高等量子力学课件1

第二个例子
取数学对象为三维位形空间中由一点引出
的不同方向不同长短的线段的全体，即理论力学中位置矢 量全体。规定加法服从平行四边形法则；数乘中的数 是 实数，以 数乘的结果是方向不变，长度乘以 ；内积是 两矢量的点乘积。这是一个实数域上的内积空间。
第三个例子 取数学对象为一组有次序的复数，例如四个数， 可以把它们写成一个一列矩阵：
矢量 i 是线性无关的。
对于无穷个矢量的集合，线性无关的定义可以推广为：在 无穷个矢量的集合中，若任意有限的子集合都是线性无关的，
则整个集合就是线性无关的。
完全集
一个矢量空间中的一组完全集，是一个线性
无关的矢量集合 i ，这个空间中的每个矢量都能表为完 全集中矢量的线性叠加，即每一矢量都能写成
第一章 希尔伯特空间
本章讨论量子力学的主要数学工具——希尔伯特空间，即 满足一定要求的多维矢量空间。 主要内容： §1 矢量空间 §2 算符 §3 本征矢量和本征值 §4 表象理论 §5 矢量空间的直和与直积
§1 矢量空间
主要内容：
§1-1 定义
§1-2 正交性和模
§1-3 基矢
§1-4 子空间
§1-5 右矢和左矢
证明了 1 2 ，即逆元是唯一的。在上式中，第一步根据 条件（3） ，第三步根据条件（1） 。
（3） 0 （4） (1) （5） （6）如果 ，那么 0 或者
证明： 0 时上式显然成立；当 0 时，必有 1 1 / 存 在。我们计算 ( ) 1 ，一方面根据（5） ，
§1-1 定义
我们讨论的对象是很广泛的，可以是实数或复数，可以是 有序的一组数，可以是有方向的线段，也可以是一种抽象的东 西。我们把这些通称之为数学对象。 同类的许多数学对象满足下面所述的一系列要求时，就构 成一个矢量空间；每一个对象称为空间的一个元，或称为矢量。
我们考虑无穷多个同类的数学对象的集合 , , ,...，


数乘
集合内任意一矢量可以与数（实数或复数）相乘，
得出集合内另一矢量。 即规定一种数乘规则， 使任意矢量
和一个数 ，在集合内总有一个矢量 与之对应，记为

称为 与 的乘积。 数乘要满足下列四个条件：
条件（5） 1 ：
条件（6） （）b (b) （结合律） ：
下面，讨论几个矢量空间的例子。
第一个例子 取数学对象为所有正负有理数和零，规 定加法即为算术中的加法；规定数乘中的数 也限于所有 的有理数，数乘即是算术中的乘法；最后规定内积为两个 因子的算术乘积。这是一个在有理数域上的矢量空间。因 为有理数相加和相乘所得的都是有理数，这个空间是封闭 的，即所得结果仍在空间之中。
（，）

2

作 的模方，它一定大于或等于零：
2
( , ) * ( , )

* * ） ) （，） ， （ ( , ) （，( ,（，） 0 ，） ，）, 2 )2 （，） （ ( （ 2 2 2 2
下面我们举出矢量空间的一些简单性质。 （1）在矢量空间中，零矢量是唯一的。
证明：
设在空间中有 1 和 2 ，对所有矢量 都满足
1 , 2
取第一式的 为 2 ，第二式中的 为 1 ，分别得
2 1 2 , 1 2 1
f ( x), g ( x) a
b
f * ( x) g ( x)dx
这样的函数全体构成一个内积空间，平方可积的意思是

b
a
f * ( x) f ( x)dx
§1-2 正交性和模
如果两个矢量 和 的内积为零，即 ，） 0 ，我 （ 们说这两个矢量正交。
矢量同它自己的内积 ，） 是一个大于零的实数， （ 称为矢量 的模方，记作
( , ) c
在实数域（复数域）上的矢量空间中的内积，所得的也是 实数（复数）。内积与两个因子的次序有关，内积规则要满足 下列四个条件：
条件（9） ( , ) ( , )* ： （ c * 表示 c 的复共轭）
条件（10）（ ， ）=（ ， ）+ ( , ) ：
值得注意的是在这个空间中，有的序列的极限超出这一空间 之外。例如取以下序列：
n 1 1 1 1 s0 1, s1 1 , s2 1 ,..., sn 1! 1! 2! i 0 si !
这个序列的每一项都在我们的空间中，但是当 n 的极限是 e=2.7182818…,这是一个无理数，不在有理数空间中。
1，1 , 2 ,...n ，这个集合必然是线性相关的。这是因为 是
完全集， 1 肯定能表为 i 的线性叠加。
现在依次考虑 {1}, {1 , 1}, {1 , 1 , 2 } ,…，每次增加一个 。 开始它们是线性无关的，必然有一个数 i( 1 i n )，在加入 i 之 后集合开始成为线性相关。
* * * (l , m) l1* m1 l 2 m2 l3 m3 l 4 m4
这是一个复数域上的内积空间。
第四个例子
数学对象为在 x b 区间定义的实变
量 x 的“行为较好”的复函数 f (x) 的全体，而且都是平方可 积的。 所谓 “行为较好” 是指满足一定数学要求， 如单值性、 连续性及导数存在等等，这里我们不去详细讨论。规定加法 和数乘都是代数中的相应运算；规定两个函数 f (x) 和 g (x) 的内积为
在它们之间规定加法、数乘和内积三种运算。
加法 集合中任意两个矢量相加，都能得到集合中一 矢量。即规定一种加法规则，使得集合中任意给定两个矢 量 和 ，总有一个确定的矢量 与之对应，记成

加法规则视不同对象可以不同，但一定要满足下列四个条件：
条件（1） （交换律）
于是，根据条件（1） ，
2 2 1 1 2 1
即 1 2 ，只有唯一的零矢量。
（2）每个矢量的逆元是唯一的。
证明：
若 1 , 2 都是 的逆元，即
1 , 2
于是
1 1 1 ( 2 ) (1 ) 2 ( 1 ) 2 2 2
( ) 1 1
另一方面根据条件（6）和（5） ，有
( ) 1 ( 1 ) 1
二式结合，证明了当 0 时，
（7） ( , ) * ( , ) （8） ( , ) ( , ) ( , ) （9） ( , ) 0
2 2

2

1

2
1 2 2 2 ， ） 2（，） （ 2

由于
0 ，所以有 （，）
2
2

2
即 （，）
三角形不等式： 对于任意 和 ，有

（1.2）
证明：因为对任意复数 a 有 Re a a ，取 的模方，利 用此关系和 Schwartz 不等式，有
（ ， ） Biblioteka 2模方的正平方根称为模， 记作 ， 又可称为矢量 的长度。 模等于 1 的矢量称为归一化的矢量。
下面我们证明两个与模有关的基本关系。
Schwartz不等式： 对于任意矢量 和 有
（，）
（1.1）
证明： 给定 和 后，构造一个矢量 ，

定理： 在有限维空间内各种不同的完全集中所含矢量的数目是 相同的。 证明（自己看，5分钟）：
设 一 矢 量 空 间 中 有 两 组 不 同 的 完 全 集 1 , 2 ,...n 和
1， 2， m ，前者有 n 个，后者有 m 个。 ...,
如 果 把 1 加 入 到 完 全 集 {} 中 去 ， 成 为 一 个 集 合
条件（2） ( ) ( )
（结合律）
条件（3）集合中有零矢量 存在，对任意矢量 满足

（加法单位元存在）
条件（4）对集合中任意矢量 ，都有矢量 存在，满足

（加法逆元存在）
我们把满足条件（4）的 记为
同时把 ( ) 记为
条件（11） , , ：
（分配律）
( , ) * ( , )
条件（12） ( , ) 0 对任意 成立；若 ( , ) 0 ，则必有 ：

具有加法与数乘两种运算并满足（1）~（8）的集合称 为矢量空间或线性空间。具有加法，数乘和内积三种运算的 空间称为内积空间，而完全的内积空间称为希尔伯特空间。 在本章中，矢量空间一词通常指在复数域上的内积空间。
空间的完全性的意义为空间中任何在 Cauchy 意义下 收敛的序列 { 1 , 2 , 3 ,...} 的极限也必须在本空间中。 Cauchy 意义下收敛的意思是：
对给定任意小的实数 0 ，有数 N 存在，当 m,n>N 时，有 （ m n , m n）
在量子力学中所用到的空间，就是复数域上的希尔伯特空间。
l1 l l 2 l 3 l 4
加法，数乘和内积的定义分别为
l1 m1 l2 m2 lm l 3 m3 l m 4 4
l1 l 2 l l 3 l 4
a
i i
i
的形式，其中 ai 是一组复数。
如果一个空间中有一个线性无关的矢量集 1 , 2 ,...n ， 但还不是完全集， 这时可以把不能表为其线性叠加的一个矢量 命名为 n1 ，加入这个矢量集。这时 1 , 2 ,...n , n 1 ，肯定是 线性无关的，如仍不完全，还可以用同样的方法使这矢量集扩 大，直到成为完全集为止。如果能做到这一点，这个矢量空间 称为有限维的，如果做不到这一点，则空间是无穷维的。