函数对称性与周期性几个重要结论赏析
函数对称性和周期性的一些重要结论
函数对称性和周期性的一些重要结论1.函数的对称性函数的对称性可以分为自对称和互对称。
其中，自对称指函数图像关于某一条直线对称，互对称指两个函数图像关于某一条直线对称。
自对称的函数满足以下条件：满足f(x) = f(-x)的函数y = f(x)的图像关于y轴对称，对称轴为x = 0.满足f(a+x) = f(a-x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = a对称。
互对称的函数满足以下条件：满足f(x) = f(2a-x)或f(-x) = f(2a+x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = a对称。
满足f(a+x) = f(b-x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = (a+b)/2对称。
满足f(a+wx) = f(b-wx)的函数y = f(x)的图像关于直线x = (b-a)/(2w)对称。
满足f(a+x) + f(b-x) = c的函数y = f(x)的图像关于直线x = (a+b)/2对称。
2.函数的周期性函数的周期性指函数满足f(x+T) = f(x)的性质，其中T为函数的周期。
常见的函数周期有以下几种：周期为T的函数，其图像在横轴上每隔T个单位长度就会重复一次。
周期为2T的函数，其图像在横轴上每隔2T个单位长度就会重复一次。
周期为2T的奇函数，其图像关于原点对称，即满足f(x+2T) = -f(x)。
周期为2T的偶函数，其图像关于y轴对称，即满足f(x+2T) = f(x)。
3.函数的一些结论周期为T的函数f(x)的平均值为f(x)在一个周期内的积分除以T。
两个周期为T的函数f(x)和g(x)满足f(x) + g(x) = c的解析式为f(x) = (c/2) + h(x)，g(x) = (c/2) - h(x)，其中h(x)为周期为T的函数。
如果y = f(x)和y = f(-x)的图像关于y轴对称，则f(x)为奇函数，其图像关于原点对称。
如果y = f(x)和y = f(-x) + b的图像关于y轴对称，则f(x)为奇函数，其图像关于原点上下平移b个单位。
函数对称性与周期性几个重要结论
函数对称性与周期性几个重要结论一、几个重要的结论（一）函数图象本身的对称性（自身对称）1、函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是 )(x f y =的图象关于直线 T x =对称。
2、函数 )(x f y =满足 )2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件是 )(x f y =的图象关于直线 T x =对称。
3、函数 )(x f y =满足 )()(x b f x a f -=+的充要条件是 )(x f y =图象关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称。
4、如果函数 )(x f y =满足 )()(11x T f x T f -=+且 )()(22x T f x T f -=+，（ 1T 和 2T 是不相等的常数），则 )(x f y =是以为 )(212T T -为周期的周期函数。
5、如果奇函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。
6、如果偶函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、曲线 )(x f y =与 )(x f y -=关于X 轴对称。
2、曲线 )(x f y =与 )(x f y -=关于Y 轴对称。
3、曲线 )(x f y =与 )2(x a f y -=关于直线 a x =对称。
4、曲线 0),(=y x f 关于直线 b x =对称曲线为 0)2,(=-y b x f 。
5、曲线 0),(=y x f 关于直线 0=++c y x 对称曲线为 0),(=----c x c y f 。
6、曲线 0),(=y x f 关于直线 0=+-c y x 对称曲线为 0),(=+-c x c y f 。
函数周期性与对称性常见结论
函数周期性与对称性常见结论函数周期性的定义：若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，都有f(x)=f(x+T)恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
函数的周期性同样可以从“形”的角度理解，在f(x)的图像中，任意两点(x，f(x))和(x+T，f(x+T))，横坐标方向上距离相差T的两个点，它们的纵坐标方向等高，即函数的图像会重复出现，因此函数具有一定的周期性，且函数的周期为T。
函数周期性重要说明(1)周期函数的定义域一定是无限集；(2)由周期函数的定义可知，0不能作为函数的周期；(3)如果T是f(x)是它的一个周期，那么-T也是f(x)的周期，即周期可以为负值；(4)如果T是f(x)是它的一个周期，那么nT也是f(x)的周期，即周期函数有无数个周期；(5)如果f(x)为周期函数，且所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期；(6)周期函数f(x)不一定含有最小正周期，如常数函数，它的周期为任意实数；函数对称性函数对称性的最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需分析函数一侧的性质即可，从而得到整个函数的性质。
主要体现在以下几点：(1)函数的定义域关于对称轴或者对称中心对称；(2)可利用对称性求得某些点的函数值；(3)在作图时，只需要作出一侧的图像，另外一侧利用对称性即可画出；(4)极值点关于对称轴或者对称中心对称；(5)在轴对称的函数中，关于对称轴对称的两个单调区间的单调性是相反的；在中心对称的函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同。
轴对称函数轴对称的定义：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
中心对称函数中心对称定义：如果一个函数的图像沿一个点旋转180°，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
新人教版高考数学一轮复习对称性与周期性的二级结论
故f(x)=0在[0,10]和[-10,0]上均有两个解,从而可知在[0,2 023]上有406个解,在[-2
023,0]上有404个解.所以方程f(x)=0在闭区间 −2 023,2 023 上根的个数为810.
复习导学案
培优增分 拓展提升课三
对称性与周期性的二级结论
2
【结论总结】
一、函数的对称性相关结论
1.同一个函数的自身对称
结论❶:若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)或f(x)=f(a+b-x),则函数y=f(x)的图象关于直
+
线x= 对称.
2
[说明]轴对称问题:
( + ) = (−)
2
结论❹:函数y=f(x)与y=-f(2a-x)+2b的图象关于点A(a,b)成中心对称.
5
二、函数周期性的结论
1.函数周期性的常用结论
结论❺:若f(x+a)=f(x-a),则f(x)的一个周期为2a;
结论❻:若f(x+a)=-f(x),则f(x)的一个周期为2a;
结论❼:若f(x+a)+f(x)=c(a≠0),则f(x)的一个周期为2a;
结论❽:若f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),则f(x)的一个周期为6a;
结论❾:若f(x+a)=
1
()
结论
:若f(x+a)=-
,则f(x)的一个周期为2a;
1
()
,则f(x)的一个周期为2a.
6
2.由对称性推得周期
结论
函数奇偶性、对称性与周期性有关结论
函数奇偶性、对称性与周期性奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。
一、几个重要的结论（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）2、)2()(x a f x f -=⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
3、)2()(x a f x f +=-⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
4、)()(x b f x a f -=+⇔)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称。
5、b x a f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
6、b x a f x f 2)2()(=-+⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
7、b x a f x f 2)2()(=++-⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
8、c x b f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称。
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。
2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称 即直线2a b x -=对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。
6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。
7、函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称（三）函数的周期性1、)()(x f T x f =+⇔)(x f y =的周期为T2、)()(b x b f a x f ++=+)(b a <⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x =（)b a <⇔)(x f y =周期)(2a b T -=11、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ⇔)(x f y =周期)(2a b T -=12、)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ⇔)(x f y =周期)(4a b T -=13、奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y =周期a T 4=。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论直线Ax By ^0成轴对称;2Ax By C =0成轴对称。
9, y_2B(A X + B 罗C))= o 关于直线③ F (x, y) = 0与F (x _经A 二二2 A 2 B 2Ax ? By ? C =0成轴对称。
、函数对称性的几个重要结论(一)函数y = f(x)图象本身的对称性(自身对称)若f(x a^_f(x b)，则f(x)具有周期性；若f (a ?x)=：「f(b -x)，则f (x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、f(a+x) = f(b —x) u y = f(x)图象关于直线 x =l a Z x LL (b _x) =a ￡b 对称2 2推论1: f (a ? x) = f (a - x) = y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称推论2、f (x) = f (2a - x) = y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称推论3、f(-x)二f (2a ? x) ：= y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称2、 f(a+x) + f (b —x) =2c 二y=f(x)的图象关于点(兰匕c)对称2推论 1、f (a ? x) ? f (a -x) = 2b ：= y = f (x)的图象关于点(a,b)对称推论2、f (x) ? f (2a - x) = 2b ：= y = f (x)的图象关于点(a,b)对称推论3、f (-x) ? f(2a ? x) =2b = y = f(x)的图象关于点(a,b)对称(二)两个函数的图象对称性(相互对称) (利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、偶函数y =f(x)与y = f(-x)图象关于Y 轴对称2、奇函数y =f(x)与y 二-f(-x)图象关于原点对称函数3、函数y = f (x)与y - - f (x)图象关于X 轴对称4、互为反函数y 二f (x)与函数y 二f'(x)图象关于直线y =x 对称② 函数…(x)与一2驚￥。
函数的对称性和周期性结论总结
函数的对称性和周期性结论总结函数是数学中最基础的概念，它是描述两个数量之间关系的方程。
函数的对称性和周期性是函数的重要性质，它们的研究可以帮助我们理解更多有关函数的属性。
本文综述了函数的对称性和周期性的结论，以及它们在实际应用中的重要性。
首先，让我们看看函数的对称性。
函数的对称性是指函数的曲线在某些特定的平行线上具有相同的形状，或者说函数曲线具有对称性。
函数的对称性可以分为三类：对称、半对称和反对称。
称类型的函数具有正负对称性，这意味着函数的曲线在直线上的形状是完全一样的。
半对称的函数具有正值或负值的对称性，这意味着函数的曲线在正负一侧的形状是一样的。
反对称的函数具有不正或不负的对称性，这意味着它的曲线在正负一侧的形状是不一样的。
因此，函数的对称性是指函数曲线在一些特定的平行线上具有特定的形状特性。
其次，让我们看看函数的周期性。
函数的周期性是指函数曲线在某一特定的时间间隔内重复出现的性质。
一般情况下，函数的周期性可以用来表示这个时间间隔中某些特征的变化。
一般来说，函数的周期性也可以用来描述函数曲线在一定时间内变化的情况。
函数的周期性主要包括正弦周期性、余弦周期性、正弦余弦和正弦角周期性。
正弦周期性是指，函数曲线在特定间隔内变化如正弦函数曲线一样，产生正弦波形。
余弦周期性是指，函数曲线在特定间隔内变化如余弦函数曲线一样，产生余弦波形。
正弦余弦型是指，函数曲线同时包含正弦和余弦波形，在特定间隔内变化如正弦余弦数列一样。
正弦角周期性的特点是，函数曲线在特定间隔内变化如正弦角函数一样，产生正弦角波形。
最后，让我们看看函数对称性和周期性在实际应用中的重要性。
函数对称性和周期性都在很多领域中有广泛的应用，如物理学、机械工程和电子信息等。
物理学中，函数的对称性和周期性可用于研究力学系统的运动，从而有助于我们更好地理解动力学中的某些问题。
在机械工程中，函数的对称性和周期性对计算机的性能也有很大的影响，可以帮助我们更好地把握计算机的运行状态。
抽象函数的对称性 ——点,直线,周期
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
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函数对称性与周期性几个重要结论赏析
对称性和周期性是函数的两个重要性质，下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。
一、 几个重要的结论
（一）函数图象本身的对称性（自身对称）
1、函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。
2、函数)(x f y =满足)2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。
3、函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+的充要条件是)(x f y =图象关于直线2
2)()(b a x b x a x +=-++=对称。
4、如果函数
)(x f y =满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数。
5、如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。
6、如果偶函数
)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
1、曲线
)(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。
2、曲线)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。
3、曲线)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。
4、曲线0),(=y x f 关于直线b x =对称曲线为0)2,(=-y b x f 。
5、曲线0),(=y x f 关于直线0=++c y x 对称曲线为0),(=----c x c y f 。
6、曲线0),(=y x f 关于直线0=+-c y x 对称曲线为0),(=+-c x c y f 。
7、曲线0),(=y x f 关于点),(b a P 对称曲线为0)2,2(=--y b x a f 。
二、试试看，练练笔
1、定义在实数集上的奇函数
)(x f 恒满足)1()1(x f x f -=+，且)0,1(-∈x 时, 512)(+=x x f ,则=)20(log 2f ________。
2、已知函数)(x f y =满足0)2()(=-+x f x f ，则)(x f y =图象关于__________对称。
3、函数)1(-=x f y 与函数)1(x f y -=的图象关于关于__________对称。
4、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=-，则)(x f y =的图象关于__________
对称。
5、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=+，则)1(+=x f y 的图象关于__________对称。
)(x f y =图象关于__________对称。
6、设)(x f y =的定义域为R ，且对任意R x ∈，有)2()21(x f x f =-，则)2(x f y =图象关于__________对称，)(x f y =关于__________对称。
7、已知函数)(x f y =对一切实数x 满足)4()2(x f x f +=-，且方程0)(=x f 有5个实根，则这5个实根之和为（ ）
A 、5
B 、10
C 、15
D 、18
8、设函数
)(x f y =的定义域为R ，则下列命题中，①若)(x f y =是偶函数，则)2(+=x f y 图象
关于y 轴对称；②若
)2(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =图象关于直线2=x 对称；③若
)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线2=x 对称；④)2(-=x f y 与)2(x f y -=图象关于直线2=x 对称，其中正确命题序号为_______。
9、函数)(x f y =定义域为R ，且恒满足)2()2(x f x f -=+和)6()6(x f x f -=+，当
62≤≤x 时，x x f 2
12)(-=，求)(x f 解析式。
10、已知偶函数)(x f y =定义域为R ，且恒满足)2()2(x f x f -=+，若方程0)(=x f 在[]4,0上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间(]10,8-中的根。
附参考答案：
1T ：1- 2T ：)0,1( 3T ：1=x 4T ：y 轴即0=x 5T ：①y 轴②1=x
6T ：①41=x ②2
1=x 7T ：C 8T ：②④ 9T ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+≤≤++--∈+≤≤--=),6828(2)8(2
1),2828()8(21)(Z k k x k k x Z k k x k k x x f 10T ：方程的根为1086420246、、、、、、、、---共9个根。