函数与方程(零点问题)

§2.8 函数与方程
函数零点问题 学习目标;(1)理解函数零点定义，会应用函数零点存在性定理 (2)体会函数与方程的转化思想
一 知识导练
1. (必修1 P43练习3改编) 函数3
2
()2f x x x x =-+的零点是____________．
解析：解方程x3－2x2＋x ＝0得x ＝0或x ＝1，所以函数的零点是0或1. 导航：函数零点的求解
2．(必修1 P111复习13改编)已知函数()23x
f x x =-，则函数f(x)的零点个数是____． 解析：解法1：令f(x)＝0，则2x ＝3x ，在同一坐标系中分别作出y ＝2x 和y ＝3x 的图象，由图知函数y ＝2x 和y ＝3x 的图象有2个交点，所以函数f(x)的零点个数为2.
解法2：由f(0)>0，f(1)<0，f(3)<0，f(4)>0，…，所以有2个零点，分别在区间(0，1)和(3，4)内．
导航：函数零点个数的判定 3.给出以下三个结论：（1）0一定是奇函数的一个零点；
（2）单调函数有且仅有一个零点； （3）周期函数一定有无穷多个零点.
其中正确的结论共有_____个。

4．(必修1 P97习题8)若关于x 的方程2
7(13)20x m x m -+--=的一个根在区间(0，1)上，另一个在区间(1，2)上，则实数m 的取值范围为_____________．
解析：设f(x)＝7x2－(m ＋13)x －m －2，则⎩⎪⎨⎪
⎧f （0）>0，f （1）<0，f （2）>0，解得－4<m<－2.
导航：一元二次方程的根的分布问题
5.已知函数f(x)＝1
x ＋2
－m|x|有三个零点，则实数m 的取值范围为____________．
解析：(1)函数f(x)有三个零点等价于方程1x ＋2＝m|x|有且仅有三个实根．由1
x ＋2＝m|x|，
得1m ＝|x|(x ＋2)，作出函数y ＝|x|(x ＋2)的图象，如右上图所示．由图象可知m 应满足0<1
m <1，故m>1.
要点回顾：
二 例题导析
知识点一 函数零点的判断和求解
例一 判断下列函数在给定区间上是否存在零点．
(1) 2
()318,[1,8]f x x x x =--∈ (2) ()351,[1,1]x
f x x x =-+∈-
(3) 3()1,[1,2]f x x x x =--∈- (4)()sin ,[,]66
f x x x x ππ
=-∈-
(作为变式出现) 2．已知三个函数f(x)＝2x ＋x ，g(x)＝x －2，h(x)＝log2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为______________．
解析：方法一 由于f(－1)＝12－1＝－1
2<0，f(0)＝1>0且f(x)为R 上的递增函数．故f(x)
＝2x ＋x 的零点a ∈(－1，0)．∵g(2)＝0，∴g(x)的零点b ＝2；
∵h ⎝⎛⎭⎫12＝－1＋12＝－1
2<0，h(1)＝1>0，且h(x)为(0，＋∞)上的增函数，∴h(x)的零点c ∈⎝⎛⎭⎫12，1，因此a<c<b.
方法二 由f(x)＝0得2x ＝－x ；由h(x)＝0得log2x ＝－x ，作出函数y ＝2x ，y ＝log2x 和y ＝－x 的图象(如图)．由图象易知a<0，0<c<1，而b ＝2，故a<c<b. 知识点二 函数零点个数的判断
例2 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧1－|x －1| （x<2），12f （x －2） （x ≥2），则方程xf(x)－1＝0的根的个数为_____．
解析：(1)即求f(x)＝1
x 解的个数，画出图象，当x<7时，由图象可知解的个数为6个当
x ≥7时，f(x)<1x 恒成立，即f(x)＝1
x
无解，∴根的个数为6个．
(作为变式出现)(2)(2018·安徽)已知函数f(x)＝1
x －1－ln x ，函数y ＝f(|x|)的零点个数为n ，
则logn2＝1
2
．
(2)当x ≥0时，函数y ＝f(|x|)即为y ＝f(x)，则函数y ＝f(|x|)的零点个数即为函数y ＝1
x －1
与函数y ＝ln x 的图象的交点个数．在同一直角坐标系中，作出函数y ＝
1
x －1
与函数y ＝ln x 的大致图象如图所示．由图可知两图象有两个交点，故当x ≥0时，函数y ＝f(|x|)的零点个数为2；当x<0时，函数y ＝f(|x|)即为y ＝f(－x)．则函数y ＝f(|x|)的零点个数即为函数y ＝1－x －1与函数y ＝ln (－x)的图象的交点个数．在同一直角坐标系中，作出函数y ＝1
－x －1与函数y ＝ln (－x)的大致图象如下：
两图象有两个交点，故当x<0时，函数y ＝f(|x|)的零点个数为2.综上，函数y ＝f(|x|)的零点个数为4，所以n ＝4.所以logn2＝log42＝1
2
.
（作为变式）6．函数f(x)＝2sin π x －x ＋1的所有零点之和为_______．
解析：由f(x)＝2sin π x －x ＋1＝0，得2sin π x ＝x －1，在同一直角坐标系中，作出函数y ＝2sin π x 与y ＝x －1的图象，如右图所示：观察图象可知，函数y ＝2sin πx 与y ＝x －1的图象有五个交点，故函数f(x)＝2sin π x －x ＋1有5个零点．又这两个函数均关于(1，0)对称，所以零点也关于(1，0)对称．故5个零点之和为x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝2x2＋1＝5.
知识点三 根据零点个数求参数取值范围
例3已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥2，
（x －1）3，0<x<2
，若关于x 的方程f(x)＝kx 有两个不同的实根，则
实数k 的取值范围是⎝⎛⎭
⎫0，1
2． 解析：由如图可知，当直线y ＝kx 在直线OA 与x 轴(不含它们)之间时，y ＝kx 与y ＝f(x)
的图象有两个不同交点，即方程有两个不相同的实根．
（作为变式）(2018·镇江模拟)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧|x2＋5x ＋4|，x ≤0，
2|x －2|，x>0.
若函数y ＝f(x)－
a|x|恰有4个零点，则实数a 的取值范围为(1，2)．
(2)在同一坐标系内分别作出y ＝f(x)与y ＝a|x|的图象，如右下图所示，当y ＝a|x|与y ＝f(x)的图象相切时，联立
⎩
⎪⎨⎪⎧－ax ＝－x2－5x －4，a>0，整理得x2＋(5－a)x ＋4＝0，则Δ＝(5－a)2－4×1×4＝0，解得a ＝1或a ＝9(舍去)，∴当y ＝a|x|与y ＝f(x)的图象有四个交点时，有1<a<2. （作为变式）10．(2018·南京、盐城模拟)若函数f(x)＝x2－mcos x ＋m2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为{2}．
解析：f(x)是偶函数，若f(x)有唯一零点，故f(0)＝0，由f(0)＝0，得m2＋2m －8＝0，解得m ＝2或m ＝－4.当m ＝2时，f(x)＝x2－2cos x ＋2＝x2＋4sin2x
2，有唯一零点x ＝0；当
m ＝－4时，f(x)＝x2＋4cos x －4.因为f(2)＝4cos 2＜0，f(π )＝π 2－8＞0，所以在(2，π )内也有零点，不合题意．
（或者选用《教测》对应章节例4）。