必修一函数的单调性经典易错习题
北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《函数的单调性和最值》典型例题剖析
《函数的单调性和最值》典型例题剖析题型1 求函数的单调区间 例1、（1）求函数1()1f x x =+的减区间； （2）作出函数()|3|f x x =-. 解析 （1）求函数解析式确定的单调区间应本着定义域优先的原则.（2）求函数单调区间时，对于函数解析式中含有绝对值号的一般转化成分段函数的形式后再求解.答案（1）函数1()1f x x =+的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃-+∞，任取12,(,1)x x ∈-∞-，且12x x <，则f ()()()()211212121101111x x f x f x x x x x --=-=>++++，所以()()12f x f x >，所以(,1)-∞-为1()1f x x =+的减区间.同理可得(1,)-+∞也为1()1f x x =+的减区间. （2）原函数可化为2,3,()6,33,2,3,x x f x x x x --⎧⎪=-<<⎨⎪⎩其图象如图所示.由图象知，函数()f x 的增区间为[3,)+∞，减区间为(,3]-∞-.规律总结 利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间.注意：当单调性相同的区间多于一个时，用“和”或“，”连接，不能用“⋃”连接.变式训练1 已知2()12f x x x =--，求()f x 的单调区间.答案 22149()1224f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭.如图，作出函数()f x 的简图，观察其图象可知，函数()f x 的单调递增区间为13,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和[4,)+∞，单调递减区间为(,3]-∞-和1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.易错提示 上题中单调区间的表示容易错写成：函数()f x 的单调递增区间为13,[4,)2⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为1(,3],42⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦，这里区间之间不能用“⋃”相连.题型2 已知函数的单调性求参数的取值范围例2、已知函数2()2(1)2f x x a x =--+在(,4]-∞上是减函数，求实数a 的取值范围.解析 思路一：根据二次函数图象的开口方向和对称轴与区间的关系构造关于a 的不等式求解.思路二：利用单调性的定义进行求解.答案 方法一：2()2(1)2f x x a x =--+22[(1)]2(1)x a a =--+--，()f x ∴的减区间是(,1]a -∞-.又()f x 在(,4]-∞上是减函数，14a ∴-，即3a -.∴实数a 的取值范围是(,3]-∞-.方法二：设124x x <，则()()12f x f x -2211222(1)22(1)2x a x x a x ⎡⎤⎡⎤=--+---+⎣⎦⎣⎦()[]12122(1)0x x x x a =-+-->恒成立.120x x -<， 122(1)0x x a ∴+--<，即122(1)x x a +<-恒成立.()12max 2(1)x x a ∴+<-.124,4x x <，128x x ∴+<.2(1)8a ∴-.3a ∴-.∴实数a 的取值范围是(,3]-∞-.规律总结 （1）函数单调性的定义具有“双向性”：利用函数单调性的定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性，可以确定函数中参数的取值范围.（2）若一个函数在区间[,]a b 上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.变式训练2 已知函数2()23f x x ax =--在区间[1,2]上单调，求实数a 的取值范围.答案 函数2()23f x x ax =--的图象开口向上，对称轴为直线x a =，画出草图如图所示.由图象可知函数在(,]a -∞和[,)a +∞上分别单调，因此要使函数()f x 在区间[1,2]上单调，只需1a 或2a （其中当1a 时，函数()f x 在区间[1,2]上单调递增；当2a 时，函数()f x 在区间[1,2]上单调递减），从而(,1][2,)a ∈-∞⋃+∞.易错提示 本题容易漏掉一种情况，即只考虑在区间[1,2]上单调递增，或只考虑在区间[1,2]上单调递减，在区间[1,2]上单调，包含两种情况，既包括单调递增，也包括单调递减.题型3 利用单调性求函数的最值例3、（1）求函数2()2f x x x =-+在区间[0,)+∞上的最大值； （2）求函数2()1f x x =--在区间[2,6]上的最大值和最小值. 解析 （1）画出函数图象，确定函数对称轴与定义域的关系，得出函数的单调性，然后根据单调性求函数的最值.（2）先利用单调性的定义证明函数在区间[2,6]上的单调性，然后根据单调性求函数的最值.答案 （1）画出函数2()2f x x x =-+的图象（如图），由图象可知()f x 在[0,1]上是增函数，在[1,)+∞上是减函数，所以()f x 在[0,)+∞上的最大值是(1)1f =.（2）任取12,[2,6]x x ∈，且12x x <，则()()21f x f x -212211x x =-----()()()2121211x x x x -=++.因为1226x x ，所以()()21210,110x x x x ->++>， 于是()()()21212011x x x x ->++，即()()12f x f x <，所以函数2()1f x x =--在区间[2,6]上是增函数， 所以函数2()1f x x =--在区间[2,6]的左，右端点处分别取得最小值、最大值，即最大值为22(6)617f ==---， 最小值为22(2)213f ==---. 方法归纳 利用单调性求最大值、最小值需注意的几点： （1）写出最值时要写最高（低）点的纵坐标，而不是横坐标. （2）求最值要考虑函数的定义域.（3）求最值，尤其是闭区间上的最值，要判断单调性而不能直接将两端点值代入.变式训练3 已知函数3()21f x x =-，求函数()f x 在区间[1,5]上的最值. 答案 先证明函数3()21f x x =-的单调性，设12,x x 是区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的任意两个实数，且2112x x >>，则()()()()()2112121263321212121x x f x f x x x x x --=-=----. 由于2112x x >>，所以210x x ->，且()(122121)0x x -->，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数3()21f x x =-在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数，所以函数()f x 在区间[1,5]上是减函数，因此，函数3()21f x x =-在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为(1)3f =，最小值为1(5)3f =.易错提示 求闭区间上的最值，容易直接代入端点值求函数的最值，这样是错误的，必须先判断单调性，再求最值.规律方法总结1.准确理解函数的单调性.（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，是函数的一个“局部”性质，函数在单独的一点处没有单调性.（2）定义中的1x 和2x 有如下三个特征：①任意性：即“任意取1x 和2x ”中“任意”二字不能去掉，不能以特殊值代换.②12,x x 属于同一个单调区间. ③有大小之分，一般令12x x <.（3）函数单调性给出了自变量与函数值之间的互化关系：比如()f x 在区间I 上是减函数，若12,x x I ∈，则()()1212f x f x x x >⇔<.2.函数的最值与值域、单调性之间的联系.（1）对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数1 yx =.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素.（2）若函数()f x在闭区间[,]a b上单调，则()f x的最值必在区间端点处取得，即最大值是()f a或()f b，最小值是()f b或()f a.核心素养园地例、函数的单调性是函数的重要性质之一，利用单调性不仅能够解决具体函数的有关问题，还能够解决抽象函数的一些相关问题.已知函数()f x是定义在(0,)+∞上的增函数，对于任意的0,0x y>>，都有()()f xy f x=，且满足(2)1f=.（1）求(1),(4)f f的值；（2）求满足(2)(3)2f f x+-的x的取值范围.解析（1）抽象函数的求值问题一般利用赋值法求解.赋值时要目标明确，要结合已给出的函数值和要求的函数值进行恰当的赋值.（2）解抽象不等式，要充分利用条件和函数的单调性把“f”符号脱掉，转化为一般的不等式求解.答案（1）令1x y==，得(1)(1)(1)f f f=+，所以(1)0f=.令2x y==，得(4)(2)(2)112f f f=+=+=，所以(4)2f=.（2）由(2)1f=及()()()f xy f x f y=+可得211(2)(2)(4)f f f=+=+=.因为(2)(3)2f f x+-.所以(2(3))(4)f x f-.又函数()f x是定义在(0,)+∞上的增函数，所以2(3)0,2(3)4,xx->⎧⎨-⎩解得35x<.讲评本题是抽象函数不等式问题，考查学生应用所学知识把抽象问题转化为具体问題解决的能力.由于没有给出函数解析式，必须结合题目给出的条件，把f f x+-转化成两个函数值的大小，然后利用函数的单调性转化成具体(2)(3)2的不等式求解，转化过程中一定要注意函数的定义域.如果能利用赋值正确求出第（1）题，那么可以认为达到数学运算核心素养水平一的要求；如果能进行正确转化，求出第（2）题中x的取值范围，那么可以认为达到逻辑推理、数学运算核心素养水平二的要求.。
高一函数单调性奇偶性经典练习题
函数单调性奇偶性经典练习一、单调性题型高考中函数单调性在高中函数知识模块里面主要作为工具或条件使用，也有很多题会以判断单调性单独出题或有的题会要求先判断函数单调性才能进行下一步骤解答，另有部分以函数单调性质的运用为主. （一）函数单调性的判断 函数单调性判断常用方法：121212121212()()0()()()()0()()()()()()()()()()()()f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x g x f x f x g x f x g x g x g x f x ->>⇒⎧<⎨-<<⇒⎩+⇒⎧-⎧⎪⇒-⇒⎨⎨-⎩⎪-⇒⎩即单调增函数定义法（重点）：在其定义域内有任意，且即单调增函数复合函数快速判断：“同增异减”增为减函数基本初等函数加减（设为增函数，为减函数）：增为增函数减互为反.⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩函数的两个函数具有相同的单调性例1 证明函数23()4x f x x +=-在区间(4)+∞，上为减函数（定义法）解析：用定义法证明函数的单调性，按步骤“一假设、二作差、三判断（与零比较）”进行.解：设12(4)x x ∈+∞，，且12x x <，1221121212232311()()()44(4)(4)x x x x f x f x x x x x ++--=-=---- 214x x >>Q 210x x ∴->，1(4)0x ->，2(4)0x -> 12()()f x f x ∴> 故函数()f x 在区间(4)+∞，上为减函数. 练习1 证明函数21()3x f x x -=+在区间(3)-+∞，上为减函数（定义法）练习2证明函数2()f x x =2()3-∞，上为增函数（定义法、快速判断法）练习3 求函数3()2x f x x -=+定义域，并求函数的单调增区间(定义法)练习4求函数()f x x =定义域，并求函数的单调减区间（定义法）（复合函数，基本初等函数相加减问题，反函数问题在本章结束时再练习） （二） 函数单调性的应用⎧⎪⎨⎪⎩单独考查单调性：结合单调函数变量与其对应函数值的关系求参数定义域与单调性结合：结合定义域与变量函数值关系求参数值域与单调性结合：利用函数单调性求值域 例1 若函数()f x 是定义在R 上的增函数，且2(2)(3)f x x f a +>+恒成立，数a 的围。
高一 函数的单调性及其最值知识点+例题+练习 含答案
1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得条件对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0) 结论f(x0)为最大值f(x0)为最小值判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个值x1，x2”改为“存在两个值x1，x 2”．( × )(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D 且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在D 上是增函数．( √ )(3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( × ) (4)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(5)所有的单调函数都有最值．( × )(6)对于函数y ＝f (x )，若f (1)<f (3)，则f (x )为增函数．( × )1．下列函数中，①y ＝1x －x ；②y ＝x 2－x ；③y ＝ln x －x ；④y ＝e x －x ，在区间(0，＋∞)内单调递减的是__________． 答案 ①解析 对于①，y 1＝1x 在(0，＋∞)内是减函数，y 2＝x 在(0，＋∞)内是增函数，则y ＝1x －x 在(0，＋∞)内是减函数；②，③，④函数在(0，＋∞)上均不单调．2．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________． 答案 －6解析 由图象易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[－a 2，＋∞)，令－a2＝3，∴a ＝－6.3．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，则g (a )＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2≤a <1，－1，a ≥1解析 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1.当－2≤a <1时，函数在[－2，a ]上单调递减， 则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增， 则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2≤a <1，－1，a ≥1.4．(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________． 答案 2 25解析 可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.5．(教材改编)已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________________________________________________________________． 答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)解析 函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．题型一 确定函数的单调性(区间)命题点1 给出具体解析式的函数的单调性例1 (1)下列函数中，①y ＝ln(x ＋2)；②y ＝－x ＋1；③y ＝(12)x ；④y ＝x ＋1x ，在区间(0，＋∞)上为增函数的是________．(2)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是____________．(3)函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为_________________________． 答案 (1)① (2)(－∞，－2) (3)(－∞，－1]，[0,1] 解析 (1)y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)， ∴在区间(0，＋∞)上为增函数．(2)因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．(3)由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数. 命题点2 解析式含参函数的单调性例2 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解 设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增．综上，当a >0时，f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x )在(－1,1)上单调递增． 引申探究若本题中的函数变为f (x )＝axx 2－1 (a >0)，则f (x )在(－1,1)上的单调性如何？解 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1 ＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)， ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. 又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数在(－1,1)上为减函数．思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连结．已知a >0，函数f (x )＝x ＋ax(x >0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．证明 方法一 任意取x 1>x 2>0，则 f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫a x 1－a x 2＝(x 1－x 2)＋a (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2.当a ≥x 1>x 2>0时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2<0，有f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上为减函数；当x 1>x 2≥a 时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2>0， 有f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在[a ，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数．方法二 f ′(x )＝1－a x 2，令f ′(x )>0，则1－ax2>0，解得x >a 或x <－a (舍)．令f ′(x )<0，则1－ax 2<0，解得－a <x <a .∵x >0，∴0<x <a .故f (x )在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数．题型二 函数的最值例3 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，a ∈(－∞，1]．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝72.(2)f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)．①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数． 最小值为f (1)＝a ＋3.要使f (x )>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3>0，即a >－3，所以－3<a ≤0. ②当0<a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3. 所以a ＋3>0，a >－3，所以0<a ≤1.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值范围是(－3,1]． 思维升华 求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．(2)已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为[12，2]，则a ＝________. 答案 (1)2 (2)25解析 (1)当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.(2)由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2，即⎩⎨⎧1a －2＝12，1a －12＝2，解得a ＝25.题型三 函数单调性的应用命题点1 比较大小例4 已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则f (x 1)________0，f (x 2)________0.(判断大小关系) 答案 < >解析 ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0， 当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0.命题点2 解不等式例5 已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是______________． 答案 (－1,0)∪(0,1)解析 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎨⎧|x |<1，x ≠0.∴－1<x <0或0<x <1.命题点3 求参数范围例6 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是__________．(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________． 答案 (1)⎣⎡⎦⎤－14，0 (2)[32，2) 解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增； 当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综合上述得－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2，∴a 的取值范围是[32，2)．思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．(1)f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是__________．(2)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是__________．答案 (1)(8,9] (2)(0,1]解析 (1)2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9.(2)由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. ∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数，∴由g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0，故0<a ≤1.1．确定抽象函数单调性解函数不等式典例 (14分)函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2.思维点拨 (1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f (x 2)－f (x 1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f ”运用单调性“去掉”是本题的切入点．要构造出f (M )<f (N )的形式． 规范解答(1)证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，∴x 2－x 1>0， ∵当x >0时，f (x )>1， ∴f (x 2－x 1)>1.[2分] f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1] ＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1，[4分]∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0⇒f (x 1)<f (x 2)，∴f(x)在R上为增函数．[6分](2)解∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，[8分]f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[11分]∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3,2)．[14分]解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．温馨提醒本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x>0时，f(x)>1，构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，便找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式．解决此类问题的易错点：忽视了M、N的取值范围，即忽视了f(x)所在单调区间的约束．[方法与技巧]1．利用定义证明或判断函数单调性的步骤(1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断．2．确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性．3．求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法．[失误与防范]1．分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点．2．函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连结，不要用“∪”．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．下列函数f (x )中，①f (x )＝1x；②f (x )＝(x －1)2；③f (x )＝e x ；④f (x )＝ln(x ＋1)，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是________．(填序号)答案 ①解析 由题意知f (x )在(0，＋∞)上是减函数．①中，f (x )＝1x满足要求； ②中，f (x )＝(x －1)2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；③中，f (x )＝e x 是增函数；④中，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上是增函数．2．已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是__________． 答案 [1，＋∞)解析 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a >0且a －1≥0，∴a ≥1.3．已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为______________．答案 b <a <c解析 ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52<f (3)，即b <a <c .4．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在 [3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为________． 答案 －2解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1，∴f (3)＝1，即22＋m －1＝1，m ＝－2.5．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是__________．答案 [0，34] 解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数，当a ≠0时，由⎩⎨⎧ a >0，－4(a －3)4a ≥3，得0<a ≤34， 综上a 的取值范围是0≤a ≤34. 6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12log ，x x ≥1，2x ，x <1的值域为________． 答案 (－∞，2)解析 当x ≥1时，f (x )＝log 12x 是单调递减的，此时，函数的值域为(－∞，0]；当x <1时，f (x )＝2x 是单调递增的，此时，函数的值域为(0,2)．综上，f (x )的值域是(－∞，2)．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案 (1,2]解析 由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.8．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案 3解析 由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.9．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．(1)证明 任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1.综上所述，a 的取值范围是(0,1]．10．设函数y ＝f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x ，y ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )；②当x >1时，f (x )<0；③f (3)＝－1.(1)求f (1)，f (19)的值； (2)如果不等式f (x )＋f (2－x )<2成立，求x 的取值范围．解 (1)令x ＝y ＝1易得f (1)＝0.而f (9)＝f (3)＋f (3)＝－1－1＝－2，且f (9)＋f ⎝⎛⎭⎫19＝f (1)＝0，故f ⎝⎛⎭⎫19＝2. (2)设0<x 1<x 2，则x 2x 1>1，f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1<0， 由f (xy )＝f (x )＋f (y )得f (x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫x 1·x 2x 1＝f (x 1)＋f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1<f (x 1)， 所以f (x )是减函数．由条件①及(1)的结果得：f [x (2－x )]<f ⎝⎛⎭⎫19，其中0<x <2，由函数f (x )在R 上单调递减，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x (2－x )>19，0<x <2，由此解得x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1－223，1＋223. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．答案 1解析 依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，0<x <2，－x ＋3，x ≥2.当0<x <2时，h (x )＝log 2x 是增函数；当x ≥2时，h (x )＝3－x 是减函数，∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.12．定义新运算：当a ≥b 时，ab ＝a ；当a <b 时，a b ＝b 2，则函数f (x )＝(1x )x －(2x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．答案 6解析 由已知，得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.13．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为_________．答案 (－3，－1)∪(3，＋∞)解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3.所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．14．已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0， 当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)， 当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}，当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时， g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2>0恒成立， 所以g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． 所以a >3x －x 2，令h (x )＝3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数， 所以h (x )max ＝h (2)＝2，所以a >2.。
人教版高中数学必修一一次函数与二次函数易错题集锦
(每日一练)人教版高中数学必修一一次函数与二次函数易错题集锦单选题1、下列函数在其定义域内为减函数的是（ ）A ．f (x )=x 3B ．f (x )=12x +1C ．f (x )=log 3xD ．f (x )=(13)x 答案：D解析：根据幂指对函数和一次函数的性质进行判定.由幂函数的性质，可知A 中函数为单调增函数，由一次函数性质可知B 中函数为增函数，由对数函数性质可知C 中函数为增函数，由指数函数性质，可知D 中函数为单调减函数，故选：D.2、已知函数f (x )=(x −a )(x −b )+c ，若(a−b 2)2>c ，则函数f (x )的零点（ ）A ．不存在B ．有且只有一个C ．一定有两个D ．个数不确定答案：C解析：f (x )=(x −a )(x −b )+c 开口向上，求出顶点坐标，看顶点处于x 轴上方还是下方，还是在x 轴上，从而作出判断f (x )=(x −a )(x −b )+c =(x −a+b 2)2+c −(a−b 2)2，则其顶点坐标为(a+b2,c−(a−b2)2)，因为(a−b2)2>c，故c−(a−b2)2<0，f(x)开口向上，图象的顶点位于x轴的下方，所以f(x)一定有两个零点.故选：C．3、若∃x∈[−1,2]，使得不等式x2−2x+a<0成立，则实数a的取值范围为（）A．a<−3B．a<0C．a<1D．a>−3答案：C解析：由题意可转化为∃x∈[−1,2]，使a<−x2+2x成立，求−x2+2x的最大值即可.因为∃x∈[−1,2]，使得不等式x2−2x+a<0成立，所以∃x∈[−1,2]，使得不等式a<−x2+2x成立，令f(x)=−x2+2x，x∈[−1,2]，因为对称轴为x=1，x∈[−1,2]所以f(x)max=f(1)=1，所以a<1，故选：C小提示：本题主要考查了存在性命题的应用，考查了函数最值的求法，转化思想，属于中档题. 填空题4、若函数f(x)=−x2+4ax在[1.3]内不单调，则实数a的取值范围是__________．答案：(12,3 2 )解析：先求出函数的对称轴x=2a，由于函数在[1.3]内不单调，所以对称轴在此区间，即1<2a<3，从而可求出实数a的取值范围解：由题意得f(x)=−x2+4ax的对称轴为x=2a，因为函数f(x)在[1.3]内不单调，所以1<2a<3，得12<a<32．所以答案是：(12,32 )．5、已知函数f(x)=ax2−x+1(a≠0)，若任意x1、x2∈[1,+∞)且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>1，则实数a的取值范围是___________．答案：[1,+∞)解析：本题首先可令x1>x2，将f(x1)−f(x2)x1−x2>1转化为f(x1)−x1>f(x2)−x2，然后令g(x)=f(x)−x，通过函数单调性的定义得出函数g(x)在[1,+∞)上是增函数，最后分为a=0、a≠0两种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.因为任意x1、x2∈[1,+∞)且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>1，所以令x1>x2，f(x1)−f(x2)x1−x2>1即f(x1)−f(x2)>x1−x2，f(x1)−x1>f(x2)−x2，令g(x)=f(x)−x=ax2−2x+1，则函数g(x)在[1,+∞)上是增函数，若a=0，则g(x)=−2x+1，显然不成立；若a≠0，则{a>0−−22a≤1，解得a≥1，综合所述，实数a的取值范围是[1,+∞)，所以答案是：[1,+∞).小提示：关键点点睛：本题考查根据函数的性质求参数，主要考查函数单调性的定义以及二次函数性质，要注意a=0这种情况，考查推理能力，是中档题.。
人教版高中数学必修一函数及其性质易错题集锦
(每日一练)人教版高中数学必修一函数及其性质易错题集锦单选题1、函数f(x)=−x2+2(1−m)x+3在区间(−∞,4]上单调递增，则m的取值范围是（）A．[−3,+∞)B．[3,+∞)C．(−∞,5]D．(−∞,−3]答案：D解析：=1−m，而抛物线的开口向下，且在区间(−∞,4]上单调递增，所以1−先求出抛物线的对称轴x=−2(1−m)−2m≥4，从而可求出m的取值范围=1−m，解：函数f(x)=−x2+2(1−m)x+3的图像的对称轴为x=−2(1−m)−2因为函数f(x)=−x2+2(1−m)x+3在区间(−∞,4]上单调递增，所以1−m≥4，解得m≤−3，所以m的取值范围为(−∞,−3]，故选：D2、一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：要使每天的收入最高，每间客房的定价应为（）A．100元B．90元C．80元D．60元答案：C解析：求出4个不同房价对应的收入，然后找出最大值对应的房价即可得到答案. 当定价100元时：收入为100×100×65%=6500；当定价90元时：收入为100×90×75%=6750；当定价80元时：收入为100×80×85%=6800；当定价60元时：收入为100×60×95%=5700.对比知：当定价80元时，收入最高.故选C.小提示：本题考查了利用函数求收入的最大值，意在考查学生的计算能力.3、已知某函数图象如下图所示，则此函数的解析式可能是（）A．f(x)=1−e x1+e x ⋅sinx B．f(x)=e x−1e x+1⋅sinxC．f(x)=1−e x1+e x ⋅cosx D．f(x)=e x−1e x+1⋅cosx答案：B解析：分析各选项中函数的奇偶性及其在y轴右侧函数值符号变化，结合图象可得出合适的选项.根据题意，由图象可得：该函数为偶函数，且在y轴右侧，先为正值，后为负值，据此分析选项，四个选项中函数的定义域均为R.对于A选项，f(x)=1−e x1+e x ⋅sinx，f(−x)=1−e−x1+e−x⋅sin(−x)=e x(1−e−x)e x(1+e−x)⋅(−sinx)=−e x−1e x+1⋅sinx=1−e x1+e x⋅sinx=f(x)，该函数为偶函数，当x∈(0,π)时，sinx>0，1−e x1+e x<0，则f(x)<0，不合乎题意；对于B选项，f(x)=e x−1e x+1⋅sinx，f(−x)=e−x−1e−x+1⋅sin(−x)=e x(e−x−1)e x(e−x+1)⋅(−sinx)=−1−e x1+e x⋅sinx=e x−1e x+1⋅sinx=f(x)，该函数为偶函数，当x∈(0,π)时，sinx>0，e x−1e x+1>0，则f(x)>0，合乎题意；对于C选项，f(x)=1−e x1+e x ⋅cosx，f(−x)=1−e−x1+e−x⋅cos(−x)=e x(1−e−x)e x(1+e−x)⋅cosx=e x−1e x+1⋅cosx=−1−e x1+e x⋅cosx=−f(x)，该函数为奇函数，不合乎题意；对于D选项，f(x)=e x−1e x+1⋅cosx，f(−x)=e−x−1e−x+1⋅cos(−x)=e x(e−x−1)e x(e−x+1)⋅cosx=1−e x1+e x⋅cosx=−e x−1e x+1⋅cosx=−f(x)，该函数为奇函数，不合乎题意.故选：B.小提示：本题考查函数的图象分析，注意结合图象分析函数的奇偶性、单调性以及函数值符号，考查推理能力，属于中等题．填空题4、若3f(x)+2f(1x)=4x，则f(x)=______．答案：12x5−85x解析：将x用1x代替又可得一个等式，将两个等式联立解方程即可得出结果.由3f(x)+2f(1x)=4x①，将x用1x 代替得3f(1x)+2f(x)=4x②，由①②得f(x)=12x5−85x.所以答案是：12x5−85x.5、为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t)，用−f(b)−f(a)b−a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[t1,t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，在[0,t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．答案：①②③解析：根据定义逐一判断，即可得到结果−f(b)−f(a)b−a表示区间端点连线斜率的负数，在[t1,t2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，甲企业在[t1,t2]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1,t2]的污水治理能力最强．④错误；在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；所以答案是：①②③小提示：本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.。
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)高中数学必修1 第二章函数单调性和奇偶性专项练一、函数单调性相关练题1、（1）函数f(x)＝x－2，x∈{1，2，4}的最大值为3.在区间[1，5]上的最大值为9，最小值为-1.2、利用单调性的定义证明函数f(x)＝(2/x)在（-∞，0）上是减函数。
证明：对于x1<x2.由于x1和x2都小于0，所以有x1<x2<0，因此有f(x2)-f(x1)=2/x1-2/x2=2(x2-x1)/x1x2<0.因此，f(x)在（-∞，0）上是减函数.3、函数f(x)＝|x|＋1的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，0]和[0，∞).4、函数y=-x+2的图像是一条斜率为-1的直线，单调区间为(-∞，+∞).5、已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，比较大小：(1)f(6)与f(4)；(2)f(2)与f(15).1) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x>3，f(x)是减函数，对于x<3，f(x)是增函数。
因此，f(6)<f(4).2) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x3，f(x)是增函数。
因此，f(2)>f(15).6、已知y＝f(x)在定义域(-1，1)上是减函数，且f(1-a)<f(3a-2)，求实数a的取值范围.因为f(x)在(-1，1)上是减函数，所以对于0f(3a-2)。
因此，实数a的取值范围为0<a<1.7、求下列函数的增区间与减区间：1) y=|x^2+2x-3|的图像是一条开口向上的抛物线，单调区间为(-∞，-3]和[1，+∞).2) y=1-|x-1|的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，1]和[1，+∞).3) y=-x^2-2x+3的图像是一条开口向下的抛物线，单调区间为(-∞，-1]和[1，+∞).4) y=1/(x^2-x-20)的图像是一条双曲线，单调区间为(-∞，-4]和[-1，1]和[5，+∞).8、函数f(x)=ax^2-(3a-1)x+a^2在[1，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围.因为f(x)在[1，+∞)上是增函数，所以对于x>1，有f(x)>f(1)。
与函数单调性有关的三道易错题
与函数单调性有关的三道易错题例1. 证明:函数x x f =)(在定义域上是增函数.错解:由题意可知函数x x f =)(的定义域为[)+∞,0.任取[)+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则()()02121<-=-x x x f x f ,∴()()21x f x f < ∴函数x x f =)(在[)+∞,0上为增函数.【错因分析】在证明021<-x x 时利用了函数x x f =)(的单调性.正解:由题意可知函数x x f =)(的定义域为[)+∞,0.任取[)+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则()()()()21212121212121x x x x x x x x x x x x x f x f +-=+-+=-=-.∵[)+∞∈,0,21x x ,且21x x <∴021<-x x ,021>+x x ∴()()021<-x f x f ,∴()()21x f x f <. ∴函数x x f =)(在[)+∞,0上为增函数.总结:（1）在证明问题（如证明函数的单调性）时,切忌用结论证明结论;（2）用定义法证明函数的单调性时,必须构造出含有()21x x -（或()12x x -）的式子.例2. 已知)(x f y =在定义域()1,1-上是增函数,且()()t f t f 211-<-,求实数t 的取值范围.错解:∵)(x f y =在定义域()1,1-上是增函数,且()()t f t f 211-<-∴t t 211-<-,解之得:32<t . ∴实数t 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-32,.【错因分析】本题忽视了函数)(x f y =的定义域,函数的单调区间是定义域的子集.正解:由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-tt t t 2111211111,解之得:320<<t .∴实数t 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛32,0.总结:（1）利用函数的单调性解与抽象函数有关的不等式时,一般方法是利用单调性将“f ”脱掉,使抽象不等式转化为具体的表达式求解,但要特别注意函数的定义域;（2）函数的单调区间是函数定义域的子集,故求函数的单调区间时,必须先求出函数的定义域.解决函数问题时,往往要遵循“定义域优先”的原则.例 3. 若函数()212)(2+-+=x a x x f 的单调递减区间是(]4,∞-,求实数a 的取值范围.错解:函数()212)(2+-+=x a x x f 的图象的对称轴为直线()a a x -=--=1212,开口向上.∵函数()212)(2+-+=x a x x f 的单调递减区间是(]4,∞- ∴a -1≥4,解之得:a ≤3-. ∴实数a 的取值范围是(]3,-∞-.【错因分析】函数的单调区间和函数在区间上单调是两个不同的概念:函数在某个区间上单调是函数相应单调区间的子集.正解:函数()212)(2+-+=x a x x f 的图象的对称轴为直线()a a x -=--=1212,开口向上.∵函数()212)(2+-+=x a x x f 的单调递减区间是(]4,∞- ∴41=-a ,解之得:3-=a . ∴实数a 的取值范围是{}3-.。
函数单调性经典题目含解析及答案
13、函数 y f (x) 是定义在 R 上的增函数，且 f (2m) f (m 9) ，则实数 m 的取值范围 解析：函数的单调性。
答案： (3,)
14、对任意的 x [1,) ，不等式 x2 2x a 0 恒成立，求实数 a 的取值
范围
解 析 ： 将 不 等 式 转 化 为 a x2 2x, x [1,) 恒 成 立 ， 即 求
ax 5, a,x 1 x
x
1
是
R
上的增函数，则
a
的取值范围
解析：分段函数单调性，分别求各段的单调性，再比较分界点的大小
答案： 3 a 2 24、已知函数 f (x) ax2 2x 2 ，若对一切 x [1 ,2] ， f (x) 0 都成立，
2
则实数 a 的取值范围
解析：（1）根据对称轴与区间端点的关系与二次函数的性质（2）二
次函数专题的最小值的三点三分法
17 10a, a 4
答案：（1） a 6或a 4 （2） a2 2a 1,4 a 6
37 10a, a 6
23、已知函数
f
(x)
x2
x
x
1
(x
2)
的最大值
解析：分离常数，利用函数单调性
答案：2
27、设函数 f (x) 是定义在 R 上的增函数，且 f (xy) f (x) f ( y), f (3) 1则
不等式 f (x) f (2) 1 的解集
解析： f (x) f (2) f (2x) ，利用函数单调性 答案： x 3
1、求函数 f (x) 8 2x x2 的单调区间
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函数的单调性一、选择题1.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是…………………………………( )A.y ＝3－xB.y ＝x 2＋1 C.y ＝－x 2D.y ＝x 2－2x －32.若函数y ＝(a ＋1)x ＋b ，x ∈R 在其定义域上是增函数，则…………………( )A.a ＞－1B.a ＜－1 C.b ＞0D.b ＜03.若函数y ＝kx ＋b 是R 上的减函数，那么…………………………………( )A.k<0B.k>0 C.k ≠0D.无法确定4.函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋6x ＋7x ∈［1，2］x ∈［－1，1］，则f(x)的最大值、最小值为……( )A.10,6B.10,8 C.8,6 D.以上都不对5.下列四个函数在()-0∞，上为增函数的有（ ）（1）y x = （2）x y x = （3）2x y x=- （4）x y x x =+A.(1)和(2)B.（2）和（3）C.（3）和（4）D.（1）和（4） 6.设()f x 是(),-∞+∞上的减函数，则（ ）7.设函数()()21f x a x b =-+在R 上是严格单调减函数，则（ ）8.下列函数中，在区间（0,2）上为增函数的是（ ）9.已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ） 10.已知()f x 为R 上的减函数，则满足()11f f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的实数x 的取值范围是（ ）11．函数 的增区间是（?? ）。
A ． ?B ．C ． ?D ．12． 在 上是减函数，则a 的取值范围是（? ）。
A ． ?B ． ?C ． ?D ．13．当 时，函数 的值有正也有负，则实数a 的取值范围是（?? ）A ． ?B ． ?C ． ?D ．14、已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则（ ）15、设()f x 是连续的偶函数，且当x >0时()f x 是单调函数，则满足3()4x f x f x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭的所有x 之和为（ ） A ．3-B ．3C ．8-D ．816、若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．217、设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( )（Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）21318、设函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线0x =及直线1x =对称，且[0,1]x ∈时，2()f x x =，则3()2f -=（ ）（A ）12 （B ）14 （C ）34 （D ）9419．已知函数f (x)在R 上是增函数，若a + b ＞0，则（ ）A ．f (a) + f (b)＞f (-a) + f(-b)B ．f (a) + f(b)＞f (-a) – f(-b)C ．f (a) + f (-a)＞f (b) + f (-b)D ．f (a) + f (-a)＞f (b) – f(-b)20．函数()223f x x mx =-+当[)2,x ∈-+∞时为增函数，当(],2x ∈-∞-是减函数，则()1f 等于（ ）A ．1B ．9C ．3-D ．13二、填空题1. 若f (x )为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f (－3)=0,则xf (x )<0的解集为_________.2、如果函数f (x )在R 上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f (x +2)=－f (x ),试比较f (31),f (32),f (1)的大小关系_________________________.3.若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x = ．2．函数,当 时,是增函数,当 时是减函数,则．4．已知 是常数),且 ,则 的值为_______．5．? 函数 在 上是减函数,则 的取值范围是_______．6．设 ， 是增函数， 和 ， 是减函数，则 是_______函数；是________函数；是_______函数．7、函数y ＝x 2－2x 的单调减区间是 ，单调增区间是 . 8.函数 []()2()230,3f x x x x =-++∈的最大值为 ，最小值为9.已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是10.已知()y f x =在定义域（-1,1）上是减函数，且2(1)(1)f a f a -<-，则a 的取值范围为11．（1）已知函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]3,(-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 ；（2）已知2)1(2)(2+-+=x a x x f 的单调递减区间是]3,(-∞，则实数a 的取值范围是 .12、已知函数()f x 在区间[],a c 上单调递减，在区间[],c b 上单调递增，则()f x 在区间[],a b 上有最 值是 。
13、函数()2235y k k x =-+++是定义在R 上的减函数，则k 的取值范围是 ；若为增函数，则k 的取值范围是 。
14、已知函数122--=x ax y 在)1,(-∞上是减函数，则a 的取值范围是__________。
15、函数)(x f 是定义在)1,1(-上的增函数，且0)3()2(<---a f a f ，则a 的取值范围是________。
三、解答题1.已知函数f (x )＝4x 2－4ax ＋(a 2－2a ＋2)在闭区间[0,2]上有最小值3，求实数a 的值． 2．设a ∈R ，当a 取何值时，不等式x 2＋2x －a ＞1在区间[2,5]上恒成立？ 3．函数对于有意义，且满足条件，，是非减函数，（1）证明 ；（2）若成立，求 的取值范围．4．已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且满足f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )，又当x 2>x 1>0时，f (x 2)>f (x 1)．(1)求f (1)、f (4)、f (8)的值；(2)若有f (x )＋f (x －2)≤3成立，求x 的取值范围．6．已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3,5]． (1)判断函数f (x )的单调性，并证明； (2)求函数f (x )的最大值和最小值．7.已知()y f x =与()y g x =均为增函数，判断下列函数在公共定义域内的增减性.（1）2()y f x =- （2）()2()y f x g x =+8.证明函数3()f x x x =+在R 上单调递增.9.求函数2()3125f x x x =-+在定义域[0,3]上的最大值和最小值.1.证明函数f(x)＝x ＋1x在(0,1)上为减函数.【证明】 设0<x 1<x 2<1，则＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1)x 1x 2.已知0<x 1<x 2<1，则x 1x 2－1<0，x 1－x 2<0，x 1x 2＞0. ∴(x 1－x 2)(x 1x 2－1)x 1x 2＞0，即f(x 1)－f(x 2)>0，f(x 1)>f(x 2). ∴f(x)＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数.2、求函数y ＝2x －1在区间［2,6］上的最大值和最小值. 【解析】 设x 1、x 2是区间［2,6］上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2) ＝2x 1－1－2x 2－1＝2?x 2－1?－2?x 1－1??x 1－1??x 2－1?＝2?x 2－x 1??x 1－1??x 2－1?.由2≤x1＜x2≤6，得x2－x1＞0，(x1－1)(x2－1)＞0，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．所以，函数y＝2x－1是区间[2,6]上的减函数．如上图．因此，函数y＝2x－1在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值，最大值是2，在x＝6时取得最小值，最小值是.3．求证：在上不是单调函数．解：设，则①于是，当时，，则①式大于0；故在上不是单调函数4．函数，，求函数的单调区间．解：设，①当时，是增函数，这时与具有相同的增减性，由即得或当时，是增函数，为增函数；当时，是减函数，为减函数；②当时，是减函数，这时与具有相反的增减性，由即得当时，是减函数，为增函数；当时，是增函数，为减函数；综上所述的单调增区间是和，单调减区间是和5．设是定义在上的增函数，，且，求满足不等式的x的取值范围.解、依题意，得又，于是不等式化为由得.∴x的取值范围是.6、北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京晚报》的价格是每份元，卖出的价格是每份元，卖不掉的报纸可以以每份元的价格退回报社.在一个月(按30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚多少元.解、设每天从报社买进x份报纸，每月获得的总利润为y元，则依题意，得y＝(20x＋10×250)－×10(x－250)＝＋625，x∈［250,400］.＝825(元)，∵函数y在［250,400］上单调递增，∴x＝400时，ymax即摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元.。