抽象函数奇偶性对称性周期性总结
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
分段函数的周期：设 y f (x) 是周期函数，在任意一个周期内的图像为 C: y f (x),
x a,b,T b a 。把 y f (x)沿x轴平移KT K(b a) 个单位即按向量
a (kT,0)平移，即得y f (x) 在其他周期的图像：
y f (x kT), x kT a, kT b。
y＝f(*＋a)为奇函数，则 f(－*＋a)＝－f(a＋*)
〔3〕y＝f(*＋a)为偶〔或奇〕函数，等价于单层函数 y＝f(*)关于直线*＝
a 轴对称〔或关于点〔a，0〕中心对称〕
.
>
.
3、复合函数的对称性 性质 3 复合函数 y＝f(a＋*)与 y＝f(b－*)关于直线*＝〔b－a〕/2 轴对称 性质 4、复合函数 y＝f(a＋*)与 y＝－f(b－*)关于点〔〔b－a〕/2，0〕中 心对称 推论 1、 复合函数 y＝f(a＋*)与 y＝f(a－*)关于 y 轴轴对称 推论 2、 复合函数 y＝f(a＋*)与 y＝－f(a－*)关于原点中心对称 4、函数的周期性 假设 a 是非零常数，假设对于函数 y＝f(*)定义域内的任一变量*点有以下 条件之一成立，则函数 y＝f(*)是周期函数，且 2|a|是它的一个周期。 ①f(*＋a)＝f(*－a) ②f(*＋a)＝－f(*) ③f(*＋a)＝1/f(*) ④f(*＋a)＝－1/f(*) 5、函数的对称性与周期性 性质 5 假设函数 y＝f(*)同时关于直线*＝a 与*＝b 轴对称，则函数 f(*)必 为周期函数，且 T＝2|a－b| 性质 6、假设函数 y＝f(*)同时关于点〔a，0〕与点〔b，0〕中心对称，则 函数 f(*)必为周期函数，且 T＝2|a－b| 性质 7、假设函数 y＝f(*)既关于点〔a，0〕中心对称，又关于直线*＝b 轴 对称，则函数 f(*)必为周期函数，且 T＝4|a－b|
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论直线Ax By ^0成轴对称;2Ax By C =0成轴对称。
9, y_2B(A X + B 罗C))= o 关于直线③ F (x, y) = 0与F (x _经A 二二2 A 2 B 2Ax ? By ? C =0成轴对称。
、函数对称性的几个重要结论(一)函数y = f(x)图象本身的对称性(自身对称)若f(x a^_f(x b)，则f(x)具有周期性；若f (a ?x)=：「f(b -x)，则f (x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、f(a+x) = f(b —x) u y = f(x)图象关于直线 x =l a Z x LL (b _x) =a ￡b 对称2 2推论1: f (a ? x) = f (a - x) = y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称推论2、f (x) = f (2a - x) = y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称推论3、f(-x)二f (2a ? x) ：= y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称2、 f(a+x) + f (b —x) =2c 二y=f(x)的图象关于点(兰匕c)对称2推论 1、f (a ? x) ? f (a -x) = 2b ：= y = f (x)的图象关于点(a,b)对称推论2、f (x) ? f (2a - x) = 2b ：= y = f (x)的图象关于点(a,b)对称推论3、f (-x) ? f(2a ? x) =2b = y = f(x)的图象关于点(a,b)对称(二)两个函数的图象对称性(相互对称) (利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、偶函数y =f(x)与y = f(-x)图象关于Y 轴对称2、奇函数y =f(x)与y 二-f(-x)图象关于原点对称函数3、函数y = f (x)与y - - f (x)图象关于X 轴对称4、互为反函数y 二f (x)与函数y 二f'(x)图象关于直线y =x 对称② 函数…(x)与一2驚￥。
函数的奇偶性、对称性与周期性总结-史上最全
函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。
高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。
本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。
需要WORD 电子文档的同学，可以入群领取。
1.奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。
①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-()()()0,1()f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
()()-()0,1()f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
《分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f/函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= "7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2=8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、若.2 , )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
函数奇偶性对称性周期性知识点总结文档
函数奇偶性对称性周期性知识点总结文档函数的奇偶性、对称性和周期性是函数图像特征的重要方面。
在数学中，研究函数的这些特性可以帮助我们更好地理解函数的行为和性质。
本文将对函数的奇偶性、对称性和周期性进行总结。
一、函数的奇偶性奇偶性是指函数关于坐标原点或者其中一点的对称性。
如果函数f(x)满足f(x)=f(-x)，则称函数为偶函数；如果函数f(x)满足f(x)=-f(-x)，则称函数为奇函数。
1.偶函数的特点：（1）关于y轴对称，即函数的图像关于y轴对称；（2）具有对称性质，即对于任意x，有f(x)=f(-x)；（3）如果函数f(x)在定义域内可导，则偶函数的导函数也是偶函数。
2.奇函数的特点：（1）关于原点对称，即函数的图像关于原点对称；（2）具有对称性质，即对于任意x，有f(x)=-f(-x)；（3）如果函数f(x)在定义域内可导，则奇函数的导函数也是奇函数。
二、函数的对称性对称性是指函数图像关于其中一直线、其中一点或者其中一中心进行对称的性质。
1.关于y轴对称：如果函数f(x)满足f(x)=f(-x)，则函数关于y轴对称。
这意味着函数的图像在y轴左右对称。
2.关于x轴对称：如果函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，则函数关于x轴对称。
这意味着函数的图像在x轴上下对称。
3.关于原点对称：如果函数f(x)满足f(-x)=-f(-x)，则函数关于原点对称。
这意味着函数的图像在原点对称。
三、函数的周期性周期性是指函数在一定区间内以一些特定的周期重复出现的性质。
1.周期函数：如果函数f(x)在定义域的一些区间内满足f(x+T)=f(x)，其中T为正数，则称函数为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的图像在段区间内重复出现。
2.周期函数的性质：（1）在一个周期内，函数具有相同的性质和特点；（2）相邻两个周期之间的函数值关系相同；（3）周期函数的图像在一个周期内是相似的。
四、函数的判断在实际问题中，我们根据函数的表达式或者图像来判断函数的奇偶性、对称性和周期性。
函数奇偶性对称性周期性知识点总结
函数奇偶性对称性周期性知识点总结函数的奇偶性、对称性和周期性是数学中经常研究的重要性质。
它们描述了函数的特征和性质，对于理解函数的行为和解决问题都具有重要意义。
下面将分别对这三个概念进行总结。
一、函数的奇偶性1.奇函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数为奇函数。
即函数在原点关于y轴对称。
奇函数的特点：-奇函数的图像关于原点(0,0)对称。
-当函数的定义域包括0时，即使x等于0，函数值仍然等于0。
常见的奇函数有：- 正弦函数sin(x)。
-奇数次幂的多项式函数，如x^3、x^5等。
2.偶函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数为偶函数。
即函数在原点关于x轴对称。
偶函数的特点：-偶函数的图像关于x轴对称。
-当函数的定义域包括0时，对于任意的x，f(0)=f(-x)=f(x)。
常见的偶函数有：- 余弦函数cos(x)。
-偶数次幂的多项式函数，如x^2、x^4等。
3.奇偶性的判断方法：-对于已知函数，可以通过代数运算证明是否满足奇偶性的定义。
-函数图像的轴对称性可以直接判断奇偶性。
-对于周期函数，可以利用周期性的性质判断奇偶性。
二、函数的对称性1.关于y轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数关于y轴对称。
即函数的图像左右对称。
2.关于x轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于x轴对称。
即函数的图像上下对称。
3.关于原点对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于原点对称。
即函数的图像关于原点对称。
三、函数的周期性1.周期函数：如果存在一个正实数T，对于函数f(x)，对于任意的x，都有f(x+T)=f(x)，那么称该函数为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的特点：-周期函数在一个周期内的函数值是相同的。
单调性、奇偶性、周期性、对称性、抽象函数知识点(函数性质)
f (x1) f (x2 )
f ( x1 x2 x2 ) f (x2 )
f (x1 x2 ) f (x2 ) f (x2 )
f ( x1 x2 )
3. f (xy) f (x) f ( y)
f (x1)
f (x2 )
f ( x1 x2
x2 )
f (x2 )
f ( x1 ) x2
求此函数的周期。
1. f (x y) f (x) f ( y)
f (x1) f (x2 ) f (x1 x2 x2 ) f (x2 ) f (x1 x2 ) f (x2 ) f (x2 ) f (x1 x2 ) 2. f (x y) f (x) f ( y)
ห้องสมุดไป่ตู้
如果在所有的周期中存在着一个最小的 正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期.
如：潮汐现象的函数中，12h、24h、36h 都是 一个周期，但是最小的是12h，所以这 函数的最小正周期是12h.
注意：今后所称周期，若无特别说明，均指 函数的最小正周期。
3.诱导公式1：终边相同角的同名三角函数值 相等
抽象概括：
1.函数的周期性 对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的 常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，
f(x+T)=f(x) 都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数， T叫做函数的一个周期，称y=f(x)具有周期性。
①常数T≠0，不一定是正数； ②如果T 为函数的一个周期，那么T的整数倍nT 也是函数的周期； ③对定义域内任意x， f(x+T)=f(x)都成立；
由此，你能得出正弦、余弦、正切函数 的周期性的哪些结论？
(1) f (x a) f (x a)
抽象函数的对称性与周期性
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较 困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。
一、函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、函数的轴对称：推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称特殊地，函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称。
2、 函数的点对称：推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称特殊地，若()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则()x f y =的图象关于点()0,a 对称。
特殊地，若()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称。
二、函数的周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一.概念:
抽象函数是指未给出具体函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足条件的函数,
如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等。
它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,
由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，
“内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、 图象关于直线 对称
推论1： 的图象关于直线 对称
推论2、 的图象关于直线 对称
推论3、 的图象关于直线 对称
2、 的图象关于点 对称
推论1、 的图象关于点 对称
推论2、 的图象关于点 对称
推论3、 的图象关于点 对称
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
1、偶函数 与 图象关于Y轴对称
2、奇函数 与 图象关于原点对称函数
3、函数 与 图象关于X轴对称
4、互为反函数 与函数 图象关于直线 对称
5、函数 与 图象关于直线 对称
推论1:函数 与 图象关于直线 对称
推论2:函数 与 图象关于直线 对称
推论3:函数 与 图象关于直线 对称
（三）抽象函数的对称性与周期性
答案： 。
2、比较函数值大小
例3.若 是以2为周期的偶函数，当 时 试比较 、 、 的大小.
解：∵ 是以2为周期的偶函数，
又∵ 在 上是增函数且 ，
∴
3、求函数解析式
例4.（1989年高考题）
设 是定义在区间 上且以2为周期的函数，对于 ，用 表示区间 已知当 时， 求 在 上的解析式.
解：设
时，有
做抽象函数题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力及函数知识灵活运用的能力
1、周期函数的定义：
若对于函数 定义域内的任意 都存在非零常数 使得 恒成立，
则称函数 具有周期性， 叫做 的一个周期，且 也是 的周期。
所有周期中的最小正数叫 的最小正周期。
分段函数的周期：
设 是周期函数，在任意一个周期内的图像为C: 。
推论1、复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称
推论2、复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称
4、函数的周期性
设a是非零常数，
若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，
①f(x＋a)＝f(x－a)；②f(x＋a)＝－f(x)；③f(x＋a)＝1/f(x)；④f(x＋a)＝－1/f(x)。
是以2 为周期的函数， .
例5．设 是定义在 上以2为周期的周期函数且 是偶函数，在区间 上， 。求 时， 的解析式.
解：当 ，即 ，
易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。
2、复合函数的奇偶性
定义1若对于定义域内任一变量x均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y＝f[g(x)]为偶函数。
定义2若对于定义域内任一变量x均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y＝f[g(x)]为奇函数。
则函数y＝f(x)是周期函数且2|a|是它的一个周期。
5、函数的对称性与周期性
性质5若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数T＝2|a－b|
性质6若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数且T＝2|a－b|
性质7若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|
把 沿 轴平移 个单位，即按向量 平移即得 在其他周期的图像： 。
2、奇偶函数：
设 或
；
。
分段函数的奇偶性（略）
3、函数的对称性：
（1）中心对称（即：点对称）
（2）轴对称（对称轴方程为 ）
二、函数对称性的几个重要结论
（一）函数 图象本身的对称性（自身对称）
若 ，则 具有周期性；
若 ，则 具有对称性：
1、抽象函数的对称性
性质1若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：
①f(a＋x)＝f(a－x)；②f(2a－x)＝f(x)；③f(2a＋x)＝f(－x)。
性质2若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：
①f(a＋x)＝－f(a－x)；②f(2a－x)＝－f(x)；③f(2a＋x)＝－f(－x)
6、函数对称性的应用
（1）若 ,
即
（2）例题
1、 ;
2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称： 。
3、若 的图像关于直线 对称。
设
则 .
（四）常用函数的对称性
三、函数周期性的几个重要结论
1、 ( ) 的周期为 ， ( )也是函数的周期
2、 的周期为
3、 的周期为
4、 的周期为
5、 的周期为
6、 的周期为
7、 的周期为
8、 的周期为
9、 的周期为
10、若
11、 有两条对称轴 和 周期
推论：偶函数 满足 周期
12、 有称轴 和一个对称中心 的
四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型
灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，
说明：
①复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，
复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。
②两个特例：y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；
y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)
它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.
下面通过实例说明其应用类型。
1.求函数值
例1.（1996年高考题）
设 是 上的奇函数， 当 时， ，则 等于（）
（A）0.5;（B）-0.5;（C）1.5;（D）-1.5.
例2．（1989年北京市中学生数学竞赛题）
若 是定义在实数集上的函数且 ， 求 的值.
③“y＝f(x＋a)为偶（或奇）函数”等价于：
“单层函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称（或关于点（a，0）中心对称）”
3、复合函数的对称性
性质3复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线x＝（b－a）/2轴对称
性质4复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点（（b－a）/2，0）中心对称