0时，则x 2－x 1>0，成立，x 1)>f (x 1)．。
5.3.1函数的单调性(第一课时)课件(人教版)
利用导数判断含参函数的单调性
例
2：函数
f
(
x
)
1 ＝ ax
2－(
a＋1)
x
＋lnx
，a>0，试讨论函数
f(
x
)
的单调性．
2
解：函数的定义域为(0，＋∞),
1 ax2－(a＋1)x＋1 (ax－1)(x－1)
f′(x)＝ax－(a＋1)＋ ＝
＝
，
x
x
x
1
1
1
1，
①当 0<a<1 时， >1，∴x∈(0,1)和( ，＋∞)时，f′(x)>0；x∈ a 时，f′(x)<0，
a
a
1
1
0，
，1
∴函数 f(x)在 a 和(1，＋∞)上单调递增，在 a 上单调递减，
利用导数判断含参函数的单调性
综上所述，
1
1
，＋∞
1，
当 0<a<1 时，函数 f(x)在(0,1)和 a
上单调递增，在 a 上单调递减；
当 a＝1 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
1
1
0，
，1
当 a>1 时，函数 f(x)在 a 和(1，＋∞)上单调递增，在 a 上单调递减．
RART 02
函数的单调性与导数
函数的单调性
思考：视察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.
y y＝x
O
x
(1)
y
y＝x2
O
x
(2)
y
y＝x3
O
x
y y＝x-1
O
x
(3)
函数的单调性(解析版)
考点10 函数的单调性【命题解读】考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；【基础知识回顾】1. 函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)(或都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．(2)如果函数y ＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．2. 函数单调性的图像特征对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．3. 复合函数的单调性对于函数y ＝f(u)和u ＝g(x)，如果当x ∈(a ，b)时，u ∈(m ，n)，且u ＝g(x)在区间(a ，b)上和y ＝f(u)在区间(m ，n)上同时具有单调性，则复合函数y ＝f(g(x))在区间(a ，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．4. 函数单调性的常用结论(1)对∀x 1，x 2∈D(x 1≠x 2)，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f(x)在D 上是增函数； f ()x 1－f ()x 2x 1－x 2<0⇔f(x)在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax (a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a ，＋∞)，减区间为(－a ，0)和(0，a)． (3)在区间D 上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y ＝f(u)和u ＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”5.常用结论1．若函数f (x )，g (x )在区间I 上具有单调性，则在区间I 上具有以下性质： (1)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，f (x )＋g (x )是增(减)函数；(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反； (4)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”． 2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，则(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．1、函数y ＝x 2－5x －6在区间[2，4]上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增函数D ．先递增再递减函数【答案】C【解析】作出函数y ＝x 2－5x －6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x ＝52，在[2，4]上先减后增．故选C.2、函数y ＝1x －1在[2，3]上的最小值为( )A ．2 B.12 C.13 D ．－12【答案】B【解析】 因为y ＝1x －1在[2，3]上单调递减，所以y min ＝13－1＝12. 故选B.3、已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23【答案】D【解析】因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1<13， 解得12≤x <23.故选D.4、设函数f(x)在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是(D )A. y ＝1f （x ）在R 上为减函数 B. y ＝|f (x )|在R 上为增函数C. y ＝－1f （x ）在R 上为增函数 D. y ＝－f (x )在R 上为减函数 【答案】D.【解析】 如f (x )＝x 3，则y ＝1f （x ）的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在x ＝0时无意义，A 、C 错；y ＝|f (x )|是偶函数，在R 上无单调性，B 错．故选D.5、对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】BD ．【解析】：若1a >，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，二次函数2(1)y a x x =--开口向上，对称轴102(1)x a =>-，经过原点，可能为A ，不可能为B ．若01a <<，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，二次函数2(1)y a x x =--开口向下，对称轴102(1)x a =<-，经过原点，可能为C ，不可能为D ．故选：BD ．6、函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|；单调递减区间是 ． 【答案】(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；(，(1，1＋2)．【解析】作出函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图像如图所示．由图像可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调增区间为(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1－2)，(1，1＋2)．故应分别考向一函数单调性的证明与判断例1、判断函数f(x)＝x1＋x 2在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．【解析】 函数f （x ）＝21xx +在区间[1，＋∞）上是单调减函数，证明如下： 设x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝1211x x +－2221x x +＝2212212212(1)(1)1)(1)x x x x x x +-+++（＝11122212()(1)1)(1)x x x x x x -++（.∵x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，∴ x 1－x 2<0，1－x 1x 2<0. 又（1＋x 21）（1＋x 22）>0，∴ f （x 1）－f （x 2）>0， 即f （x 1）>f （x 2）.∴ f （x ）＝21xx +在[1，＋∞）上为减函数. 变式1、试讨论函数f (x )＝x ＋kx (k >0)的单调性．【解析】．法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令x 1<x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫x 2＋k x 2－⎝⎛⎭⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝⎛⎭⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－k x 1x 2．因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0． 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)<f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上单调递增． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)>f (x 2)， 即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋kx (k >0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． 法二：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． f ′(x )＝1－kx 2．令f ′(x )>0得x 2>k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )<0得x 2<k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )． 故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． 变式2、试讨论函数f(x)＝axx 2＋1(a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论．【解析】 (方法1)设x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝ax 1x 21＋1－ax 2x 22＋1＝ax 1（x 22＋1）－ax 2（x 21＋1）（x 21＋1）（x 22＋1）＝a[x 1x 22＋x 1－x 2x 21－x 2]（x 21＋1）（x 22＋1）＝a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）. ∵x 1＜x 2，x 2－x 1>0，又a>0，(x 21＋1)(x 22＋1)>0. ∴当x 1，x 2∈(0，1)时，x 1x 2－1<0，从而a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）<0，即f(x 1)－f(x 2)<0⇒f(x 1)<f(x 2)，此时f(x)＝axx 2＋1 (a ＞0)单调递增； 当x 1，x 2∈(1，＋∞)时，x 1x 2－1>0，从而a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）>0，即f(x 1)－f(x 2)>0⇒f(x 1)>f(x 2)，此时f(x)＝axx 2＋1 (a ＞0)单调递减． ∴函数f(x)在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数．方法总结： 1. 判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：取值→作差→变形→确定符号→得出结论其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等．考向二 函数的单调区间例1、求下列函数的单调区间（1）y ＝－x 2＋2|x|＋1；（2）、.函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间是________.【解析】（1）由2221,0-x 21,0x x x x x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩≥，＜，即22(1)2,0-1)2,0.x x y x x ⎧--+⎪=⎨++⎪⎩≥（＜画出函数图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为[－1，0]，[1，＋∞)．（2）y ＝|x |(1－x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x <0 ＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x<0，函数的大致图象如图所示.由图易知函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.变式1、（2019·河北石家庄二中模拟）函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)C ．(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2D.⎝⎛⎦⎤－∞，32和[2，＋∞)【答案】B【解析】y ＝|x 2－3x ＋2|=⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－x 2－3x ＋2，1＜x ＜2.如图所示，函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)．变式2、 函数f(x)＝x ＋12x ＋1的单调减区间为________________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫－∞，－12，⎝⎛⎭⎫－12，＋∞【解析】 因为f(x)＝x ＋12x ＋1＝x ＋12＋122x ＋1＝12＋14⎝⎛⎭⎫x ＋12，且定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≠－12，所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，－12)，(－12，＋∞)．方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域； (2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解考向三 复合函数的单调区间 例3、求下列函数的单调区间(1)f(x)＝x 2－2x －3；（2）212log (32)y x x =-+ 【解析】(2)f(x)＝x 2－2x －3的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．令t ＝x 2－2x －3，∵t ＝x 2－12x －3在x ∈(－∞，－1]上是减函数，在x ∈[3，＋∞)为增函数，又y ＝t 在t ∈(0，＋∞)上是增函数，∴函数f(x)＝x 2－2x －3的单调减区间是(－∞，－1]，单调递增区间是[3，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看成12log y u =与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．由x 2－3x ＋2＞0，解得x ＜1或x ＞2.∴函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)． 又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．而12log y u =在(0，＋∞)上是减函数，∴的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．变式1、函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为（ ）A ．(),0-∞B ．()2,+∞C ．()0,+∞D ．(),2-∞- 【答案】 D【解析】 根据复合函数的单调性判断．因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)． 变式2、函数f (x )＝2x －x 2的单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1【答案】B【解析】令t ＝x －x 2，由x －x 2≥0，得0≤x ≤1，故函数的定义域为[0，1]．因为g (t )＝2t 是增函数，所以f (x )的单调递增区间即t ＝x －x 2的单调递增区间．利用二次函数的性质，得t ＝x －x 2的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，即原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.故选B.方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。
5.3.1函数的单调性(解析版)
5.3.1函数的单调性知识点一.函数的单调性与导数的关系1.一般地，在区间（a，b）上，函数f（x）的单调性与导数f′（x）的正负有如下关系.导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)=0常函数2.一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y=f(x)的单调性∶第1步∶确定函数的定义域；第2步∶求出导数f(x)的零点；第3步∶用f(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.知识点二.函数图象的变化趋势与导数绝对值大小的关系观察函数图象，分析函数的导数绝对值的大小与函数图象的变化关系如表所示.图像导数导数为正，且绝对值越来越大导数为正，且绝对值越来越小导数为负，且绝对值越来越大导数为负，且绝对值越来越小函数值函数值变化越来越快函数值变化越来越慢函数值变化越来越快函数值变化越来越慢图像特点越来越陡峭越来越平缓越来越陡峭越来越平缓题型1求不含参函数的单调区间【例题1】（2021·宁夏·海原县第一中学）函数f(x)=(x−3)e x的单调递减区间是（）A．(−∞,2]B．[0,3]C．[1,4]D．[2,+∞)【答案】A【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系解不等式f′(x)<0进行求解即可.【详解】函数的导数f′x=e x+x−3e x=x−2e x由f′x<0得x−2e x<0，即x−2<0得x<2，即函数的单调递减区间为(−∞,2]，故选：A【变式1-1】1．（2022·云南·昆明一中模拟预测（理））设a为实数，函数f(x)=x3+(a−1)x2−(a+2)x，且f′(x)是偶函数，则f(x)的单调递减区间为（）A．(0,2)B．(−3,3)C．(−1,1)D．(−3,3)【答案】C【分析】求导，结合f′(x)是偶函数得到f′−x=f′x，求出a=1，从而根据f′(x)=3x2−3小于0，求出单调递减区间.【详解】因为f(x)=x3+(a−1)x2−(a+2)x，所以f′(x)=3x2+2(a−1)x−(a+2)，又因为f′(x)是偶函数，所以f′−x=f′x，即3−x2−2a−1x−a+2=3x2+2a−1x−a+2，故a−1=0，即a=1，所以f′(x)=3x2−3，令f′x<0，解得−1<x<1，所以f(x)的单调递减区间为(−1,1).故选：C．【变式1-1】2．（2022·安徽·长丰北城衡安学校高三开学考试）函数f x=x3−x2+x的单调递增区间为______.【答案】−∞,+∞【分析】求出导函数f′x，解不等式f′x≥0即可得到.【详解】由题意知，f x=x3−x2+x定义域为R，f′x=3x2−2x+1，且f′x=3x2−2x+1=3x+23>0在R上恒成立，所以，函数f x=x3−x2+x的单调递增区间为−∞,+∞.故答案为：−∞,+∞【变式1-1】3．（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）己知函数f x=x2+5x+2ln x，则函数f x的单调递增区间是_____________．【答案】(0,+∞)【分析】利用导数法求单调区间即可【详解】函数f x=x2+5x+2ln x，其定义域x x>0，则f′x=2x+5+2×1x=2x2+5x+2x>0在0,+∞恒成立，所以函数f x的单调递增区间是0,+∞.故答案为：0,+∞.【变式1-1】4．（2022·全国·高三专题练习）设函数f(x)=e2x+ln x(x>0)，求f(x)的单调区间．【答案】f x的减区间为0,+∞.【分析】求出导函数f′(x)，由f′(x)>0得增区间，由f′(x)<0得减区间．【详解】f′x=−e2x2+1x=2x−e2x2，当0<x<e2，f′x<0，当x>e2，f′x>0，所以f x的减区间为0,f x+∞.【变式1-1】5．（2021·宁夏·海原县第一中学高二期中（文））已知函数f(x)=x3−x2−x+2.(1)求曲线f(x)在点2,f2处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间.【答案】(1)7x−y−10=0(2)递增区间为(−∞,−13)，(1,+∞)；递减区间为−13,1【分析】（1）求出函数的导函数，再求得f'2=7与f2=4，利用点斜式可求得曲线f(x)在点2,f2处的切线方程；（2）由f′x=3x2−2x−1=x−13x+1，利用导函数f'(x)与函数f(x)的单调性的关系可得答案.【详解】（1）∵f x=x3−x2−x+2，∴f′x=3x2−2x−1=x−13x+1，∴f'2=7，又f2=4，∴曲线f(x)在点2,f2处的切线方程为y−4=7x−2，即7x−y−10=0；（2）∵f′x=3x2−2x−1=x−13x+1，∴当x∈−∞,−∪1,+∞时，f'(x)>0，当x∈−13,1时，f'(x)<0，∴f(x)在(−∞,−13)，(1,+∞)上单调递增，在−13,1上单调递减.∴f(x)的递增区间为(−∞,−13)，(1,+∞)；递减区间为−13,1.题型2含参函数单调区间◆类型1导数为1个根【例题2-1】（2022·上海市金山中学高二期末）已知函数f(x)=a ln x+bx(a,b∈R)．若a=1，求函数y=f(x)的单调区间；【答案】答案见解析.【分析】根据题意，分b≥0和b<0两种情况讨论求解即可；【详解】解：当a=1时，f(x)=ln x+bx，定义域为0,+∞，所以，f′(x)=1x+b=1+bx x，所以，b≥0时，f′(x)≥0在0,+∞上恒成立，故f(x)在0,+∞上单调递增，当b<0时，令f′(x)=0得x=−1b，所以，当x∈0,−f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈−1b,+∞时，f′(x)<0，f(x)单调递减；综上，b≥0时，f(x)在0,+∞上单调递增；b<0时，f(x)在0,上单调递增，在−1b,+∞上单调递减.【变式2-1】1．（2022·江苏·盐城经济技术开发区中学高三阶段练习）已知函数f x=ax−3ln x．讨论函数f x的单调性；【答案】当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(0,3a)上单调递减，在(3a,+∞)上单调递增【分析】对函数f x进行求导，然后对a进行分类讨论，根据导函数值的正负，得到函数的单调区间【详解】由f x=ax−3ln x，得f′(x)=a−3x=ax−3x，x>0，当a≤0时，f′(x)<0，∴f x在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，f′(x)=ax−3x=a⋅(x−3a)x，由x>3a时，f′(x)>0，f x在(3a,+∞)上单调递增，由x<3a时，f′(x)<0，f(x)在(0,3a)上单调递减，∴综上所述，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(0,3a)上单调递减，在(3a,+∞)上单调递增【变式2-1】2.（2007·山东·高考真题（理））设函数f x=ax−a+1ln x+1，其中a≥−1，求f x的单调区间．【答案】答案见解析【分析】求出函数f x的定义域，对实数a的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数f x的增区间和减区间.【详解】函数f x=ax−a+1ln x+1的定义域为−1,+∞，f′x=a−a+1x+1=ax−1x+1.①当−1≤a≤0时，对任意的x>−1，f′x<0，此时，函数f x的减区间为−1,+∞，无增区间；②当a>0时，由f′x<0可得−1<x<1a，由f′x>0可得x>1a.此时，函数f x的减区间为−+∞.综上所述，当−1≤a≤0时，函数f x的减区间为−1,+∞，无增区间；当a>0时，函数f x的减区间为−+∞.【变式2-1】3．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）已知函数f x=e x−ax−1.讨论函数f(x)的单调性；【答案】答案见解析．【分析】求出导函数f′(x)分类讨论确定f′(x)的正负得单调性；【详解】f′(x)=e x−a，a≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在R上是增函数，a>0时，x<ln a时，f′(x)<0，f(x)是减函数，x>ln a时，f′(x)>0，f(x)是增函数，综上，a≤0时，f(x)在R上是增函数，a>0时，f(x)在(−∞,ln a)上是减函数，在(ln a,+∞)上是增函数；【变式2-1】4．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）已知函数f x=e ax−ax a∈R,a≠0,g x=b ln x−x b∈R.讨论函数f x的单调性；【答案】f x在−∞,0单调递减，在0,+∞单调递增【分析】由题意可得f′x=a e ax−a=a e ax−1，按a和x的取值分类讨论f′(x)的正负即可得到f x的单调性；【详解】由题意f′x=a e ax−a=a e ax−1,x∈R，令f′x=0，得x=0，当a>0时，若x>0，则ax>0,e ax>1，所以f′x>0，若x<0，则ax<0，e ax<1，所以f′x<0；当a<0时，若x>0，则ax<0,e ax<1，所以f′x>0，若x<0，则ax>0，e ax>1，所以f′x<0；综上f x在−∞,0单调递减，在0,+∞单调递增.【变式2-1】5．（2022·河南商丘·高三阶段练习（文））已知函数f x=x e x−ax2a∈R，g x=f′x+1−x e x，其中f′x是f x的导函数.讨论函数g x的单调性；【答案】当a≤0时，g x在R上单调递增；当a>0时，g x在−∞,ln a上单调递减，在ln a,+∞上单调递增.【分析】根据题意写出f′x，进而写出g x，对g x进行求导，根据导函数的正负判断原函数的单调性即可；【详解】f′x=x+1e x−2ax，g x=f′x+1−x e x=x+1e x−2ax+1−x e x= 2e x−2ax，g′x=2e x−2a，当a≤0时，对∀x∈R，g′x>0恒成立，故g x在R上单调递增；当a>0时，令g′x<0，解得x<ln a；令g′x>0，解得x>ln a，故g x在−∞,ln a上单调递减，在ln a,+∞上单调递增.◆类型2导数为2个根【例题2-2】（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）设函数f x=ax2+2a−1x−ln x a∈R.讨论f x的单调性；【答案】当a≤0时，f x在区间0,+∞上单调递减；当a>0时f x在区间+∞上单调递增【分析】求出函数的导数，分类讨论a的取值范围，根据导数的正负，即可得答案;【详解】由于f x=ax2+2a−1x−ln x a∈R，则定义域为(0,+∞)，可得：f′x=2ax+2a−1−1x==当a≤0时，∵x>0，∴f′x<0，故f x在区间0,+∞上单调递减；当a>0时，∵x>0，∴由f′x>0可得x>12a，由f′x<0得x<12a，故f x在区间+∞上单调递增.ax3a−1x2−2x−12.【变式2-2】1．（2022·山东淄博·高三期中）已知三次函数f x=1(1)当a=3时，求曲线y=f x在点1,f1处的切线方程，(2)讨论y=f x的单调性.【答案】(1)6x−y−5=0；(2)见解析.【分析】（1）求导可得f′x=9x2+5x−2，利用导数的几何意义，可得曲线y=f x在点1,f1处的切线斜率为f′(1)=12，f(1)=3，利用直线点斜式即可得解；（2）求导可得f′x=ax2+2a−1x−2=(ax−1)(x+2)，对参数a进行讨论即得解.【详解】（1）当a=3时，f x=x3+52x2−2x−12，f'x=3x2+5x−2，所以曲线y=f x在点1,f1处的切线斜率为f'(1)=6，又f(1)=1+52−2−12=1，y=6(x−1)+1，整理可得曲线y=f x在点1,f1处的切线方程为6x−y−5=0；（2）f′x=ax2+2a−1x−2=(ax−1)(x+2)，若a=0，由f′x=−(x+2)=0可得x=−2，当x∈(−∞,−2)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x∈(−2,+∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，当a>0时，f′x=(ax−1)(x+2)=0，可得x=1a或x=−2，所以f(x)在(−∞,−2),(1a,+∞)为增函数，在(−2,1a)上为减函数，当a<0时，若−12<a<0，f(x)在(−∞,1a),(−2,+∞)为减函数，在(1a,−2)上为增函数，若a=−12，f′(x)≤0，f(x)在R上为减函数，若a<−12，f(x)在(−∞,−2),(1a,+∞)为减函数，在(−2,1a)上为增函数，综上可得：若a=0，f(x)在(−∞,−2)上为增函数，在(−2,+∞)上为减函数，当a>0时，f(x)在(−∞,−2),(1a,+∞)为增函数，在(−2,1a)上为减函数，当a<0时，若−12<a<0f(x)在(−∞,1a),(−2,+∞)为减函数，在(1a,−2)上为增函数，若a=−12，f′(x)≤0，f(x)在R上为减函数，若a <−12，f (x )在(−∞,−2),(1a ,+∞)为减函数，在(−2,1a)上为增函数.【变式2-2】2．（2022·江苏省江浦高级中学高三阶段练习）已知函数f (x )=x 2−ax +1e x (a ∈R ).讨论f (x )的单调性；【答案】答案见解析【分析】根据f (x )的导函数零点间的大小关系进行分类讨论求解即可；【详解】由f ′(x )=−x 2+(a +2)x −a −1e x =−(x −1)(x −a −1)e x ，①当a +1=1，即a =0时，因为f ′(x )=−(x −1)2e x ≤0恒成立，故f (x )在(−∞，+∞)上为减函数；②当a +1>1，即a >0时，由f '(x )<0得，x <1或x >a +1；由f ′(x )>0得，1<x <a +1，所以f (x )在(−∞，1)和(a +1，+∞)上为减函数，在(1，a +1)上为增函数；③当a +1<1，即a <0时，由f ′(x )<0得，x <a +1或x >1；由f ′(x )>0得，a +1<x <1，所以f (x )在(−∞，a +1)和(1，+∞)上为减函数，在(a +1，1)上为增函数.综上：当a =0时，f (x )在(−∞，+∞)上为减函数；当a >0时，f (x )在(−∞，1)和(a +1，+∞)上为减函数，在(1，a +1)上为增函数；当a <0时，f (x )在(−∞，a +1)和(1，+∞)上为减函数，在(a +1，1)上为增函数.【变式2-2】3．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（理））已知函数f (x )=x 3−a +32x 2+ax +b 讨论f x 的单调性；【答案】答案见解析；【分析】对二次函数f ′(x )=(3x −a )(x −1)零点分布情况分类讨论即可求解；【详解】因为f (x )=x 3−a +32x 2+ax +b ，∴f ′(x )=3x 2−(a +3)x +a =(3x −a )(x −1)．①若a >3，当1<x <a 3时，f ′x <0,当x <1或x >a 3时，f ′x >0，即f x 在(1,a 3)上单调递减，在(−∞,1)和(a 3,+∞)上单调递增；②若a =3，恒有f ′x ≥0．即f x 在定义域R 上单调递增；③若a <3，当a 3<x <1时，f ′x <0,当x <a 3或x >1时，f ′x >0，即f x 在(a 3,1)上单调递减，在(−∞,a 3)和(1,+∞)上单调递增.【变式2-2】4．（2022·山东聊城·高三期中）已知函数f x =x −a +2ln x −a +1x ．讨论函数f x 的单调性；【答案】答案见解析【分析】先求导函数f ′x ，讨论a 的范围，求解f ′x >0和f ′x <0的解集，写出单调区间．【详解】（1）f x =x −a +2ln x −a +1x 定义域为0,+∞，f′x =1−a +2x +a +1x 2=令f ′x =0，得x =1或x =a +1．当a +1≤0即a ≤−1时：x ∈0,1，f ′x <0，函数f x 在0,1上单调递减；x ∈1,+∞，f ′x >0，函数f x 在1，+∞单调递增；当0<a +1<1，即−1<a <0时：x ∈0,a +1，f ′x >0，函数f x 在0，a +1单调递增；x ∈a +1,1，f ′x <0，函数f x 在a +1,1上单调递减；x ∈1,+∞，f ′x >0，函数f x 在1，+∞上单调递增；当a +1=1即a =0时：x ∈0,+∞，f ′x ≥0，函数f x 在0，+∞单调递增；当a +1>1即a >0时：x ∈0,1，f ′x >0，函数f x 在0,1单调递增；x ∈1,a +1，f ′x <0，函数f x 在1,a +1上单调递减；x ∈a +1,+∞，f ′x >0，函数f x 在a +1,+∞上单调递增；综上：当a ≤−1时，单调递减区间有0,1，单调递增区间有1,+∞；当−1<a<0时，单调递减区间有a+1,1，单调递增区间有0,a+1，1,+∞；当a=0时，单调递增区间有0,+∞，无单调递减区间；当a>0时，单调递减区间有1,a+1，单调递增区间有0,1，a+1,+∞．【变式2-2】5．（2022·贵州·模拟预测（理））已知函数f x=x2e ax−1a≠0，g x=ln x+ bx+1.求函数f x的单调区间；【答案】答案见解析【分析】求得f'x，对a进行分类讨论，由此求得函数f x的单调区间.【详解】函数f x的定义域为R，f′x=x ax+2e ax，令f′x=0得x1=0，x2=−2a，①当a>0时，若x∈−∞,∪0,+∞，则f′x>0；若x∈−2a,0，则f′x<0，故f x在−∞,−0,+∞上单调递增，在−2a,0上单调递减；②当a<0时，若x∈0,则f′x>0；若x∈−∞,0∪−2a,+∞，则f′x<0，故f x在0,−∞,0，−2a,+∞上单调递减.◆类型3不能因式分解【例题2-3】（2022·浙江·慈溪中学高三期中）已知函数f x=mx3−mx−x ln x m∈R.若f x的导函数为g x，试讨论g x的单调性；【答案】答案见解析【分析】由f x可求g x，再根据g x的导函数，讨论参数的范围即可得出g x的单调性；【详解】解：由已知g x=f′x=3mx2−m−ln x−1，则g′x=6mx−1x=6mx2−1x(x>0)，①当m≤0时，g′x<0，得g x在0,+∞单调递减；②当m>0时，g′x=6mx2−1x=<0⇒0<x<得g x在0,+∞单调递增，综上：当m≤0时，函数g x在0,+∞单调递减；当m>0时，函数g x在+∞单调递增.【变式2-3】1．（2022·广西·桂林市第五中学高三阶段练习（文））已知函数f x=ln x−12ax2+ x,a∈R.(1)当a=2时，求函数y=f x在点1,f1处的切线方程；(2)求函数f x的单调区间.【答案】(1)y=0(2)答案见解析.【分析】（1）分别求f′(x)、f(1)、f′(1)，由点斜式方程可得切线方程；（2）先求f(x)的定义域再求导f′(x)，分类讨论a≤0与a>0时导数的正负来研究原函数的单调性.【详解】（1）当a=2时，f(x)=ln x−x2+x，则f(1)=0，∴f′(x)=1x−2x+1，∴f(x)在点(1,0)处的切线斜率k切线=f′(1)=0，∴f(x)在点(1,0)处的切线方程为y−0=0×(x−1)，即：y=0.（2）f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1x−ax+1=−ax2+x+1x，①当a≤0时，f′(x)>0恒成立，∴f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间.②当a>0时，−ax2+x+1=0，Δ=1+4a>0，两根分别为x1=1−1+4a2a<0，x2=1+1+4a2a>0∴f′(x)>0⇒0<x<1+1+4a2a，f′(x)<0⇒x>1+1+4a2a∴f(x)的单调递增区间为(0,1+1+4a2a)，单调递减区间为(1+1+4a2a,+∞).综述：①当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；②当a>0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为+∞).【变式2-3】2．（2022·广东·佛山一中高三阶段练习）已知函数f x=12x2−2x−a ln x．讨论f x的单调性；【答案】答案见解析；【分析】根据一元二次方程根的判别式分类讨论求解即可；【详解】f x=12x2−2x−a ln x(x>0)⇒f′x=x−2−a x=x2−2x−a x，设x2−2x−a=0的判别式Δ=(−2)2+4a=4+4a，当Δ≤0时，即当a≤−1时，x2−2x−a≥0⇒f′(x)≥0，函数f x在(0,+∞)上单调递增；当Δ>0时，即当a>−1时，设方程x2−2x−a=0的两根为：1−1+a,1+1+a，当a≥0时，1−1+a≤0，当0<x<1+1+a时，f′x<0,f x单调递减，当x>1+1+a时，f′x>0,f x单调递增；当−1<a<0时，1−1+a>0当0<x<1−1+a时，f′x>0,f x单调递增，当1−1+a<x<1+1+a时，f′x<0,f x单调递减，当x>1+1+a时，f′x>0,f x单调递增，综上所述：当a≤−1时，函数f x在(0,+∞)上单调递增；当a≥0时，函数f x在(0,1+1+a)单调递减，在(1+1+a,+∞)单调递增；当−1<a<0时，函数f x在(0,1−1+a)，(1+1+a,+∞)单调递增，在(1−1+a,1+ 1+a)单调递减；【变式2-3】3．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三期中（理））已知函数f x=e x ax2+x+ a a≥0.求函数f x的单调区间；【答案】见解析【分析】求导得到f′(x)=(ax+a+1)(x+1)e x，考虑a=0和a>0两种情况，根据导函数的正负判断函数的单调区间即可.【详解】函数f x的定义域为R，且f′(x)=(ax+a+1)(x+1)e x，当a=0时，f′(x)=e x(x+1)，当x>−1时，f′x>0，当x<−1时，f′x<0，所以函数f x 的单调递增区间为−1,+∞，单调递减区间为−∞,−1.当a >0时，f ′(x )=a (x +1)x +e x ，f ′x =0有两根－1，−a +1a，且−1>−a +1a，f′(x )=a (x +1)x +e x >0，则x ∈−∞,∪−1,+∞；f′(x )=a (x +1)x +e x <0，则x ∈−a +1a,−1；故函数f x 的单调递增区间为−∞,−−1,+∞，单调递减区间为−a +1a,−1.综上可知：当a >0时，函数f x 的单调递增区间为−∞,−1,+∞，单调递减区间为−a +1a,−1；当a =0时，函数f x 的单调递增区间为−1,+∞，单调递减区间为−∞,−1.【变式2-3】4．（2022·四川省内江市第六中学高三阶段练习（理））函数f x =a ln x −x 2+x ，g x =x −2⋅e x −x 2+m ．当a <0时，讨论函数y =f x 的单调性；【答案】答案见解析【分析】先求得f ′x ，对a 进行分类讨论，由此求得f x 的单调区间.【详解】函数f x =a ln x −x 2+x 定义域是0,+∞，f ′x =a x −2x +1=−2x 2+x +ax，①当a ≤−18时，Δ=1+8a ≤0，当x ∈0,+∞时，f ′x ≤0，即函数y =f x 的减区间为0,+∞，无递增区间；②当−18<a <0时，Δ=1+8a >0，令f ′x >0<x <又∵−18<a <0>0>0，此时函数y =f x 的减区间为+∞，综上所述，①当a ≤−18时，函数y =f x 的减区间为0,+∞，无递减区间；②当−18<a <0时，函数y =f x 的减区间为0,+∞，增区间为题型3已知单调区间求参数◆类型1已知单增单减求取值范围【例题3-1】若函数f x=x2−ax+ln x在区间1,e上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．3,+∞B．−∞,3C．3,e2+1D．−∞,e2+1【答案】B【分析】根据函数的单调性与导函数之间的关系，将单调性转化为导函数恒大于或等于0，即可求解.【详解】依题意f′x=2x−a+1x≥0在区间1,e上恒成立，即a≤2x+1x在区间1,e 上恒成立.<x<e，则g′x=2−1x2=2x2−1x2>0，所以g x在1,e上单调递增，令g x=2x+则g x>3，所以a≤3.故选:B.【变式3-1】1．若函数f x=x3−3kx+1在区间1,+∞上单调递增，则实数k的取值范围是（）A．−∞,1B．−∞,1C．−1,+∞D．1,+∞【答案】B【分析】利用函数f x在区间(1,+∞)上的导函数为非负数，列不等式，解不等式即可求得k的取值范围.【详解】由题意得，f′(x)=3x2−3k=3(x2−k)≥0在区间(1,+∞)上恒成立，即k≤x2在区间(1,+∞)上恒成立，又函数y=x2在(1,+∞)上单调递增，得x2>1，所以k≤1，即实数k的取值范围是(−∞,1].故选：B【变式3-1】2．（多选）已知函数f x=12x2−a ln x+x在1,+∞上单调递增，则实数a 的所有可能取值是（）A．0B．1C．2D．3【答案】ABC【分析】由f′(x)≥0在1,+∞上恒成立，参变分离得a≤x2+x，结合二次函数求出最小值即可求解.【详解】由题意得f′(x)≥0在1,+∞上恒成立，即f′x=x−a x+1≥0，整理得a≤x2+x，即a≤x2+x min，又x2+x=x+−14在1,+∞上单调递增，则最小值为1+1=2，故a≤2，结合选项知，a可取0，1，2.故选：ABC.【变式3-1】3．若函数f(x)=12sin2x+a cos x在区间(0,π)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．(−∞,−1]B．[−1,+∞)C．(−∞,−1)D．[1,+∞)【答案】A【分析】依题意f′(x)=cos2x−a sin x≥0在(0,π)上恒成立，根据二倍角公式得到1−2sin x2−a sin x≥0，令t=sin x，即−2t2−at+1≥0，t∈0,1恒成立，参变分离可得a≤−2t+1t，再构造函数g t=−2t+1t，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解；【详解】解：∵f(x)=12sin2x+a cos x在区间(0,π)上是增函数，∴f′(x)=cos2x−a sin x≥0在(0,π)上恒成立，∴1−2sin2x−a sin x≥0，因为x∈(0,π)，所以sin x∈0,1令t=sin x，则t∈0,1，即−2t2−at+1≥0，t∈0,1，∴a≤−2t+1t，令g t=−2t+1t，t∈0,1，则g′t=−2−1t2<0，∴g t在0,1上单调递减，∴a≤g1=−1，即a∈−∞,−1，故选：A．【变式3-1】4．“函数y=ax−sin x在R上是增函数”是“a>0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求导，根据导数恒大于等于0可得a的范围，然后判断可得.【详解】因为函数y=ax−sin x是增函数，所以y′=a−cos x≥0恒成立，即a≥cos x恒成立，所以a≥1>0反之a>0，函数的导数不一定大于0.故“函数y=ax−sin x在R上是增函数”是“a>0”的充分不必要条件.故选：A【变式3-1】5．若函数f(x)=ln(x+1)−mx在区间(0,+∞)上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．(−∞,−1]B．(−∞,−1)C．(1,+∞)D．[1,+∞)【答案】D【分析】函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减，则导函数f′(x)≤0在区间(0,+∞)上恒成立,分离参数，即可求解.【详解】解：f(x)=ln(x+1)−mx,f′(x)=1x+1−m，则f′(x)=1x+1−m≤0在0,+∞上恒成立，即m≥1x+1恒成立，又y=1x+1在0,+∞上单调递减，故1x+1<1，所以m≥1，当m=1时，导数不恒为0，故选：D.【变式3-1】6．若函数f(x)=bx+2sin x在x∈则实数b的取值范围是（）A．b≥0B．b>0C．b≥−2D．b>−2【答案】A【分析】由f′(x)≥0【详解】由题意f′(x)=b+2cos x≥0b≥−2cos x，x∈y=−2cos x是增函数，y max=0（x=π2时取得），所以b≥0．【变式3-1】7．已知函数f x=13x3+a2x2+x+1上−∞,0，3,+∞单调递增，在1,2上单调递减，则实数a的取值范围为______.【答案】−103,−【分析】求导得到f′x=x2+ax+1，根据f x在−∞,0，3,+∞上单调递增，在1,2上单调递减，可得方程f′x=0的两个根分别位于区间0,1和2,3上，进而根据数形结合，列出相应的不等式组，即可求出实数a的取值范围【详解】由f x=13x3+a2x2+x+1，得f′x=x2+ax+1，因为f x在−∞,0，3,+∞上单调递增，在1,2上单调递减，所以方程f′x=0的两个根分别位于区间0,1和2,3上，所以f′0≥0f′1≤0f′2≤0f′3≥0，即1≥02+a≤02a+5≤03a+10≥0解得−103≤a≤−52故答案为：−103,◆类型2存在单增单减区间问题【例题3-2】已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝12ax2＋2x.（1）若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；（2）若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围.【答案】（1）(－1，＋∞)；（2）[−716,+∞).【分析】（1）由函数h(x)在(0，＋∞)上存在单调减区间，则当x>0时，1x－ax－2<0有解，即a>1x2−2x有解，构造函数G(x)=1x2−2x，求出其最小值即可；（2）由h(x)在[1，4]上单调递减，可得当x∈[1，4]时，ℎ'(x)=1x−ax−2≤0恒成立，则a≥1x2−2x恒成立，构造函数G(x)=1x2−2x，求出其最大值即可【详解】h(x)＝ln x－12ax2－2x，x>0.∴h′(x)＝1x－ax－2.（1）若函数h(x)在(0，＋∞)上存在单调减区间，则当x>0时，1x－ax－2<0有解，即a>1x2−2x有解.设G(x)=1x2−2x，所以只要a>G(x)min.又G(x)=(1x−1)2−1，所以G(x)min＝－1.所以a>－1.即实数a的取值范围是(－1，＋∞).（2）由h(x)在[1，4]上单调递减，∴当x∈[1，4]时，ℎ'(x)=1x−ax−2≤0恒成立，则a≥1x2−2x恒成立，设G(x)=1x2−2x，所以a≥G(x)max.又G(x)=(1x−1)2−1，x∈[1，4]，因为x∈[1，4]，所以1x∈[14,1]，所以G(x)max＝−716(此时x＝4)，所以a≥−716.又当a＝−716时，ℎ'(x)=1x+716x−2=(7x−4)(x−4)16x，∵x∈[1，4]，∴ℎ'(x)=(7x−4)(x−4)16x≤0，当且仅当x＝4时等号成立.∴h(x)在[1，4]上为减函数.故实数a的取值范围是[−716,+∞).【点睛】此题考查导数的应用，注意函数的单调区间和在某区间上单调的区别，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，属于中档题【变式3-2】1．若函数f(x)=ln x−12ax2−2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________.【答案】(−1,+∞)【分析】先求导函数，递减小于0，再解含参数的不等式分类讨论即可.【详解】f′(x)=1x−ax−2=1−2x−ax2x，由题意知，f′(x)<0在(0,+∞)上有实数解，即ax2+2x−1>0有实数解，当a≥0时，显然满足，当a<0时，只需Δ=4+4a>0∴−1<a<0综上所述a>−1故答案为：(−1,+∞)【点睛】本题考查导函数的单调性，及含参数的不等式有解求参数的取值范围问题.【变式3-2】2．设f(x)=−13x3+12x2+ax.（1）若f(x)+∞上存在单调递增区间，求a的取值范围；（2）若f(x)+∞上单调递减，求a的取值范围.【答案】（1）a>−29；（2）a≤−29【分析】（1）f(x)+∞上存在单调递增区间，即f'(x)>0+∞上有解，只要f'(x)max>0即可；（2）f(x)+∞上单调递减，即f'(x)≤0+∞上恒成立，只要f'(x)max≤0即可；【详解】解：（1）f'(x)=−x2+x+a=−x+14+a，当x∈+∞时，f'(x)max=f'=29+a，则当x∈+∞时，令29+a>0，得a>−29，所以，当a>−29时，f(x)+∞上存在单调递增区间；（2）由（1）得当x∈+∞时，f'(x)max=f'=29+a，则当x∈+∞时，令29+a≤0，得a≤−29，所以，当a≤−29时，f(x)+∞上单调递减.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及函数在闭区间上的最值问题，正确理解导数与函数单调性的关系及准确求导是解决问题的基础.【变式3-2】3．已知函数f(x)=ln x−12ax2−2x+1,a∈R（1）若f(x)在x=2处的切线与直线2x+y=0垂直，求a的值；（2）若f(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围．【答案】（1）−1（2）(−1,+∞).【分析】（1）根据导数的几何意义，再利用两直线垂直的充要条件即可求解；（2）根据函数f(x)存在单调递减等价f′(x)<0在(0,+∞)上有解，转化为a>1−2x x2在(0,+∞)上有解，求g(x)=1−2x x2在(0,+∞)的最小值即可求解．【详解】（1）因为f(x)=ln x−12ax2−2x+1,a∈R，所以f'(x)=1x−ax−2,∴f′(2)=−2a−32,所以f(x)在x=2处的切线的斜率为k=f′(2)=−2a−32，因为f (x )在x =2处的切线与直线2x +y =0垂直，所以(−2a −32)×(−2)=−1，即−2a −32=12，解得a =−1．（2）因为f (x )=ln x −12ax 2−2x +1,所以f ′(x )=1x−ax −2，因为f (x )存在单调递减区间等价于f ′(x )=1x−ax −2<0在(0,+∞)上有解．即a >1−2xx 2在(0,+∞)上有解．令g (x )=1−2xx 2,(x >0),所以只需a >g (x )min ．因为g (x )=1−2xx 2=(1x)2−2(1x)=(1x−1)2−1≥−1,即g (x )min =−1,所以实数a 的取值范围为(−1,+∞)．【变式3-2】4．已知函数f (x )=−13x 3+12x 2+2ax ．(1)若函数f (x )+∞上存在单调增区间，求实数a 的取值范围．(2)若函数f (x ),1上单调递增，求实数a 的取值范围．【答案】(1)a >−19(2)a ≥0【分析】（1）即f ′x >0有解，参变分离得a >，最后根据二次函数性质求最值，即得实数a 的取值范围．（2）即f ′x >0恒成立，参变分离得a >，最后根据二次函数性质求最值，即得实数a 的取值范围．（1）f ′x =−x 2+x +2a ，由于f (x )+∞上存在单调增区间，故∃x 0∈+∞，f ′x 0>0，∴a >，由于y =x 2−x 2在+∞单调递增，且当x =23时，x 2−x2=−19∴a >−19（2）∀x ∈,1f ′x ≥0，由于y =x 2−x 2在+∞单调递增，故y =x 2−x 2在,1单调递增，当x =1时，x 2−x2=0a ≥，∴a ≥0．◆类型3已知单调区间问题【例题3-3】已知函数f x =ln x +x 2+ax ,1，则（）.A ．a ∈−∞,−3B ．a =−3C ．a =3D ．a ∈−∞,3【答案】B【分析】根据f x 得到f ′x ，再根据f x ,1，得到12和1是方程f ′x =0的两个根，代入解方程即可.【详解】由f x =ln x +x 2+ax 得f′x =2x 2+ax +1x，又f x ,1，所以12和1是方程2x 2+ax +1x=0的两个根，代入得a =−3.经检验满足题意故选：B.【变式3-3】1．已知函数f x =mx 3+3m −1x 2−m 2+1m >0的单调递减区间是0,4，则m =（）A ．3B ．13C ．2D ．12【答案】B【分析】利用导数结合韦达定理得出m 的值.【详解】函数f x =mx 3+3m −1x 2−m 2+1m >0，则导数f ′x =3mx 2+6m −1x令f ′x <0，即3mx 2+6m −1x <0，∵m >0，f x 的单调递减区间是0,4，∴0，4是方程3mx 2+6m −1x =0的两根，∴0+4=0×4=0，∴m =13故选：B.【变式3-3】2．已知函数f (x )=2x 3−mx 2+2(m >0)的单调减区间为(a ,b )，若b −a ≤2，则m 的最大值为______．【答案】6【分析】根据已知条件及导数的正负与函数单调性的关系即可求解.【详解】由f(x)=2x3−mx2+2(m>0)，得f′(x)=6x2−2mx(m>0)．令f′(x)<0,即6x2−2mx<0，解得0<x<m3，所以函数f(x)=2x3−mx2+2(m>0)的单调减区间为(0,m3)，所以b−a=m3≤2，解得m≤6，所以m的最大值为6．故答案为：6.【变式3-3】3．已知函数f x=ln x+x2+ax,1，则a的值为________．【答案】−3【分析】分析可知不等式2x2+ax+1<0,1，利用韦达定理可求得实数a的值.【详解】函数f x的定义域为0,+∞，且f′x=1x+2x+a=2x2+ax+1x，由题意可知，不等式2x2+ax+1<0,1，所以，12+1=−a2，解得a=−3.故答案为：−3.【变式3-3】4．（多选）若函数f x=ax3−3x2+x+1恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（）A．−3B．−1C．0D．3【答案】AB【分析】将问题转化为导函数有两个零点问题，由判别式可解.【详解】当a=0时，f x=−3x2+x+1，显然不满足题意；当a≠0时，f′x=3ax2−6x+1，因为f x恰好有三个单调区间，所以f′x=3ax2−6x+1有两个零点，即Δ=36−12a>0，解得a<3，综上，a的取值范围为(−∞,0)∪(0,3).故选：AB◆类型4不单调问题【例题3-4】已知函数f x=1−x ln x+ax在1,+∞上不单调，则a的取值范围是（）A．0,+∞B．−∞,0C．0,+∞D．−∞,0【答案】A【分析】因为f (x )在1,+∞上不单调，故利用f ′x 在1,+∞上必有零点，利用a =ln x −1x+1，构造函数z (x )=ln x −1x +1，通过z (x )的范围，由此求得a 的取值范围.【详解】依题意f ′x =−ln x +1x+a −1，故f ′(x )在1,+∞上有零点，令g (x )=−ln x +1x+a −1，令g (x )=0，得a =ln x −1x +1，令z (x )=ln x −1x +1，则z ′(x )=1x +1x 2，由x >1，得z ′(x )>0，z (x )单调递增，又由z (1)=0，得z (x )>0，故a =z (x )>0，所以，a 的取值范围0,+∞故选：A【变式3-4】若函数()()11xf x e a x =--+在(0，1)上不单调，则a 的取值范围是（）A ．()2,1e +B ．[]2,1e +C ．(][),21,e -∞⋃++∞D ．()(),21,e -∞⋃++∞【答案】A 【解析】()(1)1x f x e a x =--+，()1x f x e a '∴=-+，若()f x 在(0,1)上不单调，则()'f x 在(0,1)上有变号零点，又()f x '单调递增，()()010f f ''∴<，即(11)(1)0a e a -+-+<，解得21a e <<+．a ∴的取值范围是(2,e +1)．故选：A ．题型4单调性与图象【例题4-1】函数()()22xf x x x e =-的图象大致是()A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】函数()()22x f x x x e =-，则()()22xf x x e '=-，令()0f x '=，解得()f x 的两个极值点为AD ，且当0x <时，()f x 恒为正，排除C ，即只有B选项符合要求，故选：B.【变式4-1】1.函数()21ln 2f x x x =-的图象大致是（）.A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题得，()1(0)f x x x x'=->，当(0,1)时，()0f x '>，函数()f x 为增函数，当(1,)+∞时，()0f x '<，函数()f x 为减函数，则当1x =时，()f x 取最大值，()112f =-，则B 选项正确.故选：B 【变式4-1】2.已知函数f (x )＝e x －(x ＋1)2(e 为2.71828…)，则f (x )的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】函数()2(1)x f x e x ＝－+，当1x =-时，()1=110f ee -->＝，故排除A 、D ，又()22()20ln2x x f x e x f x e x '''=--=-=⇒=，，当0ln2x <<时，()(0())00f f f x x ''<''<∴<，，所以()f x 在()0,ln 2为减函数，故排除B,故选：C【变式4-1】3．函数f x =ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图，则函数y =ax 2+32bx +c3的单调递增区间是()A ．−∞,−2B ．[12,+∞)C ．−2,3D ．[98,+∞)【答案】D【分析】由题可得d ＝0，不妨取a ＝1，求导，由题图可得f ′−2=f ′3=0，可求b ，c 的值，从而可求单调区间.【详解】解:由题图可知d ＝0.不妨取a ＝1，∵f x=x3+bx2+cx，∴f′x=3x2+2bx+c.由图可知f′−2=f′3=0，∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0，∴b=−32，c=−18.∴y=x2−94x−6，y′=2x−94.当x＞98时，y′>0，∴y=x2−94x−6的单调递增区间为[98,+∞).故选:D.【变式4-1】4．已知函数f x的图象如图所示，则下列说法中错误的是A．f x在区间上单调递减B．f x在区间上单调递增C．当时，f′x>0D．当时，f′x=0【答案】C【详解】试题分析：由图像可知增区间为(1,4)，此时，减区间为(−∞,1),(4,+∞)此时f'(x)<0，所以x=1,x=4是极值点考点：函数单调性与极值【例题4-2】如图是y=f′x的图像，则函数y=f x的单调递减区间是（）A．−2,1B．−2,0,2,+∞C．−∞,−1D．−∞,−1,1,+∞【答案】B【分析】由导数与单调性的关系判断．【详解】由图象知−2<x<0或x>2时，f′(x)<0，因此减区间是(−2,0)，(2,+∞)．故选：B．【变式4-2】1．函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：①−3是函数y=f(x)的极值点；②−1是函数y=f(x)的最小值点；③y=f(x)在区间(−3,1)上单调递增；④y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零．以上正确命题的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④【答案】C【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【详解】根据导函数图象可知：当x∈−∞,−3时，f′x<0，在x∈−3,1时，f′x≥0，∴函数y=f x在−∞,−3上单调递减，在−3,1上单调递增，故③正确；则−3是函数y=f x的极小值点，故①正确；∵在−3,1上单调递增，∴−1不是函数y=f x的最小值点，故②不正确；∵函数y=f x在x=0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故④不正确．故选：C．【变式4-2】2．已知函数f x与其导函数f′x的图象的一部分如图所示，则函数g x=的单调性（）A．在1,1单调递减B．在−1,2−3单调递减C．在2−3,1单调递减D．在1,2上单调递减【答案】B【分析】由导函数与原函数之间关系可确定两个图象的分属，由此可得g′x在不同区间内的正负，进而判断单调性，得到结果.【详解】∵f′x<0时，f x单调递减；f′x>0时，f x单调递增，∴已知图象中在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，且有两个零点x=−1和x=1的是f′x，∵g′x=f′x−f x e x，由图象可知：当x∈−1,2−3时，f x>f′x；当x∈2−3,2时，f′x>f x；∴当x∈−1,2−3时，g′x<0；当x∈2−3,2时，g′x>0；∴g x在−1,1上不单调，A错误；在−1,2−3上单调递减，B正确；在2−3,1，1,2上单调递增，CD错误.故选：B.【变式4-2】3．已知f x是定义在R上的可导函数，y=e f′x的图象如下图所示，则y=f x的单调减区间是A．−∞,−1B．−∞,2C．0,1D．1,2【答案】B【详解】分析：先根据图像求出e f′(x)≤1，即得f′(x)≤0，也即得结果.详解：因为当x≤2时，e f′(x)≤1，所以当x≤2时，f′(x)≤0，所以y=f(x)的单调减区间是(−∞,2)，选B.点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，经常转化为解方程或不等式.题型5利用导数图象解不等式【例题5】定义域为R的可导函数的导函数y=f x为f′x，满足f x>f′x，且f0=1，则不等式f x<e x的解集为（）A．−∞,2B．2,+∞C．−∞,0D．0,+∞【答案】D【分析】根据条件构造函数F x=<1⇔F x<F0利用函数的单调性解不等式，即可得到结果．【详解】设F x=则F′x==f x>f′x，所以F′x<0，即函数F x在定义域上单调递减，因为f(0)=1，所以不等式f x<e x<1，等价于F(x)<F(0)，解得x>0，故不等式的解集为0,+∞.故选：D．【变式5-1】1．已知定义在R上的函数f x的导函数为f′x，若f′x<e x，且f2=e2+2，则不等式f ln x>x+2的解集是（）A．0,e2B．0,2C．−∞,e2D．−∞,2【答案】A【分析】设g x=f x−e x+2，求导可得g x在R上单调递减，再根据f ln x>x+2转化为g ln x>4，再结合g x的单调性求解即可.【详解】设g x=f x−e x+2，则g′x=f′x−e x.因为f′x<e x，所以f′x−e x<0，即g′x<0，所以g x在R上单调递减.。
函数函数的单调性课件
定义法、导数法（对于可导函数） 。
复合函数的单调性例题解析
01
总结词
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
复合函数单调性的概念、性质及判定方法
02 03
详细描述
复合函数单调性取决于内外层函数单调性的关系。若外层函数单调递增 （减），内层函数单调递增（减），则复合函数为单调递增（减）函数 。
判定方法
根据复合函数单调性的性质进行判断。
易错点提醒
在求解函数的单调性问题时，容易忽略函数的定义域、导数的正负与函数单调性的关系以及如何根据 题目要求进行分类讨论。同时需要注意极值点不一定是拐点，要根据题目要求进行求解。
THANKS
感谢观看
05
总结与回顾
函数单调性的定义与性质回顾
函数单调性的定义
函数在某区间上的单调性是指函 数在该区间内随着自变量的增加 ，函数值随之增加（或减少）。
函数单调性的性质
函数的单调性可以通过导数来刻 画，如果导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0 ，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的应用与解题技巧总结
详细描述
函数单调性可以用于优化问题、经济问题、交通问题等多个领域。例如，在投资决策中，通过观察股票价格的波 动和单调性，可以更好地把握投资机会。在交通规划中，通过观察交通流量的变化和单调性，可以更好地规划交 通路线。
04
函数单调性的例题解析
单调递增函数的例题解析
总结词
单调递增函数的概念、性质及判 定方法
03
函数单调性的应用
利用函数单调性求函数的值域
总结词
函数单调性是求解函数值域的重要工具。
详细描述
通过观察函数在定义域内的单调性，可以容易地求出函数的值域。例如，对于一 次函数，其在定义域内是单调的，可以直接根据定义域和单调性求出值域。对于 二次函数，可以通过观察其对称轴和顶点位置，结合单调性来求解值域。
1.3.1(1)函数的单调性知识点及 例题解析
函数的单调性知识点及例题解析知识点一：基本概念（增减函数、增减区间、最大最小值）知识点二：函数单调性的判定方法（常用的）（1） 定义法（基本法）；①取值：任取，且；②作差：；③变形：通常是因式分解或配方；④定号：即判断差的正负；⑤下结论：即指出函数在给定区间上的单调性.（2） 利用已知函数的单调性；（现所知道的一次函数，一元二次函数，反比例函数，能够画出图像的函数）（3）利用函数的图像；，，.（4） 依据一些常用结论及复合函数单调性的判定方法；①两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；②一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；如果单调性相同，那么是增函数；如果单调性相反，那么是减函数.对于复合函数的单调性，列出下表以助记忆.上述规律可概括为“同增，异减”知识点三：函数单调性的应用利用函数的单调性可以比较函数值的大小；利用函数的单调性求参数的取值范围；附加：①的单调性：增函数，减函数；②的单调性：减区间；增区间；③的单调性：，减区间，增区间；，增区间，减区间；④在区间上是增（减）函数，则时，在上是增（减）函数；时则相反；⑤若、是区间上的增（减）函数，则在区间上是增（减）函数；⑥若且在区间上是增（减）函数，则在上是减（增）函数，在上是增（减）函数；1.函数y=x2+4x﹣1的递增区间是什么？分析：根据二次函数的开口方向和对称轴可判断出在对称轴右侧单调递增解：∵函数y=x2+4x﹣1的图象开口向上，对称轴为x=﹣2，∴y=x2+4x﹣1在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增．故答案为（﹣2，+∞）．2. 函数y=x2﹣6x+5在区间（0，5）上是（ ）A递增函数B递减函数C先递减后递增D先递增后递减分析：本题考察函数单调性的判断与证明，根据二次函数的图象与性质直接进行求解即可解：∵y=x2﹣6x+5⇒y=（x﹣3）2﹣4，∴对称轴为x=3，根据函数y=x2﹣6x+5可知a=1＞0，抛物线开口朝上，∴函数图象在（﹣∞，3]上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，∴在函数在（0，5）上先递减后递增，故选C3.如图，已知函数y=f（x），y=g（x）的图象（包括端点），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数还是减函数．分析：本题考察函数单调性的性质，根据函数单调性和图象之间的关系进行求解即可解：（1）由图象知函数在[﹣2，﹣1]，[0，1]上为减函数，则[-1，0]，[1，2]上为增函数，即函数的单调递增区间为[-1，0]，[1，2]，函数单调递减区间为[-2，-1]，[0，1]2） 由图象知函数在[-3，-1.5]，[1.5，3]上为减函数，则[﹣1.5，1.5]上为增函数，即函数的单调递增区间为[-3，-1.5]，[1.5，3]，函数单调递减区间为[﹣1.5，1.5]4.已知函数f（x）=x2﹣2ax+1在（-∞，1〕上是减函数，求实数a的取值范围分析：如图，先求出对称轴方程，利用开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减，比较区间端点和对称轴的大小即可解：因为开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减；而其对称轴为x=a，又在（-∞，1〕上是减函数，故须a≥15.已知函数f（x）=x2+4（1﹣a）x+1在[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围分析：通过二次函数的解析式观察开口方向，再求出其对称轴，根据单调性建立不等关系，求出a的范围即可解：函数f（x）=x2+4（1﹣a）x+1是开口向上的二次函数，其对称轴为x=2（a﹣1），根据二次函数的性质可知在对称轴右侧为单调增函数，所以2（a﹣1）≤1，解得a≤1.56.若函数y=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，6）上递减，求a的取值范围分析：由f（x）在区间（﹣∞，6]上递减知：（﹣∞，6]为f（x）减区间的子集，由此得不等式，解出即可．解：f（x）的单调减区间为：（﹣∞，1﹣a]，又f（x）在区间（﹣∞，6]上递减，所以（﹣∞，6]⊆（﹣∞，1﹣a]，则1﹣a≥6，解得a≤﹣5，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣5]7.如图，分析函数y=|x+1|的单调性，并指出单调区间分析：去掉绝对值，根据基本初等函数的图象与性质，即可得出函数y 的单调性与单调区间．解：∵函数y=|x+1|=；∴当x＞﹣1时，y=x+1，是单调增函数，单调增区间是（0，+∞）；当x＜﹣1时，y=﹣x﹣1，是单调减函数，单调减区间是（﹣∞，0）8.求函数f（x）=x4﹣2x2+5在区间[﹣2，2]上的最大值与最小值分析：本题考察二次函数在闭区间上的最值，菁令t=x2，可得0≤t≤4，根据二次函数g（t）=f（x）=x4﹣2x2+5=（t﹣1）2+4 的对称轴为t=1，再利用二次函数的性质求得函数g（t） 在区间[0，4]上的最值．解：令t=x2，由﹣2≤x≤2，可得0≤t≤4，由于二次函数g（t）=f（x）=x4﹣2x2+5=t2﹣2t+5=（t﹣1）2+4 的对称轴为t=1，则函数g（t） 在区间[0，4]上的最大值是g（4）=13，最小值为 g（1）=4，故答案为 13，4．9.证明函数在[﹣2，+∞）上是增函数分析：本题考查的是函数单调性的判断与证明，在解答时要根据函数单调性的定义，先在所给的区间上任设两个数并规定大小，然后通过作差法即可分析获得两数对应函数值之间的大小关系，结合定义即可获得问题的解答证明：任取x1，x2∈[﹣2，+∞），且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=－==，因为x1-x2＜0，+＞0，得f（x1）＜f（x2）所以函数在[﹣2，+∞）上是增函数．10. 函数f（x）=，①用定义证明函数的单调性并写出单调区间；②求f（x）在[3，5]上最大值和最小值分析：①分离常数得到f（x）=，根据反比例函数的单调性便可看出f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞），根据单调性的定义证明：设任意的x1，x2≠﹣1，且x1＜x2，然后作差，通分，说明x1，x2∈（﹣∞，﹣1），或x1，x2∈（﹣1，+∞）上时都有f（x1）＜f（x2），这样即可得出f（x）的单调区间；②根据f（x）的单调性便知f（x）在[3，5]上单调递增，从而可以求出f（x）的值域，从而可以得出f（x）在[3，5]上的最大、最小值．解：①f（x）===2-；该函数的定义域为{x|x≠﹣1}，设x1，x2∈{x|x≠﹣1}，且x1＜x2，则：f（x1）- f（x2）=-=；∵x1＜x2；∴x1﹣x2＜0；∴x1，x2∈（﹣∞，﹣1）时，x1+1＜0，x2+1＜0；x1，x2∈（﹣1，+∞）时，x1+1＞0，x2+1＞0；∴（x1+1）（x2+1）＞0；∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递增，即f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）；②由上面知f（x）在[3，5]上单调递增；∴f（3）≤f（x）≤f（5）；∴7／4≤f（x）≤11／6；∴f（x）在[3，5]上的最大值为11／6，最小值为7／411.已知f（x）+2f（）=3x．（1）求f（x）的解析式及定义域；（2）指出f（x）的单调区间并加以证明解：（1）由 f(x)+2f()＝3x ①，用代替x，得 f()+2f(x)＝ ②；②×2-①，得 3f(x)＝-3x，所以 f(x)＝-x（x≠0）（2） 由（1），f(x)＝-x（x≠0）其递减区间为（-∞，0）和（0，+∞），无增区间．事实上，任取x1，x2∈（-∞，0）且x1＜x2，则f(x1)-f(x2)＝-x1-+x2＝-(x1-x2)＝(x2-x1)• ，∵x1＜x2＜0∴x2-x1＞0，x1x2＞0，2+x1x2＞0，所以 (x2-x1)• ＞0，即f（x1）＞f（x2）故f（x）在（-∞，0）上递减．同理可证其在（0，+∞）上也递减12.证明：f（x）=x+在（3，+∞）上是增函数，在（2，3]上是减函数分析：利用函数单调性的定义证明．证明：设任意的x1，x2∈（3，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1+）-（x2+）=（x1﹣x2）•，∵x1，x2∈（3，+∞），且x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1﹣2＞1，x2﹣2＞1，（x1﹣2）（x2﹣2）＞1，∴（x1﹣x2）•＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）=x+在（3，+∞）上是增函数．同理可证，f（x）=x+在（2，3]上是减函数解定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x1、x2，且x1＜x2．∴当0＜x1＜x2≤1或－1≤x1＜x2＜0时，有x1x2－1＜0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．当1≤x1＜x2或x1＜x2≤－1时，有x1x2－1＞0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．根据上面讨论的单调区间的结果，又x＞0时，f(x)min＝f(1)＝2，当x＜0时，f(x)max＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致画出图像。
3.1.2函数的单调性(第1课时)课件-高一数学(人教B版必修第一册)
的斜率都大于 0 ,函数递减的充要条件是其图像上任意两
点连线的斜率都小于 0.
新知探索 知识点二：函数的平均变化率
一般地, 若 是函数
的定义域的子集, 对任意
且
,记
(1) 恒成立; (2) 成立.
，
, 则:
在 上是增函数的充要条件是
在上
在 上是减函数的充要条件是
在 上恒
新知探索 知识点二：函数的平均变化率
【训练 1】(多选)下列函数中，在(0，2)上是增函数的是( )
A.y＝－1 B.y＝2x－1 C.y＝1－2x D.y＝(2x－1)2 x
【解析】对于 A，y＝－1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调
递增；对于 B，y＝2x－1 在 R 上单调递增；对于 C，y＝1
－2x 在 R 上单调递减；
对于
＝（x2－x1x）21（x22x2＋x1）.当 x1<x2<0 时，∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0.∴f(x1)<f(x2) ∴函数 f(x)＝x12在(－∞，0)上是增函数.当 0<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，x21x22>0. ∴f(x1)>f(x2).∴函数 f(x)＝x12在(0，＋∞)上是减函数.
【解析】∵f(x)在 R 上为增函数，且 f(2m)>f(－m＋9)， ∴2m>－m＋9，即 m>3，故选 C.
课堂练习
【训练 3】定义在 R 上的函数 f(x)，对任意 x1，x2∈R(x1
≠x2)，有f（x2）x2－－fx（1 x1）<0，则(
)
A.f(3)<f(2)<f(1) B.f(1)<f(2)<f(3)
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4x
1 0
x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
函数 y x 2在整个定义域内 y随x的增 大而增大；y
函数y -x 2 在整个定义域内 y随x的 增大而减小． y
4
4
3
3
2
2
1 0
x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1
-2
-3
函数
y
x2
-4
在
三．抽象思维，形成概念
问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?
y
10
8
6
4
2
I
O
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 x
-2
y
图象在区间I逐渐上升
区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
N
？
对区间I内
x1，x2 ，
f(x1) O
M
I x1 x2
当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
当x1<x2时，都 有f(x1)<f(x2)
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于区间I上的任意
定 两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 义 那么就说 f (x)在区间I上是单调增函数，I 称为 f (x)的单调
增区间.
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.
x1
x2 x
自左至右，图象_下_降_____.
数量 特征
y随x的增大而_增_大___.当任意 x1＜x2时，都有_y_1_＜_y_2____
y随x的增大而_减__小____.当任意 x1＜x2时，都有_y_1_＞_y_2___
课堂效果提升：教材P39习题1.3A组第1题，第4题
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
判断1：函数 f (x)= x2 在, 是单调增函数；
y
y x2
o
x
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
合作交流：
例1、下图为函数y = f x, x [4, 7] 的图像，
指出它的单调区间。y
3 2 1
-1.5
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7x
-1 -2
解：单调增区间为 [-1.5，3]，[5，6]
， 单调减区间为 [-4，-1.5]，[3，5]，[6，7]
画出这一天8:00~20:00期间气温关于时间函数的一个可能图像，并说明所画函数的单 调区间.
3.根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数是增函数还是减函
数.
y
-1 0
1
23
4
5
x
课堂小结：
图象
图象 特征
增函数
y2 y
y1
O
x1 x2
自左至右，图象_上_升__.
减函数
y
y1
y2
xO
[0, )
上 y随x的增大
而增大，在(, 0)上y随x的增大而减小．
1 0
x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1
-2
-3
-4
函小数，在y(1x,
在(0, )上 y随x的增大而减
0)上y随x的增大而减小．
问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?
如果函数 f (x) 在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f (x) 在该区 间上为增函数；如果函数 f (x) 在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函 数 f (x)在该区间上为减函数．
函数的单调性
一、新课导入
下面是北京市2008年8月8日一天24小时内气温随时间变化曲线图
问题：观察图形，能得到什么信息？
二、归纳探索，形成概念
问题1：分别作出函数 y x 2, y
量变化时，函数值有什么变化规律？
x
2,
y
x2,
y
1 x
y
y
4
的图象，并且观察自变
4
3
3
2
2 1
0 -4 -3 -2 -1 1 2 3
注意：如果有多个单调区间，各区间之间用“ ”隔 开
学习效果展示：
练习1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系. 生产效率
0
工人数
2.整个上午（8:00~12:00）天气越来越暖，中午时分（ 12:00~13:00 ）一场暴风雨使 天气骤然凉爽了许多，暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18:00）才又开始转凉.
x
y
图象在区间I逐渐上升
区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
N
？
对区间I内 任意 x1，x2 ，
f(x1) O
M
I x1 x2
当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
x
y
图象在区间I逐渐上升
区间I内随着x的增大，y也增大
N
f(x2)
对区间I内 任意 x1，x2 ，
f(x1) O
M
I x1 x2
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f函数，I称为f(x)的单调 减 区间.
单调区间
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
y
y
f(x2) f(x1)
f(x1) f(x2)
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
如果对于属于定义域A内某个区间I上 如果对于属于定义域A内某个区间I上
的任意两个自变量的值x1,x2，
的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 )，