三角函数的单调性、奇偶性、单调性练习

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三角函数的图象变换和性质复习课最新版

2已知函数y=cos(sinx)，则下列结论中正确的是D（）
A. 它不是偶函数 B. 它不是周期函数
（C. 它的定义域是[－1, 1] D.它的值域是[cos1,
1]
3、函数 y sinx( ) 在（ B ）
A.[

，
]
4
上是增函数
B. [ 3 ， ]上是增函数
22
44
C.[，0] 上是增函数 D. [ ，3 ] 上是增函数
a 是[ 0奇, 函] 上数有，两求个不的同值的实数解，求的取值 2
范围。
y
2 1
o 12
-2

11
2
12
x
四、课堂练习
1、满足不等式（ A）
sinx4

1 2
的 x的集合是
A x|.2π k 5 1 π 2x2π k 1 1π 3 2 ,k Z
3、函数y=sin( －2x)的单调递减区间是 [6πkπ,3π6 kπ]。(kZ)
4、在下列函数中，以π为最小正周期，且在

0
,

2

内是增函数的是（
D）
A. y sinx 2
B. yco2sx
C. ysin2x()

D. ytanx( )
4
4
5、函数 (A)6π
44
4、函数的 y sin π ()3 cx o π ) s c (x o sπ ) (c 3o x π ) s
36
33
图象的一条对称轴的方程是（ D）

( A ) x ( B ) x ( C ) x ( D ) x
4

2023年高三数学《函数的单调性与奇偶性》知识梳理与专项练习(含答案解析)

2023年高三数学《函数的单调性与奇偶性》知识梳理与专项练习（含答案解析）知识梳理一函数的单调性1. 单调性的定义一般地，设函数()f x 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数。

2.单调性的注意事项1. 函数的单调性要针对区间而言，因此它是函数的局部性质；对于连续函数，单调区间可闭可开，即“单调区间不在一点处纠结”；单调区间不能搞并集。

2. 若函数()f x 满足1212()[()()]0x x f x f x −−>，则函数在该区间单调递增；若满足1212()[()()]0x x f x f x −−<，则函数在该区间单调递减。

3. 函数单调性的判断方法主要有：(1) 定义法：在定义域内的某个区间D 上任取12,x x 并使得12x x <，通过作差比较1()f x 与2()f x 的大小来判断单调性。

(2) 性质法：若函数()f x 为增函数，()g x 为增函数，()h x 为减函数，()x ϕ为减函数，则有①()()f x g x +为增函数，②()()f x h x −为增函数， ③()()h x x ϕ+为减函数，④()()h x g x −为减函数。

(3) 图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。

二函数的奇偶性一.函数奇偶性的定义：(1)对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =− ⇔函数()f x 是偶函数； (2)对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f −=− ⇔函数()f x 是奇函数。

函数的单调性与奇偶性-练习题-基础

1 函数单调性(一) (一)选择题 1．函数xx f 3)(=在下列区间上不是．．减函数的是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．(1，＋∞) 2．下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋1B ．x y 2=C ．y ＝x 2－4x ＋5D ．y ＝｜x －1｜＋23．设函数y ＝(2a －1)x 在R 上是减函数，则有 A ．21≥a B ．21≤a C ．21>a D ．21<a ~4．若函数f (x )在区间[1，3)上是增函数，在区间[3，5]上也是增函数，则函数f (x )在区间[1，5]上( )A ．必是增函数B ．不一定是增函数C ．必是减函数D ．是增函数或减函数 (二)填空题5．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝______．6．若函数xax f =)(在(1，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． 7．函数f (x )＝1－｜2－x ｜的单调递减区间是______，单调递增区间是______． 8．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与)43(f 的大小关系是______。

*9．若函数f (x )＝｜x －a ｜＋2在x ∈[0，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． -(三)解答题10．函数f (x )，x ∈(a ，b )∪(b ，c )的图象如图所示，有三个同学对此函数的单调性作出如下的判断：甲说f (x )在定义域上是增函数；乙说f (x )在定义域上不是增函数，但有增区间，丙说f (x )的增区间有两个，分别为(a ，b )和(b ，c ) 请你判断他们的说法是否正确，并说明理由。

；11．已知函数.21)(-=xx f (1)求f (x )的定义域；(2)证明函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数．12．已知函数||1)(x x f =． (1)用分段函数的形式写出f (x )的解析式；&(2)画出函数f (x )的图象，并根据图象写出函数f (x )的单调区间及单调性．2 函数单调性(二) (一)选择题1．一次函数f (x )的图象过点A (0，3)和B (4，1)，则f (x )的单调性为( )（A ．增函数B ．减函数C ．先减后增D ．先增后减 2．已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (2m ＋1)＞f (3m －4)，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，5)B ．(5，＋∞)C ．),53(+∞D ．)53,(-∞3．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则下列一定是y ＝f (x )＋5的递增区间的是( )A ．(3，8)B ．(－2，3)C ．(－3，－2)D ．(0，5) 4．已知函数f (x )在其定义域D 上是单调函数，其值域为M ，则下列说法中 ①若x 0∈D ，则有唯一的f (x 0)∈M ②若f (x 0)∈M ，则有唯一的x 0∈D ！③对任意实数a ，至少存在一个x 0∈D ，使得f (x 0)＝a ④对任意实数a ，至多存在一个x 0∈D ，使得f (x 0)＝a 错误的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 (二)填空题 5．已知函数f (x )＝3x ＋b 在区间[－1，2]上的函数值恒为正，则b 的取值范围是_____． 6．函数])2,1[(12∈-=x xx y 的值域是______． *7．已知函数f (x )的定义域为R ，且对任意两个不相等的实数x ，y ，都有0)()(<--yx y f x f 成立，则f (x )在R 上的单调性为________(填增函数或减函数或非单调函数)． -8．若函数y ＝ax 和x by -=在区间(0，＋∞)上都是减函数，则函数1+=x ab y 在(－∞，＋∞)上的单调性是______(填增函数或减函数或非单调函数)．9．若函数⎩⎨⎧<-≥+=)1(1)1(1)(2x ax x x x f 在R 上是单调递增函数，则a 的取值范围是______．(三)解答题10．某同学在求函数]4,1[,)(∈+=x x x x f 的值域时，计算出f (1)＝2，f (4)＝6，就直接得值域为[2，6]．他的答案对吗，他这么做的理由是什么11．用max{a ，b }表示实数a ，b 中较大的一个，对于函数f (x )＝2x ，xx g 1)(=，记F (x )＝max{f (x )，g (x )}，试画出函数F (x )的图象，并根据图象写出函数F (x )的单调区间．|*12．已知函数f (x )在其定义域内是单调函数，证明：方程f (x )＝0至多有一个实数根．3 函数的奇偶性·(一)选择题1．下列函数中：①y ＝x 2(x ∈[－1，1]) ； ②y ＝｜x ｜； ;1)(xx x f +=③ ④y ＝x 3(x ∈R ) 奇函数的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．对于定义域为R 的任意奇函数f (x )一定有( ) A ．f (x )－f (－x )＞0 B ．f (x )－f (－x )≤0 C ．f (x )·f (－x )＜0 D ．f (x )·f (－x )≤0￥3．函数⎩⎨⎧<+≥-=)0(1)0(1)(x x x x x fA ．是奇函数不是偶函数B ．是偶函数不是奇函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 4．下面四个结论中，正确命题的个数是( ) ①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )。

第05讲三角函数的图象与性质(原卷版)

第05讲三角函数的图象与性质(精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：三角函数的定义域高频考点二：三角函数的值域高频考点三：三角函数的周期性高频考点四：三角函数的奇偶性高频考点五：三角函数的对称性高频考点六：三角函数的单调性角度1：求三角函数的单调区间角度2：根据三角函数的单调性比较大小角度3：根据三角函数的单调性求参数高频考点七：三角函数中ω的求解角度1：ω的取值范围与单调性相结合角度2：ω的取值范围与对称性相结合角度3：ω的取值范围与三角函数的最值相结合角度4：ω的取值范围与三角函数的零点相结合角度5：ω的取值范围与三角函数的极值相结合第四部分：高考真题感悟第五部分：第05讲三角函数的图象与性质（精练）∈)1、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k Zπ2(1)函数sin()y A x ωϕ=+的最小正周期||T ω=．应特别注意函数|sin()|y A x ωϕ=+的周期为||T ω=，函数|sin()|y A x b ωϕ=++(0b ≠)的最小正周期2||T πω=． (2)函数cos()y A x ωϕ=+的最小正周期2||T πω=．应特别注意函数|cos()|y A x ωϕ=+的周期为||T πω=．函数|cos()|y A x b ωϕ=++(0b ≠)的最小正周期均为2||T πω=．(3)函数tan()y A x ωϕ=+的最小正周期||T πω=．应特别注意函数|tan()|y A x ωϕ=+|的周期为||T πω=，函数|tan()|y A x b ωϕ=++(0b ≠) 的最小正周期均为||T πω=．3、三角函数的奇偶性(1)函数sin()y A x ωϕ=+是奇函数⇔k ϕπ=(k Z ∈)，是偶函数⇔2k ϕπ=+(k Z ∈)；(2)函数cos()y A x ωϕ=+是奇函数⇔2k πϕπ=+(k Z ∈)，是偶函数⇔k ϕπ=(k Z ∈)；(3)函数tan()y A x ωϕ=+是奇函数⇔k ϕπ=(k Z ∈)． 4、三角函数的对称性(1)函数sin()y A x ωϕ=+的图象的对称轴由2x k πωϕπ+=+(k Z ∈)解得，对称中心的横坐标由x k ωϕπ+=(k Z ∈)解得；(2)函数cos()y A x ωϕ=+的图象的对称轴由x k ωϕπ+=(k Z ∈)解得，对称中心的横坐标由2x k πωϕπ+=+(k Z ∈)解得；(3)函数tan()y A x ωϕ=+的图象的对称中心由2k x πωϕ+=k Z ∈)解得．1．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）函数cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是（）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数2．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高一期中）函数()2sin 1f x x =-+的最大值是（） A ．1B ．2C ．3D ．43．（2022·辽宁·沈阳市奉天高级中学高一期中）函数π()tan 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域为（）A ．π|π,4x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭ZB ．π|2π,4x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭ZC ．π|π,4x x k k ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭ZD ．{}|π,x x k k ≠∈Z4．（2022·陕西西安·三模（文））下列区间中，函数()π2sin 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A ．π0,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭5．（2022·辽宁·沈阳市奉天高级中学高一期中）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则||ϕ的最小值为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．4π36．（2022·江西景德镇·三模（理））函数()πsin 26f x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数的一个充分条件是（）A ．6π=ϕ B ．π6ϕ=-C ．π3ϕ=D ．π3ϕ=-高频考点一：三角函数的定义域例题1．（2022·湖南·高一课时练习）函数πtan()4y x =-的定义域是（） A ．π|4x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭B ．π|4x x ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭C ．π|π,Z 4x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D ．3π|π,Z 4x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭例题2．（2022·宁夏·银川一中高一期中）函数()f x =的定义域为（）A ．3,48x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭B ．,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤<+∈⎨⎬⎩⎭C ．3,2428k k xx k Z ππππ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭D ．,2424k k xx k Z ππππ⎧⎫-≤<+∈⎨⎬⎩⎭例题3．（2022·全国·高三专题练习）函数()f x ）A ．(2,2)()43k k k Z ππππ-+∈B ．(2,2)(2,2)()43k k k k k Z ππππππ-+∈C ．()(,)43k k k Z ππππ-+∈D ．(,)(,)()43k k k k k Z ππππππ-+∈题型归类练1．（2022·江西·上饶中学高一阶段练习）函数()f x = ）A ．,4k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈B ．2,24k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈C ．,44k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈D ．2,244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈2．（2022·全国·高三专题练习）函数tan 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为（）A ．,4xx k k Z ππ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭∣ B ．2,4xx k k Z ππ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭∣ C ．,4xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣ D ．2,4xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣高频考点二：三角函数的值域例题1．（2022·陕西·长安一中高二期中（文））函数()2sin cos 33x xf x =+最小正周期和最大值分别是（）A ．3πB ．3π和5C ．6πD ．6π和5例题2．（2022·北京师大附中高一期中）已知()()2sin 3cos f x x x α=++的最大值为5，则α可以为（） A ．0B ．π2C ．πD ．3π2例题3．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高一阶段练习）函数cos 12cos 1x y x +=-的值域是（）A ．][(),04,∞∞-⋃+B ．][(),02,∞∞-⋃+C ．[]0,4D ．[]0,2例题4．（2022·北京通州·高三期末）函数()2cos2sin f x x x =+是（）A ．奇函数，且最大值为2B ．奇函数，且最大值为1C ．偶函数，且最大值为2D ．偶函数，且最大值为1例题5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()cos 223f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的定义域为[,]απ，值域为5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则α的取值范围是（） A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．25,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦例题6．（2022·安徽·合肥市第六中学高一期末）函数ππ5πtan ,,6612y x x ⎛⎫⎛⎫=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（）A ．()B ．⎛- ⎝⎭C ．(,(1,)-∞+∞D ．⎫⎪⎪⎝⎭例题7．（2022·安徽·砀山中学高一期中）函数22tan 3tan 1y x x =-+-，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为______．题型归类练1．（2022·安徽·高一期中）函数211cos 3sin 4y x x =+-（x ∈R ）的最大值是（） A ．14B ．12C ．1-D ．12．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高一期中）函数()212sin 2sin f x x x =-+的最大值与最小值的和是（） A ．2-B ．0C ．32-D ．12-3．（2022·陕西·长安一中模拟预测（理））已知函数()2cos cos2f x x x =+，则()f x 的最小值为（） A ．1-B ．12-C ．32-D ．52-4．（2022·四川乐山·高一期末）函数()2sin cos f x x x =--，则()f x 的最大值为（）．A ．54-B ．1-C ．1D ．145．（2022·全国·高一课时练习）函数1tan 44y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的值域是（） A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)-+∞6．（2022·上海·华师大二附中高一期中）函数()tan cos y x =的值域是A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．⎡⎢⎣⎦C ．[]tan1,tan1-D ．以上均不对7．（2022·上海·华东师范大学附属天山学校高一期中）函数()22tan 5tan 2f x x x =-+-，,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为______．8．（2022·全国·高三专题练习）当04x π<<时，函数22cos ()sin cos sin xf x x x x=-的最大值为______．高频考点三：三角函数的周期性例题1．（2022·上海闵行·高一期中）函数tan 2y x =的最小正周期为_______________.例题2．（2022·全国·高一）函数cos 24y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是____例题3．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）函数()sin 2cos2f x x x =-的最小正周期为___________.例题4．（2022·河南南阳·高一期中）下列6个函数：①sin y x =，②sin y x =，③cos y x =，④cos y x =，⑤tan y x =，⑥tan y x =，其中最小正周期为π的偶函数的编号为___________.题型归类练1．（2022·上海·高三专题练习）函数πtan2y x =的最小正周期为___________. 2．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）函数cos(2)4y x π=-的最小正周期为____3．（2022·上海市七宝中学高一期中）函数sin 2cos 26y x x π=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最小正周期是_________.4．（2022·广西梧州·高二期中（文））函数221tan 2()1tan 2xf x x-=+的最小正周期为________． 5．（2022·山东德州·高一期中）在下列函数中，以π为周期且在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是（）A ．()cos f x x =B ．()sin f x x =C ．()cos f x x =D ．()sin f x x =6．（2022·北京·中关村中学高一期中）已知函数：①tan y x =，②sin y x =，③sin y x =，④cos y x =，其中周期为π，且在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增的是（） A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①③④高频考点四：三角函数的奇偶性例题1．（2022·上海市控江中学高一期中）函数3()sin 2πf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的奇偶性为________函数.（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）例题2．（2022·上海市建平中学高一阶段练习）函数()()cos 02y x πϕϕπ⎡⎤=+<<⎢⎥⎣⎦是奇函数，那么常数ϕ的最大值为______例题3．（2022·北京·中关村中学高一期中）下列函数中，偶函数是（） A ．()()sin πf x x =+B ．()πcos 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()()tan πf x x =-D ．()πsin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭例题4．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（文））下列函数中是奇函数的是（） A ．31y x =+B ．ln ||y x =C ．sin()2y x π=+D ．e e x x y -=-例题5．（2022·北京·模拟预测）下列函数中，定义域为R 的偶函数是（） A ．2x y =B ．tan y x =C ．21y x =D ．sin y x x =例题6．（2022·上海市仙霞高级中学高一期中）函数22cos 14y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是（）A ．周期为π的偶函数B ．周期为π的奇函数C ．周期为2π的偶函数 D ．周期为2π的奇函数例题7．（2022·山西晋中·高一期末）已知()sin tan 1x x x x f =++-，若()3f a =，则()f a -=______．题型归类练1．（2022·上海南汇中学高一期中）下列函数中，周期为1的奇函数是（） A ．sin πy x = B ．πsin 2π3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．πtan2y x = D ．sin πcos πy x x =2．（2022·北京·汇文中学高一期中）已知函数()cos 2cos f x x x =-，则该函数为（） A ．奇函数，最小值为2- B ．偶函数，最大值为2- C ．奇函数，最小值为98-D ．偶函数，最小值为98-3．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）下列函数中是偶函数的为（） A ．sin y x =B ．tan y x =C ．cos y x =D ．sin cos y x x =4．（2022·辽宁·沈阳市奉天高级中学高一期中）若()cos()f x x x ϕ=++是奇函数，则常数ϕ的一个取值为___________.5．（2022·山东·高一阶段练习）已知()cos()f x x ϕ=+是奇函数，则ϕ的值可以为___________.6．（2022·北京市第五十中学高一期中）已知函数()2cos cos cos2f x x x x =++，则()f x 的奇偶性及最小值分别为( ) A ．奇函数，1- B ．偶函数，1- C ．奇函数，1312-D ．偶函数，1312-7．（2022·山东聊城·高一期末）已知函数()()sin tan 2R f x x k x k =-+∈，若()13f π=-，则()3f π-=（）A ．5B ．3C ．1D ．08．（2022·浙江金华第一中学高一阶段练习）已知函数3()sin 2022cf x ax b x x=++-（a ，b ，c 为实数），且(2022)1f =，则(2022)f -=（） A ．1-B ．1C ．4045-D ．4045高频考点五：三角函数的对称性例题1．（2022·北京八中高一期中）函数2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一条对称轴方程是（）A ．2x π=B ．2x π=-C ．56x π=D ．6x π=例题2．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）函数2sin 34y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像的一条对称轴方程为（）A ．2x π=B ．12x π=C ．4x π=D ．x π=例题3．（2022·吉林长春·三模（文））函数()tan 213f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象的一个对称中心为（）A ．,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,112π⎛⎫-- ⎪⎝⎭例题4．（2022·湖北·荆门市龙泉中学一模）若3x π=是函数()cos f x x ω=()0ω≠图象的对称轴，则()f x 的最小正周期的最大值是（） A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 例题5．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））若函数()sin 2cos2f x a x x =+的图象关于直线6x π=对称，则()f x 的最大值为（）AB C ．2D ．题型归类练1．（2022·河南南阳·高一期中）函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴是（）A ．π3x =-B ．π12x =C ．π4x =D ．π3x =2．（2022·重庆·三模）函数()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴为（）A ．12x π=B ．12x π=-C ．6x π=D ．6x π=-3．（2021·全国·高一课时练习）函数()cos 218f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象的一个对称中心为（）A ．,14π⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．,14π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭4．（2022·广东·模拟预测）函数n 6ta y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π的一个对称中心是（） A ．（0，0）B ．（3π，0） C ．（49π，0） D ．以上选项都不对 5．（2022·全国·高一单元测试）函数()1tan 36x f x ππ⎛⎫=+-⎪⎝⎭图象的对称中心的坐标为（） A ．16,0()2k k Z +⎛⎫∈⎪⎝⎭ B ．13,0()2k k Z +⎛⎫∈⎪⎝⎭ C ．16,1()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．13,1()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数()2tan 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称中心坐标是（）A ．,06π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,06k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭C ．,026k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭D ．,046k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 7．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且其图象关于直线3x π=对称，则函数()f x 图象的一个对称中心是（）A ．,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭C ．,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭8．（2022·江西·高一期中）已知函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线3x π=对称，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）AB C ．D高频考点六：三角函数的单调性角度1：求三角函数的单调区间例题1．（2022·山东日照·模拟预测）下列区间中，函数()15sin 23f x x π⎛⎫ ⎪⎝=-⎭+单调递减的区间是（）A ．,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．52,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦例题2．（2022·河北·高三阶段练习）函数2()sin(2)33f x x π=-的单调递减区间为（）A ．5112,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C ．5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．252,2,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦例题3．（2022·甘肃张掖·高一期末）函数cos(3)4y x π=-的单调递减区间是（）A ．252123123k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，（k Z ∈）B ．2243123k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，（k Z ∈）C ．5221212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，（k Z ∈）D ．22412k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，（k Z ∈）例题4．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）在下列区间中，函数()2022cos 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（） A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭例题5．（2022·辽宁·大连八中高一阶段练习）函数()πtan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为（）A ．()πππ2π,Z 2623k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭B ．()πππ5π,Z 212212k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C ．()π5ππ,πZ 1212k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．()π2ππ,πZ 63k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭例题6．（2022·河南·模拟预测（理））函数()sin cos sin cos 22x xx f x x =+（）在下列区间单调递减的是（）A ．37,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．37,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦角度1题型归类练1．（2022·湖南·高一课时练习）y ＝cos ()4x π-在[0，π]上的单调递减区间为（）A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πC ．3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．（2022·江西·高一期中）函数()4tan 48f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间是（）A ．()534,422k k k Z ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+∈B ．()354,422k k k Z ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+∈C ．()538,822k k k Z ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+∈D ．()358,822k k k Z ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+∈3．（2022·湖南·高一课时练习）函数()6cos 2cossin 2sin55f x x x ππ=-的单调递增区间是（） A ．3,105k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )B ．37,2020k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) C ．32,2105k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )D ．2,510k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )角度2：根据三角函数的单调性比较大小例题1．（2022·湖南·高一课时练习）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)1sin 2，1sin 3； (2)8πcos 5，9πcos 5；(3)sin1，sin 2； (4)4πcos 9，7πcos 9．例题2．（2022·湖南·高一课时练习）利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1)7tan 6⎛⎫-⎪⎝⎭π，7tan 5π⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)tan 9π，7tan 9π．例题3．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学高一阶段练习）下列不等式中，正确的是（） A ．26sin sin 77ππC ．1313tan tan 43ππ> D ．cos55tan55︒>︒例题4．（多选）（2022·河北·沧县中学高一阶段练习）下列不等式中成立的是（） A ．34cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．sin507sin145<C ．3tan tan 57ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．sin4cos4<角度2题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）下列各式中正确的是（） A ．3tantan 55ππ> B ．tan2tan3>C ．1723cos cos 45ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2．（多选）（2022·安徽·界首中学高一期末）下列结论正确的是（） A ．sin1cos1>B ．2117cos cos 54ππ⎛⎫-< ⎪⎝⎭C ．()()tan 52tan 47-︒>-︒D ．sin sin 1210ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下列不等式中成立的是（） A ．sin1sin3π C ．()cos 70sin18->D ．417sinsin 56ππ> 4．（多选）（2022·山东临沂·高一期末）下列结论成立的是（） A ．1617sincos 78ππ> B ．sin470sin115︒>︒ C ．cos226sin224︒>︒D ．tan 200tan345︒>︒ 5．（2022·湖南·高一课时练习）比较大小：tan134π________tan 175π. 6．（2022·湖南·高一课时练习）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)sin3，sin4；(2)2cos ，cos3；(3)6πsin 5，6πcos 5．7．（2022·全国·高一课时练习）比较下列两个正切值的大小： (1)tan 167°，tan 173°；(2)tan 11()4π-，tan 13()5π-．角度3：根据三角函数的单调性求参数例题1．（2022·安徽·高一期中）若函数()sin 22x xf x =在(),(0)a a a ->内单调递增，则a 的最大值是( ) A ．5π3 B ．4π3 C ．2π3D ．π3 例题2．（2022·河南开封·高一期末）函数()()()cos 20f x x ϕϕπ=+<<在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有零点，则ϕ的取值范围是 A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．25,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭例题3．（2022·全国·高二课时练习）若函数22()cos sin f x x x =-在区间 []0,m 上单调递减，则m 的一个值可以是 _______ ；例题4．（2022·上海市建平中学高一期中）若函数tan()y x ω=在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为严格减函数，则实数ω的取值范围是_____________．角度3题型归类练1．（2022·北京·北师大实验中学高一期中）若函数()()()sin πf x x ϕϕ=+<在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则ϕ的值为（） A ．2π3-或π3B ．π3-或2π3C ．5π6-或6π D ．π6-或5π62．（2022·江西赣州·二模（理））已知函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭相邻两个对称轴之间的距离为2π，若f （x ）在（-m ，m ）上是增函数，则m 的取值范围是（） A ．（0，4π] B ．（0，2π] C ．（0，34π] D ．（0，32π] 3．（2022·全国·高三专题练习）若()cos sin f x x x =-在[],αα-上是减函数，则α的最大值是（） A ．8πB ．4π C ．38π D ．34π 4．（2022·甘肃·张掖市第二中学高一阶段练习）已知函数3tan 1y x ω=+在ππ,34⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数，则ω的取值范围是______．5．（2022·广西南宁·二模（理））()2sin cos f x x x x =-在[],m m -上单调递减，则实数m 的最大值是______．高频考点七：三角函数中ω的求解角度1：ω的取值范围与单调性相结合例题1．（2022·广东广州·高一期中）函数()()sin 02f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在0,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的最大值为（） A ．6B ．5C ．4D ．1例题2．（2022·重庆八中模拟预测）若函数cos y x ω=在,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，则实数ω的取值范围是______．例题3．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数tan 4y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ω=___________.角度1题型归类练1．（2022·河北保定·二模）已知函数()()2sin 103f x x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，x R ∀∈，()2f x f π⎛⎫⎪⎝⎭≤，且()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，则ω=（） A ．13B ．12C ．2D ．32．（多选）（2022·辽宁辽阳·二模）已知0>ω，函数()sin 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且对任意,84x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()0f x ≥，则ω的取值可以为（） A ．1B ．43C ．53D ．23．（2022·广东茂名·高一期末）已知函数()2tan(),0f x x ωω=>，若()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是则=ω_______；若()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是___________．4．（2022·安徽·高一期中）已知函数()()sin f x x ω=（0>ω）在区间ππ,123⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，在区间π5π,312⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，则ω的值是______．角度2：ω的取值范围与对称性相结合例题1．（2022·上海·高三专题练习）已知函数tan 6y x πω⎛⎫ ⎪⎝+⎭=的图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且1ω≤，则实数ω的值为___________.例题2．（2022·全国·高三专题练习）设函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．例题3．（2022·全国·高三专题练习）若函数cos (0)y x ωω=>的图象在区间,24ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上只有一个对称中心，则ω的取范围为（） A ．12ω<≤B ．ω1≤<2C ．13ω<≤D ．13ω≤<例题．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知函数()21cos cos (0,)2f x x x x a x R ωωω=+->∈在[]0,π内有且仅有三条对称轴，则ω的取值范围是（） A ．27,36⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．75[,)63C ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭D ．138,63⎛⎫ ⎪⎝⎭角度2题型归类练1．（2022·陕西·西安中学高一期中）已知直线6x π=是函数()sin (08)6f x x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭图像的一条对称轴，则ω的值为（） A ．3B ．4C ．2D ．12．（2022·山东·乳山市第一中学高一阶段练习）已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在(π,2π)内不存在对称中心，则ω的取值范围为（）． A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．10,6⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1120,,633⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 0f x x x ωωω+>的图象关于3x π=对称，则ω的最小值为（） A ．1B ．12C ．2D ．324．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））将函数tan()(0)2y x πωω=->的图象分别向左、向右各平移6π个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则ω的最小值为（） A ．32B ．2C ．3D ．65．（2022·江西上饶·二模（理））已知函数()sin ,06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若5412f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()f x 在区间5,412ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值无最大值，则ω=_______．角度3：ω的取值范围与三角函数的最值相结合例题1．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））已知函数()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2，则ω的取值范围为（） A ．[]1,2 B ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A例题2．（2022·全国·高三专题练习）设函数()2cos 2(0)12f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若对于任意的实数x ，()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭恒成立，则ω的最小值等于（）A ．0B ．1C ．1124D ．118例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()cos 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭，若函数()f x 在[]0,2π上有且仅有4个零点和1个最大值点，则ω的取值范围为（） A ．523,312⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．1123,1212⎫⎡⎪⎢⎣⎭C ．516,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2313,126⎫⎡⎪⎢⎣⎭例题4．（2022·辽宁沈阳·高一期中）若函数()()24sin sin cos 21024x f x x x ωπωωω⎛⎫=++->⎪⎝⎭在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内有且仅有一个最大值点，则ω的取值范围是___________.角度3题型归类练1．（2022·新疆·乌市一中高一期末）已知函数()cos 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （ω>0），对任意x ∈R ，都有()f x ≤3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，并且()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，则ω的最小值是（）A ．6B ．7C ．8D ．92．（2022·全国·高三专题练习）已知()cos(),03f x x ωπω=+>．在[]0,2x π∈内的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（） A ．24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．（2021·全国·高一专题练习）已知()()tan 01f x x ωω=<<在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦则ω=（）A ．12B ．13C ．23D ．344．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>在π3x =处取得最大值，且()π0f =，若函数()f x 在π5π,312⎛⎫⎪⎝⎭上是单调的，则ω的最大值为______．角度4：ω的取值范围与三角函数的零点相结合例题1．（2022·吉林·模拟预测（理））已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,2π上有且仅有4个零点，则ω的取值范围是（） A ．2329,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2329,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1111,3024⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1111,3024⎡⎫⎪⎢⎣⎭例题2．（2022·陕西·模拟预测（理））已知函数()sin 1f x x x ωω=+()0ω>在()0,2π上有且只有5个零点，则实数ω的范围是（） A ．1137,26⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．137,62⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2511,124⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．25,12211⎛⎤ ⎥⎝⎦角度4题型归类练1．（2022·北京外国语大学附属上海闵行田园高级中学高一期中）设 0>ω，若函数 sin y x ω= 在区间()2ππ，上恰有两个零点，则 ω 的取值范围为 . 2．（2022·上海市七宝中学高三期中）已知函数[]1cos ,,y x x ωππ=-+∈-（其中ω为常数，且0>ω）有且仅有3个零点，则ω的最小值为_______角度5：ω的取值范围与三角函数的极值相结合例题1．（2022·北京市第十九中学高一期中）若函数sin y x ω=（0>ω）在区间[]0,2上恰好取到3次最小值，请写出一个符合题意的ω的值：___________.例题2．（2022·河南洛阳·三模（理））若函数()sin 10f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,2π上有且仅有6个极值点，则正整数ω的值为（） A ．2B ．3C ．4D ．5角度5题型归类练1．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））已知函数()4sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，(0)(4)2f f ==-，函数()f x 在(0,4)上有且仅有一个极小值但没有极大值，则ω的最小值为（） A ．6πB ．3π C ．56π D ．43π 2．（2022·重庆·三模）已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间(0,2)内有唯一的极值点，则ω的取值范围是___________.1．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭2．（2021·全国·高考真题（文））函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（） A ．3πB ．3π和2C ．6πD ．6π和23．（2019·全国·高考真题（理））设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是 A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④4．（2019·全国·高考真题（理））下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是 A ．f (x )=│cos 2x │ B ．f (x )=│sin 2x │ C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )= sin│x │5．（2019·北京·高考真题（理））函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________． 6．（2019·全国·高考真题（文））函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 7．（2021·浙江·高考真题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈.（1）求函数22y fx π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.8．（2019·浙江·高考真题）设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++ 的值域.1．（2022·江苏连云港·模拟预测）如果函数()cos(2)f x x ϕ=+满足4π()()3f x f x -=-，则||ϕ的最小值是（） A ．π6B ．π3C ．5π6D ．4π32．（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则f （x ）（）A ．在（0，π）单调递减B ．在（0，π）单调递增C ．在（—π2，0）单调递减D ．在（—π2，0）单调递增3．（2022·福建宁德·模拟预测）函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期为2，下列说法正确的是（）A ．π2=ω B ．13f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数C ．f （x ）在[43，73]上单调递增D ．()y f x =的图像关于直线13x =-对称4．（2022·安徽马鞍山·三模（理））函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=+>在区间[]0,π上恰有两个最小值点，则ω的取值范围为（） A ．1321,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)2,6C ．917,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1119,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．（2022·北京昌平·二模）“2πθ=”是“函数()sin()f x x θ=+在区间(0,)2π上单调递减”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）若函数()()sin 0,3f x x ax a πωω⎛⎫=++>∈ ⎪⎝⎭R 是周期函数，最小正周期为π．则下列直线中，()y f x =图象的对称轴是（） A ．6x π=-B ．12x π=C ．3x π=D ．512x π=7．（2022·河北邯郸·模拟预测）已知函数()()ln ln 2sin f x x x x π=+-⋅⎡⎤⎣⎦，则下列结论正确的是（） A ．()f x 的图象关于直线x π=对称 B ．()f x 的图象关于点(),0π对称 C ．()f x 有2个零点D ．()f x π+是偶函数8．（2022·广西师范大学附属外国语学校模拟预测）声音是物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数1()sin sin 22f x x x =+；以下几个结论：①2π是()f x 的一个周期； ②()f x 在[]0,2π上有3个零点；③()f x④()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数.则正确的个数为（） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个二、填空题9．（2022·河北邯郸·模拟预测）请写出一个函数表达式___________满足下列3个条件：①最小正周期T π=；②在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减；③奇函数10．（2022·山东德州·高一期中）已知函数()()tan 04f x x πωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=+>的相邻两个零点之间的距离是3π，则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______． 11．（2022·陕西·长安一中高一期末）已知函数2()2sin sin 21f x x x =-++，则下列说法正确的有________.①()f x 的图象可由2y x =的图象向右平移8π个单位长度得到 ②()f x 在0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增③()f x 在[0,]π内有2个零点④()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12．（2022·湖南·长沙一中高二阶段练习）已知函数()2sin 36f x x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，70,9x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有三个不同的零点123x x x ，，，且123x x x <<，则()1232m x x x ++的范围是________. 三、解答题13．（2022·北京师大附中高一期中）设函数()4cos sin 3f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，x ∈R ．(1)求()f x 的单调递减区间；(2)若曲线()y f x =的对称轴只有一条落在区间[0,]m 上，求m 的取值范围．14．（2022·北京市第二十五中学高一期中）已知函数()()2sin f x x π=-．(1)求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若()13f α=，求cos2α的值；(3)设函数()()cos g x f x x x =，求函数()g x 在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，并求出此时对应的x值．15．（2022·北京市第十九中学高一期中）已知函数()22sin cos f x x x x =+.(1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求函数()f x 的单调递减区间；(3)当ππ,312x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∈时，求证：()f x ≥。

高中数学《函数的单调性与奇偶性》针对练习及答案

第二章函数2.2.2 函数的单调性与奇偶性（针对练习）针对练习针对练习一单调性与奇偶性的判断1．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的增函数的是（） A ．cos y x x = B ．66x x y -=- C ．23y x =+ D ．1y x x =+2．下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上为增函数的是（）A ．()1f x x=- B ．()f x C ．()f x x = D ．()31f x x =+3．下列函数在其定义域内既是奇函数又单调递减的是（） A ．sin y x =- B ．cos 2y x = C ．tan y x = D ．3y x =-4．下列函数是偶函数且在(0，+∞)是增函数的是（） A ．2xy =B ．2y xC ．12y x =D ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭5．下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2y x=C ．32y x =-D ．2log ()y x =-针对练习二函数（包含复合函数）的单调区间6．若函数()f x 的图象如图所示，则其单调递减区间是（）A ．[]4,1--，[]1,4B ．[]1,1-C ．[]4,4-D ．[]22-,7．函数()1x f x x在（）A ．(,1)(1,)-∞⋃+∞上是增函数B ．(,1)(1,)-∞⋃+∞上是减函数C ．(,1)-∞和(1,)+∞上是增函数D ．(,1)-∞和(1,)+∞上是减函数8．已知函数()212f x x x =+-，则下列结论正确的是（）A ．()f x 在区间(],1-∞上是增函数B ．()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数C ．()f x 在区间(],1-∞上是减函数D ．()f x 在区间[)1,-+∞上是减函数9．函数()f x ）A ．[)2+∞，B ．12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， D ．(]1-∞-，10．函数12y ⎛= ⎪⎝⎭A ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦针对练习三根据奇偶性求解析式11．设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()21xf x =-，则当0x <时，()f x =（）A ．21x --B ．21x -+C ．21x ---D ．21x --+12．已知偶函数()f x ，当0x >时，()23f x x =-，则当0x <时，()f x =（） A ．23x -- B ．23x +C ．23x -+D ．23x -13．函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =-，则当0x >时，()f x =（） A ．2x - B ．2x -C ．2x --D ．2x14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()f x x x =-，则当0x >时，()f x =（）A ．2x x -B ．2x x --C ．2x x -+D ．2x x +15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x =，则()f e -=（）A ．1-B ．1C ．2D ．2-针对练习四根据单调性与奇偶性解不等式16．设函数||()x f x e =，则使得(21)()f x f x -<成立的x 的取值范围是（） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,(1,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭17．若函数y =f (x )在R 上单调递增，且2(1)(1)f m f m +<-+，则实数m 的取值范围是（） A ．(1,0)- B ．(2,1)- C ．(0,1) D ．(,1)(0,)-∞-+∞18．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间[0,)+∞是单调增函数，若(1)(2)f a f -<，则实数a 的取值范围是（）A ．13a -<C ．31a -<<D ．3a <-或1a >19．函数()y f x =在R 上为增函数，且(2)(9)f m f m >+，则实数m 的取值范围是（） A ．()9,+∞B ．[)9,+∞C ．(),9-∞-D ．(],9-∞-20．已知函数21()ln(1)1f x x x=+-+，若实数a 满足313(log )(log )2(1)f a f a f +≤，则a 取值范围（） A ．[]1,3 B ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦C ．(]0,3D ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦针对练习五根据单调性与奇偶性比大小21．若定义在R 上偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，下列各式一定成立的是（） A ．()()06f f C ．()()13f f -> D ．()()58f f -<-22．设偶函数()f x 的定义域为R ，当(,0]x ∈-∞时，()f x 是增函数，则52f ⎛⎫⎪⎝⎭，(f ，()f π的大小关系是（）A．5()(2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭B．5(()2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭C．5(()2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭D．5()(2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭23．若函数()f x 是偶函数，且在区间[0,3]上单调递减，则（） A ．()()1(2)3f f f ->> B ．()()()312f f f >-> C ．()()()213f f f >-> D ．()()()321f f f >>-24．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的()1212,(,0]x x x x ∈-∞≠，有()()()21210x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦．则当n *∈N 时，有（）A ．(1)()(1)f n f n f n +<-<-B ．(1)()(1)f n f n f n -<-<+C ．()(1)(1)f n f n f n -<-<+D ．(1)(1)()f n f n f n +<-<-25．定义在R 上的偶函数()f x 在[)0+∞，上是减函数，则（） A ．(1)(2)(3)f f f <-C ．12a <-D ．12a >-27．函数221y x mx =++在[2,)+∞单调递增，则实数m 的取值范围是（） A ．[2,)-+∞ B ．[2,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(,2]-∞28．若函数()()212f x a x =-+为R 上的减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．a >1B ．a <1C ．11a -<<D ．－1≤a ≤129．已知0a >且1a ≠，函数(1)34,(0)(),(0)xa x a x f x a x -+-≤⎧=⎨>⎩满足对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围是（）A ．0,1B ．1,C ．51,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．5,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭30．已知(32)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩, 对任意1212,(,),x x x x ∈-∞+∞≠,都有1212()()0f x f x x x -<-，那么实数a 的取值范围是 A ．()0,1B ．2(0,)3C ．1173⎡⎫⎪⎢⎣⎭, D ．22,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭针对练习七根据奇偶性求参数31．若函数(31)()y x x a =+-为偶函数，则a =（） A ．1 B ．-1 C ．13D ．232．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a -1，2a ]上的偶函数，那么a +b 的值是（） A ．1- B ．13C ．0D ．333．已知函数222,0()0,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数．则实数m 的值是（）A ．0B ．2C ．4D ．-234．若()3351f x x x a =++-为奇函数，则a 的值为（）A ．0B ．-1C ．1D ．235．若函数()(21)()xf x x x a =+-为奇函数，则a =（）A ．12 B ．23C ．34D ．1第二章函数2.2.2 函数的单调性与奇偶性（针对练习）针对练习针对练习一单调性与奇偶性的判断1．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的增函数的是（） A ．cos y x x = B ．66x x y -=- C ．23y x =+ D ．1y x x =+【答案】B 【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义和单调性的定义逐个分析判断【详解】对于A ，因为()()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，所以cos y x x =是奇函数，但不单调，所以A 错误；对于B ，因为()66(66)()x x x x f x f x ---=-=--=-，所以66x x y -=-是奇函数，因为6x y =是增函数，6x y -=是减函数，所以66x x y -=-是增函数，所以B 正确；对于C ，因为22()()33()f x x x f x -=-+=+=，所以23y x =+是偶函数，所以C 错误；对于D ，因为()()()11f x x x x x f x f x -=--+=-+≠-≠，所以1y x x =+是非奇非偶函数，所以D 错误．故选：B2．下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上为增函数的是（） A ．()1f x x=- B ．()f x C ．()f x x = D ．()31f x x =+【答案】A 【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义和单调性的定义逐个分析判断即可【详解】对于A ，定义域为{}0x x ≠，因为()()11f x f x x x-=-==--，所以函数是奇函数，任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则2121211211()()x xf x f x x x x x --=-+=，因为12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，所以21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >，所以()f x 在()0,∞+上为增函数，所以A 正确，对于B ，因为定义域为{}0x x ≥，所以函数()f x 为非奇非偶函数，所以B 错误，对于C ，因为定义域为R ，因为()()f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，所以C 错误，对于D ，因为定义域为R ，因为()()3311()()f x x x f x f x -=-+=-+≠≠-，所以函数()f x 为非奇非偶函数，所以D 错误，故选：A3．下列函数在其定义域内既是奇函数又单调递减的是（） A ．sin y x =- B ．cos 2y x = C ．tan y x = D ．3y x =-【答案】D 【解析】对于基本初等函数，直接判断其奇偶性和单调性. 【详解】选项A: sin y x =-为偶函数，故A 错误；选项B: cos 2y x =为偶函数，故B 错误；选项C: tan y x =为奇函数但是在,22k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭上单增，故C 错误；选项D: 3y x =-既是奇函数又是R 上单调递减. 故选：D4．下列函数是偶函数且在(0，是增函数的是（） A ．2xy =B ．2y xC ．12y x =D ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数、二次函数、幂函数的性质进行判断即可. 【详解】因为指数函数不具有奇偶性，所以排除A 、D ，因为幂函数12y x =的定义域为非负实数集，不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故排除，二次函数2yx 图象关于纵轴对称，所以该二次函数是偶函数，它又在(0，+∞)单调递增，故选：B5．下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2y x=C ．32y x =-D ．2log ()y x =-【答案】C 【解析】利用奇函数的定义和减函数的定义，再结合基本函数的性质求解即可【详解】解：对于A ，D ，由指数函数和对数函数的性质可知其为非奇非偶函数，所以A ，D 不符合题意，对于B ，由反比例函数的性质可知，其为奇函数，在(,0)-∞和(0,)+∞上为减函数，所以不符合题意，对于C ，由于33()2()2()f x x x f x -=--==-，所以3()2f x x =-为奇函数，任取12,x x R ∈，且12x x <，则120x x -<332121()()2(2)f x f x x x -=---33122()x x =- 221211222()()x x x x x x =-++222121232()[()]024x x x x x =-++< 所以21()()f x f x <，所以3()2f x x =-为R 上的减函数，所以C 符合题意，故选：C针对练习二函数（包含复合函数）的单调区间6．若函数()f x 的图象如图所示，则其单调递减区间是（）A ．[]4,1--，[]1,4B ．[]1,1-C ．[]4,4-D ．[]22-,【答案】B 【解析】【分析】利用图象判断函数单调性的方法直接写出函数()f x 单调递减区间. 【详解】观察函数()f x 的图象，可知函数()f x 的单调递减区间为[]1,1-. 故选：B 7．函数()1x f x x在（）A ．(,1)(1,)-∞⋃+∞上是增函数B ．(,1)(1,)-∞⋃+∞上是减函数C ．(,1)-∞和(1,)+∞上是增函数D ．(,1)-∞和(1,)+∞上是减函数【答案】C 【解析】【分析】分离常数，作出函数图象，观察即可得出结果. 【详解】1111()1111111x x x f x xxxxx，函数的定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞，其图象如下：由图象可得函数在(,1)-∞和(1,)+∞上是增函数. 故选：C8．已知函数()212f x x x =+-，则下列结论正确的是（）A ．()f x 在区间(],1-∞上是增函数B ．()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数C ．()f x 在区间(],1-∞上是减函数D ．()f x 在区间[)1,-+∞上是减函数【答案】A 【解析】配方得二次函数的对称轴，然后判断．【详解】2()(1)2f x x =--+，对称轴为1x =，二次项系数为10-<，因此()f x 在(,1]-∞上递增，在[1,)+∞上递减，故选：A ．9．函数()f x ）A ．[)2+∞，B ．12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， D ．(]1-∞-，【答案】C 【解析】根据解析式，先求出函数的定义域；再令22t x x =-+，结合二次函数单调性，以及. 【详解】因为22172024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭显然恒成立，所以函数()f x =R ；令22t x x =-+，则22t x x =-+是开口向上的二次函数，且对称轴为12x =，所以22t x x =-+在12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，上单调递减，在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增；根据复合函数单调性的判定方法可得，()f x 12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求根式型复合函数的单调区间，属于基础题型.10．函数12y ⎛= ⎪⎝⎭A ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】由题得函数的定义域为{|12}x x -≤≤，设函数u u 在1]2[-1,单调递增，在1[2]2，单调递减，因为函数1()2uv =在定义域上单调递减，所以函数12y ⎛= ⎪⎝⎭1[2]2，单调递增. 故选D 【点睛】和分析推理能力.针对练习三根据奇偶性求解析式11．设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()21xf x =-，则当0x <时，()f x =（）A ．21x --B ．21x -+C ．21x ---D ．21x --+【答案】D 【解析】【分析】根据题意，设0x <，则0x ->，由函数的解析式可得()21x f x ---=，结合函数的奇偶性分析可得答案．【详解】根据题意，设0x <，则0x ->，则()21x f x ---=，又由()f x 为奇函数，则()()21x f x f x -=-=-+-，故选：D12．已知偶函数()f x ，当0x >时，()23f x x =-，则当0x <时，()f x =（） A ．23x -- B ．23x +C ．23x -+D ．23x -【答案】A 【解析】设0x <，则0x ->，可得()23f x x -=--，利用偶函数的定义()()f x f x -=即可求解. 【详解】设0x <，则0x ->，所以()23f x x -=--，又()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，所以()()230f x x x =--<. 故选：A.13．函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =-，则当0x >时，()f x =（） A ．2x - B ．2x -C ．2x --D ．2x【答案】C 【解析】【分析】直接利用代入法求函数解析式. 【详解】当0x >时，0x -<，所以()()2f x x f x -=+=-，所以()2f x x =--．故选：C ．14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()f x x x =-，则当0x >时，()f x =（） A ．2x x - B ．2x x -- C ．2x x -+ D ．2x x +【答案】D 【解析】【分析】利用奇函数的等式()()f x f x -=-求解.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，x ∈R .当0x >时，0x -<，()()()()22f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=+⎣⎦. 故选：D.15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x =，则()f e -=（）A ．1-B ．1C ．2D ．2-【答案】A 【解析】根据奇函数的定义求函数值．【详解】 ∵()f x 是奇函数，∵()()ln 1f e f e e -=-=-=-．故选：A ．针对练习四根据单调性与奇偶性解不等式16．设函数||()x f x e =，则使得(21)()f x f x -<成立的x 的取值范围是（） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,(1,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】首先判断出函数为偶函数，再判断出函数的单调性，根据单调性可得21x x -<，解绝对值不等式即可求解. 【详解】||()x f x e =，则()()xxf x ee f x --===，函数为偶函数，当0x ≥时，()x f x e =，所以函数在[)0,+∞单调递增，所以函数在(),0-∞上单调递减，若(21)()f x f x -<，则21x x -<，即23410x x -+<，解得113x <<，所以不等式的解集为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A17．若函数y =f (x )在R 上单调递增，且2(1)(1)f m f m +<-+，则实数m 的取值范围是（） A ．(1,0)- B ．(2,1)- C ．(0,1) D ．(,1)(0,)-∞-+∞【答案】A 【解析】由函数y =f (x )在R 上单调递增，将2(1)(1)f m f m +<-+可化为211m m +<-+，解不等式可得答案【详解】解：因为函数y =f (x )在R 上单调递增，且2(1)(1)f m f m +<-+，所以211m m +<-+，解得10m -<<，故选：A18．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间[0,)+∞是单调增函数，若(1)(2)f a f -<，则实数a 的取值范围是（）A ．13a -<C ．31a -<<D ．3a <-或1a >【答案】A 【解析】由偶函数的性质将不等式(1)(2)f a f -<转化为(1)(2)f a f -<，再由其在[0,)+∞是单调增函数，可得12a -<，从而可求出a 的取值范围【详解】解：因为()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且(1)(2)f a f -<，所以(1)(2)f a f -<，因为函数()f x 在区间[0,)+∞是单调增函数，所以12a -<，解得13a -<<，故选：A19．函数()y f x =在R 上为增函数，且(2)(9)f m f m >+，则实数m 的取值范围是（）A ．()9,+∞B ．[)9,+∞C ．(),9-∞-D ．(],9-∞-【答案】A 【解析】根据单调性可得29m m >+，解出即可．【详解】解：∵()y f x =在R 上为增函数，且(2)(9)f m f m >+， ∵29m m >+，解得9m >，故选：A ．【点睛】本题主要考查根据函数的单调性解不等式，属于基础题． 20．已知函数21()ln(1)1f x x x=+-+，若实数a 满足313(log )(log )2(1)f a f a f +≤，则a 取值范围（） A ．[]1,3 B ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦C ．(]0,3D ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】首先判断()f x 的单调性和奇偶性，由此化简不等式313(log )(log )2(1)f a f a f +≤，并求得a 的取值范围. 【详解】()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.当0x >时，21()ln(1)1f x x x =+-+，2ln(1)y x =+和11y x=-+在()0,∞+上递增，所以()f x 在()0,∞+上递增，而()f x 是偶函数，故()f x 在(),0-∞上递减.依题意313(log )(log )2(1)f a f a f +≤，即33(log )(log )2(1)f a f a f +-≤，即332(log )2(1)(log )(1)f a f f a f ≤⇔≤，所以331log 11log 133a a a ≤⇔-≤≤⇔≤≤，所以a 的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：D 【点睛】本小题主要考查解函数不等式，属于基础题.针对练习五根据单调性与奇偶性比大小21．若定义在R 上偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，下列各式一定成立的是（） A ．()()06f f C ．()()13f f -> D ．()()58f f -<-【答案】C 【解析】【分析】由偶函数及在[)0,+∞上是减函数，知在(,0]-∞上是增函数，即可判断各项的正误. 【详解】A ：在[)0,+∞上是减函数，即()()06f f >，错误；B ：(3)(3)f f -=，()f x 在[)0,+∞上是减函数，有()()32f f <，即()()32f f -<，错误；C ：(1)(1)f f -=，()f x 在[)0,+∞上是减函数，有()()31f f <，即()()13f f ->，正确；D ：由题意，()f x 在(,0]-∞上是增函数，()()58f f ->-，错误；故选：C22．设偶函数()f x 的定义域为R ，当(,0]x ∈-∞时，()f x 是增函数，则52f ⎛⎫⎪⎝⎭，(f ，()f π的大小关系是（）A ．5()(2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．5(()2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭C ．5(()2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭D ．5()(2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】根据偶函数的性质可得(f f =，由函数的单调性可得函数值的大小关系. 【详解】根据偶函数的性质可知，(f f =当[)0,x ∈+∞时，()f x 是减函数，因为5π2<，所以5()2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭故选:C. 【点睛】思路点睛：在比较函数值大小的题目中，主要根据函数的单调性进行判断.当自变量不在同一单调区间时，可以结合偶函数的性质将自变量x 转化为同一单调区间，再进行判断即可.23．若函数()f x 是偶函数，且在区间[0,3]上单调递减，则（） A ．()()1(2)3f f f ->> B ．()()()312f f f >-> C ．()()()213f f f >-> D ．()()()321f f f >>-【答案】A 【解析】由(1)(1)f f -=，结合单调性得出()()1(2)3f f f ->>. 【详解】因为函数()f x 是偶函数，所以(1)(1)f f -= 又()f x 在区间[0,3]上单调递减，且123<< 所以(1)(2)(3)f f f ∴>>，即()()1(2)3f f f ->> 故选：A24．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的()1212,(,0]x x x x ∈-∞≠，有()()()21210x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦．则当n *∈N 时，有（）A ．(1)()(1)f n f n f n +<-<-B ．(1)()(1)f n f n f n -<-<+C ．()(1)(1)f n f n f n -<-<+D ．(1)(1)()f n f n f n +<-<-【答案】A 【解析】首先判断出函数的单调性，再根据函数为偶函数即可求解. 【详解】对任意的()1212,(,0]x x x x ∈-∞≠，()()()21210x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以函数在(,0]-∞上为增函数，又因为函数()f x 在R 上的偶函数，所以函数在[)0,+∞上为减函数，且()()f n f n -=，因为11n n n -<<+，所以(1)()(1)f n f n f n ->>+. 所以(1)()(1)f n f n f n ->->+. 故选：A25．定义在R 上的偶函数()f x 在[)0+∞，上是减函数，则（） A ．(1)(2)(3)f f f <->，所以(3)(2)(1)f f f <<，即(3)(2)(1)f f f <-<，故选：B 【点睛】此题考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题针对练习六根据单调性求参数26．设函数()()12f x a x b =-+是R 上的增函数，则有（） A ．12a C ．12a <-D ．12a >-【答案】A 【解析】函数()()12f x a x b =-+是R 上的增函数,则120a ->，可得答案. 【详解】函数()()12f x a x b =-+是R 上的增函数,则120a ->，即12a < 故选：A27．函数221y x mx =++在[2,)+∞单调递增，则实数m 的取值范围是（） A ．[2,)-+∞ B ．[2,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(,2]-∞【答案】A 【解析】直接由抛物线的对称轴和区间端点比较大小即可. 【详解】函数221y x mx =++为开口向上的抛物线，对称轴为x m =- 函数221y x mx =++在[2,)+∞单调递增，则2m -≤，解得2m ≥-. 故选：A.28．若函数()()212f x a x =-+为R 上的减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．a >1B ．a <1C ．11a -<<D ．－1≤a ≤1【答案】C 【解析】利用用一次函数的单调性得到210a -<，再由二次不等式的解法，即可得解. 【详解】函数()()212f x a x =-+为R 上的减函数，则210a -<，解得11a -<<；故选：C.29．已知0a >且1a ≠，函数(1)34,(0)(),(0)xa x a x f x a x -+-≤⎧=⎨>⎩满足对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围是（）A ．0,1B ．1,C ．51,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．5,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】由2121()()0f x f x x x ->-可得函数()f x 在R 上为增函数，所以010134a a a a ⎧->⎪>⎨⎪≥-⎩，从而可求出a 的取值范围【详解】解：因为()f x 对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x ->-成立，所以()f x 在R 上为增函数，所以010134a a a a ⎧->⎪>⎨⎪≥-⎩，解得513a <≤，所以a 的取值范围为51,3⎛⎤⎥⎝⎦，故选：C 30．已知(32)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩, 对任意1212,(,),x x x x ∈-∞+∞≠,都有1212()()0f x f x x x -<-，那么实数a 的取值范围是 A ．()0,1 B ．2(0,)3C ．1173⎡⎫⎪⎢⎣⎭, D ．22,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】根据题设条件可以得到()f x 为R 上的减函数，根据各自范围上为减函数以及分段点处的高低可得实数a 的取值范围. 【详解】因为任意1212,(,),x x x x ∈-∞+∞≠,都有1212()()0f x f x x x -<-，所以对任意的12x x <，总有()()12f x f x >即()f x 为R 上的减函数，所以01320720a a a <<⎧⎪-<⎨⎪-≥⎩，故2273a ≤<，故选D.【点睛】分段函数是单调函数，不仅要求各范围上的函数的单调性一致，而且要求分段点也具有相应的高低分布，我们往往容易忽视后者.针对练习七根据奇偶性求参数31．若函数(31)()y x x a =+-为偶函数，则a =（）A ．1B ．-1C ．13 D ．2【答案】C【解析】【分析】若()y f x =，由奇偶性的性质有()()f x f x =-即可求参数a .【详解】若()y f x =，则()f x 23(13)x a x a =+--为偶函数，∵()()f x f x =-，即223(13)3()(13)()x a x a x a x a +--=-+---，∵2(13)0a x -=恒成立，可得13a =.故选：C32．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a -1，2a ]上的偶函数，那么a +b 的值是（）A ．1-B ．13 C ．0 D ．3【答案】B【解析】【分析】根据()f x 的奇偶性求得,a b ，从而求得a b +.【详解】由于()f x 是偶函数，所以0b =，且111233a a a a b -=-⇒=⇒+=.故选：B33．已知函数222,0()0,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数．则实数m 的值是（）A ．0B ．2C ．4D ．-2【答案】B【解析】【分析】利用函数为奇函数可得()()f x f x -=-，代入即可求解.【详解】取0x >，则0x -<，因为函数为奇函数，则()()f x f x -=-，即()()()222x m x x x -+-=--+，整理可得2mx x -=-，即2m =.故选：B34．若()3351f x x x a =++-为奇函数，则a 的值为（）A ．0B ．-1C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】根据奇函数的性质()00f =求解即可【详解】∵()f x 为R 上的奇函数，∵()00f =得a =1.验证满足题意.故选：C35．若函数()(21)()x f x x x a =+-为奇函数，则a =（） A ．12B ．23C ．34D ．1 【答案】A【解析】【分析】根据奇函数性质取1和-1分别代入，函数值和为0，即可求得.【详解】 ∵()(21)()x f x x x a =+-为奇函数，∵(1)(1)0f f -+=，得12a =．故选：A.。

专题33 三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性题2021高中数学必做黄金100题(解析版

第33题三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性
一．题源探究·黄金母题
（求函数的单调递增区间．
【解析】设，函数的单调递增区间为．由，得．易知．
【试题来源】人教版A版必修4第39页例5．
【母题评析】本题考查三角函数单调区间的求法，是历年来高考的一个常考点．
【思路方法】限定区间上三角函数单调区间的求法：先用整体思想求
【技能方法】解决三角函数的单调性有关的问题，要结合函数的图象及其性质。
考向6已知三角函数的奇偶性、对称性或周期求参数的值
已知函数（，），其图像与直线相邻两个交点的距离为，若对于任意的恒成立，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，可得，
∵函数（，）的图像与直线相邻两个交点的距离为，
∴函数的图象与直线相邻两个交点的距离为，
∴函数的周期为，故，∴ ．∴ ．
由题意得“ 对于任意的恒成立”等价于“ 对于任意的恒成立”．∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
故结合所给选项可得C正确．选C．
【技能方法】本题难度较大，解题时根据题意得在上的取值范围是的子集去处理，由此通过不等式可得的范围，结合选项得解．
④将的图象向右平移个单位可得到图像．
【答案】①②③
【解析】对于，
令，求得f(x)=−1，为函数的最小值，故它的图象C关于直线对称故①正确．
令x= ，求得f(x)=0，可得它的图象C关于点( ，0)对称，故②正确．
令，可得，故函数f(x)在区间是增函数，故③正确，
由的图象向右平移个单位长度可以得到故排除④，
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等．

函数的奇偶性和单调性综合训练

偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数。
奇函数和偶函数的性质
奇函数的图像关于原点对称，即当$x$取任意值时，其对应的$y$ 值都是关于原点对称的。
偶函数的图像关于y轴对称，即当$x$取任意值时，其对应的$y$ 值都是关于y轴对称的。
利用奇偶性和单调性解题
利用奇偶性求函数值
对于奇函数，有$f(-x) = -f(x)$；对于偶函数，有$f(-x) = f(x)$。
利用单调性比较函数值大小
在单调递增区间内，如果$x_1 < x_2$，则$f(x_1) < f(x_2)$；在单调递减区间内，如果$x_1 < x_2$，则 $f(x_1) > f(x_2)$。
奇偶性的判断方法
定义法
根据奇偶函数的定义来判断。
图像法
通过观察函数的图像来判断。
代数法
通过代入特殊值来判断。
单调性的定义
单调递增
如果对于函数$f(x)$的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1<x_2$），都有$f(x_1)<f(x_2)$，则称函数$f(x)$在定义域内单调递增。
函数的奇偶性和单调性综合训练
目
CONTENCT
录
• 函数的奇偶性 • 函数的单调性 • 奇偶性与单调性的关系 • 综合训练题 • 总结与回顾
01
函数的奇偶性
奇函数和偶函数的定义
奇函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
100%
导数法
通过求函数的导数并判断导数的正负来判断。如果导数大于0，则为增函数；如果导数小于0，则为减函数。

2020届高考数学一轮复习第四篇三角函数与解三角形专题4.4三角函数的图像和性质练习(含解析)

专题4.4 三角函数的图象与性质【考试要求】1.能画出三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质. 【知识梳理】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )【微点提醒】 1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√【解析】 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条.(2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 【教材衍化】2.(必修4P46A2，3改编)若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π，A ＝1 B.T ＝2π，A ＝1 C.T ＝π，A ＝2D.T ＝2π，A ＝2【答案】 A【解析】最小正周期T ＝2π2＝π，最大值A ＝2－1＝1.故选A. 3.(必修4P47B2改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )【解析】由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )，得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 【真题体验】4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2【答案】 C【解析】由题意T ＝2π2＝π.5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B.1C.35D.15【答案】 A【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65.6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________. 【答案】－π6【解析】由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π6. 【考点聚焦】考点一三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 【答案】(1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8【解析】 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 【规律方法】1.三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式.(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式. 2.简单三角不等式的解法 (1)利用三角函数线求解. (2)利用三角函数的图象求解.【训练1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. (2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为______.【答案】 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z 【解析】 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]上，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z考点二三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________.(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1【解析】 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.(2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 【规律方法】求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).【训练2】 (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________.【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π【解析】 (1)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π.考点三三角函数的单调性角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________.【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z【解析】 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .角度2 利用单调性比较大小【例3－2】已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c【答案】 A【解析】令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π【答案】 A【解析】 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.【规律方法】1.已知三角函数解析式求单调区间：(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.【训练3】 (1)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，则以下结论正确的是( ) A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上单调递增 (2)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.(3)(一题多解)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.【答案】 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32【解析】 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－π3，此时函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，此时函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，此时函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π3，此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝32＋6k (k ∈Z )，所以当k ＝0时，ω＝32. 考点四三角函数的周期性、奇偶性、对称性角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( )A.－π6B.π6C.－π3D.π3【答案】 (1)B (2)A【解析】 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ).∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6.【规律方法】 1.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B.关于点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0对称C.关于直线x ＝π3对称D.关于直线x ＝π6对称(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5 【答案】 (1)C (2)B【解析】 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33，所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称. (2)因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋kT 2，即π2＝2k ＋14T ＝2k ＋14·2πω(k ∈Z )，所以ω＝2k ＋1(k ∈Z ). 又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，ω＝11验证不成立(此时求得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减)，ω＝9满足条件，由此得ω的最大值为9. 【规律方法】1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x的最小正周期为( ) A.π4 B.π2 C.π D.2π(2)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减【答案】 (1)C (2)D【解析】 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z . f (x )＝sin x cos x1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确. C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x ＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误.【反思与感悟】1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t (或y ＝cos t )的性质.3.数形结合是本节的重要数学思想.【易错防范】1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.2.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.3.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k ∈Z .【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π【答案】 C【解析】 ∵y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π. 2.(2019·石家庄检测)若⎝⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8 【答案】 C【解析】因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6. 3.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B.32C.2D.3【答案】 B【解析】 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32. 4.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( ) A.102 B.－102 C.2 D.－2【答案】 C【解析】依题意可得函数的最小正周期为2πω＝2|x 1－x 2|min ＝2×2＝4，即ω＝π2，所以f (1)＝2sin π2－cos π2＝2. 5.若f (x )为偶函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上满足：对任意x 1<x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则f (x )可以为( ) A.f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2 B.f (x )＝|sin(π＋x )| C.f (x )＝－tan xD.f (x )＝1－2cos 22x 【答案】 B 【解析】 ∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2＝－sin x 为奇函数，∴排除A ；f (x )＝－tan x 为奇函数，∴排除C ；f (x )＝1－2cos 22x ＝－cos 4x 为偶函数，且单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2，k π2＋π4(k ∈Z )，排除D ；f (x )＝|sin(π＋x )|＝|sin x |为偶函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增. 二、填空题6.(2019·烟台检测)若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________. 【答案】 5π6【解析】因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6. 7.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 【解析】由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ). 8.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.【答案】 23【解析】由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23. 三、解答题9.(2018·北京卷)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 由题意知－π3≤x ≤m ，所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6. 要使得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1. 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3. 故实数m 的最小值为π3. 10.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 【答案】见解析【解析】(1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ).注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )【答案】 D【解析】因为f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，所以f (－x )＋2f (x )＝3cos x ＋sin x .解得f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ).12.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A.ω＝23，φ＝π12B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24 【答案】 A【解析】 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12(k ∈Z )，又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12. 13.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的单调递减区间是________. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ) 【解析】因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z ). 不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ). 14.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1. (2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π. 又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2. ∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2， ∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3，又f (x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23，故cos(x 1－x 2)＝23. 【新高考创新预测】15.(思维创新)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，则实数m 的最小值是________.【答案】 π2【解析】因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，所以α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－2π3，则f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，所以f (β)在[0，m ]上单调，且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即实数m 的最小值是π2.。

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三角函数的图像性质：奇偶性、单调性、周期性
例题1:判断下列函数的奇偶性
（1）()()sin f x x x π=+ （2）21sin cos ()1sin x x
f x x
+-=+
例题2:求下列函数的单调区间
（1）()sin 33f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
（2）()cos(2)3f x x π=- [](0,)x π
∈
例题3：求下列函数的值域
（1）32cos 6y x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，[](0,)x π∈ （2）x x y sin sin += （3）sin sin y x x =+
例题4：已知函数3cos 216y x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，请写出该函数的对称轴、对称中心；用五点作图法作
出该函数的图像.
同步练习：
1、写出下列函数的周期：
（1）5sin 23y x π⎛
⎫=--+ ⎪⎝
⎭（2）tan(2)y x π=+（3）7cos2y x =+（4）2tan 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
2、（1）求函数2sin 25y x x =+-的定义域.（2）解不等式1sin 42x π⎛
⎫-≥ ⎪⎝
⎭.
3、比较下列各数的大小：sin1︒、sin1、sin π︒
4、已知()cos
4
n f n π
=，*n N ∈，则(1)(2)(3)(2011)f f f f ++++=__________.
5、方程lg sin 3x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭实数根的个数为___________.
6、如果4
x π
≤，求2()cos sin f x x x =+的最值，并求出取得最值时x 的值.
7、写出函数1
3tan 2
3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称中心，并用作出该函数在[]0,x π∈的图像.
8、对于函数()f x 定义域,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
中的任意()1122,x x x x ≠，有如下结论：
（1）()()f x f x π+=. （2） ()()f x f x -= （3）(0)1f =. （4）
1212
()()
0f x f x x x ->- （5）
1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫>
⎪⎝⎭
当()tan f x x =时，以上结论正确的序号为________________. 能力提高：
1、()2sin f x wx =(01w <<),在区间0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上最大值是2，求w .
2、若2()sin sin 1f x x a x =--+的最小值为-6，求实数a 的值.
3、设定义在R 上的奇函数()f x ，满足(2)()f x f x +=-.当02x ≤≤时，2()2f x x x =-. (1)当20x -≤≤时，求()f x 的表达式；(2)求(9)f 与(9)f -的值； (3)证明()f x 是奇函数．
三角函数的图象变换
例题1：由函数sin y x =的图象经过怎样的变换，得到函数π2sin 216y x ⎛
⎫=--+ ⎪⎝
⎭的图象．
变式1：已知函数()y f x =，将()f x 的图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿着x 轴向左平移2π个单位，这样得到的是1
sin 2
y x =的图象，求已知函数()y f x =的解析式．
同步练习：
1、(1)把函数sin 2y x =的图像向平移单位长度得到函数sin(2)3
y x π
=-的图像。

(2)把函数sin 3y x =的图像向平移单位长度得到函数sin(3)6
y x π
=+的图像。

(3)将函数()f x 的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移2
π
个单位长度，得到的曲线是1sin 2
y x =
的图像，则函数()f x =
2、已知函数()2sin ()23x f x x R π⎛⎫
=+∈ ⎪⎝⎭
.
(1)写出函数的振幅、初相、相位、频率；（2）该函数是由sin y x =的图像怎么变换而来的？
求出A ωϕ、、，确定函数表达式
例题1：（1）已知函数()2sin 0y x ωω=>的图像与2y =的相邻的两个公共点之间的距离为3
π
，求ω的值.
（2）已知图1是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭的图象上的一段，则（）
A.10π116
ωϕ=
=， B.10π
116
ωϕ=
=-， C.π
26ωϕ==
， D.π
26
ωϕ==-，
例题2：函数()()3sin 25f x x ϕ=+的图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正角是？
变式：如果函数()3cos 2y x ϕ=+的图象关于点4,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称，那么ϕ的最小值是？
例题3：已知函数()()sin f x A wx ϕ=+，x R ∈(其中0,0,02
A w π
ϕ>><<
)的图象与x 轴的交点
中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
,求()f x 的解析式.
变式：已知函数()()sin f x A wx ϕ=+(0,0,2
A w π
ϕ>><
)的图象的一个最高点为()
2,22，由
这个最高点到相邻最低点，图像与x 轴的交与()6,0点，试求()f x 的解析式.
同步练习：
1、已知函数()sin()(0,0)f x x ωφωφπ=+>≤≤是R 上的偶函数，其图像关于点3(,0)4
M π对称，且在区间[0,]2
π
上是单调函数，求ϕ和ω的值.
2、某港口水的深度y （米）是时间t (240≤≤t ,单位：时)的函数，记作()y f t =, 下面是某日水深的数据：
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
经常期观察，()y f t =的曲线可以近似得看成函数sin y A t b ω=+的图象， (1)试根据以上的数据，求出函数()y f t =的近似表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m 或5m 以上时认为是安全的，某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5m ，试求一天内船舶安全进出港的时间。

能力提高：
1、若函数()3sin()f x x ωϕ=+对任意实数x ，都有44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫
+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，求
4f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值.
2、已知函数π()2sin ()4f x a b x a b ⎛
⎫=++∈ ⎪⎝⎭
Z ，，当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最大值为221-．
（1）求()f x 的解析式；
（2）由()f x 的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数()y g x =的图象？若能，请写出变换过程；若不能，请说明理由．。