三角函数的奇偶性(人教A版)(含答案)
最新人教A版高中数学必修一课件：3.2.2 奇偶性
[方法技巧] 巧用奇函数、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． (2)求解：根据奇函数、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇 函数、偶函数图象的问题．
题型三 利用函数的奇偶性求解析式
【学透用活】
[典例3] (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a ＝________，b＝________.
(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________. [解析] (1)因为偶函数的定义域关于原点对称，
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)f(x)是定义在R上的函数，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数． ( )
(2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函
数．
()
(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
D．无法确定
解析：∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1.
答案：C
4 ． 函 数 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 当 x>0 时 ， f(x) ＝ － x ＋ 1 ， 则 当 x<0 时 ， f(x) ＝ ________.
解析：当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝－f(x)，所以f(x)＝－x
【对点练清】 1．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
高中数学人教(A)版高一必修第一册 第五章《5.4 三角函数的图形与性质》 练习题
5.4 三角函数的图形与性质5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象基础过关练习题组一 正弦函数、余弦函数的图象1、用“五点法”作1cos 2-=x y 在[]π2,0上的图象时，应取的五点为（ ）A 、()()()120231-021,0，，，，，，，，ππππ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛B 、()()()121-233-1-21,0，，，，，，，，ππππ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ C 、()()()()()143-3123-1,0，，，，，，，，ππππ D 、()⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2-321-2031-361,0，，，，，，，，ππππ 2、函数y=−sinx ，x ∈[23,2-ππ]的简图（ ） A 、 B. C. D.3、已知函数()x cos 23+-=x f 的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛b ，3π，则b= 。
4、用“五点法”作函数x y cos 311-=图象的简图。
题组二 正弦、余弦曲线的运用5、使不等式0sin 22≥-x 成立的x 的取值集合是（ ）A 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,43242|ππππ B 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,47242|ππππ C 、⎬⎫⎨⎧∈+≤≤Z k k x k x ,25-2|ππππ D 、⎬⎫⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,7252|ππππ6、已知集合A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21cos |αα，B={}παα<<0|，且C B A = ,则C=（ ） A 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<60|παα B 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<23|παπα C 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<30|παα D 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<παπα3|7、函数()x x f 4log =的图象与函数()x x g πsin =的图象的交点个数是（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 8、（多选）下列x 的取值范围能使x x sin cos >成立的是（ ）A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛40π，B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛454ππ，C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ245，D 、⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛4524ππππ，， 9、函数x y cos =，[]π2,0∈x 的图象与直线21-=y 的交点有 个。
人教A版高中数学必修一课件 《三角函数的图象与性质》三角函数(第二课时正、余弦函数的周期性与奇偶性)
三角函数奇偶性的判断 【例 2】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin－12x＋π2； (2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)； (3)f(x)＝1＋s1i＋n xs－in cxos2x.
16
[思路点拨]
17
[解] (1)显然x∈R，f(x)＝cos12x，
A．－12
B.12
C．－
3 2
D.
3 2
24
[思路点拨] (1)先作出选项A，B中函数的图象，化简选项C、D中函 数的解析式，再判断奇偶性、周期性．
(2)先依据f(x＋π)＝f(x)化简f53π；再依据f(x)是偶函数和x∈0，π2，f(x) ＝sin x求值．
25
(1)D (2)D [(1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝ sinπ2＋2x＝cos 2x是偶函数，y＝cos32π－2x＝－sin 2x是奇函数，根据公 式得其最小正周期T＝π.
32
[提示] (1)×.因为对任意 x，sin23π＋x与 sin x 并不一定相等． (2)×.不是所有的函数都有最小正周期，如函数 f(x)＝5 是周期函数， 就不存在最小正周期． (3)×.函数 y＝ sin x的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，不关于 原点对称，故非奇非偶． [答案] (1)× (2)× (3)×
23
【例3】 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是
() A．y＝cos|2x|
B．y＝|sin 2x|
C．y＝sinπ2＋2x
D．y＝cos32π－2x
(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正
周期为π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sin x，则f53π等于( )
2022-2023学年人教A版必修第一册 5-4-2 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 课件
周期函数 (2) 1－2cosπ2x＋4＝1－2cosπ2x ―――的―定―义―――→ 周期为4 .
周期函数 (3) 2sin13x＋6π－π6＝2sin13x－π6 ―――的―定―义―――→ 周期为6π . (4)画出函数图象得出周期．
[解] (1)解法一：∵sin[2(x＋π)]＋3 ＝sin(2x＋2π)＋3＝sin 2x＋3， ∴由周期函数的定义可知 y＝sin 2x＋3 的周期为 π. 解法二：y＝sin2x＋3 的周期为22π＝π. (2)解法一：∵1－2cosπ2x＋4＝1－2cosπ2x＋2π＝1－2cosπ2x， ∴自变量 x 只需并且至少要增加到 x＋4， 函数 y＝1－2cosπ2x，x∈R 的值才能重复出现， ∴函数 y＝1－2cosπ2x，x∈R 的周期是 4.
3．掌握函数 y＝sin性.
精梳理·自主学习固基础
【主题 1】 正、余弦函数的周期 1．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个_非__零__常__数___T_，使得当 x 取定义域内的每 一个值时，都有_f_(_x＋__T__)＝__f_(x_)_．这个函数的周期为______T_________． (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的___正__数___，那么这 个最小___正__数___就叫做 f(x)的_最__小__正__周__期___．
解析：因为函数是以 2 为周期的函数，且 f(3)＝6，则 f(5)＝f(3＋2)＝f(3)＝6.
5．根据函数奇偶性的定义判断函数 y＝lg(cos x)是___偶_____函数．(填“奇”或“偶”)
解析：因为 cos x＞0，即 2kπ－π2＜x＜2kπ＋π2，k∈Z，所以定义域关于原点对称， 又 cos(－x)＝cos x，所以 lg[cos(－x)]＝lg(cos x)，即 y＝lg(cos x)是偶函数．
新教材人教A版高一数学必修一知识点与题型方法总结 第五章三角函数
新教材人教A版高一数学必修一知识点与题型方法总结第五章三角函数【考纲要求】序号考点课标要求1角与弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性。
了解2三角函数的概念和性质①借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值。
借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切）。
理解②借助图象理解正弦函数、余弦函数在上，正切函数在上的性质。
理解③结合具体实例，了解的实际意义，能借助图象理解的意义，了解参数的变化对函数图象的影响。
理解3同角三角函数的基本关系理解同角三角函数的基本关系：理解4三角恒等变换①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦的意义理解②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
理解③能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）掌握5三角函数应用会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型掌握5.1 任意角和弧度制知识点总结5.1 任意角和弧度制1.角的有关概念（1）定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
（2）角的表示：如图射线为始边，射线为终边，点为角的顶点，图中角可以记为“角”或“”，也可以简记为“”。
（3）角的分类提示：（1）角的概念的推广重在“旋转”，理解“旋转”二字应明确以下三个方面：①旋转的方向②旋转角的大小③射线未作任何旋转时的位置。
（2）角的范围不再限于2.终边相同的角：一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。
3.角的单位制4.弧长公式及扇形面积公式5.常用角之间的换算6.象限角和轴线角（1）象限角：在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
高考数学(人教a版,理科)题库：函数的奇偶性与周期性(含答案)
第3讲 函数的奇偶性与周期性一、选择题1．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于( )．A ．3B ．1C ．－1D ．－3 解析 由f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0.则b ＝－1，f (x )＝2x ＋2x －1，f (－1)＝－f (1)＝－3. 答案 D2．已知定义在R 上的奇函数，f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为 ( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 解析 (构造法)构造函数f (x )＝sin π2x ，则有f (x ＋2)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2x ＋2＝－sin π2x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin π2x 是一个满足条件的函数，所以f (6)＝sin 3π＝0，故选B. 答案 B3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,5]时，f (x )＝2－|x －4|，则下列不等式一定成立的是( )．A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3B ．f (sin 1)<f (cos 1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6D ．f (cos 2)>f (sin 2)解析 当x ∈[－1,1]时，x ＋4∈[3,5]，由f (x )＝f (x ＋2)＝f (x ＋4)＝2－|x ＋4－4|＝2－|x |，显然当x ∈[－1,0]时，f (x )为增函数；当x ∈[0,1]时，f (x )为减函数，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32>12，又f⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3. 答案 A4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－2－x，x ≥0，2x －1，x <0，则该函数是( )．A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析 当x >0时，f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x <0时，f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．当x ＝0时，f (0)＝0，故f (x )为奇函数，且f (x )＝1－2－x 在[0，＋∞)上为增函数，f (x )＝2x －1在(－∞，0)上为增函数，又x ≥0时1－2－x ≥0，x <0时2x －1<0，故f (x )为R 上的增函数． 答案 C5．已知f (x )是定义在R 上的周期为2的周期函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝4x－1，则f (－5.5)的值为( )A ．2B ．－1C ．－12 D ．1解析 f (－5.5)＝f (－5.5＋6)＝f (0.5)＝40.5－1＝1. 答案 D6．设函数D (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )．A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数解析 显然D (x )不单调，且D (x )的值域为{0,1}，因此选项A 、D 正确．若x 是无理数，－x ，x ＋1是无理数；若x 是有理数，－x ，x ＋1也是有理数．∴D (－x )＝D (x )，D (x ＋1)＝D (x )．则D (x )是偶函数，D (x )为周期函数，B 正确，C 错误． 答案 C 二、填空题7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析 由题意知，函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则f (1)＝f (－1)，∴1－|1＋a |＝1－|－1＋a |，∴a ＝0. 答案 08．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.解析 因为y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，所以当x ＝－1时，y ＝－2，即f (－1)＋(－1)2＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. 答案 －19．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0,5]时，函数y ＝f (x )的图象如图所示，则使函数值y ＜0的x 的取值集合为________．解析 由原函数是奇函数，所以y ＝f (x )在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y ＝f (x )在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y ＜0的x 的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案 (－2,0)∪(2,5)10． 设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为________．解析 ∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4， ∴f (|2x |)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4， 又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数， ∴|2x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4， 即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4， 整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2＋9x ＋1＝0，设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4.则(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝－72＋⎝⎛⎭⎪⎫－92＝－8.答案－8三、解答题11．已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)．(1)求f(1)，f(－1)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性．解(1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，所以令x＝y ＝1，得f(1)＝0，令x＝y＝－1，得f(－1)＝0.(2)令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)，代入f(－1)＝0得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数．12．已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.(1)求证f(x)是奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明令x＝y＝0，知f(0)＝0；再令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)为奇函数．(2)解任取x1＜x2，则x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)为减函数．而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.所以f(x)max＝f(－3)＝6，f(x)min＝f(3)＝－6.13.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．解析(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．(2) 当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．(3) ∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1又f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1.14．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝12x，求使f(x)＝－12在[0,2 014]上的所有x的个数．(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．(2)解当0≤x≤1时，f(x)＝12x，设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f(－x)＝12(－x)＝－12x.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－12x，即f(x)＝12x.故f(x)＝12x(－1≤x≤1)．又设1<x<3，则－1<x－2<1，∴f(x－2)＝12(x－2)．又∵f(x)是以4为周期的周期函数∴f(x－2)＝f(x＋2)＝－f(x)，∴－f(x)＝12(x－2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)． ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，－1≤x ≤1，－12(x －2)，1<x <3.由f (x )＝－12，解得x ＝－1. ∵f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2 014，则14≤n ≤2 0154. 又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤503(n ∈Z )， ∴在[0,2 014]上共有503个x 使f (x )＝－12.。
人教A版必修第一册 3-2-2 第2课时 函数奇偶性的应用(习题课) 课件(25张)
又f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,
所以f(x)-g(x)=x2-x-2,②
联立①②可得f(x)=x2-2,g(x)=x.
[例3] 偶函数f(x)的定义域为R,当x∈(-∞,0)时,f(x)单调递增,则f(-π),
f(2),f(3)的大小关系是(
)
A.f(-π)>f(2)>f(3)
B.f(-π)>f(3)>f(2)
C.f(-π)<f(2)<f(3)
D.f(-π)<f(3)<f(2)
解析:因为f(x)是定义域为R的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)单调递增,
解析:(2)定义在R上的奇函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,且f(3)=0,
则f(x)在(0,+∞)上单调递增,
且f(-3)=-f(3)=0,
由f(x)>0得,-3<x<0或x>3.故选C.
当堂检测
1.偶函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,则有(
A
A.f(-1)>f(2)>f(-3)
所以函数的图象关于原点对称,且关于 x=1 对称,
( )-( )
当 x1,x2∈[0,1],且 x1≠x2 时,
f(-2)=0,
其大致图象如图所示,
-
>0,即函数在[0,1]上单调递增,f(2)=f(0)=
< ≤ , - ≤ < ,
则当-3≤x≤1 时,不等式 xf(x)>0 可转化为
意分类讨论.
针对训练 4:(1)设 f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,且 f(x)在[0,1)上单调递减,f(- )=1,
专题33 三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性题2021高中数学必做黄金100题(解析版
一．题源探究·黄金母题
（求函数 的单调递增区间．
【解析】设 ，函数 的单调递增区间为 ．由 ，得 ．易知 ．
【试题来源】人教版A版必修4第39页例5．
【母题评析】本题考查三角函数单调区间的求法，是历年来高考的一个常考点．
【思路方法】限定区间上三角函数单调区间的求法：先用整体思想求
【技能方法】解决三角函数的单调性有关的问题，要结合函数的图象及其性质。
考向6已知三角函数的奇偶性、对称性或周期求参数的值
已知函数 （ ， ），其图像与直线 相邻两个交点的距离为 ，若 对于任意的 恒成立，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，可得 ，
∵函数 （ ， ）的图像与直线 相邻两个交点的距离为 ，
∴函数 的图象与直线 相邻两个交点的距离为 ，
∴函数 的周期为 ，故 ，∴ ．∴ ．
由题意得“ 对于任意的 恒成立”等价于“ 对于任意的 恒成立”．∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
故结合所给选项可得C正确．选C．
【技能方法】本题难度较大，解题时根据题意得 在 上的取值范围是 的子集去处理，由此通过不等式可得 的范围，结合选项得解．
④将 的图象向右平移 个单位可得到图像 ．
【答案】①②③
【解析】对于 ，
令 ，求得f(x)=−1，为函数的最小值，故它的图象C关于直线 对称故①正确．
令x= ，求得f(x)=0，可得它的图象C关于点( ，0)对称，故②正确．
令 ，可得 ，故函数f(x)在区间 是增函数，故③正确，
由 的图象向右平移 个单位长度可以得到 故排除④，
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等．
高中数学 三角函数正弦函数余弦函数的周期性与奇偶性讲义 新人教A版必修一第一册
第1课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性知识点一周期函数1．周期函数状元随笔关于最小正周期(1)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如常数函数f(x)＝C，对于任意非零常数T，都有f(x＋T)＝f(x)，即任意常数T都是函数的周期，因此没有最小正周期．(2)对于函数y＝A sin(ωx＋φ)＋B，y＝A cos(ωx＋φ)＋B，可以利用公式T＝2π|ω|求最小正周期．知识点二正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性状元随笔关于正、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点(0,0)对称，余弦曲线关于y轴对称．(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．提醒：诱导公式三是正弦函数、余弦函数的奇偶性的另一种表示形式．[教材解难]1．教材P202思考函数的周期性与解析式中x的系数有关．2．教材P202思考知道了一个函数的周期性和奇偶性能更容易画出函数的图象，从而得到函数的性质． [基础自测]1．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin x 2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x4D ．y ＝cos 4x解析：对于A ，T ＝2π12＝4π，对于B ，T ＝2π2＝π，对于C ，T ＝2π14＝8π，对于D ，T ＝2π4＝π2.答案：D2．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故选A.答案：A3．下列函数中是偶函数的是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝－sin x C ．y ＝sin|x | D ．y ＝sin x ＋1解析：A 、B 是奇函数，D 是非奇非偶函数，C 符合f (－x )＝sin|－x |＝sin|x |＝f (x )，∴y ＝sin|x |是偶函数．答案：C 4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线x ＝π2对称解析：因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ， 又因为cos(－x )＝cos x ，为偶函数，所以根据余弦函数的图象和性质可知其图象关于y 轴对称． 答案：B题型一 求三角函数的周期[教材P 201例2] 例1 求下列函数的周期： (1)y ＝3sin x ，x ∈R ； (2)y ＝cos 2x ，x ∈R ；(3)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，x ∈R .【解析】 (1)∀x ∈R ，有3sin(x ＋2π)＝3sin x . 由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π.(2)令z ＝2x ，由x ∈R 得z ∈R ，且y ＝cos z 的周期为2π，即cos(z ＋2π)＝cos z ，于是cos(2x ＋2π)＝cos 2x ，所以cos 2(x ＋π)＝cos 2x ，x ∈R .由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.(3)令z ＝12x －π6，由x ∈R 得z ∈R ，且y ＝2sin z 的周期为2π，即2sin(z ＋2π)＝2sinz ，于是2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6＋2π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，所以2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(x ＋4π)－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π.状元随笔 通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式f(x ＋T)＝f(x)而求出相应的周期．对于(2)，应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出cos 2(x ＋T)＝cos 2x ，x∈R ； 对于(3)，应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(x ＋T )－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，x ∈R .教材反思求函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x 都满足f (x ＋T )＝f (x )的非零常数T .该方法主要适用于抽象函数．(2)公式法：对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω>0)，可利用T ＝2πω来求．(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．跟踪训练1 (1)下列函数中，不是周期函数的是( ) A.y ＝|cos x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝|sin x | D ．y ＝sin|x |(2)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6的周期为________． 解析：(1)画出y ＝sin|x |的图象，易知y ＝sin|x |不是周期函数．(2)方法一 因为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6＋2π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6， 即2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13(x ＋6π)－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6. 所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6的最小正周期是6π.方法二 函数的周期T ＝2π|ω|＝2π13＝6π.答案：(1)D (2)6π(1)作出函数的图象，根据周期的定义判断．(2)利用周期的定义，需要满足f(x ＋T)＝f(x) ；也可利用公式T ＝2π|ω|计算周期．题型二 正、余弦函数的奇偶性问题[经典例题] 例2 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2； (2)f (x )＝sin(cos x )．【解析】 (1)函数的定义域为R .且f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝－sin 2x .因为f (－x )＝－sin(－2x )＝sin 2x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2是奇函数．(2)函数的定义域为R .且f (－x )＝sin[cos(－x )]＝sin(cos x )＝f (x )， 所以函数f (x )＝sin(cos x )是偶函数.先用诱导公式化简，再利用定义法判断函数的奇偶性．方法归纳利用定义判断函数奇偶性的三个步骤注意：若函数f (x )的定义域不关于原点对称，无论f (－x )与f (x )有何关系，f (x )仍然是非奇非偶函数．跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝|sin x |＋cos x ； (2)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1. 解析：(1)函数的定义域为R ，又f (－x )＝|sin(－x )|＋cos(－x )＝|sin x |＋cos x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数． (2)由1－cos x ≥0且cos x －1≥0，得cos x ＝1，从而x ＝2k π，k ∈Z ，此时f (x )＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数． (1)利用定义法判断函数的奇偶性．(2)由偶次根式被开方数大于等于0求出cos x 的值以及x 的值，最后判断函数的奇偶性．题型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用[经典例题]例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．【解析】 因为f (x )的最小正周期是π， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3， 因为f (x )是R 上的偶函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.利用周期性 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，再利用奇偶性f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，最后代入求值．方法归纳三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，再利用公式求解．(2)判断函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y ＝A sin ωx (A ω≠0)或y ＝A cos ωx (A ω≠0)其中的一个．跟踪训练3 若本例中函数的最小正周期变为π2，其他条件不变，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π的值．解析：因为f (x )的最小正周期是π2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×π2＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π6＝12利用周期性f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6代入求值．课时作业 34一、选择题1．函数y ＝－5cos(3x ＋1)的最小正周期为( ) A.π3B ．3π C.2π3 D.3π2解析：该函数的最小正周期T ＝2πω＝2π3.答案：C2．函数f (x )＝2sin 2x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：因为f (x )的定义域是R ，且f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )， 所以函数f (x )为奇函数． 答案：A3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 0112π－2 010x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 0112π－2 010x＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2 010x ＋1 005π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2 010x ＝－cos 2 010x ， f (x )定义域为R ，且f (－x )＝－cos(－2 010x )＝－cos 2010x ＝f (x )， 所以函数f (x )为偶函数． 答案：B4．函数f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ( )A ．是奇函数B ．是非奇非偶函数C ．是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析：由题，得函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，又f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ＝x cosx ，所以f (－x )＝(－x )·cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．答案：A 二、填空题5．f (x )＝sin x cos x 是________(填“奇”或“偶”)函数．解析：x ∈R 时，f (－x )＝sin(－x )cos(－x )＝－sin x cos x ＝－f (x )，即f (x )是奇函数．答案：奇6．函数y ＝cos (1－x )π2的最小正周期是________．解析：∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2x ＋π2，∴T ＝2ππ2＝2π×2π＝4.答案：47．函数f (x )是以2为周期的函数，且f (2)＝3，则f (8)＝________. 解析：∵f (x )的周期为2， ∴f (x ＋2)＝f (x )，∴f (8)＝f (2＋3×2)＝f (2)＝3.答案：3 三、解答题8．求下列函数的最小正周期： (1)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6；(2)y ＝|sin x 2|. 解析：(1)利用公式T ＝2π|ω|，可得函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6的最小正周期为T ＝2π|－2|＝π. (2)易知函数y ＝sin x 2的最小正周期为T ＝2π12＝4π，而函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的图象是由函数y ＝sin x 2的图象将在x 轴下方部分翻折到上方后得到的，此时函数周期减半，即y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的最小正周期为2π.9．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝3cos 2x ；(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2；(3)f (x )＝x ·cos x . 解析：(1)因为x ∈R ，f (－x )＝3cos(－2x )＝3cos 2x ＝f (x )，所以f (x )＝3cos 2x 是偶函数． (2)因为x ∈R ，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x 4，所以f (－x )＝－cos 3(－x )4＝－cos 3x 4＝f (x )，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2是偶函数．(3)因为x ∈R ，f (－x )＝－x ·cos(－x )＝－x ·cos x ＝－f (x )， 所以f (x )＝x cos x 是奇函数． [尖子生题库]10．已知函数y ＝12cos x ＋12|cos x |.(1)画出函数的图象；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．解析：(1)y ＝12cos x ＋12|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )，函数图象如图所示．(2)由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π.。
最新人教A版高中数学必修一课件：5.4.2 第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
(3)由11－＋ssiinn
x＞0， x＞0，
得－1＜sin x＜1，
解得定义域为xx∈R
且x≠kπ＋π2
，k∈Z ，
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)，
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)若 sin23π＋π6＝sinπ6，则23π是函数 y＝sin x 的一个周期． (2)所有的周期函数都有最小正周期． (3)函数 y＝ sin x是奇函数．
答案：(1)× (2)× (3)×
() () ()
2．函数 y＝2cos2x＋π2是 A．周期为 π 的奇函数 C．周期为 2π 的奇函数
二、应用性——强调学以致用
2．[好题共享——选自人教B版新教材]若弹簧振子相对平衡位置的位移x(单位： cm)与时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．
(1)求该函数的周期；
A．－12
1 B.2
C．－
3 2
3 D. 2
()
[解析] (1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sinπ2＋2x＝cos 2x 是偶函数，y＝cos32π－2x＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得其最小正周期 T＝π.
(2)f53π＝f53π－π＝f23π
＝f23π－π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝
由图象可知 T＝π.
[方法技巧] 求三角函数最小正周期的常用方法
(1)公式法：将函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋B 的形式， 再利用 T＝|2ωπ|求得．
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三角函数的奇偶性（人教A版）
一、单选题(共15道，每道6分)
1.下列函数中是偶函数的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性
2.下列函数中是奇函数的是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性
3.下列函数中是偶函数的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性
4.函数，( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既不是奇函数也不是偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：余弦函数的奇偶性
5.函数( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既不是奇函数也不是偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：余弦函数的奇偶性
6.函数( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既不是奇函数也不是偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：正切函数的奇偶性
7.函数( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既不是奇函数又不是偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性
8.已知函数，，则( )
A.与都是奇函数
B.和都是偶函数
C.是奇函数，是偶函数
D.是偶函数，是奇函数
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性
9.已知函数，，则( )
A.与都是奇函数
B.和都是偶函数
C.是奇函数，是偶函数
D.是偶函数，是奇函数
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性
10.已知，，则( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：正弦函数的奇偶性
11.已知，满足，则的值为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性
12.已知函数，，且，若，，则( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性
13.已知函数是上的奇函数，且当时，，则当时，的表达式为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质
14.已知函数是上的偶函数，当时，，则的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：正弦函数的奇偶性
15.已知函数，则，，的大小顺序是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：余弦函数的单调性
第11页共11页。