抽象函数的周期性和对称性的解析及配套例题(兼详细答案)
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题资料
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
抽象函数的周期性与对称性(精)
抽象函数的周期性与对称性(精)抽象函数的周期性和对称性问题可以通过恒等式简单判断。
如果函数满足f(x+a)=f(-x+a)，那么它是偶函数，对称轴为x=a，周期为T=2a。
如果函数满足f(x+a)=-f(-x+a)，那么它是奇函数，对称中心为(a,0)。
如果函数满足f(a-x)=f(b+x)，那么它的对称轴为x=(a+b)/2，周期为T=|b-a|。
如果函数满足f(x+a)=-f(x-a)，那么它的对称中心为(a,0)，周期为T=2a。
需要注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别，对称轴或对称中心的位置可以通过对应法则求得。
例如，对于已知定义在实数集上的奇函数f(x)，满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为-1.又如，如果函数f(x)对于任意实数x都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于x=1对称。
练1：如果函数y=f(x+1)是偶函数，则y=f(x)的图像关于x=1对称。
练2：如果函数y=f(x)满足11f(x+3)=-f(x)，且f(3)=1，则f(2010)=-1/2.23、已知函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，且当x>2时，f(x)=2x-3，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= 2f(3)+f(1)+f(5)=2(2×3-3)+2×1-3+2×5-3= 8.4、已知函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，当-1≤x≤1时，f(x)=x。
要求求出f(7.5)的值。
由奇函数的定义可知，f(5.5)=f(-5.5)，即f(7.5)=f(-7.5)。
又因为f(x+4)=-f(x+2)=-(-f(x))=f(x)，所以f(x+4k)=f(x)，其中k为整数。
故f(-7.5)=f(-7.5+4×2)=f(0)=-f(0)，即f(0)=0.又f(1)+f(-1)=0，所以f(1)=-f(-1)。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论直线Ax By ^0成轴对称;2Ax By C =0成轴对称。
9, y_2B(A X + B 罗C))= o 关于直线③ F (x, y) = 0与F (x _经A 二二2 A 2 B 2Ax ? By ? C =0成轴对称。
、函数对称性的几个重要结论(一)函数y = f(x)图象本身的对称性(自身对称)若f(x a^_f(x b)，则f(x)具有周期性；若f (a ?x)=：「f(b -x)，则f (x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、f(a+x) = f(b —x) u y = f(x)图象关于直线 x =l a Z x LL (b _x) =a ￡b 对称2 2推论1: f (a ? x) = f (a - x) = y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称推论2、f (x) = f (2a - x) = y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称推论3、f(-x)二f (2a ? x) ：= y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称2、 f(a+x) + f (b —x) =2c 二y=f(x)的图象关于点(兰匕c)对称2推论 1、f (a ? x) ? f (a -x) = 2b ：= y = f (x)的图象关于点(a,b)对称推论2、f (x) ? f (2a - x) = 2b ：= y = f (x)的图象关于点(a,b)对称推论3、f (-x) ? f(2a ? x) =2b = y = f(x)的图象关于点(a,b)对称(二)两个函数的图象对称性(相互对称) (利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、偶函数y =f(x)与y = f(-x)图象关于Y 轴对称2、奇函数y =f(x)与y 二-f(-x)图象关于原点对称函数3、函数y = f (x)与y - - f (x)图象关于X 轴对称4、互为反函数y 二f (x)与函数y 二f'(x)图象关于直线y =x 对称② 函数…(x)与一2驚￥。
函数的对称性与周期性例题、习题(供参考)
函数的对称性与周期性【知识梳理】1. 周期的概念：设函数(),y f x x D =∈，如果存在非零常数T ，使得对任意x D ∈都有 ，则函数()y f x =为周期函数，T 为()y f x =的一个周期；2. 周期函数的其它形式()()f x a f x b +=+⇒ ；()()f x a f x +=-⇒ ；()()1f x a f x +=⇒ ； ()()1f x a f x +=-⇒ ；)(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔ ，)(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)()()2(x f a x f a x f -+=+⇔ 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔ ，3. 函数图像的对称性1）.若()()f x f x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 2）.若()()0f x f x +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 3）若()()f a x f a x +=-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 4）若()()2f x f a x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 5）若()()2f a x f a x b ++-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 6）若()()22f x f a x b +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 4. 常见函数的对称性1）函数()()0ax bf x c cx d+=≠+的图像关于点 对称；2）函数()()0f x ax b a =-≠的图像关于直线 对称； 3）函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像关于直线 对称； 【例题选讲】题型一 根据解析式判断函数图像的对称性 1. 函数()2331x f x x +=-的图像关于 对称； 2. 函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x -=，则()f x 的图像关于 对称； 3. 函数()23f x x =-的图像关于 对称；4. 函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像关于直线 对称；关于点 对称；题型二 平移变换后，函数图像的对称性1.已知函数()y f x =是偶函数，()2f x -在[]0,2递减，则( )2.已知()2y f x =-是偶函数，则()y f x =的图像关于 对称；3.已知()y f x =是奇函数，则()12y f x =+-的图像关于 对称； 题型三 函数图像的对称性求函数解析式1.已知()f x 的图像关于直线2x =对称，且(]0,1x ∈时，()212f x x x=+，求[)3,4x ∈时，()f x 的解析式； 2.已知()f x 的图像关于点()2,0-对称，且(]0,1x ∈时，()212f x x x=+，求[)5,4x ∈--时，()f x 的解析式； 3.已知()f x 的图像关于点()1,2-对称，且(]0,1x ∈时，()212f x x x=+，求[)1,2x ∈时，()f x 的解析式； 题型四 函数周期性和图像对称的应用1.若函数()()2,22x x a bf x a b R ⋅+=∈+的图像关于点()1,0对称，求,a b 满足的关系；2.已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x R ∈，都有()()22f x f x +=-(1)若()0f x =有50个根，求所有这些根的和；(2)若()0f x =有51个根，求所有这些根的和；3.若()f x 有两条对称轴x a =和()x b a b =≠，求证：()f x 是以2T a b =-为周期的周期函数；4.设()f x 是定义在R 上的偶函数，它的图像关于直线2x =对称，当[]2,2x ∈-时，()21f x x =-+，求[]6,2x ∈--时，()f x 的解析式；5.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()()121f x f x f x ++=-，求证函数()f x 是周期函数；题型五 综合应用1．设()f x 是定义在区间(),-∞+∞上以2为周期的函数，对于k Z ∈，用k I 表示区间(]21,21k k -+，已知当0x I ∈时，2()f x x =（1）求()f x 在k I 上的解析式；（2）对自然数k ，求集合{|k M a =使方程f x ax =（）在k I 上有两个不等实根}。
专题05 函数周期性,对称性,奇偶性问题(解析版)
【详解】因为 f (x 1) 为偶函数，所以 f (x 1) f (x 1) ，所以 f (x 2) f (x) ， 因为 f (x 2) 为奇函数，所以 f (x 2) f (x 2) ，
所以 f (x 2) f (x) ，所以 f (x 4) f (x 2) f (x) ，
专题 05 函数周期性，对称性，奇偶性问题
一、结论（同号周期，异号对称.）
1、周期性：
已知定义在 R 上的函数 f (x) ,若对任意 x R ,总存在非零常数T ,使得 f (x T ) f (x) ,则称 f (x)
是周期函数, T 为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下: (1)如果 f (x a) f (x) ( a 0 ),那么 f (x) 是周期函数,其中的一个周期 T 2a
所以 f x 关于 3,0 对称，所以 f x f 6 x 0 ，
因为 f x f 2 x ， f x f 6 x 0 ，
所以 f 6 x f 2 x ，故 f x f x 4 f x 8 ，故 f x 的周期为 8，
因为 f x 关于 x 1 对称，关于 3,0 对称，所以 f x 关于 x 5 对称，
所以 f (x 2) f (x) ，从而 f (x 4) f (x 2) f (x) ， f (x) 是周期函数，且周期为 4，所以 f (2k 1) 0, k Z ， 因为 f (x) 的图象关于直线 x 2 对称，也关于点 (1, 0) 对称， 所以 f (x) 的图象关于点 (3, 0) 对称，所以 f (2) f (4) 0 ， 所以 f (2) f (3) f (4) f (5) 0 ，
所以 f (x) 是以 4 为周期的周期函数， 由 f (x 2) f (x 2) ，令 x 0 ，得 f (2) f (2) ，则 f (2) 0 ， 又 f (1) f (2) 2 ，得 f (1) 2 ， 由 f (x 2) f (x 2) ，令 x 1 ，得 f (1) f (3) ，则 f (3) 2 ， 由 f (x 2) f (x) ，令 x 2 ，得 f (4) f (2) 0 ， 则 f (1) f (2) f (3) f (4) 0 ，
函数的周期性、对称性(解析版)
函数的周期性、对称性一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x -e 2+ln ex e -x ，若f e 2020 +f 2e2020+⋅⋅⋅+f 2018e 2020 +f 2019e 2020 =20192a +b ，其中b >0，则12a+a b 的最小值为()A.34B.54C.2D.22【答案】A【解析】因为f x =x -e 2+ln exe -x，所以f x +f e -x =x -e 2+ln ex e -x +(e -x )-e2+ln e (e -x )e -(e -x )=lnex e -x +ln e (e -x )x =ln exe -x ⋅e (e -x )x=ln e 2=2，令S =f e 2020 +f 2e 2020 +⋅⋅⋅+f 2018e 2020 +f 2019e2020 则2S =f e 2020 +f 2019e 2020 +f 2e 2020 +f 2018e 2020 +⋅⋅⋅+f 2019e 2020 +f e2020 =2×2019所以S =2019所以20192a +b =2019，所以a +b =2，其中b >0，则a =2-b .当a >0时12|a |+|a |b =12a +2-b b =12a +2b -1=12a +2b ⋅(a +b )2-1=1252+b 2a +2a b-1≥1252+2b 2a ⋅2a b -1=54当且仅当b 2a =2a b, 即 a =23,b =43 时等号成立；当a <0时 12|a |+|a |b =1-2a +-a b =1-2a +b -2b =1-2a +-2b +1=121-2a +-2b ⋅(a +b )+1=12-52+b -2a +-2ab +1≥12-52+2b -2a ⋅-2a b +1=34，当且仅当 b -2a =-2a b, 即 a =-2,b =4 时等号成立；因为34<54，所以12|a |+|a |b 的最小值为34.故选：A .2.(2023春·重庆·高三统考阶段练习)已知函数f (x )=ln x 2+1-x +1，正实数a ,b 满足f (2a )+f (b -4)=2，则4b a +a2ab +b 2的最小值为( )A.1B.2C.4D.658【答案】B【解析】f x +f -x =ln x 2+1-x +1+ln x 2+1+x +1=2，故函数f x 关于0,1 对称，又f x 在R 上严格递增；f (2a )+f (b -4)=2,∴2a +b -4=0即2a +b =4.4b a +a 2ab +b 2=4b a +a b 2a +b =4b a +a4b ≥24b a ⋅a 4b=2.当且仅当a =169,b =49时取得.故选：B .3.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 的定义域为R ，f 2x +2 为偶函数，f x +1 为奇函数，且当x ∈0,1 时，f x =ax +b .若f 4 =1，则3i =1f i +12=( )A.12B.0C.-12D.-1【答案】C【解析】因为f 2x +2 为偶函数，所以f -2x +2 =f 2x +2 ，用12x +12代替x 得：f -x +1 =f x +3 ，因为f x +1 为奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ，故f x +3 =-f x +1 ①，用x +2代替x 得：f x +5 =-f x +3 ②，由①② 得：f x +5 =f x +1 ，所以函数f x 的周期T =4，所以f 4 =f 0 =1，即b =1，因为f -x +1 =-f x +1 ，令x =0得：f 1 =-f 1 ，故f 1 =0，f 1 =a +b =0，解得：a =-1，所以x ∈0,1 时，f x =-x +1，因为f -x +1 =-f x +1 ，令x =12，得f 12 =-f 32 ，其中f 12 =-12+1=12，所以f 32 =-12，因为f -2x +2 =f 2x +2 ，令x =14得：f -2×14+2 =f 2×14+2 ，即f 32 =f 52 =-12，因为T=4，所以f 72 =f72-4=f-12，因为f-x+1=-f x+1，令x=32得：f-12=-f52 =12，故f 72 =12，3 i=1fi+12=f32 +f52 +f72 =-12-12+12=-12.故选：C4.(2023·四川资阳·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R，f x-2为偶函数，f x-2+f-x=0，当x∈-2,-1时，f x =1a x-ax-4(a>0且a≠1)，且f-2=4．则13k=1f k=( )A.16B.20C.24D.28【答案】C【解析】因为f x-2是偶函数，所以f-x-2=f(x-2)，所以f(x)=f(-x-4)，所以函数f(x)关于直线x=-2对称，又因为f x-2+f-x=0，所以-f x-2=f-x，所以f(x)=-f(-x-2)，所以f(x)关于点(-1,0)中心对称，由f(x)=f(-x-4)及f(x)=-f(-x-2)得f(-x-4)=-f(-x-2)所以f(-x-4)=-f(-x-2)=f(-x)所以函数f(x)的周期为4，因为当x∈-2,-1时，f x =1a x-ax-4(a>0且a≠1)，且f-2=4，所以4=1a-2+2a-4，解得：a=2或a=-4，因为a>0且a≠1，所以a=2.所以当x∈-2,-1时，f x =12x-2x-4，所以f(-2)=4,f(-1)=0，f(-3)=f(-1)=0，f(0)=-f(-2)=-4，f(1)=f(1-4)=f(-3)=0，f(2)=f(-2)=4，f(3)=f(-1)=0，f(4)=f(0)=-4，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=8，所以13k=1f k=f(1)+3×8=24,故选：C.5.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则22k=1f k =( )A.-21B.-22C.-23D.-24【答案】D【解析】因为y =g (x )的图像关于直线x =2对称，所以g 2-x =g x +2 ，因为g (x )-f (x -4)=7，所以g (x +2)-f (x -2)=7，即g (x +2)=7+f (x -2)，因为f (x )+g (2-x )=5，所以f (x )+g (x +2)=5，代入得f (x )+7+f (x -2) =5，即f (x )+f (x -2)=-2，所以f 3 +f 5 +⋯+f 21 =-2 ×5=-10，f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-2 ×5=-10.因为f (x )+g (2-x )=5，所以f (0)+g (2)=5，即f 0 =1，所以f (2)=-2-f 0 =-3.因为g (x )-f (x -4)=7，所以g (x +4)-f (x )=7，又因为f (x )+g (2-x )=5，联立得，g 2-x +g x +4 =12，所以y =g (x )的图像关于点3,6 中心对称，因为函数g (x )的定义域为R ，所以g 3 =6因为f (x )+g (x +2)=5，所以f 1 =5-g 3 =-1.所以∑22k =1f (k )=f 1 +f 2 +f 3 +f 5 +⋯+f 21 +f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-1-3-10-10=-24.故选：D6.(2023·全国·高三专题练习)设函数f x =x 3+ax 2+bx +2a ,b ∈R ，若f 2+x +f 2-x =8，则下列不等式正确的是( )A.f e +f 32>8 B.f e +f 2-3 >8C.f ln7 +f 2+3 >8 D.f ln5 +f 3ln2 <8【答案】C【解析】由题(2+x )3+a (2+x )2+b (2+x )+2+(2-x )3+a (2-x )2+b (2-x )+2=8，化简整理得(6+a )x 2+2(2a +b +3)=0，于是6+a =0，2a +b +3=0⇒a =-6，b =9，所以f (x )=x 3-6x 2+9x +2，进而f (x )=3x 2-12x +9=3(x -1)(x -3)，据此，f (x )在(-∞，1)，(3，+∞)上单调递增，f (x )在(1，3)上单调递减，因为f (2+x )+f (2-x )=8，即f (x )+f (4-x )=8．对于A ，由f (e )+f (4-e )=8，又1<4-e <32<3，所以f (4-e )>f 32，即f (e )+f 32<8，故A 错误；对于B ，f (2-3)=(2-3)3-6(2-3)2+9(2-3)+2=4，因为1<2<e<3，所以f(2)>f(e)，而f(2)=23-6×22+9×2+2=4，所以f(e)+f(2-3)<8，故B错误；对于C，f(2+3)=(2+3)3-6(2+3)2+9(2+3)+2=4，而1<ln7<2，所以f(ln7)>f(2)=4，所以f(ln7)+f(2+3)>8，故C正确；对于D，由f(ln5)+f(4-ln5)=8，因为1<3ln2<4-ln5<3，所以f(3ln2)>f(4-ln5)，所以f(ln5)+f(3ln2)>8，故D错误.故选：C．7.(2023·全国·高三专题练习)定义在R上的奇函数f x 满足f2-x=f x ，且在0,1上单调递减，若方程f x =-1在0,1上所有实根之和是( )上有实数根，则方程f x =1在区间-1,11A.30B.14C.12D.6【答案】A【解析】由f2-x=f x 知函数f x 的图象关于直线x=1对称，∵f2-x=f x ，f x 是R上的奇函数，∴f-x=f x+2=-f x ，∴f x+4=f x ，∴f x 的周期为4，考虑f x 的一个周期，例如-1,3，由f x 在0,1上是增函数，上是减函数知f x 在1,2f x 在-1,0上是减函数，f x 在2,3上是增函数，对于奇函数f x 有f0 =0，f2 =f2-2=f0 =0，故当x∈0,1时，f x <f2 =0，时，f x <f0 =0，当x∈1,2当x∈-1,0时，f x >f0 =0，当x∈2,3时，f x >f2 =0，方程f x =-1在0,1上有实数根，则这实数根是唯一的，因为f x 在0,1上是单调函数，则由于f2-x上有唯一实数，=f x ，故方程f x =-1在1,2在-1,0上f x >0，和2,3则方程f x =-1在-1,0上没有实数根，和2,3从而方程f x =-1在一个周期内有且仅有两个实数根，当x∈-1,3，方程f x =-1的两实数根之和为x+2-x=2，当x∈-1,11，方程f x =-1的所有6个实数根之和为x+2-x+4+x+4+2-x+x+8+2-x+8=2+8+2+8+2+8=30.故选：A.8.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f x =ax3+bx2+cx+d a≠0，给出定义：设f'x 是函数y=f x 的导数，f″x 是f'x 的导数，若方程f″x =0有实数解x0，则称点x0,f x0为函数y =f x 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数g x =13x3-12x2+3x-512，则g12019+g22019+⋯+g20182019=( )A.2016B.2017C.2018D.2019【答案】C【解析】函数g x =13x3-12x2+3x-512，函数的导数g'x =x2-x+3，g'x =2x-1，由g'x0=0得2x0-1=0，解得x0=12，而g12 =1，故函数g x 关于点12,1对称，∴g x +g1-x=2，故设g12019+g22019+...+g20182019=m，则g20182019+g20172019+...+g12019=m，两式相加得2×2018=2m，则m=2018，故选C.9.(2023春·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习)定义在R上的函数f x 满足f-x+f x =0 ,f x =f2-x，且当x∈0,1时，f x =x2.则函数y=7f x -x+2的所有零点之和为( ) A.7 B.14 C.21 D.28【答案】B【解析】依题意，f x 是奇函数.又由f x =f2-x知，f x 的图像关于x=1对称.f x+4=f1+x+3=f1-x+3=f-2-x=-f2+x=-f2--x=-f-x=f x ，所以f x 是周期为4的周期函数.f2+x=f1+1+x=f1-1+x=f-x=-f x =-f2-x，所以f x 关于点2,0对称.由于y=7f x -x+2=0⇔f x =x-2 7从而函数y=7f x -x+2的所有零点之和即为函数f x 与g x =x-27的图像的交点的横坐标之和.而函数g x =x-27的图像也关于点2,0对称.画出y=f x ，g x =x-27的图象如图所示.由图可知，共有7个交点，所以函数y=7f x -x+2所有零点和为7×2=14.故选：B10.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R上的可导函数f x 的导函数为f (x)，满足f (x)<f(x)且f x+3为偶函数，f(x+1)为奇函数，若f(9)+f(8)=1，则不等式f x <e x的解集为( )A.-3,+∞B.1,+∞C.(0,+∞)D.6,+∞【答案】C【解析】因为f x+3为偶函数，f(x+1)为奇函数，所以f x+3=f-x+3，f(x+1)+f(-x+1)=0.所以f x =f-x+6，f(x)+f(-x+2)=0，所以f(-x+6)+f(-x+2)=0.令t=-x+2，则f(t+4)+f(t)=0.令上式中t取t-4，则f(t)+f(t-4)=0，所以f(t+4)=f(t-4).令t取t+4，则f(t)=f(t+8)，所以f(x)=f(x+8).所以f x 为周期为8的周期函数.因为f(x+1)为奇函数，所以f(x+1)+f(-x+1)=0，令x=0，得：f(1)+f(1)=0，所以f(1)=0，所以f(9)+f(8)=1，即为f(1)+f(0)=1，所以f(0)=1.记g x =f xe x，所以gx =f x -f xe x.因为f (x)<f(x)，所以g x <0，所以g x =f xe x在R上单调递减.不等式f x <e x可化为f xe x<1，即为g x <g0 .所以x>0.故选：C11.(2023·全国·高三专题练习)设函数f x 的定义域为R，f x+1为奇函数，f x+2为偶函数，当x∈1,2时，f(x)=ax2+b．若f0 +f3 =6，则f 92 =( )A.-94B.-32C.74D.52【答案】D【解析】[方法一]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路一：从定义入手．f 92 =f 52+2 =f -52+2 =f -12 f -12 =f -32+1 =-f 32+1 =-f 52-f 52 =-f 12+2 =-f -12+2 =-f 32所以f 92 =-f 32 =52．[方法二]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数f x 的周期T =4．所以f 92=f 12 =-f 32 =52．故选：D ．二、多选题12.(2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知定义域为R 的函数f x 在-1,0 上单调递增，f 2+x =f 2-x ，且图象关于3,0 对称，则f x ( )A.周期T =4B.在0,2 单调递减C.满足f 2021 <f 2022 <f 2023D.在0,2023 上可能有1012个零点【答案】ABD【解析】A 选项：由f (2+x )=f (2-x )知f (x )的对称轴为x =2，且f (4+x )=f (-x )，又图象关于3,0 对称，即f (3+x )=-f (3-x )，故f (6+x )=-f (-x )，所以-f (4+x )=f (6+x )，即-f (x )=f (2+x )，所以f (x )=f (x +4)，f (x )的周期为4，正确；B 选项：因为f (x )在-1,0 上单调递增，T =4，所以f (x )在3,4 上单调递增，又图象关于3,0 对称，所以f (x )在2,3 上单调递增，因为关于x =2对称，所以f (x )在1,2 上单调递减，f (1)=f (3)=0，故f (x )在0,2 单调递减，B 正确；C 选项：根据周期性，f (2021)=f (1)，f (2022)=f (2)，f (2023)=f (3)，因为f (x )关于x =2对称，所以f (1)=f (3)=0，f (2)<f (1)，故f (2022)<f (2021)=f (2023)，错误；D 选项：在0,4 上，f (1)=f (3)=0，f (x )有2个零点，所以f (x )在0,2020 上有1010个零点，在2020,2023 上有2个零点，故f (x )在0,2023 上可能有1012个零点，正确，故选：ABD ．13.(2023春·广东广州·高三统考阶段练习)已知函数f x 、g x 的定义域均为R ，f x 为偶函数，且f x +g 2-x =1，g x -f x -4 =3，下列说法正确的有( )A.函数g x 的图象关于x =1对称 B.函数f x 的图象关于-1,-1 对称C.函数f x 是以4为周期的周期函数 D.函数g x 是以6为周期的周期函数【答案】BC【解析】对于A 选项，因为f x 为偶函数，所以f -x =f x ．由f x +g 2-x =1，可得f -x +g 2+x =1，可得g 2+x =g 2-x ，所以，函数g x 的图象关于直线x =2对称，A 错；对于B 选项，因为g x -f x -4 =3，则g 2-x -f -2-x =3，又因为f x +g 2-x =1，可得f x +f -2-x =-2，所以，函数f x 的图象关于点-1,-1 对称，B 对；对于C 选项，因为函数f x 为偶函数，且f x +f -2-x =-2，则f x +f x +2 =-2，从而f x +2 +f x +4 =-2，则f x +4 =f x ，所以，函数f x 是以4为周期的周期函数，C 对；对于D 选项，因为g x -f x -4 =3，且f x =f x -4 ，∴g x -f x =3，又因为f x +g 2-x =1，所以，g x +g 2-x =4，又因为g 2-x =g 2+x ，则g x +g x +2 =4，所以，g x +2 +g x +4 =4，故g x +4 =g x ，因此，函数g x 是周期为4的周期函数，D 错.故选：BC .14.(2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)设定义在R 上的函数f x 与g x 的导函数分别为f x 和g x ，若f x +2 -g 1-x =2，f x =g x +1 ，且g x +1 为奇函数，则下列说法中一定正确的是( )A.g 1 =0 B.函数g x 的图象关于x =2对称C.2021k =1f k g k =0D.2022k =1g k =0【答案】AC【解析】因为g x +1 为奇函数，所以g x +1 =-g -x +1 ，取x =0可得g 1 =0，A 对，因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x +2 +g 1-x =0；所以f x +g 3-x =0，又f x =g x +1 ，g x +1 +g 3-x =0，故g 2+x +g 2-x =0，所以函数g x 的图象关于点(2,0)对称，B 错，因为f x =g x +1 ，所以f x -g x +1 =0，所以f x -g x +1 =c ，c 为常数，因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x -g 3-x =2，所以g x +1 -g 3-x =2-c ，取x =1可得c =2，所以g x +1 =g 3-x ，又g x +1 =-g -x +1 ，所以g 3-x =-g -x +1 ，所以g x =-g x -2 ，所以g x +4 =-g x +2 =g (x )，故函数g (x )为周期为4的函数，因为g x +2 =-g x ，所以g 3 =-g 1 =0，g 4 =-g 2 ，所以g (1)+g (2)+g (3)+g (4)=0，所以2022k =1g k =g (1)+g (2)+g (3)+g (4) +g (5)+g (6)+g (7)+g (8) +⋅⋅⋅+g (2017)+g (2018)+g (2019)+g (2020) +g (2021)+g (2022)，所以2022k =1g k =505×0+ g (2021)+g (2022)=g (1)+g (2)=g (2)，由已知无法确定g (2)的值，故2022k =1g k 的值不一定为0，D 错；因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x +2 =2-g x +1 ，f x +6 =2-g x +5 ，所以f x +2 =f (x +6)，故函数f (x )为周期为4的函数，f (x +4)g (x +4)=f (x )g (x )所以函数f (x )g (x )为周期为4的函数，又f (1)=2-g (0)，f (2)=2-g (1)=2，f (3)=2-g (2)=2+g (0)，f (4)=2-g (3)=2，所以f (1)g (1)+f (2)g (2)+f (3)g (3)+f (4)g (4)=0+2g (2)+2g (4)=0，所以2021k =1f k g k =505f (1)g (1)+f (2)g (2)+f (3)g (3)+f (4)g (4) +f (2021)g (2021)2021k =1f kg k =f (1)g (1)=0 ，C 对，故选：AC .15.(2023·全国·高三专题练习)设函数y =f (x )的定义域为R ，且满足f (x )=f (2-x )，f (-x )=-f (x -2)，当x ∈(-1,1]时，f (x )=-x 2+1，则下列说法正确的是( )A.f (2022)=1B.当x ∈4,6 时，f (x )的取值范围为-1,0C.y =f (x +3)为奇函数D.方程f (x )=lg (x +1)仅有5个不同实数解【答案】BCD【解析】依题意，当-1<x<0时，0<f x <1，当0≤x≤1时，0≤f x ≤1，函数y=f(x)的定义域为R，有f(x)=f(2-x)，又f(-x)=-f(x-2)，即f(x)=-f(-x-2)，因此有f(2-x)=-f(-x-2)，即f(x+4)=-f(x)，于是有f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，从而得函数f(x)的周期T=8，对于A，f2022=-f0 =-1，A不正确；=f252×8+6=f6 =f-2对于B，当4≤x≤5时，0≤x-4≤1，有0≤f(x-4)≤1，则f(x)=-f(x-4)∈[-1,0]，当5≤x≤6时，-4≤2-x≤-3，0≤(2-x)+4≤1，有0≤f[(2-x)+4]≤1，f(x)=f(2-x)=-f[(2-x)+4]∈[-1,0]，当x∈4,6，B正确；时，f(x)的取值范围为-1,0对于C，f(x+3)=-f[(x+3)+4]=-f(x-1)=-f[2-(x-1)]=-f(-x+3)，函数y=f(x+3)为奇函数，C正确；对于D，在同一坐标平面内作出函数y=f(x)、y=lg(x+1)的部分图象，如图：方程f(x)=lg(x+1)的实根，即是函数y=f(x)与y=lg(x+1)的图象交点的横坐标，观察图象知，函数y=f(x)与y=lg(x+1)的图象有5个交点，因此方程f(x)=lg(x+1)仅有5个不同实数解，D正确.故选：BCD16.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R上的单调递增的函数f x 满足：任意x∈R，有f1-x+f1+x=2，f2+x=4，则( )+f2-xA.当x∈Z时，f x =xB.任意x∈R，f-x=-f xC.存在非零实数T，使得任意x∈R，f x+T=f xD.存在非零实数c，使得任意x∈R，f x -cx≤1【答案】ABD【解析】对于A，令x=1-t，则f t +f2-t=2，=2，即f x +f2-x又f2+x=4-2-f x=f x +2；=4-f2-x+f2-x=4，∴f x+2令x=0得：f1 +f1 =2，f2 +f2 =4，∴f1 =1，f2 =2，则由f x+2=f x +2可知：当x∈Z时，f x =x，A正确；对于B ，令x =1+t ，则f -t +f 2+t =2，即f -x +f 2+x =2，∴f -x =2-f 2+x =2-4-f 2-x =f 2-x -2，由A 的推导过程知：f 2-x =2-f x ，∴f -x =2-f x -2=-f x ，B 正确；对于C ，∵f x 为R 上的增函数，∴当T >0时，x +T >x ，则f x +T >f x ；当T <0时，x +T <x ，则f x +T <f x ，∴不存在非零实数T ，使得任意x ∈R ，f x +T =f x ，C 错误；对于D ，当c =1时，f x -cx =f x -x ；由f 1-x +f 1+x =2，f 2+x +f 2-x =4知：f x 关于1,1 ，2,2 成中心对称，则当a ∈Z 时，a ,a 为f x 的对称中心；当x ∈0,1 时，∵f x 为R 上的增函数，f 0 =0，f 1 =1，∴f x ∈0,1 ，∴f x -x ≤1；由图象对称性可知：此时对任意x ∈R ，f x -cx ≤1，D 正确.故选：ABD .17.(2023·全国·高三专题练习)设函数f (x )定义域为R ，f (x -1)为奇函数，f (x +1)为偶函数，当x ∈(-1,1)时，f (x )=-x 2+1，则下列结论正确的是( )A.f 72 =-34B.f (x +7)为奇函数C.f (x )在(6,8)上为减函数D.方程f (x )+lg x =0仅有6个实数解【答案】ABD【解析】f (x +1)为偶函数，故f (x +1)=f (-x +1)，令x =52得：f 72 =f -52+1 =f -32，f (x -1)为奇函数，故f (x -1)=-f (-x -1)，令x =12得：f -32 =-f 12-1 =-f -12，其中f -12 =-14+1=34，所以f 72 =f -32 =-f -12 =-34，A 正确；因为f (x -1)为奇函数，所以f (x )关于-1,0 对称，又f (x +1)为偶函数，则f (x )关于x =1对称，所以f (x )周期为4×2=8，故f (x +7)=f (x -1)，所以f (-x +7)=f (-x -1)=-f x -1 =-f x -1+8 =-f x +7 ，从而f (x +7)为奇函数，B 正确；f (x )=-x 2+1在x ∈(-1,0)上单调递增，又f (x )关于-1,0 对称，所以f (x )在-2,0 上单调递增，且f (x )周期为8，故f (x )在(6,8)上单调递增，C 错误；根据题目条件画出f (x )与y =-lg x 的函数图象，如图所示：其中y =-lg x 单调递减且-lg12<-1，所以两函数有6个交点，故方程f (x )+lg x =0仅有6个实数解，D 正确.故选：ABD18.(2023·全国·高三专题练习)已知f (x )是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，f (x +1)是偶函数，且当x ∈0,1 时，f (x )=-x (x -2)，则( )A.f x 是周期为2的函数B.f 2019 +f 2020 =-1C.f x 的值域为-1,1D.y =f x 在0,2π 上有4个零点【答案】BCD【解析】对于A ，f x +1 为偶函数，其图像关于x 轴对称，把f x +1 的图像向右平移1个单位得到f x 的图像，所以f (x )图象关于x =1对称，即f (1+x )=f (1-x )，所以f (2+x )=f (-x )，f x 为R 上的奇函数，所以f (-x )=-f x ，所以f (2+x )=-f (x )，用2+x 替换上式中的x 得， f (4+x )=-f (x +2)，所以，f (4+x )=f (x )，则f x 是周期为4的周期函数.故A 错误.对于B ，f x 定义域为R 的奇函数，则f 0 =0，f x 是周期为4的周期函数，则f 2020 =f 0 =0；当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则f 1 =-1×1-2 =1，则f 2019 =f -1+2020 =f -1 =-f 1 =-1，则f 2019 +f 2020 =-1.故B 正确.对于C ，当x ∈0，1 时，f x =-x x -2 ，此时有0<f x ≤1，又由f x 为R 上的奇函数，则x ∈-1,0 时，-1≤f x <0，f (0)=0，函数关于x =1对称，所以函数f x 的值域-1,1 .故C 正确.对于D ，∵f (0)=0，且x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，∴x ∈[0,1]，f (x )=-x (x -2)，∴x ∈[1,2]，2-x ∈[0,1]，f (x )=f (2-x )=-x (x -2)①∴x ∈[0,2]时，f (x )=-x (x -2)，此时函数的零点为0，2；∵f (x )是奇函数，∴x ∈[-2,0],f (x )=x (x +2)，②∴x ∈2,4 时，∵f (x )的周期为4，∴x -4∈-2,0 ，f x =f x -4 =x -2 x -4 ，此时函数零点为4；③∴x ∈4,6 时，∴x -4∈0,2 ，f x =f x -4 =-(x -4)(x -6)，此时函数零点为6；④∴x ∈6,2π 时，∴x -4∈2,4 ，f x =f x -4 =x -6 x -8 ，此时函数无零点；综合以上有，在(0,2π)上有4个零点.故D 正确；故选：BCD19.(2023春·广东广州·高三广州市禺山高级中学校考阶段练习)已知f x 是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，f x +1 是偶函数，且当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则( )A.f x 是周期为2的函数B.f 2019 +f 2020 =-1C.f x 的值域为[-1，1]D.f x 的图象与曲线y =cos x 在0,2π 上有4个交点【答案】BCD【解析】根据题意，对于A ，f x 为R 上的奇函数，f x +1 为偶函数，所以f (x )图象关于x =1对称，f (2+x )=f (-x )=-f (x )即f (x +4)=-f (x +2)=f (x )则f x 是周期为4的周期函数，A 错误；对于B ，f x 定义域为R 的奇函数，则f 0 =0，f x 是周期为4的周期函数，则f 2020 =f 0 =0；当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则f 1 =-1×1-2 =1，则f 2019 =f -1+2020 =f -1 =-f 1 =-1，则f 2019 +f 2020 =-1；故B 正确．对于C ，当x ∈0，1 时，f x =-x x -2 ，此时有0<f x ≤1，又由f x 为R 上的奇函数，则x ∈-1，0 时，-1≤f x <0，f (0)=0，函数关于x =1对称，所以函数f x 的值域[-1，1]．故C 正确．对于D ，∵f (0)=0，且x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，∴x ∈[0,1],f (x )=-x (x -2)，∴x ∈[1,2],2-x ∈[0,1],f (x )=f (2-x )=-x (x -2)，∴x ∈[0,2],f (x )=-x (x -2)，∵f (x )是奇函数，∴x ∈[-2,0],f (x )=x (x +2)，∵f (x )的周期为4，∴x ∈[2,4],f (x )=(x -2)(x -4)，∴x ∈[4,6],f (x )=-(x -4)(x -6)，∴x ∈[6,2π],f (x )=(x -6)(x -8)，设g (x )=f (x )-cos x ，当x ∈[0,2],g (x )=-x 2+2x -cos x ，g ′(x )=-2x +2+sin x ，设h(x)=g′(x),h′(x)=-2+cos x<0在[0,2]恒成立，h(x)在[0,2]单调递减，即g′(x)在[0,2]单调递减，且g′(1)=sin1>0,g′(2)=-2+sin2<0，存在x0∈(1,2),g′(x0)=0，x∈(0,x0),g′(x)>0,g(x)单调递增，x∈(x0,2),g′(x)<0,g(x)单调递减，g(0)=-1,g(1)=1-cos1>0,g(x0)>g(1)>0,g(2)=-cos2>0，所以g(x)在(0,x0)有唯一零点，在(x0,2)没有零点，即x∈(0,2]，f x 的图象与曲线y=cos x有1个交点，当x∈2，4时，，g x =f x -cos x=x2-6x+8-cos x，则g′x =2x-6+sin x，h x =g′x =2x-6+sin x，则h′x =2+cos x>0，所以g′x 在2，4上单调递增，且g′3 =sin3>0,g′2 =-2+sin2<0，所以存在唯一的x1∈2，3⊂2，4，使得g′x =0，所以x∈2,x1，g′x <0，g x 在2,x1单调递减，x∈x1，4，g′x >0，g x 在x1，4单调递增，又g3 =-1-cos3<0，所以g x1<g(3)<0，又g2 =-cos2>0,g4 =-cos4>0，所以g x 在2,x1上有一个唯一的零点，在x1，4上有唯一的零点，所以当x∈2，4时，f x 的图象与曲线y=cos x有2个交点，，当x∈4，6时，同x∈[0,2]，f x 的图象与曲线y=cos x有1个交点，当x∈[6,2π],f(x)=(x-6)(x-8)<0,y=cos x>0，f x 的图象与曲线y=cos x没有交点，所以f x 的图象与曲线y=cos x在0,2π上有4个交点，故D正确；故选：BCD．20.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f2x+1的图像关于直线x=1对称，函数y=f x+1关于点1,0对称，则下列说法正确的是( )A.f1-x=f1+xB.f x 的周期为4C.f1 =0D.f x =f32-x【答案】AB【解析】f2x的图像关于直线x=32对称，f x 的图像关于x=3对称，又关于点2,0中心对称，所以周期为4，所以B正确而D错误；又f 3-x =f 3+x ，其中x 换x +1得f 2-x =f 4+x =f x ，再将x 换x +1得f 1-x =f 1+x ，但无法得到f (1)=0 所以A 正确C 错误.故选：AB .21.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )及其导函数f (x )的定义域均为R ，记g (x )=f (x )，若f 32-2x ，g (2+x )均为偶函数，则( )A.f (0)=0B.g -12 =0C.f (-1)=f (4)D.g (-1)=g (2)【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于f (x )，因为f 32-2x为偶函数，所以f 32-2x =f 32+2x 即f 32-x =f 32+x ①，所以f 3-x =f x ，所以f (x )关于x =32对称，则f (-1)=f (4)，故C 正确；对于g (x )，因为g (2+x )为偶函数，g (2+x )=g (2-x )，g (4-x )=g (x )，所以g (x )关于x =2对称，由①求导，和g (x )=f (x )，得f 32-x=f 32+x ⇔-f 32-x =f 32+x ⇔-g 32-x =g 32+x ，所以g 3-x +g x =0，所以g (x )关于32,0 对称，因为其定义域为R ，所以g 32=0，结合g (x )关于x =2对称，从而周期T =4×2-32 =2，所以g -12 =g 32 =0，g -1 =g 1 =-g 2 ，故B 正确，D 错误；若函数f (x )满足题设条件，则函数f (x )+C (C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x )的函数值，故A 错误.故选：BC .[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知g (x )周期为2，关于x =2对称，故可设g x =cos πx ，则f x =1πsin πx +c ，显然A ，D 错误，选BC .故选：BC .[方法三]：因为f 32-2x，g (2+x )均为偶函数，所以f 32-2x =f 32+2x 即f 32-x =f 32+x ，g (2+x )=g (2-x )，所以f 3-x =f x ，g (4-x )=g (x )，则f (-1)=f (4)，故C 正确；函数f (x )，g (x )的图象分别关于直线x =32,x =2对称，又g (x )=f (x )，且函数f (x )可导，所以g 32 =0,g 3-x =-g x ，所以g (4-x )=g (x )=-g 3-x ，所以g (x +2)=-g (x +1)=g x ，所以g -12=g 32 =0，g -1 =g 1 =-g 2 ，故B 正确，D 错误；若函数f (x )满足题设条件，则函数f (x )+C (C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x )的函数值，故A 错误.故选：BC .【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．22.(2023·全国·高三专题练习)定义f x 是y =f x 的导函数y =f x 的导函数，若方程f x =0有实数解x 0，则称点x 0,f x 0 为函数y =f x 的“拐点”.可以证明，任意三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是( )A.存在有两个及两个以上对称中心的三次函数B.函数f x =x 3-3x 2-3x +5的对称中心也是函数y =tan π2x 的一个对称中心C.存在三次函数h x ，方程h x =0有实数解x 0，且点x 0,h x 0 为函数y =h x 的对称中心D.若函数g x =13x 3-12x 2-512，则g 12021+g 22021 +g 32021 +⋅⋅⋅+g 20202021 =-1010【答案】BCD【解析】对于A .设三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，易知y =f x 是一次函数，∴任何三次函数只有一个对称中心，故A 不正确；对于B .由f x =x 3-3x 2-3x +5，得f x =3x 2-6x -3,f x =6x -6，由6x -6=0，得x =1，函数f x 的对称中心为1,0 ，又由π2x =k π2,k ∈Z ，得x =k ,k ∈Z ，∴f x 的对称中心是函数y =tan π2x 的一个对称中心，故B 正确；对于C .设三次函数h x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，所以h x =3ax 2+2bx +c ,h x =6ax +2b联立3ax 02+2bx 0+c =0,6ax 0+2b =0,得3ac -b 2=0，即当3ac -b 2=0时，存在三次函数h x ，方程h x =0有实数解x 0，且点x 0,h x 0 为函数y =h x 的对称中心，故C 正确.对于D .∵g x =13x 3-12x 2-512，∴g x =x 2-x ,g x =2x -1，令g x =2x -1=0，得x =12，∵g 12 =13×12 3-12×12 2-512=-12，∴函数g x =13x 3-12x 2-512的对称中心是12,-12，∴g x +g 1-x =-1，设T =g 12021+g 22021 +g 32021 +⋯+g 20202021 ，所以2T =g 12021 +g 20202021 +g 22021 +g 20192021 +⋯+g 20202021 +g 12021 =-2020所以g 12021 +g 22021 +g 32021+⋯+g 20202021 =-1010，故D 正确.故选:BCD .三、填空题23.(2023·全国·高三专题练习)设f x 的定义域为R ，且满足f 1-x =f 1+x ,f x +f -x =2，若f 1 =3，则f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 f 2023 +f 2028 +f 2030=___________.【答案】2024【解析】因为f x +f -x =2,f 1 =3，所以f -1 =-1,f 0 =1,f 2 =f 0 =1，由f 1-x =f 1+x ，得f -x =f x +2 ,f x =f 2-x ，有f x +2 +f 2-x =2，可得f x +f 2-x -2 =2，有f x +f 4-x =2，又由f x +f -x =2，可得f 4-x =f -x ，可知函数f x 的周期为4，可得f 2023 =f -1 =-1,f 2028 =f 0 =1,f 2030 =f 2 =1，有f 2023 +f 2028 +f 2030 =1，因为f x +f -x =2,f 1 =3，所以f -1 =-1,f 0 =1由f 1-x =f 1+x 得f -x =f x +2 ，所以f x +f x +2 =2,f x +1 +f x +3 =2，即f x +f x +1 +f x +2 +f x +3 =4，所以f -1 +f 0 +f 1 +f 2 + f 3 +f 4 +⋯+f 2021 +f 2022 =4×506=2024所以f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 =2024-f 0 -f -1 =2024-1--1 =2024.故f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 f 2023 +f 2028 +f 2030 =2024.故答案为：202424.(2023·全国·高三专题练习)对于定义在D 上的函数f x ，点A m ,n 是f x 图像的一个对称中心的充要条件是：对任意x ∈D 都有f x +f 2m -x =2n ，判断函数f x =x 3+2x 2+3x +4的对称中心______.【答案】-23，7027【解析】因为f x =x 3+2x 2+3x +4，由于f x +f -23×2-x =x 3+2x 2+3x +4+-23×2-x 3+2-23×2-x 2+3-23×2-x +4=7027×2=14027.即m =-23，n =7027.所以-23，7027是f x =x 3+2x 2+3x +4的一个对称中心.故答案为：-23，7027 .25.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，现给出定义：设f x 是函数y =f x 的导数，f x 是f x 的导数，若方程f x =0有实数解x 0，则称点x 0，f x 0 为函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g x =2x 3-3x 2+1，则g 1100+g 2100+⋯+g 99100 =____.【答案】4912【解析】依题意得，g x =6x 2-6x ,g x =12x -6，令g x =0，得x =12， ∵g 12 =12,∴函数g x 的对称中心为12,12，则g 1-x +g x =1，∵1100+99100=2100+98100=⋯=49100+51100=1，∴g 1100 +g 99100 =g 2100 +g 98100 =⋯=g 49100 +g 51100 =1∴g 1100 +g 2100+⋯+g 99100 =g 1100 +g 99100 +g 2100 +g 98100 +⋯+g 49100 +g 51100 +g 12=49+12=4912，故答案为4912.26.(2023·四川成都·成都七中校考模拟预测)已知S n 为数列a n 的前n 项和，数列a n 满足a 1=-2，且S n =32a n+n ，f x 是定义在R 上的奇函数，且满足f 2-x =f x ，则f a 2021 =______．【答案】0【解析】∵S n =32a n +n ，∴S n -1=32a n -1+n -1n ≥2 ，两式相减得，a n =32a n -32a n -1+1，即a n -1=3a n -1-1 ，∴a n -1a n -1-1=3，即数列a n -1 是以-3为首项，3为公比的等比数列，∴a n -1=-3⋅3n -1=-3n ，∴a n =-3n +1.∵f x 是定义在R 上的奇函数，且满足f 2-x =f x ，∴令x =2，则f 2 =f 0 =0，又f2-x=f x =-f(-x)，∴f(2+x)=-f(x)，∴f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=-[-f(-x)]=f(x)，即f(x+4)=f(x)，即f x 是以4为周期的周期函数.∵a2021=-32021+1=-4-12021+1=-C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020+C2021202140⋅-12021+1=-C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020+2其中C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020能被4整除，∴f a2021=f-32021+1=f2 =0.故答案为：0．27.(2023·全国·高三专题练习)已知定义域为R的奇函数f x 满足f x+1=f3-x，当x∈0,2时，f x =-x2+4，则函数y=f x -a a∈R在区间-4,8上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．【答案】14【解析】由于定义域为R的奇函数f x 满足f x+1=f3-x，∴f-x=-f x ，f x+4=f-x，∴f x+4=-f x ，∴f x+8=-f x+4=f x ，∴函数f x 为周期函数，且周期为8，当x∈0,2时，f x =-x2+4，函数y=f x -a a∈R在区间-4,8上的零点的个数，即为函数y=f x 与y=a 的交点的个数，作出函数 y=f x ,x∈-4,8上的函数的图象，显然，当a=0 时，交点最多，符合题意，此时，零点的和为-4+-2+0+2+4+6+8=14 .28.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)满足f(x+3)=f(1-x)+9f(2)对任意x∈R恒成立，又函数f x +9 的图象关于点(-9,0)对称，且f (1)=2022，则f (45)=_________．【答案】-2022【解析】因为函数f (x )满足f (x +3)=f (1-x )+9f (2)对任意x ∈R 恒成立，所以令x =-1，即f (2)=f (2)+9f (2)，解得f (2)=0，所以f (x +3)=f (1-x )对任意x ∈R 恒成立，又函数f x +9 的图象关于点(-9,0)对称，将函数f x +9 向右平移9个单位得到f (x )，所以f (x )关于点(0,0)，即f (x )为R 上的奇函数，所以f (x )=-f -x ，又f (x +3)=f (1-x )对任意x ∈R 恒成立，令x =-x -3，得f (-x )=f (x +4)，即-f (x )=f (x +4)，再令x =x +4，得-f (x +4)=f (x +8)，分析得f (x )=f (x +8)，所以函数f (x )的周期为8，因为f (1)=2022，所以在f (x +3)=f (1-x )中，令x =0，得f (3)=f (1)=2022，所以f (45)=f 6×8-3 =f -3 =-f 3 =-2022.故答案为：-2022.29.(2023·全国·高三专题练习)已知f x 是定义在R 上的函数，若对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)，且函数f (x -2)的图像关于直线x =2对称，f (2)=3，则f (2022)=_______.【答案】3【解析】因为函数f (x -2)的图像关于直线x =2对称，所以函数f (x )的图像关于直线x =0对称，即函数f x 是偶函数，则有f x =f -x ；因为对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)，令x =-4，得f -4+8 =f -4 +f 4 ⇒f -4 =f 4 =0，所以对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)=f x ，即函数f x 的周期为8，则f 2022 =f 252×8+6 =f 6 =f 6-8 =f -2 =f 2 =3，故答案为：3.30.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R 上的函数f (x )和函数g (x )满足2f (x )=g (x )-g (-x )，且对于任意x 都满足f (x )+f (-x -4)+5=0，则f (2021)+f (2019)=________．【答案】5050【解析】由题意知：f (x )定义域为R ，2f (-x )=g (-x )-g (x )，可得：f (x )+f (-x )=0，f (x )为奇函数，又f (-x -4)=-f (x )-5=-f (x +4)，则f (x +4)=f (x )+5，可得：f (2021)+f (2019)=f (1+4×505)+f (-1+4×505)=f (1)+5×505+f (-1)+5×505=5050.故答案为：5050．31.(2023·全国·高三专题练习)已知定义域为R 的奇函数f x ，当x >0时，有f x =-log 34-x ,0<x ≤54f x -3 ,x >54，则f 2 +f 4 +f 6 +⋅⋅⋅+f 2022 =______．【答案】0【解析】R上的奇函数f x ，则有f-x=-f(x)，而当x>0时，有f x =-log34-x,0<x≤5 4f x-3,x>5 4，于是有f(2)=f(-1)=-f(1)=1，f(4)=f(1)=-1，f(6)=f(3)=f(0)=0，因∀x>54，f(x)=f(x-3)，则有∀n∈N∗,f(6n-4)=f(2)=1,f(6n-2)=f(1)=-1，f(6n)=f(3)=0，所以f2 +f4 +f6 +⋅⋅⋅+f2022=337f2 +f4 +f6=0.故答案为：032.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x3-3x2+9x+4，若f a =7,f b =15，则a+b=___________.【答案】2【解析】因为f x =3x2-6x+9，对称轴为x=1，所以f x 的对称中心为1,f1，即1，11，因为f x =3x2-6x+9=3(x-1)2+6>0，所以f x 在R上单调递增，所以方程f a =7,f b =15的解a,b均有且只有一个，因为f a +f b =2f1 =22，所以a,7,b,15关于对称中心1，11对称，所以a+b=2，故答案为：233.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 的定义域为R，且f x 为奇函数，其图象关于直线x=2对称．当x∈0,4时，f x =x2-4x，则f2022=____.【答案】4【解析】∵f x 的图象关于直线x=2对称，∴f(-x)=f(x+4)，又f x 为奇函数，∴f(-x)=-f x ，故f(x+4)=-f x ，则f(x+8)=-f(x+4)=f x ，∴函数f x 的周期T=8，又∵2022=252×8+6，∴f2022= f6 =f(-2)=-f2 =-(4-8)=4.故答案为：4.34.(2023·全国·高三专题练习)若函数f(x)=1-x2x2+ax+b，a,b∈R的图象关于直线x=2对称，则a+b=_______．【答案】7【解析】由题意f(2+x)=f(2-x)，即f(x)=f(4-x)，所以f(0)=f(4)f(1)=f(3)，即b=-15(16+4a+b)0=-8(9+3a+b)，解得a=-8b=15，此时f(x)=(1-x2)(x2-8x+15)=-x4+8x3-14x2-8x+15，f(4-x)=-(4-x)4+8(4-x)3-14(4-x)2-8(4-x)+15=-(x4-16x3+96x2-256x+256)+8(64-48x+12x2-x3)-14(16-8x+x2)-32+8x+15= -x4+8x3-14x2-8x+15=f(x)，满足题意．所以a=-8,b=15，a+b=7．故答案为：7．35.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =3x-5x-2，g x =2x+22x-2+1，记f(x)与g(x)图像的交点横，纵坐标之和分别为m与n，则m-n的值为________.【答案】-2.【解析】f(x)=3x-5x-2=3+1x-2在(-∞,2)和(2,+∞)上都单调递减，且关于点(2,3)成中心对称，g(x)=2x+22x-2+1=4×2x-2+22x-2+1=4-22x-2+1在(-∞,+∞)上单调递增，g(4-x)+g(x)=4-222-x+1+4-22x-2+1=8-2(2x-2+1)+2(22-x+1)(22-x+1)(2x-2+1)=8-2(2x-2+22-x+2)2+2x-2+22-x=8-2=6，所以g(x)的图像也关于点(2,3)成中心对称，所以f(x)与g(x)图像有两个交点且关于点(2,3)对称，设这两个交点为(x1,y1)、(x2,y2)，则x1+x2=2×2=4，y1+y2=2×3=6，所以m=4，n=6，所以m-n=4-6=-2.故答案为：-2.。
函数对称性与周期性几个重要结论赏析
函数对称性与周期性几个重要结论赏析对称性和周期性是函数的两个重要性质，下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。
一、 几个重要的结论（一）函数图象本身的对称性（自身对称）1、函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。
2、函数)(x f y =满足)2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。
3、函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+的充要条件是)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称。
4、如果函数)(x f y =满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数。
5、如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。
6、如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、曲线)(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。
2、曲线)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。
3、曲线)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。
4、曲线0),(=y x f 关于直线b x =对称曲线为0)2,(=-y b x f 。
5、曲线0),(=y x f 关于直线0=++c y x 对称曲线为0),(=----c x c y f 。