(完整版)利用函数单调性比大小-第二章总结

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函数的单调性与最大(小)值-高考数学复习

1
f(x)在区间[2,6]上的最大值为 1,最小值为5.
解题心得1.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(x)在区间[a,b]上的最
小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
2.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),在区间[b,c]上单调递减(增),则f(x)
能力形成点2
利用函数的单调性求最值
1
例3 已知函数 f(x)= .
-1
(1)判断f(x)在区间(1,+∞)内的单调性,并加以证明.
(2)求f(x)在区间[2,6]上的最大值和最小值.
解 (1)函数 f(x)在区间(1,+∞)内单调递减.
证明:任取 x2>x1>1,则
1
1
f(x1)-f(x2)=
−
件都有 f(x1)<f(x2)
都有 f(x1)>f(x2)
那么就称函数 f(x)在区间 D 上
那么就称函数 f(x)在区间 D 上
单调递减
结单调递增
论当函数 f(x)在它的定义域上单调当函数 f(x)在它的定义域上单调
递增时,称它是增函数
递减时,称它是减函数
图
示
结如果函数 y=f(x)在区间 I 上单调递增或单调递减,那么就说函数 y=f(x)
的上升或下降确定其单调性
导数法
先求导数,再利用导数值的正负确定函数的单调区间
对于由基本初等函数的和、差构成的函数,可根据各初等函数
性质法
的单调性及f(x)±g(x)的单调性进行判断
对于复合函数y=f(g(x)),先将函数分解成y=f(t)和t=g(x),再讨论(
复合法
判断)这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的规

精品讲义：最全数学比较大小的方法总结

高考命题中，常常在选择题或填空题中出现一类比较大小的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答.本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧.【方法归纳】（一）常用技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来：判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为和（1）如果底数和真数均在中，或者均在中，那么对数的值为正数（2）如果底数和真数一个在中，一个在中，那么对数的值为负数例如：等2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况例如：，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如，可知，进而可估计是一个1点几的数，从而便于比较4、常用的指对数变换公式：（1）（2）（3）（4）换底公式：进而有两个推论：（令）（二）利用函数单调性比较大小1、函数单调性的作用：在单调递增，则(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁） 2、导数运算法则：（1）（2） 3、常见描述单调性的形式（1）导数形式：单调递增；单调递减（2）定义形式：或： ()0,1()1,+∞()0,1()1,+∞()0,1()1,+∞30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>1113423,4,5()()()11111143634212121233,44,55===2log 32221log 2log 3log 42=<<=2log 3nm m na a ⎛⎫= ⎪⎝⎭log log log a a a M N MN +=log log log a a aM M N N-=()log log 0,1,0na a N n N a a N =>≠>log log log c a c bb a=1log log a b b a =c b =log log m n a a nN N m=()f x [],a b []()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<()()()()()()()'''f x g x f x g x f x g x =+()()()()()()()'''2f x f xg x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()()'0f x f x >⇒()()'0f x f x <⇒()()12120f x f x x x ->-()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减 4、技巧与方法：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较（三）数形结合比较大小1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系（1）若关于轴对称，且单调增，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小（2）若关于轴对称，且单调减，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大 2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.【经典例题】例1.【2019全国Ⅰ卷理数】已知，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】即则．故选B ．例2.【2019全国Ⅱ卷理数】若a >b ，则（） A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取，满足，但，则A 错，排除A ；由，知B 错，排除B ；取，满足，但，则D 错，排除D ；因为幂函数是增函数，，所以，即a 3−b 3>0，C 正确. 故选C ．例3.【2019全国Ⅲ卷理数】设是定义域为R 的偶函数，且在单调递减，则A ．（log 3）＞（）＞（）B ．（log 3）＞（）＞（）C ．（）＞（）＞（log 3）D ．（）＞（）＞（log 3）【答案】C【解析】是定义域为的偶函数，． ()f x x a =(),a +∞()f x x a =(),a +∞0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，a b c <<a c b <<c a b <=0.3000.20.21,c <=<=01,c <<a c b <<2,1a b ==a b >ln()0a b -=219333=>=1,2a b ==-a b >|1||2|<-3y x =a b >33a b >()f x ()0,+∞f 14f 322-f 232-f 14f 232-f 322-f 322-f 232-f 14f 232-f 322-f 14()f x Q R 331(log )(log 4)4f f ∴=，又在(0，+∞)上单调递减，∴，即.故选C ．例4.【2017天津】已知奇函数在R 上是增函数，.若，，，则a ，b ，c 的大小关系为（）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，从而是上的偶函数，且在上是增函数，，，又，则，所以即，，所以，故选C ．例5.【2017山东】若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，且，，所以选B. 例6.【2019天津理数】已知，，，则的大小关系为（） A ． B ． C ．D ．【答案】A【解析】因为，，，即，所以. 故选A.【最新模拟】1．（2020·福建高三（理））设12a e -=，24b e -=，12c e -=，323d e -=，则a bc d ,,,的大小关系为（）A ．c b d a >>>B ．c d a b >>>C ．c b a d >>>D ．c d b a >>>.【答案】B 【解析】3241e a e e ==，2416b e =，222444e c e e==，249e d e =，由于 2.7e ≈，27.39e ≈，320.09e ≈，所以c d a b >>>，故选：B ．2．（2020·湖南高三学业考试）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a ，223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ()f x 23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x ()()g x xf x =2(log 5.1)a g =-0.8(2)b g =(3)c g =a b c <<c b a <()0f x >()()g x xf x =R [0,)+∞22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=0.822<4 5.18<<22log 5.13<<0.8202log 5.13<<<0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <>1ab =()12112log a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+5log 2a =0.5og 2.l 0b =0.20.5c =,,a b c a c b <<a b c <=10.20.50.50.5c <=<112c <<a c b <<中位数为b ，众数为c ，则有（）.A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】1(15171410151717161412)14.710a =+++++++++=，中位数为1(1515)152b =+=，众数为=17c .故选：B.3.（2020·四川省泸县第二中学高三月考（文））已知3log 6p =，5log 10q =7log 14r =，则p ，q ，r 的大小关系为（）A ．q p r >>B ．p r q >>C ．p q r >>D ．r q p >>【答案】C【解析】依题意得31+log 2p =，51log 2q =+，71log 2r =+，而357log 2log 2log 2>>，所以p q r >>.4. （2020·四川省泸县第四中学高三月考（理））设｛a n ｝是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是数列｛a n ｝是递增数列的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件、C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】1212311101a a a a a a q a q q >⎧<<⇒<<⇒⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，所以数列｛a n ｝是递增数列,若数列{a n }是递增数列，则“a 1＜a 2＜a 3”，因此“a 1＜a 2＜a 3”是数列｛a n ｝是递增数列的充分必要条件，选C 5．（2020·四川棠湖中学高三月考（文））设log a =2019log b =，120192018c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C 【解析】因为20182018201811log 2018log log ,2a =>=>=201920191log log ,2b =<=102019201820181c =>=，故本题选C.6．（2020·北京八十中高三开学考试）设0.10.134,log 0.1,0.5a b c ===，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >> 【答案】C 【解析】0.10.1341,log 0.10,00.51a b c =>=<<=<，a c b ∴>>，故选C .7．（2020·河南高三月考（文））己知a =544log 21b =， 2.913c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >> 【答案】B【解析】因为104661a ==>=，2.95544411log log 10,012133b c ⎛⎫⎛⎫=<=<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以a c b >>，故选：B.8. （2020·广东高三月考（文））已知3log 8a =，0.80.25b -=，c =则（）A ．a b c <=>，∴a c b <<．故选：D.9. （2020·新兴县第一中学高三期末（理））函数()()2x bf x x c -+=+的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．0,0b c <>B ．0,0b c >>C ．0,0b c ><D ．0,0b c <<【答案】C 【解析】∵()()2x bf x x c -+=+的图象与y 轴交于M ,且点M 的纵坐标为正，∴20by c =>，故0b >， ()()2x bf x x c -+=+Q 定义域为{}|x x c ≠-其函数图象间断的横坐标为正，∴0c ->，故0c <.故选：C10.（2020·云南高三（理））已知1t >，235=log ,log ,=log x t y t z t =，则A ．235x y z <，∴325y x z <<，故选D ．11．（2020·天水市第一中学高三月考（理））定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的曲线，且()()2xf x f x e =-，当0x >时，()()f x f x '>恒成立，则下列判断一定正确的是（）A ．()()523e f f <- B ．()()523f e f <- C ．()()523e f f ->D ．()()523f e f -<【答案】B【解析】构造函数()()x f x g x e=，因为()()2xf x f x e =-，所以()()2x f x f x e-=，则()()()()()2x x x x f x f x f x e g x g x e e e ----====，所以()g x 为偶数，当0x >时，()()()0xf x f xg x e'-'=>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以有()()32g g >，则()()32g g ->，即()()3232f f e e-->，即()()532e f f ->. 12. ．（2020·海南中学高三月考）已知函数())lnf x x =，设()3log 0.2a f =，()0.23b f -=，()1.13c f =-，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D【解析】∵())lnf x x =∴()ln()f x x ==∴())f x x -=∵当0x >1x >；当0x <时，01x <<，∴当0x >时，())))f x x x x ==-=，())f x x -=；当0x <时()))f x x x ==；()))f x x x -=-=. ∴()()f x f x =-，∴函数()f x 是偶函数， ∴当0x >时，易得())f x x =为增函数 ∴33(log 0.2)(log 5)a f f ==， 1.1 1.1(3)(3)c f f =-=， ∵31log 52<<，0.2031-<<， 1.133>∴ 1.10.23(3)(log 5)(3)f f f ->>，∴c a b >>，故选D.13. （2020·黑龙江实验中学高三开学考试（文））若2log 3a =，4log 8b =，5log 8c =，则,,a b c 的从大到小顺序为 . 【答案】a b c >>【解析】由于42221log 8log 8log log 2b a ===<=，即a b >.由于48811log 8log 4log 8b c ==>=，即b c >.所以a b c >>. 14、（2020·山东高三月考）已设,a b 都是正数，则“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的条件 .（填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）【答案】必要不充分【解析】由33a b log log ＜，得01b a ＜＜＜或01a b ＜＜＜或1a b ＞＞，由333a b ＞＞，得1a b ＞＞，∴“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的必要不充分条件． 15. （2020·四川省泸县第四中学高三月考（理））已知||()2x f x x =g，3(log a f =，31(log )2b f =，(3)c f ln =，则,,a b c 的从大到小顺序为 . 【答案】c a b >>【解析】由函数的解析式可知函数为奇函数，当0x ≥时，()2xf x x =⋅，此时函数为增函数，结合奇函数的性质可知函数()f x 是定义在R 上的单调递增函数，由于331ln 31log 0log 2>>>>, 故()(3132f ln f log f log ⎛⎫>> ⎪⎝⎭.即c a b >>.16. （2020·河北工业大学附属红桥中学高三月考）已知函数()32cos f x x x =+,若a f =(2),b f =2(log 7),c f =则,,a b c 的从小到大顺序为 . 【答案】b c a << 【解析】因为函数()32cos f x x x =+，所以导数函数()'32f x sinx =-，可得()'320f x sinx =->在R 上恒成立，所以()f x 在R 上为增函数，又因为222log 4log 73=<<<b c a <<，故选D.。

202新数学复习第二章函数导数及其应用2.2函数的单调性与最值学案含解析

第二节函数的单调性与最值课标要求考情分析1。

理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质。

1。

主要考查函数单调性的判定、求单调区间、比较大小、解不等式、求最值及不等式恒成立问题．2．题型以选择题、填空题为主，若与导数交汇命题则以解答题的形式出现,属中高档题.知识点一函数的单调性1．增函数、减函数的定义定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2:(1)增函数：当x1〈x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f（x)在区间D上是增函数；（2）减函数：当x1〈x2时，都有f（x1）〉f(x2)，那么就说函数f(x）在区间D上是减函数．2．单调性、单调区间的定义若函数y＝f(x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数y ＝f（x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x）的单调区间．注意以下结论1．对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，错误!>0⇔f(x)在D上是增函数，错误!<0⇔f（x)在D上是减函数．2．对勾函数y＝x＋错误!(a〉0）的增区间为(－∞,－错误!]和［错误!，＋∞）,减区间为[－错误!，0）和(0，错误!]．3．在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．4．函数f(g（x))的单调性与函数y＝f（u）和u＝g(x）的单调性的关系是“同增异减”．知识点二函数的最值1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）(1）对于函数f（x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有（x1－x2）[f（x1）－f(x2)］〉0,则函数f（x)在区间D上是增函数．(√)（2）函数y＝1x的单调递减区间是（－∞,0）∪(0,＋∞)．（×）（3）对于函数y＝f(x）,若f(1）<f（3)，则f（x)为增函数．(×)（4）函数y＝f（x）在［1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1,＋∞）．（×）解析:（2)此单调区间不能用并集符号连接，取x1＝－1，x2＝1,则f（－1)〈f(1），故应说成单调递减区间为(－∞,0）和（0,＋∞）．(3）应对任意的x1<x2，f（x1)〈f(x2）成立才可以．（4)若f（x)＝x,f（x)在[1，＋∞）上为增函数，但y＝f(x）的单调递增区间是R.2．小题热身（1)下列函数中,在区间（0，＋∞)内单调递减的是（A）A．y＝错误!－x B．y＝x2－xC．y＝ln x－x D．y＝e x(2）函数f（x)＝－x＋错误!在区间错误!上的最大值是(A)A．错误!B．－错误!C．－2 D．2（3)设定义在[－1，7］上的函数y＝f(x)的图象如图所示,则函数y＝f（x)的增区间为［－1,1]和[5,7］．(4）函数f（x）＝错误!的值域为（－∞，2）．（5）函数f(x）＝错误!在[2,6]上的最大值和最小值分别是4,错误!.解析：（1）对于A,y1＝错误!在(0，＋∞）内是减函数，y2＝x在（0，＋∞)内是增函数，则y＝1x－x在（0，＋∞)内是减函数；B,C选项中的函数在（0，＋∞）上均不单调；选项D中，y＝e x 在(0,＋∞）上是增函数．（2）∵函数y＝－x与y＝错误!在x∈错误!上都是减函数，∴函数f（x)＝－x＋错误!在错误!上是减函数，故f(x）的最大值为f（－2）＝2－错误!＝错误!.(3）由图可知函数的增区间为[－1，1］和［5,7]．（4）当x≥1时，f(x）＝log错误!x是单调递减的，此时，函数的值域为(－∞，0]；x<1时，f（x）＝2x是单调递增的,此时,函数的值域为（0,2)．综上，f（x)的值域是(－∞,2)．(5）函数f（x）＝错误!＝错误!＝2＋错误!在［2，6]上单调递减，所以f（x）min＝f（6)＝错误!＝错误!。

学高中数学第二章函数的单调性讲解与例题北师大版必修1

3函数的单调性(1)函数y＝f(x)在区间A上的增加与减少及单调区间在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的．类似地，在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y ＝f(x)在区间A上是递减的．如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的．(2)函数y＝f(x)在数集A上的增加与减少及单调性一般地，对于函数y＝f(x)的定义域内的一个子集A，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，就称函数y＝f(x)在数集A上是增加的．类似地，在函数y＝f(x)的定义域内的一个子集A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，就称函数y＝f(x)在数集A上是减少的．如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．(3)单调函数如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．谈重点函数单调性的理解函数的单调性的定义是用数学符号来刻画函数的图像特征，它反映了函数图像的变化趋势(当自变量增大时，函数值是增大还是减小，图像是上升还是下降)．正确理解单调性的定义，应抓住以下几个重要字眼：(1)“定义域内”．研究函数的很多性质，我们都应有这样一个习惯：定义域优先．函数的单调性是对定义域内某个子区间而言的，即单调区间是定义域的子集，所以，在考察函数单调性时，必须先看函数的定义域．(2)“区间”．函数的单调性是对定义域内某个相应的区间而言的，离开相应的区间就谈不上函数的增减性．我们不能说一个函数在x＝5时是增加的或减少的，因为这时没有一种可比性，没突出变化，所以我们不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增加的或是减少的．(3)“任意”和“都有”．“任意”两个字很重要，它是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”的意思是：只要x1＜x2，f(x1)就必须都小于f(x2)，或f(x1)都大于f(x2)．对“任意”二字不能忽视，如考查函数y＝x2在区间[－2,2]上的单调性，如果取两个特定的值x1＝－2，x2＝1，显然x1＜x2，而f(x1)＝4，f(x2)＝1，有f(x1)＞f(x2)，若由此判定y ＝x2在[－2,2]上是减少的，那就错了．原因就在于x1，x2是定值，不具有任意性．同样地，“都有”两个字也很重要，如函数y＝x2在[－2,2]上，当x1＝－2，x2＝－1时，有f(x1)＞f(x2)；当x1＝1，x2＝2时，有f(x1)＜f(x2)．我们可以看到对于x1＜x2，f(x1)并没有始终小于(或者大于)f(x2)，因此就不能说y＝x2在[－2,2]上是增加的或是减少的．【例1－1】下列说法不正确的有( )．①函数y＝x2在(－∞，＋∞)上具有单调性，且在(－∞，0)上是减少的；②函数1yx的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在其上是减函数；③函数y＝kx＋b(k∈R)在(－∞，＋∞)上一定具有单调性；④若x1，x2是f(x)的定义域A上的两个值，当x1＞x2时，有f(x1)＜f(x2)，则y＝f(x)在A上是增函数．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①函数y＝x2在(－∞，0]上是减少的，在[0，＋∞)上是增加的，故其在(－∞，＋∞)上不具有单调性；②(－∞，0)和(0，＋∞)都是函数1yx=的单调区间，在这两个区间上函数是减少的，但1yx=在整个定义域上不是减函数，因为存在x1＝－1＜1＝x2，f(x1)＝－1，f(x2)＝1，有f(x1)＜f(x2)成立，不符合减函数的定义；③当k＝0时，y＝b，此时函数是一个常数函数，不具有单调性；④因为x1，x2是定义域上的两个定值，不具有任意性，所以不能由此判定函数的单调性．答案：D【例1－2】若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )．A．32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)＜f(2)B．f(－1)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(2)C．f(2)＜f(－1)＜32 f⎛⎫-⎪⎝⎭D．f(2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)解析：∵函数f(x)对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，∴f(－2)＝f(2)．∵f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2＜32-＜－1，∴f(－2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)，即f(2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)．答案：D【例1－3】定义在R上的函数f(x)是增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图像上的两点，那么不等式|f(x＋1)|＜1的解集为( )．A．(－1,2) B．[3，＋∞)C．[2，＋∞) D．(－∞，－1]∪(2，＋∞)解析：∵A(0，－1)，B(3,1)是函数f(x)图像上的两点，∴f(0)＝－1，f(3)＝1.由|f(x＋1)|＜1得－1＜f(x＋1)＜1，即f(0)＜f(x＋1)＜f(3)．∵f(x)是定义在R上的增函数，∴由单调函数的定义可知，0＜x＋1＜3，∴－1＜x＜2.答案：A2．函数单调性的判断方法(1)图像法对于简单函数或可化为简单函数的函数，由于其图像较容易画出，因此，可利用图像的直观性来判断函数的单调性，写出函数的单调区间．谈重点函数单调区间的求解及书写12．书写函数的单调区间时应该注意以下几点：(1)如果一个函数有多个单调增(减)区间，这些增(减)区间应该用逗号隔开(即“局部”)或用“和”来表示，而不能用并集的符号“∪”连接(并完之后就成了“整体”)．例如f(x)＝1x的单调减区间可以写成(0，＋∞)，(－∞，0)〔或者写成(0，＋∞)和(－∞，0)〕，但不能写成(0，＋∞)∪(－∞，0)．(2)确定已知函数的单调区间要有整体观念，本着宁大勿小的原则，即求单调区间则应求“极大”区间．如虽然函数y＝x2在区间[2,3]，[5,9]，[1，＋∞)上都是递增的，但在写这个函数的递增区间时应写成[0，＋∞)，而不能写区间[0，＋∞)的任一子集区间．(3)书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，若函数在区间端点处有定义且图像在该点处连续，则书写函数的单调区间时，既可以写成闭区间，也可以写成开区间；若函数在区间端点处没有定义，则书写函数的单调区间时必须写成开区间．(2)定义法如果要证明一个函数的单调性，目前只能严格按照定义进行，步骤如下：①取值：设x1，x2为给定区间内任意的两个值，且x1＜x2(在证明函数的单调性时，由于x1，x2的取值具有任意性，它代表区间内的每一个数，所以，在证题时，不能用特殊值来代替它们)；②作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值的符号的方向变形(作差后，尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完全平方式的和的形式，这是值得学习的解题技巧，在判断因式的正负号时，经常采用这种变形方法)；③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论(判断符号的依据是自变量的范围、假定的大小关系及符号的运算法则)；④判断：根据定义作出结论(若x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，则给定函数是增函数；异号，就是减函数)．【例2－1】已知四个函数的图像如下图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是( )．解析：来考虑．根据函数单调性的定义可知函数B 在定义域内为增函数．答案：B析规律单调性图像的表现形式函数的单调性反映在图像上是函数图像在指定的区间上(也可以是定义域)从左到右越来越高或越来越低(注意一个点也不能例外，如本例C 中的函数只有一个点例外，受此点影响，该函数在整个定义域上不具有单调性)，这是函数单调性在函数图像上的直观表现．【例2－2】画出函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋3的图像，说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性．分析：含有绝对值符号的函数解析式，可根据绝对值的意义，将其转化为分段函数，画出函数图像后，观察曲线在哪些区间上是上升的，在哪些区间上是下降的，即可确定函数的单调区间及单调性．解：f (x )＝22230230.x x x x x x ⎧-++≥⎪⎨--+<⎪⎩，，，当x ≥0时，f (x )＝－(x －1)2＋4，其开口向下，对称轴为x ＝1，顶点坐标为(1,4)，且f (3)＝0，f (0)＝3；当x ＜0时，f (x )＝－(x ＋1)2＋4，其开口向下，对称轴为x ＝－1，顶点坐标为(－1,4)，且f (－3)＝0.作出函数的图像(如图)，由图看出，函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增加的，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减少的．解技巧利用函数图像确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、形状，确定函数的单调区间．【例2－3】(1)证明函数f (x )＝在定义域上是减函数；(2)证明函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数； (3)证明函数f (x )＝1x x+在(0,1)上为减函数．分析：证明函数的单调性，关键是对函数在某一区间上任意两个函数值f (x 1)，f (x 2)的差f (x 1)－f (x 2)进行合理的变形，尽量变为几个最简单的因式的乘积或几个完全平方式的和的形式．证明：(1)f (x )＝的定义域为[0，＋∞)，任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＝((-=＝0=>，即f (x 1)＞f (x 2)．由单调函数的定义可知，函数f (x )＝在定义域[0，＋∞)上是减函数． (2)设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0.∴f (x 1)－f (x 2)＝(x 13＋x 1)－(x 23＋x 2)＝(x 13－x 23)＋(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 12＋x 1x 2＋x 22)＋(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 12＋x 1x 2＋x 22＋1)＝(x 1－x 2)2212213124x x x ⎡⎤⎛⎫+++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．由单调函数的定义可知，函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数． (3)设x 1，x 2∈(0,1)且x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0.∴f (x 1)－f (x 2)＝121211x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝(x 1－x 2)＋2112x x x x -＝(x 1－x 2)1211x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝121212()(1)x x x x x x --.∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)． ∴由单调函数的定义可知，函数f (x )＝1x x+在(0,1)上为减函数．警误区证明函数单调性的常见错误在第(1)题中，有的同学认为由0≤x 1＜x 2，可得0≤<函数y =的单调性，而y =的单调性我们没作证明，因此不能使用；在第(1)题中还使若函数y ＝f (x )在给定的区间A 上是增加的，设x 1，x 2∈A ，且x 1＜x 2，则有f (x 1)＜f (x 2)；若函数y ＝f (x )在给定的区间A 上是减少的，设x 1，x 2∈A ，且x 1＜x 2，则有f (x 1)＞f (x 2)．所以，当给定的两个自变量在同一单调区间上时，可直接比较相应的两个函数值的大小．否则，可以先把它们转化到同一单调区间上，再利用单调性比较大小．【例3】设函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与34f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系为________．解析：已知函数f (x )的单调性，比较两个函数值f (a 2－a ＋1)与34f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小，可以转化为判断a 2－a ＋1的取值范围以及a 2－a ＋1与34的大小关系．∵a2－a＋1＝2133244a⎛⎫-+≥>⎪⎝⎭，又∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴当12a≠时，a2－a＋1＞34，有f(a2－a＋1)＜34f⎛⎫⎪⎝⎭；当12a=时，a2－a＋1＝34，有f(a2－a＋1)＝34f⎛⎫⎪⎝⎭.综上可知，f(a2－a＋1)≤34f⎛⎫⎪⎝⎭.答案：f(a2－a＋1)≤34 f⎛⎫ ⎪⎝⎭4．利用函数的单调性确定参数范围已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围时，要注意利用数形结合的思想，运用函数单调性的逆向思维思考问题．这类问题能够加深对概念、性质的理解．例如：已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4]上是减少的，求实数a的取值范围．由于二次函数是我们最熟悉的函数，遇到二次函数就画图像，会给我们研究问题带来很大方便．要使f(x)在(－∞，4]上是减函数，由二次函数的图像可知，只要对称轴x＝1－a≥4即可，解得a≤－3.谈重点分段函数的单调性求分段函数在定义域上的单调性问题时，不但要考虑各段上函数的类型及其单调性，而且还要考虑各段图像之间的上下关系．【例4】已知函数f(x)＝(3)411a x a xaxx-+<⎧⎪⎨≥⎪⎩，，，是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a的取值范围．分析：函数f(x)是一个分段函数，其图像由两部分组成．当x＜1时，f(x)＝(3－a)x＋4a，其图像是一条射线；当x≥1时，f(x)＝ax，其图像由a的取值确定，若a＝0，则为一条与x轴重合的射线，若a≠0，则为反比例函数图像的一部分(曲线)．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则在两段上必须都是递减的，且要保证x＜1时的图像位于x≥1时的图像的上方．解：由题意知，函数f(x)＝(3－a)x＋4a，x＜1与f(x)＝ax，x≥1都是减少的，且前者图像位于后者图像的上方(如图所示)．∴30(3)4aaa a a-<⎧⎪>⎨⎪-+≥⎩，，，即3,0,3.2aaa⎧⎪>⎪>⎨⎪⎪≥-⎩∴a＞3.∴实数a的取值范围是{a|a＞3}．5．利用函数的单调性求函数的最值若函数在给定的区间上是单调函数，可利用函数的单调性求最值．若给定的单调区间是闭区间，函数的最值在区间的两个端点处取得，也就是说，若函数f (x )在某一闭区间[a ，b ]上是增函数，则最大值在右端点b 处取得，即y max ＝f (b )；最小值在左端点a 处取得，即y min ＝f (a )．若函数f (x )在某一闭区间[a ，b ]上是减函数，则最大值在左端点a 处取得，即y max ＝f (a )；最小值在右端点b 处取得，即y min ＝f (b )．解题时也可结合函数的图像，得出问题的答案．以下是基本初等函数的最值： ①正比例函数y ＝kx (k ≠0)在定义域R 上不存在最值，但在闭区间[a ，b ]上存在最值．当k ＞0时，函数y ＝kx 的最大值为f (b )＝kb ，最小值为f (a )＝ka ；当k ＜0时，函数y ＝kx 的最大值为f (a )＝ka ，最小值为f (b )＝kb .②反比例函数y ＝kx(k ≠0)在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不存在最值，但在闭区间[a ，b ](ab ＞0)上存在最值．当k ＞0时，函数y ＝k x 的最大值为f (a )＝k a ，最小值为f (b )＝k b ；当k ＜0时，函数y ＝kx的最大值为f (b )＝k b ，最小值为f (a )＝ka .③一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在定义域R 上不存在最值，但在闭区间[m ，n ]上存在最值．当k ＞0时，函数y ＝kx ＋b 的最大值为f (n )＝kn ＋b ，最小值为f (m )＝km ＋b ；当k ＜0时，函数y ＝kx ＋b 的最大值为f (m )＝km ＋b ，最小值为f (n )＝kn ＋b .【例5－1】求函数y ＝x 2＋x －1在区间[a ，a ＋1]上的值域．解：函数y ＝x 2＋x －1的对称轴为12x =-，开口方向向上． ①当a ＋1＜12-，即32a <-时，区间[a ，a ＋1]在对称轴的左侧， ∴y 在[a ，a ＋1]上单调递减．∴当x ＝a ＋1时，y min ＝a 2＋3a ＋1；当x ＝a 时，y max ＝a 2＋a －1. ②当12a >-时，区间[a ，a ＋1]在对称轴的右侧， ∴y 在[a ，a ＋1]上单调递增．∴当x ＝a 时，y min ＝a 2＋a －1；当x ＝a ＋1时，y max ＝a 2＋3a ＋1.③当a ≤12-≤a ＋1，即3122a -≤≤-时，当12x =-时，y min ＝54-；当1122a a ≤-<+，即－1＜a ≤12-时，当x ＝a ＋1时，y max ＝a 2＋3a ＋1；当11122a a +≤-≤+，即32-≤a ≤－1时，当x ＝a 时，y max ＝a 2＋a －1.综上可知，函数y 在区间[a ，a ＋1]上的值域为当32a <-时，[a 2＋3a ＋1，a 2＋a －1]；当32-≤a ≤－1时，25,14a a ⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦；当－1＜a≤12-时，25,314a a⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦；当a＞12-时，[a2＋a－1，a2＋3a＋1]．【例5－2】求f(x)＝x+的最小值．分析：求函数f(x)＝x+的最小值，可先利用单调函数的定义判断其在定义域上的单调性，再利用单调性求出最值．解：f(x)＝x[1，＋∞)，任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋)＝(x1－x2)＋(-)＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)·1⎛⎝.∵x1＜x2，∴x1－x2＜0.④二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c在定义域R上有最小值2424b ac bfa a-⎛⎫-=⎪⎝⎭，无最大值；当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c在定义域R上有最大值2424b ac bfa a-⎛⎫-=⎪⎝⎭，无最小值．求解二次函数在某区间上的最值，应判断它的开口方向、对称轴与区间的位置关系，若含有字母应注意分类讨论，解题时最好结合图像解答．以上基本初等函数的最值作为结论记住，可以提高解题速度．6．利用函数的单调性解不等式函数的单调性具有可逆性，即f(x)在区间D上是递增的，则当x1，x2∈D且f(x1)＞f(x2)时，有x1＞x2〔事实上，若x1≤x2，则f(x1)≤f(x2)，这与f(x1)＞f(x2)矛盾〕．类似地，若f(x)在区间D上是递减的，则当x1，x2∈D且f(x1)＞f(x2)时，有x1＜x2.利用函数单调性的可逆性，可以脱去某些函数符号，把抽象的不等式化为具体的不等式．此时要特别注意处在自变量位置的代数式必须满足定义域的要求，最后取几个不等式解集的交集即可．又∵1＋1x1－1＋x2－1＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．∴f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1.析规律利用单调性求最值利用函数的单调性求最值，其规律为：若f(x)在[a，b]上是递增的，则f(a)≤f(x)≤f(b)，即最大值为f(b)，最小值为f(a)；若f(x)在[a，b]上是递减的，则f(b)≤f(x)≤f(a)，即最大值为f(a)，最小值为f(b)．【例6】已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(a2－1)，求a的取值范围．分析：由于函数y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(a2－1)，所以由单调函数的定义可知1－a∈(－1,1)，a2－1∈(－1,1)，且1－a＞a2－1，解此关于a的不等式组，即可求出a的取值范围．解：由题意可得2211111111aaa a-<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩，①，②，③由①得0＜a＜2，由②得0＜a2＜2，∴0＜|a|，∴a<<，且a≠0.由③得a2＋a－2＜0，即(a－1)(a＋2)＜0，∴1020aa->⎧⎨+<⎩，，或1020aa-<⎧⎨+>⎩，，∴－2＜a＜1.综上可知0＜a＜1，∴a的取值范围是{a|0＜a＜1}．一般地，如果f(x)，g(x)在给定区间上具有单调性，则可以得到如下结论：(1)f(x)，g(x)的单调性相同时，f(x)＋g(x)的单调性与f(x)，g(x)的单调性相同．(2)f(x)，g(x)的单调性相反时，f(x)－g(x)的单调性与f(x)的单调性相同．(3)y＝f(x)在区间I上是递增(减)的，c，d都是常数，则y＝cf(x)＋d在I上是单调函数．若c＞0，y＝cf(x)＋d在I上是递增(减)的；若c＜0，y＝cf(x)＋d在I上是递减(增)的．(4)f(x)恒为正或恒为负时，1()yf x=与y＝f(x)单调性相反．(5)若f(x)＞0，则函数y＝f(x)与y=具有相同的单调性．(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调区间求解步骤：①将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)；②分别确定各个函数的定义域；③分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间；④若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则y＝f[g(x)]为增函数；若为一增一减，则y＝f[g(x)]为减函数．该法可简记为“同增异减”．值得注意的是：在解答题中不能利用它作为论证的依据，必须利用定义证明．【例7】求y=的单调区间，并指明在该区间上的单调性．分析：这是一个复合函数，应先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断法则确定其单调性．解：要使函数y=有意义，需满足x2＋2x－3≥0，即(x－1)(x＋3)≥0.∴1030xx-≥⎧⎨+≥⎩，，或1030xx-≤⎧⎨+≤⎩，，∴x≥1，或x≤－3.∴函数y={x|x≥1，或x≤－3}．令u＝x2＋2x－3，则y=，易知u＝(x＋1)2－4，其开口向上，对称轴为x＝－1.∴当x≥1时，u是x的增函数，y是u的增函数，从而y是x的增函数；当x≤－3时，u是x的减函数，y是u的增函数，从而y是x的减函数．∴y=的递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(－∞，－3]．警误区函数的定义域与单调区间由于函数的单调区间一定是函数定义域的子集，所以我们在求函数的单调区间时，一定要先求函数的定义域，在函数的定义域内讨论函数的单调区间．8．抽象函数的单调性问题没有具体的函数解析式的函数，我们称为抽象函数，关于抽象函数的单调性，常见的有以下题型：(1)抽象函数单调性的证明．证明抽象函数的单调性，必须用单调函数的定义作出严格证明，而不能用几个特殊值的大小来检验，证明时要同时注意特殊值的应用．(2)抽象函数单调性的应用．如，利用抽象函数的单调性求函数的最值、解不等式等．【例8】已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝23 -.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．解：(1)令x＝y＝0得，f(0)＋f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0.令y＝－x得，f(x)＋f(－x)＝f(0)，∴f(－x)＝－f(x)．任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.又∵当x＞0时，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)．∴f(x)在R上是减函数．(2)∵f(x)在[－3,3]上是减少的，∴f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3×23⎛⎫-⎪⎝⎭＝－2，最大值为f(－3)＝－f(3)＝2.。

完整版)函数的单调性知识点与题型归纳

完整版)函数的单调性知识点与题型归纳备考知考情：在高考中，理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义以及运用基本初等函数的图象分析函数的性质是非常重要的。

函数的单调性是热点，常见问题有求单调区间、判断函数的单调性、求参数的取值、利用函数单调性比较数的大小以及解不等式等。

客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用。

题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现。

一、知识梳理在研究函数单调性之前，必须先求函数的定义域。

函数的单调区间是定义域的子集，单调区间不能并。

知识点一：函数的单调性单调函数的定义：若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f(x)的单调区间。

注意：1.定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值。

2.函数的单调区间必须是定义域的子集。

3.定义有两种变式。

问题探究：1.关于函数单调性的定义应注意哪些问题？1）定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值。

2）函数的单调区间必须是定义域的子集。

3）定义有两种变式。

2.单调区间的表示注意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示。

如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结。

知识点二：单调性的证明方法：定义法及导数法高频考点例1：规律方法1) 定义法：利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形（如“分解因式”、配方成同号项的和等）；③依据差式的符号确定其增减性。

2) 导数法：x＋1x＋1a>0)由定义可知。

f(x1f(x2即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．法二：导数法f′(x)＝a(x＋1)－axx＋1)2ax＋1)2a>0，x∈(－1，＋∞))即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．例2.（2）《名师一号》P16高频考点例1（2）判断函数f(x)＝x2－2x＋3在R上的单调性，并证明．法一：导数法f′(x)＝2x－22(x－1)当x<1时，f′(x)<0，即f(x)在(－∞，1)上为减函数；当x>1时，f′(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)上为增函数．综上可知，f(x)在R上单调性不同．法二：二次函数法对于任意实数x，有f(x)＝(x－1)2＋2因为平方项非负，所以f(x)的最小值为2，即f(x)≥2；又因为当x＝1时，f(x)＝2，所以f(x)的最小值为2，即f(x)≥2；又因为当x＝1时，f(x)＝2，所以f(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．综上可知，f(x)在R上单调性不同．例3.（1）《名师一号》P16高频考点例1（3）设f(x)＝exax－b，其中a，b为常数，证明：当a2<4时，f(x)在R上为凸函数；当a2>4时，f(x)在R上为下凸函数；当a2＝4时，f(x)在R上为抛物线．证明：f′(x)＝exaf′′(x)＝ex当a20，即f(x)在R上为凸函数；当a2>4时，f′′(x)<0，即f(x)在R上为下凸函数；当a2＝4时，f′′(x)＝0，即f(x)为抛物线．因此，当a2<4时，f(x)在R上为凸函数；当a2>4时，f(x)在R上为下凸函数；当a2＝4时，f(x)在R上为抛物线．2.1、解析：根据题意，我们可以列出不等式a-2<0，解得a≤2.代入原式得到实数a的取值范围为(-∞。

(完整版)函数的单调性知识点总结及练习,推荐文档

8．已知函数 y （f x) 在 R 上是增函数，且 f(m2)＞f(-m)，则 m 的取值范围是:
__________．
9．函数 f (x) x2 2x 8 的单调减区间
．
10．若函数 f (x) 4x2 mx 5 m 在[2, ) 上是增函数，则实数 m 的取值范为
；
11．函数 y x2 2 | x | 1的单调增区间为
3．常见结论若 f(x)为减函数，则-f(x)为增函数；若 f(x)>0（或<0）且为增函数，则函数 1 在其定义域内为减函数．
f (x)
1
二、例题精讲题型 1：单调性的判断 1．写出下列函数的单调区间
（1） y kx b,
（2） y k ， x
（3） y ax 2 bx c ．
2.3 函数的单调性
学习目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．重点难点：函数单调性的应用一、知识点梳理
1．函数单调性定义：对于给定区间 D 上的函数 f(x)，若对于任意 x 1 ,x 2 ∈D,
当 x 1 <x 2 时，都有 f(x 1 ) <f(x 2 )，则称 f(x)是区间 D 上的增函数，D 叫 f(x)单调递增区间．
2．函数 y 2x2 x 1的单调递增区间为_______________________．
3．已知 f (x) (2k 1)x b 在 R 上是增函数，则 k 的取值范围是______________．
4．下列说法中，正确命题的个数是______________．
①函数 y x2 在 R 上为增函数；
当 x 1 <x 2 时，都有 f(x 1 )> f(x 2 )，则称 f(x)是区间：（1）定义法．步骤是：

高考数学一轮复习讲义函数的单调性(学生版),最牛总结

第二讲函数的单调性1．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(3)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论M 为最大值 M 为最小值考向一单调区间求解【例1】（1）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A.y ＝2－xB.y ＝xC.y ＝log 2xD.y ＝－1x(2)函数f (x )＝ln (x 2－2x －8) 的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞) (3)求函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|的单调区间． (4)求函数f (x )＝x －ln x 的单调区间．(5)函数33y x x =-的单调增区间为__________．【举一反三】1．下列函数中，在上单调递减的是A ．B ．C ．D ．2．函数的单调递减区间是（）A ．B ．C ．D ．3．函数()| g x x =的单调递增区间是 ( )【套路总结】一．函数单调性的判断方法有 ①定义法； ②图象法；③利用已知函数的单调性； ④导数法.二．复合函数y ＝f (g (x ))的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.A ． [)0+∞，B ． (]0-∞，C ． (]2-∞-，D ． [)2+-∞，考向二单调性的运用一---比较大小【例2】定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25) B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32) C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3)【举一反三】1.已知f (x )＝2x－2－x，117459279,,log 97a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则f (a )，f (b )，f (c )的大小顺序为( ) A.f (b )<f (a )<f (c ) B.f (c )<f (b )<f (a ) C.f (c )<f (a )<f (b )D.f (b )<f (c )<f (a )2.已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c3．设，，，则A． B． C． D．4．已知，，，则x，y，z的大小关系是A． B． C． D．考向三单调性的运用二---解不等式【例3】（1）f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x －8)≤2时，x的取值范围是( )A．(8，＋∞) B．(8,9] C．[8,9] D．(0,8)（2）已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x 的取值范围是( )A.[－2，2]B.[－1，1]C.[0，4]D.[1，3]【举一反三】1．若，则实数的取值范围是( )A． B． C． D．2．设函数，则满足的x的取值范围是（）A． B． C． D．3．定义在R 上的偶函数在上单调递增，且，则满足的x 的集合为______．4．设函数,若,则实数a 的取值范围是 _______。

第二章第三节函数的单调性

满足－m)<f(m2)的实若上的增函数，为上的增函数则满足f(2－的实数m的取值范围是的取值范围是 .
解析：上为增函数，解析：∵f(x)在R上为增函数，在上为增函数 ∴2－m<m2， 2－ ∴m2＋m－2>0，－， ∴m>1或m<－2. 或－答案：－，－，－2)∪ ，＋，＋∞) 答案：(－∞，－ ∪(1，＋
【解】 (1)当a＝当＝联想到g(x)＝x＋＝＋联想到
时，f(x)＝x＋＝＋
＋2，，
的单调性，猜想到求的最值的单调性，猜想到求f(x)的最值
，＋∞) 在(－1，＋－，＋
∵x1>x2>－1，x2－x1<0，x1＋1>0，x2＋1>0，－，，，， ∴ ∴y＝＝ <0，即y1－y2<0，y1<y2. ，，，＋∞)上是减函数在(－1，＋上是减函数－，＋上是减函数.
求函数的单调性或单调区间的方法 1.利用已知函数的单调性利用已知函数的单调性. 利用已知函数的单调性 2.定义法：先求定义域，再利用单调性定义. 定义法：先求定义域，再利用单调性定义定义法 3.图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者的图象图象法：如果是以图象形式给出的或者f(x)的图象是以图象形式给出的，图象法易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间. 4.导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间. 导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间导数法
3.定号：根据给定的区间和x2－x1的符号，确定差定号：根据给定的区间和的符号，定号 f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号当符号不确定时，的符号.当符号不确定时－或－的符号当符号不确定时，可以进行分类讨论. 可以进行分类讨论 4.判断：根据定义得出结论. 判断：根据定义得出结论判断

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【第二章计算题类型】
计算：
(1)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8； (2)23×612×332. （3）lg2·lg 52
＋lg0.2·lg40. （利用函数单调性比大小）★常考类型★
1-1．设120.7a =，120.8b =，c 3log 0.7=，则（）.
A. c >
B. b a c >>
C. c a b >>
D. b c a >>
1-3.设a ＝log 132，b ＝log 13
3，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，则( ) A ．a<b<c B ．a<c成立的x 的取值范围是（）.
A. 3(,)2+∞
B. 2(,)3+∞
C. 1(,)3+∞
D.1
(,)3
-+∞
1-5.设1a >,函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为1
2,则a =（）.
B. 2
C.
D. 4
1-6. 函数y=log a x 在[2,4]上的最大值比最小值大1,求a 的值。

1-7. 若a>0且a ≠1,且log a 4
3<1,则实数a 的取值范围是（）。

A.0<a<1 B. 0<a<43 C. a>43或0<a<43 D.0<a<4
3或a>1 1-8. 若实数a 满足log a 2＞1，则a 的取值范围为________．
【恒过定点问题★常考类型★】
2-1.函数y =a x +1（a ＞0且a ≠1）的图象必经过点（）.
A.（0，1）
B. （1，0）
C.（2，1）
D.（0，2）
2-2. 若a >0且a ≠1，则函数y ＝a x －1－1的图像一定过点___。

2-3.函数y= log a (x+1)-2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点。

2-4. 已知函数y ＝3＋log a (2x ＋3)(a ＞0且a ≠1)的图象必经
过点P ，则P 点坐标________．
2-5. 函数f (x )＝log a (3x －2)＋2(a ＞0且a ≠1)恒过定点_______。

（幂函数的解析式求值）★常考类型★
3-1．如果幂函数()f x x α=的图象经过点2
，则(4)f 的值等于（）. A. 16 B. 2 C. 116 D. 12
3-2. 幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2，则(8)f 的值为（指数型函数应用题——人口计算）
4-1. 世界人口已超过56亿，若千分之一的年增长率，则两年增长的人口可相当于一个（）.
A.新加坡(270万)
B.香港(560万)
C.瑞士(700万)
D.上海(1200万) 4-2.已知1992年底世界人口达到54.8亿.
（1）若人口的平均增长率为1.2%，写出经过t 年后的世界人口数y （亿）与t 的函数解析式；
（2）若人口的平均增长率为x %，写出2010年底世界人口数为y （亿）与x 的函数解析式. 如果要使2010年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？
解：（1）经过t 年后的世界人口数为
*54.8(1 1.2)54.8 1.012,t t y t N =⨯+%=⨯∈.
（2）2010年底的世界人口数y 与x 的函数解析式为
1854.8(1)y x =⨯+%.
由1854.8(1)y x =⨯+%≤66.8，
解得1001) 1.1x ≤⨯≈. 所以，人口的年平均增长率应控制在1.1%以内.
点评：解应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案. 此题由增长率的知识，可以得到指数型或幂型函数，并得到关于增长率的简单不等式，解决实际中增长率控制问题.
【定义域的求解——★常考类型★】
5.
函数2()lg(31)f x x =
++的定义域是（）. A.1
(,)3-+∞ B. 1(,1)3- C. 11(,)33- D. 1(,)3
-∞-
【分段函数的函数值求解——★常考类型★】
6.设,0(),0x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩，则1(())2g g = 【反函数的应用（★常考知识考点★）】
7-1. 设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，其反函数的图
像过点(2,8)，则a b +等于（）.
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
7-2. 函数x y a =的反函数的图象过点(9,2)，则a 的值为
【选做题：函数奇偶性的考察（★常考知识考点★）】
8.
函数())f x x =是函数.
9.已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a
+-+=+是奇函数. 求,a b 的值. 10. 设12
1()log 1ax f x x -=-为奇函数，a 为常数. （1）求a 的值；
（2）证明()f x 在区间（1，＋∞）内单调递增；
（3）若对于区间[3,4]上的每一个x 值，不等式()f x >1()2
x m +恒成立，
求实数m 的取值范围．。