函数的周期性与对称性

函数的周期性与对称性

1、函数的周期性

若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x)定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。

①f(x＋a)＝f(x －a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x) 2、函数的对称性与周期性

性质5 若函数y ＝f(x)同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|

性质6、若函数y ＝f(x)同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|

性质7、若函数y ＝f(x)既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝4|a －b|

3.函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）

若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称

推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称

例题分析：

1．设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则

)5.47(f 等于 ( ) （A ）0.5 （B ）5.0- （C ）1.5 （D ）5.1- 2、（山东）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为（ ）

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2

3．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，(1)2,(1)(6),f f x f x =+=+求(10).f 4．函数)(x f 对于任意实数x 满足条件1

(2)()

f x f x +=

，若(1)5f =-，则[(5)]f f =___

5．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且它的图像关于直线1x =对称。 （1）求(0)f 的值；（2）证明)(x f 是周期函数；

（3）若()(01)f x x x =<≤，求x R ∈时，函数)(x f 的解析式，并画出满足条件的函数)(x f 至少一个周期的图象。

6.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．

巩固练习：

1．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )

A ．(1,3)

B ．(－1,1)

C ．(－1,0)∪(1,3)

D ．(－1,0)∪(0,1)

2．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫121－x

，则：①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；

③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －3

. 其中所有正确命题的序号是________．

3．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，满足对任意t ∈R ，都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，1

2时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32的值等于( )A ．－12 B ．－13C ．－14 D ．－1

5

4．若偶函数y ＝f (x )为R 上的周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________．

5、（1）_____)1()(21

21)(=-++=x f x f a

a a x f x

x ）对称：，关于点（; （2）______)()(10122

1

4)(1=-++--=+x f x f x x f x x ）对称：，

关于（ （3）若),2()(x a f x f -=设个不同的实数根，则有n x f 0)(=

_________21=+++n x x x .

6．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .

(1)求f (3)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图像与x 轴所围成图形的面积．

7．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，

.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式.

8.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f ,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点.

9.已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()y f x =(11)x -≤≤是奇函数.又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-.

（1）证明：(1)(4)0f f +=；（2）求(),[1,4]y f x x =∈的解析式； （3）求()y f x =在[4,9]上的解析式.

10.已知)2

1

121()(+-=x x x f ，

（1）判断)(x f 的奇偶性；（2）证明：0)(>x f

11、定义在]11[，-上的函数)(x f y =是减函数，且是奇函数，若

0)54()1(2>-+--a f a a f ，求实数a 的范围。

12．（重庆文）已知定义域为R 的函数12()2x x b

f x a

+-+=+是奇函数。

（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式2

2

(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围。

复习题：