喀兴林高等量子力学EX3、4、5
关于原子的电子组态、谱项和精细结构
关于原⼦的电⼦组态、谱项和精细结构\def\vec#1{\boldsymbol{#1}}\def\t#1{\text{#1}}\def\bra#1{\langle#1|}\def\ket#1{|#1\rangle}\def\dirac#1#2{\langle#1|#2\rangle}参考了《原⼦结构理论》(黄时中), 《⾼等量⼦⼒学》(喀兴林), 《物理学中的群论》(Joshi), 《原⼦结构的量⼦理论II》(Slater)。
第⼀本书推导⼗分⼗分详细, 但不提群论。
⽤群论会很直观简洁, 在最后⼀本书第19章有。
可能有错, 姑妄⾔之。
2019-09-30修改。
补充了j-j耦合。
对于单个具有n个电⼦的原⼦, 如果把原⼦核视为⼀个电荷Z的点电荷且不考虑⾃旋(忽略旋-轨耦合和超精细结构), 则⾮相对论的 Schrodinger ⽅程写为\left[\sum_{i=1}^n\left(-\frac{1}{2}\nabla^2_i-\frac{Z}{r_i}\right)+\frac{1}{2}\sum_{i\neq j}\frac{1}{r_{ij}}\right]\Psi(x_1,\cdots,x_N)=E\Psi(x_1,\cdots,x_n)上式左边为系统哈密顿, x_i包含了i电⼦的空间坐标和⾃旋坐标。
Hartree ⽅程和 Hartree-Fock ⽅程Hartree⽅程可以从直觉得到。
先假设多电⼦态写为\Psi=\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)\cdots\psi_n(x_n), 现在要得出各个电⼦的态所满⾜的⽅程。
考虑两电⼦之间的库仑排斥能, 则可以写出各个单电⼦态满⾜的⽅程(组)\left[-\frac{1}{2}\nabla^2_i-\frac{Z}{r_i}+\sum_{i\neq j}\int\frac{|u_j(\vec{r}_j)|^2}{r_{ij}}\text{d}^3\vec{r}_j\right]u_i(\vec{r}_i)=\lambdau_i(\vec{r}_i)其中u_i(x_i)是\psi_i(x_i)的空间部分, 或者说\psi_j(x_i)=u_j(\vec{r}_i)\chi_{j}(\sigma_i), ⽽\chi是⾃旋部分, 这⾥j是态编号, i是电⼦编号。
高等量子力学 教材 喀兴林 sakurai
《探究高等量子力学教材：以喀兴林（sakurai）为例》一、引言在物理学习的道路上，量子力学可谓是一道坎。
它的复杂性和抽象性，常常让学习者望而生畏。
然而，高等量子力学教材的选择对于学习者来说至关重要。
本文将以喀兴林（sakurai）为例，探讨高等量子力学教材的特点和价值。
二、丰富多彩的量子世界喀兴林以其严谨的逻辑和深度的物理内涵而著称，其中所阐释的量子理论更是广为学者所推崇。
在量子理论的世界中，我们能够领略到电子、光子、原子核及其它微观粒子的奇妙世界。
而喀兴林教材娴熟地展现了这一世界的精巧和美妙。
三、探究喀兴林教材的深度喀兴林教材以数学严谨而著称，其中不乏对于量子力学相关数学工具的深入探讨。
从线性代数到泛函分析，在阅读喀兴林教材的过程中，我们不仅能够更好地理解量子力学的物理内涵，而且还能够感受到数学在物理中的重要性。
四、喀兴林教材的广度与实用性除了深度之外，喀兴林教材在广度上也别具特色。
它不仅囊括了量子力学的基本原理和基础知识，还涵盖了许多前沿领域的最新进展。
这为学习者提供了一个更为完整的量子力学知识体系，能够更好地拓展学习者的视野和思维方式。
五、喀兴林教材的个人理解与观点在喀兴林教材的阅读和学习过程中，我迷恋于其中所蕴含的严密逻辑和博大精深的物理内涵。
我深信，只有通过深入学习这样一本高质量、深度和广度兼具的教材，才能够更好地领略量子力学的奥妙。
六、总结与回顾通过对喀兴林教材的全面评估和探究，我们更加全面、深刻地理解了量子力学这一高深领域。
喀兴林教材的独特特色，无疑为学习者提供了一个深入学习量子力学的重要途径。
总结：喀兴林教材作为高等量子力学教材的代表，在深度和广度上都有着突出的表现。
通过深入学习这样一本教材，我们能够更好地理解量子力学的奥秘，提升自己的物理素养和思维方式。
相信在未来的学习和研究中，喀兴林教材将为我们指引新的方向，开启新的视野。
七、喀兴林教材对量子力学学习者的启发喀兴林教材所展现的深度和广度，对于量子力学学习者而言，无疑是一种极大的启发和激励。
喀兴林高等量子力学习题EX12-18
练习 12.1. 一维谐振子受微扰21X H ε=的问题，使有严格解的，试仿照正文中的方法，在薛定谔绘景中用近似的方法讨论这一问题，并将结果与严格解比较。
（解答人：李泽超 核对人：熊凯） 解：由题意得：受微扰的一维谐振子的哈密顿量是：()1......................................................................10H H H += ()()2.......21212212220⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=+++AA A A AA X m P m H ωωω ()()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=-=+=+++A A m i P A A m X iP X m m A iP X m m A 222121 ωωωωωω()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=+==+++++ωεττωεεm AA AA A A A A A A m X H 23.........2221谐振子从0=t 时刻起其状态满足薛定谔方程：()()()4.......................................:,10H H H t H t ti +==∂∂其中ψψ0H 的含时本征矢量的展开为：()()()5...........................................21exp ∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=jj t a t j i j t ωψ ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t m i t mt a m ωψ21exp微扰1H 的矩阵元为j H i ，具体的形式为：j AA AA A A A A i j H i +++=++++ τ利用算符A A 和+对本征矢量函数的；上升和下降的性质，得：()()()()()()6..................2121,2,,2j i j i j i i i i i i j H +-+++++-=δδδτ 采用微扰方法近似解薛定谔方程时，薛定谔方程可一化为下式： ()()()()7......................................exp 1t a j H t E E i t a t i j S jj i i ∑⎪⎭⎫⎝⎛-=∂∂将（6）式带入（7）式可得到在题意条件下的微扰方程的表达形式如下：()()()()()()()()()8..21121exp ,2,,2t a i i i i i t E E i t a t i j jj i j i j i j i i ∑+-+++++-⎪⎭⎫⎝⎛-=∂∂δδδτ经化简得：()()()()()()()()()()()()9...212exp 122exp 122t a i i t i t a i t a t i i i i t a dtdi i i i +-++-++--=⇒ωωτ将()t a i 的已知的低级的近似()()t a n i 代入方程的右边，即可以解出高一级的近似()()t a n i 1+。
喀兴林高等量子力学
《嘿，说说那让人头疼的喀兴林高等量子力学》嘿，你知道喀兴林高等量子力学不？一开始我可完全不知道这是啥玩意儿呢。
有一天，我和我的好朋友小明、小花一起去图书馆自习。
我们找了个安静的角落坐下，正准备开始学习呢，突然看到旁边一个学霸模样的同学桌上放着一本厚厚的书，书名是《喀兴林高等量子力学》。
“哇，这是啥书呀？” 小花好奇地问。
我们凑过去仔细瞧。
小明瞪大了眼睛说：“这书名听起来就好高深莫测啊。
” 我也点头说：“是啊，感觉好厉害的样子。
” 这时候，那个学霸同学抬起头来，看到我们好奇的样子，笑了笑说：“这是一本关于量子力学的书哦。
” 我们仨面面相觑，异口同声地问：“啥？量子力学？那是啥东西呀？”学霸同学解释说：“量子力学啊，就是研究微观世界的一门学问。
这本喀兴林高等量子力学可是很有深度的呢。
” 我们还是不太明白。
小明挠挠头说：“哎呀，听不太懂呢。
微观世界是啥样的呀？” 学霸同学想了想说：“就比如说，原子、电子那些小小的东西，它们的行为跟我们平常看到的东西可不一样哦。
”小花又问：“那这本书难不难看呀？” 学霸同学笑了笑说：“挺有难度的呢，不过要是对物理感兴趣，认真看还是能学到很多东西的。
” 我们又在那儿聊了一会儿量子力学，虽然还是一知半解，但觉得很神奇。
后来，我们回到自己的座位上，还在讨论那本喀兴林高等量子力学。
“你说我们以后会不会也学量子力学呀？” 我问。
小明说：“那肯定很难吧。
” 小花笑着说：“哈哈，不过要是学会了肯定很厉害。
”嘿，这次在图书馆看到喀兴林高等量子力学这本书，让我们对神秘的量子力学有了点好奇。
虽然我们现在还不是很明白量子力学的全部奥秘，但感觉这是个很有趣的东西呢。
以后要是再看到关于量子力学的书，我肯定会想起这次好玩的经历。
高等量子力学喀兴林答案
高等量子力学喀兴林答案【篇一：量子力学】03 1309050325 吴富贤摘要:给出了不同学者关于量子力学态叠加原理的几种表述,分析比较了关于该原理的有关观点的争议,并对其中的原因进行了讨论，与此同时，也对量子力学在其它方面的应用进行了表述。
关键词:量子态;态叠加原理;量子力学基本问题；量子力学的应用。
一．引言：量子态的叠加原理是量子力学中一个重要的原理.但是在目前量子力学的一些专著和教科书中对这一原理的表述方式却是多种多样的,其中存在不少有争议的问题。
对一些有关的问题进行讨论,并提出一种新的关于这一原理的表述方式的建议。
同时量子力学是现代物理学的两大支柱之一,是20 世纪基础物理学取得的两大成就之一,是反映微观粒子运动规律的理论.量子力学态叠加原理(以下简称态叠加原理)是量子力学的一个基本原理,在量子力学理论体系中占有相当重要的地位.虽然量子力学诞生至今已近80年了,叠加原理也得到了一系列实验的证明,如电子衍射实验、中子干涉实验、电子共振俘获等,但时至今日,人们对态叠加原理的认识却仁者见仁、智者见智.本文对这个问题进行了比较、分析和讨论还对量子力学的应用和发展进行了一些研究。
二．正文：原理的表述在量子力学发展史上,尤其是现行的量子力学专著或教材里,不同的学者对态叠加原理进行了不同的描述.我们选择国内外3种比较典型的说法作一下简单介绍.（1）狄拉克的表述据说,狄拉克1930年在《量子力学原理》一书的初版里,首次系统地论述了量子力学里的态叠加原理.他在此书第一章“态叠加原理”里[4],先是正确地强调了态叠加原理的物理意义:“量子力学的叠加的一般原理,应用于任何一个动力学系统的态.”“把一个态表示成为一些其他态的叠加的结果,那是一种数学运算,总是可以允许的,??然而,这种运算是否有用,取决于所研究问题的特殊物理条件.” 可是,狄拉克接着是这样讲解“叠加过程的非经典本性”的:“我们考虑两个态a和b的叠加,这两个态的性质是??当观察处在态a的系统时,肯定得出一个特定的结果,比方说是a;而当观察处在态b的系统时,则肯定得出一个不同的结果,比方说是b.当观察处在叠加态的系统时??所得到的结果将有时是a,有时是b??而决不会既不是a,又不是b.”然而,狄拉克在这里讲的,不正是对于所有普通统计学都适用的规则吗?例如,一个年级有两个班,a班的年龄分布是集合{a},b班的年龄分布是另一个集合{b}.那么全年级的年龄分布不就是{a}与{b}这两个集合的和集吗?亦即是说,全年级任何一位同学的年龄,都决不会既不属于{a},又不属于{b}.这哪里是什么“非经典本性”呢?由于狄拉克在这里没有把握住量子力学里的态叠加原理的要领,在接下来的一句关于“由叠加而成的态的中间性质”的论断里,就难免出了点毛病[5,6].他自己也不得不为此加了一处脚注,承认他的结论没有普遍性,它的成立是“有一些限制”的.总而言之,在狄拉克书中的第一章里,还没有引入概率幅这个概念,因而不可能讲清楚量子力学里的态叠加原理.可以这样说,在这一章里,还没有进入到量子力学（2）朗道的表述（3）喀兴林的表述态叠加原理对态叠加原理的表述我们还可以列出许多.从这些不同表述中可以看出学者们关于以下几个方面的观点是一致的（1）关于态和态函数的表述基本上大多数人们都认为体系的态(运动状态或状态的简称)是指一个体系的每一种可能的运动方式,即在受到独立的、互不矛盾和完全的条件限制下而确定的每一种运动方式.与宏观体系的运动状态的确定是决定性的相对立,微观体系的运动状态的确定是非决定性的、统计性的,称微观体系的态为量子态.量子态由希尔伯特空间中的矢量表征,称为态矢量.希尔伯特空间又称为态矢量空间或态空间（2）态叠加原理的基本内容（3）量子叠加与经典、数学叠加的区别经典物理中也有叠加原理,例如波的叠加、矢量的叠加等,它们与量子力学里的态叠加原理形式上有相似之处,但实质内容不同.首先经典矢量叠加是物理量的叠加,遵循平行四边形法则;而态矢量无明显的物理意义,且完全由希尔伯特空间中的矢量方向决定,与矢量长度无关.经典波的叠加是两列或多列波的叠加,量子态叠加则是同一体系的两个或多个同时可能的运动状态的叠加.其次,量子态叠加也不同于数学上将体系的一个波函数按一个基函数完备组展开.后者要求基函数完备,但量子叠加不需要相叠加的波函数完备。
高等量子力学喀兴林答案
高等量子力学喀兴林答案【篇一：量子力学】03 1309050325 吴富贤摘要:给出了不同学者关于量子力学态叠加原理的几种表述,分析比较了关于该原理的有关观点的争议,并对其中的原因进行了讨论，与此同时，也对量子力学在其它方面的应用进行了表述。
关键词:量子态;态叠加原理;量子力学基本问题；量子力学的应用。
一．引言：量子态的叠加原理是量子力学中一个重要的原理.但是在目前量子力学的一些专著和教科书中对这一原理的表述方式却是多种多样的,其中存在不少有争议的问题。
对一些有关的问题进行讨论,并提出一种新的关于这一原理的表述方式的建议。
同时量子力学是现代物理学的两大支柱之一,是20 世纪基础物理学取得的两大成就之一,是反映微观粒子运动规律的理论.量子力学态叠加原理(以下简称态叠加原理)是量子力学的一个基本原理,在量子力学理论体系中占有相当重要的地位.虽然量子力学诞生至今已近80年了,叠加原理也得到了一系列实验的证明,如电子衍射实验、中子干涉实验、电子共振俘获等,但时至今日,人们对态叠加原理的认识却仁者见仁、智者见智.本文对这个问题进行了比较、分析和讨论还对量子力学的应用和发展进行了一些研究。
二．正文：原理的表述在量子力学发展史上,尤其是现行的量子力学专著或教材里,不同的学者对态叠加原理进行了不同的描述.我们选择国内外3种比较典型的说法作一下简单介绍.（1）狄拉克的表述据说,狄拉克1930年在《量子力学原理》一书的初版里,首次系统地论述了量子力学里的态叠加原理.他在此书第一章“态叠加原理”里[4],先是正确地强调了态叠加原理的物理意义:“量子力学的叠加的一般原理,应用于任何一个动力学系统的态.”“把一个态表示成为一些其他态的叠加的结果,那是一种数学运算,总是可以允许的,??然而,这种运算是否有用,取决于所研究问题的特殊物理条件.” 可是,狄拉克接着是这样讲解“叠加过程的非经典本性”的:“我们考虑两个态a和b的叠加,这两个态的性质是??当观察处在态a的系统时,肯定得出一个特定的结果,比方说是a;而当观察处在态b的系统时,则肯定得出一个不同的结果,比方说是b.当观察处在叠加态的系统时??所得到的结果将有时是a,有时是b??而决不会既不是a,又不是b.”然而,狄拉克在这里讲的,不正是对于所有普通统计学都适用的规则吗?例如,一个年级有两个班,a班的年龄分布是集合{a},b班的年龄分布是另一个集合{b}.那么全年级的年龄分布不就是{a}与{b}这两个集合的和集吗?亦即是说,全年级任何一位同学的年龄,都决不会既不属于{a},又不属于{b}.这哪里是什么“非经典本性”呢?由于狄拉克在这里没有把握住量子力学里的态叠加原理的要领,在接下来的一句关于“由叠加而成的态的中间性质”的论断里,就难免出了点毛病[5,6].他自己也不得不为此加了一处脚注,承认他的结论没有普遍性,它的成立是“有一些限制”的.总而言之,在狄拉克书中的第一章里,还没有引入概率幅这个概念,因而不可能讲清楚量子力学里的态叠加原理.可以这样说,在这一章里,还没有进入到量子力学（2）朗道的表述（3）喀兴林的表述态叠加原理对态叠加原理的表述我们还可以列出许多.从这些不同表述中可以看出学者们关于以下几个方面的观点是一致的（1）关于态和态函数的表述基本上大多数人们都认为体系的态(运动状态或状态的简称)是指一个体系的每一种可能的运动方式,即在受到独立的、互不矛盾和完全的条件限制下而确定的每一种运动方式.与宏观体系的运动状态的确定是决定性的相对立,微观体系的运动状态的确定是非决定性的、统计性的,称微观体系的态为量子态.量子态由希尔伯特空间中的矢量表征,称为态矢量.希尔伯特空间又称为态矢量空间或态空间（2）态叠加原理的基本内容（3）量子叠加与经典、数学叠加的区别经典物理中也有叠加原理,例如波的叠加、矢量的叠加等,它们与量子力学里的态叠加原理形式上有相似之处,但实质内容不同.首先经典矢量叠加是物理量的叠加,遵循平行四边形法则;而态矢量无明显的物理意义,且完全由希尔伯特空间中的矢量方向决定,与矢量长度无关.经典波的叠加是两列或多列波的叠加,量子态叠加则是同一体系的两个或多个同时可能的运动状态的叠加.其次,量子态叠加也不同于数学上将体系的一个波函数按一个基函数完备组展开.后者要求基函数完备,但量子叠加不需要相叠加的波函数完备。
喀兴林高等量子力学习题EX2.算符
兴林高等量子力学习题EX2.算符EX2.算符2.1证明下列常用公式 （陈玉辉解答 项鹏核对 ） （1）C B A C A B BC A ],[],[],[+= 证明： CB AC A B C BA AB CA AC B BAC ABC BCA BAC BCAABC BC A ],[],[][][],[+=-+-=-+-=-= （2）B C A C B A C AB ],[],[],[+= 证明：BC A C B A B CA AC CB BC A CAB ACB ACB ABC CABABC C AB ],[],[][][],[+=-+-=-+-=-=2.2 若算符B 与],[B A 对易，证明： （陈玉辉解答 项鹏核对 ）],[],[1B A nB B A n n -=证明：],[],[],[],[111---+=⋅=n n n n B A B B B A B B A B A 将n 换成（n-1）,就有],[],[],[221---+=n n n B A B B B A B A],[],[2],[],[],[],[2212211-----+=++=⇒n n n n n n B A B B B A B A B B B A B B A B A重复这种递推过程（n-1）次，即得],[],[],)[1(],[],)[1(],[111)1(11B A nB B A B B B A n B A B B B A n B A n n n n n n n n -------=+-=+-=#练习2.3 证明： （输入人：杜花伟 核对人：王俊美）（1）若A 有逆，a ≠0，则aA 也有逆，且111)(--=A a aA ；（2）若A,B 都有逆，则AB 也有逆，且111)(---=A B AB ； （3）})(1{)(111---+-=+B A B A B A ；（4）⋅⋅⋅+++=--------11121111)(BA BA A BA A A B A λλλ.(λ为复数); 证明：（1）若A 有逆，a ≠0，满足1,111==--aa AA ，则 11111==----AA aa A aAa 所以aA 有逆,且111)(--=A aaA . (2) 若A,B 都有逆,满足1,111==--BB AA ,则 1111==---AA A ABB 所以AB 有逆,且111)(---=A B AB . (3)})(1{})())({(}))({(})({)()(111111111111------------+-=+-++=+-+=+=+=+B A B A B A B B A B A A B A B B A A B A A A B A A A B A(4) 由于1)1(--χ（x 极小,即x →0时）展为级数: ⋅⋅⋅++++=--3211)1(χχχχ故(⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅+++=-=-=----------------111211*********11)1()1()]1([)(BA BA A BA A A BA BA BA A BA A BA A B A λλλλλλλ#2.4 若线性算符A 有逆，{|μ>}（i=1,2,3,…，n ）是A 的有限维的定义域的中的一组完全集。
喀兴林高等量子力学习题6、7、8
练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}ia 展开的（6.1）式中，证明若ψ是归一化的，则1=∑*iii cc ，即A 取各值的概率也是归一化的。
（杜花伟）证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。
根据(6.1)式∑=ii ic aψ, ψi i a c =可得1===∑∑*ψψψψi ii i ii a a c c即A 取各值的概率是归一化的。
#练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变.(2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美）(1)证明：在定态中i E i H i = , 3,2,1=i 则()t E i i i i t-=ψ所以i A i ei A e A t E i t E i i i ==-ψψ.即所有物理量的平均值不随时间变化.(2)两个定态的叠加不一定是定态.例如()()()t E i t E i ex v ex u t x 21,--+=ψ当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. #6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立：)(]),([)()](,[X f X i P X f P f Pi P f X ∂∂=∂∂=（解答：陈玉辉 核对：项朋）证明：（1）)()()()()()()()()](,[P f Pi P i P f P i P f P f P i Pi P f P f P i X P f P Xf P f X ∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂=-=ψψψψψψψψψ所以 )()](,[P f Pi P f X ∂∂=（2）)()()())(())(()()())(()()(]),([X f Xi X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ∂∂=∂∂--∂∂--∂∂-=∂∂--∂∂-=-= ψψψψψψψψψ所以 )(]),([X f Xi P X f ∂∂=#练习6.4 下面公式是否正确？（解答：陈玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f Pi P X f X ∂∂= 解：不正确。
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3.1 （做题人：韩丽芳校对人：胡相英）(好)幺正算符也有本征矢量。
证明幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数；幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。
证明：设算符U为幺正算符，ψ为其任意本征矢量，u为对应的本征值。
即ψψuU=则ψψψψψψψψuuUUUU*+===因0≠ψψ，所以1=*uu即1=u即证得幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数。
设算符U为幺正算符的两个本征值为1u、2u，对应的矢量分别为1ψ、2ψ，且21uu≠。
则111ψψuU=11111ψψuU=-222ψψuU=22211ψψuU=-因为幺正算符1-+=UU则有21212121ψψψψψψuuUU*+==2121211ψψψψuuUU*+==所以1212121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-**ψψuuuu因为012121≠-**uuuu，故021=ψψ，即1ψ和2ψ正交。
即证得幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。
3.2 投影于某一子空间的投影算符P，既然是厄米算符，它的本征值是什么？有无简并？本证子空间是什么？(好)解：投影于某一子空间的投影算符∑==mi iP 1，设全空间是n 维的，且n m <。
则本征值方程ψλψψ==∑=mi iP 1⑴其中λ为本征值， ψ为相应的本征态。
则ψλψλψ22==P P ⑵ 由幺正算符等幂性P P =2得ψψP P=2⑶由⑴、⑵和⑶式得λλ=2，所以1=λ或0=λ。
即求得投影算符的本征值是1或0。
当1=λ时，本征失量是i ，其中m i ,2,1=。
所以是简并的，本征子空间S 是由这m 个基矢构成的矢量空间。
当0=λ时，本征矢量是与i 正交的矢量。
所以也是简并的，本征子空间是S 空间的补空间。
#练习3.3 证明若算符的本征值谱中有零本征值，则这个算符肯定没有逆。
证明：假设算符A 有逆，则在值域中取一任意|φ>，则定义域有|ψ>存在 即ψφφ-==AA 1已知A的全部本征值和相应的本征矢量：i i i a A ψφ= i=1，2，3…，∴()ψψφ--==A a AA算符A 存在零本征值，即00=⇒=φa a∴对于任意本征矢量()ψφa A -≠与()ψφ-=A a 矛盾∴假设不成立，即算符的本征值谱中有零本征值，这个算符肯定没有逆。
#练习3.4 根据完全性和封闭性的定义，分别证明：在n 维空间中的一个完全矢量集｛i ψ｝，（i ψ归一化但彼此不一定正交，i=1,2,3…,n ）,若从其中去掉一个矢量，例如去掉 1ψ，就不再是完全集。
（做题者：杨涛 审题人：吴汉成）证明：假设在n 维空间中的一个完全集{}iψ去掉一个矢量1ψ后仍是完全集∴新的矢量集{}23,,...nψψψ是线性无关的，即22nni i i i i i c ψψψψψ====∑∑我们把1ψ加入完全矢量集{23,,...n ψψψ成立一个新集合{}i ψ，{}23,,...n ψψψ是完全集。
则1ψ肯定能表为23,,...n ψψψ的线性叠加∴新集合{}iψ是线性相关的与它是线性无关相矛盾。
在n 维空间中的一个完全集{}iψ去掉一个矢量1ψ后不是完全集#3.5、在有限维空间中，有A 和B 两个相互对易的厄米算符。
它们的全部线性无关的正交归一化本征矢量字分别为{αi 和{βi ：ji ii m i b i B m a i a i A ,3,2,1,3,2,1====βββααi m ，j m 分别为本征值i a 和j b 的简并度（它们也可以等于1）。
（1）证明 ia j j ji ββαβ∑=是A 和B 的共同本征矢量。
它们是否归一化？彼此是否正交？（2） 全部不为零的ija 的总数是多少？它们是线性相关的还是线性无关的？（做题：陈捷狮，审查人：刘强。
） 解：（1）αααββαββαββji i j j a i j j A ji A i j ===∑∑ααββαββαββji b i j j b i j j Bji B j j ===∑∑所以：αji 是A 和B 的共同的本征矢量。
由于1==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑*ia ia j j j j i j j i j j jia jia ββββαββαβββββ他们是归一的。
由于A 和B 作用在αji 的本征值不同，所以彼此是正交。
（2）全部不为零的ija 的总数是j i m m 。
它们是线性无关的。
#练习4 .1 在任何表象中，与厄米算符H 对应的矩阵（ij H ）称为厄米矩阵，与幺正算符对应的矩阵（ij U ）称为幺正矩阵。
证明它们分别满足下列关系：*=ijji H H ij kkj ik kj kkiU U U Uσ==∑∑**（做题：陈捷狮，审查人：刘强。
） 解：（1）***=====ijji H jH Hj i i Hj i H j H （2） 利用完全性关系可得：*****∑∑∑∑∑∑======jkkik kijkk kkj kki UU Ukj Uk Uj k k Ui j Uk iUk j U k i U k U U σ证毕!练习4.2 在某表象中，算符Aˆ的矩阵形式为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+-+=）（）（）（）（21102110202110211ˆA （1） 求Aˆ的本征值及相应的本征矢量；（2） 用Aˆ的一组正交归一化本征矢量集表示这一表象的三个基失。
解：（1）本征值方程为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+-+c b a c b aλ）（）（）（）（21102110202110211 则久期方程为：021102110202110211=-++--+--+）（）（）（）（）（λλλ解得：λ1=λ2=2，λ3=2当λ1=λ2=2时本征函数为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01010121K K c b a即此时本征函数分别为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=220221ψ ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ψ0102 当时λ3=2本征函数为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=220223ψ因为0*0*0*323121===ψψψψψψ，，所以用Aˆ的一组正交归一化本征矢量集表示这一表象的三个基失为ψ1，ψ2，ψ3。
#练习4.3 在三维空间中，K 表象的基是1ε，2ε，3ε。
有一算符A ，在此表象中的矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=503020307A（1）求A 的本征矢量在K 表象中的形式及相应的本征值；（2）取A 的本征矢量1α，2α，3α为L 表象（即A 表象）的基，求表象变换的幺正矩阵U 和1-U ; （3）验证所求矩阵的幺正性；（4）用U 与1-U 计算算符A 在L 表象中的矩阵。
（作题人：胡项英 校对人：韩丽芳）解：（1）设A 在K 表象中的本征矢量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321c c c ψ ，相应的本征矢量为λ ，则：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321321503020307c c c c c c λ 有解则：0503020307=---λλλ所以得：8,4,2=λ所以：当21=λ时，代入本征值方程且根据1232221=++c c c 则：1,0231===c c c 所以：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0101ψ同理：当42=λ时，则：23,0,21321-===c c c 所以：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=230212ψ当83=λ时，则：21,0,23321===c c c 所以：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210233ψ （2）根据幺正矩阵i i U αε=则A 在K 表象中矢量按列排列即为U ，所以：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2123000123210U ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-21023230210101U (3)将U ,1-U 的值代入得：111==--U U UU所以：U 为幺正矩阵（4）根据U A U A k l )(1)(-=，分别代入1,-U U 则：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=800040002)(l A #练习4.4 Hˆ为厄米算符，)ˆex p(ˆH i S = （侯书进） 证明：(1)Sˆ是幺正算符； (2))ˆex p(ˆdet H itr S= 证明：（1） Hˆ为厄米算符，则H H ˆˆ*= 所以)ˆex p(ˆˆ1*H i S S-==- 即I S S S Sˆˆ*ˆˆ*ˆ*1==- 则Sˆ是幺正算符 (2)因为Sˆ是H ˆ的函数，则S ˆ与H ˆ可以同时对角化。
在H ˆ表象中，H ˆ表现为对角矩阵，对角矩阵元n nn H H =为Hˆ的本征值，则 ∑∑==nnnnn H H H tr ˆ 而S ˆ的本征值）（n i ex p H即）（n nn n i ex p H S S ==则)ˆexp(i exp)exp ˆdet n nnn nn H itr H iH B S n∑∏∏====）（（ #练习4.5 （吴汉成 完成，董延旭 核对）在三维空间中，有矩阵A 和B ：⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1022255255A ， ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=022211211B（1） 证明A 和B 均为厄米矩阵，而且[A ，B]=0；（2） 分别求A 和B 的本征值与本征矢量；（3） 求A 和B 两算符的（归一化的）共同本征矢量集； （4） 求能使A 和B 都对角化的幺正变换矩阵U ； （5） 用U 将A 和B 对角化。
解： （1）证明：由题意得A 的转置矩阵A ~：⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1022255255~A 显然又得A ~的共轭矩阵：⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1022255255)~(*A *)~(A 与A 比较，得：A A =*)~(又 *)~(A A =+，∴A A=+，显然A 为厄米矩阵，同理可证B 为厄米矩阵。
又⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=421021021022210220222112111022255255AB⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=421021021022210221022255255022211211BA∴ AB — BA = 0∴ []0,=-=BA AB B A ，故得证。
（2）设A 的本征值为a ，本征矢量为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321A A A A ψψψψ；B 的本征值为b,本征矢量为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321B B B B ψψψψ。
则必有本征方程：A A a A ψψ= 即：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3213211022255255A A A A A A a ψψψψψψ 01022255255321=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---A A A a a a ψψψ ————[1]久期方程：01022255255=---aa a解之得： 01=a 82=a 123=a 当01==a a ,代入[1]式得：01022255255321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛A A A ψψψ 整理得：0255321=++A A A ψψψ 0255321=++A A A ψψψ01022321=++A A A ψψψ联解得： 0,321=-=A A A ψψψ即得： ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011321A A A A A A ψψψψψψ归一化条件： 1=+A A ψψ即： ()10011*1*1=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--A A A A ψψψψ 即得 ： 11*11*1=+A A A A ψψψψ 解之得： 221=A ψ∴ 2212-=-=A A ψψ ∴ A 的本征矢量： ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=02222321A A A A ψψψψ。