三角函数的奇偶性
三角函数的图像与性质
抓住1个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简 成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只
需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即
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揭秘3年高考
两种方法 求三角函数值域(最值)的两种方法
(1)将所给函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，通过分析ωx＋φ
的范围，结合图象写出函数的值域； (2)换元法：把sin x(cos x)看作一个整体，化为二次函数来解 决．
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考点自测 1．函数
)．
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1 1－cos 2x 1 1 解析 f(x)＝sin x－2＝ －2＝－2cos 2x， 故函数 2 的最小正周期为 T＝π，且为偶函数．
2
答案 D
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3．(2013· 安顺模拟)已知函数
π f(x)＝sinωx＋3(ω>0)的最小正
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π 5π 在[0,2π]内，满足 sin x＝cos x 的 x 为4， 4 ，再结合正弦、余 弦函数的周期是 2π，所以原函数的定义域为
π 5π x2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ 4 4 ，k∈Z.
法二
利用三角函数线，如图，MN 为正弦线，OM 为余弦
解．
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目： ①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋ k的形式，再求最值(值域)； ②形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化
三角函数的最值与奇偶性-课件
(2)由11－ ＋ssiinn xx>0，得(1－sin x)(1＋sin x)>0，
∴－1<sin x<1.
∴x≠kπ＋π2(k∈Z)，函数定义域关于原点对称．
∵f(－x)＝lg11－ ＋ssiinn－ －xx＝lg11＋ －ssiinn
x x
＝lg11－＋ssiinn xx－1＝－lg11－ ＋ssiinn xx＝－f(x)，
[错解]
配方得
y＝－3sin
x－322＋8，
故函数的最大值是 ymax＝8.
上述解法的错误在于把题中函数与通常的二次函数
等同起来了，它们虽有相似之处但也有严格的区分，忽视了－
1≤sin x≤1 的隐含条件．
[正解] 事实上，二次函数 y＝－3t－322＋8 在 t∈[－1,1]上递 增．故原函数当 sin x＝1 时取最大值，即 ymax＝－3×1－322＋8＝ 29 4.
∴函数
f(x)＝lg11－ ＋ssiinn
x为奇函数． x
规律方法 判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于 原点对称，如果是，再验证 f(－x)是否等于－f(x)或 f(x)，进而判断 函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．
【变式 1】
判断函数
f(x)＝11＋＋ssiinn
x－cos x＋cos
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/272021/2/27Februar y 27, 2021
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/27
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上海高中三角函数的周期性、奇偶性和对称性
该函数是奇函数
【例1 】判断下列函数的奇偶性： (3)y sin x cos x
解： 定义域R关于原点对称
f ( ) sin cos 2 4 4 4
f ( ) sin( ) cos( ) 0 4 4 4
f ( ) f ( )且f ( ) f ( ) 4 4 4 4
该函数既不是奇函数，也不是偶函数
型如y a sin x b cos x(a 0, b 0)的函数 是非奇非偶函数
【例1】判断下列函数的奇偶性： (4)y sin x sin x 4 4 解： 定义域R关于原点对称
x k
4
,k Z
原函数图像的对称中心是点(k
4
, 0), k Z
【例6】函数y cos(2 x ) 的图像 2 的一条对称轴是直线【 】 A. x
2
B.x
4
B
C. x
8
D. x
解： y sin 2 x
当x
一、y sin x 的奇偶性、周期性和对称性:
-2
y
1
-4
-3
-
o
-1
2
3
4
5
6
x
y siin x
T 2
sin( x) sin x
直线x k
奇函数
, k Z
对称轴
对称中心
sin cos 0 tan 1
【例4】求下列函数的最小正周期： (1)y 3 sin 2 x cos 2 x
三角函数奇偶性、单调性
)-
cos( 17 )
4
解： cos( 23 )=cos 23
5
5
=cos 3 5
cos( 17 )=cos 17
4
4
=cos
4
0 3
45
cos 3 <cos
5
4
又 y=cosx 在 [0, ]上是减函数
3
即： cos 5
– cos
4
x∈ R
[-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π
偶函数
在x∈[2kπ， 2kπ+ π ]
上都是增函数 ,
在x∈[2kπ- π ， 2kπ ]
上都是减函数 。
(kπ+
π
2
,0)
x = kπ
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：
2
2
O
3
2 u
2
2
-1
y=y-=|ssiinnuu|
即： 增区间为 kuk,kZ
减区间为 k2 uk,kZ
k3xk,kZy为2增函数
k4xk4,kZy为减函数
4
4
2
4
所以：单调增区间为
[k2 ,k8 3](kZ)8
单调减区间为 [k38,k8 7](kZ)
(2) y=2sin(-x )
8
8
解：y=2sin(-x ) = -2sinx
函数在 [
2
Байду номын сангаас
+2k,
高考数学中的三角函数的奇偶性与周期性
高考数学中的三角函数的奇偶性与周期性高考数学中的三角函数是一种非常重要的数学概念，它们是用来描述三角形中各边对应角的函数。
其中最常见的三个三角函数是正弦函数、余弦函数和正切函数。
在高考中，学生需要掌握三角函数的奇偶性和周期性，这对于解答与三角函数相关的问题非常有帮助。
一、三角函数的基本定义在讲解三角函数的奇偶性和周期性之前，我们先来复习一下三角函数的定义。
在一个直角三角形中，根据三角形中的角度，我们可以定义三角函数：正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数sinA：对于一个角度为A的三角形，正弦函数的值定义为其对边长度与斜边长度的比值。
余弦函数cosA：对于一个角度为A的三角形，余弦函数的值定义为其邻边长度与斜边长度的比值。
正切函数tanA：对于一个角度为A的三角形，正切函数的值定义为其对边长度与邻边长度的比值。
在高考数学中，我们需要通过三角函数的定义，求出与之相关的各种角度、边长以及角度之间的关系。
二、三角函数的奇偶性在研究三角函数的奇偶性时，我们需要先定义一个数学概念：函数的奇偶性。
在数学中，如果一个函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，那么它就是一个奇函数；如果一个函数f(x)满足f(-x)=f(x)，那么它就是一个偶函数。
对于三角函数而言，正弦函数sin(x)和正切函数tan(x)都是奇函数，而余弦函数cos(x)则是偶函数。
具体来说，我们可以证明正弦函数是奇函数。
假设有一个角度x，那么有sin(-x)=-sin(x)。
这是因为对于一个角度为-x的三角形，其对边为-x的正弦值应该是-sin(x)，而斜边和邻边长度不变，因此正弦值应该是相反数。
同样的道理，可以证明正切函数也是奇函数。
而对于余弦函数而言，我们可以证明它是偶函数。
同样假设有一个角度x，那么有cos(-x)=cos(x)。
这是因为对于一个角度为-x的三角形，其邻边和斜边长度不变，而对边长度也不变，因此余弦值应该是相等的。
因此，我们可以得出结论：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
三角函数的奇偶性
三角函数的奇偶性三角函数是数学中常见的函数类型，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
在研究三角函数的性质时，一个重要的特征是它们的奇偶性。
本文将介绍三角函数的奇偶性，并分析其在不同象限内的取值范围。
1. 正弦函数的奇偶性正弦函数sin(x)的定义域是所有实数，其图像关于原点对称。
我们可以观察到，当x取负值时，sin(x)的值与当x取正值时的值相反，这说明sin(x)是奇函数。
根据正弦函数的性质，sin(x + π) = -sin(x)，可以推导出sin(x + 2π) = sin(x)，以及sin(x + 4π) = sin(x)，以及更一般的sin(x + nπ) = sin(x)。
这意味着正弦函数是以2π为周期的周期函数，并且在每个周期内保持奇偶性不变。
2. 余弦函数的奇偶性余弦函数cos(x)的定义域也是所有实数，与正弦函数类似，余弦函数关于y轴对称。
当x取负值时，cos(x)的值与当x取正值时的值相同，这说明cos(x)是偶函数。
同样地，根据余弦函数的性质，cos(x + π) = -cos(x)，可以推导出cos(x + 2π) = cos(x)，以及cos(x + 4π) = cos(x)，以及更一般的cos(x +nπ) = cos(x)。
余弦函数也是以2π为周期的周期函数，并且在每个周期内保持奇偶性不变。
3. 正切函数的奇偶性正切函数tan(x)定义于除去一切x + (2n + 1)π/2（其中n为整数）的实数上。
正切函数在定义域内既不是奇函数也不是偶函数。
我们可以发现，tan(x + π) = tan(x)，也就是说，正切函数的周期性为π。
然而，tan(x)并不保持奇偶性不变。
当x取负值时，tan(x)的值与当x取正值时的值相反，这说明正切函数既不是奇函数也不是偶函数。
4. 三角函数的取值范围在研究三角函数时，我们还需要了解它们在不同象限内的取值范围。
- 正弦函数的取值范围是[-1, 1]，在第一象限和第二象限为正，在第三象限和第四象限为负。
三角函数的单调性、奇偶性、周期性
(A)f(x+2)是奇函数
(C)f(x-2)是奇函数
(B)f(x+2)是偶函数
(D)f(x-2)是偶函数
3 .已知 函 数 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4， 当 f(2001)=5 时 ， f(2002)=( )B (A)1 (B)3 (C)5 (D)7
4.函数y=2sin2x+sin2x是( D ) (A)以2π为周期的奇函数 (B)以2π为周期的非奇非偶函数 (C)以π为周期的奇函数 (D)以π为周期的非奇非偶函数 5.下列命题中正确的是( D ) (A)若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ (B)函数y=sinx· cotx的单调递增区间是(2kπ-π/2，2kπ+ π/2)，k∈Z (C)函数y=(1-cos2x)/sin2x的最小正周期是2π (D) 函 数 y=sinxcos2φ-cosxsin2φ 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 ， 则 φ=kπ/2+π/4，k∈Z
2.判断下列函数是否为周期函数；若是，判断其是否存 在最小正周期，若存在，求出它的最小正周期：
1 ①y sin 4 x 1 ②y sin x 3 3 x ③y tan 4 6 ④y 2
【 解 题 回 顾 】 若 三 角 函 数 y=f(x)的 最 小 正 周 期 为 T， 则 f(ωx+φ)的最小正周期就是T|ω|；另外，周期函数的图像必 然呈现一种“周而复始”的规律特征，反之亦然，所以判 断函数的周期性的一个有效方法是作图
5 3.已知函数 f x 5 sin x cos x 5 3 cos x 3 x R 2
2
三角函数奇偶性的判断口诀
三角函数奇偶性的判断口诀1. 三角函数奇偶性：（1）正弦函数 y=sin x，是奇函数；（2）余弦函数 y=cos x，是偶函数；（3）正切函数 y=tan x，也是奇函数；（4）余切函数 y=cot x，是偶函数。
2. 三角函数奇偶性判断口诀：（1）正弦余弦：奇偶关，正弦是奇，余弦是偶；（2）正切余切：同上关，正切是奇，余切是偶；（3）反三角：奇偶全反，反正弦是偶，反余弦是奇。
三角函数的奇偶性是指在经过偶函数（cos x）和奇函数（sin x）加工之后，运用反三角函数求出结果时候若结果仍是原函数那么其就是奇偶性，本质上决定奇偶性的是函数在坐标对称轴交换之后是否可以恢复原来的函数形式，具体表示为：sin（-x）= - sin x，即奇函数；cos （-x）= cos x，即偶函数。
要判断某个函数的奇偶性，可以通过以下步骤：（1）先把函数画出来；（2）然后把函数的图像左右对折一下；（3）比较左右两边对折之后的图像，若两边图像完全对称，则该函数就是偶函数；若两边图像不完全对称，则该函数就是奇函数。
因此，我们可以把三角函数奇偶性的判断口诀分为以下几点：（1）正弦（sin x）函数是奇函数，也就是反三角函数（arcsin x）也是奇函数；（2）余弦（cos x）函数是偶函数，也就是反三角函数（arccos x）也是偶函数；（3）正切（tan x）函数是奇函数，也就是反三角函数（arctan x）也是奇函数；（4）余切（cot x）函数是偶函数，也就是反三角函数（arccot x）也是偶函数。
总之，如果想要快速判断某个三角函数的奇偶性，我们只需要记住以下口诀就好了：正弦余弦，奇偶关；正切余切，同上关；反三角，奇偶全反。
使用这个口诀就可以轻松掌握三角函数奇偶性。