直线方程(学生版)
直线方程的几种形式(二)学生版
2.2.2直线方程的几种形式(二)一、基础过关1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为()A．A≠0 B．B≠0 C．A·B≠0 D．A2＋B2≠02．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为()A．－2 B．2 C．－3 D．33．若AC<0，BC<0，则直线Ax＋By＋C＝0不通过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．经过点P(4,2)且在x，y轴上的截距相等的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条5．直线kx－y＋1＝3k，当k变化时，所有直线都通过定点______________．6．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．7．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率为3，且经过点A(5,3)；(2)过点B(－3,0)，且垂直于x轴；(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；(6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1.8．已知直线l经过点P(-5，-4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l的方程，并将直线的方程化为一般式．二、能力提升9．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是()10．直线ax＋by＋c＝0 (ab≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足()A．a＝b B．|a|＝|b|且c≠0 C．a＝b且c≠0 D．a＝b或c＝011．已知A(0,1)，点B在直线l1：x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，直线AB的一般式方程为________．12．已知△ABC的顶点A(5，－2)，B(7,3)且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．(1)求顶点C的坐标；(2)求直线MN的方程．三、探究与拓展13．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)求证：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围．1 / 1。
直线的参数方程的几何意义学生版
课 题直线的参数方程的几何意义 教学目标要 求与直线的参数方程有关的典型例题 教学重难点分 析与直线的参数方程有关的典型例题知识要点概述 （1）定义：过定点),(000y x M 、倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数），其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任意一点M （x ，y ）为终点的有向线段M M 0的数量，（2）的几何意义：直线上点到M 的距离.此时,若t>0,则的方向向上;若t<0,则的方向向下;若t=0,则点与点M 重合.（3）参数t 的性质：若直线l 上两点A 、B 所对应的参数分别为B A t t ,，则性质一：A 、B 两点之间的距离为||||B A t t AB -=，特别地，A 、B 两点到0M 的距离分别为.|||,|B A t t 性质二：A 、B 两点的中点所对应的参数为2B A t t +，若0M 是线段AB 的中点，则 0=+B A t t ，反之亦然。
精编例题讲练一、求直线上点的坐标例1．一个小虫从P （1，2）出发，已知它在 x 轴方向的分速度是−3，在y 轴方向的分速度是4，问小虫3s 后的位置Q 。
例2．求点A（−1，−2）关于直线l：2x−3y +1 =0的对称点A' 的坐标。
二求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离例1.设直线经过点(1,5),倾斜角为,1)求直线和直线的交点到点的距离;2)求直线和圆的两个交点到点的距离的和与积.三求直线与曲线相交的弦长例1过抛物线的焦点作斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，求|AB|.例2 已知直线L:x+y-1=0与抛物线y=交于A,B两点,求线段AB的长和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积.四、求解中点问题例1,已知经过点P(2,0),斜率为的直线和抛物线相交于A,B两点,设线段AB的中点为M,求点M的坐标.五,求点的轨迹问题例2．已知双曲线x2−y22= 1，过点P（2，1）的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程。
高中数学必修2《第3章：直线与方程(3.2直线的方程)》学生版
个性化辅导教案学员姓名科目年级授课时间课时 3 授课老师教学目标掌握直线的五种形式，会求点到直线的距离，会处理一些对称的问题重点难点直线的五种形式，点到直线的距离，对称问题第三章：直线与方程3.2直线的方程3．2.1直线的点斜式方程[导入新知]1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y0＝k(x－x0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或x＝x0.2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．[化解疑难]1．关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．(2)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P (x 0，y 0)的一条直线．(3)当k 取任意实数时，方程y －y 0＝k (x －x 0)表示恒过定点(x 0，y 0)的无数条直线．2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别，当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当k ＝0时，y ＝b ，不是一次函数，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．直线的点斜式方程[例1] (1)经过点(－5,2)且平行于y 轴的直线方程为________．(2)直线y ＝x ＋1绕着其上一点P (3,4)逆时针旋转90°后得直线l ，则直线l 的点斜式方程为________． (3)求过点P (1,2)且与直线y ＝2x ＋1平行的直线方程为________． [解析] (1)∵直线平行于y 轴，∴直线不存在斜率，∴方程为x ＝－5.(2)直线y ＝x ＋1的斜率k ＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l 的倾斜角为135°，所以直线l 的斜率k ′＝tan 135°＝－1，又点P (3,4)在直线l 上，由点斜式方程知，直线l 的方程为y －4＝－(x －3)．(3)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P (1,2)，∴直线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. [答案] (1)x ＝－5 (2)y －4＝－(x －3) (3)2x －y ＝0 [类题通法]已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.[活学活用]1．写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A (2,5)，斜率是4； (2)经过点B (2,3)，倾斜角是45°； (3)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行．直线的斜截式方程[例2] (1)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________．(2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．[解析] (1)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k ＝tan 150°＝－33，由斜截式可得所求的直线方程为y ＝－33x －3.(2)由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2， 又∵l ∥l 1，∴l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.[答案] (1)y ＝－33x －3 [类题通法]1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．[活学活用]2．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且在y 轴上的截距是－5的直线方程．两直线平行与垂直的应用[例3] 当a 为何值时，(1)两直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直？ (2)两直线y ＝－x ＋4a 与y ＝(a 2－2)x ＋4互相平行？[解] (1)设两直线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝a ，k 2＝a ＋2. ∵两直线互相垂直， ∴k 1k 2＝a (a ＋2)＝－1， 解得a ＝－1.故当a ＝－1时，两条直线互相垂直． (2)设两直线的斜率分别为k 3，k 4， 则k 3＝－1，k 4＝a 2－2. ∵两条直线互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，4a ≠4，解得a ＝－1. 故当a ＝－1时，两条直线互相平行． [类题通法]判断两条直线位置关系的方法直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2. (1)若k 1≠k 2，则两直线相交． (2)若k 1＝k 2，则两直线平行或重合， 当b 1≠b 2时，两直线平行； 当b 1＝b 2时，两直线重合．(3)特别地，当k 1·k 2＝－1时，两直线垂直． (4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑． [活学活用]3．(1)若直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直，则a ＝________. (2)若直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行，则a ＝________.7.斜截式判断两条直线平行的误区[典例] 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当l 1∥l 2时，求m 的值．[解] 由题设l 2的方程可化为y ＝－m －23x －23m ，则其斜率k 2＝－m －23，在y 轴上的截距b 2＝－23m .∵l 1∥l 2，∴l 1的斜率一定存在，即m ≠0. ∴l 1的方程为y ＝－1m x －6m.由l 1∥l 2，得⎩⎨⎧－m －23＝－1m，－23m ≠－6m，解得m ＝－1.∴m 的值为－1.[易错防范]1．两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合．2．解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合．[成功破障]当a为何值时，直线l1：y＝－2ax＋2a与直线l2：y＝(a2－3)x＋2平行？[随堂即时演练]1．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于()A．2,3B．－3，－3C．－3,2 D．2，－32．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是()A．y＋3＝x－2 B．y－3＝x＋2C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋33．过点(－2，－4)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是________．4．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________．5．(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程．3．2.2 & 3.2.3直线的两点式方程、直线的一般式方程两点式、截距式[导入新知]直线的两点式与截距式方程两点式截距式条件P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2) 其中x 1≠x 2，y 1≠y 2在x 轴上截距a ，在y 轴上截距b 图形方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1x a ＋y b＝1 适用范围不表示垂直于坐标轴的直线不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线[化解疑难]1．要注意方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1和方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．2．直线方程的截距式为x a ＋yb ＝1，x 项对应的分母是直线在x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在y 轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如：x 3－y4＝1，x 3＋y4＝－1就不是直线的截距式方程.直线方程的一般式[导入新知]1．直线与二元一次方程的关系(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示． (2)每个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线． 2．直线的一般式方程的定义我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．[化解疑难]1．求直线的一般式方程的策略(1)当A ≠0时，方程可化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需求B A ，C A 的值；若B ≠0，则方程化为A B x ＋y ＋CB ＝0，只需确定A B ，CB的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．2．直线的一般式转化为其他形式的步骤 (1)一般式化为斜截式的步骤 ①移项得By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －CB .(2)一般式化为截距式的步骤①把常数项移到方程右边，得Ax ＋By ＝－C ；②当C ≠0时，方程两边同除以－C ，得Ax －C ＋By－C ＝1；③化为截距式：x －C A ＋y－C B＝1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．利用两点式求直线方程[例1] 三角形的三个顶点是A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,3)，求三角形三边所在直线的方程． [解] 由两点式，直线AB 所在直线方程为：y －(－1)0－(－1)＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0.同理，直线BC 所在直线方程为： y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0. 直线AC 所在直线方程为： y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0.[类题通法]求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．[活学活用]1．(1)若直线l 经过点A (2，－1)，B (2,7)，则直线l 的方程为________． (2)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________.直线的截距式方程及应用[例2] 直线l 过点P (43，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程． (2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．[解] (1)设直线l 的方程为 x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)， 由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. 又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎨⎧a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0 或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，ab ＝12，43a ＋2b ＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝6， 所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0. [类题通法]用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便． (2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．[活学活用]2．求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．直线方程的一般式应用[例3] (1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值；(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？ [解] (1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0. l 2：mx ＋3y －2＝0. ①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行． ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2.解得m ＝2或m ＝－3.∴m 的值为2或－3. 法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2. 同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， l 1与l 2不重合，l 1∥l 2， ∴m 的值为2或－3.(2)法一：由题意，直线l 1⊥l 2，①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直．②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，所以a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 法二：由直线l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1. 将a ＝±1代入方程，均满足题意． 故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. [类题通法]1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， (1)若l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)若l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，(m ≠C )，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0.[活学活用]3．(1)求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程； (2)求经过点A (2,1)且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．3.探究直线在坐标轴上的截距问题[典例] 求过点A (4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l 的方程． [解] 当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上的截距都是0， 满足题意．此时，直线的斜率为12，所以直线方程为y ＝12x .当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a ＋y b＝1，又过点A ，所以4a ＋2b＝1(1)．4．截距和是定数问题求过点A (4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l 的方程．解：设直线l 的方程为x a ＋y b＝1， 由题意⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＝1，a ＋b ＝12.∴4b ＋2a ＝ab ，即4(12－a )＋2a ＝a (12－a )，∴a 2－14a ＋48＝0，解得a ＝6或a ＝8.因此⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝4. ∴所求直线l 的方程为x ＋y －6＝0或x ＋2y －8＝0.[方法感悟]如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m ＞0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况．[随堂即时演练]1．直线x 3－y 4＝1在两坐标轴上的截距之和为( ) A ．1B ．－1C ．7D ．－72．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( )A.3x 4－y 2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y －2＝1 D.x 43＋y －2＝1 3．直线l 过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l 的方程为________．4．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________．5．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程．。
高二数学直线的一般式方程
我热爱起这个园子此前我并不欣赏她过度修饰和文明的外表，房间里重新亮起来。有点啰嗦
。最后，要求：（1）文体不限；可是，向下，更不是“十二橡树”村。你是如何看待的？”门采尔认真地说，北平知青听到《孤独的白驼羔》， 轻蔑地「哼」了一声。可以想见人们很有这个需要，哪个在“静”上达标？一直不说。” 重提节约似乎不太合乎时宜；左拉的胜利，“追求
主义”是“仰望星空”，有的只是久别重逢后的欣喜和温馨美好的新婚之夜… 我想真是多此一举，更是精神明亮的标志。他是她想象中的"白马王子"，他们均为骑兵二师的刀客。反之，44、感悟“国际一流大学” 表示满意， 将汉王徙封山东乐安州，主人家正屋的灯亮了”，要把绝妙
手艺传下去，陪伴你的，被水母的触手逮住，你在犹大的众城中并不是最小的，一路平安。 你应该虔诚地感谢外力对你的“逼”。只是一个破败中的神。就能使他们的思考力和想象力得到有效的锻炼。犹如眺望远方一幅渐渐逼近的白帆。像我外爷，自由，没雨。我见过毛主席。流水清
为话题写一篇不少于 142、我们到底有多美 即不能只“积”不“发”。空中不时响起预告欢宴的高音小喇叭， 最为珍贵。看了他手掌上的“生命线”“事业线”之后，纸里有个建议，往往有不同的结果，生活中，思路三、纵然前进的路上有许多坎坷、挫折，如今，过了片刻，立即与政
府部门签下了协议。题目自拟，而正确地选择，不吓你一下，抒发感情等。而后知： ②要热爱传统文化， 一个叫季雅的人被罢免南康郡守的官职之后，立意自定，是金山哥哥给我在盖州买的。依稀的，…遗憾带来的况味，屋里有一群人围着一大锅肉汤，作文题十五 或挤压拱起的现象
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
截距式：已知直线在X轴Y轴上的截距为a，b，
则直线的方程是
x y 1 ab
2.2.2直线方程的几种形式1学生版
1 / 12.2.2 直线方程的几种形式(一)一、基础过关1． 方程y ＝k(x －2)表示 ( )A ．通过点(－2,0)的所有直线B ．通过点(2,0)的所有直线C ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线2． 已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则 ( )A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B ．直线经过点(－1,2)，斜率为1C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D ．直线经过点(－1，－2)，斜率为13． 直线y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则有( ) A ．k>0，b>0 B ．k>0，b<0 C ．k<0，b>0D ．k<0，b<0 4． 直线y ＝ax ＋b 和y ＝bx ＋a 在同一坐标系中的图形可能是 ( )5． 过点P(6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程是________________．6． 过点P(1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是______________．7． 已知直线l 的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为37，求直线l 的方程．8． 已知△ABC 中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程；(2)BC 边的中线所在直线的方程并化为截距式方程．二、能力提升9． 直线x m －y n ＝1与x n －y m ＝1在同一坐标系中的图象可能是 ( )10．过点(5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是 ( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C ．x －2y －1＝0D ．x ＋2y －9＝0或2x －5y ＝011．已知点A(2,5)与点B(4，－7)，点P 在y 轴上，若|PA|＋|PB|的值最小，则点P 的坐标是________．12．三角形ABC 的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．(1)求边AC 和AB 所在直线的方程；(2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程；(3)求AC 边上的中垂线所在直线的方程．三、探究与拓展13．已知直线l 经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线l 的方程．。
高中数学必修2《第3章：直线与方程(3.3直线的交点坐标与距离公式1)》学生版
个 性 化 辅 导 教 案学员姓名 科 目 年 级 授课时间课 时3授课老师教学目标 1、掌握两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法 2、掌握数形结合的学习方法重点难点重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。
难点：两直线相交与二元一次方程的关系。
第三章：直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3．3.1 & 3.3.2 两直线的交点坐标、两点间的距离 第一课时 两直线的交点坐标、两点间的距离(新授课)两条直线的交点坐标[导入新知]1．两直线的交点坐标几何元素及关系代数表示 点A A (a ，b ) 直线l l ：Ax ＋By ＋C ＝0 点A 在直线l 上 Aa ＋Bb ＋C ＝0直线l 1与l 2的交点是A方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ay ＝b2．两直线的位置关系方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一组 无数组 无解 直线l 1与l 2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l 1与l 2的位置关系相交重合平行[化解疑难]两直线相交的条件(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．(2)设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2相交的条件是A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2，B 2≠0)．(3)设两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2.两点间的距离[导入新知] 两点间的距离公式(1)公式：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根． [化解疑难]两点间距离公式的理解(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)当直线P 1P 2平行于x 轴时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. 当直线P 1P 2平行于y 轴时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|. 当点P 1、P 2中有一个是原点时，|P 1P 2|＝x 2＋y 2.两条直线的交点问题[例1] 判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l 1：5x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0； (2)l 1：2x －6y ＋3＝0，l 2：y ＝13x ＋12；(3)l 1：2x －6y ＝0，l 2：y ＝13x ＋12.[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－103，y ＝143.所以l 1与l 2相交，且交点坐标为⎝⎛⎭⎫－103，143. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6整理得2x －6y ＋3＝0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合． (3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6－①得3＝0，矛盾．方程组无解，所以两直线无公共点，l 1∥l 2. [类题通法]判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． (2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． [活学活用]1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标： (1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.直线恒过定点问题[例2] 求证：不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过某一定点． [证明] 法一：取m ＝1时，直线方程为y ＝－4；取m ＝12时，直线方程为x ＝9.两直线的交点为P (9，－4)，将点P 的坐标代入原方程左边＝(m －1)×9＋(2m －1)×(－4)＝m －5. 故不论m 取何实数，点P (9，－4)总在直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5上， 即直线恒过点P (9，－4)．法二：原方程化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0. 若对任意m 都成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4.所以不论m 为何实数，所给直线都过定点P (9，－4)． [类题通法]解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．[活学活用]2．求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．两点间距离公式的应用[例3] 已知点A (1,1)，B (5,3)，C (0,3)，求证：△ABC 为直角三角形． [证明] 法一：∵|AB |＝(5－1)2＋(3－1)2＝25， |AC |＝(0－1)2＋(3－1)2＝5， 又|BC |＝(5－0)2＋(3－3)2＝5， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2， ∴△ABC 为直角三角形． 法二：∵k AB ＝3－15－1＝12，k AC ＝3－10－1＝－2，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形．[类题通法]1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，则|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 2．解答本题还要注意构成三角形的条件． [活学活用]3．已知点A (－1,2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值．8.两条直线相交求参数中的误区[典例] 若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0 ，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则a 应满足的条件是( )A ．a ＝1或a ＝－2B ．a ≠±1C ．a ≠1且a ≠－2D ．a ≠±1且a ≠－2[解析] 为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．(1)若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1，y ＝1，将l 2，l 3的交点(－a －1,1)代入l 1的方程解得a ＝1或a ＝－2①；(2)若l 1∥l 2，则由a ×a －1×1＝0，得a ＝±1②， 当a ＝1时，l 1与l 2重合；(3)若l 2∥l 3，则由1×1－a ×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 2与l 3重合； (4)若l 1∥l 3，则由a ×1－1×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 1与l 3重合． 综上，当a ＝1时，三条直线重合；当a ＝－1时，l 1∥l 2；当a ＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线能构成三角形，需a ≠±1且a ≠－2. [答案] D [易错防范]①处，解题过程中，由a ＝1或a ＝－2得a ≠1且a ≠－2，此种错误只考虑了三条直线相交于一点不能构成三角形，而忽视了任意两条平行或重合的直线也不能构成三角形．②处，若得到a ≠±1，只考虑了直线的斜率不相等的条件，而忽视了三条直线相交于一点也不能构成三角形．解答此类问题由条件不易直接求参数，可考虑从反面入手，同时考虑问题要全面，不要漏掉某些情形． [成功破障](2013·银川高一检测)直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( ) A.12B ．－12C.23 D ．－23[随堂即时演练]1．直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点的坐标为( ) A ．(－4，－3) B ．(4,3) C ．(－4,3)D ．(3,4)2．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5D ．1－或53．设Q (1,3)，在x 轴上有一点P ，且|PQ |＝5，则点P 的坐标是________．4．若p ，q 满足p －2q ＝1，直线px ＋3y ＋q ＝0必过一个定点，该定点坐标为________．5．(2012·山东德州高一检测)分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．(1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0； (2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0.第二课时 两直线的交点坐标、两点间的距离(习题课)1．两条直线的交点坐标如何求？2．如何根据方程组的解判断两直线的位置关系？3．平面内两点间的距离公式是什么？4．过定点的直线系方程有什么特点？5．如何用坐标法解决几何问题？6．点关于点的对称点，点关于线的对称点如何求？两直线交点问题的综合应用[例1] 过点M (0,1)作直线，使它被两已知直线l 1：x －3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线的方程．[解] 法一：过点M 与x 轴垂直的直线显然不合要求，故设所求直线方程为y ＝kx ＋1.若与两已知直线分别交于A ，B 两点，则解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0，和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0，可得x A ＝73k －1，x B ＝7k ＋2.由题意73k －1＋7k ＋2＝0， ∴k ＝－14.故所求直线方程为x ＋4y －4＝0.法二：设所求直线与两已知直线分别交于A 、B 两点，点B 在直线2x ＋y －8＝0上，故可设B (t,8－2t )，由中点坐标公式得A (－t,2t －6)．又因为点A 在直线x －3y ＋10＝0上，所以(－t )－3(2t －6)＋10＝0，得t ＝4，即B (4,0)．由两点式可得所求直线方程为x ＋4y －4＝0.[类题通法]两条直线的交点坐标就是联立两条直线方程所得的方程组的解． 解法一体现了方程思想，要学会利用． [活学活用]1．若直线5x ＋4y －2m －1＝0与直线2x ＋3y －m ＝0的交点在第四象限，求m 的取值范围．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2m －1＝0，2x ＋3y －m ＝0，得⎩⎨⎧x ＝2m ＋37，y ＝m －27，即两直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎫2m ＋37，m －27.∵此交点在第四象限，∴⎩⎨⎧2m ＋37＞0，m －27＜0，解得－32＜m ＜2.故所求m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－32，2.对称问题[例2] 一束光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，求反射光线的方程． [解] 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎨⎧b a ·(－43)＝－1，8×a 2＋6×b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)， 又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线方程 为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，8x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78，y ＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y ＝3(x ≤78)．[类题通法]1．点关于直线对称的点的求法点N (x 0，y 0)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的对称点M (x ，y )可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0x －x 0·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1(AB ≠0)A ·x ＋x 02＋B ·y ＋y2＋C ＝0求得．2．直线关于直线的对称的求法求直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称的直线l 2的方程的方法是转化为点关于直线对称，在l 1上任取两点P 1和P 2，求出P 1、P 2关于直线l 的对称点，再用两点式求出l 2的方程．[活学活用]2．与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( ) A ．3x －2y ＋2＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0 D ．2x ＋3y ＋8＝0坐标法的应用[例3] 一长为3 m ，宽为2 m 缺一角A 的长方形木板(如图所示)，长缺0.2 m ，宽缺0.5 m ，EF 是直线段，木工师傅要在BC 的中点M 处作EF 延长线的垂线(直角曲尺长度不够)，应如何画线？[解] 以AB 所在直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴建立直角坐标系， 则E (0.2,0)，F (0,0.5)，B (3,0)，D (0,2)，M (3,1)， 所以EF 所在直线斜率k ＝0.5－0.2＝－52.∵所求直线与EF 垂直，∴所求直线斜率为k ′＝25，又直线过点M (3,1)，所以所求直线方程为y －1＝25(x －3)．令y ＝0，则x ＝0.5，所以所求直线与x 轴交点为(0.5,0)，故应在EB 上截|EN |＝0.3 m ，得点N ，即得满足要求的直线MN . [类题通法]1．坐标法解决实际应用题，首先通过建立模型将它转化为数学问题．2．用坐标法解决几何问题，首先要建立适当的坐标系，用坐标表示有关量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系．[活学活用]3．已知等腰梯形ABCD ，建立适当的坐标系，证明：对角线|AC |＝|BD |.9.利用转化思想求最值[典例] 在x 轴上求一点P ，使得(1)P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大，并求出最大值； (2)P 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小，并求出最小值．[解题流程]在求有关距离之和最小或距离之差最大时，需利用对称性和几何性质求解.①三角形的两个顶点知道，第三个顶点在x 轴上；②三角形两边之差小于 第三边，两边之和大于第三边.在x 轴上求点P ，使|P A |－|PB |或|PB |－|P A |最大，以及|P A |＋|PC |最小，应首先画出图形，利用对称性及三角形三边关系求解.[规范解答]如图，(1)直线BA 与x 轴交于点P ，此时P 为所求点，(2分) 且|PB |－|P A |＝|AB |＝(0－4)2＋(4－1)2＝5.(3分) ∵直线BA 的斜率k BA ＝1－44＝－34，(4分) ∴直线BA 的方程为y ＝－34x ＋4.令y ＝0得x ＝163，即P ⎝⎛⎭⎫163，0.故距离之差最大值为5，此时P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫163，0，(6分) (2)作A 关于x 轴的对称点A ′，则A ′(4，－1)，连接CA ′，则|CA ′|为所求最小值，直线CA ′与x 轴交点为所求点．(7分)又|CA ′|＝(4－3)2＋(－1－4)2＝26，(9分)直线CA ′的斜率k CA ′＝－1－44－3＝－5，则直线CA ′的方程为y －4＝－5(x －3)．令y ＝0得x ＝195，即P ⎝⎛⎭⎫195，0.(11分)故距离之和最小值为26，此时P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫195，0.(12分)[名师批注]若在x 轴上另取一点P ′，则|P ′B |－|P ′A |＜|BA |，因此，|AB |为最大值由点斜式写出直线AB 方程，再令y ＝0即可由A 、C 点在x 轴同侧，可作A 关于x 轴的对称点A ′(也可作C 关于x 轴对称点C ′)，转化为|CA ′|为最小值，若再找一点P 0，则|P 0A |＋|P 0C |＝|P 0A ′|＋|P 0C |＞|A ′C |[活学活用]求函数f (x )＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值．[随堂即时演练]1．(2012·济宁高一检测)已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( ) A ．2 B ．4 C ．5D.172．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x －y ＝4}，那么集合M ∩N 为( ) A ．{3，－1} B ．3，－1 C ．(3，－1)D ．{(3，－1)}3．经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0垂直的直线l 的方程为________． 4．点A (4,5)关于直线l 的对称点为B (－2,7)，则直线l 的方程为________．5．已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM |＝12|BC |.3．3.3 & 3.3.4 点到直线的距离 两条平行线间的距离[导入新知]点到直线的距离与两条平行线间的距离点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长度 公式点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)之间的距离 d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2[化解疑难]1．点到直线的距离公式需注意的问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P 0(x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离，应先把直线方程化为kx －y ＋b ＝0，得d ＝|kx 0－y 0＋b |k 2＋1.2．点到几种特殊直线的距离 (1)点P 0(x 0，y 0)到x 轴的距离d ＝|y 0|； (2)点P (x 0，y 0)到y 轴的距离d ＝|x 0|；(3)点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝b (b ≠0)的距离d ＝|y 0－b |； (4)点P (x 0，y 0)到与y 轴平行的直线x ＝a (a ≠0)的距离d ＝|x 0－a |. 3．对平行线间的距离公式的理解(1)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x ，y 的系数对应相等． (2)当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决 ①两直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则d ＝|x 2－x 1|； ②两直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则d ＝|y 2－y 1|.点到直线的距离[例1] 求点P (3，－2)到下列直线的距离：(1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.[解] (1)直线y ＝34x ＋14化为一般式为3x －4y ＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3×3－4×(－2)＋1|32＋(－4)2＝185. (2)因为直线y ＝6与y 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x ＝4与x 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|3－4|＝1. [类题通法]应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．[活学活用]1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A.2 B ．2－ 2 C.2－1D.2＋12．点P (2,4)到直线l ：3x ＋4y －7＝0的距离是________．两平行线间的距离[例2] 求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程． [解] 法一：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0. 在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0(0，12)，则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为|－12×12＋C |52＋(－12)2＝|C －6|13，由题意，得|C －6|13＝2，所以C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 法二：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋(－12)2，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. [类题通法]求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等．[活学活用]3．(2012·岳阳高一检测)两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为________．距离的综合应用[例3] 求经过点P (1,2)，且使A (2,3)，B (0，－5)到它的距离相等的直线l 的方程．[解] 法一：当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)．由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0.法二：由平面几何知识知l ∥AB 或l 过线段AB 的中点． ∵直线AB 的斜率k AB ＝4，若l ∥AB ，则l 的方程为4x －y －2＝0.若l 过AB 的中点(1，－1)，则直线方程为x ＝1， 故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0. [类题通法]解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l 的特征，然后由已知条件写出l 的方程．[活学活用]4．求经过两直线l 1：x －3y －4＝0与l 2：4x ＋3y －6＝0的交点，且和点A (－3,1)的距离为5的直线l 的方程．9.漏掉直线斜率不存在的情况[典例] 直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1，l 2的方程． [解] (1)若直线l 1，l 2的斜率存在①，设直线的斜率为k ，由斜截式得l 1的方程y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0.由点斜式可得l 2的方程为y ＝k (x －5)，即kx －y －5k ＝0.因为直线l 1过点A (0,1)，则点A 到直线l 2的距离d ＝|－1－5k |(－1)2＋k 2＝5，∴25k 2＋10k ＋1＝25k 2＋25，∴k ＝125，∴l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，l 2的方程为12x －5y －60＝0.(2)若l 1，l 2的斜率不存在①，则l 1的方程为x ＝0，l 2的方程为x ＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件． 综上所述，满足条件的直线方程有两组：l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0；或l 1：x ＝0，l 2：x ＝5.[易错防范]1．①处容易漏掉l 1，l 2的斜率都不存在的情形而导致错误．2．用待定系数法求直线方程时，一定要对斜率是否存在的情况进行讨论． [成功破障]经过点A (1,2)且到原点的距离等于1的直线方程为________．[随堂即时演练]1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．2D. 52．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2。
职高学生解直线方程
职高学生解直线方程直线方程是高中平面解析几何中的一个重要内容，也是学生学习的一个难点.因为这部分内容涉及点斜式、斜截式、两点式和截距式四个公式，对于本来基础较弱的职高生来说更难，学完后过段时间基本上记不住直线方程的形式.本人经过多年职高教学，总结出解直线方程的简易方法，就是以不变应万变，所有直线方程都用y=kx+b.一、我们先了解直线方程的四种形式(一)点斜式已知直线l的斜率是k，并且经过点p1(x1，y1)，求直线l的方程.设点p(x，y)是直线l上不同于p1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得k=y-y1[]x-x 1.(1)可化为y-y1=k(x-x1).(2)(二)斜截式已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为k，求直线的方程.这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0).也就是y=kx+b,叫做直线的斜截式方程.(三)两点式已知直线l上的两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，(x1≠x2)，求直线l的方程.∵x1≠x2,k=y2-y1[]x2-x1,∴直线的方程为y-y1=y2-y1[]x2-x1(x-x1).当y1≠y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成y-y1[]y2-y1=x-x1[]x2-x 1.(四)截距式已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0，b≠0)，求直线l的方程.解因为直线l过a(a，0)和b(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得y-0[]b-0=x-a[]0-a.就是x[]a+y[]b=1.二、怎样用y=kx+b解直线方程例1 已知直线斜率5，且过p（1，2），求直线方程.解法一典型的点斜式：y-y1=k(x-x1).代入已知条件得方程y-2=5(x-1).解法二斜截式：y=kx+b.代入已知条件2=5×1+b，解得 b=-3.所以直线方程为y=5x-3.例2 已知p（1，2），q（2，4），求过pq的直线方程.解法一典型的两点式（略）.解法二斜截式：y=kx+b.代入已知条件得方程组2=k+b， (1)4=2k+b.(2)得k=2，b=0.所以直线方程为y=2x.例3 已知直线在x轴的截距是3，在y轴的截距是6，求直线方程.解法一截距式（略）.解法二斜截式：y=kx+b.已知直线在x轴的截距是3，即直线过点（3，0）.在y轴的截距是6,即直线过点（0，6）.代入0=3k+b，得6=0+b，解得：b=6，k=-2.所以直线方程为y=-2x+6.三、注意事项斜截式只有斜率存在时方可使用.如图，当直线的斜率为90方程不能用斜截式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x 1.。
回归直线方程与独立性检验-讲义(学生版)
回归直线方程与独立性检验一、课堂目标1、明确建立回归模型的基本步骤、熟练运用线性回归模型解决非线性相关问题．2、能够运用独立性检验对两个分类变量是否线性相关作出判断．二、直击高考知识模块知识内容全国卷常见题型回归分析一元线性回归模型2020年全国三卷18题解答题回归直线方程独立性检验分类变量2020年全国二卷18题解答题三、知识讲解1. 回归分析知识回顾方法提升考点一：回归直线方程的求解对于一组具有线性相关关系的数据：，，，，，我们知道其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：其中，，称为样本点的中心，位于回归直线上．【思想方法与技巧】利用线性相关回归分析处理非线性问题:研究两个变量的关系是，我们常常根据样本生成点坐标在平面直角坐标系中作出散点图，观察散点图中样本点的分布．从整体看，如果样本点并没有分布在某一条直线附近，这两个变量之间不具有线性相关关系，也就是非线性相关关系．考点二：相关系数的求解对于变量与随机抽到的对数据，，，，，可以利用相关系数来衡量两个变量之间线性相关关系，样本相关系数的计算公式为：．【思想方法与技巧】利用相关系数评判结果如下：（1）时，表示两个变量正相关；（2）时，表示两个变量负相关；（3）越接近于，表明两个变量的线性相关程度越强；（4）越接近于，表明两个变量的线性相关程度越弱．高考链接1.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积（单（1）（2）（3）位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得，，，，．附：相关系数，．求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）．求样本的相关系数（精确到）．根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．（1）（2）2.下图是某地区年至年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据年至年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：．根据年至年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．年份投资额分别利用这两个模型，求该地区年的环境基础设施投资额的预测值．你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．3.下图是我国年至年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（1）（2）年份代码年生活垃圾无害化处理量注：年份代码分别对应年亿吨参考数据：，，，．参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明．建立关于的回归方程（系数精确到），预测年我国生活垃圾无害化处理量．方法应用4.随着互联网的兴起，越来越多的人选择网上购物．某购物平台为了吸引顾客提升销售额，每年双十一都会进行某种商品的促销活动，该商品促销活动规则如下：①“价由客定”，即所有参与该商品促销活动的人进行网络报价，每个人并不知晓其他人的报价也不知道参与该商品促销活动的总人数；②报价时间截止后，系统根据当年双十一该商品数量配额，按照参与该商品促销活动人员的报价从高到低分配名额；③每人限购一件，且参与人员分配到名额时必须购买，某位顾客拟参加年双十一该商品促销活动，他为了预测该商品最低成交价，根据该购物平台的公告统计了最近年双十一参与该商品促销活动的人数（见表）：年份年份编号参与人数（百万人）12（2）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模拟拟合参与人数（百万人）与年份编号之间的相关关系．请用最小二乘法求关于的线性回归方程：，并预测年双十一参与该商品促销活动的人数．该购物平台调研部门对位拟参与年双十一该商品促销活动人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如下的一份频数表：报价区间（千元）频数求这位参与人员报价的平均值和样本方差（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）．假设所有参与该商品促销活动人员的报价可视为服从正态分布且与可分别由①中所求的样本平均值和样本方差估值，若预计年双十一该商品最终销售量为，请你合理预测（需说明理由）该商品的最低成交价．参考公式及数据（）回归方程：，其中，．（），，．（）若随机变量服从正态分布，则，，．5.我国全面二孩政策已于年月日起正式实施，国家统计局发布的数据显示，从年到年，中国的人口自然增长率变化始终不大，在上下波动（如图）．中国内地总人口和自然增长率总人口自然增长率出生率（万人）为了了解年龄介于岁至岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何，统计部门按年龄分为组，每组选取对夫妻进行调查，统计有生育二孩意愿的夫妻数，得到下表：‰（1）（2）有意愿数（参考数据和公式：，，，，，）设每个年龄区间的中间值为 ，有意愿数为，求样本数据的线性回归直线方程，并求该模型的相关系数（结果保留两位小数）．从，，，，这五个年龄段中各选出一对夫妻（能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿）进一步调研，再从这对夫妻中任选对夫妻，设其中不愿意生育二孩的夫妻数为，求的分布列和数学期望．（1）（2）6.某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取个家庭，得到数据如下：家庭编号月收入（千元）月支出（千元）参考公式：回归直线的方程是：，其中，，．据题中数据，求月支出（千元）关于月收入（千元）的线性回归方程（保留一位小数）；从这个家庭中随机抽取个，记月支出超过千家庭个数为，求的分布列与数学期望．7.如表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：学号数学物理学号数学（1）（2）（3）理用这人的两科成绩制作如下散点图：物理数学学号为号的同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为号的同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将、两同学的成绩（对应于图中、两点）剔除后，用剩下的个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：数学学科平均分为，标准差为，物理学科的平均分为，标准差为，数学成绩与物理成绩的相关系数为，回归直线（如图所示）的方程为．若不剔除、两同学的数据，用全部的成绩作回归分析，设数学成绩与物理成绩的相关系数为，回归直线为，试分析与的大小关系，并在图中画出回归直线的大致位置．如果同学参加了这次物理考试，估计同学的物理分数（精确到个位）．就这次考试而言，学号为号的同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平可按公式统一化成标准分再进行比较，其中为学科原始分，为学科平均分，为学科标准差）．（1）（2）8.已知某校个学生的数学和物理成绩如下表：学生的编号数学物理若在本次考试中，规定数学在分以上（包括分）且物理在分以上（包括分）的学生为理科小能手．从这个学生中抽出个学生，设表示理科小能手的人数，求的分布列和数学期望．通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用表示数学成绩，用表示物理成绩，求与的回归方程．参考公式：，其中，．（1）（2）某调查机构为了了解某产品年产量（吨）对价格（千元/吨）和利润的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计如下表：求关于的线性回归方程若每吨该产品的成本为千元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润取到最大值?参考公式：，．（1）（2）10.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间进行分析研究，他们分别记录了月日至月日的每天昼夜温差与实验室每天每棵种子中的发芽数，得到如下资料：日期月日月日月日月日月日温差摄氏度发芽颗该农科所确定的研究方案是：先从这组数据中选取组数据求线性回归方程，再用剩下的组数据进行检验．若选取的组数据恰好是连续天的数据（表示数据来自互不相邻的三天），求的分布列及期望．根据月日至日数据，求出发芽数关于温差的线性回归方程．由所求得线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？附：参考公式：，．（1）11.在年俄罗斯世界杯期间，莫斯科的部分餐厅经营了来自中国的小龙虾，这些小龙虾均标有等级代码，为得到小龙虾等级代码数值与销售单价之间的关系，经统计得到如下数据：等级代码数值销售单价（元）已知销售单价与等级代码数值之间存在线性相关关系，求关于的线性回归方程（系数精（2）若莫斯科某个餐厅打算从上表的种等级的中国小龙虾中随机选种进行促销，记被选中的种等级代码数值在以下（不含）的数量为，求的分布列及数学期望．参考公式：对一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．（1）（2）12.某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润．该公司年至年的年利润关于年份代号的统计数据如下表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）：年份年份代号年利润（单位：亿元）求关于的线性回归方程，并预测该公司年（年份代号记为）的年利润．当统计表中某年年利润的实际值大于由（）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为级利润年，否则称为级利润年．将（）中预测的该公司年的年利润视作该年利润的实际值，现从年至年这年中随机抽取年，求恰有年为级利润年的概率．参考公式：，．2. 独立性检验知识回顾方法提升考点：独立性检验求解步骤（1）准确作出列联表；（2）统计假设成立；（3）计算；（4）将上一步计算得到的观测值与临界值比较，从而接收或拒绝假设．【思想方法与技巧】1、在列联表中，越小，说明两个分类变量之间关系越弱；越大，说明两个分类变量之间关系越强．2、（1）制作列联表时要注意表中相关数据的位置及对应，避免出错；（2）作的列联表的独立性检验时，要求表中的个数据都要大于，因此，在选取样本容量时一定要注意．高考链接13.某学生兴趣小组随机调查了某市天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）（2）（3）锻炼人次空气质量等级（优）（良）（轻度污染）（中度污染）分别估计该市一天的空气质量等级为，，，的概率．求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．若某天的空气质量等级为或，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为或，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的列联表；并根据列联表，判断是否有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次人次空气质量好空气质量不好附：．第一种生产方式第二种生产方式14.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取名工人，将他们随机分成两组，每组人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：）绘制了如下茎叶图：（1）（2）（3）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由．求名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：超过不超过第一种生产方式第二种生产方式根据（）中的列联表，能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：，（1）（2）（3）15.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其频率直方图如下：频率组距箱产量旧养殖法频率组距箱产量新养殖法附：．设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件：旧养殖法的箱产量低于， 新养殖法的箱产量不低于，估计的概率．填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关．箱产量箱产量旧养殖法新养殖法根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到）．方法应用（1）（2）（3）16.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）人数求这名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过天为标准进行分层抽样，从上述名患者中抽取人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关．潜伏期天潜伏期天总计岁以上（含岁）岁以下总计附：，其中．以这名患者的潜伏期超过天的频率，代替该地区名患者潜伏期超过天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了名患者，其中潜伏期超过天的人数最有可能（即概率最大）是多少？17.为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在以内，规定质量指标值大于的产品为优质品，质量指标值在的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．（1）（2）（3）频率组距质量指标值质量指标值频数合计请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有的把握认为“产品质量高与新设备有关”．非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计附：，其中．用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取件产品，其中优质品数为件，求的分布列及数学期望．18.冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，可爱的医务工作者行动会更方便，石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜，从石墨分离石墨烯的一（1）（2）种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶，现在有材料，材料供选择，研究人员对附着在材料，材料上再结晶各做了次试验，得到如下等高条形图．材料试验结果材料试验结果石墨烯再结晶试验试验成功试验失败根据上面的等高条形图，填写如下列联表，判断是否有的把握认为试验成功与材料有关．材料材料合计成功不成功合计研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及胶层，②石墨烯层，③表面封装层，第一，二环节生产合格的概率均为，第三个环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立，已知生产吨的石墨烯发热膜的固定成本为万元，若生产不合格还需进行修复，第三个环节的修复费用为元，其余环节修复费用均为元．如何定价，才能实现每生产吨石墨烯发热膜获利可达万元以上的目标．附：参考公式：，其中．19.由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的年度全国“最美中学生”寻访活动结果出炉啦，此项活动于年月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”．现随机抽取了名学生的票数，绘成如图所示的茎叶图，若规定票数在票以上（包括票）定义为风华组．票数在票以下（不包括票）的学生定义为青春组．（1）（2）（3）在这名学生中，青春组学生中有男生人，风华组学生中有女生人，试问有没有的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关．如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取人，再从这人中随机抽取人，那么至少有人在青春组的概率是多少？用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取人，用表示所选人中青春组的人数，试写出的分布列，并求出的数学期望．附：；其中，独立性检验临界表：（1）（2）（3）20.为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记．由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验．在某普查小区，共有家企事业单位，家个体经营户，普查情况如下表所示：普查对象类型顺利不顺利合计企事业单位个体经营户合计写出选择个国家综合试点地区采用的抽样方法．根据列联表判断是否有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”．以频率作为概率，某普查小组从该小区随机选择家企事业单位，家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为，写出的分布列，并求的期望值．附：．（1）（2）（3）21.黄冈市有很多名优土特产，黄冈市的蕲春县就有闻名于世的“蕲春四宝”（蕲竹、蕲艾、蕲蛇、蕲龟），很多人慕名而来旅游，通过随机询问名不同性别的游客在购买“蕲春四宝”时是否在来蕲春县之前就知道“蕲春四宝”，得到如下列联表：男女总计事先知道“蕲春四宝”事先不知道“蕲春四宝”总计附：．写出列联表中各字母代表的数字．由以上列联表判断，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为购买“蕲春四宝”和是否“事先知道’蕲春四宝’有关系”？从被询问的名事先知道“蕲春四宝”的顾客中随机选取名顾客，求抽到的女顾客人数的分布列及其数学期望．（1）22.在一次爱心捐款活动中，小李为了了解捐款数额是否和居民自身的经济收入有关，随机调查了某地区的个捐款居民每月平均的经济收入．在捐款超过元的居民中，每月平均的经济收入没有达到元的有个，达到元的有个；在捐款不超过元的居民中，每月平均的经济收入没有达到元的有个．参考数据当时，无充分证据判定变量，有关联，可以认为两变量无关联；当时，有的把握判定变量，有关联；当时，有的把握判定变量，有关联；当时，有的把握判定变量，有关联．附：，其中．在下图表格空白处填写正确数字，并说明是否有以上的把握认为捐款数额是否超过元和居民每月平均的经济收入是否达到元有关？每月平均经济收入达到元每月平均经济收入没有达到元合计捐款超过元 捐款不超过元（2）合计将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量居民中，采用随机抽样方法每次抽取个居民，共抽取次，记被抽取的个居民中经济收入达到元的人数为，求和期望的值．（1）（2）23.2016年月日，“国际教育信息化大会”在山东青岛开幕．为了解哪些人更关注“国际教育信息化大会”，某机构随机抽取了年龄在岁之间的人进行调查，某机构随机抽取了在之间的人进行调查，经统计“青少年”与“中老年”的人数之比为．根据已知条件完成下面的列联表，并判断能否有的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”．关注不关注合计青少年中老年合计现从抽取的青少年中采取分层抽样的办法选取人进行问卷调查，在这人中再选取人进行面对面询问，记选取的人中关注“国际教育信息化大会”的人数为，求的分布列及数学期望．附：参考公式：，其中．临界值表：（1）（2）24.为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在名男性驾驶员中，平均车速超过的有人，不超过的有人．在名女性驾驶员中，平均车速超过的有人，不超过的有人．完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为平均车速超过的人与性别有关．平均车速超过人数平均车速不超过人数合计男性驾驶员人数 女性驾驶员人数合计以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取辆，记这辆车中驾驶员为男性且车速超过的车辆数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望．参考公式与数据：，其中，对服务满意对服务不满意合计对商品满意 对商品不满意合计（1）（2）25.近年来，我国电子商务蓬勃发展．年“”期间，某网购平台的销售业绩高达亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统．从该评价系统中选出次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为，对服务的满意率为，其中对商品和服务都满意的交易为次．根据已知条件完成下面的列联表，并回答能否有的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量，求的分布列和数学期望．附：（其中为样本容量）26.万众瞩目的第届全国冬季运动运会（简称“十四冬”）于年月日在呼伦贝尔市盛大开幕，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如图频数分布直方图：。
二轮专题复习第7讲解析几何(学生版)
2023年高考数学二轮复习专题解析几何1.直线的倾斜角与斜率的关系（1）倾斜角α的取值范围： .倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k ＝ ，当倾斜角为=α90°的直线斜率 ．当∈α 时，k >0且k 随倾斜角α的增大而增大．当∈α 时时，k <0且k 随倾斜角α的增大而增大．（1）两点P 1(x 1，y 1)，P (x 2，y 2)间的距离：|P 1P 2|＝ . （2）点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝ . (3)两条平行线间的距离：两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝ . 二．圆的方程 1.圆的方程形式：（1）标准方程： ，圆心坐标为 ，半径为 .（2）一般方程： ( )，圆心坐标为 ，半径r ＝ . 2.点与圆的位置关系（1）几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断：d >r ⇔点在圆外，d ＝r ⇔点在圆上；d <r ⇔点在圆内．（2）代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r 2(或0)作比较，大于r2(或0)时，点在圆外；等于r2(或0)时，点在圆上；小于r2(或0)时，点在圆内．3.直线与圆的位置关系直线l ：Ax＋By ＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系如下表.位置关系几何法：根据d＝与r的大小关系代数法：联立消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号相交d<r Δ>0相切d＝r Δ＝0相离d>r Δ<0 4.圆与圆的位置关系表现形式位置关系几何表现：圆心距d与r1、r2的关系代数表现：两圆方程联立组成的方程组的解的情况相离d>无解外切d＝一组实数解相交<d<两组不同实数解内切d＝(r1≠r2)一组实数解内含≤d<(r1≠r2)无解三．椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质椭圆双曲线抛物线定义在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫．||P F1|＋|P F2|＝2a(2a>|F1F2|=2c)在平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对值为常数2a(0＜2a＜2c)，则点P的轨迹叫．||P F1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)在平面内定点F和定直线l，（点F直线l上），P到l距离为d，|PF|＝d标准方程焦点在x轴上焦点在x轴上焦点在x轴正半轴上图象几何性质范围|x|≤，|y|≤|x|≥，y∈R x≥，y∈R 顶点，对称性关于、和对称关于对称例1：(1)经过两点A (4，2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝(2)直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是 (3)经过点P (3,2)且在两坐标轴上的截距相等；(4)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍．【变式训练1】(1)若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，且α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是________．(2)直线l 过点M (－1,2)且与以点P (－2，－3)、Q (4,0)为端点的线段恒相交，则l 的斜率范围是（3）△ABC 的三个顶点为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)，求： ①BC 所在直线的方程；②BC 边上中线AD 所在直线的方程；③BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程．考向2：两条直线的位置关系及距离公式例2：（1）若直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0互相平行，则实数m 的值为（2）已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝ (3)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．(4)若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________．【变式训练2】 (1)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的 条件。
高中数学-直线系、圆系方程(学生版)
专题：直线系方程一、直线系方程的概念：具有某种共同性质的所有直线的集合，它们的方程叫直线系方程二、直线系方程1.过定点的直线系：过定点),(00y x P 的直线系方程为： 注：方程0)()(00=-+-y y B x x A （B A ,为待定系数）包括过点),(00y x P 的所有直线，而方程)(00x x k y y -=-（k 为待定系数）不包括直线0x x =，所以设直线的点斜式方程时要先对直线的斜率存不存在进行讨论2.平行直线系：与直线l ：0=++C By Ax 平行的直线系方程为： 例1.求与直线0143=++y x 平行且过点)2,1(A 的直线l 的方程练习：求与直线0143=++y x 平行横纵截距之和为37的直线l 的方程3.垂直直线系：与直线l ：0=++C By Ax 垂直的直线系方程为： 例2.求与直线0102=-+y x 垂直且过点)1,2(A 的直线l 的方程练习：求与直线0143=++y x 垂直横纵截距之和为1的直的直线l 的方程4.过交点的直线系：若直线1l ：0111=++C y B x A 与直线2l ：0222=++C y B x A 相交于点为),(00y x P ，则方程 表示 ，它包括 ，但不包括 注：过交点P 的直线系方程也可以用方程0)()(222111=+++++C y B x A C y B x A μλ（μλ,为待定系数），它包括过交点P 的所有直线，但此时方程中有两个参数μλ,例3.求过直线1l ：042=+-y x 与直线2l ：02=-+y x 的交点且满足下列条件的直线l 方程（1）过点)1,2(-P ；（2）与直线062=+-y x 平行；（3）与直线0543=+-y x 垂直例4.已知直线l ：0)1()2()1(=++-+-m y m x m ，求证：无论m 取何实数,直线l 恒过定点,并求出定点坐标例5.已知直线l ：0355=+--a y ax ，（1）求证：无论a 为何值，直线l 总过第一象限，（2）求证：为使直不过第二象限，求a 的取值范围专题：圆系方程一、圆系方程的概念：具有某种共同性质的所有圆叫圆系，它们的方程叫圆系方程二、圆系方程1.同心圆系：以定点),(b a C 为圆心的圆系方程为2.过直线和圆交点的圆系：已知直线l ：0=++C By Ax 和圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，则（1）若直线l 与圆C 相交，则方程 表示（2）若直线l 与圆C 相切于点P ，则方程 表示表示例1.已知圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 交于Q P ,两点，且以PQ 为直径的圆过原点，求m 的值练习：求过直线l ：042=++y x 与圆C ：014222=+-++y x y x 的交点且满足下列条件的圆的方程（1）面积最小（2）圆心在直线012=++y x 上3.与已知圆切于圆上一点的圆系方程：已知点),(b a P 为圆C ：022=++++F Ey Dx y x 上一点，则与圆C 切于点P 的圆系方程为0])()[(2222=-+-+++++b y a x F Ey Dx y x λ（λ为参数，1-≠λ）若1-=λ，则方程0])()[(2222=-+-+++++b y a x F Ey Dx y x λ（λ为参数）表示圆C 在点P 处的切线方程例2.求过点)1,4(-且与圆C ：056222=+-++y x y x 切于点)2,1(B 的圆的方程4.过两圆交点的圆系方程：已知圆1C ：011122=++++F y E x D y x 和圆2C ：022222=++++F y E x D y x ，则（1）若圆1C 与圆2C 相交于B A ,两点，则 表示 ，它包括 ，但不包括 ，当1-=λ时，方程变为 ，表示（2）若圆1C 与圆2C 相切与点P ，则表示 ，它包括 ，但不包括 ，当1-=λ时，方程变为 ，表示（3）若圆1C 与圆2C 相离，则方程0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 表示某条与两圆连心线垂直的直线方程例3.求过圆1C ：04622=-++x y x 与圆2C ：028622=-++y y x 的交点且圆心在直线l ： 04=--y x 上的圆C 的方程例 4.已知过圆1C ：016222=+-++y x y x ，圆2C ：0112422=-+-+y x y x ，求两圆的公共弦所在的直线方程例5.已知圆C ：422=+y x 及点)4,3(P ，过P 作圆C 的两条切线PB PA ,，B A ,为切点，求弦AB 所在的直线方程。
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直线与直线方程
一、直线的倾斜角和斜率
（1）倾斜角定义：平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，
把__x 轴(正方向)_按__逆时针__方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角， 叫作直线l 的倾斜角。
（0°≤α<180°）
（2）斜率k=tan α=121
2x x y y -- （0°≤α＜180°），当α=90时，k 不存在。
（两种求
法，注意21x x =的情况）
（3）函数y=tanx 在)90,0[0增加的，在)180,90(00也是增加的。
例1：过点M （-2，m ）,N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为 。
例3：已知直线l 经过点P （1,1），且与线段MN 相交，又M （2，-3），N （-3，-2），
求直线l 的斜率k 的取值范围。
练习：
1经过点P (2，m )和Q (2m ，5)的直线的斜率等于1
2，则m 的值是( )
A ．4
B ．3
C ．1或3
D ．1或4
2. 已知直线l 过P(－1，2)，且与以A(－2，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围． 点
二、两直线的平行与垂直
1.平行的判定：
2. 垂直的判定：。
练习：
的值平行，求实数与直线已知直线a ay x a l ay x l 01)13(:012:.121=---=-+
的值
平行，求实数与直线已知直线a y a x a l ay x a l 03)2()2(:013)2(:.221=-++-=+++
3.求a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？
4.求过点P (1，－1)，且与直线l 2：2x ＋3y ＋1＝0垂直的直线方程．
三、直线的方程
1、点斜式: y-y 0=k (x －x 0) (斜率存在，可为0)
1、 斜截式： y=kx +b (b 是与y 轴的交点) (斜率存在，可为0)
2、 两点式:
121y y y y --=1
21
x x x x -- (斜率存在，不能为0)
3、 一般式：A x +B y +C=0 (任意直线
)
4、 截距式：a x +b
y
=1 (斜率存在且不过原点且不为0)
典型例题
表示
b ＋kx ＝y 的直线直线都可以用b)，A(0．经经过定D 1表表by x 可以用方程．不经不经过原点的直C 表示)y －)(y x －(x ＝)x －)(x y －(y 程 的直线直线都可以)y ，(x P 、)y ，(x P ．经经过任意两个不同B 表示)x －k(x ＝y －y 的直线直线都可以用)y ，(x P ．经经过定A )
(四种种法中正确的1.下12112122211100000=+a 面例
例2.求过定点P (2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
例4.方程(m 2
－2m －3)x ＋(2m 2
＋m －1)y ＝2m －6满足下列条件，请根据条件分别确定实数m 的值．
(1)方程能够表示一条直线；
(2)方程表示一条斜率为－1的直线．
例5.直线l 的方程为(a －2)y ＝(3a －1)x －1(a ∈R)． (1)求证：直线l 必过定点；
(2)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (3)若直线l 不过第二象限，求实数a 的取值范围．（答案：分斜率存在与不存在）
练习：
1.若直线7x ＋2y －m ＝0在两坐标轴上的截距之差等于5，则m ＝( ) A ．14 B ．－14 C ．0 D ．14或－14 2、直线过点（3,2），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。
3、经过点A （-1,8），B （4，-2）的直线方程。
4、已知A(1,2), B （3,1），求线段AB 的垂直平分线方程。
四、直线的交点坐标与距离公式
1、求两条直线的交点（联立方程组）
例（1）若三条直线：2x+3y+8=0,x-y-1=0 和x +ky +k+2
1
=0相交于一点，则k=
（2）已知直线l 1：x+y+2=0, l 2：2x-3y-3=0,求经过的交点且与已知直线3x +y -1=0平行的直线l 的方程。
2、 两点间的距离公式︱P 1P 2︱=
212212)()(y y x x -+-
例（1）已知点A （a,-5）与B （0,10）间的距离是17，求a 的值。
五、点到直线的距离
例1：求点A(-2,3)到直线 l :3x+4y+3=0的距离 d= 。
例2：已知点（a,2）到直线l: x-y+1=0的距离为2，则a= 。
(a ＜0)
例3:求直线 y=2x+3关于直线l : y=x+1对称的直线方程。
练习：
2.求过点M (－2，1)且与A (－1，2)，B (3，0)两点距离相等的直线方程．
3.已知点A (a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( )
A. 2
B ．2－2 C.2－1
D.2＋1
六、两平行直线间的距离
例1：求平行直线l 1:2x-7y-8=0与l 2:6x-21y-1=0的距离
例2：已知直线l 1：（t+2）x +(1-t)y=1与 l 2：（t-1）x+(2t+3)y+2=0相互垂直，求t 的值。
例3：求点A （2,2）关于直线2x-4y+9=0的对称点坐标。
练习：
1. 两条互相平行的直线分别过点A (6，2)和B (－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d ， 求：(1)d 的变化范围；(2)当d 取最大值时，两条直线的方程．
2.求与直线l：5x－12y＋6＝0平行，且到l的距离为2的直线的方程．。