《函数的零点与方程的解》指数函数与对数函数ppt
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《函数的零点与方程的解》指数函数与对数函数
02
指数函数
指数函数的性质
定义域
指数函数的定义域为全 体实数。
值域
指数函数的值域为(0, +∞)。
奇偶性
当a>1时，指数函数在 (0, +∞)上单调递增；当 0<a<1时，指数函数在
(0, +∞)上单调递减。
指数函数的图像与性质
图像
指数函数的图像是一条经过原点的直线。
、分解因式法等。
函数的零点与方程的解的关系
03
探讨了函数的零点与方程的解之间的关系，以及如何利用函数
的零点求解方程。
对未来学习的展望
进一步学习复杂函数的性质与解法
可以进一步学习复合函数、三角函数等复杂函数的性质和解法，以及如何利用这些性质求 解更复杂的方程。
深入理解函数的零点与方程的解的关系
可以进一步探讨函数的零点与方程的解之间的深层关系，以及如何利用这种关系解决实际 问题。
指数函数与对数函数的单调性比较
指数函数单调性
当底数大于1时，指数函数在其定义域上单调递增；当底数小 于1时，指数函数在其定义域上单调递减。
对数函数单调性
对数函数在其定义域的某个区间内单调递增或递减，具体取 决于底数的取值范围。
指数函数与对数函数的应用比较
指数函数应用
在金融、经济、科学计算等领域中， 指数函数被广泛应用于计算复利、描 述人口增长、放射性物质衰变等过程 。
对于形如y=a^x+b (a>0且a≠1)的方 程，其解为x=log_a(-b)。
03
对数函数
对数函数的性质
01
02
03
04
定义域
对数函数的定义域为正实数集 。
高中数学统编版第一册第四章指数函数与对数函数4.5.1函数的零点与方程的解课件
续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)
内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
课前篇
自主预习
一
二
三
3.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是间断的,上述定理成立吗?
提示:不一定成立,由下图可知.
4.反过来,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条
思想方法
随堂演练
1
8
解:(1)令-8x2+7x+1=0,解得 x=- 或 x=1.
1
所以函数的零点为-8,1.
1
3
(2)令 1+log3x=0,即 log3x=-1,解得 x= .
1
所以函数的零点为3.
(3)令4x-16=0,即4x=42,解得x=2.
所以函数的零点为2.
反思感悟 因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解,也是函数
y=f(x)的图象与x轴公共点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种
方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;
二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴公共点的横坐标即
为函数的零点.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
随堂演练
变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数
)
答案:×
6.做一做:
函数f(x)=x3+2x+1的零点一定位于下列哪个区间上(
)
A.[-2,-1]
B.[-1,0]
内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
课前篇
自主预习
一
二
三
3.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是间断的,上述定理成立吗?
提示:不一定成立,由下图可知.
4.反过来,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条
思想方法
随堂演练
1
8
解:(1)令-8x2+7x+1=0,解得 x=- 或 x=1.
1
所以函数的零点为-8,1.
1
3
(2)令 1+log3x=0,即 log3x=-1,解得 x= .
1
所以函数的零点为3.
(3)令4x-16=0,即4x=42,解得x=2.
所以函数的零点为2.
反思感悟 因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解,也是函数
y=f(x)的图象与x轴公共点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种
方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;
二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴公共点的横坐标即
为函数的零点.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
随堂演练
变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数
)
答案:×
6.做一做:
函数f(x)=x3+2x+1的零点一定位于下列哪个区间上(
)
A.[-2,-1]
B.[-1,0]
《函数的应用》指数函数与对数函数课件(第1课时函数的零点与方程的解)-高中数学A版必修一PPT课件
1．函数的零点 对于函数 y＝f(x)，把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．
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5
思考
PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuw en/ 英语课件：/kejian/ying yu/ 科学课件：/kejian/kexu e/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 地理课件：/kejian/dili/
点与方程根的关系．(易混点)
2．会求函数的零点．(重点)
3．掌握函数零点存在定理并会判断
函数零点的个数．(难点)
1.借助零点的求法培养数学运算和 逻辑推理的素养． 2．借助函数的零点同方程根的关系， 培养直观想象的数学素养.
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自
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第四章指数函数与对数函数
4．5函数的应用(二)
第1课时 函数的零点与方程的解
2
学习目标
核心素养
PPT模板：/moban/
PPT素材：/sucai/
PPT背景：/beijing/
PPT图表：/tubiao/
科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wul i/
化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/she ngwu/
地理课件：/kejian/dili/
高中数学指数函数与对数函数4.54.5.1函数的零点与方程的解课件
[提示] 不能．
3.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点．( ) (2)若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内 有且只有一个零点．( ) (3)若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0.( ) [答案] (1)× (2)× (3)×
法二：令h(x)＝2－2x，g(x)＝lg(x＋1)， 在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图 象如图所示．
由图象知g(x)＝lg(x＋1)和h(x)＝2－2x的 图象有且只有一个公共点，即f(x)＝2x＋lg(x ＋1)－2有且只有一个零点．
判断函数零点个数的常用方法 (1)直接法：解方程f(x)＝0，方程f(x)＝0解的个数就是函数f(x)零点 的个数． (2)图象法：直接作出函数f(x)的图象，图象与x轴公共点的个数就 是函数f(x)零点的个数． (3)f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系中 作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，则两个图象公共点的个数就是函数y ＝f(x)零点的个数．
(1)定理要求具备两个条件：①函数在区间[a，b]上的图象 是连续不断的；②f(a)f(b)<0.两个条件缺一不可．
(2)利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能确定 零点的个数．
2.函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲 线，f(a)f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？
谢谢观看 THANK YOU!
A．21 C．0，12 A [由2x－1＝0得x＝12.]
B．12，0 D．2
3.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点．( ) (2)若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内 有且只有一个零点．( ) (3)若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0.( ) [答案] (1)× (2)× (3)×
法二：令h(x)＝2－2x，g(x)＝lg(x＋1)， 在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图 象如图所示．
由图象知g(x)＝lg(x＋1)和h(x)＝2－2x的 图象有且只有一个公共点，即f(x)＝2x＋lg(x ＋1)－2有且只有一个零点．
判断函数零点个数的常用方法 (1)直接法：解方程f(x)＝0，方程f(x)＝0解的个数就是函数f(x)零点 的个数． (2)图象法：直接作出函数f(x)的图象，图象与x轴公共点的个数就 是函数f(x)零点的个数． (3)f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系中 作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，则两个图象公共点的个数就是函数y ＝f(x)零点的个数．
(1)定理要求具备两个条件：①函数在区间[a，b]上的图象 是连续不断的；②f(a)f(b)<0.两个条件缺一不可．
(2)利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能确定 零点的个数．
2.函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲 线，f(a)f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？
谢谢观看 THANK YOU!
A．21 C．0，12 A [由2x－1＝0得x＝12.]
B．12，0 D．2
1 4．5.1函数的零点与方程的解(共40张PPT)
x＋1，x≤0， 1．函数 f(x)＝log2x，x>0 的所有零点构成的集合为
()
A．{1}
B．{－1}
C．{－1，1}
D．{－1，0，1}
解析：选 C.当 x≤0 时，f(x)＝x＋1＝0⇒x＝－1；当 x>0 时，f(x)＝log2x＝
0⇒x＝1，所以函数 f(x)的所有零点构成的集合为{－1，1}．
(2)判断函数存在零点的 2 种方法 ①方程法：若方程 f(x)＝0 的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来 判断函数是否存在零点或判定零点的个数． ②图象法：由 f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得 g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系 内作出 y1＝g(x)和 y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零 点的个数．
＝2x2－3x＋1 的零点是12，1.
3．函数 y＝x2－bx＋1 有一个零点，则 b 的值为
A．2
B．－2
C．±2
D．3
()
解析：选 C.因为函数有一个零点，所以 Δ＝b2－4＝0，所以 b＝±2.
4．函数 f(x)＝ex＋x－2 的零点所在的一个区间是
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1)
(2)法一：函数对应的方程为 ln x＋x2－3＝0， 所以原函数零点的个数即为函数 y＝ln x 与 y＝3－x2 的图象交点个数． 在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数 y＝3－x2 与 y＝ln x 的图象只有一个交点．从而 ln x＋x2 －3＝0 有一个根， 即函数 f(x)＝ln x＋x2－3 有一个零点．
2．若函数 f(x)＝x2－ax＋b 的两个零点是 2 和 3，则函数 g(x)＝bx2－ax－1
函数的零点与方程的解
y
a
0
b
x
三、讨论探究，揭示定理
第四章 指数函数与对数函数
思考2：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是连续不断的一条曲线，
那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内是否一定有零点？
y
这说明
了什么？
0
a
b
x
“在给定区间[a,b]上连续”和“f(a) f(b)<0”这两个条件缺一不可
三、讨论探究，揭示定理
THANK
YOU 谢谢五、学以致用源自小试牛刀第四章 指数函数与对数函数
练习4 函数f(x) = ex-1＋4x－4的零点所在区间为(
A．(-1，0)
B．(0，1)
)
C．(1，2)
D．(2，3)
【解析】因为f(－1) = e-2－4－4<0， f (0) = e-1－4<0，f (1) = e0+4－4>0，
二、晓以应用，理解概念
第四章 指数函数与对数函数
问题2：所有函数都存在零点吗？
问题3：什么条件下零点存在，存在一定唯一吗？
？？？
三、讨论探究，揭示定理
第四章 指数函数与对数函数
探究
y
给出二次函数 f (x)=x2－2x－3，观察它的图象，
它的两个零点所在大致区间分别是什么？
2
在零点所在区间内，函数图象与x轴有什么关
x
4
3
2
1
–4 –3 –2 –1O
–1
–2
1
x1=x2=－1
无实根
－1
无交点
2
3
x
一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫
《函数的零点与方程的解》指数函数与对数函数
VS
性质
对数函数具有非线性性质，它们在零点附 近变化缓慢，而在远离零点的地方变化迅 速。对数函数的基数a决定了函数的形状 和大小，a的值越大，函数在零点附近的 增长越快。
对数函数的图像与性质
图像
对数函数的图像在坐标系中呈现出“双曲线”的形状，具有渐近线y=kx和y=0，其中k为常数。对于实数x， 函数f(x)=log(a)(x)的值等于klog(b)(x)，其中b为底数，等于1/a。
指数函数的应用
描述增长和衰减问题
指数函数能够很好地描述某些现象的增长和衰减，如放射性元素的衰变、人 口增长等。
解决实际问题
在经济学、物理学等领域中，指数函数被广泛应用于解决实际问题。例如， 复利计算、人口预测、物理学中的放射性衰变等。
03
对数函数
定义与性质
定义
对数函数是以幂（真数）为自变量，指数 为因变量，基数为一个常数的函数。例如 ，logarithm base a of b简写为 log(a)(b)，其中a为基数，b为真数。
函数的零点可以用来研究函数的单 调性、奇偶性等性质。
函数零点的计算方法
对于一次函数，可以直接将x轴坐标代入函数表达式求解。 对于二次函数，可以通过判别式或韦达定理求解。 对于高次函数或复杂函数，可以使用数值计算方法求解。
零点存在定理
零点存在定理是指如果函数在区间的两端取值异号，则函数在该区间内至少有一 个零点。
指数函数具有一些特殊的性质， 如单调性、凹凸性等，这些性质 在解方程时可以发挥重要作用。
通过将方程转化为指数形式，可 以更方便地解决方程的根的问题 。
利用对数函数解方程
对数函数的性质
对数函数具有与指数函数相反的性质，如定义域与值域 、单调性等，这些性质在解方程时可以发挥重要作用。
新教材高中数学第四章指数函数与对数函数函数的零点与方程的解课件新人教A版必修第一册ppt
.
探索点三 函数零点所在区间问题
【例 3】 (1)函数 g(x)=2x+5x 的零点 x0 所在的一个
区间是 (
)
A.(-2,-1)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
解析:因为函数 g(x)=2x+5x 在 R 上单调递增,
且 g(-1)=2-1-5<0,g(0)=1>0,
所以 g(-1)·g(0)<0,
-
解析:令 f(x)=
得 x-2=0 或 ln x=0,解得 x=2 或 x=1.
故函数 f(x)的零点为 1 和 2.
e,0和-2
-, > ,
(2)函数 f(x)=
的零点是
- -, ≤
≤ ,
-
=
,
解析:由 f(x)=0,得
或
- - = ,
≥ ,
< ,
或
= ,
| -| =
-
< ,
< ,
≥ ,
整理,得
或
或
- = - = - = ,
解得 x=1 或 x=4.故选 A.
答案:A
x
(2)方程 3 +log2x=0 在区间
,1
上的实数根的个数为 1 .
解析:方法 1 方程 3x+log2x=0 可化为 3x=-log2x=lo x.设
所以函数 g(x)在区间(-1,0)上存在唯一的零点,
故选 B.
答案:B
(2)若 x0 是方程( )x= 的解,则 x0 属于区间 (
A.( ,1)
B.( , )
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指数函数与对数函数
4.5.1 函数的零点与方程的解
-1-
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核心素养培养目标
1.了解函数零点的定义,并
会求简单函数的零点.
2.理解函数的零点与方程
的解的联系.
3.掌握函数零点存在的条
件,会利用两种角度判断函
数零点的个数.
4.要深刻理解零点存在定
理,并能解决零点的存在性
等问题.
核心素养形成脉络
课前篇
B.(1,0)
C.0
D.±1
解析:解方程f(x)=x2-1=0,得x=±1,因此函数f(x)=x2-1的零点是±1.
答案:D
课前篇
自主预习
一
二
三
二、方程、函数、图象之间的关系
1.考察下列一元二次方程与对应的二次函数:
①方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3;
②方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1;
)
A.[-2,-1]
B.[-1,0]
C.[0,1]
D.[1,2]
解析:因为f(-2)=-11<0,f(-1)=-2<0,f(0)=1>0,f(1)=4>0,f(2)=13>0,
所以f(-1)f(0)<0.
所以f(x)的零点在区间[-1,0]上.
答案:B
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
随堂演练
内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
课前篇
自主预习
一
二
三
3.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是间断的,上述定理成立吗?
提示:不一定成立,由下图可知.
4.反过来,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条
曲线,函数y=f(x)在区间(a,b)上存在零点,f(a)·f(b)<0是否一定成立?
方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;
二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴公共点的横坐标即
为函数的零点.
课堂篇
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探究三
思想方法
随堂演练
变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数
y=logn(mx+1)的零点.
自主预习
一
二
三
一、函数的零点
1.已知函数f(x)=2x+6.
(1)求方程f(x)=0的解;
提示:由2x+6=0,解得x=-3.
(2)求函数f(x)的图象与x轴的交点坐标.
提示:交点坐标A(-3,0).
(3)方程的解与函数图象与x轴的交点的横坐标之间是怎样的关
系?
提示:相等.
课前篇
自主预习
一
二
三
2.填空:
解:由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方
程x2+3(m+1)x+n=0的实根.
所以有 1 + 2 = -3( + 1),解得 = -2,
1 × 2 = ,
= 2.
所以函数y=logn(mx+1)的解析式为y=log2(-2x+1).
值为零.
4.你能说出函数①y=lg x;②y=lg(x+1);③y=2x;④y=2x-2的零点吗?
提示:①y=lg x的零点是x=1;②y=lg (x+1)的零点是x=0;③y=2x没
有零点;④y=2x-2的零点是x=1.
课前篇
自主预习
一
二
三
5.做一做:
函数f(x)=x2-1的零点是(
)
A.(±1,0)
求函数的零点
例1 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点.
(1)f(x)=-8x2+7x+1;
(2)f(x)=1+log3x;
(3)f(x)=4x-16;
分析:可通过解方程f(x)=0求得函数的零点.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
随堂演练
1
解:(1)令-8x2+7x+1=0,解得 x=-8或 x=1.
无交点
1
无零点
函数的
图象
方程的实数根 x1=-1,x2=3
函数的图象与
(-1,0),(3,0)
x 轴的交点
函数的零点 -1,3
课前篇
自主预习
一
二
三
(2)从你所列的表格中,你能得出什么结论?
提示:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函
数y=ห้องสมุดไป่ตู้(x)有零点.
课前篇
自主预习
一
函数的零点
(1)定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)
的零点.
(2)几何意义:函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标就是函数
y=f(x)的零点.
3.函数y=f(x)的零点是点吗?为什么?
提示:不是.函数的零点的本质是方程f(x)=0的实数根,因此,函数
的零点不是点,而是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,函数
提示:不一定成立,由二次函数f(x)=x2-2x+1的图象可知.
课前篇
自主预习
一
二
三
5.判断正误:
函数y=f(x)的图象是在闭区间[a,b]上连续的曲线,若f(a)·f(b)>0,则
f(x)在区间(a,b)内没有零点. (
)
答案:×
6.做一做:
函数f(x)=x3+2x+1的零点一定位于下列哪个区间上(
二
三
三、函数零点存在性定理
1.观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象,发现这个二次函数在区间[2,1]上有零点x=-1,而f(-2)>0,f(1)<0,即f(-2)·f(1)<0.二次函数在区间
[2,4]上有零点x=3,而f(2)<0,f(4)>0,即f(2)·f(4)<0.由以上两步探索,
你可以得出什么样的结论?
提示:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲
线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.
2.填空:
函数零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连
续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)
③方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3.
(1)你能够画出关于上述方程的根,函数图象与x轴的交点及函数
的零点的表格吗?
课前篇
自主预习
一
二
三
提示:
方程
函数
x2-2x-3=0
y=x2-2x-3
x2-2x+1=0
y=x2-2x+1
x2-2x+3=0
y=x2-2x+3
x1=x2=1
无实数根
(1,0)
1
所以函数的零点为-8,1.
1
3
(2)令 1+log3x=0,即 log3x=-1,解得 x= .
1
所以函数的零点为3.
(3)令4x-16=0,即4x=42,解得x=2.
所以函数的零点为2.
反思感悟 因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解,也是函数
y=f(x)的图象与x轴公共点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种
4.5.1 函数的零点与方程的解
-1-
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核心素养培养目标
1.了解函数零点的定义,并
会求简单函数的零点.
2.理解函数的零点与方程
的解的联系.
3.掌握函数零点存在的条
件,会利用两种角度判断函
数零点的个数.
4.要深刻理解零点存在定
理,并能解决零点的存在性
等问题.
核心素养形成脉络
课前篇
B.(1,0)
C.0
D.±1
解析:解方程f(x)=x2-1=0,得x=±1,因此函数f(x)=x2-1的零点是±1.
答案:D
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一
二
三
二、方程、函数、图象之间的关系
1.考察下列一元二次方程与对应的二次函数:
①方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3;
②方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1;
)
A.[-2,-1]
B.[-1,0]
C.[0,1]
D.[1,2]
解析:因为f(-2)=-11<0,f(-1)=-2<0,f(0)=1>0,f(1)=4>0,f(2)=13>0,
所以f(-1)f(0)<0.
所以f(x)的零点在区间[-1,0]上.
答案:B
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思想方法
随堂演练
内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
课前篇
自主预习
一
二
三
3.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是间断的,上述定理成立吗?
提示:不一定成立,由下图可知.
4.反过来,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条
曲线,函数y=f(x)在区间(a,b)上存在零点,f(a)·f(b)<0是否一定成立?
方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;
二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴公共点的横坐标即
为函数的零点.
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变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数
y=logn(mx+1)的零点.
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一
二
三
一、函数的零点
1.已知函数f(x)=2x+6.
(1)求方程f(x)=0的解;
提示:由2x+6=0,解得x=-3.
(2)求函数f(x)的图象与x轴的交点坐标.
提示:交点坐标A(-3,0).
(3)方程的解与函数图象与x轴的交点的横坐标之间是怎样的关
系?
提示:相等.
课前篇
自主预习
一
二
三
2.填空:
解:由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方
程x2+3(m+1)x+n=0的实根.
所以有 1 + 2 = -3( + 1),解得 = -2,
1 × 2 = ,
= 2.
所以函数y=logn(mx+1)的解析式为y=log2(-2x+1).
值为零.
4.你能说出函数①y=lg x;②y=lg(x+1);③y=2x;④y=2x-2的零点吗?
提示:①y=lg x的零点是x=1;②y=lg (x+1)的零点是x=0;③y=2x没
有零点;④y=2x-2的零点是x=1.
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一
二
三
5.做一做:
函数f(x)=x2-1的零点是(
)
A.(±1,0)
求函数的零点
例1 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点.
(1)f(x)=-8x2+7x+1;
(2)f(x)=1+log3x;
(3)f(x)=4x-16;
分析:可通过解方程f(x)=0求得函数的零点.
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随堂演练
1
解:(1)令-8x2+7x+1=0,解得 x=-8或 x=1.
无交点
1
无零点
函数的
图象
方程的实数根 x1=-1,x2=3
函数的图象与
(-1,0),(3,0)
x 轴的交点
函数的零点 -1,3
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一
二
三
(2)从你所列的表格中,你能得出什么结论?
提示:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函
数y=ห้องสมุดไป่ตู้(x)有零点.
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一
函数的零点
(1)定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)
的零点.
(2)几何意义:函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标就是函数
y=f(x)的零点.
3.函数y=f(x)的零点是点吗?为什么?
提示:不是.函数的零点的本质是方程f(x)=0的实数根,因此,函数
的零点不是点,而是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,函数
提示:不一定成立,由二次函数f(x)=x2-2x+1的图象可知.
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一
二
三
5.判断正误:
函数y=f(x)的图象是在闭区间[a,b]上连续的曲线,若f(a)·f(b)>0,则
f(x)在区间(a,b)内没有零点. (
)
答案:×
6.做一做:
函数f(x)=x3+2x+1的零点一定位于下列哪个区间上(
二
三
三、函数零点存在性定理
1.观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象,发现这个二次函数在区间[2,1]上有零点x=-1,而f(-2)>0,f(1)<0,即f(-2)·f(1)<0.二次函数在区间
[2,4]上有零点x=3,而f(2)<0,f(4)>0,即f(2)·f(4)<0.由以上两步探索,
你可以得出什么样的结论?
提示:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲
线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.
2.填空:
函数零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连
续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)
③方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3.
(1)你能够画出关于上述方程的根,函数图象与x轴的交点及函数
的零点的表格吗?
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一
二
三
提示:
方程
函数
x2-2x-3=0
y=x2-2x-3
x2-2x+1=0
y=x2-2x+1
x2-2x+3=0
y=x2-2x+3
x1=x2=1
无实数根
(1,0)
1
所以函数的零点为-8,1.
1
3
(2)令 1+log3x=0,即 log3x=-1,解得 x= .
1
所以函数的零点为3.
(3)令4x-16=0,即4x=42,解得x=2.
所以函数的零点为2.
反思感悟 因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解,也是函数
y=f(x)的图象与x轴公共点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种