7 抽象函数周期性与对称性问题
抽象函数周期性对称性相关定理全总结
抽象函数周期性对称性相关定理全总结1. Fourier级数定理：Fourier级数定理是抽象函数周期性对称性的基本理论定理之一、它表明，任何以L为周期的可积函数f(x)都可以展开成正弦函数与余弦函数的无穷级数形式，即Fourier级数。
这个级数可以表示为：f(x) = a0 + Σ(an*cos(nπx/L) + bn*sin(nπx/L))其中，L是函数周期，a0是常数项，an和bn分别是系数。
2.奇偶周期性与对称性：奇周期性与对称性是周期性对称性的两种特例。
如果一个函数满足f(x) = -f(-x)，则称其为奇函数。
奇函数可以展开成sin函数的Fourier级数形式。
如果一个函数满足f(x) = f(-x)，则称其为偶函数。
偶函数可以展开成cos函数的Fourier级数形式。
3. 对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理：对称函数的Fourier级数展开是指将一个以L为周期的对称函数展开成cos函数的Fourier级数形式。
傅里叶定理表明，对于一个以L为周期的函数f(x)，如果f(x)是一个对称函数，则其Fourier级数展开只包含cos函数；如果f(x)是一个奇函数，则其Fourier级数展开只包含sin函数。
4. 函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数：函数的周期拓展是指将一个以L为周期的函数f(x)拓展成以2L为周期的函数。
周期拓展后的函数可以用以L为周期的函数的Fourier级数展开。
具体而言，如果将f(x)的周期拓展后的函数记作F(x)，则对于周期拓展后的函数F(x)，存在一个以L为周期的函数g(x)，使得F(x) = g(x)在[-L, L]上成立。
所以，F(x)的Fourier级数展开实际上是以L为周期的函数g(x)的Fourier级数展开。
综上所述，抽象函数周期性对称性相关定理涉及四个方面：Fourier级数定理、奇偶周期性与对称性、对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理、函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数。
抽象函数的对称性与周期性
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较 困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。
一、函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、函数的轴对称：推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称特殊地，函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称。
2、 函数的点对称：推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称特殊地，若()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则()x f y =的图象关于点()0,a 对称。
特殊地，若()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称。
二、函数的周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
函数的周期性与对称性
【例2】 f（x）是定义在R上的以3 为周期的奇函数，且 f （ 2 ）＝ 0 ， 则方程 f （ x ）＝ 0 在区间（ 0 ， 6 ） 内解的个数的最小值是 ( ) A．2
C．4
B．3
D． 5
【解析】
∵ f （ x ）为奇函数， ∴ f （ 0 ）＝ 0 ，又 函数f（x）以3为周期，且f（2）＝0， ∴f（－2）＝0，f（1）＝0，f（4）＝ 0，f（3）＝0，f（5）＝0， ∴在区间（0，6）内的解有1，2，3， 4，5.故选D.
3、关于点(a,0)对称
练习：求函数y=f(x)关于点（a,0)对称的解析 式 答案：y=-f(2a-x) 结论：⑴-f(2a-x)与f(x)的图形关于点(a,0)对称
⑵一个函数y=f(x)本身关于点(a,0)对称，有 f(x)=-f(2a-x)即f(x)+f(2a-x)=0
函数周期性解题的一道经典试题
2、关于直线y=b对称 ⑴函数y=f(x)关于x轴（y=0)对称的函数是y=-f(x)
⑵求函数y=f(x)关于直线y=b对称的函数解析式
解：设(x,y)是所求曲线上任意一点，它关于直 线y=b的对称点为(x,y1),从而y1=f(x)而 y1-b=b-y故y1=2b-y,于是y=2b-f(x) 结论：f(x)与g(x)的图象关于直线y=b对称，则 f(x)+g(x)=2b反之也成立
区间上单调性相反
⑵求函数y=f(x)关于直线x=a对称的函数解析 式 解：用相关点法，设(x,y)是所求曲线上任意 一点，则它关于直线x=a的对称点为（x1,y) 在函数y=f(x)图象上，故y=f(x1),而 x1-a=a-x所以x1=2a-x,于是y=f(2a-x)即为 所求 结论：y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a 对称
谈抽象函数的对称性与周期性
谈抽象函数的对称性与周期性作者：李跃庭来源：《中学课程辅导高考版·教师版》2010年第03期抽象函数的对称性与周期性在试卷命题中常常结合出现,笔者发现,他们之间有以下几种考查模式,在此总结一下并提供换元法证明,以求抛砖引玉。
1.“点点”对称设函数f(x)定义域为R,图像关于点A(a,0)和B(b,0)(a≠b)对称,则函数f(x)的周期为2(b-a).证明:∵函数f(x)图像关于点A(a,0)和B(b,0)(a≠b)对称,∴对∈R有f(x)=-f(2a-x),f(x)=-f(2b-x),∴f(2a-x)=f(2b-x),令t=2a-x,则x=2a-t,2b-x=t+2b-2a,∴f(t)=f[t+(2b-2a)],即f(x)=f[x+2(b-a)]恒成立,∴函数f(x)的周期为2(b-a).2.“点线”对称设函数f(x)定义域为R,图像关于点A(a,0)和直线x=b(a≠b)对称,则函数f(x)的周期为4(b-a).证明:∵函数f(x)图像关于点A(a,0)和直线x=b(a≠b)对称,∴对∈R有f(x)=-f(2a-x),f(x)=f(2b-x)恒成立,∴-f(2a-x)=f(2b-x),即f(2a-x)=-f(2b-x),令t=2a-x,则x=2a-t,2b-x=t+2b-2a,∴f(t)=-f[t+2(b-a)]……①将上式中的t用t+2(b-a)替换得:f[t+2(b-a)]=-f[t+4(b-a)] ……②∴由①②对∈R有f(x)=-f[x+2(b-a)]……③f[x+2(b-a)]=-f[x+4(b-a)]……④∴由③④得f(x)=f[x+4(b-a)]恒成立,∴函数f(x)的周期为4(b-a).3.“线线”对称设函数f(x)定义域为R,图像关于点x=a和直线x=b(a≠b)对称,则函数f(x)的周期为2(b-a).证明:∵函数f(x)图像关于点x=a和直线x=b(a≠b)对称,∴对∈R有f(x)=f(2a-x),f(x)=f(2b-x)恒成立,∴f(2a-x)=f(2b-x),令t=2a-x,则x=2a-t,2b-x=t+2b-2a,∴f(t)=f[t+2(b-a)],∴函数f(x)的周期为2(b-a).4.“偶线”对称设偶函数f(x)定义域为R,图像关于点x=a对称,则函数f(x)的周期为2a.证明:∵函数f(x)图像关于点x=a对称,∴对∈R有f(x)=f(2a-x)恒成立,又函数f(x)为偶函数,∴对∈R有f(x)=f(-x)恒成立,∴f(2a-x)=f(-x),令t=-x,∴f(t)=f(t+2a),∴函数f(x)的周期为2a.5.“奇线”对称设奇函数f(x)定义域为R,图像关于点x=a对称,则函数f(x)的周期为4a.证明:∵函数f(x)图像关于点x=a对称,∴对∈R有f(x)=f(2a-x)恒成立,又函数f(x)为奇函数,∴对∈R有f(x)=-f(-x)恒成立,∴f(2a-x)=-f(-x),令t=-x,∴f(t)=-f(t+2a)……①将上式中的t用t+2a替换得:f(t+2a)=-f(t+4a)……②∴由①②对∈R有:f(x)=-f(x+2a)……③f(x+2a)==-f(x+4a)……④∴由③④得f(x)=f(x+4a)恒成立,∴函数f(x)的周期为4a.因此,在学习和复习函数的对称性和周期性时,了解对称性对周期性的作用,可借助于数形结合,实现复杂问题简单化.。
苏教版必修1精品教学案：第3章14抽象函数的对称性与周期性
江苏省泰兴中学高一数学教学案(36)抽象函数的对称性与周期性班级 姓名知识点梳理一、 抽象函数的对称性定理1. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的图象关于直线2ba x +=对称。
推论1. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)()(x a f x a f -=+，则函数)(x f y =的图像关于直线a x =对称。
推论2. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)2()(x a f x f -=),则函数)(x f y =的图像关于直线a x =对称。
总结：x 的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程推论 3. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)()(x a f x a f -=+， 又若方程0)(=x f 有n 个根，则此n 个根的和为na 。
定理2. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数），则函数)(x f y =的图象关于点)2,2(cb a +对称。
推论 1. 若函数)(x f y =定义域为R ,且满足条件：0)()(=-++x b f x a f 成立，则)(x f y = 的图象关于点)0,2(ba +对称。
推论2.若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：0)()(=-++x a f x a f （a 为常数），则函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 对称。
总结：x 的系数一个为1，一个为-1，)(x f 整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。
定理3.若函数)(x f y = 定义域为R ，则函数)(x a f y +=与)(x b f y -=两函数的图象关于直线2ab x -=对称（由x b x a -=+可得）。
抽象函数的对称性 ——点,直线,周期
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
抽象函数的奇偶性、周期性和对称性
抽象函数的奇偶性、周期性和对称性一、奇偶性1、奇函数的定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，那么 函数()f x 就叫做奇函数。
（1）定义域必须关于原点对称；（2）对定义中的任意一个x ，都有)()(x f x f -=-；（3）图象特征：奇函数图象关于原点对称。
（这是判断奇函数的直观方法）2、偶函数定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数 ()f x 就叫做偶函数。
（1）定义域必须关于原点对称；（2）对定义中的任意一个x ，都有)()(x f x f =-； （3）图象特征：偶函数图象关于y 轴对称。
（这是判断偶函数的直观方法） 二、周期性周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期，并不是所有周期函数都存在最小正周期。
例如，狄利克雷函数，当x 为有理数时，()f x 取1；当x 为非有理数时，()f x 取0。
（1）如果函数)(x f y =满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数。
（2）如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 4为周期的周期函数。
（3）如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 2为周期的三、对称性1、函数图象本身的对称性（自身对称）题设：函数)(x f y =对定义域内一切x 来说，其中a 为常数，函数)(x f y =满足： （1）)()(x a f x a f -=+⇔函数)(x f y =图象关于直线a x =成轴对称； （2）)()2(x f x a f =-⇔函数)(x f y =的图象关于直线a x =成轴对称；（3）)()(x b f x a f -=+⇔函数)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=成轴对称； （4）)(x f -=)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于y 轴对称（偶函数）； （5）)(2)2(x f b x a f -=-⇔函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称； （6）)(x f -=—)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于原点成中心对称（奇函数）；（7）如果函数)(x f y=满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的 常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数；（8）如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 4为周期（9）如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 2为周期 的周期函数。
抽象函数的对称性奇偶性与周期性总结及习题
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难,所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ,都存在非零常数T ,使得()()f x T f x +=恒成立,则称函数()f x 具有周期性,T 叫做()f x 的一个周期,则kT ,0k Z k ∈≠也是()f x 的周期,所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期;分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数,在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,;把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(;[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x)()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-;分段函数的奇偶性3、函数的对称性： 1中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。
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授课教案辅导日期：2016年 月 日 辅导时间： 学员：七、周期性与对称性问题（由恒等式．．．简单判断：同号看周期，异号看对称）结论：(1) 函数图象关于两条直线x=a ，x=b 对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b|(2) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b|(3) 函数图象关于直线x=a ，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b|（4） 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别: y=f(b+x)与y=f(a-x)关于2ba x -=对称；y=f(b+x)与y=-f(a-x)关于点)0,2(ba -对称 （可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0，解得的x 为对称轴）★★★★例1.已知函数)(x f y =满足200)()(=-+x f x f ，求)2002()(11x f x f -+--的值。
解：已知式即在对称关系式b x a f x a f 2)()(=-++中取20020==b a ，，所以函数)(x f y =的图象关于点（0，2002）对称。
根据原函数与其反函数的关系，知函数)(1x f y -=的图象关于点（2002，0）对称。
所以0)1001()1001(11=-++--x f x f将上式中的x 用1001-x 代换，得0)2002()(11=-+--x f x f评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a 、b 均为常数，函数)(x f y =对一切实数x 都满足b x a f x a f 2)()(=-++，则函数)(x f y =的图象关于点（a ，b ）成中心对称图形。
例17：①已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2) = – f (x )，则f (6)的值为（ B ）A. –1B. 0C. 1D. 2解： 因为f (x)是定义在R 上的奇函数，所以f (0) = 0，又T=4，所以f (6) = f (2) = – f (0) = 0。
②函数f(x)对于任意的实数x 都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于 对称。
（x=1/2） 练习：（2010重庆）已知函数()f x 满足：()114f =，()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则()2010f =_____________.解析：取x=1 y=0得21)0(=f 法一：通过计算)........4(),3(),2(f f f ，寻得周期为6法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得f(n+2)= —f(n-1) 所以T=6 故()2010f =f(0)=21 例18. 已知函数y=f(x)满足2002)()(=-+x f x f ，求()()x f x f -+--200211的值。
解：由已知式知函数的图象关于点（0，1001）对称。
据原函数与其反函数的关系，知函数y=f -1(x) 的图象关于点（1001，0）对称,所以()()010********=-++--x f x f,即()()x f x f -+--200211=0例19. 奇函数f (x )定义在R 上，且对常数T > 0，恒有f (x + T ) = f (x )，则在区间［0，2T ］上，方程f (x ) = 0根的个数最小值为（ ）CA. 3个B.4个C.5个D.6个解：∵f (0) = 0→x 1= 0， 又f (2T ) = f (T ) = f (0) = 0→ x 2 = T ，x 3 = 2T .又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-22T x f T x f 令x = 0得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-222T f T f T f ,∴⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛232T f T f =0.(本题易错选为A) 例20．① f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a ∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调。
求a 的值。
解：∵ f(x)=-f(6-x) ∴f(x)关于（3，0）对称 又∵ f(x)= f(2-x) ∴ f(x)关于x=1对称 ∴T=8∴f(2000)= f(0) 又∵f(a) =-f(2000) ∴f(a)=-f(0) 又∵f(x) =-f(6-x)∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6) ∴a =6②设y=f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数，函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称，且当x [2,3]时，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3(a 为常数且a R)（1）求f(x);（2）是否存在a [2,6]或a (6,+∞),使函数f(x)的图象的最高点位于直线y=12上？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.解：（1）设点M(x,f(x))为函数y=f(x)图象上任意一点，则点M 关于直线x=1的对称点为N(2-x,f(x)).∵y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称. ∴点N(2-x,f(x))在y=g(x)图象上.由此得f(x)=g(2-x)（利用结论4的命题易得这一结果：y=g(x)与y=g(2-x)的图象关于直线x=1对称）设x [-1,0]，则2-x [2,3].此时f(x)=g(2-x)=-2ax+4x 3又f(x)为偶函数⇔f(-x)=f(x),x ∈ [-1,1]. ∴当x ∈ [0,1]时，f(x)=2ax-4 x 3（2）注意到f(x)为偶函数，只须研究f(x)在[0,1]上的最大值.(ⅰ)当a (2,6]时，由0 x 1得a-2x 2＞0，f(x)=2x(a-2 x 2)= ≤ =（当且仅当4 =a －2,即x=[0,1]时等号成立）. 由题意知,f(x)的最大值为12,令 =12得=486> ,∴a>6,这与a (2,6]矛盾,故此时满足条件的a 不存在.(ⅱ)当a=2且0≤x≤1时,f(x)=4x(1－ )同理可证 f(x)= (当且仅当2 =1- ,即x= 时等号成立),也与已知矛盾.(ⅲ)当a>6时,设0 ,则f()-f( )=2a(- )-4(- )=2(- )[a-2(++ )]，由题设0< ++<3,a>6 ∴a-2(++)>0 又 - <0∴f( )-f()<0即f( )<f(), ∴f(x)在[0,1]上为增函数. ∴此时=f(1)=2a-4.令2a-4=12,解得a=8 (6,+∞),适合题意.因此,综合(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)知,存在a=8 (6,+∞),使得函数f(x)的图象的最高点位于直线y=12上.练习1、函数)1(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =的图象关于 x=1 对称。
2、函数)(x f y =满足)(1)3(x f x f -=+，且1)3(=f ，则=)2010(f -1 。
3、函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且11()()22f x f x +=-,则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++= 解析：法一：因f(x)为奇函数且关于12x =对称，T=2,可借助图象解答，得结果为0. 小结：此方法为数形结合法法二：因f(x)为奇函数且关于12x =对称，类比()sin f x x =联想函数()sin f x x π= ∴(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++=0, 小结：此方法为抽象函数具体化法4、已知函数(21)y f x =-是定义在R 上的奇函数，函数()y g x =是()y f x =的反函数，若120x x +=则12()()g x g x +=（ D ）A ）2B ）0C ）1D ）-2解析：法一：(函数具体化)设()1f x x =+符合题意，则()1g x x =-则121212()()(1)(1)()22g x g x x x x x +=-+-=+-=-，法二：y=f(2x-1)是R 上的奇函数→f(-2x-1)=-f(2x-1)，即f(-2x-1)+f(2x-1)=0，由反函数的关系就可以取x 1= f(-2x-1),x 2= f(2x-1),所以g(x 1)+g(x 2)=-2x-1+(2x-1)=-2.5.设f (x )是R 的奇函数,f (x+2)= — f (x ),当0≤x ≤1,时,f (x )=x ,则f(7.5)= - 0.56.定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=3,则f -1(x)+f -1(3-x)= .07、 f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f （2）=0，则方程f （x ）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）DA.4B.5C.6D.78、设函数f(x)的定义域为[1,3],且函数f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称,已知当x [2,3]时f(x)=2x,求当x [1,2]时,f(x)的解析式.解:由已知得 f(x)=-f(4-x)① 又当x [1,2]时,4-x [2,3],∴f(4-x)=(4-x) -2(4-x) ②∴由①②得f(x)=- (x- 4) +2(4-x) ∴当x [1,2]时,f(x)=-x +6x-8 9、（09山东）已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=-8八、综合问题例21. 定义在R 上的函数f(x)满足：对任意实数m ，n ，总有，且当x>0时，0<f(x)<1。
（1）判断f(x)的单调性； （2）设，，若 φ=B A ，试确定a 的取值范围。
解：（1）在中，令，得，因为，所以。
在中，令,因为当时，所以当时,而,所以又当x=0时，，所以，综上可知，对于任意，均有。
设，则所以.所以在R 上为减函数。
（2）由于函数y=f(x)在R 上为减函数，所以,即有又，根据函数的单调性，有,由，所以直线与圆面无公共点。
因此有，解得。
评析：（1）要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是f(0)的取值问题，二是f(x)>0的结论。