函数的周期性和对称性(解析版)

专题二：函数的周期性和对称性

【高考地位】

函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。 【方法点评】

一、函数的周期性求法 使用情景：几类特殊函数类型

解题模板：第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 准确求出函数的周期性； 第三步 运用函数的周期性求解实际问题. 例1 (1) 函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)

(1

)2(x f x f =

+，若5)1(-=f ，则=))5((f f （ ） A ．5- B ．5 C ．51 D ．5

1- 【答案】D

考点：函数的周期性．

(2) 已知()x f 在R 上是奇函数，且满足()()x f x f -=+5，当()5,0∈x 时，()x x x f -=2

，则()=2016f （ ）

A 、-12

B 、-16

C 、-20

D 、0 【答案】A

试题分析：因为()()5f x f x +=-，所以()()()105f x f x f x +=-+=，()f x 的周期为10，因此

()()()()20164416412f f f =-=-=--=-，故选A ．

考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式及单调性．

【点评】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．(2)求函数周期的方法

【变式演练1】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ） A ．3- B ．0 C ．1 D ．3 【答案】B

【变式演练2】定义在R 上的函数()f x 满足()()[)20,0,2f x f x x ++=∈时，()31x

f x =-，则()2015f 的值为（ ）

A.-2

B.0

C.2

D.8 【答案】A

试题分析： 由已知可得⇒=+-=+)()2()4(x f x f x f ()f x 的周期⇒=4T ()2015f ==)3(f

2)1(-=-f ，故选A.考点：函数的周期性.

【变式演练3】定义在R 上的偶函数()y f x =满足(2)()f x f x +=-，且在[2,0]x ∈-上为增函数，3

()2

a f =，

7

()2b f =，12

(log 8)c f =，则下列不等式成立的是（ ）

A ．a b c >>

B ．b c a >>

C ．b a c >>

D ．c a b >> 【答案】B

试题分析：因为定义在R 上的偶函数()y f x =在[2,0]x ∈-上为增函数，所以在[0,2]x ∈上单调递减，又

(4)()f x f x +=，所以()()12

71(),(log 8)3122b f f c f f f ⎛⎫

====-= ⎪⎝⎭，又13122<<，所以b c a >>．

考点：1．偶函数的性质；2．函数的周期性． 二、函数的对称性问题 使用情景：几类特殊函数类型 解题模板：记住常见的几种对称结论：

第一类 函数)(x f 满足()()f x a f b x +=-时，函数()y f x =的图像关于直线2a b

x +=

对称； 第二类 函数)(x f 满足()()c f x a f b x ++-=时，函数()y f x =的图像关于点(,)22

a b c

+对称；

第三类 函数()y f x a =+的图像与函数()y f b x =-的图像关于直线2

b a

x -=对称.

例2 ．（从对称性思考）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ) A ．3- B ．0 C ．1 D ．3 【答案】B

【易错点晴】函数()f x 满足),(-)-(x f x f =则函数关于）

，（00中心对称，(3)()f x f x -=,则函数关于3

2

=x 轴对称，常用结论：若在R 上的函数()f x 满足)()(),()(x b f x b f x a f x a f +-=+-=+，则函数)(x f 以||4b a -为周期.

本题中，利用此结论可得周期为63

2

-

04=⨯，进而(2019)(3)f f =，)3(f 需要回到本题利用题干条件赋值即可. 例3 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫

-

⎪⎝⎭

对称, 且满足()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝

⎭,又

()()11,02f f -==-,则()()()()123...2008f f f f ++++=（ ）

A ．669

B ．670

C ．2008

D ．1 【答案】D

试题分析：由()32f x f x ⎛

⎫

=-+

⎪⎝⎭

得()()3f x f x =+，又()()11,02f f -==-， (1)(13)(2)f f f ∴-=-+=，(0)(3)f f =，()f x 的图象关于点3,04⎛⎫

- ⎪⎝⎭对称，所以

()113

1()()(1),(1)(2)(3)0222

f f f f f f f -=--=-+=∴++=，由()()3f x f x =+可得

()()()()()()()123...2008669(123)(1)(1)(1)1f f f f f f f f f f ++++=⨯+++==-=，故选D.

考点：函数的周期性；函数的对称性． 例4 已知函数2

1

()(,g x a x

x e e e

=-≤≤为自然对数的底数）与()2ln h x x =的图像上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21[1,

2]e + B ．2[1,2]e - C ．221[2,2]e e +-

D ．2

[2,)e -+∞ 【答案】B

考点：利用导数研究函数的极值；方程的有解问题.

【变式演练4】定义在R 上的奇函数)(x f ，对于R x ∈∀，都有)4

3

()43(

x f x f -=+，且满足2)4(->f ，m f 3

)2(-

=，则实数m 的取值范围是 .