三角函数的单调性,奇偶性,周期性
三角函数的图象与性质(解析版)
三角函数的图象与性质一、 考情分析1.能画出三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质.二、 知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R {x |x ∈R ，且 x ≠k π＋π2}值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π] 无 对称中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴方程x ＝k π＋π2x ＝k π无[微点提醒] 1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数.三、 经典例题考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 【解析】 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cosx ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎨⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8.规律方法 1.三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式.(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式. 2.简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解. (2)利用三角函数的图象求解. 考点二 三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________.(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________. 【解析】 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3， 即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.(2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1.规律方法 求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________. 【解析】 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .角度2 利用单调性比较大小【例3－2】 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c【解析】 令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ， 解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π【解析】 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.规律方法 1.已知三角函数解析式求单调区间：(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷. 考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( )A.－π6B.π6C.－π3D.π3【解析】 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4. (2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ).∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6.规律方法 1.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )； (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( ) A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称C.关于直线x ＝π3对称D.关于直线x ＝π6对称 (2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5【解析】 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称， 所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33， 所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称.(2)因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋kT 2，即π2＝2k ＋14T＝2k ＋14·2πω(k ∈Z )，所以ω＝2k ＋1(k ∈Z ).又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，ω＝11验证不成立(此时求得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减)，ω＝9满足条件，由此得ω的最大值为9.规律方法 1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可. 2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可. [方法技巧]1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t (或y ＝cos t )的性质.3.数形结合是本节的重要数学思想.4.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.5.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.6.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k ∈Z .四、 课时作业1．（2021·宝鸡中学高一期中）函数π()tan 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ） A ．πππ2π,()2623k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZB ．πππ5π,()212212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．π5ππ,π()1212k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z D ．π2ππ,π()63k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z 【答案】C 【解析】()π2232k x k k Z ππππ-<-<+∈得：5212212k k x ππππ-<<+，所以函数π()tan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为π5ππ,π()1212k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z . 2．（2021·陕西省西安中学高一期中）设函数12sin y x =-，则函数的最大值及取到最大值时的x 取值集合分别为（ ） A ．3，|2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．1，3|2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C ．3，3|2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．1，|2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】由于22sin 2,22sin 2,112sin 3x x x -≤≤-≤-≤-≤-≤， 所以当32,2x k k Z ππ=+∈时，函数12sin y x =-有最大值为3. 3．（2021·吉林省高三其他（文））下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是( ) A ．1y x=B ．y tanx =C ．x x y e e -=-D ．2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩【答案】C【解析】对于A 选项，反比例函数1y x=，它有两个减区间， 对于B 选项，由正切函数y tanx =的图像可知不符合题意； 对于C 选项，令()x x f x e e -=-知()x x f x e e --=-， 所以()()0f x f x +-=所以()x x f x e e -=-为奇函数， 又x y e =在定义内单调递增，所以x y e -=-单调递增， 所以函数x x y e e -=-在定义域内单调递增；对于D ，令2,0()2,0x x g x x x +≥⎧=⎨-<⎩，则2,0()2,0x x g x x x -+≤⎧-=⎨-->⎩，所以()()0g x g x +-≠，所以函数2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩不是奇函数.4．（2021·武功县普集高级中学高一月考）函数y =）A ．()2,266k k k Z ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦π-π+∈ B ．()22,333k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()2,233k k k Z 2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ-π+∈ D ．()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由2cos 10x +≥得：2222,33k x k k πππ-≤≤π+∈Z . 所以函数2cos 1y x =+的定义域是()2,233k k k Z 2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ-π+∈.5．（2021·武功县普集高级中学高一月考）函数sin y x x =的部分图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】:因为sin y x x =，所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，故可以排除B ，D.又因为函数()f x 在()0,π上函数值为正，故排除C.6．（2019·呼玛县高级中学高一月考）若函数()sin()(0,0,)2πωϕωϕ=+>><f x A x A 的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()sin(2)6f x x π=+ B ．()cos(2)6f x x π=+ C ．()cos(2)3f x x π=+D ．()sin(2)3f x x π=+【答案】D【解析】由函数的部分图像可知1A =，22T π=，故T π=，所以2ππω=即2ω=.由函数图像的对称轴为12x π=，所以22,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 因2πϕ<，故3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，故选D . 7．（2019·呼玛县高级中学高一月考）设cos 12a π=，41sin6b π=，7cos 4c π=，则（ ） A ．a c b >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】A 【解析】4155b sinsin 6sin sin cos 66663ππππππ⎛⎫==+=== ⎪⎝⎭,7c cos cos 44ππ== 因为3412πππ>>，且y cos 0,2x π=在（，）是单调递减函数，所以a c b >>，故选A8．（2019·延安市第一中学高三月考（理））已知函数()sin()(0)2f x x πωφωϕ=+><，图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ）A ．关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于直线12x π=-对称D ．关于直线12x π=对称 【答案】B【解析】因为相邻两条对称轴的距离为2π，故22T π=，T π=，从而2ω=． 设将()f x 的图像向左平移3π单位后，所得图像对应的解析式为()g x ， 则()2sin 23g x x πφ⎛⎫=++⎪⎝⎭，因()g x 的图像关于y 轴对称，故()01g =±， 所以2sin 13πφ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，2,32k k Z ππφπ+=+∈，所以,6k k Z πφπ=-∈， 因2πφ<，所以6πφ=-．又()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2,62x k k Z πππ-=+∈，故对称轴为直线,23k x k Z ππ=+∈，所以C ，D 错误； 令2,6x k k π-=π∈Z ，故,212k x k Z ππ=+∈，所以对称中心为,0,212k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，所以A 错误，D 正确．9．（2021·河北省故城县高级中学高一期中）关于函数sin(),2y x π=+在以下说法中正确的是（ ）A ．[,]22ππ-上是增函数 B ．[0,]π上是减函数 C ．[,0]π-上是减函数 D ．[,]-ππ上是减函数【答案】B【解析】sin()cos 2y x x π=+=，它在[0,]π上是减函数．10．（2021·上海高一课时练习）下列命题中正确的是（ ） A ．cos y x =在第一象限和第四象限内是减函数 B ．sin y x =在第一象限和第三象限内是增函数C ．cos y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数 D ．sin y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 【答案】D【解析】对于cos y x =，该函数的单调递减区间为：[]2,2,k k k Z πππ+∈，故A 错，C 错. 对于sin y x =，该函数的单调递增区间为：2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，故B 错，D 对.11．（2021·陕西省西安中学高三其他（理））关于函数()2sin sin 222x x f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭有下述四个结论： ①函数()f x 的图象把圆221x y +=的面积两等分 ②()f x 是周期为π的函数③函数()f x 在区间(,)-∞+∞上有3个零点④函数()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递减 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①③④ B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C【解析】f （x ）＝2sin2x sin （2π+2x ）﹣x ＝2sin 2x cos 2x﹣x ＝sin x ﹣x ， 对于①，因为f （﹣x ）＝sin （﹣x ）﹣（﹣x ）＝﹣sin x +x ＝﹣f （x ），所以函数f （x ）为奇函数，关于原点对称，且过圆心，而圆x 2+y 2＝1也是关于原点对称，所以①正确；对于②，因为f （x +π）＝sin （x +π）﹣（x +π）＝﹣sin x ﹣x ﹣π≠f （x ），所以f （x ）的周期不是π，即②错误；对于③，因为()'f x ＝cos x ﹣1≤0，所以f （x ）单调递减，所以f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上至多有1个零点， 即③错误； 对于④，()'fx ＝cos x ﹣1≤0，所以f （x ）单调递减，即④正确．12．（2021·山西省高三其他（文））已知()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象关于直线524x π=对称，把()f x 的图象向左平移4π个单位后所得的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】因为()f x 的图象向左平移4π个单位后所得的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 所以()f x 关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 又()f x 的图象既关于直线524x π=对称， 设()f x 的最小正周期为T ，则()()2153244k T k N ππ+-=∈， 即()21284k k N ππω+⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭，所以()84k k N ω=+∈，取0k =，得4ω=，13．（2021·上海高二课时练习）设直线的斜率(,1][1,)k ∈-∞-⋃+∞，则该直线的倾斜角α满足（ ）. A ．44ππα-B ．42ππα<或324ππα< C ．04πα或34παπ<D ．04πα或34παπ【答案】B【解析】因为tan k α=， 所以当1k ≤-时，324ππα<≤， 当1k时，42ππα≤<，即直线的倾斜角α满足42ππα<或324ππα<， 14．（2021·调兵山市第一高级中学高一月考）方程10sin x x =的根的个数是（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】分别作函数,10sin y x y x ==图象，如图，由图可得交点个数为7，所以方程10sin x x =的根的个数是715．（2021·福建省高三其他（文））图数()1cos f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[)(],00,x ππ∈-的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题知：()()11cos cos ()f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=---=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 为奇函数，故排除B ，D. 又因为02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，故排除C.16．（2021·上海高一期中）函数sin cos y x x =⋅的最小正周期和最大值分别为（ ） A ．π，1 B ．π，12C ．2π，1D ．2π，12【答案】B【解析】1sin cos =sin 22y x x x =⋅， 函数sin cos y x x =⋅的最小正周期22T ππ==， 1sin 21x -≤≤，∴111sin 2222x -≤≤， ∴函数sin cos y x x =⋅的最大值为12. 17．（2021·山西省高三其他（文））对于函数()()1122f x sinx cosx sinx cosx =+--.有下列说法：①()f x 的值城为[]1,1-；②当且仅当()24x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值；③函数()f x 的最小正周期是π；④当且仅当()222x k k k Z πππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，时,()0f x >.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】因为()()1122cosx sinx cosx f x sinx cosx sinx cosx sinx sinx cosx≥⎧=+--=⎨<⎩，，，作出函数()f x 的图象，如图所示：所以，()f x 的值城为22⎡-⎢⎣⎦，①错误； 函数()f x 的最小正周期是2π，③错误； 当且仅当()24x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值，②正确；当且仅当()222x k k k Z πππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，④正确. 18．（多选题）（2021·海南省海南中学高三月考）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0,0A ω>>）在1x =处取得最大值，且最小正周期为2，则下列说法正确的有( ). A ．函数()1f x -是奇函数B ．函数()1f x +是偶函数C ．函数()2f x +在[]0,1上单调递增D ．函数()3f x +是周期函数【答案】BCD【解析】因为()()sin f x A x =+ωϕ在1x =处取得最大值， 所以有2()2k k Z πωϕπ+=+∈，又因为()()sin f x A x =+ωϕ的最小正周期为2， 所以有22,0πωωπω=>∴=，因此()()sin sin 2cos 2f x A x A x k A x πωϕπππ⎛⎫=+=+-=- ⎪⎝⎭.选项A ：设()()1cos[(1)]cos g x f x A x A x ππ=-=--=， 因为()cos[()]cos ()g x A x A x g x ππ-=-==， 所以()()1g x f x =-是偶函数，故本选项说法不正确； 选项B ：设()()1cos[(1)]cos h x f x A x A x ππ=+=-+= 因为()cos[()]cos ()h x A x A x h x ππ-=-==， 所以()()1h x f x =+是偶函数，故本选项说法正确；选项C ：设()()2cos[(2)]cos m x f x A x A x ππ=+=-+=-，因为[]0,1x ∈，所以[]0,x ππ∈，又因为0A >，所以函数()()2m x f x =+在[]0,1上单调递增，故本选项说法正确；选项D ：设()()3cos[(3)]cos n x f x A x A x ππ=+=-+=， 函数()n x 最小正周期为：22ππ=，所以本选项说法正确.19．（2021·山东省微山县第一中学高一月考）已知函数()cos 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．2π为()f x 的一个周期B ．()y f x =的图象关于直线43x π=对称 C ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．()f x π+的一个零点为3π【答案】AD【解析】根据函数()6f x cos x π⎛⎫=+⎪⎝⎭知最小正周期为2π，A 正确.当43x π=时，443cos cos 03362f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由余弦函数的对称性知，B 错误；函数()6f x cos x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在5,26ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 错误； ()76f x cos x ππ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，73cos cos 03632f πππππ⎛⎫⎛⎫∴+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.20．（2021·山东省高一期中）将函数()2sin 2f x x x =+12π个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则下列说法中正确的是（ ）A ．()f xB ．()g x 是奇函数C ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 D ．()g x 在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 【答案】CD【解析】函数2()sin 2sin 22sin(2)3f x x x x x x π=+=+，把函数图象向左平移12π个单位，得到2sin[2()]2sin(2)2cos 21232y x x x πππ=++=+=， 再把各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到()2cos g x x =． ①故()f x 函数的最大值为2，故选项A 错误． ②函数()2cos g x x =为偶函数，故选项B 错误． ③当6x π=-时，2sin 20663f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故选项C 正确．④由于()2cos g x x =，在[]2,2k k πππ+，()k Z ∈上单调递减，故函数()g x 在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．故选项D 正确．21．（2021·上海高一期中）函数()tan 6f x x π=的单调递增区间为________【答案】(63,63)k k -+，k ∈Z 【解析】由622x k k πππππ-+<<+，k Z ∈，解得6363k x k -<<+，k Z ∈，故函数的单调增区间为()63,63k k -+，k Z ∈，22．（2021·河北省故城县高级中学高一期中）已知函数()sin()f x x π=-，()cos()g x x π=+，有以下结论：①函数()()y f x g x =的最小正周期为π； ②函数()()y f x g x =的最大值为2；③将函数()y f x =的图象向右平移2π个单位后得到函数()y g x =的图象； ④将函数()y f x =的图象向左平移2π个单位后得到函数()y g x =的图象.其中正确结论的序号是____________. 【答案】①④【解析】()sin()sin f x x x π=-=-，()cos()cos g x x x π=+=-. 因为1()()(sin )(cos )sin cos sin 22y f x g x x x x x x ==-⋅-=⋅=， 所以1()()sin 22y f x g x x ==的最小正周期为：22ππ=，故结论①正确； 因为1()()sin 22y f x g x x ==的最大值为12，所以结论②不正确；因为函数()y f x =的图象向右平移2π个单位后得到函数的解析式为： ()sin()cos 22y f x x x ππ=-=--=，所以结论③不正确；因为函数()y f x =的图象向左平移2π个单位后得到函数的解析式为： ()sin()cos ()22y f x x x g x ππ=+=-+=-=，所以结论④正确.23．（2021·宝鸡中学高一期中）函数()sin()f x A x B ωϕ=++的一部分图象如图所示，其中0A >，0>ω，π||2ϕ<.（1）求函数()y f x =解析式；（2）求[0,π]x ∈时，函数()y f x =的值域； （3）将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递减区间.【解析】（1）根据函数()sin()f x A x B ωϕ=++的一部分图象，其中0A >，0>ω，π||2ϕ<， ∵40A B A B +=⎧⎨-+=⎩，∴22A B =⎧⎨=⎩；∵12π5ππ44126T ω=⋅=-，∴2ω=， 再根据π46f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得ππ22π62k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，∴π2π6k ϕ=+，k ∈Z ，∵π||2ϕ<，∴π6ϕ=，∴函数()y f x =的解析式为π()2sin 226f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭； （2）∵[]0,πx ∈，∴ππ13π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴πsin 2[1,1]6x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ∴函数()y f x =的值域为[]0,4； （3）将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位长度， 得到函数πππ()2sin 222sin 22463g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，对于函数π()2sin 223g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 令ππ3π2π22π232k x k +≤-≤+，k ∈Z ， 求得5π11πππ1212k x k +≤≤+，k ∈Z ， 故函数()g x 的单调减区间为5π11ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .24．（2021·山西省平遥中学校高一月考）已知函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间； （2）求函数()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域和取得最大值时相应的x 的值.【解析】（1）()4sin cos cos sin sin 33f x x x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭22sin cos x x x =-)sin 21cos 2x x =-+sin 2x x =2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∴22T ππ==. 由222232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈得：51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈ ∴单调增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）∵46x ππ-≤≤，∴22633x πππ-≤+≤. ∴1sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即12sin 223x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.∴函数()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2- 且当232x ππ+=，即12x π=时，()max 2f x =. 25．（2021·武功县普集高级中学高一月考）在已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的解析式；(2)当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域． 【解析】（1）依题意,由最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭,得2A =,又周期T π=,∴2ω=． 由点2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭在图象上,得42sin 23πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, ∴4232k ππϕπ+=-+，k Z ∈,1126k k Z πϕπ∴=-+∈，． ∵0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴6πϕ=,∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由222262k x k πππππ-≤+≤+,k Z ∈，得36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，．∴函数()f x 的单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． (2),122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． 当262x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2； 当7266x ππ+=,即2x π=时,()f x 取得最小值1-,故()f x 的值域为[]1,2-．。
专题24 三角函数的图象与性质-2025年高考数学一轮复习讲义(知识梳理+真题)(新高考专用)解析版
专题24三角函数的图象与性质（新高考专用）【知识梳理】 (2)【真题自测】 (3)【考点突破】 (10)【考点1】三角函数的定义域和值域 (10)【考点2】三角函数的周期性、奇偶性、对称性 (15)【考点3】三角函数的单调性 (22)【分层检测】 (27)【基础篇】 (27)【能力篇】 (34)【培优篇】 (38)考试要求：1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)(π，0)(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，(π，－1)，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )π1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式.3.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，π－π2，k πk ∈Z )内为增函数.一、单选题1．（2023·全国·高考真题）函数()y f x =的图象由函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =-的交点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2023·全国·高考真题）已知函数()()()sin ,0f x x ωϕω=+>在区间π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条相邻对称轴，则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．B ．12-C ．12D ．23．（2022·全国·高考真题）设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦4．（2022·全国·高考真题）函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．（2022·全国·高考真题）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．32C ．52D ．3二、多选题6．（2022·全国·高考真题）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则（）A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭有两个极值点C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D ．直线2y x =-是曲线()y f x =的切线三、填空题7．（2023·全国·高考真题）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是．8．（2023·全国·高考真题）已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若π6AB =，则()πf =．9．（2022·全国·高考真题）记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若()f T =9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为．10．（2021·全国·高考真题）已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为．参考答案：1．C【分析】先利用三角函数平移的性质求得()sin 2f x x =-，再作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像，考虑特殊点处()f x 与1122y x =-的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =-，而1122y x =-显然过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，当3π4x =-时，3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭；当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，13π13π412428y -=⨯-=<；当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，17π17π412428y -=⨯-=>；所以由图可知，()f x 与1122y x =-的交点个数为3.故选：C.2．D【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入5π12x =-即可得到答案.【详解】因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以2πππ2362T =-=，且0ω>，则πT =，2π2T ω==，当π6x =时，()f x 取得最小值，则ππ22π62k ϕ⋅+=-，Z k ∈，则5π2π6k ϕ=-，Z k ∈，不妨取0k =，则()5πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则5π5πsin 123f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D.3．C【分析】由x 的取值范围得到3x ω+【详解】解：依题意可得0ω>，因为()0,x π∈，所以,333x πππωωπ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，要使函数在区间()0,π恰有三个极值点、两个零点，又sin y x =，,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象如下所示：则5323ππωππ<+≤，解得13863ω<≤，即138,63ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．故选：C ．4．A【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令()()33cos ,,22x xf x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则()()()()()33cos 33cos x x x xf x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A.5．A【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T 满足23T ππ<<，得223πππω<<，解得23ω<<，又因为函数图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以3,24k k Z ππωπ+=∈，且2b =，所以12,63k k Z ω=-+∈，所以52ω=，5()sin 224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以5sin 21244f πππ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A6．AD【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：2π4πsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以4ππ3k ϕ+=，k ∈Z ，即4ππ,3k k ϕ=-+∈Z ，又0πϕ<<，所以2k =时，2π3ϕ=，故2π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对A ，当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2π2π3π2,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =在5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减；对B ，当π11π,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2ππ5π2,322x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =只有1个极值点，由2π3π232x +=，解得5π12x =，即5π12x =为函数的唯一极值点；对C ，当7π6x =时，2π23π3x +=，7π(06f =，直线7π6x =不是对称轴；对D ，由2π2cos 213y x ⎛⎫'=+=- ⎪⎝⎭得：2π1cos 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得2π2π22π33x k +=+或2π4π22π,33x k k +=+∈Z ,从而得：πx k =或ππ,3x k k =+∈Z ,所以函数()y f x =在点0,2⎛ ⎝⎭处的切线斜率为02π2cos 13x k y =='==-，切线方程为：(0)y x -=--即2y x =-．故选：AD ．7．[2,3)【分析】令()0f x =，得cos 1x ω=有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.【详解】因为02x π≤≤，所以02x πωω≤≤，令()cos 10f x x ω=-=，则cos 1x ω=有3个根，令t x ω=，则cos 1t =有3个根，其中[0,2π]t ω∈，结合余弦函数cos y t =的图像性质可得4π2π6πω≤<，故23ω≤<，故答案为：[2,3).8．【分析】设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，依题可得，21π6x x -=，结合1sin 2x =的解可得，()212π3x x ω-=，从而得到ω的值，再根据2π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭以及()00f <，即可得2()sin 4π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而求得()πf ．【详解】设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由π6AB =可得21π6x x -=，由1sin 2x =可知，π2π6x k =+或5π2π6x k =+，Z k ∈，由图可知，()215π2ππ663x x ωϕωϕ+-+=-=，即()212π3x x ω-=，4ω∴=．因为28ππsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以8ππ3k ϕ+=，即8ππ3k ϕ=-+，Z k ∈．所以82()sin 4ππsin 4ππ33f x x k x k ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2sin 4π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭或()2sin 4π3f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，又因为()00f <，所以2()sin 4π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2πsin 4ππ32f ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭．故答案为：【点睛】本题主要考查根据图象求出ω以及函数()f x 的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．9．3【分析】首先表示出T ，根据()2f T =求出ϕ，再根据π9x =为函数的零点，即可求出ω的取值，从而得解；【详解】解：因为()()cos f x x ωϕ=+，（0ω>，0πϕ<<）所以最小正周期2πT ω=，因为()()2πcos cos 2πcos 2f T ωϕϕϕω⎛⎫=⋅+=+== ⎪⎝⎭，又0πϕ<<，所以π6ϕ=，即()πcos 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又π9x =为()f x 的零点，所以ππππ,Z 962k k ω+=+∈，解得39,Z k k ω=+∈，因为0ω>，所以当0k =时min 3ω=；故答案为：310．2【分析】先根据图象求出函数()f x 的解析式，再求出7((43f f π4π-的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知313341234T πππ=-=，即2T ππω==，所以2ω=；由五点法可得232ππϕ⨯+=，即6πϕ=-；所以()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为7()2cos 143f π11π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，(2cos 032f 4π5π⎛⎫== ⎪⎝⎭；所以由74(()())(()())043f x f f x f ππ--->可得()1f x >或()0f x <；因为()12cos 22cos 1626f πππ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，即cos 206x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，解得,36k x k k π5ππ+<<π+∈Z ，令0k =，可得536x <<ππ，可得x 的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，又(2)2cos 406f π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，符合题意，可得x 的最小正整数为2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解ω，根据特殊点求解ϕ.【考点1】三角函数的定义域和值域一、单选题1．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）函数()f x =）A ．()ππ2π,2π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B ．()5ππ2π,2π66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()π2π2π,2π63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()π7π2π,2π66k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 2．（23-24高一上·北京朝阳·期末）函数()|sin |cos f x x x =+是（）A ．奇函数，且最小值为BC ．偶函数，且最小值为D二、多选题3．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）已知函数()cos 22sin f x x x =+，则（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 关于直线π2x =对称C ．()f x 关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D ．()f x 的最小值为3-4．（2024·贵州贵阳·二模）函数()tan()(0,0π)f x A x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，则（）A ．2π3ωϕ⋅=B ．()f x在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为(,)∞∞-⋃+C ．函数|()|y f x =的图象关于直线5π3x =对称D ．若函数|()|()y f x f x λ=+在区间5ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，则实数λ的取值范围是[1,1]-三、填空题5．（2024·辽宁·二模）如图，在矩形ABCD 中，4,2AB BC ==，点,E F 分别在线段,BC CD 上，且π4EAF ∠=，则AE AF ⋅的最小值为．6．（2021·河南郑州·二模）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，34A π=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是．参考答案：1．A【分析】首先求出定义域，再根据复合函数单调性即可得到单调增区间.【详解】令sin 03x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，可得22,3k x k k ππππ≤+≤+∈Z ．当22,232k x k k πππππ-≤+≤+∈Z 时，函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增．所以当22,32k x k k ππππ≤+≤+∈Z 时，()f x 单调递增．故()f x 在()2,236k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 上单调递增．故选：A.2．D【分析】根据题意，结合函数的奇偶性，判定A 、B 不正确；再结合三角函数的图象与性质，求得函数()f x 的最大值和最小值，即可求解.【详解】由函数()|sin |cos f x x x =+，可得其定义域x ∈R ，关于原点对称，且()|sin()|cos()|sin |cos ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，因为()()()()2πsin 2πcos 2πsin cos f x x x x x f x +=+++=+=，所以2π为()y f x =的一个周期，不妨设[0,2π]x ∈，若[0,π]x ∈时，可得π()sin cos )4f x x x x =++，因为[0,π]x ∈，可得ππ5π[,444x +∈，当ππ42x +=时，即π4x =时，可得max ()f x =当π5π44x +=时，即πx =时，可得min ()1f x =-；若[]π,2πx ∈，可得π()sin cos )4f x x x x =-+=+，因为[π,2π]x ∈，可得π5π9π[,]444x +∈，当π2π4x +=时，即7π4x =时，可得max ()f x =当π5π44x +=时，即πx =时，可得()min 1f x =-，综上可得，函数()f x ，最小值为1-.故选：D.3．ABD【分析】将函数()cos 22sin f x x x =+可变形为213()2sin 22f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，结合函数性质逐项分析计算即可得.【详解】2213()cos 22sin 12sin 2sin 2sin 22f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭，由sin y x =的最小正周期为2π，故()f x 的最小正周期为2π，故A 正确；()()221313(π)2sin π2sin 2222f x x x f x ⎡⎤⎛⎫-=---+=--+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，且()(π)f x f x -≠-，故()f x 关于直线π2x =，不关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故B 正确，C 错误；由213()2sin 22f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，且[]sin 1,1x ∈-，故2min13()21322f x ⎛⎫=-⨯--+=- ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.4．CD【分析】根据正切型三角函数的图象性质确定其最小正周期，从而得ω的值，再根据函数特殊点求得,A ϕ的值，从而可得解析式，再由正切型三角函数的性质逐项判断即可.【详解】函数的最小正周期为T ，则有ππ5π166T ωω⎛⎫==--⇒= ⎪⎝⎭，即()tan()f x A x ϕ=+，由函数的图象可知：πππ623ϕϕ+=⇒=，即π()tan 3f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由图象可知：π(0)tan23f A A ===，所以π3ωϕ⋅=，因此A 不正确；关于πB,()2tan 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当π6x =时，ππ32x +=，故()f x 在π6x =处无定义，故B 错误.因为55ππ5π5ππ2tan 2tan ,2tan 2tan 333333f x x x f x x x π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以5533f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数|()|y f x =的图象关于直线5π3x =对称，C 正确；ππ()()2tan 2tan 33y f x f x x x λλ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，|()|()y f x f x λ=+=ππππ2tan 2tan 2tan 2tan (22)tan 33333x x x x x πλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当5,63x ππ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦时，()()2tan 2tan 2tan 333y f x f x x x x πππλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππ2tan (22)tan 33x x λλ⎛⎫⎛⎫++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当函数|()|()y f x f x λ=+在区间5ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调时，则有(22)(22)011λλλ+-+≤⇒-≤≤，故D 正确.故选：CD ．5．)161【分析】根据锐角三角函数可得,πcos cos 4ABAD AE AF θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可由数量积的定义求解，结合和差角公式以及三角函数的性质即可求解最值.【详解】设π02BAE θθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则π4DAF θ∠=-，故,πcos cos 4ABAD AE AF θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，故π42cos π42cos cos 4AE AF AE AF θθ=⎛⎫- ⎪⋅⋅⎝⎭ππcos cos 44θθθθ=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎝⎭当π2π,Z 4k k θ-=∈时，πcos 214θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即π8θ=时，此时AE AF ⋅)1612=-.故答案为：)161．【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将所求转化为关于θ的表达式，从而得解，6．2⎛ ⎝【分析】由正弦定理可得sinB sin b cC=b c λ+sin()B θ=+且tan θ=0,4B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知b c λ+存在最大值即2B πθ+=，进而可求λ的范围.【详解】∵1a =，34A π=，由正弦定理得：sinB sin 2b c C =∴)sin sin sin sin cos sin 422b c B C B B B B B πλλ⎫⎛⎫+=+=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭1)sin cos sin()B B B θ=-+⋅+，其中tan θ=0,4B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴b c λ+存在最大值，即2B πθ+=有解，即,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，10->，解得2λ>1>，解得λ<，故λ的范围是2⎛ ⎝．故答案为：2⎛ ⎝．【点睛】关键点点睛：应用正弦定理边角关系、辅助角公式，结合三角形内角和、三角函数的性质列不等式组求参数范围.反思提升：1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).【考点2】三角函数的周期性、奇偶性、对称性一、单选题1．（2024·重庆·模拟预测）将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位后，所得图象关于坐标原点对称，则ϕ的值可以为（）A ．2π3B ．π3C ．π6D ．π42．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数()()ππ3cos 022f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<-<< ⎪⎝⎭，的最小正周期为π，在区间ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，且在区间π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在零点，则ϕ的取值范围是（）A ．ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3π,2π⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π0,3⎛⎤⎥⎝⎦3．（2024·北京西城·二模）将函数()tan f x x =的图象向右平移1个单位长度，所得图象再关于y 轴对称，得到函数()g x 的图象，则()g x =（）A ．1tan -xB ．1tan --xC ．tan (1)--x D ．tan (1)-+x 二、多选题4．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数3ππsin ,2π2π44()()π5πcos ,2π2π44x k x k f x k x k x k ⎧-≤≤+⎪⎪=∈⎨⎪+<<+⎪⎩Z ，则（）A ．()f x 的对称轴为()ππ,Z 4x k k =+∈B ．()f x 的最小正周期为4πC ．()f x 的最大值为1，最小值为2-D ．()f x 在π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增5．（2024·辽宁·二模）已知函数π()cos()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足πππ(),263f x f x f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0，且在π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则（）A ．函数()y f x =的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．ϕ可以等于π4-C ．ω可以等于5D ．ω可以等于36．（23-24高三上·山西运城·期末）已知函数()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的一个周期为2B ．()f x 的定义域是1,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C ．()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()f x 在区间[]1,2上单调递增三、填空题7．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()21cos cos 02f x x x x ωωωω=->，若()f x 的图象在[]0,π上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是．8．（2024·四川雅安·三模）已知函数()e cos2e x x a f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数，则实数=a .9．（2023·四川达州·一模）函数()2lntan 32x f x m x x -=+++，且()6f t =，则()f t -的值为.参考答案：1．B【分析】由三角函数的平移变化结合奇函数的性质可得π2π3k k ϕ+=∈Z ，，解方程即可得出答案.【详解】因为()f x 向右平移ϕ个单位后解析式为π=sin 223y x ϕ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又图象关于原点对称，πππ2π,01362k k k k k ϕϕϕ∴+=∈∴=-+∈>∴=Z Z ，，，，时，π3ϕ=，故选：B.2．B【分析】根据给定周期求得2ω=-，再结合余弦函数的单调区间、单调性及零点所在区间列出不等式组，然后结合已知求出范围.【详解】由函数()f x 的最小正周期为π，得2ππ||ω=，而0ω<，解得2ω=-，则()3cos(2)3cos(2)f x x x ϕϕ=-+=-，由2π22ππ,Z k x k k ϕ≤-≤+∈，得2π+22ππ,Z k x k k ϕϕ≤≤++∈，又()f x 在ππ(,)66-上单调递减，因此π2π+3k ϕ≤-，且π2ππ,Z 3k k ϕ≤++∈，解得2ππ2π2π,Z 33k k k ϕ--≤≤--∈①，由余弦函数的零点，得π2π,Z 2x n n ϕ-=+∈，即π2π,Z 2x n n ϕ=++∈，而()f x 在(0,)6π上存在零点，则ππ0π,Z 23n n ϕ<++<∈，于是ππππ,Z 26n n n ϕ--<<--∈②，又ππ22ϕ-<<，联立①②解得ππ23ϕ-<≤-，所以ϕ的取值范围是ππ(,]23--.故选：B 3．D【分析】根据正切函数图象的平移变换、对称变换即可得变换后的函数()g x 的解析式.【详解】将函数()tan f x x =的图象向右平移1个单位长度，所得函数为()(1)tan 1f x x -=-，则函数()(1)tan 1f x x -=-的图象再关于y 轴对称得函数()()()()1tan 1tan 1g x f x x x =--=--=-+.故选：D.4．AD【分析】作出函数()f x 的图象，对于A ，验算()π2π2f k x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭是否成立即可；对于B ，由(),(2π)x f x f x ∈+=R 即可判断；对于CD ，借助函数单调性，只需求出函数()f x 在π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值验算即可判断CD.【详解】作出函数()f x 的图象如图中实线所示．对于A ，由图可知，函数()f x 的图象关于直线3ππ5π,,444x x x =-==对称，对任意的k ∈Z ，π1ππ1ππ2πsin 2πcos 2πsin 2πcos 2π2222222f k x k x k x k x k x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-++--+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111(cos sin )cos sin |(sin cos )|sin cos |()2222x x x x x x x x f x =+--=+--=，所以函数()f x 的对称轴为()ππ,Z 4x k k =+∈，A 正确；对于B ，对任意的11,(2π)[sin(2π)cos(2π)]sin(2π)cos(2π)22x f x x x x x ∈+=+++-+-+R 11(sin cos )|sin cos |()22x x x x f x =+--=，结合图象可知，函数()f x 为周期函数，且最小正周期为2π，故B 错误；对于C ，由A 选项可知，函数()f x 的对称轴为()ππ,Z 4x k k =+∈，且该函数的最小正周期为2π，要求函数()f x 的最大值和最小值，只需求出函数()f x 在π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，因为函数()f x 在π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以当π5π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，min ()(π)cos πf x f ==1=-，因为ππ5π5ππsin sin sin 4424442f f ⎛⎫⎛⎫====-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以max π()42f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因此()f x ，最小值为-1，故C 错误；对于D ，由C 选项可知，函数()f x 在π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，D 正确，故选：AD ．【点睛】关键点点睛：判断C 选项的关键是求出函数()f x 在π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值即可，由此即可顺利得解.5．ABD【分析】根据题意，可得函数()y f x =的图象关于π4x =-对称，关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，由三角函数的对称性性质可得π4ϕ=±，从而判断选项A 、B ；再根据函数的单调性，可求出ω的值，从而判定选项C 、D.【详解】由π()2f x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则ππππ(4424f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于π4x =-对称，又πππ5π126312<<<，且ππ063f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1πππ02634f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即函数()y f x =的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 正确；根据函数()y f x =的图象关于π4x =-对称，得11ππ,Z 4k k ωϕ-+=∈，根据函数()y f x =的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，22πππ,Z 42k k ωϕ+=+∈，可得，()()2121ππ,1242k k k k ϕω-=+=+-，由于π||2ϕ<，所以π4ϕ=±，故B 正确；当π4ϕ=时，由π5π1212x <<，得πππ5ππ1244124x ωωω+<+<+，根据函数()y f x =在π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，可得ππ2π1245πππ2π124k k ωω⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，即92424355k ω-≤≤+，又0ω>，所以90,05k ω=<<，又()2112k k ω=+-，所以1ω=，当π4ϕ=-时，由π5π1212x <<，得πππ5ππ1244124x ωωω-<-<-，根据函数()y f x =在π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，可得ππ2π1245πππ2π124k k ωω⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，即2424335k k ω+≤≤+，又0ω>，所以0,3k ω==，故C 错误，D 正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据函数()y f x =的图象关于π4x =-对称，得11ππ,Z 4k k ωϕ-+=∈，根据函数()y f x =的图象关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，22πππ,Z 42k k ωϕ+=+∈，从而()()2121ππ,1242k k k k ϕω-=+=+-.6．ACD 【分析】利用正切函数的图象与性质一一判定选项即可.【详解】对于A ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知其最小正周期π2π2T ==，故A 正确；对于B ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知πππ1π2,Z 2422x k x k k +≠+⇒≠+∈，故B 错误；对于C ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知1πππ2242x x =⇒+=，此时()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 正确；对于D ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知[]ππ3π5π1,2,2444x x ⎡⎤∈⇒+⎢⎥⎣⎦，又tan y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，显然3π5π,44⎡⎤⊂⎢⎥⎣⎦π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ACD 7．54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】运用正余弦二倍角公式及辅助角公式化简()f x ，由已知条件结合正弦函数性质可得结果.【详解】因为()211πcos cos sin2cos2sin 22226f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，因为()f x 的图象在[]0,π上有且仅有两条对称轴，所以3ππ5π2π262ω≤-<，解得5463ω≤<，所以ω的取值范围是54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故答案为：54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭.8．1-【分析】根据偶函数的定义，即可列关系式求解.【详解】()f x 定义域为R ，()()()1e cos 2e cos2e cos2e e e x xx xx xa af x x a x f x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+==- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()1111e e e e 1e 0e e e e e xxx xx x x x xx a a a a ⎛⎫⎛⎫-+=-⇒-=-⇒+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1a =-，故答案为：1-9．0【分析】构造()()3g x f x =-，得到()g x 为奇函数，从而根据()6f t =得到()3g t =，由()3g t -=-求出()f t -.【详解】令()()23lntan 2x g x f x m x x -=-=++，定义域为{|2x x <-或2x >且ππ,Z}2x k k ≠+∈，关于原点对称，则()()()222lntan ln tan ln tan 222x x x g x m x m x m x g x x x x --+--=+-=-=--=--+-+，故()g x 为奇函数，又()()3633g t t f =-=-=，故()()33t g t f -=--=-，解得()0f t -=.故答案为：0反思提升：(1)三角函数周期的一般求法①公式法；②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期.(2)对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )(或令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z ))，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z ωx ＋φ＝π2＋k π（k ∈Z x 即可.(3)对于可化为f (x )＝A tan(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z )，求x 即可.(4)三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y ＝A sin(ωx ＋φ)中代入x ＝0，若y ＝0则为奇函数，若y 为最大或最小值则为偶函数.若y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )，若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z ).【考点3】三角函数的单调性一、单选题1．（2024·云南·模拟预测）已知函数()f x 为R 上的偶函数，且当()1212,,0,x x x x ∞∈-≠时，()()12120f x f x x x ->-，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()0.20.5,sin1b f c f ==，则下列选项正确的是（）A ．c b a <<B ．b<c<aC ．a b c<<D ．c<a<b2．（2024·陕西榆林·三模）已知()0,2πα∈，若当[]0,1x ∈时，关于x 的不等式()()2sin cos 12sin 1sin 0x x αααα++-++>恒成立，则α的取值范围为（）A ．π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭B ．π5π,66⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π5π,36⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题3．（2022·湖北武汉·三模）已知函数()2cos f x x x =-的零点为0x ，则（）A ．012x <B ．013>xC ．0tan 2x >D ．001<sin 4x x -4．（2024·湖南长沙·一模）已知函数()()tan (0,0π)f x A x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，则（）A ．π6A ωϕ⋅⋅=B ．()f x 的图象过点11π6⎛ ⎝⎭C ．函数()y f x =的图象关于直线5π3x =对称D ．若函数()()y f x f x λ=+在区间5ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，则实数λ的取值范围是[]1,1-三、填空题5．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数()()cos f x A x b ωϕ=++，（0A >，0ω>，π2ϕ<）的大致图象如图所示，将函数()f x 的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移π2个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递增区间为.6．（2022·上海闵行·模拟预测）已知[0,π]∈，若sin cos 0αα->，则α的取值范围是.参考答案：1．C【分析】根据条件判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可.【详解】当()12,,0x x ∞∈-时，()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在(),0∞-上单调递增；又有()f x 为R 上的偶函数，所以()f x 在()0,∞+上单调递减.由于我们有()11100.2555522πlog 3log 210.50.50.50.4984210.870.87sin sin 1023>==>=>==>=>>，即0.22sin10log 30.5>>>，故()()()0.22log 30.5sin1f f f <<.而()()1222log 3log 3log 3a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()0.20.5b f =，()sin1c f =，故a b c <<.故选：C.2．A【分析】令()()()2sin cos 12sin 1sin f x x x αααα=++-++，易得()f x 的对称轴为()1sin 20,1sin cos 1x ααα+=∈++，则()()00101sin 20sin cos 1f f f ααα⎧⎪⎪⎪>⎪⎪>⎨⎪⎛⎫⎪+ ⎪⎪> ⎪⎪++ ⎪⎪⎝⎭⎩，进而可得出答案.【详解】令()()()2sin cos 12sin 1sin f x x x αααα=++-++，由题意可得()()0010f f ⎧>⎪⎨>⎪⎩，则sin 0cos 0αα>⎧⎨>⎩，又因为()0,2πα∈，所以π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 的对称轴为()1sin 20,1sin cos 1x ααα+=++，则()()2sin 0cos 011sin sin 22sin cos 12sin 1sin 0sin cos 1sin cos 1αααααααααααα⎧⎪⎪⎪>⎪⎪>⎨⎪⎛⎫⎪++ ⎪⎪++-+⋅+> ⎪⎪++++ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()2sin 0cos 0(2sin 1)4sin sin cos 10αααααα⎧>⎪>⎨⎪+-++<⎩，即sin 0cos 01sin22ααα⎧⎪>⎪>⎨⎪⎪>⎩，结合π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得π5π1212α<<.故选：A.3．ABD【分析】对AB ，求导分析可得()f x 为增函数，再根据零点存在性定理可判断；对C ，根据AB 得出的01132x <<结合正切函数的单调性可判断；对D ，构造函数()111sin ,432g x x x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，再根据零点存在性定理，放缩判断()g x 的正负判断即可【详解】对AB ，由题()2sin 0f x x '=+>，故()f x 为增函数.又111cos 022f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，12122cos cos 03333632f π⎛⎫=-<-=-< ⎪⎝⎭，故01132x <<，故AB 正确；对C ，因为01132x <<，所以01tan tan 2t n 14a x π<=<1>，故C 错误；对D ，构造函数()111sin ,432g x x x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，则()1cos 0g x x '=->，故()g x 为增函数.故()111111sin sin sin2424124344g x g πππ⎛⎫⎛⎫<=-<-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为(2130-=<，故1<，故104<，即()0g x <，故111sin 0,,432x x x ⎛⎫--<∈ ⎪⎝⎭，故001<sin 4x x -，D 正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数零点的问题，一般需要用零点存在性定理判断零点所在的区间，同时在判断区间端点正负时，需要适当放缩，根据能够确定取值大小的三角函数值进行判断，属于难题4．BCD【分析】根据函数图象所经过的点，结合正切型函数的对称性、单调性逐一判断即可.【详解】对于A ：设该函数的最小正周期为T ，则有ππ5π166T ωω⎛⎫==--⇒= ⎪⎝⎭，即()()tan f x A x ϕ=+，由函数的图象可知：πππππ623k k ϕϕ+=+⇒=++，又0πϕ<<，所以π3ϕ=，即()πtan 3f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由图象可知：()π0tan 23f A A ===，所以2π3A ωϕ⋅⋅=，因此A 不正确；对于B ：11π11ππ13ππ2tan 2tan 2tan 26636633f ⎛⎫⎛⎫=+===⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 正确；对于C ：因为5π5ππ2tan 2tan 333f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5π5ππ2tan 2tan 333f x x x ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5π5π33f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于直线5π3x =对称，因此C 正确；对于D ：()()ππ2tan 2tan 33y f x f x x x λλ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()ππππ2tan 2tan 2tan 2tan 3333y f x f x x x x x λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()π22tan 3x λ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当5ππ,63x ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦，()()ππππ2tan 2tan 2tan 2tan 3333y f x f x x x x x λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++=-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()π22tan 3x λ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，当函数()()y f x f x λ=+在区间5ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调时，则有()()2222011λλλ+-+≤⇒-≤≤，D 正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：运用函数对称性、函数单调性的性质是解题的关键.5．7ππ,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（答案不唯一）【分析】先根据()f x 的部分图象得到函数的周期、振幅、初相，进而求出()f x 的解析式，再根据函数图象的伸缩变换和平移变换得到()g x 的解析式，后可求()g x 的单调递增区间.【详解】由图可知πππ==43124T -，得=πT ，所以2π==2Tω，()112A =--=，1b =-，所以()()2cos 21f x x ϕ=+-，由图ππ2cos 2111212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得π2π6k ϕ=-+，Z k ∈，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，故()π2cos 216f x x ⎛⎫ -⎪⎝⎭=-，由题意()1ππ2π2cos 212cos 132636g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+--=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令2ππ2π2π36k x k -+≤+≤，Z k ∈，得7ππ3π3π44k x k -+≤≤-+，Z k ∈故函数()g x 的单调递增区间为7ππ3π,3π44k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，当0k =时，函数()g x 的一个单调递增区间为7ππ,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故答案为：7ππ,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（答案不唯一）6．π3π(,)44【分析】根据角的范围分区间讨论，去掉绝对值号，转化为不含绝对值的三角不等式，求解即可.【详解】由题，当π[0,]2α∈时，原不等式可化为sin cos αα>，解得ππ42α<≤，当ππ2α<≤时，由原不等式可得tan 1α<-，解得π3π24α<<，综上π3π(,44α∈.故答案为：π3π(,)44反思提升：1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.【基础篇】一、单选题1．（2024·福建·模拟预测）若函数()sin23f x A x =-在3π5π,812⎛⎫ ⎪⎝⎭上有零点，则整数A 的值是（）A ．3B ．4C ．5D ．62．（2024·贵州黔南·二模）若函数()πcos 3f x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数，则ϕ的值可以是（）A ．5π6B ．4π3C ．πD ．π23．（2024·安徽·三模）“ππ,4k k ϕ=-+∈Z ”是“函数()tan y x ϕ=+的图象关于π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（22-23高一下·湖北武汉·期中）若函数()sin 0y x x ωωω=->在区间π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（）A ．17,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．17,36⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．17,22⎛⎤ ⎥⎝⎦二、多选题5．（2024·云南·模拟预测）已知函数()()()sin ,0,0,πf x x ωϕωϕ=+>∈，如图，图象经过点π,112A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π,03B ⎛⎫⎪⎝⎭，则（）A ．2ω=B ．π6ϕ=C ．11π12x =是函数()f x 的一条对称轴D ．函数()f x 在区间7π13π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增6．（2023·辽宁·模拟预测）已知定义域为I 的偶函数0(),f x x I ∃∈，使()00f x <，则下列函数中符合上述条件的是（）A ．2()3f x x =-B ．()22x xf x -=+C ．2()log||f x x =D ．()cos 1f x x =+7．（23-24高一上·广东肇庆·期末）关于函数πtan 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列说法中正确的有（）A ．是奇函数B ．在区间ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．5π,06⎛⎫⎪⎝⎭为其图象的一个对称中心D ．最小正周期为π三、填空题8．（2022·江西·模拟预测）将函数()tan2f x x =的图像向左平移t （0t >）个单位长度，得到函数g (x )的图像，若12g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则t 的最小值是．9．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）若函数cos y x ω=在,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，则实数ω的取值范围是．10．（21-22高三上·河南·阶段练习）已知函数()3cos 2n f x x x p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，且当()0,x π∈时，()0f x >，则n 的值可能为.四、解答题11．（2022·北京门头沟·一模）已知函数()sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，6x π=是函数()f x 的对称轴，且()f x 在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调．(1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得()f x 的解析式存在，并求出其解析式；条件①：函数()f x 的图象经过点10,2A ⎛⎫⎪⎝⎭；条件②：,03π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心；条件③：5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的对称中心.(2)根据（1）中确定的()f x ，求函数()0,2y f x x π⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域．12．（2021·浙江·模拟预测）已知函数()22sin 263f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间．（2）若对任意的()2,2m ∈-，方程()f x m =（其中[)0,x a ∈）始终有两个不同的根1x ，2x ．①求实数a 的值；②求12x x +的值．参考答案：1．C【分析】将函数的零点问题转化为sin2y x =与3y A =在3π5π,812⎛⎫⎪⎝⎭上的交点问题，求出sin2y x =的值域即可.【详解】由于函数()sin23f x A x =-在3π5π,812⎛⎫⎪⎝⎭上有零点，所以方程sin230A x -=在3π5π812⎛⎫⎪⎝⎭，上有实数根，即sin2y x =与3y A =在3π5π,812⎛⎫⎪⎝⎭上有交点，令2t x =，则3π5π46t <<，当3π5π46t <<，sin y t =单调递减，故在区间上最多只有1个零点，又1sin 2t ⎛∈ ⎝⎭，即312A ⎛∈ ⎝⎭，解得()6A ∈，由于A 是整数，所以5A =.故选：C.2．B【分析】由题意可知：0x =为函数()f x 的对称轴，结合余弦函数对称性分析求解.【详解】由题意可知：0x =为函数()f x 的对称轴，则ππ,3k k ϕ-+=∈Z ，则ππ,3k k ϕ=+∈Z ，对于选项A ：令π5ππ36k ϕ=+=，解得12k =∉Z ，不合题意；对于选项B ：令π4ππ33k ϕ=+=，解得1k =∈Z ，符合题意；对于选项C ：令πππ3k ϕ=+=，解得23k =∉Z ，不合题意；对于选项D ：令πππ32k ϕ=+=，解得16k =∉Z ，不合题意；故选：B.3．A【分析】若函数()tan y x ϕ=+的图象关于π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，根据正切函数的对称性可得ππ,42k k ϕ=-+∈Z ，再根据充分、必要条件结合包含关系分析求解.【详解】若函数()tan y x ϕ=+的图象关于π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ππ,42k k ϕ+=∈Z ，解得ππ,42k k ϕ=-+∈Z ，因为π|π,4k k ϕϕ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭Z 是ππ|,42k k ϕϕ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭Z 的真子集，所以“ππ,4k k ϕ=-+∈Z ”是“函数()tan y x ϕ=+的图象关于π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称”的充分不必要条件.故选：A.4．D【分析】利用辅助角公式化简得到π2cos 6y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求出ππππ,6366x ωω⎛⎫ ⎪⎝+∈-⎭+，结合对称轴条数得到不等式，求出答案.【详解】πsin 2cos 6y x x x ωωω⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，。
三角函数的周期性、奇偶性、单调性知识点和练习
知识要求：1、能正确画出sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象及变换的图像。
1、给定条件，能够求sin y x =，cos y x =，tan y x =及变换的函数的周期、奇偶性、定义域、值域、单调区间、最大值和最小值；知识点一：周期性例题分析例1.函数sin()y A x ωϕ=+，它的最小正周期T = ；例2.函数cos()y A x ωϕ=+，它的最小正周期T = ；例3.函数tan()y A x ωϕ=+，它的最小正周期T = ；针对练习1、 12sin 2y x =的最小正周期为____________；2、f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期为________．3、2cos()32y x π=-+的最小正周期为____________；4、tan()23y x ππ=-的最小正周期为___________； 5、函数2tan 34y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期是 ； 6、函数)sin(π+=ax y 的周期为知识点二：单调性Z k k k ∈++]321253212[ππππ，针对练习1、函数))(2sin(R x x y ∈+=π在 （ ） A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是增函数 B []π,0上是减函数 C []0,π-上是减函数 D []ππ,-上是减函数2、 函数x y 2sin 2=的单调递增区间为_____________________；3、函数y=sin （23x π-）的单调增区间为_______________________；4、函数)32cos(2π-=x y 的单调增区间是________________________； 5、函数2tan()33x y π=+的单调减区间是________________________； 6、求函数)43cos(log 21π+=x y 的单调递增区间知识点三：单调性的应用例1.比较sin 250︒和sin 260︒的大小；例2.已知]23,2[ππ-∈x ，解不等式23sin -≥x ；针对练习1、 比较大小 tan100︒ tan 200︒；15cos 8π 14cos 9π ③sin 18π⎛⎫- ⎪⎝⎭ sin 10π⎛⎫- ⎪⎝⎭ ④17cos()4π- 23cos()5π- ⑤7cos 5π 16cos 5π ⑥11tan()4π- 13tan()5π- 2．在［0，2π］上满足sin x ≥21的x 的取值范围是（ ） A ．［0，6π］ B ．［6π，65π］ C ．［6π，32π］ D ．［65π，π］ 3、在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（ ）A )45,()2,4(ππππYB ),4(ππC )45,4(ππD )23,45(),4(ππππY知识点四：奇偶性1、判断函数的奇偶性。
三角函数的奇偶性、周期性、对称性
三角函数的奇偶性、周期性、对称性角度1 三角函数的周期性函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( B )A.π2B ．π C.3π2D ．2π解析：f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝2sin x cos x ＋3(cos 2x －sin 2x )＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 由T ＝2π2＝π，知函数f (x )的最小正周期为π. 角度2 三角函数的奇偶性(2019·武汉调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( A )A ．－π6 B.π6 C ．－π3 D.π3解析：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3， 由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )， ∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z )，∵|θ|＜π2， ∴k ＝－1时，θ＝－π6.角度3 三角函数的对称性(2019·安徽江南十校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为4π，且∀x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心坐标是( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0 解析：由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π， 得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， 由|φ|＜π2，得φ＝π3， 故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )， 故f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0. 三角函数的奇偶性、对称性和周期性问题的解题思路(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω＞0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的周期为πω求解．(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心．提醒：对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．(1)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( C )A.π6 B.π3 C.5π6D.2π3解析：因为f (|x |)＝f (x )，所以函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ是偶函数， 所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 所以φ＝k π＋5π6，k ∈Z ， 又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6.(2)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( B )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0对称C ．关于直线x ＝π3对称 D ．关于直线x ＝5π3对称解析：函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期是4π，而T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.函数f (x )的对称轴为x 2＋π6＝π2＋k π，解得x ＝23π＋2k π(k ∈Z )； 函数f (x )的对称中心的横坐标为x 2＋π6＝k π，解得x ＝2k π－13π(k ∈Z ).。
§101 三角函数的性质
横向平移|φ|个单位
和谐函数是代表 运算主体纯字母 常用结论要熟知 复杂变换用参量
横坐标变为原来的 倍 | |
1
f ( x) f ( x)
f (x ) f (x)
f (x ) f (x )
(2)先伸缩后平移
横坐标变为原来的
倍 | |
1
横向平移 个单位
(4)余角公式
同名补角正弦等
同名补角其他反
sin(
2
) cos
互余异名值相等
cos( ) sin 2 tan( ) cot 2
诱导公式——总公式
符号看象限 奇变偶不变
k f ( ) f ( ) f ( ) 2
和角与差角公式(加法公式) 1.公式：
2.课本P：46 Ex6 3.资料P：27 左下 Ex2
4.已知函数y=sinx的定义域为[a,b],值域为[-1,1/2]
则b-a不可能是 A.
3
2 B. 3
C.
D. 4
3
和谐函数的性质 预习：
参资料P：32 知识点三
练习1.定义域
①课本P：45 练习2.值域 ②课本P：40 练习2 ③(2013年上海春)函数y=4sinx+3cosx的最大值是____
4 ④若 x , ，则函数y=sinx的值域是________ 6 3
Ex2
练习3.周期性 ⑤课本P：47 练习5.单调性 ⑥课本P：40 ⑦课本P：45 练习4 练习5 B组 Ex3（1）
θ (x0,y0)
P(x,y)
r
x x0 r cos (为参数 ) y y0 r sin
高考数学复习知识点讲解教案第25讲 三角函数的图象与性质
π
− 或0
2
<<
π
，
2
∴ 函数 = lg sin 2 + 9 −
π
2 的定义域为[−3, − )
2
∪
π
0,
2
.
探究点二 三角函数的值域或最值
例2（1）
[2024·天津和平区期中] 函数 = sin + 3cos
最小值为(
C
π
在区间[0, ]上的
2
)
A. 3
B. 2
C.1
D.2
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）
π
,
1
在函数 = sin ， ∈ [0,2π]的图象中，五个关键点是： 0,0 ，_______,
2
3π
,
−1
π, 0 ,___________，
2π, 0 .
2
（2）
π
,
0
在函数 = cos ， ∈ [0,2π]的图象中，五个关键点是： 0,1 ，_______，
π
2
所以 = − + 2π , ∈ ，
所以cos = cos
π
2
− + 2π = sin =
2 5
，
5
∈ ,故选A.
（2） 已知函数
3
+
2
___________.
= sin + cos + 2sin cos + 2，则 的最大值为A.π ቚπ−
6
C.
π
ቚ2π−
6
< < π +
5π
,∈
三角函数的图象与性质各考点
第1讲 三角函数的图象与性质[考情分析] 1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题.2.主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下．考点一 三角函数的运算核心提炼1．同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1 (1)(2022·菏泽检测)已知角α的终边经过点(－1,2)，则cos 2α等于( ) A ．－45B ．－35C ．－15D.35答案 B解析 因为角α的终边经过点(－1,2)， 所以sin α＝2(－1)2＋22＝25，cos α＝－1(－1)2＋22＝－15， 所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝15－45＝－35.(2)已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－αcos ⎝⎛⎭⎫－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sin α＝________，cos α＝______. 答案 35 45解析 sin ⎝⎛⎭⎫－π2－αcos ⎝⎛⎭⎫－7π2＋α ＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225.∵0<α<π4，∴0<sin α<cos α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin α＝35，cos α＝45.二级结论 (1)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin α<α<tan α. (2)由(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α知，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α知一可求二．跟踪演练1 (1)(2022·山西联考)若sin 10°＝a sin 100°，则sin 20°等于( ) A.aa 2＋1 B ．－aa 2＋1C.2a a 2＋1 D ．－2aa 2＋1 答案 C解析 由题可知a >0，sin 10°＝a sin 100°＝a sin(90°＋10°)＝a cos 10°， 又因为sin 210°＋cos 210°＝1， 解得sin 10°＝a a 2＋1，cos 10°＝1a 2＋1， 所以sin 20°＝2sin 10°cos 10° ＝2·a a 2＋1·1a 2＋1＝2aa 2＋1. (2)已知2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝cos(α－π)，则sin 2α＋cos 2α＝________. 答案 －15解析 ∵2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝cos(α－π)， ∴2sin α＝－cos α， ∴tan α＝－12，∴sin 2α＋cos 2α＝2sin αcos α＋cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝2tan α＋1－tan 2α1＋tan 2α＝－15.考点二 三角函数的图象与解析式核心提炼由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)图象的步骤例2 (1)(2021·全国乙卷)把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象，则f (x )等于( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫x 2－7π12 B ．sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π12 C ．sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π12 D ．sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12 答案 B解析 依题意，将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f (x )的图象，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4――――――――――――――→将其图象向左平移π3个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的图象―――――――――――――→所有点的横坐标扩大到原来的2倍 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π12的图象．(2)(多选)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0)的部分图象如图所示，则f (x )等于( )A ．2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3 B ．2sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π3C ．2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6D ．2cos ⎝⎛⎭⎫x －7π6 答案 BC解析 根据图象，可得A ＝2，设f (x )的最小正周期为T ， 则34T ＝7π12－⎝⎛⎭⎫－π6＝3π4， 解得T ＝π，所以ω＝2πT ＝2.将最低点的坐标⎝⎛⎭⎫7π12，－2代入 f (x )＝2sin(2x ＋φ)中， 得2sin ⎝⎛⎭⎫2×7π12＋φ＝－2， 则7π6＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )， 解得φ＝2k π－5π3(k ∈Z )，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2k π－5π3(k ∈Z )． 令k ＝0，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π6－π2＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －7π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 规律方法 由三角函数的图象求解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)中参数的值(1)最值定A ，B ：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M ，最小值为m ，则M ＝A ＋B ，m ＝－A ＋B ，解得B ＝M ＋m 2，A ＝M －m2.(2)T 定ω：由周期的求解公式T ＝2πω，可得ω＝2πT.(3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势．跟踪演练2 (1)(2022·安康模拟)已知函数f (x )＝A tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(A >0，ω>0)的图象向左平移3π4个单位长度后与原图象重合，则实数ω的最小值是( ) A.43 B.83 C.163 D ．8 答案 A解析 由题可知，3π4是该函数周期的整数倍，即3π4＝πω×k ，k ∈Z ，解得ω＝4k3，k ∈Z ， 又ω>0，故其最小值为43.(2)(2022·黄山模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到y ＝f (x )的图象，需将函数g (x )＝A cos ωx 的图象至少向右平移( )A.π3个单位长度 B.π4个单位长度 C.π6个单位长度 D.2π3个单位长度 答案 A解析 由图象可知A ＝2，f (x )的最小正周期 T ＝2×⎝⎛⎭⎫π3＋π6＝2πω，解得ω＝2， ∴f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝2， ∴2π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， 解得φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )，又－π<φ<0，∴φ＝－π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12. ∵g (x )＝2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4， ∴将g (x )的图象至少向右平移π4＋π12＝π3个单位长度可得f (x )的图象．考点三 三角函数的性质核心提炼函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)单调性：由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )可得单调递增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )可得单调递减区间．(2)对称性：由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )可得对称中心；由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )可得对称轴．(3)奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx＋φ)为偶函数．例3 (1)(2022·赣州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)相邻两条对称轴之间的距离为2π，若f (x )在(－m ，m )上单调递增，则m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，π4 B.⎝⎛⎦⎤0，π2 C.⎝⎛⎦⎤0，3π4 D.⎝⎛⎦⎤0，3π2 答案 B解析 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)相邻两条对称轴之间的距离2π， 则12T ＝2π，即T ＝4π，则ω＝2π4π＝12， 则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4， 由2k π－π2≤12x ＋π4≤2k π＋π2，得4k π－3π2≤x ≤4k π＋π2(k ∈Z )，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤－3π2，π2上单调递增， 由(－m ，m )⊆⎣⎡⎦⎤－3π2，π2得0<m ≤π2， 所以m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π2. (2)(2022·新高考全国Ⅰ)记函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＋b (ω>0)的最小正周期为T .若2π3<T <π，且y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫3π2，2中心对称，则f ⎝⎛⎭⎫π2等于( )A ．1 B.32 C.52 D ．3答案 A解析 因为2π3<T <π，所以2π3<2πω<π，解得2<ω<3.因为y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫3π2，2中心对称， 所以b ＝2，且sin ⎝⎛⎭⎫3π2ω＋π4＋b ＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎫3π2ω＋π4＝0，所以3π2ω＋π4＝k π(k ∈Z )， 又2<ω<3，所以13π4<3π2ω＋π4<19π4，所以3π2ω＋π4＝4π，解得ω＝52，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫52x ＋π4＋2，所以f ⎝⎛⎭⎫π2＝sin ⎝⎛⎭⎫52×π2＋π4＋2＝sin 3π2＋2＝1.故选A. 规律方法 研究三角函数的性质，首先化函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式，然后结合正弦函数y ＝sin x 的性质求f (x )的性质，此时有两种思路：一种是根据y ＝sin x 的性质求出f (x )的性质，然后判断各选项；另一种是由x 的值或范围求得t ＝ωx ＋φ的范围，然后由y ＝sin t 的性质判断各选项．跟踪演练3 (1)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0中心对称，则( ) A ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，5π12上单调递减 B ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，11π12上有两个极值点 C ．直线x ＝7π6是曲线y ＝f (x )的对称轴D ．直线y ＝32－x 是曲线y ＝f (x )的切线 答案 AD解析 因为函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0中心对称，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝0，可得4π3＋φ＝k π(k ∈Z )，φ＝－4π3＋k π(k ∈Z )，结合0<φ<π，得φ＝2π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. 对于A ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，5π12时，2x ＋2π3∈⎝⎛⎭⎫2π3，3π2，所以函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，5π12上单调递减，故A 正确；对于B ，当x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，11π12时，2x ＋2π3∈⎝⎛⎭⎫π2，5π2，所以函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，11π12上只有一个极值点，故B 不正确；对于C ，因为f ⎝⎛⎭⎫7π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2×7π6＋2π3＝sin 3π＝0，所以x ＝7π6不是曲线y ＝f (x )的对称轴，故C 不正确；对于D ，因为f ′(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，若直线y ＝32－x 为曲线y ＝f (x )的切线， 则由2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝－1，得2x ＋2π3＝2k π＋2π3或2x ＋2π3＝2k π＋4π3(k ∈Z )， 所以x ＝k π或x ＝k π＋π3(k ∈Z )．当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )＝32， 则由32＝32－k π(k ∈Z )，解得k ＝0； 当x ＝k π＋π3(k ∈Z )时，f (x )＝－32，方程－32＝32－k π－π3(k ∈Z )无解． 综上所述，直线y ＝32－x 为曲线y ＝f (x )的切线，故D 正确． (2)(2022·广州联考)若函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎣⎡⎦⎤－π3，π3上单调递减，且在⎣⎡⎦⎤－π3，π3上的最大值为3，则ω＝________. 答案 －14解析 因为函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎣⎡⎦⎤－π3，π3上单调递减， 所以ω<0，π|ω|≥2π3，则－32≤ω<0，又因为函数在⎣⎡⎦⎤－π3，π3上的最大值为3， 所以－π3ω＋π4＝π3＋k π，k ∈Z ，即ω＝－14－3k ，k ∈Z ，所以ω＝－14.专题强化练一、单项选择题1．(2022·日照模拟)已知角θ的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫12，－32，则角θ可以为( )A.5π6B.2π3C.11π6D.5π3 答案 D解析 ∵角θ的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫12，－32，∴θ是第四象限角，且cos θ＝12，sin θ＝－32，则θ＝5π3＋2k π，k ∈Z ，结合选项知角θ可以为5π3.2．(2022·惠州模拟)已知tan α＝2，π<α<3π2，则cos α－sin α等于( )A.55 B ．－55 C.355 D ．－355答案 A解析 由tan α＝sin αcos α＝2，且sin 2α＋cos 2α＝1，π<α<3π2，得sin α＝－255，cos α＝－55，所以cos α－sin α＝－55－⎝⎛⎭⎫－255＝55. 3.(2022·济宁模拟)如图，某时钟显示的时刻为9：45，此时时针与分针的夹角为θ，则(sin θ＋cos θ)(sin θ－cos θ)等于( )A.22 B ．－22 C.32 D ．－32答案 B解析 时针指向9时，分针指向12，当分针转到指向9时，旋转了圆周的34，因此时针旋转了1个小时⎝⎛⎭⎫即2π12的34，所以θ＝2π12×34＝π8， 所以(sin θ＋cos θ)(sin θ－cos θ)＝sin 2θ－cos 2θ ＝－cos 2θ＝－cos π4＝－22.4．(2022·全国甲卷)将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω＞0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是( ) A.16 B.14 C.13 D.12答案 C解析 记曲线C 的函数解析式为g (x )，则g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤ωx ＋⎝⎛⎭⎫π2ω＋π3.因为函数g (x )的图象关于y 轴对称，所以π2ω＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得ω＝2k ＋13(k ∈Z )．因为ω＞0，所以ωmin ＝13.故选C.5.(2022·福州质检)已知函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤k π－16，k π＋56，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤2k π－16，2k π＋56，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k －16，k ＋56，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤2k －16，2k ＋56，k ∈Z 答案 D解析 由图象可知，函数y ＝f (x )的最小正周期T 满足T 2＝43－13＝1，∴T ＝2，ω＝2π2＝π， ∴f (x )＝sin(πx －φ)，由f ⎝⎛⎭⎫13＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－φ＝0， 得π3－φ＝k π，得φ＝π3－k π，k ∈Z ， ∵－π2<φ<π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π3， 由2k π－π2≤πx －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得2k －16≤x ≤2k ＋56，k ∈Z ， 因此，函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k －16，2k ＋56，k ∈Z . 6．(2022·云南师大附中模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x (a >0)的最大值为2，若方程f (x )＝b在区间⎝⎛⎭⎫0，13π6内有三个实数根x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，则x 1＋2x 2＋x 3等于( ) A.8π3 B.10π3 C ．4π D.25π6答案 A解析 f (x )＝sin x ＋a cos x ＝1＋a 2sin(x ＋φ)，由题知1＋a 2＝2，且a >0，解得a ＝3，于是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 方程f (x )＝b 在区间⎝⎛⎭⎫0，13π6内的实数根，即为在区间⎝⎛⎭⎫0，13π6内y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 的交点的横坐标，如图所示，由f (x )图象的对称性可知，x 1＋x 22＝π6，x 2＋x 32＝7π6， 即x 1＋x 2＝π3，x 2＋x 3＝7π3， 所以x 1＋2x 2＋x 3＝(x 1＋x 2)＋(x 2＋x 3)＝8π3. 7.(2022·全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，AB ︵是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB ︵上，CD ⊥AB .“会圆术”给出AB ︵的弧长的近似值s 的计算公式：s ＝AB ＋CD 2OA.当OA ＝2，∠AOB ＝60°时，s 等于( )A.11－332B.11－432C.9－332D.9－432 答案 B解析 由题意知，△OAB 是等边三角形，所以AB ＝OA ＝2.连接OC (图略)，因为C 是AB 的中点，所以OC ⊥AB ，OC ＝OA 2－AC 2＝ 3.又CD ⊥AB ，所以O ，C ，D 三点共线，所以CD ＝OD －OC ＝2－3， 所以s ＝AB ＋CD 2OA ＝2＋(2－3)22＝11－432. 8．(2022·潍坊模拟)设函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在区间⎣⎡⎦⎤t ，t ＋π4上的最大值为g 1(t )，最小值为g 2(t )，则g 1(t )－g 2(t )的最小值为( )A ．1B.22C.2－12D.2－22答案 D 解析 因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为T ＝2π2＝π， 所以区间⎣⎡⎦⎤t ，t ＋π4的区间长度是该函数的最小正周期的14， 因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在区间⎣⎡⎦⎤t ，t ＋π4上的最大值为g 1(t )，最小值为g 2(t )， 所以当区间⎣⎡⎦⎤t ，t ＋π4关于它的图象的对称轴对称，即对称轴为t ＋t ＋π42＝t ＋π8时，g 1(t )－g 2(t )取得最小值，且此时函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在⎣⎡⎦⎤t ，t ＋π4上有最值±1，不妨设y 在⎣⎡⎦⎤t ，t ＋π4上有最大值g 1(t )＝1，则有sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫t ＋π8＋π3＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋7π12＝1，即2t ＋7π12＝π2＋2k π，k ∈Z ，得t ＝k π－π24，k ∈Z ，所以g 2(t )＝sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫k π－π24＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2k π＋π4＝22，所以g 1(t )－g 2(t )的最小值为2－22.二、多项选择题9．(2022·武汉质检)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x 在下列区间上单调递增的是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π3，π2C.⎝⎛⎭⎫－2π3，－π6 D.⎝⎛⎭⎫π3，π答案 BC解析 f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z .当k ＝0时，有x ∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6；当k ＝－1时，有x ∈⎣⎡⎦⎤－2π3，－π6，只有B ，C 符合．10．(2022·山东联考)已知曲线C 1：y ＝cos 2x ，C 2：y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3，则下面结论正确的是()A ．把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移5π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C ．把曲线C 1向左平移7π12个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线C 2D ．把曲线C 1向左平移π12个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后把得到的曲线向右平移π个单位长度，得到曲线C 2答案 ACD解析 对于选项A ，把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移5π6个单位长度，所得曲线对应的函数解析式为 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3－3π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3，故A 正确； 对于选项B ，把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，所得曲线对应的函数解析式为 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3－5π6≠－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3， 故B 错误；对于选项C ，把曲线C 1向左平移7π12个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得曲线对应的函数解析式为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋7π6＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3，故C 正确； 对于选项D ，把曲线C 1向左平移π12个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后把得到的曲线向右平移π个单位长度，所得曲线对应的函数解析式为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3－3π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3，故D 正确．11．(2022·衡水模拟)已知函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<ω<4，|φ|<π2满足f ⎝⎛⎭⎫13π12－x ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋13π12，且f ⎝⎛⎭⎫4π3＝0，则下列说法正确的有( )A ．ω＝2B ．φ＝π6C ．直线x ＝13π12是f (x )图象的一条对称轴 D ．点⎝⎛⎭⎫7π3，0是f (x )图象的一个对称中心答案 ACD解析 由f ⎝⎛⎭⎫13π12－x ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋13π12 可知直线x ＝13π12是函数f (x )的图象的一条对称轴，故C 选项正确； 又f ⎝⎛⎭⎫4π3＝0，所以⎝⎛⎭⎫4π3，0是函数f (x )的图象的一个对称中心， 所以4π3－13π12＝T 4＋kT 2(k ∈Z )， 即T ＝π2k ＋1(k ∈Z )， 又因为T ＝2πω， 所以ω＝4k ＋2(k ∈Z )，因为0<ω<4，所以当k ＝0时，ω＝2符合，故A 选项正确；所以13π12×2＋φ＝k π(k ∈Z )， 所以φ＝k π－13π6(k ∈Z )， 因为|φ|<π2，所以当k ＝2时，φ＝－π6符合条件，故B 选项错误； 从而f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6， f ⎝⎛⎭⎫7π3＝cos ⎝⎛⎭⎫14π3－π6＝cos 9π2＝0，故点⎝⎛⎭⎫7π3，0是f (x )图象的一个对称中心，故D 选项正确． 12．(2022·德州联考)声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数y ＝A sin ωt ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f (x )＝|cos x |＋3|sin x |，则下列结论不正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )的最小正周期为2πC ．f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增 D ．f (x )的最小值为1答案 BC解析 因为x ∈R ，f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数，A 正确；f (x )显然是周期函数，因为f (x ＋π)＝|cos(x ＋π)|＋3|sin(x ＋π)|＝|cos x |＋3|sin x |＝f (x )，B 错误；因为当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， f (x )＝|cos x |＋3|sin x |＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在区间⎝⎛⎦⎤π3，π2上单调递减，C 错误；因为当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，f (x )＝|cos x |＋3|sin x |＝－cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 所以f (x )＝⎩⎨⎧ 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈⎝⎛⎦⎤π2，π，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，设t ＝x ＋π6， 则t ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，所以sin t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以f (x )∈[1,2]，同理，当x ∈⎝⎛⎦⎤π2，π时，f (x )∈[1,2]，由B 中解答知，π是f (x )的周期，所以f (x )的最小值为1，D 正确．三、填空题13．(2022·黄山模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎫3π2－x ＝1cos x ，则sin x ＝________.答案 5－12解析 由tan ⎝⎛⎭⎫3π2－x ＝1cos x ，得sin ⎝⎛⎭⎫3π2－x cos ⎝⎛⎭⎫3π2－x ＝1cos x ， 即－cos x －sin x ＝1cos x ，即cos 2x ＝sin x ， 整理得sin 2x ＋sin x －1＝0，而－1≤sin x ≤1，解得sin x ＝5－12. 14．(2022·石家庄模拟)已知角α的终边经过点P (8,3cos α)．则sin α＝________.答案 13解析 ∵|OP |＝82＋(3cos α)2＝64＋9cos 2α，∴sin α＝3cos α64＋9cos 2α， cos α＝864＋9cos 2α， ∴sin α·64＋9cos 2α＝3cos α，即sin 2α(64＋9cos 2α)＝9cos 2α，∴sin 2α[64＋9(1－sin 2α)]＝9(1－sin 2α)，即9sin 4α－82sin 2α＋9＝0，解得sin 2α＝9(舍去)或sin 2α＝19， ∵cos α>0 ∴sin α>0，∴sin α＝13. 15．(2022·全国乙卷)记函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T .若f (T )＝32，x ＝π9为f (x )的零点，则ω的最小值为________． 答案 3解析 因为T ＝2πω，f ⎝⎛⎭⎫2πω＝32， 所以cos ()2π＋φ＝32，即cos φ＝32.又0<φ<π，所以φ＝π6. 所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6. 因为x ＝π9为f (x )的零点， 所以π9ω＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )， 解得ω＝9k ＋3(k ∈Z )． 又ω>0，所以当k ＝0时，ω取得最小值，且最小值为3.16．(2021·全国甲卷)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则满足条件⎣⎡⎦⎤f (x )－f ⎝⎛⎭⎫－7π4⎣⎡⎦⎤f (x )－f ⎝⎛⎭⎫4π3>0的最小正整数x 为________．答案 2解析 由题图可知，34T ＝13π12－π3＝3π4(T 为f (x )的最小正周期)，得T ＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2cos(2x ＋φ)．点⎝⎛⎭⎫π3，0可看作“五点作图法”中的第二个点，则2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6， 所以f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 所以f ⎝⎛⎭⎫－7π4＝2cos ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－7π4－π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫－11π3＝2cos π3＝1， f ⎝⎛⎭⎫4π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3－π6＝2cos 5π2＝0， 所以⎣⎡⎦⎤f (x )－f ⎝⎛⎭⎫－7π4⎣⎡⎦⎤f (x )－f ⎝⎛⎭⎫4π3>0， 即[f (x )－1]·f (x )>0，可得f (x )>1或f (x )<0，所以cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6>12或cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6<0.当x ＝1时，2x －π6＝2－π6∈⎝⎛⎭⎫π3，π2， cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎝⎛⎭⎫0，12，不符合题意； 当x ＝2时，2x －π6＝4－π6∈⎝⎛⎭⎫π，7π6， cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6<0，符合题意． 所以满足题意的最小正整数x 为2.。
专题33 三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性题2021高中数学必做黄金100题(解析版
一．题源探究·黄金母题
（求函数 的单调递增区间．
【解析】设 ，函数 的单调递增区间为 ．由 ，得 ．易知 ．
【试题来源】人教版A版必修4第39页例5．
【母题评析】本题考查三角函数单调区间的求法，是历年来高考的一个常考点．
【思路方法】限定区间上三角函数单调区间的求法：先用整体思想求
【技能方法】解决三角函数的单调性有关的问题，要结合函数的图象及其性质。
考向6已知三角函数的奇偶性、对称性或周期求参数的值
已知函数 （ ， ），其图像与直线 相邻两个交点的距离为 ，若 对于任意的 恒成立，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，可得 ，
∵函数 （ ， ）的图像与直线 相邻两个交点的距离为 ，
∴函数 的图象与直线 相邻两个交点的距离为 ，
∴函数 的周期为 ，故 ，∴ ．∴ ．
由题意得“ 对于任意的 恒成立”等价于“ 对于任意的 恒成立”．∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
故结合所给选项可得C正确．选C．
【技能方法】本题难度较大，解题时根据题意得 在 上的取值范围是 的子集去处理，由此通过不等式可得 的范围，结合选项得解．
④将 的图象向右平移 个单位可得到图像 ．
【答案】①②③
【解析】对于 ，
令 ，求得f(x)=−1，为函数的最小值，故它的图象C关于直线 对称故①正确．
令x= ，求得f(x)=0，可得它的图象C关于点( ，0)对称，故②正确．
令 ，可得 ，故函数f(x)在区间 是增函数，故③正确，
由 的图象向右平移 个单位长度可以得到 故排除④，
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等．
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1.会判断三角函数的单调性，并能求岀其单调区间•会应用单调性比较两个函
数值的大小.
2•能运用奇偶性定义判断三角函数的奇偶性.
3.了解周期函数和最小正周期，会求一些简单函数的最小正周期.
二、知能达标:
5
1.函数 y sin(- 2
姓名 课题 三角函数的单调性，奇偶性，周期性
一、方法点拨: 2x)是
A 奇函数
C 非奇非偶函数
D 以上都不对 2.下列命题正确的个数是 (1) y sin x 在第一象限单调递增 (2) y tan x 在定义域内单调递增
(3) y sin x 是周期函数. (4) y sin x -的最小正周期是 2
3函数y
sin( 2x —)的递减区间是
(x 1)
sin ------ 的单调递增区间是
2
4.求下列函数的最小正周期.
2 (2) y 2 3sinxcosx 2cos x 1 T
函数y 2
(1)y sin x O T
sin (x (x) 7.若函数 f (x)有最大 z)，且, f(x) 8设函数 值4，且 f(6) 是 f (x) 0的根，求tan(。