函数单调性经典例题
函数的单调性练习题
函数的单调性练习题函数的单调性是高中数学中的一个重要概念，它在解决各种实际问题时起着重要的作用。
通过对函数的单调性进行分析，我们可以更好地理解函数的性质，并在解决问题时提供指导。
下面，我将给大家提供一些关于函数单调性的练习题，希望能够帮助大家更好地掌握这一概念。
练习题1：已知函数f(x) = x^2 + 3x - 2，求函数f(x)的单调区间。
解析：要求函数f(x)的单调区间，首先需要求出函数f(x)的一阶导数f'(x)。
对函数f(x)进行求导得到f'(x) = 2x + 3。
由于一阶导数的符号可以反映函数的单调性，我们只需要找出f'(x)的正负变化区间即可。
令f'(x) = 0，解得x = -1.5。
这个点将数轴分成了两个区间：(-∞, -1.5)和(-1.5, +∞)。
我们只需要在这两个区间内取一点代入f'(x)，判断f'(x)的正负即可。
选取x = 0代入f'(x)，得到f'(0) = 3，说明在区间(-∞, -1.5)内f'(x) > 0，在区间(-1.5, +∞)内f'(x) > 0。
因此，函数f(x)在整个定义域上都是递增的，即f(x)的单调区间为(-∞, +∞)。
练习题2：已知函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求函数g(x)的单调区间。
解析：同样地，我们需要求出函数g(x)的一阶导数g'(x)。
对函数g(x)进行求导得到g'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
令g'(x) = 0，解得x = 1。
这个点将数轴分成了两个区间：(-∞, 1)和(1, +∞)。
选取x = 0代入g'(x)，得到g'(0) = 9，说明在区间(-∞, 1)内g'(x) > 0，在区间(1, +∞)内g'(x) > 0。
高中数学函数的单调性练习题及其答案
高中数学函数的单调性练习题及其答案1.在区间(0.+∞)上不是增函数的函数是：A。
y=2x+1 C。
y=1/x B。
y=3x^2+1 D。
y=2x^2+x+12.函数f(x)=4x^2-mx+5在区间[-2.+∞]上是增函数，在区间(-∞。
-2)上是减函数，则f(1)等于：C。
173.函数f(x)在区间(-2.3)上是增函数，则y=f(x+5)的递增区间是：B。
(-7.-2)4.函数f(x)=(ax+1)/(x+2)在区间(-2.+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是：B。
(0.+∞)5.已知函数f(x)在区间[a。
b]上单调，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在区间[a。
b]内：A。
至少有一实根6.已知函数f(x)=8+2x-x^2，如果g(x)=f(2-x^2)，那么函数g(x)：C。
在区间(-2.0)上是增函数7.已知函数f(x)是R上的增函数，A(0.-1)、B(3.1)是其图象上的两点，那么不等式|f(x+1)|<1的解集的补集是：D。
(-∞。
-1)∪[2.+∞)8.已知定义域为R的函数f(x)在区间(-∞。
5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5+t)=f(5-t)，那么下列式子一定成立的是：B。
f(13)<f(9)<f(-1)9.函数f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的递增区间依次是：C。
(-∞。
1]。
[1.+∞)10.已知函数f(x)=x^2+2(a-1)x+2在区间(-∞。
4]上是减函数，则实数a的取值范围是：a≤0 或a≥51.对于第一题，正确答案为D，即a≥3.2.第二题中，删除了明显有问题的选项，正确答案为C，即f(a)+f(b)≥-f(a)+f(b)。
3.对于第三题，正确答案为B，即f(0)>f(3)。
4.填空题的答案为：13.(1.+∞)，14.(-∞。
3)，15.(-∞。
3]。
5.解答题的答案为：17.(1) f(1)=0；(2) f(x+3)-f(x)5，即单调递减区间为(-∞,1)∪(5.+∞)。
函数的单调性例题
1.3.1函数的单调性题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间 例1.作出下列函数的图象,并写出函数的单调区间 （1）12-=x y ; 2322++-=x x y ; （3）2)2(1-++=x x y ; 4969622++++-=x x x x y相应作业1：课本P32第3题. 题型二、用定义法证明函数的单调性用定义法证明函数的单调性步骤：取值 作差变形 定号 下结论①取值,即_____________________________；②作差变形,作差____________,变形手段有__________、_____、_____、_______等； ③定号,即____________________________________________________________;④下结论,即______________________________________________________;例2.用定义法证明下列函数的单调性（1）证明：1)(3+-=x x f 在()+∞∞-,上是减函数.▲定义法证明单调性的等价形式： 设[]b a x x ,21∈、,21x x ≠,那么[])(0)()(0)()()(21212121x f x x x f x f x f x f x x ⇔>--⇔>--在[]b a ,上是增函数；[])(0)()(0)()()(21212121x f x x x f x f x f x f x x ⇔<--⇔<--在[]b a ,上是减函数.(2)证明：x x x f -+=1)(2在其定义域内是减函数；（3）证明：21)(xx f =在()0,∞-上是增函数； 法一： 作差 法二：作商（4）已知函数)(x f y =在()+∞,0上为增函数,且)0(0)(><x x f ,试判断)(1)(x f x F =在()+∞,0上的单调性,并给出证明过程；▲方法技巧归纳——判断函数单调性的方法：1、直接法：熟悉的函数,如一次函数、二次函数、反比例函数等；如,练习册P272P31上5、12、图象法；3、定义法；4、运算性质法：①当0>a 时,函数)(x af 与)(x f 有相同的单调性； 当0<a 时,函数)(x af 与)(x f 有相反的单调性； ②当函数)(x f 恒不等于零时,)(x f 与)(1x f 单调性相反；③若0)(≥x f ,则)(x f 与)(x f 具有相同的单调性；④若)(x f 、)(x g 的单调性相同,则)()(x g x f +的单调性与之不变； ▲即：增+增=增 减+减=减⑤若)(x f 、)(x g 的单调性相反,则)()(x g x f -的单调性与)(x f 同.▲即：增-减=增 减-增=增注意：1可熟记一些基本的函数的单调性,一些较复杂的函数可化为基本函数的组合形式,再利用上述结论判断； 2)()(x g x f 与)()(x g x f 的单调性不能确定.相应作业2：1讨论函数1)(2-=x axx f 在()1,1-上的单调性0≠a ； ▲2务必记住“对勾”函数)0()(>+=k xkx x f 的单调区间见练习册P29探究之窗.探究1知识拓展——复合函数单调性▲难点一、复习回顾：复合函数的定义：如果函数)(t f y =的定义域为A,函数)(x g t =的定义域为D,值域为C,则当A C ⊆时,称函数))((x g f y =为f 与g 在D 上的复合函数,其中t 叫做中间变量,)(x g t =叫内层函数,)(x f y =叫外层函数;二、引理1 已知函数y=fgx.若t=gx 在区间a,b 上是增函数,其值域为c,d,又函数y=ft 在区间c,d 上是增函数,那么,原复合函数y=fgx 在区间a,b 上是增函数.引理2 已知函数y=fgx.若t=gx 在区间a,b 上是减函数,其值域为c,d,又函数y=ft 在区间c,d 上是减函数,那么,复合函数y=fgx 在区间a,b 上是增函数. 引理1的证明：▲重要结论1：复合法则规律可简记为“_____________________”四个字▲重要结论2：若一个函数是由多个简单函数复合而成的,则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定:①若减函数有偶数个,则复合函数为增函数； ②若减函数有奇数个,则复合函数为减函数. 规律可简记为“_____________________”四个字题型三、求复合函数的单调区间 例3. 求下列函数的单调区间. （1）267x x y --=23212--=x x y ▲小结：1、注意：1求单调区间必先求定义域； （2）单调区间必须是定义域的子集；（3）写多个单调区间时,区间之间不能用“ ”并起来,应用“,”隔开. 2、判断复合函数单调性步骤： ①求函数的定义域；②将复合函数分解成基本初等函数：)(t f y =与)(x g t =； ③确定两个函数的单调性；④由复合法则“同増异减”得出复合函数单调性. 相应作业3：求下列函数的单调区间.（1）228x x y --= 23212--=x x y3xx y 412-=单调性的应用题型四、比较函数值的大小例4.已知函数)(x f y =在[)+∞,0上是减函数,试比较)43(f 与)1(2+-a a f 的大小.题型五、已知单调性,求参数范围 例5.已知函数2)(2)(2+--=x a x x x f （1）若)(x f 的减区间是(]4,∞-,求实数a 的值； （2）若)(x f 在(]4,∞-上单调递减,求实数a 的取值范围.例6.若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=0,)2(0,1)12()(2x x b x x b x b x f 在R 上为增函数,求实数b 的取值范围.题型六、利用单调性,求解抽象不等式例7.已知函数)(x f y =是()1,1-上的减函数,且)1()1(2->-a f a f ,求实数a 的取值范围.例8.已知)(x f 是定义在()+∞,0上的增函数,且)()()(y f x f yx f -=,且1)2(=f ,解不等式2)31()(≤--x f x f .相应作业4：已知)(x f 是定义在()+∞,0上的增函数,且)()()(y f x f xy f +=,且1)2(=f ,解不等式3)2()(≤-+x f x f .题型七、抽象函数单调性的判断——定义法 解决此类问题有两种方法：①“凑”,凑定义或凑已知条件,从而使用定义或已知条件得出结论； ②赋值法,给变量赋值要根据条件与结论的关系,有时可能要进行多次尝试.例9.已知函数)(x f 对任意实数x 、y 都有)()()(y f x f y x f +=+,且当0>x 时0)(>x f ,求证：)(x f 在R 上单调递增.例10.已知定义在()+∞,0上的函数)(x f 对任意x 、y ∈()+∞,0,恒有)()()(y f x f xy f +=,且当10<<x 时0)(>x f ,判断)(x f 在()+∞,0上单调性.相应作业5：定义在()+∞,0上的函数)(x f 对任意x 、y ∈()+∞,0,满足)()()(n f m f mn f +=,且当1>x 时0)(>x f .（1）求)1(f 的值； （2）求证：)()()(n f m f nmf -=； 3求证：)(x f 在()+∞,0上是增函数；4若1)2(=f ,解不等式2)2()2(>-+x f x f ；函数的最大小值1、函数的最大小值定义2、利用单调性求最值常用结论（1）若函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上单调递增,则)(min a f y =,)(max b f y =； （2）若函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上单调递减,则)(min b f y =,)(max a f y =； （3）若函数)(x f y =在开区间()b a ,上单调递增,则函数无最值,但值域为())(),(b f a f ； （4）若函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上单调递增,在闭区间[]c b ,上单调递减,那么函数)(x f y =,[]c a x ,∈在b x =处有最大值,即)(max b f y =；（5）若函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上单调递减,在闭区间[]c b ,上单调递增,那么函数)(x f y =,[]c a x ,∈在b x =处有最小值,即)(min b f y =.题型八、单调性法求函数最值值域 例11、1函数121)(-=x x f 在[]5,1上的最大值为________,最小值为________;（2）函数112++=x x y 在[]4,2上的最大值为________,最小值为________;（3）函数x x y 212--=的值域为________________;（4）函数1-+=x x y 的值域为________________;（5）函数212+--=x x y 的值域为________________;6函数x xy +=1的值域为________________;二次函数的区间最值的求法二次函数在给定区间[]n m ,上求最值,常见类型： （1）定轴定区间：对称轴与区间[]n m ,均是确定的；（2）动轴定区间： （3）定轴动区间： （4）动轴动区间： 1、定轴定区间可数形结合,较易解决,注意对称轴与区间位置关系; 例12.当22≤≤-x 时,求函数322--=x x y 的最值.相应作业6：求函数542++-=x x y 在[]5,1上的最值.2、动轴定区间例13.已知函数22)(2++=ax x x f ,求)(x f 在[]5,5-上的最值.▲动轴定区间问题一般解法：对对称轴在区间左侧、右侧、内部三种情况进行讨论,从而确定最值在区间端点处还是在顶点处取得.相应作业7：求函数12)(2--=ax x x f 在[]2,0上的最值.3、定轴动区间例14.已知函数22)(2+-=x x x f ,当[]1,+∈t t x 时,求)(x f 的最小值)(t g .相应作业8：已知函数34)(2-+-=x x x f ,当[]2,+∈m m x 时,求)(x f 的最大值)(m g . 4、动轴动区间解决方法：可将对称轴和区间之一看做不动,进行讨论.例15.求函数ax x y +-=2在[]a x ,1-∈上的最大值.相应作业9：求函数222--=ax x y 在[]1,a x -∈上的最值.。
完整版)函数的单调性练习题及答案
完整版)函数的单调性练习题及答案1.函数的单调性练题一选择题：1.函数f(x)=x^2+2x-3的递增区间为(D。
[-1,+∞))2.如果函数f(x)=x^2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数，则实数a的取值范围是(A。
[－3，＋∞))3.函数y=1-(1/(x-1))在(-1,+∞)内是单调递增。
4.如果函数f(x)=kx+b在R上单调递减，则(C。
b>0)5.在区间(-∞,0)上为增函数的是(B。
y=x^2)6.函数f(x)=2x-x^2的最大值是(B。
1)7.函数y=x+x^-2的最小值是(A。
0)2.填空题：8.函数f(x)=2x^2-mx+3，在(-∞,1)上是减函数，在[1,+∞)上是增函数，则m=4.9.已知f(x)是定义在(-2,2)上的减函数，并且f(m-1)-f(1-2m)>0，则实数m的取值范围为(-∞,-1/2)U(1/2,+∞)。
3.解答题：10.利用单调函数的定义证明：函数f(x)=x+2/x在区间(0,2)上是减函数。
证明：对于任意的x1,x2∈(0,2)，且x1<x2，有：f(x2)-f(x1)=(x2+2/x2)-(x1+2/x1)x2-x1+2/x2-2/x1x2-x1+2(x1-x2)/(x1x2)x2-x1)(1-2/(x1x2))因为x1,x2∈(0,2)，所以x1x2>0，而1-2/(x1x2)<1，所以f(x2)-f(x1)<0，即f(x)在区间(0,2)上是减函数。
11.已知定义在区间(1,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=f(x/2)-f(x/4)，且当x>1时f(x)<0.1）求f(1)的值；因为f(x)=f(x/2)-f(x/4)，所以f(2)=f(1)-f(1/2)，又因为f(2)=f(1)-f(1/2)=f(1/2)-f(1/4)，所以f(1/2)=f(1)-f(1/4)，继续类似地推导，得到：f(1)=f(1)-f(1/2)+f(1/2)-f(1/4)+f(1/4)-f(1/8)+。
函数单调性经典题目含解析及答案
答案： (3,)或[3,)
3、已知 f (x) x2 2x 3, g(x) f (5 x2 ) ，试求 g(x) 的单调区间
解析：复合函数的单调性，当复合函数内外层单调区间不同时，以外
层函数为界限。
答案：单调减区间为 (,2), (0,2) ，单调增区间 (2,0), (2,) 4、函数 y 2 在区间[2,4] 上的最大值和最小值
答案：[0, 1]
5
8、已知 f (x) | x a |在 (,1) 上是单调函数，则 a 的取值范围 解析： f (x) | x |是偶函数，可以画图像利用图像平移的特点来判断 答案： (,1] 9、若 y (2k 1)x b 是 R 上的减函数，则 K 的取值范围。 解析：利用一元一次函数的图像 答案： (, 1)
x2 2x 1, x [0,)
解析：利用函数图像法求单调区间及最小值
答案：函数的单调增区间为 (,0), (0,) ，最小值为 f (0) 1
7、函数 f (x) ax2 2(a 1)x 2 在区间 (,4] 为减函数，则 a 的取值范围
解析：利用一元两次函数的开口方向及对称轴或一元一次函数
x
解析：利用函数单调性
答案：20。 20、函数 f (x) 2x2 mx 1在区间[1,4]上是单调函数，则实数 m 的取值
范围
解析：二次函数对称轴与区间关系
答案： m 4或m 16
21、若 f (x) x2 bx c ， f (1) 0, f (3) 0
（1）求 b,c 的值
ax 5, a,x 1 x
x
1
是
R
上的增函数，则
a
的取值范围
利用导数探究函数的单调性(共10种题型)
利用导数探究函数的单调性一.求单调区间例1:已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，求函数)(x f 的单调区间 解：()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++.则令()()g x f x '=因为当0,1a a >≠ 所以2()2ln 0x g x a a '=+> 所以()f x '在R 上是增函数, 又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+,故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+ 减区间为：(0)-∞，变式：已知()x f x e ax =-，求()f x 的单调区间解：'()x f x e a =- 当0a ≤时，'()0f x >，()f x 单调递增当0a >时，由'()0x f x e a =->得：ln x a >，()f x 在(ln ,)a +∞单调递增由'()0x f x e a =-<得：ln x a <，()f x 在(ln )a -∞，单调递增 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为：-∞+∞（，），无单调递减区间当0a >时，()f x 的单调递增区间为：(ln ,)a +∞，递减区间为：(ln )a -∞，二.函数单调性的判定与逆用例2.已知函数32()25f x x ax x =+-+在1132（，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，求正整数a 的取值集合 解：2()322f x x ax '=+-因为函数32()25f x x ax x =+-+在1132（，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数 所以2()322=0f x x ax '=+-在1132（，）上有解 所以''11()()032f f <又*a N ∈ 解得：5542a << 所以正整数a 的取值集合{2}三.利用单调性求字母取值范围 例3. 已知函数()ln xf x ax x=-，若函数()y f x =在1+?（，）上是减函数，求实数a 的最小值. 解：因为()ln xf x ax x=-在1+?（，）上是减函数 所以'2ln 1()0(ln )x f x a x -=-?在1+?（，）上恒成立 即2ln 1(ln )x a x -³在1+?（，）上恒成立令ln ,(1)t x x =>，则0t >21()(0)t h t t t -=> 则max ()a h t ³因为222111111()=()()24t h t t t t t -=-+=--+ 所以max 1()=(2)4h t h =所以14a ³变式：若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间1,4（）上为减函数，在区间(6,)+?上为增函数，试求实数a 的取值范围. 解：2'()=1f x x ax a -+-因为函数()y f x =在区间1,4（）上为减函数，在区间(6,)+?上为增函数 所以''()0(1,4)()0,(6,)f x x f x x ìï??ïíï???ïî，恒成立即2210(1,4)10,(6,)x ax a x x ax a x ì-+-??ïïíï-+-???ïî， 所以2211,(1,4)111,(6,)1x a x x x x a x x x ì-ïï?+"?ïï-íï-ï?+"??ïï-ïî所以4161a a ì?ïïíï?ïî所以57a ＃四.比较大小例4. 设a 为实数，当ln 210a x >->且时，比较x e 与221x ax -+的大小关系. 解：令2()21(0)x f x e x ax x =-+-> 则'()=22x f x e x a -+ 令'()()g x f x = 则'()e 2x g x =- 令'()0g x =得：ln 2x =当ln 2x >时，'()0g x >；当ln 2x <时，'()0g x <所以ln2min ()()=(ln2)2ln2222ln22g x g x g e a a ==-+=-+极小值 因为ln 21a >- 所以'()()0g x f x =>所以()f x 在0+?（，）上单调递增所以()(0)0f x f >= 即2210x e x ax -+-> 所以221x e x ax >-+变式：对于R 上的可导函数()y f x =，若满足'(3)()0x f x ->，比较(1)(11)f f +与2(3)f 的大小关系.解：因为'(3)()0x f x ->所以当3x >时，'()0f x >，()f x 单调递增，故(11)(3)f f >当3x <时，'()0f x <，()f x 单调递减，故(1)(3)f f > 所以(1)(11)2(3)f f f +> 五.证明不等式例5.已知函数|ln |)(x x f =，()(1)g x k x =- (R)k ∈.证明：当1k <时，存在01x >，使得对任意的0(1,)x x ∈，恒有()()f x g x >. 证明：令()|ln |(1)=ln (1),(1,)G x x k x x k x x =----∈+∞ 则有'11(),(1,)kx G x k x x x-=-=∈+∞ 当01k k ≤≥或时，'()0G x >，故 ()G x 在1+∞（，）上单调递增，()G(1)0G x >=.故任意实数 (1,)x ∈+∞ 均满足题意.当 01k << 时，令'()=0G x ，得11x k=>. 当1(1,)x k ∈时，'()0G x >，故 ()G x 在1(1,)k上单调递增当1()x k∈+∞，时，'()0G x <，故 ()G x 在1()k +∞，上单调递减 取01x k=，对任意0(1,)x x ∈，有'()0G x >，故()G x 在0(1,)x 上单调递增所以()G(1)0G x >= 即()()f x g x >综上所述：当1k <时，存在01x >，使得对任意的0(1,)x x ∈，恒有()()f x g x >.变式：已知关于x 的方程2(1)x x e ax a --=有两个不同的实数根12x x 、.求证：120x x <+ 证明：因为2(1)x x e ax a --=所以2(1)1xx e a x -=+令2(1)()1xx e f x x -=+则222222(23)[(1)2]()11x xx x x e x x e f x x x --+--+'==++（）（）当0x >时()0f x '<，()f x 单调递减 当0x <时()0f x '>，()f x 单调递增因为关于x 的方程2(1)x x e ax a --=有两个不同的实数根12x x 、所以不妨设12(,0),(0,)x x ∈-∞∈+∞ 要证：120x x <+ 只需证：21x x <-因为210x x -∈+∞（，），且函数()f x 在0+∞（，）上单调递减 所以只需证：21()()f x f x >-，又因为21()=()f x f x 所以只需证：11()()f x f x >-即证：11112211(1)(1)11x x x e x e x x --+>++ 即证：(1)(1)0x x x e x e ---+>对0x ∈-∞（，）恒成立 令g()(1)(1)x x x x e x e -=--+，0x ∈-∞（，）则g ()()x x x x e e -'=-因为0x ∈-∞（，）所以0x x e e -->所以g ()()0x x x x e e -'=-<恒成立所以g()(1)(1)x x x x e x e -=--+在0-∞（，）上单调递减所以g()(0)0x g >= 综上所述：120x x <+ 六.求极值例6.已知函数2()()x f x x ax a e =++，是否存在实数a ，使得函数()f x 的极大值为3？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.解：'22()(2)()[(2)2]=()(2)x x x x f x x a e x ax a e x a x a e x a x e =++++=+++++ 令'()=0f x 得：2x a x =-=-或当2a =时，'()0f x ≥恒成立，无极值，舍去当2a <时，2a ->-由表可知：2()=(2)(42)3f x f a a e --=-+=极大值 解得：2432a e =-< 当2a >时，2a -<-由表可知：22()=()()3a f x f a a a a e --=-+=极大值，即3a ae -= 所以：=3a a e 令()3(2)a g a e a a =-> 则'2()31310a g a e e =->->所以()y g a =在2+∞（，）上单调递增又2(2)320g e =->所以函数()y g a =在2+∞（，）上无零点即方程=3a a e 无解综上所述：存在实数a ，使得函数()f x 的极大值为3，此时243a e =- 七.求最值例7. 已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，若存在]1,1[,21-∈x x ,使得12()()e 1f x f x -≥-（其中e 是自然对数的底数),求实数a 的取值范围. 解：因为存在12,[1,1]x x ∈-,使得12()()e 1f x f x --≥成立, 而当[1,1]x ∈-时,12max min ()()()()f x f x f x f x --≤, 所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可又因为x ,()f x ',()f x 的变化情况如下表所示:所以()f x 在[1,0]-上是减函数,在[0,1]上是增函数,所以当[1,1]x ∈-时,()f x 的最小值()()m i n 01f x f ==,()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值.因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++,令1()2ln (0)g a a a a a =-->,因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+,所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数.而(1)0g =,故当1a >时,()0g a >,即(1)(1)f f >-; 当01a <<时,()0g a <,即(1)(1)f f <-所以,当1a >时,(1)(0)e 1f f --≥,即ln e 1a a --≥,函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数,解得e a ≥;当01a <<时,(1)(0)e 1f f ---≥,即1ln e 1a a+-≥,函数1ln y a a=+在(0,1)a ∈上是减函数,解得10ea <≤.综上可知,所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+ 我变式：已知函数()ln()(0)x a f x e x a a -=-+>在区间0+∞（，）上的最小值为1，求实数a 的值.解：1()=x a f x e x a-'-+ 令()()g x f x '=则21()=0(x a g x e x a -'+>+）所以()y g x =在区间0+∞（，）单调递增所以存在唯一的00x ∈+∞（，），使得0001()0x a g x e x a-=-=+ 即001=x a e x a-+ 所以当0(0,)x x ∈时，()()0g x f x '=<，()y f x =单调递减当0()x x ∈+∞，时，()()0g x f x '=>，()y f x =单调递增 所以0min 00()()ln()x a f x f x e x a -==-+ 由001=x a e x a-+得：00=ln()x a x a --+ 所以0min 00001()()ln()=x a f x f x e x a x a x a-==-++-+001=()2222x a a x aa a++-+≥=- 当且仅当001=x a x a++即0=1x a +，min 0()()22f x f x a ==- 由22=1a -得12a =，此时01=2x ，满足条件 所以12a =八.解不等式例8. 函数2)0())((=∈f R x x f ，，对任意1)()('>+∈x f x f R x ，，解不等式：1)(+>x x e x f e 解：令()()x x g x e f x e =-则()()()(()()1)x x x x g x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-因为对任意1)()('>+∈x f x f R x ， 所以()0g x '>，所以()y g x =为R 上的单调递增函数 又(0)(0)11g f =-=所以当1)(+>x x e x f e 即()1x x e f x e -> 所以()(0)g x g > 所以0x >即不等式：1)(+>x x e x f e 的解集为0+∞（，）变式：已知定义在R 上的可导函数()y f x =满足'()1f x <，若(12)()13f m f m m -->-，求m 的取值范围.解：令()()g x f x x =- 则()()1g x f x ''=- 因为'()1f x <所以()()10g x f x ''=-<所以()()g x f x x =-为R 上递减函数 由(12)()13f m f m m -->- 得：(12)()f m m f m m ---（1-2)> 即(12)()g m g m -> 所以12m m ->即13m <九.函数零点个数（方程根的个数）例9. 已知2()2ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值.若关于x 的方程()0f x b +=在区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围.解： '2()21f x x x a=--+ 因为2()2ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值 所以'2(0)1=0f a=-， 即2a =，检验知2a =符合题意.令2()()2ln(2)[1,1]g x f x b x x x b x =+=+--+∈-，'52()22()21(11)x x g x x x +=--=--≤≤ 所以()=(0)2ln 2g x g b =+极大值因为方程()0f x b +=在区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根所以(1)0(0)0(1)0g g g -≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩，即02ln 202ln 320b b b ≤⎧⎪+>⎨⎪-+≤⎩解得：2ln 222ln 3b -<≤-所以实数b 的取值范围是：2ln 222ln3]--（， 变式：已知函数()y f x =是R 上的可导函数，当0x ¹时，有'()()0f x f x x+>，判断函数13()()F x xf x x=+的零点个数解：当0x ¹时，有'()()0f x f x x+> 即'()()0xf x f x x+> 令()()g x xf x =，则'()()()g x xf x f x ¢=+所以当0x >时，'()()()0g x xf x f x ¢=+>，函数()y g x =在0+∞（，）单调递增 且()g(0)=0g x >所以当0x >时，13()()0F x xf x x=+>恒成立，函数()y F x =无零点 当0x <时，'()()()0g x xf x f x ¢=+<，函数()y g x =在0∞（-，）单调递减 且()g(0)=0g x >恒成立 所以13()()F x xf x x=+在0∞（-，）上为单调递减函数 且当0x →时，()0xf x ®，所以13()0F x x? 当x →-∞时，10x®，所以()()0F x xf x ? 所以13()()F x xf x x=+在0∞（-，）上有唯一零点 综上所述：13()()F x xf x x =+在0∞∞（-，）（0,+）上有唯一零点 十.探究函数图像例10.设函数在定义域内可导，()y f x =的图像如图所示，则导函数()y f x '=的图像可能为下列图像的 .解：由()y f x =的图像可判断出：()f x 在(,0)-∞递减，在(0)+∞，上先增后减再增 所以在(,0)-∞上()0f x '<，在(0)+∞，上先有()0f x '>，后有()0f x '<，再有()0f x '>. 所以图（4）符合.变式：已知函数ln(2)()x f x x =，若关于x 的不等式2()()0f x af x +>只有两个整数解，求实数a 的取值范围. 解：21ln(2)()=x f x x -'，令()=0f x '得2e x = 所以当02e x <<时，()0,()f x f x '>单调递增 当2e x >时，()0,()f x f x '<单调递减 由当12x <时，()0f x <，当12x >时，()0f x >（1）（2）（3）（4）作出()f x 的大致函数图像如图所示： 因为2()()0f x af x +>（1）若0a =，即2()0f x >，显然不等式有无穷多整数解，不符合题意；（2）若0a >，则()()0f x a f x <->或，由图像可知，()0f x >，有无穷多整数解（舍）（3）若0a <则()0()f x f x a <>-或，由图像可知，()0f x <无整数解， 所以()f x a >-有两个整数解因为(1)(2)ln 2f f ==，且()f x 在(,)2e +∞上单调递减 所以()f x a >-的两个整数解为：1,2x x == 又ln 6(3)3f =所以ln 6ln 23a ≤-< 所以ln 6ln 23a -<≤-。
函数单调性经典题目含解析及答案
13、函数 y f (x) 是定义在 R 上的增函数，且 f (2m) f (m 9) ，则实数 m 的取值范围 解析：函数的单调性。
答案： (3,)
14、对任意的 x [1,) ，不等式 x2 2x a 0 恒成立，求实数 a 的取值
范围
解 析 ： 将 不 等 式 转 化 为 a x2 2x, x [1,) 恒 成 立 ， 即 求
ax 5, a,x 1 x
x
1
是
R
上的增函数，则
a
的取值范围
解析：分段函数单调性，分别求各段的单调性，再比较分界点的大小
答案： 3 a 2 24、已知函数 f (x) ax2 2x 2 ，若对一切 x [1 ,2] ， f (x) 0 都成立，
2
则实数 a 的取值范围
解析：（1）根据对称轴与区间端点的关系与二次函数的性质（2）二
次函数专题的最小值的三点三分法
17 10a, a 4
答案：（1） a 6或a 4 （2） a2 2a 1,4 a 6
37 10a, a 6
23、已知函数
f
(x)
x2
x
x
1
(x
2)
的最大值
解析：分离常数，利用函数单调性
答案：2
27、设函数 f (x) 是定义在 R 上的增函数，且 f (xy) f (x) f ( y), f (3) 1则
不等式 f (x) f (2) 1 的解集
解析： f (x) f (2) f (2x) ，利用函数单调性 答案： x 3
1、求函数 f (x) 8 2x x2 的单调区间
函数单调性的七类经典题型
单调性类型一：三角函数单调区间 1.函数tan 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调增区间为__________． 【答案】5,,66k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【解析】试题分析: 因为232πππππ+<-<-k x k ,所以Z k k x k ∈+<<-,656ππππ,故应填答案5,,66k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭. 2.已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( )A ．(－∞，1]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)． 3.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)类型二：对数函数单调区间1.函数f(x)＝ln(4＋3x －x2)的单调递减区间是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，32 B.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－1，32 D.⎣⎡⎭⎫32，4解析：函数f(x)的定义域是(－1,4)，u(x)＝－x2＋3x ＋4＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋254的减区间为⎣⎡⎭⎫32，4， ∵e ＞1，∴函数f(x)的单调减区间为⎣⎡⎭⎫32，4.2.函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( )A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．类型三：分段函数单调性 1.已知函数f(x)＝⎩⎨⎧>≤--1,log 1,1)2(x x x x a a ,若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(2，＋∞)解析：要保证函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则首先分段函数应该在各自定义域内分别单调递增．若f(x)＝(a －2)x －1在区间(－∞，1]上单调递增，则a －2＞0，即a ＞2. 若f(x)＝logax 在区间(1，＋∞)上单调递增，则a ＞1.另外，要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增还必须满足(a －2)×1－1≤loga1＝0，即a≤3.故实数a 的取值范围为2＜a≤3. 答案：C类型四：利用单调性求参数范围1.已知函数()f x 为定义[]2,3a -在上的偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22225a f m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是_______________．【答案】112m ≤< 【解析】试题分析: 由偶函数的定义可得032=+-a ,则5=a ,因为01)1(22,01222>+-=+->+m m m m ,且)22()22(),1()1(2222+-=-+-+=--m m f m m f m f m f ,所以322122≤+-<+m m m ,解之得112m ≤<.故应填答案112m <. 2.已知y ＝f(x)是定义在(－2,2)上的增函数，若f(m －1)＜f(1－2m)，则m 的取值范围是__________．解析：依题意，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2＜m －1＜2－2＜1－2m ＜2m －1＜1－2m ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m ＜3－12＜m ＜32m ＜23⇒－12＜m ＜23.答案：⎝⎛⎭⎫－12，233.已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1. 答案：(－∞，1] 4.若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝－x 2＋2ax 在区间[1,2]上是减函数，∴a ≤1. 又∵函数g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上也是减函数，∴a >0.∴a 的取值范围是(0,1]．5.若函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析：由于f (x )＝|log a x |(0<a <1)的递减区间是(0,1]，所以有0<a <3a －1≤1，解得12<a ≤23.答案：⎝⎛⎦⎤12，23 类型五：范围问题1.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足不等式f (1)<f (lg x10)的x 的取值范围是________. 押题依据 利用函数的单调性、奇偶性求解不等式是高考中的热点，较好地考查学生思维的灵活性.答案 (0,1)∪(100，＋∞) 解析 由题意得，f (1)<f (|lgx 10|)⇒1<|lg x 10|⇒lg x 10>1或lg x10<－1⇒x >100或0<x <1.2.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫12，32解析 ∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2|a －1|)>f (2)，∴2|a －1|<2＝212，∴|a －1|<12，即－12<a －1<12，即12<a <32.3.设函数f (x )＝x |x －a |，若对∀x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立，则实数a 的取值范围是__________. 答案 (－∞，3]解析 由题意分析可知条件等价于f (x )在[3，＋∞)上单调递增，又因为f (x )＝x |x －a |，所以当a ≤0时，结论显然成立，当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≥a ，－x 2＋ax ，x <a ，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫a 2，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，所以0<a ≤3. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，3].类型六：综合题1.（作图）已知f(x)是定义在实数集R 上的增函数，且f(1)＝0，函数g(x)在(－∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，且g(4)＝g(0)＝0，则集合{x|f(x)g(x)≥0}等于( ) A ．{x|x≤0或1≤x≤4} B ．{x|0≤x≤4} C ．{x|x≤4} D ．{x|0≤x≤1或x≥4}解析：画出函数f(x)和g(x)的草图如图，由图可知当f(x)g(x)≥0时，x 的取值范围是x≤0或1≤x≤4，即{x|f(x)g(x)≥0}＝{x|x≤0或1≤x≤4}，故选A.2.函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f ⎝⎛⎭⎫x ⎝⎛⎭⎫x －12<0的解集．（数形结合）解：∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝0. 又∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上是增函数，若f ⎝⎛⎭⎫x ⎝⎛⎭⎫x －12<0＝f (1)，∴⎩⎨⎧x ⎝⎛⎭⎫x －12>0，x ⎝⎛⎭⎫x －12<1，即0<x ⎝⎛⎭⎫x －12<1，解得12<x <1＋174或1－174<x <0. f ⎝⎛⎭⎫x ⎝⎛⎭⎫x －12<0＝f (－1)，∴⎩⎨⎧x ⎝⎛⎭⎫x －12<0，x ⎝⎛⎭⎫x －12<－1.∴x ⎝⎛⎭⎫x －12<－1，解得x ∈∅. ∴原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <1＋174或1－174<x <0. 3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：作出函数f (x )的图象，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．答案：B4.如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f (x )x 在区间I 上是减函数，那么称函数y＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫作“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0，3]C ．[0,1]D ．[1，3]解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f (x )x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f (x )x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]．答案：D6.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2，所以当x ≤2时，f (x )≥4；又函数f (x )的值域为[4，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3＋log a2≥4.解得1<a ≤2，所以实数a 的取值范围为(1,2]．答案：(1,2]7.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝|x －a |－a (a ∈R ).若∀x ∈R ，f (x ＋2 016)>f (x )，则实数a 的取值范围是_________. 数形结合当a ＝0时，f (x )＝x ，x ∈R ，满足条件；当a <0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x >0，0，x ＝0，x ＋2a ，x <0为R 上的单调递增函数，也满足条件；当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x >a ，－x ，－a ≤x ≤a ，x ＋2a ，x <－a ，要满足条件，需4a <2 016 ，即0<a <504， 综上实数a 的取值范围是a <504.。