高考数学复习专题函数的对称性与周期性

第5炼 函数的对称性与周期性

一、基础知识

（一）函数的对称性

1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称

2、轴对称的等价描述：

（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）

（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2

a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2

a b x +=为所给对称轴即可。例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便

（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。 ① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：

若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦

② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。

3、中心对称的等价描述：

（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数）

（2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭

轴对称 在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是

等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2

a b x +=为所给对称中心即可。例如：()f x 关于()1,0-中心对称()()2f x f x ⇒=---，或得到()()35f x f x -=--+均可，同样在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便

（3）()f x a +是奇函数，则()()f x a f x a +=--+，进而可得到：()f x 关于(),0a 轴对称。

① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相反，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：

若()f x 是奇函数，则()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦：()f x 是奇函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦

② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是奇函数，则()f x a +关于()0,0中心对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于(),0a 对称。

4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：

（1）可利用对称性求得某些点的函数值

（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像

（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称

（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同

（二）函数的周期性

1、定义：设()f x 的定义域为D ，若对x D ∀∈，存在一个非零常数T ，有()()f x T f x +=，则称函数()f x 是一个周期函数，称T 为()f x 的一个周期

2、周期性的理解：可理解为间隔为T 的自变量函数值相等

3、若()f x 是一个周期函数，则()()f x T f x +=，那么()()()2f x T f x T f x +=+=，即2T 也是()f x 的一个周期，进而可得：()kT k Z ∈也是()f x 的一个周期

4、最小正周期：正由第3条所说，()kT k Z ∈也是()f x 的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数()f x C =

5、函数周期性的判定：

（1）()()f x a f x b +=+：可得()f x 为周期函数，其周期T b a =-

（2）()()()f x a f x f x +=-⇒的周期2T a =

分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：()()2f x a f x a +=-+ 所以有：()()()()()2f x a f x a f x f x +=-+=--=，即周期2T a =

注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期

（3）()()

()1f x a f x f x +=⇒的周期2T a = 分析：()()()

()1121

f x a f x f x a f x +===+ （4）()()f x f x a k ++=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a =

分析：()()()(),2f x f x a k f x a f x a k ++=+++=，两式相减可得：()()2f x a f x +=

（5）()()f x f x a k ⋅+=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a =

（6）双对称出周期：若一个函数()f x 存在两个对称关系，则()f x 是一个周期函数，具体情况如下：（假设b a >）

① 若()f x 的图像关于,x a x b ==轴对称，则()f x 是周期函数，周期()2T b a =- 分析：()f x 关于x a =轴对称()()2f x f a x ⇒-=+

()f x 关于x b =轴对称()()2f x f b x ⇒-=+

()()22f a x f b x ∴+=+ ()f x ∴的周期为()222T b a b a =-=-

② 若()f x 的图像关于()(),0,,0a b 中心对称，则()f x 是周期函数，周期()2T b a =- ③ 若()f x 的图像关于x a =轴对称，且关于(),0b 中心对称，则()f x 是周期函数，周期()4T b a =-

7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质。

（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值