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函数的单调性与曲线的凹凸性(Word)

1．讨论函数()sin f x x x =-在[0,2]π上的单调性。

【解法一】因为'()1cos 0f x x =-≤由于cos 1x ≤，得[0,2]π上恒成立'()1cos 0f x x =-≥，而等号仅在0x =和2x π=两个孤立点上成立，可知，函数()sin f x x x =-在[0,2]π上单调增加。

【解法二】因为'()1cos 0f x x =-<在(0,2)π上恒成立，可知，函数()sin f x x x =-在(0,2)π上单调增加，亦即在[0,2]π上单调增加。

2．求下列函数的单调区间：⑴3229123y x x x =-+-；【解】函数3229123y x x x =-+-的定义域为(,)-∞+∞，由于2'61812y x x =-+6(2)(1)x x =--，得函数有两个驻点2x =和1x =，无不可导点，作图表分析：1 22 1'x x y y ---+--++−−−−−−−−−→+-+可知，函数3229123y x x x =-+-分别在(,1)-∞和(2,)+∞内单调增加，在(1,2)内单调减少。

【课本答案漏了在(,1)-∞内单调增加】⑵y x =-【解】函数y x =-(,)-∞+∞，由于'1y ==1x =和一个不可导点1x =，作图表分析：0 11' y -++---+−−−−−−−−−→+-+y可知，函数y x =-分别在和(1,)+∞，在(0,1)内单调减少。

【课本答案漏了在(,0)-∞内单调增加】⑶33y x x =-；【解】函数33y x x =-的定义域为(,)-∞+∞，由于2'33y x =-3(1)(1)x x =-+，得函数有两个驻点1x =和1x =-，无不可导点，作图表分析： -1 11 1'x x y y ---++-++−−−−−−−−−→+-+可知，函数33y x x =-分别在(,1)-∞-和(1,)+∞内单调增加，在(1,1)-内单调减少。

2016学年高二人教版数学选修1-1练习：3.3.1函数的单调性与导数 Word版含答案

►基础梳理1．函数的单调性与其导数的正负的关系．在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．根据导数与函数单调性的关系，求函数单调区间的一般程序．(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0；(4)写单调区间．3．利用导数判断函数单调性和确定单调区间的注意事项．(1)必须首先确定函数的定义域，在具体的解决问题过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)了解在某一区间内f′(x)＞0[或f′(x)＜0]是函数f(x)在该区间为增(或减)函数的充分不必要条件；(3)函数的单调区间可以都用开区间表示，如果一个函数具有相同单调性的单调区间有几个，它们不能用并集符号“∪”连接，要用逗号或文字“和”、“及”等隔开；(4)若函数中含有参数，必须根据具体问题，对参数进行分类讨论，然后分别求出单调区间；(5)一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数图象就比较“陡峭”(向上或向下)，反之，函数的图象就“平缓”一些．,►自测自评1．若在区间(a，b)内有f′(x)＞0，且f(a)≥0，则在(a，b)内恒有(A)A．f(x)＞0B．f(x)＜0C．f(x)＝0D．不能确定解析：由f′(x)＞0知，f(x)在(a，b)上单调递增，∴f(x)＞f(a)≥0，即f(x)＞0，故选A.2．函数y＝x3－3x的单调增区间是________________________________________________________________________ ____________．答案：解析：y′＝3x2－3，令y′＞0，即3x2－3＞0，解得x＞1，或x＜－1，∴函数y＝x3－3x的单调增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)，(1，＋∞)3．函数y ＝x ln x 的单调递减区间是________．解析：y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋1，令y ′＜0，∴ln x ＋1＜0，∴0＜x ＜1e，∴函数y ＝x ln x 的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1e .1．f (x )＝5x 2－2x 的单调增区间为(A) A.⎝⎛⎭⎫15，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－∞，15 C.⎝⎛⎭⎫－15，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，－15 2.函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数(B) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B ．(π，2π)C.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π)解析：y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .若y ＝f (x )在某区间内是增函数，只需在此区间内y ′恒大于等于0即可．只有当x ∈(π，2π)时，y ′＞0恒成立，∴只有B 符合题意．3．已知导函数y ＝f ′(x )的图象如下图所示，请根据图象写出原函数y ＝f (x )的递增区间是________．解析：从图象可知f ′(x )＞0的解为－1＜x ＜2或x ＞5，∴f (x )的递增区间为(－1，2)，(5，＋∞)．答案：(－1，2)，(5，＋∞)4.设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．求g (x )的单调区间．解析：由题设知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x ，∴g ′(x )＝x －1x2，令g ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0，1)时，g ′(x )＜0，故(0，1)是g (x )的单调减区间．当x ∈(1，＋∞]时，g ′(x )＞0，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间． 5.若f (x )＝ax 3＋x 在区间[－1，1]上单调递增，求a 的取值范围．分析：利用不等式f ′(x )≥0在[－1，1]上恒成立，确定a 的取值范围．解析：f ′(x )＝3ax 2＋1，∵f (x )在区间[－1，1]上单调递增，∴f ′(x )＝3ax 2＋1≥0在[－1，1]上恒成立．当x ＝0时，显然成立，当x ≠0时，a ≥－13x2，∵13x 2在x ∈[－1，0)∪(0，1]的最大值为－13， ∴a ≥－13.故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－13，＋∞.1．若f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，且x ∈(a ，b )时，f ′(x )＞0，又f (a )＜0，则(D ) A ．f (x )在[a ，b ]上单调递增，且f (b )＞0 B ．f (x )在[a ，b ]上单调递增，且f (b )＜0 C ．f (x )在[a ，b ]上单调递减，且f (b )＜0D ．f (x )在[a ，b ]上单调递增，但f (b )的符号无法判断 2．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数(B ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B ．(π，2π)C.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π)解析：y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .若y ＝f (x )在某区间内是增函数，只需在此区间内y ′恒大于等于0即可，只有当x ∈(π，2π)时，y ′＞0恒成立，∴只有B 符合题意．3．下列函数在区间(－1，1)内不是增函数的是(D )A ．y ＝e x ＋xB ．y ＝sin xC ．y ＝x 3－6x 2＋9x ＋2D ．y ＝x 2＋x ＋1解析：A 中y ＝e x ＋x ，y ′＝e x ＋1＞0在(－1，1)上成立；B 中y ＝sin x ，y ′＝cos x ＞0在(－1，1)上成立；C 中y ＝x 3－6x 2＋9x ＋2，y ′＝3x 2－12x ＋9＝3(x －2)2－3≥0在(－1，1)上成立；D中y ＝x 2＋x ＋1，y ′＝2x ＋1，在⎝⎛⎭⎫－12，1上y ′＞0，在⎝⎛⎭⎫－1，－12上，y ′＜0. 4．如果函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a 为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，且在区间(0，2)内单调递减，则实数a 的值是(C )A ．1B ．2C ．－6D ．－12解析：依题意，x ＝0或x ＝2是方程f ′(x )＝6x 2＋2ax ＝0的两个实数根，解得a ＝－6. 5．如果函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是(A )解析：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，只有答案A 满足．6．已知函数y ＝x 3－ax 在[1，＋∞)内是单调增函数，则实数a 的最大值为(D) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：∵f ′(x )＝3x 2－a 在[1，＋∞)上有3x 2－a ≥0恒成立，∴a ≤(3x 2)min ＝3. 7．下列命题中正确的是________．①若f (x )在(a ，b )内是增函数，则对于任何x ∈(a ，b )，都有f ′(x )＞0； ②若在(a ，b )内f ′(x )存在，则f (x )必为单调函数；③若在(a ，b )内的任意x 都有f ′(x )＞0，则f (x )在(a ，b )内是增函数； ④若x ∈(a ，b )，总有f ′(x )＜0，则在(a ，b )内f (x )＜0.解析：①y ＝x 3在x ∈(－∞，＋∞)为增函数，而y ′＝2x 2≥0，故①错．②错．③正确．④由f ′(x )＜0能判断f (x )为减函数，但不能判定f (x )＜0. 答案：③8．函数f (x )＝lnx－12x 2的单调增区间是________________________________________________________________________．解析：函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x，令f ′(x )＞0，即1－x 2x＞0，解得0＜x ＜1，∴f (x )在(0，1)上为增函数．答案：(0，1)9．函数f (x )＝x ln x (x ＞0)的单调递增区间是__________________．解析：令f ′(x )＝ln x ＋1≥0，得x ≥1e，即函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞ 10．函数f (x )在其定义域(－1，1)上的导数满足f ′(x )＜0，当a ，b ∈(－1，1)，且a ＋b ＝0时，f (a )＋f (b )＝0.则不等式f (1－m )＋f (1－m 2)＞0的解集是________．解析：根据已知，得知f (x )是定义在(－1，1)上的单调递减的奇函数．所以f (1－m )＋f (1－m 2)＞0 ⇔f (1－m )＞－f (1－m 2)＝f (m 2－1)，即⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－m ＜1，－1＜m 2－1＜1，1－m ＜m 2－1，解得1＜m ＜2，即原不等式的解集为(1，2)．答案：(1，2)11．(2013·茂名一模)已知函数g (x )＝13ax 3＋2x 2－2x ，若a ＝1，求g (x )的单调减区间．解析：当a ＝1时，g (x )＝13x 3＋2x 2－2x ，g ′(x )＝x 2＋4x －2.由g ′(x )＜0解得：－2－6＜x ＜－2＋ 6. ∴当a ＝1时，函数g (x )的单调递减区间为(－2－6，－2＋6)． ►体验高考 1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是(D )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增⇔f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k ≥1x ，而0＜1x＜1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞)．2．(2014·湖南卷)若0<x 1<x 2<1，则(C )A ．e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1B ．e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1C ．x 2e x 1＞x 1e x 2D ．x 2e x 2＜x 1e x 1解析：令f (x )＝e xx ，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x （x －1）x 2.当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，即f (x )在(0，1)上单调递减，因为0＜x 1＜x 2＜1，所以f (x 2)＜f (x 1)，即e x 2x 2＜e x 1x 1，所以x 2e x 1＞x 1e x 2. 3．(2013·浙江卷)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是(B )解析：在(－1，0)上，f ′(x )单调递增，所以f (x )图象的切线斜率呈递增趋势；在(0，1)上，f ′(x )单调递减，所以f ′(x )图象的切线斜率呈递减趋势．故选B.4．(2014·全国卷)函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在区间(1，2)是增函数，求a 的取值范围．解析：(1)f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3＝0的判别式Δ＝36(1－a )． ①若a ≥1，则f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0当且仅当a ＝1，x ＝－1，故此时f (x )在R 上是增函数． ②由于a ≠0，故当a ＜1时f ′(x )＝0有两个根：x 1＝－1＋1－a a，x 2＝－1－1－aa，若0＜a ＜1，则当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时f ′(x )＞0，故f (x )在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)上是增函数；当x ∈(x 2，x 1)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(x 2，x 1)上是减函数；(2)当a ＞0，x ＞0时，f ′(x )＞0，所以当a ＞0时，f (x )在区间(1，2)是增函数．若a ＜0时，f (x )在区间(1，2)是增函数当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得－54≤a ＜0综上，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－54，0∪(0，＋∞)． 5．已知a ∈R ，函数f (x )＝4x 3－2ax ＋a .(1)求f (x )的单调区间；(2)证明：当0≤x ≤1时，f (x )＋|2－a |>0. 解析：(1)由题意得f ′(x )＝12x 2－2a ，当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当a >0时，f ′(x )＝12⎝⎛⎭⎫x －a 6⎝⎛⎭⎫x ＋a 6，此时函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－a6， a 6；单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 6，⎝⎛⎭⎫ a 6，＋∞. (2)由于0≤x ≤1，当a ≤2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3－2ax ＋2≥4x 3－4x ＋2. 当a >2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3＋2a (1－x )－2≥4x 3＋4(1－x )－2＝4x 3－4x ＋2. 设g (x )＝2x 3－2x ＋1，0≤x ≤1，则 g ′(x )＝6x 2－2＝6⎝⎛⎭⎫x －33⎝⎛⎭⎫x ＋33. 于是g ′(x )，g (x )随x 的变化情况如下表：所以g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫33＝1－439>0.当0≤x ≤1时， 2x 3－2x ＋1>0. 故f (x )＋|a －2|≥4x 3－4x ＋2>0.。

2024版函数的单调性一等奖

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典型例题解析与思路分享
例题1
判断函数$y = log_{frac{1}{2}}(x^2 - 2x)$ 的单调性。
VS
思路分析
首先观察内层函数$t = x^2 - 2x$，这是一个二次函数，其单调性需要根据定义域来判断。然后观察外层函数$y = log_{frac{1}{2}}t$，这是一个对数函数，其单调性取决于底数的大小。最后根据内外层函数的单调性，结合复合函数的单调性判断原则得出答案。
人口预测模型
在人口学中，可以利用函数的单调性来构建人口预测模型，预测未来人口的数量和变化趋势。
交通流量模型
在交通规划中，可以利用函数的单调性来构建交通流量模型，分析道路拥堵情况和优化交通布局。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
01 02
函数单调性的定义
对于函数y=f(x)，如果在其定义域内的某个区间上，对于任意两个自变量的值x1, x2，当x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2) （或f(x1)≥f(x2)），则称函数y=f(x)在该区间上是单调增（或单调减）函数。
典型例题解析与思路分享
例题2
求函数$y = (x^2 - 2x + 3)$的单调区间。
思路分析
首先观察内层函数$t = x^2 - 2x + 3$，这是一个完全平方的形式，可以化简为$(x-1)^2 + 2$，其单调性显然。然后观察外层函数$y = sqrt{t}$，这是一个幂函数，在定义域内是单调递增的。最后根据内外层函数的单调性，结合复合函数的单调性判断原则得出答案。
判断函数单调性的方法
通过求导判断函数的单调性，若导数大于0，则函数在该区间内单调增；若导数小于0，则函数在该区间内单调减。

完整版)函数的单调性练习题及答案

完整版)函数的单调性练习题及答案1.函数的单调性练题一选择题：1.函数f(x)=x^2+2x-3的递增区间为(D。

[-1,+∞))2.如果函数f(x)=x^2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数，则实数a的取值范围是(A。

[－3，＋∞))3.函数y=1-(1/(x-1))在(-1,+∞)内是单调递增。

4.如果函数f(x)=kx+b在R上单调递减，则(C。

b>0)5.在区间(-∞,0)上为增函数的是(B。

y=x^2)6.函数f(x)=2x-x^2的最大值是(B。

1)7.函数y=x+x^-2的最小值是(A。

0)2.填空题：8.函数f(x)=2x^2-mx+3，在(-∞,1)上是减函数，在[1,+∞)上是增函数，则m=4.9.已知f(x)是定义在(-2,2)上的减函数，并且f(m-1)-f(1-2m)>0，则实数m的取值范围为(-∞,-1/2)U(1/2,+∞)。

3.解答题：10.利用单调函数的定义证明：函数f(x)=x+2/x在区间(0,2)上是减函数。

证明：对于任意的x1,x2∈(0,2)，且x1<x2，有：f(x2)-f(x1)=(x2+2/x2)-(x1+2/x1)x2-x1+2/x2-2/x1x2-x1+2(x1-x2)/(x1x2)x2-x1)(1-2/(x1x2))因为x1,x2∈(0,2)，所以x1x2>0，而1-2/(x1x2)<1，所以f(x2)-f(x1)<0，即f(x)在区间(0,2)上是减函数。

11.已知定义在区间(1,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=f(x/2)-f(x/4)，且当x>1时f(x)<0.1）求f(1)的值；因为f(x)=f(x/2)-f(x/4)，所以f(2)=f(1)-f(1/2)，又因为f(2)=f(1)-f(1/2)=f(1/2)-f(1/4)，所以f(1/2)=f(1)-f(1/4)，继续类似地推导，得到：f(1)=f(1)-f(1/2)+f(1/2)-f(1/4)+f(1/4)-f(1/8)+。

(完整word版)函数单调性典型例题

函数的单一性及典型习题一、函数的单一性1、定义：（1）设函数y f (x) 的定义域为A，区间 M A ，假如取区间 M 中的随意两个值x1, x2 ,当改变量x 2 x1时，都有f ( x 2) f ( x1 ) 0，那么就称函数y f ( x) 在区间M上是增函数，如图（1）当改变量x2x10 时，都有 f ( x2 ) f (x1) 0，那么就称函数y f (x) 在区间M上是减函数，如图（2）注意：函数单一性定义中的x1,x2有三个特点,一是随意性，二是有大小，三是同属于一个单一区间．2、稳固观点：1、定义的另一种表示方法假如关于定义域I内某个区间 D 上的随意两个自变量x1,x2,若f ( x1)f (x2 )0 即x1x2y，则函数 y=f(x)是增函数，若f ( x1 ) f ( x2 )0 即y0 ，则函数y=f(x)为减函数。

x1x2x x 判断题：①已知 f (x)11) f(2) ，因此函数 f ( x) 是增函数．由于 f (x②若函数 f ( x) 知足 f (2) f (3)则函数 f ( x) 在区间2,3 上为增函数．③若函数 f ( x) 在区间 (1,2] 和 (2,3) 上均为增函数，则函数 f ( x) 在区间 (1,3) 上为增函数．④ 因为函数1在区间,0),(0,) 上都是减函数，所以 f ( x)1 f ( x)在x x( ,0)(0, ) 上是减函数.经过判断题，重申几点：①单一性是对定义域内某个区间而言的，走开了定义域和相应区间就谈不上单一性．②关于某个详细函数的单一区间，能够是整个定义域( 如一次函数 ) ，能够是定义域内某个区间 ( 如二次函数 ) ，也能够根本不但一 ( 如常函数 ) ．③单一性是对定义域的某个区间上的整体性质，不可以用特别值说明问题。

④函数在定义域内的两个区间A,B 上都是增（或减）函数，一般不可以以为函数在A B 上是增（或减）函数．熟记以下结论，可快速判断函数的单一性．1．函数 y ＝－ f （ x ）与函数 y ＝ f （ x ）的单一性相反．12．当 f （ x ）恒为正或恒为负时，函数y ＝ f ( x)与 y ＝ f （ x ）的单一性相反．3．在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等3．判断函数单一性的方法（ 1）定义法．（ 2）直接法．运用已知的结论，直接获得函数的单一性，如一次函数，二次函数的单调性均可直接说出．（ 3）图象法．例 1、证明函数 f ( x)1 ）是减函数．在（ 0， + x练习 1：证明函数f ( x) x 在 0,上是增函数．11 x例 2、设函数 f （x ）＝ x2 ＋ lg 1 x ,试判断 f （ x ）的单一性，并给出证明．例 3、求以下函数的增区间与减区间(1)y ＝ |x 2＋ 2x － 3| x 22x (2)y ＝1|1 |x(3)y ＝x 22x 3例 4、函数 f(x) ＝ ax 2－ (3a － 1)x ＋ a 2在 [－ 1，＋∞ ]上是增函数，务实数 a 的取值范围．例 5、已知二次函数 y ＝ f(x)(x ∈ R)的图像是一条张口向下且对称轴为 x ＝ 3 的抛物线，试比较大小：(1)f(6) 与 f(4)(2)f(2) 与 f( 15)例 6、函数 f (x) ＝ | x | 和 g (x) ＝x (2 － x )的递加区间挨次是( )A. (, 0], ( , 1] B. ( , 0], [1, ) C. [0, ), ( , 1] D. [0, ), [1, )例 7、已知 a 、b 是常数且 a ≠ 0, f (x)ax 2 bx , 且 f ( 2) 0 , 并使方程 f ( x)x 有等根 .(1) 求 f (x ) 的分析式 ; (2) 能否存在实数 m 、 n (m n) , 使 f (x ) 的定义域和值域分别为[ m, n] 和 [ 2m, 2n] ?同步训练：一、选择题1．以下函数中，在区间（0，1）上为增函数的是2A ． y ＝ |x 2－ 1|B ． y ＝ xC ． y ＝ 2x 2－ x ＋ 1D ． y ＝ |x|＋ 12．假如奇函数 f （ x ）在区间［ 3， 7］上是增函数且最小值为5，那么 f （ x ）在区间［－ 7，－ 3］上是A. 增函数且最小值为－ 5 B ．增函数且最大值为－ 5 C ．减函数且最小值为－ 5D ．减函数且最大值为－53．若函数分析式为 y ＝ f （x ），则以下判断正确的选项是A 、若 f （ x ）在（－∞ ,0）和（ 0，＋∞）上均是增函数，则 f （ x ）在（－∞ ,0）∪（ 0,＋∞）上也是增函数B 、若 f （ x ）在（－∞ ,0）和（ 0，＋∞）上均是减函数，则f （ x ）在（－∞， 0）∪（ 0，＋∞）上也是减函数C 、若 f （x ）是偶函数，且在（ 0，＋∞）上是增函数，则 f （ x ）在（－∞， 0）上也是增函数D 、若 f （ x ）是奇函数，且在（ 0，＋∞）上是增函数，则 f （x ）在（－∞ ,0）上是增函数二、填空题4．已知函数 y ＝－ x 2＋ 2x ＋ 1 在区间［－ 3，a ］上是增函数，则 a 的取值范围是 ______________ 5．设函数 y ＝ f （ x ）是定义在（－ 1，1）上的增函数，则函数 y ＝ f （ x 2－ 1）的单一递减区间是______________b6．若函数 y ＝ ax,y ＝－ x 在（ 0，＋∞）上都是减函数，则函数（填单一性）．三、解答题已知函数 f （ x ）的定义域为 R ，且知足 f （－ x ）＝c（ c 为常数）在［ a,b ］（a ＜ b ＝上是单一递减函数，判断并证明性．f( x)＞ 0，又 g （ x ）＝ f （ x ）＋g （ x ）在［－ b,－ a ］上的增减课后稳固：1、利用函数单一性定义证明函数f(x) ＝－ x 3＋ 1 在 (－∞，＋∞ )上是减函数．2、.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数，对 m 、 n R 恒有f (mn)f ( m) f (n) ，且当 x0 时，0 f ( x) 1。

(完整word版)导数单调性分类讨论

类型二：导数单调性专题类型１。

导数不含参。

类型２.导数含参。

类型３：要求二次导求单调性一般步骤：(1) 第一步：写出定义域，一般有()0ln >⇒x x(2) 第二步:求导，(注意有常数的求导）若有分母则通分。

一般分母都比0大，故去死若无分母，因式分解（提公因式,十字相乘法）或求根(观察分子）判断导函数是否含参，再进行讨论（按恒成立与两个由为分界）(3) 第三步由()()⎩⎨⎧≤≥解出是减区间解出是增区间00x f x f(4) 下结论类型一：导函数不含参：()()()⎪⎩⎪⎨⎧-+=--++=++=21223,22,,x x e m e x f x x c bx ax x f x b kx x f 如指数型如：二次型如：一次型对于这类型的题，直接由导函数大于0，小于0即可（除非恒成立）例题１求函数()()x e x x f 3-=的单调递增区间解：()()()23'-=-+=x e e x e x f x x x 由()()202'>⇒>-=x x e x f x 所以函数在区间()+∞,2单调递增由()()202'<⇒<-=x x e x f x所以函数在区间()2,∞-单调递减例题２：求函数()()2211x e x x f x --=的单调区间解：()()()()x e e x e x xe e x f x x x x x +-=-+-=-+-=11111'由()()()01011'>-<⇒>+-=x x x e x f x 或所以函数在区间(][)∞+-∞-，和01,单调递增由()()()01011'<<-⇒<+-=x x e x f x 所以函数在区间()0,1-单调递减例题３：求函数()xxx f ln =的单调区间例题４：已知函数()()()R k kx e x x f x ∈--=21 （1)若1=k 时，求函数()x f 的单调区间例题５．（2010·新课标全国文，21）设函数f (x ）＝x （e x －1)－ax 2.(1）若a ＝错误!，求f (x )的单调区间；例题６:已知函数()()112++-=x e ax x f x (1）若0=a ，求函数()x f 的单调区间7。

数学必修4：第12课时正弦函数、余弦函数的性质(2)——单调性、最值 Word版含解析

第12课时正弦函数、余弦函数的性质(2)——单调性、最值课时目标1.理解正、余弦函数单调性的意义，会求其单调区间． 2．会求正、余弦函数的最大(小)值．识记强化1．y ＝sin x 单调递增区间⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k πk ∈Z ，单调递减区间⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k πk ∈Z .x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，y ＝sin x 取得最大值1，x ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，y ＝sin x 取得最小值－1.2．y ＝cos x 单调递增区间[－π＋2k π，2k π]k ∈Z ，单调递减区间[2k π，2k π＋π]k ∈Z .x ＝2k π，k ∈Z ，y ＝cos x 取最大值1，x ＝2k π＋π，k ∈Z ，y ＝cos x 取最小值－1.课时作业一、选择题1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π＋5π12(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋2π3(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ) 答案：C解析：∵2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z .∴k π＋π6≤x ≤k π＋23π，k ∈Z.2．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1取得最大值时，x 的值应为( ) A ．2k π－π3，k ∈Z B ．k π－π6，k ∈ZC ．k π－π3，k ∈ZD ．k π＋π6，k ∈Z答案：B解析：依题意，当cos(2x ＋π3)＝1时，y 有最大值，此时2x ＋π3＝2k π，k ∈Z ，变形为x＝k π－π6，k ∈Z .3．已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数答案：D解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x ，所以f (x )是偶函数，故D 错． 4．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是( ) A.⎝⎛⎦⎤－32，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.⎣⎡⎦⎤32，1 D.⎣⎡⎦⎤12，1 答案：B解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 故y max ＝cos π6＝32，y min ＝cos 2π3＝－12.所以，所求值域为⎣⎡⎦⎤－12，32.5．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C.⎝⎛⎭⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 答案：C解析：画出y ＝|sin x |的图象，如图．由图象可知，函数y ＝|sin x |的一个递增区间是⎝⎛⎭⎫π，3π2. 6．下列关系式中正确的是( )A ．sin11°<cos10°<sin168°B ．sin168°<sin11°<cos10°C ．sin11°<sin168°<cos10°D ．sin168°<cos10°<sin11° 答案：C解析：∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°，由函数y ＝sin x 的单调性，得sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.二、填空题7．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间为________．答案：⎣⎡⎦⎤π2，π解析：因为sin(x ＋π)＝－sin x ，所以要求y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间，即求y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递减区间，易知为⎣⎡⎦⎤π2，π. 8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．答案：π6解析：令2×43π＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π－136π，k ∈Z ，当k ＝2时，|φ|min ＝π6.9．函数y ＝2＋cos x2－cos x的最大值为________．答案：3解析：由y ＝2＋cos x 2－cos x ，得y (2－cos x )＝2＋cos x ，即cos x ＝2y －2y ＋1(y ≠－1)，因为－1≤cos x ≤1，所以－1≤2y －2y ＋1≤1，解得13≤y ≤3，所以函数y ＝2＋cos x 2－cos x的最大值为3.三、解答题10．求下列函数的单调递增区间．(1)y ＝1－sin x2；(2)y ＝log 12(cos2x )．解：(1)由题意可知函数y ＝sin x2的单调递减区间即为原函数的单调递增区间，由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π(k ∈Z )，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π(k ∈Z )．∴函数y ＝1－sin x2的单调递增区间为[4k π＋π，4k π＋3π](k ∈Z )．(2)由题意，得cos2x ＞0，∴2k π－π2＜2x ＜2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z .∵函数y ＝log 12x 在定义域内单调递减，∴函数y ＝cos2x (x ∈(k π－π4，k π＋π4)，k ∈Z )的单调递减区间即为原函数的单调递增区间，∴x 只需满足2k π＜2x ＜2k π＋π2，k ∈Z .∴k π＜x ＜k π＋π4，k ∈Z .∴函数y ＝log 12(cos2x )的单调递增区间为(k π，k π＋π4)，k ∈Z .11．设a ＞0,0≤x <2π，若函数y ＝cos 2x －a sin x ＋b 的最大值为0，最小值为－4，试求a 与b 的值，并求该函数取得最大值和最小值时x 的值．解：y ＝cos 2x －a sin x ＋b ＝－(sin x ＋a 2)2＋a 24＋b ＋1，由－1≤sin x ≤1，a ＞0，知①若0＜a2≤1，即0＜a ≤2，当sin x ＝－a 2时，y max ＝a 24＋b ＋1＝0，当sin x ＝1时，y min ＝－(1＋a 2)2＋a 24＋b ＋1＝－4，解得a ＝2，b ＝－2.②若a2＞1，即a ＞2，当sin x ＝－1时，y max ＝－(－1＋a 2)2＋a24＋b ＋1＝0，当sin x ＝1时，y min ＝－(1＋a 2)2＋a24＋b ＋1＝－4，解得a ＝2，b ＝－2不合题意，舍去．综上，a ＝2，b ＝－2，当x ＝3π2时，y max ＝0；当x ＝π2时，y min ＝－4.能力提升12．定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .例如：1] .答案：⎣⎡⎦⎤－1，22 解析：在同一直角坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，结合a *b 的新定义可知．f (x )的最小值为－1，最大值为22，故其值域为⎣⎡⎦⎤－1，22.13．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围．解：由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2(k ∈Z )得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )．据题意，⎣⎡⎦⎤－π3，π4⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )．从而有⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3π2ω≥π4ω>0，解得0<ω≤32.故ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，32. 倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。

2019-2020学年高中数学(苏教版选修2-2)教师用书：第1章 1.3.1 单调性 Word版含答案

1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1单调性1．利用导数研究函数的单调性．(重点)2．含有字母参数的函数单调性的讨论，单调区间的求解．(难点)3．由单调性求参数的取值范围．(易错点)[基础·初探]教材整理函数的单调性与其导数的关系阅读教材P28“例1”以上部分，完成下列问题．1．函数的单调性与其导数的关系(1)一般地，在某区间上函数y＝f(x)的单调性与导数有如下关系：(2)2．导数与函数图象间的关系(1)导函数图象在x轴上方的区间为原函数的单调增区间，导函数图象在x轴下方的区间为原函数的单调减区间．(2)一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就“平缓”一些．1．判断正误：(1)若函数f(x)在(a，b)上是增函数，则对任意x∈(a，b)，都有f′(x)>0.( )(2)函数f(x)＝1x在其定义域上是单调减函数．( )(3)函数f(x)＝x3－2x在(1，＋∞)上单调递增．( )(4)若存在x∈(a，b)有f′(x)＝0成立，则函数f(x)为常数函数．( )【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×2．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是________．【解析】f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝(x－2)e x，令f′(x)>0，解得x>2.【答案】(2，＋∞)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问2：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问3：_______________________________________________解惑：_______________________________________________[小组合作型](1)0)内是减函数．(2)判断函数f(x)＝ln xx在区间(0,2)上的单调性．【精彩点拨】求出导数f′(x)，然后判断导数的符号即可．【自主解答】(1)证明：由于f(x)＝e x－x－1，所以f′(x)＝e x－1，当x∈(0，＋∞)时，e x>1，即f′(x)＝e x－1>0.故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数，当x∈(－∞，0)时，e x<1，即f′(x)＝e x－1<0. 故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数．(2)由于f(x)＝ln x x，所以f′(x)＝1x·x－ln xx2＝1－ln xx2.由于0<x<2，所以ln x<ln 2<1，x2>0.故f′(x)＝1－ln xx2>0.∴函数f(x)在区间(0,2)上是单调递增函数．1．利用导数证明函数f(x)在给定区间上的单调性，实质上就是证明f′(x)>0(或f′(x)<0)在给定区间上恒成立．2．利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：(1)求f′(x)；(2)确定f′(x)在( a，b)内的符号；(3)得出结论．[再练一题]1．证明：函数y＝ln x＋x在其定义域内为增函数．【证明】显然函数的定义域为{x|x>0}，又f′(x)＝(ln x＋x)′＝1x＋1，当x>0时，f′(x)>1>0，故y＝ln x＋x在其定义域内为增函数．(1)f(x)＝x2－ln x；(2)f(x)＝exx－2；(3)f (x )＝－x 3＋3x 2.【精彩点拨】首先确定函数的定义域，再求导数，进而解不等式得单调区间．【自主解答】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2x －1x＝错误!.因为x >0，所以2x ＋1>0，由f ′(x )>0，解得x >22，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，＋∞；由f ′(x )<0，解得x <22，又x ∈(0，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22. (2)函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝错误!＝错误!.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x >0，(x －2)2>0.由f ′(x )>0，解得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )<0，解得x <3，又x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．(3)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)．当0<x <2时，f ′(x )>0，所以函数f (x )的单调递增区间为(0,2)；当x <0或x >2时，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．利用导数求函数单调区间的步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)由f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，解出相应的x 的范围；当f ′(x )>0时，f (x )在相应的区间上是增函数；当f ′(x )<0时，f (x )在相应区间上是减函数．(4)结合定义域写出单调区间．[再练一题]2．若函数f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则函数f (x )的单调递增区间为________.【导学号：01580011】【解析】由已知f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x2－2x －4x，由f ′(x )>0得x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2，又x >0，所以函数f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)．【答案】 (2，＋∞)[探究共研型]探究【提示】由已知得f ′(x )＝3x 2－a ，因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立，因为3x 2≥0，所以只需a ≤0. 又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0， f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0.探究2 若函数f (x )＝x ＋ax ＋ln x (a ∈R )在(1，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围．【提示】函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax2＋1x ＝x2＋x －ax由题意知，f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，即x 2＋x －a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x 2＋x －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋122－14－a ，则g (x )＞2－a ，从而2－a ≥0，∴a ≤2. 当a ＝2时，f ′(x )＞0在(1，＋∞)上恒成立，因此实数a 的取值范围是(－∞，2]．已知关于x 的函数y ＝x 3－ax ＋b .(1)若函数y 在(1，＋∞)内是增函数，求a 的取值范围； (2)若函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a 的值．【精彩点拨】 (1)函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则必有y ′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a 的取值范围．(2)函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a 的值．【自主解答】 y ′＝3x 2－a .(1)若函数y ＝x 3－ax ＋b 在(1，＋∞)内是增函数．则y ′＝3x 2－a ≥0在x ∈(1，＋∞)时恒成立，即a ≤3x 2在x ∈(1，＋∞)时恒成立，则a ≤(3x 2)最小值．因为x >1，所以3x 2>3.所以a ≤3，即a 的取值范围是(－∞，3]． (2)令y ′>0，得x 2>a3.若a ≤0，则x 2>a3恒成立，即y ′>0恒成立，此时，函数y ＝x 3－ax ＋b 在R 上是增函数，与题意不符．若a >0，令y ′>0，得x >a 3或x <－a 3.因为(1，＋∞)是函数的一个单调递增区间，所以a3＝1，即a ＝3.1．解答本题注意：可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增(或单调递减)的充要条件是f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)在(a ，b )上恒成立，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于0.2．已知f (x )在区间(a ，b )上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f (x )在(a ，b )上单调递增(减)的问题，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f (x )在(a ，b )上单调递增(减)的问题，则f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．[再练一题]3．将上例(1)改为“若函数y在(1，＋∞)上不单调”，则a的取值范围又如何？【解】y′＝3x2－a，当a<0时，y′＝3x2－a>0，函数在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意．当a>0时，函数y在(1，＋∞)上不单调，即y′＝3x2－a＝0在区间(1，＋∞)上有根．由3x2－a＝0可得x＝a3或x＝－a3(舍去)．依题意，有a3>1，∴a>3，所以a的取值范围是(3，＋∞)．[构建·体系]1．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图1-3-1所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )图1-3-1【解析】当x＜0时，f(x)为增函数，f′(x)＞0，排除①，③；当x＞0时，f(x)先增后减再增，对应f ′(x )先正后负再正．故选④.【答案】 ④2．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的有________(填序号)． ①y ＝2－3x 2；②y ＝ln x ；③y ＝1x －2；④y ＝sin x .【解析】显然，函数y ＝2－3x 2在区间(－1,1)上是不单调的；函数y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，不满足题目要求；对于函数y ＝1x －2，其导数y ′＝错误!<0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y ＝错误!在区间(－1，1)上是减函数；函数y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2上是增函数，所以函数y ＝sin x 在区间(－1,1)上也是增函数．【答案】 ③3．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是________．【解析】 f ′(x )＝6x 2－18x ＋12，令f ′(x )＜0，即6x 2－18x ＋12＜0，解得1＜x ＜2. 【答案】 (1,2)4．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________．【解析】 f ′(x )＝错误!，由题意得f ′(x )≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等式得a ≤12，但当a ＝12时，f ′(x )＝0恒成立，不合题意，应舍去，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，12.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，125．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围．【解】 h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x2－2x恒成立，所以a ≥G (x )最大值，而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －12－1.因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14，1，所以G (x )最大值＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716. 当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x2－32x16x＝错误!.因为x ∈[1,4]，所以h ′(x )＝错误!≤0，即h (x )在[1,4]上为减函数．故实数a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－716，＋∞.我还有这些不足：(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________我的课下提升方案：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________。

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函数的单调性及典型习题
一、函数的单调性
1、定义：
（1）设函数y f (x) 的定义域为A，区间 M A ，如果取区间 M 中的任意两个值x1, x2 ,当改变量x 2 x1
时，都有f ( x 2) f ( x1 ) 0，那么就称函数y f ( x) 在区间M上是增函数，如图（1）当改变量x2x10 时，都有 f ( x2 ) f (x1) 0，那么就称函数y f (x) 在区间M上是减函数，如图（2）
注意：函数单调性定义中的x1,x2有三个特征,一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间．2、巩固概念：
1、定义的另一种表示方法
如果对于定义域I内某个区间 D 上的任意两个自变量x1,x2,若f ( x
1
)
f (x2 )0 即
x1x2
y
，则函数 y=f(x)是增函数，若f ( x1 ) f ( x2 )
0 即y0 ，则函数y=f(x)为减函数。

x1x2
x x 判断题：
①已知 f (x)1
1) f(2) ，所以函数 f ( x) 是增函数．
因为 f (
x
②若函数 f ( x) 满足 f (2) f (3)则函数 f ( x) 在区间2,3 上为增函数．
③若函数 f ( x) 在区间 (1,2] 和 (2,3) 上均为增函数，则函数 f ( x) 在区间 (1,3) 上为增函数．
④ 因为函数
1
在区间,0),(0,) 上都是减函数，所以 f ( x)
1 f ( x)在
x x
( ,0)(0, ) 上是减函数.
通过判断题，强调几点：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域
( 如一次函数 ) ，可以是定义域内某个
区间 ( 如二次函数 ) ，也可以根本不单调 ( 如常函数 ) ．
③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。

④函数在定义域内的两个区间A,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在
A B 上
是增（或减）函数．
熟记以下结论，可迅速判断函数的单调性．
1．函数 y ＝－ f （ x ）与函数 y ＝ f （ x ）的单调性相反．
1
2．当 f （ x ）恒为正或恒为负时，函数
y ＝ f ( x)
与 y ＝ f （ x ）的单调性相反．
3．在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等
3．判断函数单调性的方法
（ 1）定义法．
（ 2）直接法．运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数，二次函数的单
调性均可直接说出．
（ 3）图象法．
例 1、证明函数 f ( x)
1 ）是减函数．
在（ 0， + x
练习 1：证明函数
f ( x) x 在 0,
上是增函数．
1
1 x
例 2、设函数 f （x ）＝ x
2 ＋ lg 1 x ,试判断 f （ x ）的单调性，并给出证明．
例 3、求下列函数的增区间与减区间
(1)y ＝ |x 2
＋ 2x － 3| x 2
2x (2)y ＝
1|
1 |x
(3)y ＝
x 2
2x 3
例 4、函数 f(x) ＝ ax 2－ (3a － 1)x ＋ a 2
在 [－ 1，＋∞ ]上是增函数，求实数 a 的取值范围．
例 5、已知二次函数 y ＝ f(x)(x ∈ R)的图像是一条开口向下且对称轴为 x ＝ 3 的抛物线，试比
较大小：
(1)f(6) 与 f(4)
(2)f(2) 与 f( 15)
例 6、函数 f (x) ＝ | x | 和 g (x) ＝x (2 － x )的递增区间依次是
( )
A. (
, 0], ( , 1] B. ( , 0], [1, ) C. [0, ), ( , 1] D. [0, ), [1, )
例 7、已知 a 、b 是常数且 a ≠ 0, f (x)
ax 2 bx , 且 f ( 2) 0 , 并使方程 f ( x)
x 有等根 .
(1) 求 f (x ) 的解析式 ;
(2) 是否存在实数 m 、 n (m n) , 使 f (x ) 的定义域和值域分别为
[ m, n] 和 [ 2m, 2n] ?
同步训练：
一、选择题
1．下列函数中，在区间（
0，1）上为增函数的是
2
A ． y ＝ |x 2－ 1|
B ． y ＝ x
C ． y ＝ 2x 2－ x ＋ 1
D ． y ＝ |x|＋ 1
2．如果奇函数 f （ x ）在区间［ 3， 7］上是增函数且最小值为
5，那么 f （ x ）在区间
［－ 7，－ 3］上是
A. 增函数且最小值为－ 5 B ．增函数且最大值为－ 5 C ．减函数且最小值为－ 5
D ．减函数且最大值为－
5
3．若函数解析式为 y ＝ f （x ），则下列判断正确的是
A 、若 f （ x ）在（－∞ ,0）和（ 0，＋∞）上均是增函数，则 f （ x ）在（－∞ ,0）∪（ 0,＋∞）
上也是增函数
B 、若 f （ x ）在（－∞ ,0）和（ 0，＋∞）上均是减函数，则
f （ x ）在（－∞， 0）∪（ 0，＋
∞）上也是减函数
C 、若 f （x ）是偶函数，且在（ 0，＋∞）上是增函数，则 f （ x ）在（－∞， 0）上也是增函
数
D 、若 f （ x ）是奇函数，且在（ 0，＋∞）上是增函数，则 f （x ）在（－∞ ,0）上是增函数二、填空题
4．已知函数 y ＝－ x 2＋ 2x ＋ 1 在区间［－ 3，a ］上是增函数，则 a 的取值范围是 ______________ 5．设函数 y ＝ f （ x ）是定义在（－ 1，1）上的增函数，则函数 y ＝ f （ x 2－ 1）的单调递减区间是
______________
b
6．若函数 y ＝ ax,y ＝－ x 在（ 0，＋∞）上都是减函数，则函
数（填单调性）．
三、解答题已知函数 f （ x ）的定义域为 R ，且满足 f （－ x ）＝c
（ c 为常数）在［ a,b ］（a ＜ b ＝上是单调递减函数，判断并证明性．
f
( x)
＞ 0，又 g （ x ）＝ f （ x ）＋
g （ x ）在［－ b,－ a ］上的增减
课后巩固：
1、利用函数单调性定义证明函数
f(x) ＝－ x 3
＋ 1 在 (－∞，＋∞ )上是减函数．
2、.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数，对 m 、 n R 恒有
f (m
n)
f ( m) f (n) ，且当 x
0 时，
0 f ( x) 1。

（1）求证： f (0) 1；
（ 2）证明： x R 时恒有 f ( x) 0 ；
（3）求证： f (x) 在 R 上是减函数；（ 4）若 f ( x) f (2
x) 1 ，求 x 的范围。

y ＝ ax 2＋ bx 在（ 0,＋∞）上是 ________
1。