指数函数和对数函数公式(全)
对数函数与指数函数
对数函数与指数函数对数函数与指数函数是高中数学中的两个重要概念，它们在数学和实际问题中具有广泛的应用。
本文将对对数函数与指数函数的定义、性质以及它们之间的关系进行探讨。
一、对数函数的定义与性质对数函数是指以某个正数为底数，使指数为某一给定数的幂等于一个给定数的函数。
通常表示为“log”。
1.1 对数函数的定义以正数a(a≠1)为底数，正数x为真数，表示为logₐ(x)。
其中，a为底数，x为真数，log为对数。
1.2 对数函数的基本性质（1）logₐ(xy) = logₐx + logₐy（2）logₐ(x/y) = logₐx - logₐy（3）logₐ(x^p) = p·logₐx（4）logₐa = 1（5）logₐ1 = 0以上是对数函数的一些基本性质，对数函数还具有域、值域以及单调性等性质，但由于篇幅限制无法一一讨论。
二、指数函数的定义与性质指数函数是以某个正数为底数，幂为自变量，函数值为因变量的函数。
通常表示为“a^x”。
2.1 指数函数的定义以正数a(a≠1)为底数，实数x为幂，表示为a^x。
其中，a为底数，x为幂。
2.2 指数函数的基本性质（1）a^x · a^y = a^(x+y)（2）a^x / a^y = a^(x-y)（3）(a^x)^y = a^(xy)（4）a^0 = 1（5）a^1 = a以上是指数函数的一些基本性质，指数函数还具有增减性、奇偶性以及图像特点等性质，但同样由于篇幅限制无法一一展开。
三、对数函数与指数函数的关系对数函数与指数函数是互为反函数的关系，可以相互转化。
3.1 对数函数与指数函数的转化关系设y = logₐx，则x = a^y。
对数函数与指数函数之间的转化关系可以通过这个等式得到。
3.2 对数函数与指数函数的图像关系由于对数函数与指数函数之间是互为反函数的关系，它们在直角坐标系中的图像关系也是互为镜像。
对数函数的图像是指数函数图像关于直线y = x的镜像。
指数函数与对数函数的运算
指数函数与对数函数的运算指数函数与对数函数的运算是高等数学中一种重要的数学运算方法。
指数函数是一种以底数为常数，指数为变量的函数，表示为f(x) = a^x，其中a为底数。
对数函数是指数函数的逆运算，表示为f(x) = log_a(x)，其中a为底数。
指数函数与对数函数之间存在一种特殊的运算关系，即指数函数和对数函数是互为反函数的。
这意味着，对于任意的底数a和指数x，有a^log_a(x) = x，以及log_a(a^x) = x。
这一性质使得指数函数和对数函数可以进行运算，并且能够相互抵消。
一、指数函数的运算性质指数函数的运算包括指数相加、指数相减、指数相乘以及指数的幂运算等。
下面将一一介绍这些运算性质。
1. 指数相加：对于相同底数a，两个指数相加的结果等于将底数相乘，指数相加的结果为b^x1*b^x2 = b^(x1+x2)。
例如，2^3 * 2^4 =2^(3+4) = 2^7。
2. 指数相减：对于相同底数a，两个指数相减的结果等于将底数相除，指数相减的结果为b^x1/b^x2 = b^(x1-x2)。
例如，5^8 / 5^3 = 5^(8-3) = 5^5。
3. 指数相乘：对于相同底数a，两个指数相乘等于底数为b，指数为(x1*x2)的指数函数，即(b^x1)^x2 = b^(x1*x2)。
例如，(6^3)^2 =6^(3*2) = 6^6。
4. 指数的幂运算：指数的幂运算即多次将相同的底数相乘，指数的幂运算的结果为(b^x)^n = b^(x*n)。
例如，(3^2)^4 = 3^(2*4) = 3^8。
二、对数函数的运算性质对数函数的运算包括对数相加、对数相减、对数相乘以及对数的幂运算等。
下面将一一介绍这些运算性质。
1. 对数相加：对于相同底数a，两个对数相加的结果等于将指数相加，对数相加的结果为log_a(x1) + log_a(x2) = log_a(x1*x2)。
例如，log_2(4) + log_2(8) = log_2(4*8) = log_2(32)。
指数函数与对数函数知识总结及练习
指数函数与对数函数知识点：x比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：3. 研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4. 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。
复合函数的单调性法则是：同增异减 步骤：（1）球定义域并分解复合函数（2）在定义与范围内分别讨论分解后的函数的单调性 （3）很据复合函数的单调性法则得出结论【典型例题】例1. （1）下图是指数函数（1）y ＝a x ，（2）y ＝b x ，（3）y ＝c x ，（4）y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是（ ）y x1O(4)(3)(2)(1)A. a ＜b ＜1＜c ＜dB. b ＜a ＜1＜d ＜cC. 1＜a ＜b ＜c ＜dD. a ＜b ＜1＜d ＜c剖析：可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c 、d 的大小，从（1）（2）中比较a 、b 的大小。
解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象向上越靠近于y 轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x 轴.得b ＜a ＜1＜d ＜c 。
故选B 。
解法二：令x ＝1，由图知c 1＞d 1＞a 1＞b 1，∴b ＜a ＜1＜d ＜c 。
例2. 已知2x x +2≤（41）x －2，求函数y ＝2x －2－x 的值域。
解：∵2x x +2≤2－2（x －2），∴x 2＋x ≤4－2x ， 即x 2＋3x －4≤0，得－4≤x ≤1。
又∵y ＝2x －2－x 是［－4，1］上的增函数，∴2－4－24≤y ≤2－2－1。
指数与对数的转换公式
指数与对数的转换公式一、指数的基本概念指数是数学中用来表示一个数的乘方的次数的概念。
指数有一些基本的性质，如指数的加法和乘法法则。
假设a和b都是实数，m和n都是整数，则指数运算的基本规则如下：1.a^m*a^n=a^(m+n)。
这表示，将底数a的指数m和n分别相加，得到的结果再用底数a的指数表示，等于将底数a的指数m和n相加后得到的指数表示的值。
2.(a^m)^n=a^(m*n)。
这表示，将底数a的指数m和n分别相乘，得到的结果再用底数a的指数表示，等于将底数a的指数m和n相乘后得到的指数表示的值。
3.(a*b)^m=a^m*b^m。
这表示，将若干个底数a和b连乘，并用底数a和b的共同指数表示，等于将底数a和b分别用指数表示后连乘得到的值。
基于指数运算的基本规则，可以推导出一些常见的指数运算公式，如指数函数的乘法公式、指数函数的除法公式和零次方的值等。
二、对数的基本概念对数是指数的逆运算。
如果a^x = b，则称x为以a为底，b为真数的对数，记作x=log_a(b)。
其中，a被称为底数，b被称为真数。
对数函数以及它的性质在实际问题中有广泛的应用。
对数函数的图像是一条过点(1,0)的递增曲线，与指数函数的图像相互对称。
对数函数具有一些特殊的性质，如对数函数的加法和乘法法则。
假设a为任意正数，b和c都是正数并且不等于1，则对数运算的基本规则如下：1. log_a(b * c) = log_a(b) + log_a(c)。
这表示，将底数a的两个正数相乘，并用底数a的对数表示，等于将底数a的这两个正数分别用对数表示后相加得到的值。
2. log_a(b / c) = log_a(b) - log_a(c)。
这表示，将底数a的两个正数相除，并用底数a的对数表示，等于将底数a的这两个正数分别用对数表示后相减得到的值。
3. log_a(b^m) = m * log_a(b)。
这表示，将底数a的正数b以及底数a的对数表示的值相乘，并用底数a的对数表示，等于将底数a的正数b分别用对数表示后乘以底数a的对数表示的值。
基础函数求导公式大全
基础函数求导公式大全1. 常数函数的导数公式：对于常数c，它的导数为0。
即d/dx (c) = 0。
2. 幂函数的导数公式：对于幂函数y = x^n，其中n是实数，它的导数为dy/dx = nx^(n-1)。
3. 指数函数的导数公式：对于指数函数y = a^x，其中a是正实数且不等于1，它的导数为dy/dx = (ln a) * a^x。
4. 对数函数的导数公式：对于对数函数y = log_a x，其中a是正实数且不等于1，它的导数为dy/dx = 1 / (x * ln a)。
5.三角函数的导数公式：- 正弦函数的导数公式：dy/dx = cos(x)。
- 余弦函数的导数公式：dy/dx = -sin(x)。
- 正切函数的导数公式：dy/dx = sec^2(x)。
- 余切函数的导数公式：dy/dx = -csc^2(x)。
- 反正弦函数的导数公式：dy/dx = 1 / sqrt(1 - x^2)。
- 反余弦函数的导数公式：dy/dx = -1 / sqrt(1 - x^2)。
- 反正切函数的导数公式：dy/dx = 1 / (1 + x^2)。
- 反余切函数的导数公式：dy/dx = -1 / (1 + x^2)。
6.双曲函数的导数公式：- 双曲正弦函数的导数公式：dy/dx = cosh(x)。
- 双曲余弦函数的导数公式：dy/dx = sinh(x)。
- 双曲正切函数的导数公式：dy/dx = sech^2(x)。
- 双曲余切函数的导数公式：dy/dx = -csch^2(x)。
- 反双曲正弦函数的导数公式：dy/dx = 1 / sqrt(x^2 + 1)。
- 反双曲余弦函数的导数公式：dy/dx = 1 / sqrt(x^2 - 1)。
- 反双曲正切函数的导数公式：dy/dx = 1 / (1 - x^2)。
- 反双曲余切函数的导数公式：dy/dx = 1 / (1 - x^2)。
对数函数指数函数幂函数
对数函数指数函数幂函数 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的。
但是，根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一个等于4，另一个等于-4）】通常我们将以10为底的对数叫常用对数（common logarithm),并把log10N记为lgN。
另外，在科学技术中常使用以无理数e=···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数（natural logarithm),并且把loge N 记为In N. 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a 〉0，a≠ 1时，a^x=N→X=logaN。
由指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：负数和零没有对数；loga 1=0 loga a=1 (a为常数)对数的定义和运算性质一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b 叫做以a为底N的对数，记作log(a)（N）=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
底数则要大于0且不为1 真数大于0对数的运算性质：当a>0且a≠1时,M>0,N>0，那么：（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R）（4）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1）(5) a^(log(b)n)=n^(log(b)a) 证明：设a=n^x 则a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a)(6)对数恒等式：a^log（a)N=N;log（a）a^b=b对数与指数之间的关系当a>0且a≠1时,a^x=N x=㏒(a)N右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
高数积分公式大全
高数积分公式大全高等数学中的积分是数学分析的重要内容之一，它是求函数面积、定积分、不定积分等的方法，被广泛应用于科学和工程领域。
下面是高等数学中常用的积分公式大全，供大家参考和学习。
一、基本积分公式：1. 常数函数积分公式：∫c dx = cx + C（其中c为常数，C为积分常数）2. 幂函数积分公式：∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C（其中n不等于-1，C 为积分常数）3. 指数函数积分公式：∫e^x dx = e^x + C4. 三角函数积分公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C5. 乘方函数积分公式：∫(a^x) dx = (1/log(a)) * (a^x) + C（其中a为正数且不等于1，C为积分常数）6. 对数函数积分公式：∫(1/x) dx = ln|x| + C二、常用积分公式：1. 三角函数的复合积分：∫sin(ax) dx = - (1/a) * cos(ax) + C∫cos(ax) dx = (1/a) * sin(ax) + C2. 反三角函数的积分：∫1/(√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C3. 指数函数的积分：∫e^(ax) dx = (1/a) * e^(ax) + C4. 对数函数的积分：∫(1/x) dx = ln|x| + C5. 分式函数的积分：∫(1/(x-a)) dx = ln|x-a| + C（其中a不等于0）∫(1/(x^2+a^2)) dx = (1/a) * arctan(x/a) + C（其中a不等于0）6. 三角函数的积分：∫sin^n(x) cos^m(x) dx7. 部分分式的积分：∫(p(x)/q(x)) dx8. 具体函数的特殊积分：∫e^x sin(x) dx∫e^x cos(x) dx∫(sin(x))^n (cos(x))^m dx（其中n和m为正整数）三、数列求和公式：1. 等差数列求和公式：S_n = (n/2)(a_1 + a_n)（其中S_n为前n项和，a_1为首项，a_n为末项）2. 等比数列求和公式：S_n = (a_1(1-q^n))/(1-q)（其中S_n为前n项和，a_1为首项，q为公比）以上是高等数学中一些常见的积分公式，通过掌握和灵活运用这些公式，可以帮助我们更好地解决数学中的问题。
指数函数和对数函数知识点总结
指数函数和对数函数知识点总结一、指数函数：1.基本概念：指数函数是形如y=a^x（a>0，且a≠1）的函数，其中a称为底数，x 称为指数，a^x称为底数a的x次幂。
2.基本性质：（1）a^0=1，任何数的0次幂等于1；（2）a^x*a^y=a^(x+y)，相同底数的指数幂相乘，底数不变，指数相加；（3）a^x÷a^y=a^(x-y)，相同底数的指数幂相除，底数不变，指数相减；（4）(a^x)^y=a^(x*y)，指数幂的乘积再乘方，指数相乘；（5）a^(-x)=1/(a^x)，任何数的负指数满足倒数规律。
3.常见指数函数：（1）指数函数y=2^x：以2为底的指数函数，可以用来描述2的x 次幂关系，是一种常见的指数型增长函数，图像逐渐向上凸起。
二、对数函数：1.基本概念：对数函数是指y=loga(x)，其中a>0，且a≠1，a称为底数，x称为真数，y称为以a为底x的对数。
2.基本性质：（1）loga(1)=0，底数为任何正数时，1的对数都是0；（2）loga(a)=1，底数为任何正数时，底数的对数都是1；（3）loga (x*y) = loga(x) + loga(y)，对数相乘，真数取乘积，对数相加；（4）loga (x/y) = loga(x) - loga(y)，对数相除，真数取商，对数相减；（5）loga(x^k) = k * loga(x)，对数乘方，真数取底数的k次方，对数乘以指数。
3.常见对数函数：（1）常用对数函数：y=log10(x)，其中底数为10，对数函数可以简写为y=log(x)。
常用对数函数是以10为底的对数函数，输入一个正实数x，输出满足10^y=x的y值。
（2）自然对数函数：y=ln(x)，其中底数为e。
自然对数函数是以e 为底的对数函数，输入一个正实数x，输出满足e^y=x的y值。
三、指数函数与对数函数的关系：四、指数函数与对数函数的应用：1.科学中的指数增长：指数函数常常用于描述原子衰变、细胞分裂和放射性物质的衰变等过程。
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指数函数和对数函数
重点、难点：
重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。
难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数
y a x ，y log a x 在
a 1及 0 a 1两种不同情况。
1、指数函数：
y
x
且a
叫指数函数。
定义：函数
aa
0 1
定义域为 R ，底数是常数，指数是自变量。
为什么要求函数 y
a x 中的 a 必须 a
0且a
1 。
因为若 a
0时， y
4 x ，当 x
1
时，函数值不存在。
4
a
0 ， y 0x ，当 x
0 ，函数值不存在。
a 时， y
1 x
x 虽有意义，函数值恒为
1，但
1
对一切 y
1x 的反函数不存在，
因 为 要 求 函 数 y
a x 中 的
a
0且 a 1 。
x
1、对三个指数函数
y
2 x ， y
1 ，y
10x 的图象的
2
认识。
图象特征与函数性质：
图象特征
函数性质
（ 1）图象都位于
x 轴上方；
（ 1） x 取任何实数值时，都有 a
x
0 ；
2
0 1 ）； （ 2）无论 a 取任何正数， x 0
时， y 1 ；
（ ）图象都经过点（ ，
（ 3） y
2x ， y 10 x 在第一象限内的纵坐
（ 3）当 a
x 0，则 a x 1
1 时，
0，则 a x
1
标都大于 1，在第二象限内的纵坐标都小于
1，
x
1 y
2
x
x 0，则 a x
1
当 0
的图象正好相反；
a 1时，
0，则 a x 1
x
（ 4） y
2x ， y 10 x 的图象自左到右逐渐
（ 4）当 a 1 时， y
a x 是增函数，
上升， y 1
2
x a 1时，y a x是减函数。
当 0
的图象逐渐下降。
对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：
①所有指数函数的图象交叉相交于点（ 0，1），如y2x和 y10 x相交于(0，1)，当x0 时，y 10x 的图象在 y 2 x的图象的上方，当x 0，刚好相反，故有 10222及102 2 2。
1x
② y 2 x与y的图象关于 y 轴对称。
2
③通过 y 2x，y10 x，y1
2x
三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x（a0且a 1 ）的
示意图，如y 3x的图象，一定位于 y 2 x和 y 10 x两个图象的中间，且过点(0，1) ，从而 y 1
3x
也由
1关于 y 轴的对称性，可得y
3
2、对数：x
的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
定义：如果b(
a 01)
，那么数 b 就叫做以 a 为底的对数，记作
b log a N
（ a 是底数， N 是
aN且a 真数， log a N 是对数式。
）
由于 N a b
0故
log a N
中 N必须大于。
当N为零的负数时对数不存在。
（ 1）对数式与指数式的互化。
由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如：
求 log 0.3252
4
log
52
分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成0.32x ，再改写为指数式就
4
比较好办。
解：设 log
52
0 .32x
4
则 0.32 x
5
2
4
8x
8 即
25
25
∴ x 1
2
即 log
5 2
0.32
4
1 2 1 2
评述： 由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。
如求 3x
5中的 x ，化为对数式 x log 3 5即成。
（ 2）对数恒等式：
由 a b
N (1) b log a N
(2)
将（ 2）代入（ 1）得 a log a N
N
运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。
log 1 2
计算：
3
3
1
l og 1 2 2
解：原式
3
3
（ 3）对数的性质：①负数和零没有对数； ② 1 的对数是零；③底数的对数等于 1。
（ 4）对数的运算法则：
1
3
lo g 1 2 2
3。
① log a MN
log a M l og a N M ， N R
②
log a M
log a M log a N M ，
N R
N
③
log a N n
n l og a N N
R
④ log a
n
N
1
log a NNR
n
3、对数函数：
定 义 ： 指 数 函 数 y a x
( a 且 a 1)
的反函数
y log a x x (0, ) 叫做对数函数。
1、对三个对数函数 y
log 2 x ， y l og 1 x ，
2
y lg x 的图象的认识。
图象特征与函数性质：
图象特征函数性质
（ 1）图象都位于y 轴右侧；（ 1）定义域：R+，值或：R；
（ 2）图象都过点（1， 0）；
（ 2）x1时，y0。
即 log a 10 ；
（ 3）y l og2x ， y lg x 当x
（ 3 ）当a 1 时，若x 1 ，则y0 ，若1时，图象
x1，则y 0；
在 x 轴上方，当0x0 时，图象在x轴下当
0a 1 时，若 x0 ，则y0 ，若
方， y log 1x 与上述情况刚好相反；0x1时，则y0 ；
2
（ 4）y log2x， y lg x 从左向右图象是上（ 4）a1时，y log a x
是增函数；
升，而 y log 1 x 从左向右图象是下降。
0 a1
时， y log a x 是减函数。
2
对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）：
（ 1）所有对数函数的图象都过点（ 1,0 ），但是y log2 x 与 y lg x 在点（1,0）曲线是交叉的，即当 x0时， y log 2x 的图象在 y lg x 的图象上方；而0x1时，y l og2 x 的图象在 y lg x 的图象的下方，
故有： log.l g .
l g 01.。
2 1515 ； log 2 01.
（ 2）y log2 x 的图象与y log 1 x 的图象关于x轴对称。
2
（ 3）通过y l og 2 x ， y lg x ，y log 1x 三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示意图，如
2
作 y log3 x 的图象，它一定位于 y log2x 和 y lg x 两个图象的中间，且过点（1,0），x 0时，在 y lg x 的上方，而位于y log 2 x 的下方，0 x1时，刚好相反，则对称性，可知 y log 1x 的示意图。
3因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
4、对数换底公式：
log b N log a N log a b
LN n log e N (其中
e 2.71828
⋯称为的自然对数
)N
LN g log10 N 称为常数对数由换底公式可得：
L n N l g N lg N
2.303lg N l g e0.4343
由换底公式推出一些常用的结论：
（ 1）log a b
1
或 l og a b· log b a 1 l og b a
（ 2）log n b m m
log a b
a n
（ 3）log a n b n log a b
（ 4）log a n a m m
n
5、指数方程与对数方程*
定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。
在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。
由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。
指数方程的题型与解法：
名称题型解法
基本型
a f x b取以 a 为底的对数f x log a b
同底数型
不同底数型a f ( x)a( x)取以 a 为底的对数f x x
需代换型
a f x
b x
fx· l g a x · lgb
F a x0
取同底的对数化为
换元令 t a x转化为t的代数方程
对数方程的题型与解法：
名称题型解法
基本题
log a f x b对数式转化为指数式f x a b 同底数型
log a x转化为 f x x
log a fx（必须验根）
需代换型
F
(log a0换元令 t log a x 转化为代数方程
x)。