指数函数对数函数幂函数增长速度的比较教学设计

【教学设计中学数学】
区县雁塔区
学校西安市航天中学
姓名贾红云
联系方式
邮编710100
《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计
一、设计理念
《普通高中数学课程标准》明确指出：“学生的数学学习活动，不应该只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应该倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等信息数学的方式；课程内容的呈现，应注意反映数学发展的规律以及学生的认知规律，体现从具体到抽象，特殊到一般的原则；教学应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉等”。

本节课是北师大版高中数学必修Ⅰ第三章第6节内容，本节专门研究指数函数、幂函数、对数函数的增长的比较，目的是探讨不同类型的函数模型，在描述实际增长问题时的不同变化趋势，通过本节课的学习，可以引导学生积极地开展观察、思考和探究活动，利用几何画板这种信息技术工具，可以让学生从动态的角度直观观察指数函数、幂函数、对数函数增长情况的差异，使学生有机会接触一些过去难以接触到的数学知识和数学思想，并为学生提供了学数学、用数学的机会，体现了发展数学应用意识、提高实践能力的新课程理念。

二、教学目标
1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性；
2．能借助信息技术，利用函数图像和表格，对几种常见增长类型的函数增长的情况进行比较，体会它们增长的差异；
3.体验指数函数、幂函数、对数函数与现实世界的密切联系及其在刻画实际问题中的作用，体会数学的价值.
三、教学重难点
教学重点：认识指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长的含 义。

教学难点：比较指数函数、幂函数、对数函数增长的差异
四、教学准备
⒈提醒学生带计算器； ⒉制作教学用幻灯片；
⒊安装软件：几何画板 ，准备多媒体演示设备
五、教学过程
㈠基本环节
⒈创设情景，引起悬念
杰米和韦伯的故事
一个叫杰米的百万富翁，一天，碰上一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说，我想和你定个合同，我将在整整一个月中每天给你
10万元，而你第一天只需给我一分钱，而后每一天给我的钱是前一天的两倍。

杰米说：“真的？！你说话算数？”
合同开始生效了，杰米欣喜若狂。

第一天杰米支出一分钱，收入10万元；第二天，杰米支出2分钱，收入10万元；第三天，杰米支出4分钱，收入10万元；第四天，杰米支出8分钱，收入10万元…..到了第二十天，杰米共得到200万元，而韦伯才得到1048575分，共10000元多点。

杰米想：要是合同定两个月、三个月多好！
你愿意自己是杰米还是韦伯？
【设计意图】创设情景，构造问题悬念，激发兴趣，明确学习目标 ⒉复习旧知，提出问题
图1-1 图1-2 图1-3
⑴ 如图1-1，当a 时，指数函数x
y a =是单调 函数，并且对于0x >，当底数a 越大时，其 函数值的增长就越 ；
⑵ 如图1-2当a 时，对数函数log a y x =是单调 函数，并且对1x >时，当底数a 越 时 其函数值的增长就越快；
⑶ 如图1-3当0x >，0n >时，幂函数n y x =是增函数，并且对于1x >，当n 越 时，其函数值
的增长就越快。

【设计意图】复习学过的三种函数，为新知识学习做好准备 ⒊实验探究，揭示真相
⑴动手实践 学生利用计算器计算函数值完善表格里的数据
【设计意图】
①指导学生使用计算器，计算对数值和大指数幂的值； ②通过计算让学生感受随着自变量的变化，函数值的变化情况。

⑵实验1 教师利用几何画板在同一坐标系中做出函数x y 2=，)0(2
>=x x y ，x y 2log =的图像，如图1-4，引导学生通过观察得到三种函数增长差异的初步结论；
⑶实验2教师利用几何画板在同一坐标系中做出函数x y 2=，3
(0)y x x =>，的图像，如图1-5，引导学生通过观察感受指数函数、幂函数增长的差异；
如图1-5 图1-6
⑷实验3教师讲解比较函数x
y 2=、100
(0)y x
x =>增长的快慢为何要降次，利用几何画板在同一坐
标系中作函数y x =和2100log y x =的图像，如图1-6，引导学生通过观察感受两个函数增长的差异，从而进一步确信指数函数、幂函数增长的差异
【设计意图】通过实验1，引导学生直观观察，进一步感受三种函数增长的差异，得到：随着x 的值增大
x y 2log =的函数值增长的越来越慢，x y 2=和)0(2>=x x y 的函数值增长的越来越快；x y 2log =增
长比x
y 2=和)0(2
>=x x y 要慢的多；对函数x
y 2=和)0(2
>=x x y 而言，在x 比较小时，会存在
)0(2>=x x y 比x y 2=的增长快的情况，当x 比较大时，x y 2=比)0(2>=x x y 增长得更快.
通过实验2，比较x y 2=比3(0)y x x =>的增长快慢，进一步得到：在x 比较小时，会存在3
(0)y x x =>比x y 2=的增长快的情况，当x 比较大时，x y 2=比3
(0)y x x =>增长得更快. 通过实验3，加大幂函数的幂指数，比较x
y 2=和100
(0)y x
x =>增长的快慢，此时采用两边取对数降次
的方法，只需比较y x =和2100log y x =的增长的快慢，让学生进一步确信：当x 足够大时,随着x 的增大，
x y a =的增长速度越来越快，会超过并远远大于n y x =的增长速度。

⒋用以致用，解决问题
第x 天时杰米所得10x 万元，（直线型函数） 第x 天时韦伯所得()2
3
1
121222 (2)
2112
x
x x --+++++==--分=()61021x --万元，（指数型函数） 从第29天起，情况发生了变化，第29天，杰米共收入290万元，却支出1分，约537万元，结果杰米在一个月（31天）内得到310万元的同时，共付给韦伯47分，也就是2000多万元！杰米破产了！ 【设计意图】学以致用，用实际例子体会直线上升和指数爆炸，呼应课前提出的问题。

⒌归纳总结，加深印象
让学生谈谈本节课的收获，用自己的语言归纳，教师引导，总结三个名词“对数增长、直线上升、指数爆炸”。

【设计意图】提炼重点，画龙点睛 ⒍作业布置，加强应用
【设计意图】增长生活常识，用所学知识解决实际问题
六、教学反思
⒈反思数学教学观
笔者的数学教学基本观点是：创设丰富的情境，激发学生的学习兴趣；以学生为中心，加强数学活动过程的教学，留有探索与思考的余地；营造一种合作交流的课堂气氛，引导学生主体参与，还学生学习主动权，自我挖掘其创造潜能。

⑴ 在本课的教学中，开场提出“杰米和韦伯的故事”，设置悬念，激发了学生的学习兴趣； ⑵本节课基本上做到了让学生经历数学化的过程，在数学活动中学习数学。

从动手实践、猜想、逐步验证，体现了由特殊到一般的数学思想方法，有助于培养学生严谨的科学态度。

⒉反思教学过程 ⑴对教与学的反思：
在这节课的课堂教学中，师生关系是平等的，学生有很多发言的机会，充分展示了知识的生成过程，从学生的动手计算、动手作图、猜想、教师验证、学生总结等，学生都主动参与，教师的作用是引导和组织，可以说教与学水乳交融、相互促进；
⑵对课堂提问的反思：这一节课的课堂提问相对较多，基本上是站在学生的角度，设置一些力所能及 的问题，充分发挥学生的能动性，但是思维活跃的同学回答问题积极，其余的同学则反应平淡。

⑶对教学效果的反思
本节课通过师生的共同努力，达到了比较满意的教学效果，但在一些知识性问题如函数x
y 2=和
)0(2>=x x y 图像的交点个数问题等还要在第四章进一步巩固。

以后课堂教学应注意改进的方面有:
⒈ 提出问题以后，留给学生充分的独立思考时间多些，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其 他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问；
⒉ 课堂生成的知识，例如运算过程、解题思路、新办法好技巧等要加强相互交流，达到相互启发、 相互促进的效果。