新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系第1课时函数的零点及其与对应方程、不等式解集之

新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系第1课时函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系课
后课时精练新人教B 版必修第一册
A 级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．下列说法中正确的有( )
①f (x )＝x ＋1，x ∈[－2,0]的零点为(－1,0)； ②f (x )＝x ＋1，x ∈[－2,0]的零点为－1；
③y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图像与x 轴的交点； ④y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图像与x 轴交点的横坐标． A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．②③
答案 B
解析 根据函数零点的定义，f (x )＝x ＋1，x ∈[－2,0]的零点为－1，函数y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图像与x 轴交点的横坐标．因此，说法②④正确．故选B.
2．函数f (x )＝x 2
－x －1的零点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个
答案 C
解析 Δ＝(－1)2
－4×1×(－1)＝5>0，所以方程x 2
－x －1＝0有两个不相等的实根，故函数f (x )＝x 2
－x －1有2个零点．
3．函数f (x )＝2x 2
－3x ＋1的零点是( ) A ．－1
2，－1
B.12，1
C.1
2，－1 D ．－12
，1
答案 B
解析 方程2x 2－3x ＋1＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝12，所以函数f (x )＝2x 2
－3x ＋1的
零点是1
2
，1.
4．函数y ＝x 2
－bx ＋1有一个零点，则b 的值为( )
A ．2
B ．－2
C ．±2
D ．3
答案 C
解析 因为函数有一个零点，所以Δ＝b 2
－4＝0，所以b ＝±2.
5．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1a <0的解集为( )
A ．(－∞，a )∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a
，＋∞
B ．(a ，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(a ，＋∞)
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－∞，1a
答案 A
解析 ∵a <－1，∴a (x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0⇔(x －a )⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1a >0.又a <－1，∴1a
>a ，由函数f (x )
＝(x －a )·⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1a 的图像可得所求不等式的解集为(－∞，a )∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ，＋∞.
二、填空题
6．函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －4，x ∈[0，＋∞，
2x 2
－3x －2，x ∈－∞，0的零点为________．
答案 2，－1
2
解析 当x ≥0时，由2x －4＝0，得x ＝2；当x <0时，由2x 2
－3x －2＝0，得x ＝－12或
2(舍去)．故函数f (x )的零点是2，－1
2
.
7．已知函数f (x )＝ax 2
－5x ＋2a ＋3的一个零点为0，则f (x )的单调递增区间为________．
答案 ⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－53 解析 由已知，得f (0)＝2a ＋3＝0，∴a ＝－32，∴f (x )＝－32x 2
－5x ，∴f (x )的单调递
增区间为⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－53.
8．已知a 为常数，则函数f (x )＝|x 2
－9|－a －2的零点个数最多为________． 答案 4
解析 令g (x )＝|x 2
－9|，h (x )＝a ＋2，在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图像，如图所示．
由图可知当a ＋2>9，即a >7时，两函数图像有2个交点，即函数f (x )有2个零点；当
a ＋2＝9，即a ＝7时，两函数图像有3个交点，即函数f (x )有3个零点；当0<a ＋2<9，即
－2<a <7时，两函数图像有4个交点，即函数f (x )有4个零点；当a ＋2＝0，即a ＝－2时，两函数图像有2个交点，即函数f (x )有2个零点；当a ＋2<0，即a <－2时，两函数图像没有交点，即函数f (x )没有零点．综上，可知函数f (x )最多有4个零点．
三、解答题 9．若不等式ax
2
＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
－1
3
≤x ≤2
，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．
解 由ax 2
＋bx ＋c ≥0的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
－1
3≤x ≤2
，知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－1
3，2，∴⎩⎪⎨⎪⎧
－13＋2＝－b
a ，－13×2＝c
a ，
∴b ＝－53a ，c ＝－2
3
a .
∴不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a x 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－53a x ＋a <0，即2ax 2
－5ax －3a >0.
又∵a <0，∴2x 2
－5x －3<0，
∴所求不等式的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
－1
2<x <3
. 10．已知函数f (x )＝x 2
－2x －3，x ∈[－1,4]． (1)画出函数y ＝f (x )的图像，并写出f (x )≥0的解集；
(2)当m 为何值时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1,4]上有两个零点？
解 (1)依题意，f (x )＝(x －1)2
－4，x ∈[－1,4]，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.因此3和－1都是函数f (x )的零点，其图像如图所示．由图可知，f (x )≥0的解集为{－1}∪[3,4]．
(2)∵函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1，4]上有两个零点．∴方程f (x )＝－m 在x ∈[－1,4]上有两个相异的实数根，即函数y ＝f (x )与y ＝－m 的图像有两个交点．由(1)所作图像可知，－4<－m ≤0，
∴0≤m <4.∴当0≤m <4时，函数y ＝f (x )与y ＝－m 的图像有两个交点，即当0≤m <4时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1,4]上有两个零点．
B 级：“四能”提升训练
1．设函数f (x )＝(m ＋1)x 2
－mx ＋m －1. (1)当m ＝1时，求不等式f (x )>0的解集；
(2)若不等式f (x )＋1>0的解集为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，3，求m 的值．
解 (1)当m ＝1时，不等式f (x )>0为2x 2
－x >0， 由函数f (x )的图像可得所求不等式的解集为
(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞. (2)不等式f (x )＋1>0，即(m ＋1)x 2
－mx ＋m >0， 由题意知32，3是方程(m ＋1)x 2
－mx ＋m ＝0的两根，
因此⎩⎪⎨⎪⎧
32＋3＝m m ＋1，
32×3＝m
m ＋1
⇒m ＝－9
7
.
2．已知关于x 的函数f (x )＝(m ＋6)x 2
＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点． (1)求m 的范围；
(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求m 的值． 解 (1)当m ＋6＝0，即m ＝－6时，函数为y ＝－14x －5，显然有零点； 当m ＋6≠0，即m ≠－6时， 由Δ＝4(m －1)2
－4(m ＋6)(m ＋1) ＝－36m －20≥0，得m ≤－5
9
.
∴当m ≤－5
9且m ≠－6时，二次函数恒有零点．
综上，m ≤－5
9
.
故m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－59. (2)设x 1，x 2是函数的两个零点，则有
x 1＋x 2＝－
2
m －1m ＋6，x 1x 2＝m ＋1
m ＋6
.
∵1x 1＋1x 2
＝－4，即x 1＋x 2
x 1x 2
＝－4，
∴－
2m －1
m ＋1
＝－4，解得m ＝－3.
且当m ＝－3时，
m ＋6≠0，Δ>0符合题意，
∴m 的值为－3.。