幂函数、指数函数和对数函数_对数及其运算法则_教案
高中数学第3章指数函数、对数函数和幂函数3.2.2对数函数对数函数的概念、图象与性质高一数学教案
第1课时对数函数的概念、图象与性质学习目标核心素养1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的图象和性质．(重点)3.能够运用对数函数的图象和性质解题．(重点)4.了解同底的对数函数与指数函数互为反函数．(难点) 通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象数学的核心素养.1．对数函数的概念一般地，函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫做对数函数，它的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)在(0，＋∞)上是单调增函数在(0，＋∞)上是单调减函数对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)和指数函数y＝a x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于y＝x对称．一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f －1(x)．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对数函数的定义域为R.( )(2)y＝log2x2与log x3都不是对数函数．( )(3)对数函数的图象一定在y轴右侧．( )(4)函数y ＝log 2x 与y ＝x 2互为反函数． ( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．对数函数f (x )的图象过点(4,2)，则f (8)＝________. 3 [设f (x )＝log a x ，则log a 4＝2，∴a 2＝4，∴a ＝2， ∴f (8)＝log 2 8＝3.]3．(1)函数f (x )＝lg x ＋1x －1的定义域是________．(2)若对数函数y ＝log (1－2a )x ，x ∈(0，＋∞)是增函数，则a 的取值范围为________．(3)若g (x )与f (x )＝2x互为反函数，则g (2)＝________. (1){x |x >－1且x ≠1} (2)(－∞，0) (3)1[(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －1≠0⇒x >－1且x ≠1.(2)由题意得1－2a ＞1，所以a ＜0.(3)f (x )＝2x的反函数为y ＝g (x )＝log 2 x ， ∴g (2)＝log 2 2＝1.]对数函数的概念【例1】 判断下列函数是否是对数函数？并说明理由．①y ＝log a x 2(a ＞0，且a ≠1)； ②y ＝log 2x －1； ③y ＝2log 8x ；④y ＝log x a (x ＞0，且x ≠1)．思路点拨：依据对数函数的定义来判断．[解] ①中真数不是自变量x ，∴不是对数函数；②中对数式后减1， ∴不是对数函数；③中log 8x 前的系数是2，而不是1， ∴不是对数函数；④中底数是自变量x ，而不是常数a ， ∴不是对数函数．一个函数是对数函数，必须是形如y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数； (3)对数的真数仅有自变量x . 1．对数函数f (x )满足f (2)＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.－2 [设f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，由题知f (2)＝log a 2＝2，故a 2＝2，∴a ＝2或－2(舍)．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log2 12＝－2.]对数函数的定义域问题【例2】 求下列函数的定义域：(1)f (x )＝log x －1(x ＋2)；(2)f (x )＝－lg 1－x ； (3)f (x )＝1log 2x －1；(4)f (x )＝11－log a x ＋a(a >0且a ≠1)．思路点拨：根据对数式中底数、真数的范围，列不等式(组)求解．[解] (1)由题知⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，x －1≠1，x ＋2>0，解得x >1且x ≠2，∴f (x )的定义域为{x |x >1且x ≠2}．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧－lg 1－x≥0，1－x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧lg 1－x ≤0，x <1⇒⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≤1，x <1⇒0≤x <1.∴函数的定义域为[0,1)．(3)由题知⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －1≠0，x －1>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠1，x >1，∴x >1且x ≠2.故f (x )的定义域为{x |x >1且x ≠2}． (4)⎩⎪⎨⎪⎧1－log ax ＋a >0，x ＋a >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧log a x ＋a<log a a ，x >－a ，①②当a >1时，－a <－1. 由①得x ＋a <a . ∴x <0.∴f (x )的定义域为{x |－a <x <0}． 当0<a <1时，－1<－a <0. 由①得x ＋a >a . ∴x >0.∴f (x )的定义域为{x |x >0}．故所求f (x )的定义域是： 当0<a <1时，x ∈(0，＋∞)； 当a >1时，x ∈(－a,0)．求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式.2．(1)函数y ＝x ln (1－2x )的定义域为________． (2)函数y ＝lg x ＋12x －1的定义域为________．(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x <12 (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >12[(1)由题知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－2x >0，解得0≤x <12，∴定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x <12. (2)由题知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x －1>0，解得x >12，∴定义域为{x|x >12}.]比较对数式的大小1．在同一坐标系中作出y ＝log 2 x ，y ＝log 12x ，y ＝lg x ，y＝log 0.1 x 的图象．观察图象，从底数的大小及相对位置方面来看，可以得出什么结论．[提示] 图象如图．结论：对于底数a >1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x 轴；对于底数0<a <1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越小越靠近x轴．2．函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x的图象如图所示，那么a，b，c的大小关系如何？[提示]由图象可知a>1，b，c都大于0且小于1，由于y＝log b x的图象在(1，＋∞)上比y＝log c x的图象靠近x轴，所以b<c，因此a，b，c的大小关系为0<b<c<1<a.3．从以上两个探究，我们能否得出对数函数在第一象限的图象的位置与底数大小的关系．[提示]在第一象限内的对数函数的图象按从左到右的顺序底数依次变大．【例3】(1)比较下列各组数的大小：①log323与log565；②log1.1 0.7与log1.2 0.7.(2)已知log12b<log12a<log12c，比较2b,2a,2c的大小关系．思路点拨：(1)中两小题可以借助对数函数的图象判断大小关系．(2)中可先比较a，b，c的大小关系，再借助指数函数的单调性．[解](1)①∵log323<log3 1＝0，而log565>log5 1＝0，∴log323<log565.②法一：∵0<0.7<1,1.1<1.2，∴0>log0.7 1.1>log0.7 1.2.∴1log0.7 1.1<1log0.7 1.2，由换底公式可得log1.1 0.7<log1.2 0.7.法二：作出y＝log1.1x与y＝log1.2x的图象，如图所示，两图象与x＝0.7相交可知log1.1 0.7<log1.2 0.7.(2)∵y＝log12x为减函数，且log12b<log12a<log12c，∴b>a>c.而y＝2x是增函数，∴2b>2a>2c.比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．3．比较下列各组数的大小．(1)log3 3.4，log3 8.5；(2)log0.1 3与log0.6 3；(3)log4 5与log6 5；(4)(lg m)1.9与(lg m)2.1(m>1)．[解](1)∵底数3>1，∴y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，于是log33.4<log38.5.(2)在同一坐标系内作出y＝log0.1x与y＝log0.6x的图象，如图，可知在(1，＋∞)上，函数y＝log0.1x的图象在函数y＝log0.6 x图象的上方，故log0.1 3>log0.6 3.(3)∵log4 5>log4 4＝1，log6 5<log6 6＝1，∴log4 5>log6 5.(4)①当0<lg m<1，即1<m<10时，y＝(lg m)x在R上是减函数，∴(lg m )1.9>(lg m )2.1；②当lg m ＝1，即m ＝10时，(lg m )1.9＝(lg m )2.1； ③当lg m >1，即m >10时，y ＝(lg m )x在R 上是增函数， ∴(lg m )1.9<(lg m )2.1.1．判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y ＝log a x (a >0，且a ≠1)这种形式．2．在对数函数y ＝log a x 中，底数a 对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析．1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log a (2x ) B ．y ＝log 2 2x C ．y ＝log 2 x ＋1D ．y ＝lg x .D [根据对数函数的定义，只有D 是对数函数．]2．函数y ＝ln x 的单调增区间是________________，反函数是____________．(0，＋∞) y ＝e x[y ＝ln x 的底为e>1，故y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，其反函数为y ＝e x.]3．函数y ＝log a (2x －3)＋1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________．(2,1) [函数可化为y －1＝log a (2x －3)，可令⎩⎪⎨⎪⎧2x －3＝1，y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，即P (2,1)．]4．求下列函数的定义域：(1)y ＝1log 3 3x ＋2；(2)y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)；(3)y ＝log 12x －2.[解](1)由题知⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2>0，log 33x ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x >－2，3x ＋2≠1⇒x >－23且x ≠－13.所以定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－23且x ≠－13. (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >12，x ≠1.所以y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)的定义域为{x|12<x <2，且x ≠1}.(3)由题知⎩⎪⎨⎪⎧log 12x －2≥0，x －2>0，即0<x －2≤1，所以2<x ≤3， 故定义域为{x |2<x ≤3}．。
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案
教案：幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则第一章：幂函数1.1 幂函数的定义与性质定义：幂函数是一种形式的函数，可以表示为f(x) = x^a，其中a 是实数。
性质：幂函数的图像是一条曲线，随着a 的不同取值，曲线的形状也会发生变化。
当a > 1 时，函数在x > 0 的区间上是增函数；当0 < a < 1 时，函数在x > 0 的区间上是减函数；当a = 0 时，函数是常数函数；当a < 0 时，函数在x >0 的区间上是增函数。
1.2 幂函数的图像与性质图像：通过绘制不同a 值的幂函数图像，观察曲线的形状和变化趋势。
性质：当a > 0 时，函数在x = 0 时无定义，但在x > 0 的区间上有定义；当a < 0 时，函数在x = 0 时无定义，但在x < 0 的区间上有定义；当a 为正整数时，函数在x > 0 的区间上是增函数；当a 为负整数时，函数在x < 0 的区间上是增函数。
第二章：指数函数2.1 指数函数的定义与性质定义：指数函数是一种形式的函数，可以表示为f(x) = a^x，其中a 是正实数。
性质：指数函数的图像是一条曲线，随着x 的增大，曲线的值也会增大。
指数函数的图像经过点(0, 1)，并且随着a 的增大，曲线的斜率也会增大。
2.2 指数函数的图像与性质图像：通过绘制不同a 值的指数函数图像，观察曲线的形状和变化趋势。
性质：当a > 1 时，函数在整个实数域上是增函数；当0 < a < 1 时，函数在整个实数域上是减函数；指数函数的图像具有反射性，即f(x) = a^x 和f(x) = a^(-x) 的图像关于y 轴对称。
第三章：对数函数3.1 对数函数的定义与性质定义：对数函数是一种形式的函数，可以表示为f(x) = log_a(x)，其中a 是正实数。
性质：对数函数的图像是一条曲线，随着x 的增大，曲线的值也会增大。
高中数学《指数函数对数函数幂函数》教案苏教版必修
第二十九课时 指数函数、对数函数、幂函数 【学习导航】学习要求1、进一步巩固指数、函数，幂函数的基本概念。
2、能运用指数函数，对数函数，幂函数的性质解决一些问题。
3、掌握图象的一些变换。
4、能解决一些复合函数的单调性、奇偶性等问题。
【精典范例】例1、已知f(x)=x 3·(21121+-x )； (1)判断函数的奇偶性；(2)证明：f(x)>0.【解】：(1)因为2x －1≠0，即2x ≠1，所以x ≠0，即函数f(x)的定义域为{x ∈R|x ≠0} . 又f(x)=x 3(21121+-x )=1212·23-+x x x ， f(－x)=1212·21212·2)(33-+=-+---x x x x x x =f(x)， 所以函数f(x)是偶函数。
(2)当x>0时，则x 3>0，2x >1，2x －1>0，所以f(x)=.01212·23>-+x x x 又f(x)=f(－x),当x<0时，f(x) =f(－x)>0.综上述f(x)>0.例2、已知f(x)=),(1222·R x a a x x ∈+-+若f(x)满足f(－x)=－f(x). (1)求实数a 的值；(2)判断函数的单调性。
【解】：(1)函数f(x)的定义域为R ，又f(x)满足f(－x)= －f(x)，所以f(－0)= －f(0)，即f(0)=0.所以0222=-a ，解得a=1， (2)设x 1<x 2,得0<2x 1<2x 2,则f(x 1) －f(x 2)=121212122211+--+-x x x x =)12)(12()22(22121++-x x x x 所以f(x 1) －f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2).所以f(x)在定义域R 上为增函数.例3、已知f(x)=log 2(x+1)，当点(x,y)在函数y=f(x)的图象上运动时，点(23y ，x )在函数y=g(x)的图象上运动。
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案一、教学目标知识与技能：1. 理解幂函数、指数函数的定义和性质。
2. 掌握对数的定义和性质，了解对数函数的图像和应用。
3. 掌握对数的运算法则，并能应用于实际问题中。
过程与方法：1. 通过实例和图形，培养学生的观察和分析能力，提高学生对幂函数、指数函数和对数函数的理解。
2. 通过小组讨论和探究活动，培养学生的合作和沟通能力，提高学生对对数运算法则的掌握。
情感态度与价值观：1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心，激发学生对幂函数、指数函数和对数函数的学习热情。
2. 培养学生的耐心和细心，提高学生在解决实际问题中的数学应用能力。
二、教学内容第一节：幂函数1. 幂函数的定义和性质2. 幂函数的图像和应用第二节：指数函数1. 指数函数的定义和性质2. 指数函数的图像和应用第三节：对数函数1. 对数的定义和性质2. 对数函数的图像和应用第四节：对数的运算法则1. 对数的加法和减法法则2. 对数的乘法和除法法则3. 对数的幂法则三、教学重点与难点重点：1. 幂函数、指数函数和对数函数的定义和性质。
2. 对数的运算法则。
难点：1. 对数函数的图像和应用。
2. 对数的幂法则的理解和应用。
四、教学方法与手段教学方法：1. 讲授法：讲解幂函数、指数函数和对数函数的定义和性质。
2. 案例分析法：分析实际问题中的应用，展示对数函数的图像。
3. 小组讨论法：分组讨论对数的运算法则，促进学生之间的交流和合作。
教学手段：1. 多媒体课件：展示幂函数、指数函数和对数函数的图像和实例。
2. 练习题：提供练习题，帮助学生巩固所学知识和技能。
1. 课堂参与度：观察学生在课堂中的积极参与和提问情况，评价学生的学习兴趣和主动性。
2. 练习题完成情况：检查学生完成练习题的正确率和解题思路，评价学生的理解和应用能力。
3. 小组讨论报告：评估学生在小组讨论中的表现和合作能力，以及对数运算法则的理解和应用。
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案第一章：幂函数1.1 幂函数的定义与性质定义：幂函数是一种形式的函数，可以表示为y = x^a，其中x是变量，a是常数。
性质：幂函数的图像是一条曲线，取决于指数a的值。
当a为正整数时，函数在x轴的正半轴上递增。
当a为负整数时，函数在x轴的正半轴上递减。
当a为分数时，函数的图像呈现出特殊的变化规律。
1.2 幂函数的图像与性质绘制幂函数的图像，观察不同指数a对图像形状的影响。
分析幂函数的单调性、奇偶性、渐近线等性质。
第二章：指数函数2.1 指数函数的定义与性质定义：指数函数是一种形式的函数，可以表示为y = a^x，其中a是底数，x是变量。
性质：指数函数的图像是一条递增的曲线，底数a大于1时，曲线向上弯曲；底数a 小于1时，曲线向下弯曲。
指数函数的渐近线是y轴。
指数函数的值域是正实数集。
2.2 指数函数的应用分析指数函数的增长速度，比较不同底数的指数函数。
应用指数函数解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。
第三章：对数函数3.1 对数函数的定义与性质定义：对数函数是一种形式的函数，可以表示为y = log_a(x)，其中a是底数，x是变量。
性质：对数函数的图像是一条递减的曲线，底数a大于1时，曲线向下弯曲；底数a 小于1时，曲线向上弯曲。
对数函数的渐近线是x轴。
对数函数的定义域是正实数集。
3.2 对数函数的应用分析对数函数的单调性，比较不同底数的对数函数。
应用对数函数解决实际问题，如测量、数据压缩等。
第四章：对数运算法则4.1 对数的基本性质回顾对数的定义，巩固对数函数的基本性质。
学习对数的换底公式、对数的反对数等基本性质。
4.2 对数的运算法则学习对数的加法、减法、乘法、除法等运算法则。
运用对数的运算法则进行复杂对数表达式的化简和求值。
第五章：对数函数的应用5.1 对数函数在实际问题中的应用分析实际问题，识别可以用对数函数表示的关系。
应用对数函数解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。
高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.3 幂函数高一数学教案
3.3 幂函数一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象不经过第四象限．( )(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点．( )(3)指数函数y＝a x的定义域为R，与底数a无关，幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关．( )[答案] (1)√ (2)× (3)×[提示] (1)由幂函数的一般式y ＝x α(α为常数)及图象可知，当x >0时，y >0，即图象不经过第四象限．(2)y ＝x －1不经过(0,0)点，故错误．(3)y ＝x 12，定义域为[0，＋∞)，与指数有关，故错误． 2．若y ＝mx α＋(2n －4)是幂函数，则m ＋n ＝________. 3[由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，2n －4＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.]3．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(2,8)，则f (－2)＝________.－8 [8＝2α，所以α＝3，所以f (x )＝x 3，f (－2)＝(－2)3＝－8.]幂函数的概念【例1】 已知y ＝(m 2＋2m －2)x m 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．思路点拨：由幂函数的定义列式求解．[解] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，m 2－1≠0，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝32，∴m ＝－3，n ＝32为所求．1．幂函数y ＝x α要满足三个特征 (1)幂x α前系数为1；(2)底数只能是自变量x ，指数是常数； (3)项数只有一项．2．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f (x )＝x α，根据条件求出α.1．下列函数是幂函数的有________．(填序号) ①y ＝x 2x；②y ＝2x 2；③y ＝x 2；④y ＝x 2＋1；⑤y ＝－1x；⑥y＝x 23.③⑥ [根据幂函数的定义，只有③⑥符合题意．] 2．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，22，则f (100)＝________.110 [由题知2α＝22＝2－12，∴α＝－12. ∴f (x )＝x －12，∴f (100)＝100－12＝1100＝110.]比较大小(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1312与⎝ ⎛⎭⎪⎫1412；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1；(3)0.25－14与6.2514；(4)0.20.6与0.30.4.思路点拨：可以借助幂函数的单调性或中间量进行比较．[解] (1)∵y ＝x 12是[0，＋∞)上的增函数，且13>14，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1312>⎝ ⎛⎭⎪⎫1412. (2)∵y ＝x －1是(－∞，0)上的减函数， 且－23<－35，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1>⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1. (3)0.25－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－14＝212，6.2514＝2.512.∵y ＝x 12是[0，＋∞)上的增函数，且2<2.5， ∴212<2.512，即0.25－14<6.2514.(4)由幂函数的单调性，知0.20.6<0.30.6，又y ＝0.3x是减函数，∴0.30.4>0.30.6，从而0.20.6<0.30.4.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数： (1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数； (2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数；(3)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量．3．比较下列各组中两个数的大小：(1)3－52，3.1－52；(2)a 1.5，(a ＋1)1.5(a ＞0)； (3)(－0.88)53，(－0.89)53.[解] (1)因为函数y ＝x －52在(0，＋∞)内是减函数，所以3－52＞3.1－52.(2)函数y ＝x 1.5在(0，＋∞)内是增函数，又a ＞0，a ＋1＞a ， 所以(a ＋1)1.5＞a 1.5.(3)函数y ＝x 53 在R 上为增函数， 所以(－0.88)53＞(－0.89)53.幂函数的图象与性质1．做幂函数y ＝x 23的图象应该怎么做？[提示] ①因为0<23<1，故函数y ＝x 23在第一象限内是单调递增的，并且在(0,1)上应在y ＝x 的上方，在(1，＋∞)上应在y ＝x 的下方．②函数的定义域为R ，且为偶函数，故将y 轴右侧的图象关于y 轴对称到y 轴左侧，即得到y ＝x 23的图象(略)．2．从上述过程能否归纳出作幂函数y ＝x α的图象的步骤？[提示] ①先看α，按α<0,0<α<1，α>1来分类(α＝0，α＝1两种特殊情况可直接作图)，并确定在第一象限的图象的形状．②再看定义域以及函数的奇偶性，结合奇偶性利用图象变换得到函数在y 轴左侧的图象．3．作出y ＝x －13的图象(草图)，并说明若x －13>y －13时，x ，y 与0的大小关系有多少种？[提示] y ＝x －13在第一象限内的图象单调递减，且为奇函数，草图如下，从图象可以看出，若x －13>y －13，则有以下情况 ①0<x <y ；②x <y <0；③x >0>y . 【例3】 已知幂函数y ＝x3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的取值范围．思路点拨：据题中条件→列出不等式组→求出m →利用幂函数的单调性→对底数分类讨论→得a [解] ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴3m －9<0，解得m <3. 又m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数图象关于y 轴对称，∴3m －9为偶数，故m ＝1.∴有(a ＋1)－13<(3－2a )－13.∵y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a ，或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.所以a的取值范围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，321．本题在解答过程中易出现忽略对底数的分类讨论而产生漏解．2．求解此类题目的关键是弄清幂函数的概念及幂函数的性质．解决此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性或奇偶性(图象对称性)求出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围．4.已知x 2>x 13，则x 的取值范围是______．(－∞，0)∪(1，＋∞) [作出函数y ＝x 2和y ＝x 13的图象(如图所示)，易得x <0或x >1.]1．幂函数y ＝x α的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．2．幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律 在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．3．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f (1)＝1.(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数． (3)如果α<0，幂函数在x ＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( ) A ．y ＝x －3B ．y ＝－x 3C ．y ＝2x 3D ．y ＝x 3－1.A [幂函数是形如y ＝x α的函数，观察四个函数只有A 中函数是幂函数．]2．已知幂函数y ＝x α的图象过点(2，2)，则f (4)的值是_____． 2 [将点(2，2)代入幂函数可得f (2)＝2α＝2，解得α＝12，即幂函数为f (x )＝x 12，可得f (4)＝412＝2.]3．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是________．(填序号)(1)y ＝x 12；(2)y ＝x 4；(3)y ＝x －1；(4)y ＝x 3.(2) [(1)为非奇非偶函数，(3)为不过(0,0)的奇函数，(4)为奇函数，只有(2)符合题意．]4．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2323，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2523，比较a ，b ，c 的大小关系．[解]∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 在R 上为减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2323<⎝ ⎛⎭⎪⎫2313，即a <b ，∵f (x )＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2323>⎝ ⎛⎭⎪⎫2523，即a >c ，所以b >a >c .。
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案教学目标：1. 理解幂函数、指数函数和对数函数的定义及性质。
2. 掌握对数的定义及其运算法则。
3. 能够运用幂函数、指数函数和对数函数解决实际问题。
教学内容：第一章：幂函数1.1 幂函数的定义与性质1.2 幂函数图像的特点1.3 幂函数的应用第二章：指数函数2.1 指数函数的定义与性质2.2 指数函数图像的特点2.3 指数函数的应用第三章：对数函数3.1 对数的定义与性质3.2 对数函数图像的特点3.3 对数函数的应用第四章：对数及其运算法则4.1 对数的换底公式4.2 对数的运算法则4.3 对数函数的图像与性质第五章：实际问题中的应用5.1 利用幂函数、指数函数和对数函数解决实际问题5.2 练习题及解答教学方法：1. 采用讲授法，讲解幂函数、指数函数和对数函数的定义、性质及应用。
2. 利用数形结合法，引导学生观察函数图像，加深对函数性质的理解。
3. 通过例题和实际问题，培养学生的应用能力。
教学评估：1. 课堂提问，检查学生对幂函数、指数函数和对数函数的理解程度。
2. 布置课后作业，巩固所学知识。
3. 进行单元测试，评估学生的掌握情况。
教学资源：1. 教学PPT，展示幂函数、指数函数和对数函数的图像及性质。
2. 教材和辅导书，提供相关知识点的详细讲解和例题。
3. 网络资源，查阅实际问题中的应用案例。
教学时间安排：1. 第一章：2课时2. 第二章：2课时3. 第三章：2课时4. 第四章：2课时5. 第五章：1课时幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案（续）教学内容：第六章：指数与对数的互化6.1 指数与对数的关系6.2 指数与对数的互化方法6.3 指数与对数互化在实际问题中的应用第七章：对数函数的图像与性质7.1 对数函数的图像特点7.2 对数函数的性质7.3 对数函数图像与性质的应用第八章：对数函数在实际问题中的应用8.1 对数函数解决生长、衰减问题8.2 对数函数在几何问题中的应用8.3 对数函数在其他领域的应用第九章：对数方程与对数不等式9.1 对数方程的解法9.2 对数不等式的解法9.3 对数方程与对数不等式的应用第十章：总结与拓展10.1 幂函数、指数函数和对数函数的总结10.2 数学思想与方法的拓展10.3 课后习题与思考题教学方法：1. 采用讲授法，讲解指数与对数的关系、互化方法及其应用。
幂函数指数函数和对数函数单元教学设计
活动意图说明： 点评 考察定义，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x ，指数为常数这三个条件，才是幂函数．如：y ＝3x 2，y ＝(2x )3，y ＝⎝⎛⎭⎫x 24都不是幂函数． 环节二：教师活动2知识点二 五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)12y x ＝；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 12y x ＝y ＝x －1定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ≠0} 奇偶性奇偶 奇非奇非偶奇 单调性增在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减增增在(0，＋∞) 上减， 在(－∞，0) 上减知识点三 一般幂函数的图象特征一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； (3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称； (5)在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 学生活动学生把自己的作图结果展示并比较，讨论，校对。
教师最后可以用课件动态展示结果。
并得出正确的图像。
学生先相互讨论，如有不足老师再提醒或补充。
活动意图说明学生通过作图从熟悉的图像到陌生的图像进一步学会做图和看图，学会图像这个工具进一步研究性质。
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幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案
如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作
logaN=b，
其中a叫做底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式．
练习1 把下列指数式写成对数形式：
练习2 把下列对数形式写成指数形式：
练习3 求下列各式的值：
因为22=4，所以以2为底4的对数等于2．
因为53=125，所以以5为底125的对数等于3．
师：由定义，我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么？
生：a＞0且a≠1；b∈R；N∈R．
师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．）
生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ab=N中N总是正数．
师：要特别强调的是：零和负数没有对数．
师：定义中为什么规定a＞0，a≠1？
生：因为若a＜0，则N取某些值时，b可能不存在，如b=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，b不存在，如log02不存在；当N为0时，b可以为任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N 不为1时，b不存在，如log13不存在，N为1时，b可以为任何数，是不唯一的，即log11有无数多个值．因此，我们规定：a＞0，a≠1．
师：（板书）对数logaN（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数，简记lgN；底数a=e时，叫做自然对数，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.718 28……．
练习4 计算下列对数：
lg10000，lg0.01，2log24，3log327，10lg105，5log51125．
师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想．
生：2log24=4．这是因为log24=2，而22=4．
生：3log327=27．这是因为log327=3，而33=27．
生：10lg105=105．
生：我猜想alogaN=N，所以5log51125=1125．
alogaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）．（用红笔在字母取值范围下画上曲线）
证明：设指数等式ab=N，则相应的对数等式为logaN=b，所以ab=alogaN=N．
师：你是根据什么证明对数恒等式的？
生：根据对数定义．
师：（分析小结）证明的关键是设指数等式ab=N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知
识只有定义，所以显然要利用定义加以证明．而对数定义是建立在指数基础之上的，所以必须先设出指数等式，从而转化成对数等式，再进行证明．
师：掌握了对数恒等式的推导之后，我们要特别注意此等式的适用条件．
生：a＞0，a≠1，N＞0．
师：（板书）2log28=？2log42=？
生：2log28=8；2log42=2．
师：第2题对吗？错在哪儿？
师：（继续追问）在运用对数恒等式时应注意什么？
生：当幂的底数和对数的底数相同时，才可以用公式
alogaN=N．
师：负数和零有没有对数？并说明理由．
生：负数和零没有对数．因为定义中规定a＞0，所以不论b是什么数，都有ab＞0，这就是说，不论b是什么数，N=ab永远是正数．因此，由等式b=logaN可以看到，负数和零没有对数．
师：（板书）性质1：负数和零没有对数．
师：1的对数是多少？
生：因为a0=1（a＞0，a≠1），所以根据对数定义可得1的对数是零．
师：（板书）1的对数是零．
师；底数的对数等于多少？
生：因为a1=a，所以根据对数的定义可得底数的对数等于1．
师：（板书）底数的对数等于1．
生：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am·an=am+n．同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am ÷an=am-n．还有（am）n=amn；
师：下面我们利用指数的运算法则，证明对数的运算法则．（板书）
（1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和．即
loga（MN）=logaM+logaN．
（请两个同学读法则（1），并给时间让学生讨论证明．）
师：（分析）我们要证明这个运算法则，用眼睛一瞪无从下手，这时我们该想到，关于对数我们只学了定义和性质，显然性质不能证明此式，所以只有用定义证明．而对数是由指数加以定义的，显然要利用指数的运算法则加以证明，因此，我们首先要把对数等式转化为指数等式．
师：（板书）设logaM=p，logaN=q，由对数的定义可以写成M=ap，N=aq．所以
M·N=ap·aq=ap+q，
所以loga（M·N）=p+q=logaM+logaN．
即loga（MN）=logaM+logaN．
师：这个法则的适用条件是什么？
生：每个对数都有意义，即M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．
师：观察法则（1）的结构特点并加以记忆．
生：等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算．
师：非常好．例如，（板书）log2（32×64）=？
生：log2（32×64）=log232+log264=5+6=11．
师：通过此例，同学应体会到此法则的重要作用——降级运算．它使计算简化．
师：（板书）log62+log63=？
生：log62+log63=log6（2×3）=1．
师：正确．由此例我们又得到什么启示？
生：这是法则从右往左的使用．是升级运算．
师：对．对于运算法则（公式），我们不仅要会从左往右使用，还要会从右往左使用．真正领会法则的作用！
师：（板书）（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数．
师：仿照研究法则（1）的四个步骤，自己学习．
（给学生三分钟讨论时间．）
生：（板书）设logaM=p，logaN=q．根据对数的定义可以写成M=ap，N=aq．所以
师：非常好．他是利用指数的运算法则和对数的定义加以证明的．大家再想一想，在证明法则（2）时，我们不仅有对数的定义和性质，还有法则（1）这个结论．那么，我们是否还有其它证明方法？
生：（板书）
师：非常漂亮．他是运用转化归结的思想，借助于刚刚证明的法则（1）去证明法则（2）．他的证法要比书上的更简单．这说明，转化归结的思想，在化难为易、化复杂为简单上的重要作用．事实上，这种思想不但在学习新概念、新公式时常常用到，而且在解题中的应用更加广泛．
师：法则（2）的适用条件是什么？
生：M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．
师：观察法则（2）的结构特点并加以记忆．
生：等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．师：（板书）lg20-lg2=？
师：可见法则（2）的作用仍然是加快计算速度，也简化了计算的方法．
例1 计算：
生：（板书）
解
（1）log93+log927=log93×27=log981=2；
（3）log2（4+4）=log24+log24=4；
（由学生判对错，并说明理由．）
生：第（2）题错！在同底的情况下才能运用对数运算法则．（板书）
生：第（3）题错！法则（1）的内容是：
生：第（4）题错！法则（2）的内容是：
生：首先，在同底的情况下才能从右往左运用法则（1）、（2）；其次，只有在正因数的积或两个正数的商的对数的情况下，才能从左往右运用运算法则（1）、（2）．
师：（板书）（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．即
loga（N）n=n·logaN．
师：（分析）欲证loga（N）n=n·logaN，只需证
Nn=an·logaN=（a·logaN）n，
只需证N=alogaN．
由对数恒等式，这是显然成立的．
师：（板书）设N＞0，根据对数恒等式有
N=alogaN．
所以Nn=（alogaN）n=an·logaN．
根据对数的定义有
loga（N）n=n·logaN．
师：法则（3）的适用条件是什么？
生：a＞0，a≠1；N＞0．
生：从左往右仍然是降级运算．
师：例如，（板书）log332=log525=5log52．练习计算（log232）3．
错解：（log232）3=log2（25）3=log2215=15．
正确解：（log232）3=（log225）3=（5log22）3=53=125．
师：（板书）（4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数．即
师：法则（4）的适用条件是什么？
生：a＞0，a≠1；N＞0．
师：法则（3）和法则（4）可以合在一起加以记忆．即logaNα=αlogaN（α∈R）．（师板书）例2 用logax，logay，logaz表示下列各式：
解
（注意（3）的第二步不要丢掉小括号．）
例3 计算：
解
（1）log2（47×25）=log247+log225=7log24+5log22=7×2+5×1=19．。