1.3.1函数的单调性例题

1.3.1函数的单调性题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间 例1.作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间 （1）12-=x y ; （2）322++-=x x y ; （3）2)2(1-++=x x y ; （4）969622++++-=x x x x y相应作业1：课本P32第3题. 题型二、用定义法证明函数的单调性用定义法证明函数的单调性步骤：取值 作差变形 定号 下结论✍取值，即_____________________________；✍作差变形,作差____________,变形手段有__________、_____、_____、_______等； ✍定号，即____________________________________________________________;④下结论，即______________________________________________________。

例2.用定义法证明下列函数的单调性（1）证明：1)(3+-=x x f 在()+∞∞-,上是减函数.▲定义法证明单调性的等价形式： 设[]b a x x ,21∈、，21x x ≠,那么[])(0)()(0)()()(21212121x f x x x f x f x f x f x x ⇔>--⇔>--在[]b a ,上是增函数；[])(0)()(0)()()(21212121x f x x x f x f x f x f x x ⇔<--⇔<--在[]b a ,上是减函数.(2)证明：x x x f -+=1)(2在其定义域内是减函数；（3）证明：21)(xx f =在()0,∞-上是增函数； 法一： 作差 法二：作商（4）已知函数)(x f y =在()+∞,0上为增函数，且)0(0)(><x x f ，试判断)(1)(x f x F =在()+∞,0上的单调性，并给出证明过程；▲方法技巧归纳——判断函数单调性的方法：1、直接法：熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等；如，练习册P27（2）P31（上5、1）2、图象法；3、定义法；4、运算性质法：①当0>a 时，函数)(x af 与)(x f 有相同的单调性； 当0<a 时，函数)(x af 与)(x f 有相反的单调性； ②当函数)(x f 恒不等于零时，)(x f 与)(1x f 单调性相反；③若0)(≥x f ，则)(x f 与)(x f 具有相同的单调性；④若)(x f 、)(x g 的单调性相同，则)()(x g x f +的单调性与之不变； ▲即：增+增=增 减+减=减⑤若)(x f 、)(x g 的单调性相反，则)()(x g x f -的单调性与)(x f 同.▲即：增-减=增 减-增=增 注意：（1）可熟记一些基本的函数的单调性，一些较复杂的函数可化为基本函数的组合形式，再利用上述结论判断； （2）)()(x g x f 与)()(x g x f 的单调性不能确定.相应作业2：（1）讨论函数1)(2-=x axx f 在()1,1-上的单调性（0≠a ）； ▲（2）务必记住“对勾”函数)0()(>+=k xkx x f 的单调区间（见练习册P29探究之窗.探究1）知识拓展——复合函数单调性（▲难点）一、复习回顾：复合函数的定义：如果函数)(t f y =的定义域为A ，函数)(x g t =的定义域为D ，值域为C ，则当A C ⊆时，称函数))((x g f y =为f 与g 在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，)(x g t =叫内层函数，)(x f y =叫外层函数。

二、引理1 已知函数y=f ［g(x)］.若t=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(t)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2 已知函数y=f ［g(x)］.若t=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(t)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数. 引理1的证明：▲重要结论1：复合法则规律可简记为“_____________________”（四个字）▲重要结论2：若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定:✍若减函数有偶数个，则复合函数为增函数； ✍若减函数有奇数个，则复合函数为减函数.规律可简记为“_____________________”（四个字） 题型三、求复合函数的单调区间 例3. 求下列函数的单调区间. （1）267x x y --=（2）3212--=x x y▲小结：1、注意：（1）求单调区间必先求定义域； （2）单调区间必须是定义域的子集；（3）写多个单调区间时，区间之间不能用“ ”并起来，应用“，”隔开. 2、判断复合函数单调性步骤： ✍求函数的定义域；✍将复合函数分解成基本初等函数：)(t f y =与)(x g t =； ✍确定两个函数的单调性；④由复合法则“同増异减”得出复合函数单调性. 相应作业3：求下列函数的单调区间.（1）228x x y --= （2）3212--=x x y（3）xx y 412-=单调性的应用题型四、比较函数值的大小例4.已知函数)(x f y =在[)+∞,0上是减函数，试比较)43(f 与)1(2+-a a f 的大小.题型五、已知单调性，求参数范围 例5.已知函数2)(2)(2+--=x a x x x f（1）若)(x f 的减区间是(]4,∞-，求实数a 的值； （2）若)(x f 在(]4,∞-上单调递减，求实数a 的取值范围.例6.若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=0,)2(0,1)12()(2x x b x x b x b x f 在R 上为增函数，求实数b 的取值范围.题型六、利用单调性，求解抽象不等式例7.已知函数)(x f y =是()1,1-上的减函数，且)1()1(2->-a f a f ，求实数a 的取值范围.例8.已知)(x f 是定义在()+∞,0上的增函数，且)()()(y f x f yx f -=，且1)2(=f ，解不等式2)31()(≤--x f x f .相应作业4：已知)(x f 是定义在()+∞,0上的增函数，且)()()(y f x f xy f +=，且1)2(=f ，解不等式3)2()(≤-+x f x f .题型七、抽象函数单调性的判断——定义法 解决此类问题有两种方法：✍“凑”，凑定义或凑已知条件，从而使用定义或已知条件得出结论； ✍赋值法，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试.例9.已知函数)(x f 对任意实数x 、y 都有)()()(y f x f y x f +=+，且当0>x 时0)(>x f ，求证：)(x f 在R 上单调递增.例10.已知定义在()+∞,0上的函数)(x f 对任意x 、y ∈()+∞,0，恒有)()()(y f x f xy f +=，且当10<<x 时0)(>x f ，判断)(x f 在()+∞,0上单调性.相应作业5：定义在()+∞,0上的函数)(x f 对任意x 、y ∈()+∞,0，满足)()()(n f m f mn f +=，且当1>x 时0)(>x f .（1）求)1(f 的值； （2）求证：)()()(n f m f nmf -=； （3）求证：)(x f 在()+∞,0上是增函数；（4）若1)2(=f ，解不等式2)2()2(>-+x f x f ；函数的最大（小）值1、函数的最大（小）值定义2、利用单调性求最值常用结论（1）若函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上单调递增，则)(min a f y =，)(max b f y =； （2）若函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上单调递减，则)(min b f y =，)(max a f y =； （3）若函数)(x f y =在开区间()b a ,上单调递增，则函数无最值，但值域为())(),(b f a f ； （4）若函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上单调递增，在闭区间[]c b ,上单调递减，那么函数)(x f y =，[]c a x ,∈在b x =处有最大值，即)(max b f y =；（5）若函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上单调递减，在闭区间[]c b ,上单调递增，那么函数)(x f y =，[]c a x ,∈在b x =处有最小值，即)(min b f y =.题型八、单调性法求函数最值（值域） 例11、（1）函数121)(-=x x f 在[]5,1上的最大值为________,最小值为________;（2）函数112++=x x y 在[]4,2上的最大值为________,最小值为________;（3）函数x x y 212--=的值域为________________;（4）函数1-+=x x y 的值域为________________;（5）函数212+--=x x y 的值域为________________;（6）函数x xy +=1的值域为________________;二次函数的区间最值的求法二次函数在给定区间[]n m ,上求最值，常见类型： （1）定轴定区间：对称轴与区间[]n m ,均是确定的； （2）动轴定区间： （3）定轴动区间： （4）动轴动区间： 1、定轴定区间可数形结合，较易解决，注意对称轴与区间位置关系。

例12.当22≤≤-x 时，求函数322--=x x y 的最值.相应作业6：求函数542++-=x x y 在[]5,1上的最值.2、动轴定区间例13.已知函数22)(2++=ax x x f ，求)(x f 在[]5,5-上的最值.▲动轴定区间问题一般解法：对对称轴在区间左侧、右侧、内部三种情况进行讨论，从而确定最值在区间端点处还是在顶点处取得.相应作业7：求函数12)(2--=ax x x f 在[]2,0上的最值.3、定轴动区间例14.已知函数22)(2+-=x x x f ，当[]1,+∈t t x 时，求)(x f 的最小值)(t g .相应作业8：已知函数34)(2-+-=x x x f ，当[]2,+∈m m x 时，求)(x f 的最大值)(m g . 4、动轴动区间解决方法：可将对称轴和区间之一看做不动，进行讨论.例15.求函数ax x y +-=2在[]a x ,1-∈上的最大值.相应作业9：求函数222--=ax x y 在[]1,a x -∈上的最值.。