函数的定义域与值域单调性与奇偶性三角函数典型例题
人教版高中数学必修一知识点与典型习题——第二部分-函数(含答案)
2015-2016高一上学期期末复习知识点与典型例题人教数学必修一 第二部分 函数1、函数的定义域、值域2、判断相同函数3、分段函数4、奇偶性5、单调性1．定义域 值域（最值） 1．函数()()3log 3f x x =++的定义域为____________________ 2．函数22()log (23)f x x x 的定义域是（ ）(A) [3,1] (B) (3,1) (C) (,3][1,)-∞-+∞ (D) (,3)(1,)-∞-+∞3．2()23,(1,3]f x x x x =-+∈-的值域为____________________ 4．若函数21()2f x x x a =-+的定义域和值域均为[1,](1)b b >，求a 、b 的值．2．函数相等步骤：1、看定义域是否相等； 2、看对应关系（解析式）能否化简到相同1．下列哪组是相同函数？2(1)(),()x f x x g x x ==(2)()()f x x g x ==,2(3)()2lg ,()lg f x x g x x ==(4)(),()f x x g x ==3．分段函数基本思路：分段讨论 （1）求值问题1．24(),(5)(1)4xx f x f f x x ⎧<==⎨-≥⎩已知函数则_______________ 2．设函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则=))3((f f ______________（2）解方程1．2log ,11(),()1,12x x f x f x x x >⎧==⎨-≤⎩已知函数则的解为_________________2．已知⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ，若()10f x =，则x = .（3）解不等式1．21,0(),()1,0x f x f x x x x ⎧>⎪=>⎨⎪≤⎩已知函数则的解集为__________________2．2log ,0(),()023,0x x f x f x x x >⎧=>⎨+≤⎩已知函数则的解集为__________________（4）作图、求取值范围（最值）1．24-x ,0()2,012,0x f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩已知函数．（1）作()f x 的图象；（2）求2(1)f a +，((3))f f 的值；（3）当43x -≤＜，求()f x 的取值集合（5）应用题（列式、求最值）1．为方便旅客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出去的自行车就增加3辆，为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)， （1）求函数f(x)的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？4．函数的单调性（1）根据图像判断函数的单调性——单调递增：图像上升 单调递减：图像下降 1．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．ln(2)y x =+ B．y =．1()2xy = D ．1y x x=+2．下列函数中，在其定义域内为减函数的是（ ）A ．3y x =- B ．12y x = C ．2y x = D ．2log y x =（2）证明函数的单调性步骤——取值、作差12()()f x f x -、变形、定号、下结论 1．已知函数11()(0,0)f x a x a x=->>． (1)求证：()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数；(2)若()f x 在1[,2]2上的值域是1[,2]2，求a 的值．（3）利用函数的单调性求参数的范围1．2()2(1)2(2]f x x a x =+-+-∞在，上是减函数，则a 的范围是________2．若函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(,2,)2()(x x x a x f x 是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．)2,(-∞B ．]813,(-∞ C ．)2,0( D ．)2,813[3．讨论函数223f(x)x ax =-+在(2,2)-内的单调性（4）利用函数的单调性解不等式1．()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，且满足(32)(1)f x f -<，则实数x 的取值范围是（ ） A ． (,1)-∞ B ． 2(,1)3 C ．2(,)3+∞ D ． (1,)+∞ 2．2()[1,1](1)(1)f x f m f m m --<-若是定义在上的增函数，且，求的范围（5）奇偶性、单调性的综合1．奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有最小值7，则它在[-3,-1]上是____函数，有最___值___. 2．212()(11)()125ax b f x f x +=-=+函数是，上的奇函数，且． （1）确定()f x 的解析式；（2）用定义法证明()f x 在(1,1)-上递增；（3）解不等式(1)()0f t f t -+>．3．f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且()()()xf f x f y y=-（1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．5．函数的奇偶性（1）根据图像判断函数的奇偶性奇函数：关于原点对称；偶函数：关于y 轴对称 例：判断下列函数的奇偶性① y=x ³ ② y=|x|（2）根据定义判断函数的奇偶性一看定义域是否关于原点对称；二看()f x -与()f x 的关系1．设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ） A ．)()(x g x f +是偶函数 B ．)()(x g x f -是奇函数 C ．)()(x g x f +是偶函数 D ．)()(x g x f -是奇函数 2．已知函数()log (1)log (1)(01)a a f x x x a a =+-->≠且 （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明。
三角函数总结经典例题
第三章 三角函数3.1任意角三角函数一、知识导学1．角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角. 2．弧度制：任一已知角α的弧度数的绝对值rl=α，其中l 是以α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.3．弧度与角度的换算：rad π2360=；rad 1745.01801≈=π；130.57180≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad .用弧度为单位表示角的大小时，弧度（rad ）可以省略不写.度()不可省略.4．弧长公式、扇形面积公式：,r l α=2||2121r lr S α=＝扇形,其中l 为弧长，r 为圆的半径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当πα2=时的情形.5．任意角的三角函数定义：设α是一个任意大小的角，角α终边上任意一点P 的坐标是()y x ,，它与原点的距离是)0(>r r ，那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是yrx r y x x y r x r y ======ααααααc s c ,s e c ,c o t ,t a n ,c o s ,s i n .这六个函数统称为三角函数.7．三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值）可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正. 二、疑难知识导析1．在直角坐标系内讨论角（1）角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角（或说这个角属于第几象限）.它的前提是“角的顶点为原点，角的始边为x 轴的非负半轴.否则不能如此判断某角为第几象限.若角的终边落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限.（2）与α角终边相同的角的集合表示.{}Z k k ∈+⋅=,360αββ，其中α为任意角.终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360整数倍. 2．值得注意的几种范围角的表示法“0 ～ 90间的角”指 900<≤θ；“第一象限角”可表示为{}Z k k k ∈+⋅<<⋅,90360360θθ；“小于90的角”可表示为{}90<θθ. 3．在弧度的定义中rl与所取圆的半径无关，仅与角的大小有关. 4．确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键.当终边在坐标轴上时点P 坐标中必有一个为0.5．根据三角函数的定义可知：（1）一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角α与)(360Z k k ∈⋅=β的同名三角函数值相等；（2）r y r x ≤≤,，故有1sin ,1cos ≤≤αα，这是三角函数中最基本的一组不等关系. 6．在计算或化简三角函数关系式时，常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论.因此，在解答此类问题时要注意：（1）角的范围是什么？（2）对应角的三角函数值是正还是负？（3）与此相关的定义、性质或公式有哪些？三、经典例题导讲[例1] 若A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，且)2(π≠<<C C B A ，则下列结论中正确的个数是（ ）①.C A sin sin < ②.C A cot cot < ③.C A tan tan < ④.C A cos cos <A ．1 B.2 C.3 D.4错解：C A < ∴ C A sin sin <，C A tan tan <故选B错因：三角形中大角对大边定理不熟悉，对函数单调性理解不到位导致应用错误 正解：法1C A < 在ABC ∆中，在大角对大边，A C a c sin sin ,>∴>法2 考虑特殊情形，A 为锐角，C 为钝角，故排除B 、C 、D ，所以选A . [例2]已知βα,角的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为 . 错解：∵βα,角的终边关于y 轴对称，∴22πβα=++πk 2，（)z k ∈错因：把关于y 轴对称片认为关于y 轴的正半轴对称.正解：∵βα,角的终边关于y 轴对称 ∴)(,22Z k k ∈+=+ππβα即)(,2z k k ∈+=+ππβα说明：（1）若βα,角的终边关于x 轴对称，则α与β的关系为)(,2Z k k ∈=+πβα（2）若βα,角的终边关于原点轴对称，则α与β的关系为)(,)12(Z k k ∈++=πβα （3）若βα,角的终边在同一条直线上，则α与β的关系为)(,Z k k ∈+=παβ[例3] 已知542cos ,532sin-==θθ，试确定θ的象限. 错解：∵0542cos ,0532sin <-=>=θθ，∴2θ是第二象限角，即.,222z k k k ∈+<<ππθπ从而.,244z k k k ∈+<<ππθπ故θ是第三象限角或第四象限角或是终边在y 轴负半轴上的角.错因：导出2θ是第二象限角是正确的，由0542cos ,0532sin <-=>=θθ即可确定， 而题中542cos ,532sin -==θθ不仅给出了符号，而且给出了具体的函数值，通过其值可进一步确定2θ的大小，即可进一步缩小2θ所在区间.正解：∵0542cos ,0532sin <-=>=θθ，∴2θ是第二象限角，又由43sin 22532sinπθ=<=知z k k k ∈+<<+,22432ππθππ z k k k ∈+<<+,24234ππθππ，故θ是第四象限角. [例4]已知角α的终边经过)0)(3,4(≠-a a a P ，求ααααcot ,tan ,cos ,sin 的值. 错解：a y x r a y a x 5,3,422=+=∴=-=3434cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-=-=-===∴a a a a a a a a αααα错因：在求得r 的过程中误认为a >0正解：若0>a ，则a r 5=，且角α在第二象限3434cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-=-=-===∴a a a a a a a a αααα若0<a ，则a r 5-=，且角α在第四象限3434cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-==--=-=-=∴a a a a a a a a αααα 说明：（1）给出角的终边上一点的坐标，求角的某个三解函数值常用定义求解； （2）本题由于所给字母a 的符号不确定，故要对a 的正负进行讨论. [例5] （1）已知α为第三象限角，则2α是第 象限角，α2是第 象限角； （2）若4-=α，则α是第 象限角. 解：（1）α 是第三象限角，即Z k k k ∈+<<+,2322ππαππZ k k k ∈+<<+∴,4322ππαππ，Z k k k ∈+<<+,34224ππαππ当k 为偶数时，2α为第二象限角当k 为奇数时，2α为第四象限角而α2的终边落在第一、二象限或y 轴的非负半轴上. （2）因为ππ-<-<-423，所以α为第二象限角. 点评：α为第一、二象限角时，2α为第一、三象限角，α为第三、四象限角时，2α为第二、四象限角，但是它们在以象限角平分线为界的不同区域.[例6]一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解：设扇形的半径为rcm ，则扇形的弧长cm r l )220(-=扇形的面积25)5()220(212+--=⋅-=r r r S 所以当cm r 5=时，即2,10===rl cm l α时2max 25cm S =.点评：涉及到最大（小）值问题时，通常先建立函数关系，再应用函数求最值的方法确定最值的条件及相应的最值. [例7]已知α是第三象限角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+。
函数的单调性和奇偶性知识归纳和典型题型
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知 是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则 在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知 是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则 在区间[-b，-a]上也是减函数（增函数）.
若a>0，在区间 ，函数是减函数；在区间 ，函数是增函数；
若a<0，在区间 ，函数是增函数；在区间 ，函数是减函数．
要点三、一些常见结论
(1)若 是增函数，则 为减函数；若 是减函数，则 为增函数；
(2)若 和 均为增（或减）函数，则在 和 的公共定义域上 为增（或减)函数；
(3)若 且 为增函数，则函数 为增函数， 为减函数； 若 且 为减函数，则函数 为减函数， 为增函数.
(1) ； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；
(2) ；
(3) ；
(4) .
举一反三：
【变式1】已知 当 的定义域为下列区间时，求函数的最大值和最小值.
（1）[0，3]；（2）[-1，1]；（3）[3，+∞）.
例5．（2015 西安周至县一模）已知函数 ，x∈[―5，5]，
(2) 存在 ，使得 ，那么，我们称 是函数的最大值（或最小值）.
要点诠释：
①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量 ，使 等于最值；
②对于定义域内的任意元素 ，都有 （或 ），“任意”两字不可省；
③使函数 取得最值的自变量的值有时可能不止一个；
④函数 在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.
几个抽象函数的典型题目
几个抽象函数的典型题目1、正比列函数型设y=f(x)为定义在R上的函数，如果满足f(x+y)=f(x)+f(y)，则具有性质(1)f(0)=0；(2)y=f(x)是R上的奇函数；(3)若x≠0，f(x)≠0时，则y=f(x)是R上的单调函数例1：已知函数f(x)对任意的实数x，y，均有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)>0，f(-1)=2求f(x)在区间[-2,1]上的值域分析：由题设可知，其模型函数为正比例函数型，因此求函数f(x)的值域关键在于求出其单调性。
解：令x=y=0，则f(0)=0；令y=-x，则有f(x)+f(-x)=f(0)∴f(x)=-f(-x)∴f(x)是奇函数设-2≤x1<x2≤1，则x1-x2>0，∵当x>0时f(x)>0即f(x2)+f(x1)=f(x2)-f(x1)>0∴f(x2)>f(x1)∴f(x)是[-2，1]的增函数f(-2)=f(-1)+f(-1)=-4f(1)=-f(-1)=2∴函数f(x)在区间[-2，1]的值域是[-4，2]点评：在求解此题时，已经证明了性质(1)，性质(2)，还告诉了性质(3)的证明方法，若在选择或填空题中遇到时，可直接应用。
3、指数函数型设f(x)是定义在R上的不恒为0函数，满足f(x+y)=f(x)f(y)，且当x>0时，恒有f(x)>1(或恒有f(x)<1)，则具有性质：(1)f(x)>0且f(0)=1(2)(3)f(x)是单调函数例2：设f(x)是R上的函数，满足条件：存在x1≠x2使得f(x1)≠f(x2)；对任意的x和y有f(x+y)=f(x)f(y)成立，求(1)f(0)的值(2)对任意的x∈R，判断函数f(x)的值的符号。
分析：由条件可知函数f(x)是由指数函数y=ax抽象而来的，于是问题就可参照指数函数的性质来求解：解：(1)令y=0则f(x)=f(x)f(0)f(x)[1-f(0)]=0f(x)=0或f(0)=1若f(x)=0则对任意的x1≠x2有f(x1)=f(x2)=0与题意不符∴f(0)=1(2)令x=y≠0f(x+y)=f(2x)=f(x)f(x)=[f(x)]2≥0由(1)知f(x)≠0∴f(2x)>0即f(x)>0对任意的x∈R恒成立例3：设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并满足①函数f(x)的图象关于直线x=1对称②对任意的x1，x2∈[0，1]都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)③f(1)=a>0，且a≠1求：(1) 的值(2)求证，当a>1时，f(x)在[0，1]上是增函数(3)若数列{an}满足，n∈N*，求分析：由条件②和条件③知函数f(x)背景函数为指数函数，于是问题就好入手了。
函数的概念与性质(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
第1讲函数的概念与性质【考点分析】1.函数的定义域、值域、解析式是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单的基本方法.2.函数的单调性、奇偶性是高考命题热点，每年都会考一道选择或者填空题，分值5分，一般与指数，对数结合起来命题【题型目录】题型一：函数的定义域题型二：同一函数概念题型三：函数单调性的判断题型四：分段函数的单调性题型五：函数的单调性唯一性题型六：函数奇偶性的判断题型七：已知函数奇偶性，求参数题型八：已知函数奇偶性，求函数值题型九：利用奇偶性求函数解析式题型十：给出函数性质，写函数解析式题型十一：()=x f 奇函数+常数模型（()()常数⨯=+-2x f x f ）题型十二：中值定理（求函数最大值最小值和问题，()()()中f x f x f 2min max =+，中指定义域的中间值）题型十三：.单调性和奇偶性综合求不等式范围问题题型十四：值域包含性问题题型十五：函数性质综合运用多选题【典型例题】题型一：函数的定义域【例1】（2021·奉新县第一中学高一月考）函数()f x =的定义域为（）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4答案：C解析：对于函数()f x =，有1040x x ->⎧⎨->⎩，解得14x <<.因此，函数()ln 1f x -=的定义域为()1,4.故选：C.【例2】函数()21log (3)f x x =-的定义域为【答案】()()3,44,⋃+∞【详解】由题意知()230log 30x x ->⎧⎨-≠⎩，得()223log 3log 1x x >⎧⎨-≠⎩，所以331x x >⎧⎨-≠⎩，所以()()3,44,x ∈⋃+∞．【例3】(2020·集宁期中)已知函数)32(-x f 的定义域是]41[，-，则函数)21(x f -的定义域（）A ．]12[，-B ．]21[，C ．]32[，-D ．]31[，-【答案】C【详解】因为函数)32(-x f 的定义域是]41[，-，所以41≤≤-x ，所以5325≤-≤-x ，函数)(x f 的定义域为]55[，-，令5215≤-≤-x ，解得32≤≤-x 【例4】若函数()12log 22++=x ax y 的定义域为R ，则a 的范围为__________。
三角函数的定义域与值域题库
专题三：三角函数的定义域与值域（习题库）一、选择题1、函数f（x）的定义域为[﹣，]，则f（sinx）的定义域为（）A、[﹣，]B、[，]C、[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）D、[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）分析：由题意知，求出x的范围并用区间表示，是所求函数的定义域；解答：∵函数f（x）的定义域为为[﹣，]，∴，解答（k∈Z）∴所求函数的定义域是[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）故选D．2、函数的定义域是（）A、.B、.C、D、.解答：由题意可得sinx﹣≥0⇒sinx≥又x∈（0，2π）∴函数的定义域是．故选B．3、函数的定义域为（）A、B、C、 D、解答：由题意得tanx≥0，又tanx 的定义域为（kπ﹣，kπ+），∴，故选D．4、函数f（x）=cosx（cosx+sinx），x∈[0，]的值域是（）A、[1，]B、C、D、解答：∵f（x）=cosx（cosx+sinx）=cos2x+sinxcosx===又∵∴∴则1≤f（x）≤故选A．5、函数y=﹣cos2x+sinx﹣的值域为（）A、[﹣1，1]B、[﹣，1]C、[﹣，﹣1]D、[﹣1，]解答：函数y=﹣cos2x+sinx﹣=﹣（1﹣2sin2x）+sinx﹣=sin2x+sinx﹣1=﹣∵﹣1≤sinx≤1，∴当sinx=﹣时，函数y有最小值为﹣．sinx=1时，函数y 有最大值为1，故函数y 的值域为[﹣，1]，故选B．6、函数值域是（）A、B、 C、D、[﹣1，3]解答：因为，所以sinx∈[]，2sinx+1∈故选B7、函数的最大值是（）A、5B、6C、7D、8解答：∵==∈[﹣7，7] ∴函数的最大值是78、若≤x≤，则的取值范围是（）A、[﹣2，2]B、C、D、解答：=2（sinx+cosx）=2sin（），∵≤x≤，∴﹣≤≤，∴≤﹣sin（）≤1，则函数f（x）的取值范围是：．故选C．9、若，则函数y=的值域为（）A、B、 C、D、解答：函数y===因为，所以sin∈（0，）∈故选D10、函数，当f（x）取得最小值时，x的取值集合为（）A、 B、C、 D、解答：∵函数，∴当 sin（﹣）=﹣1时函数取到最小值，∴﹣=﹣+2kπ，k∈Z函数，∴x=﹣+4kπ，k∈Z，∴函数取得最小值时所对应x的取值集合:为{x|x═﹣+4kπ，k∈Z}故选A．11、函数y=sin2x﹣sinx+1（x∈R）的值域是（）A、[，3]B、[1，2]C、[1，3]D、[，3]解答：令sinx=t，则y=t2﹣t+1=（t﹣）2+，t∈[﹣1，1]，由二次函数性质，当t=时，y取得最小值．当t=﹣1时，y取得最大值3，∴y∈[，3] 故选A．12、已知函数，则f（x）的值域是（）A、[﹣1，1]B、C、D、解答：解：由题=，当x∈[，]时，f（x）∈[﹣1，]；当x∈[﹣，]时，f（x）∈[﹣1，] 可求得其值域为．故选D．13、函数的值域为（）A、B、 C、[﹣1，1] D、[﹣2，2]解答：=﹣sinxcosx+cos2x=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）∴函数的值域为[﹣1，1] 故选C．14、若≥，则sinx的取值范围为（）A、 B、C、∪D、∪解答：∵≥，∴解得x∈[，）∪（，] ∴sinx∈故选B15、函数y=sin2x+2cosx在区间[﹣，]上的值域为（）A、[﹣，2]B、[﹣，2）C、[﹣，]D、（﹣，]解答：∵x∈[﹣，] ∴cosx∈[﹣，1]又∵y=sin2x+2cosx=1﹣cos2x+2cosx=﹣（cosx﹣1）2+2则y∈[﹣，2] 故选A二、填空题（共7小题）16、已知，则m的取值范围是．解答：∵=2（sinθ+cosθ）=2sin（θ+），∴﹣2≤≤2，∴m≥，或m≤﹣，故m的取值范围是（﹣∝，﹣]∪[，+∞）．17、函数在上的值域是___________．解答：因为，故故答案为：18、函数的值域为．解答：由题意是减函数，﹣1≤sinx≤1，从而有函数的值域为，故答案为19、（理）对于任意，不等式psin2x+cos4x≥2sin2x恒成立，则实数p的范围为．解答：∵psin2x+cos4x≥2sin2x ∴psin2x≥2sin2x﹣1﹣sin4x+2sin2x=4sin2x﹣sin4x ﹣1∴p≥4﹣（sin2x+）而sin2x+≥2∴4﹣（sin2x+）的最大值为2则p≥2故答案为：[2，+∞）20、函数的值域是．解答：令t=sinx+cosx=，t2=1+2sinxcosx∵∴x+∴从而有:f（x）==﹣2在单调递增当t+1=2即t=1时，此时x=0或x=，函数有最小值当t+1=1+即t=时此时x=，函数有最大值2﹣2故答案为：[﹣2]21、函数的定义域为．解答：要使函数有意义，必须解得，故答案为：（0，）．三、解答题（共8小题）22.（1）已知f（x）的定义域为［0，1］，求f（cosx）的定义域；（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域；分析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，这里的cosx以它的值充当角。
三角函数的性质典型例题和经典练习
专题：正弦、余弦函数的图像及性质（余弦函数图像可通过正弦曲线向左平移2π或向右平32π单个位长度而得到）二 正弦、余弦函数的性质1：正弦函数的性质2 一、正弦函数y=sinx 及余弦函数y=cosx 在R 上的图象cos sin()2y x x π==+定义域、值域例1、正弦函数、余弦函数的主要性质：（1） 定义域：y=sinx y=cosx（2） 值 域：y=sinx y=cosx （3） 周期性：y=sinx y=cosx （4） 奇偶性：y=sinx y=cosx（5） 单调区间：y=sinx y=cosx (6) 最值（最大及最小值）：y=sinx y=cosx同步练习一、选择题1、若[]π2,0∈x ，函数x x y cos sin -+=的定义域是A ．[]π,0B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,2ππC ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ2,23 2、函数xy sin 1=的定义域是A ．RB ．{}0,|≠∈x R x xC ．{}Z k k x R x x ∈≠∈,,|πD ．[)(]1,00,1 -3、若aa x --=432sin ，那么a 的取值范围是A ．[)+∞,4B ．(]1,-∞-C ．(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∞-,371,D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-37,14、函数x y sin 1-=的最小值是 A ．1-B ．0C ．2-D ．1 5、函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈++=3,6,5cos sin 32cos 22ππx x x x y 的最大值是A ．0B ．4C ．5D ．86、函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=32,6,sin ππx x y 的值域是A ．[]1,1-B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,21 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21二、填空题 1、函数x x y cos 1sin +=的定义域是 ；2、函数x x y 2sin sin 47-+=的值域是 ；3、已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫⎝⎛+=4,0,42sin ππx x y ，当=x 时，函数有最小值=y ；正弦、余弦函数的单调性 例1、 求函数142sin 2+⎪⎭⎫⎝⎛+=πx y 的单调递减区间．例2、已知函数()2cos()32x f x π=-（1）求f (x)的单调递增区间（2）若[],x ππ∈-，求f (x)的最大值和最小值．同步练习一、选择题1、 在下列各区间上，函数x y 2cos =单调递减的区间是A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,4ππC ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0πD ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,22、在下列各区间上，函数sin()4y x π=+的单调递增区间是（ ）A ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．[],0π- D ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3、函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 23sin π的单调递减区间是 A ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,1252,122ππππ B ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,3114,354ππππ C ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,1211,125ππππ D ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,125,12ππππ 4、函数x x y cos sin +=（20π≤≤x ）的值域是（ ）A ．]2,2[-B ．]2,1[-C ．]2,0[D ．]2,1[5、函数sin y x x =-在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ）A ．12π- B ．312π+ C ．22π-D ．32π6、下列不等式成立的是 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫⎝⎛-10sin 18sin ππ B ．2sin 3sin > C ．⎪⎭⎫⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-417cos 533cos ππ D ．516cos 57cos ππ< 二、填空题1、已知π20≤≤x ，当x 属于区间 时，角x 的正弦函数、余弦函数都是减函数；当x 属于区间 时，角x 的正弦函数是减函数，角x 的余弦函数是增函数． 2、（1）函数)32cos(2π-=x y 的单调增区间是________________________；（2）函数)24sin(x y -=π的单调增区间是________________________． 3、函数()x x x f cos 3sin +=的值域是 ；当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx 时，函数)(x f 的值域为 ．4、比较大小：（1）sin1,sin2,sin3,sin4: ； (2) cos1,cos2,cos3,cos4: ． 正弦、余弦函数的周期性（1）)()(x f T x f =+是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个x值，T x +仍在定义域内且使等式成立.（2）周期T 是常数，且使函数值重复出现的自变量x 的增加值. 例1: 求下列函数的周期：（1）x x f 2cos )(=； （2）)62sin(2)(π-=x x g （3）)2cos()(x x f -= （4）)62sin(2)(π--=x x g同步练习1、求下列函数的周期：（1）正弦函数sinx 3y =的周期是________. （2）正弦函数sinx 3y +=的周期是________. （3）余弦函数y cos2x =的周期是_______ （4）余弦函数)621cos(2π-=x y 的周期是________.（5）函数)42sin(π+-=x y 的周期是________.2.函数y Asin(x )y Acos(x )ωϕωϕ=+=+或的周期与解析式中的_________无关，其周期为: ____________.3.函数)0(),4sin()(>+=ωπωx x f 的周期是32π则ω=______。
三角函数的图象和性质典型例题
三角函数的图象和性质·典型例题【例3】求下列函数的定义域：【例4】求下列函数的值域：【例5】判断下列函数的奇偶性：【例6】求下列函数的最小正周期：【例8】求下列各函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大值、最小值的x的集合．【例9】求下列函数的单调区间：【例10】当a≥0，求函数f(x)=(sinx+a)(cosx+a)的最大值、最小值，及相应的x的取值．【例11】函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)的图象如图2-15，试依图指出(1)f(x)的最小正周期；(2)使f(x)=0的x的取值集合；(3)使f(x)＜0的x的取值集合；(4)f(x)的单调递增区间和递减区间；(5)求使f(x)取最小值的x的集合；(6)图象的对称轴方程；(7)图象的对称中心．【例12】求如图2-16所示的函数解析式．(ω＞0，θ∈[0，2π])【例13】设y=Asin(ωx+ϕ)(A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π)最高点D的标为(6，0)，(1)求A、ω、ϕ的值；(2)求出该函数的频率，初相和单调区间．A．sinθ＜cosθ＜ctgθB．cosθ＜sinθ＜ctgθC．sinθ＜ctgθ＜cosθD．cosθ＜ctgθ＜sinθ再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的4倍，则所得的图象的解析式是 [ ]【例17】方程sin2x=sinx在区间(0，2π)内解的个数是[ ]A．1 B．2 C．3 D．4【例18】设函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(1)=2，则f(5)=____【例19】有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，求这个内接矩形的最大面积．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数的定义域与值域、单调性与奇偶性一、知识归纳：1. 求函数的解析式（1）求函数解析式的常用方法： ①换元法（ 注意新元的取值范围）②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ③整体代换（配凑法）④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等）（2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。
（3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。
2. 求函数的定义域求用解析式y ＝f （x ）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f （x ）是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若f （x ）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f （x ）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f （x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域（最值）的一般方法： （1）利用基本初等函数的值域；（2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(>+=k xkx y 型的函数） （4）函数的单调性：特别关注)0(>+=k xkx y 的图象及性质 （5）部分分式法、判别式法（分式函数） （6）换元法（无理函数） （7）导数法（高次函数） （8）反函数法 （9）数形结合法 4. 求函数的单调性 （1）定义法： （2）导数法：（3）利用复合函数的单调性：（4）关于函数单调性还有以下一些常见结论：①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；（5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等 （6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。
5. 函数的奇偶性奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f （x ） 与f （－x ）的关系。
f （x ） －f （－x ）＝0⇔f （x ） ＝f （－x ） ⇔f （x ）为偶函数；f （x ）+f （－x ）＝0⇔f （x ） ＝－f （－x ） ⇔f （x ）为奇函数。
判别方法：定义法，图象法，复合函数法 应用：把函数值进行转化求解。
6. 周期性：定义：若函数f （x ）对定义域内的任意x 满足：f （x+T ）＝f （x ），则T 为函数f （x ）的周期。
其他：若函数f （x ）对定义域内的任意x 满足：f （x+a ）＝f （x －a ），则2a 为函数f （x ）的周期.应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。
二、典型例题分析例1. 若集合A ＝{a 1，a 2，a 3}，B ＝{b 1，b 2} 求从集合A 到集合B 的映射的个数。
分析：解决这类问题，关键是要掌握映射的概念：设A 、B 是两个集合，对于集合A 中的任何一个元素，按照某种对应法则f ，若集合B 中都有唯一确定的元素和它对应，这时对应法则f 叫做从集合A 到集合B 的映射。
这里要掌握关键的两个词“任何”、“唯一”。
对于本例，集合A ＝{a 1，a 2，a 3}中的每一个元素的象都有b 1或b 2这两种情形，由乘法原理可知，A 到B 的映射的个数共有N ＝2·2·2＝8个。
例2. 线段|BC|＝4，BC 的中点为M ，点A 与B 、C 两点的距离之和为6，设|AM|＝y ，|AB|＝x ，求y ＝f （x ）的函数表达式及这函数的定义域。
解：1°若A 、B 、C 三点不共线，如图所示，由余弦定理可知，x 2＝22+y 2－4ycos ∠AMB ①（6－x ）2＝22+y 2－4ycos （180°－∠AMB ） ② ①+② x 2+（6－x ）2＝2y 2+8 ∴y 2＝x 2－6x+14 又 x 2－6x+14＝（x －3）2+5恒正，∴1462+-=x x y 又三点A 、B 、C 能构成三角形⎪⎩⎪⎨⎧>-+->+>-+∴x x x x x x )6(4644)6( ∴1＜x ＜52°若三点A 、B 、C 共线，由题意可知， x+4＝6－x ，x ＝1 或4+6－x ＝x x ＝5综上所述：1462+-=x x y )51(≤≤x说明：第一，首先要分析三点A 、B 、C 是否在同一条直线上，因为由题意，A 、B 、C 不一定能构成三角形，它们也可在同一条直线上，所以要分两种情形来讨论。
第二，实际问题在求解析式时要特别注意函数的定义域。
例3. 设f （x ）为定义在R 上的偶函数，当x ≤－1时，y ＝f （x ）的图象是经过点（－2，0），斜率为1的射线，又在y ＝f （x ）的图象中有一部分是顶点在（0，2），且过点（－1，1）的一段抛物线，试写出函数f （x ）的表达式，并在图中作出其图象。
解：（1）当x ≤－1时，设f （x ）＝x+b∵射线过点（－2，0） ∴0＝－2+b 即b ＝2，∴f （x ）＝x+2 （2）当－1<x<1时，设f （x ）＝ax 2+2 ∵抛物线过点（－1，1），∴1＝a ·（－1）2+2，即a ＝－1 ∴f （x ）＝－x 2+2（3）当x ≥1时，f （x ）＝－x+2综上可知：f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<---≤+1,211,21,22x x x x x x 作图由读者来完成。
例4. 求下列函数的定义域 （1）2|1|)43(432-+--=x x x y （2）)103(log 22327---=x x y解：（1）⎩⎨⎧-≠≠⇒≠-+≥-≤⇒≥--3102|1|410432x x x x x x x 且或∴x ≥4或x ≤－1且x ≠－3，即函数的定义域为（－∞，－3）∪（－3，－1）∪[4，+∞]（2）0327)103(log 22≥---x x，则3)103(log 22≤--x x∴ 0<x 2－3x －10≤8，即⎪⎩⎪⎨⎧>-<⇒>--≤≤-⇒≤--52010363810322x x x x x x x 或 ∴－3≤x ＜－2或5＜x ≤6即定义域为[－3，－2]∪（5，6） 说明：求函数的定义域，我们常常可以从以下三个方面来考虑：若有分母则分母不为零、若有偶次根式则被开方数大于或等于零、若有对数式，则真数大于零、底数大于零且不等于1。
求函数的定义域，实质上就是求由以上不等式组成的不等式组的解集。
变、已知函数f （x ）的定义域为[－1，4]，求)21(+xf 的定义域。
解：4211<+≤-x ，则213<≤-x 又 01≠x ，∴013<≤-x或210<<x则31-≤x 或21>x 即为所求函数的定义域。
说明：此题实质上是求复合函数的定义域，我们把)21(+=xf y 看成是由y ＝f （u ）、21+=x u 两个函数复合而成的，因为－1≤u ＜4，则4211<+≤-x，从而求出x 的范围，另外，对不等式进行倒数运算时，应注意不等式两边必须同号，取倒数后不等号的方向改变，这里也是学习时常常容易发生错误的地方，应加以重视。
例5. 若对于任何实数x ，不等式：a x x >-+-|2|2|1|恒成立，求实数a 的取值范围。
解：令f （x ）＝|x －1|+2|x －2|，去绝对值把f （x ）表示成分段函数后为5－ x ＜1f （x ）＝ 3－x 1≤x ≤2 3x －5 x ＞2作出y ＝f （x ）的图象如图，由此可知f （x ）的最小值为1，f （x ）＞a 对一切实数x 恒成立，则a ＜1。
说明：该题看上去是一个不等式的问题，若用去绝对值分类讨论的方法来求解则比较繁锁，而如果注意到不等式左边是一个关于x 的函数，只要利用数形结合的思想求出此函数的最小值就很快解决了问题，这种解题思想应引起我们的注意。
另外，对于函数f （x ）＝|x －1|+2|x －2|只要把它写成分段函数的形式，作出函数的图象，则该函数的所有性质，包括函数的单调区间，值域等一切问题都可以迎刃而解了。
例6. 求函数x x x f 41332)(-+-=的值域。
解：令0413≥=-t x ，则13－4x ＝t 24132t x -=∴4)1(21321322+--=+--=t t t y 该二次函数的对称轴为t ＝1，又t ≥0由二次函数的性质可知y ≤4，当且仅当t ＝1即x ＝3时等式成立，∴原函数的值域为（－∞，4）。
说明：对于所有形如d cx b ax y +++=的函数，求值域时我们可以用换元法令 0≥=+t d cx 转化为关于t 的二次函数在区间[0，+∞）上的最值来处理。
这里要注意t≥0的范围不能少。
如：已知f （x ）的值域为]94, 83[，试求函数)(21)(x f x f y -+=的值域。
该题我们只需要把f （x ）看成是一个变量，则求值域时仍可用上述换元法，但是如果被开方数不是关于x 的一次式，而含x 的平方项，则就不能用上述换元法了。
如求函数241x x y --=的值域，若令t x =-21，则x 无法用t 来表示。
这里我们如果注意到x 的取值范围：－2≤x ≤2，则－1≤2x ≤1的话，我们就可以用三角换元：令θcos 2=xθ∈[0，π]，问题也就转化为三角函数求最值了。
同样我们作三角换元时，要注意θ的限制条件，因为当θ取遍0到π之间的每一个值时，2x恰好可以取遍－1到1之间的每一个值，若不限制θ的范围，则根号无法直接去掉，就会给我们解题增添麻烦。
例7. 求下列函数的最值。
（1）372x x y --+=（2）21||x x y -⋅=解：（1）先求出函数的定义域：⎩⎨⎧≥-≥+0702x x∴－2≤x ≤7，又在区间[－2，7]上函数21+=x y 单调递增，x y --=72单调递增，所以372x x y --+=在定义域内也单调递增。
当x ＝－2时，3min 3-=y ；当x ＝7时，3max 3=y（2）∵21||x x -⋅≥0 ∴y 2＝x 2（1－x 2）由基本不等式可知：y 2＝x 2（1－x 2）≤41]2)1([222=-+x x ，又y ≥0 ∴0min =y ，21max =y 。
说明：对于一些比较复杂的函数，求值域或最值时，如果我们能利用函数的单调性、奇偶性或运用基本不等式，问题往往会很快得到解决。