高中数学人教B版必修四33《三角函数的积化和差与和差化积》同步PPT课件
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人教版高中数学必修四课件：3.3三角函数的积化和差与和差化积43
2sin 54 22 cos 54 22
2
2
2sin 38 cos16
（4） sin5x sin3x
2cos 5x 3x sin 5x 3x
2
2
2cos 4xsin x
例3. 已知A+B+C=180°, 求证： sin Asin B sinC 4 cos A cos B cos C
（2） cos 40 cos52
（3） sin 54 sin 22
（4） sin5x sin3x
解：（1）
cos3 cos 2cos 3 cos 3
2
2
2cos 2 cos
（2）cos 40 cos52
2sin 40 52 sin 40 52
2
2
2sin 46 sin 6
（3）sin 54 sin 22
2
从上面四个式子又可以得到
sin( ) sin( ) 2sin cos sin( ) sin( ) 2cos sin cos( ) cos( ) 2cos cos cos( ) cos( ) 2sin sin
积化和差公式
sin cos 1 [sin( ) sin( )]
3．本题若只是简单处理，可能会做不下去．
到此或许许多人就束手无策了，当然，这样做如果 处理得法，还是会最后得到正确结果的，但是计算 太大了． 若注意到10°、50°分别与80°、40°互为余角， 利用诱导公式可得如下解法．
(四)小结 三角函数的恒等变换，由于三角公式较多、用起 来也较活，所以应当掌握变形的一般规律，而一 般规律的获得主要靠自己的实践以及理性上的升 华。通过一个阶段的学习与练习，应是有一定体 会的．一般说三角变换问题，第一要关注问题中 的角，特别是角的和、差、倍、半关系，当然这 些关系也不是一成不变的，如适当时候，我们也 可以把α看作是
(教师用书)高中数学 3.3 三角函数的积化和差与和差化积配套课件 新人教B版必修4
； ； ； ．
2．和差化积公式
x＋y 设 α＋β＝x，α－β＝y，则 α＝ 2
这样，上面的四个式子可以写成， x＋y x－y sin x＋ sin y＝ 2sin 2 cos 2 ； x＋y x－y sin x－ sin y＝ 2cos 2 sin 2 ； x＋y x－y cos x＋cos y＝ 2cos 2 cos 2 ； x＋y x－y cos x－cos y＝ －2sin 2 sin 2 .
2．过程与方法 让学生自己导出“和差化积”及“积化和差”公式，领 会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的 和谐美，激发学生学数学的兴趣；同时让学生初步体会如何 利用三角函数研究简单的实际问题．通过例题讲解，总结方 法．通过做练习，巩固所学知识．
3．情感、态度与价值观 通过本节的学习，使学生对三角恒等变形公式的意义和 作用有一个初步的认识；理解并掌握三角函数各个公式的灵 活变形，体会公式所蕴涵的和谐美，增强学生灵活运用数学 知识解决实际问题的能力． ●重点难点 重点：积化和差公式、和差化积公式的推导． 难点：综合运用公式进行三角恒等变换．
3.3
三角函数的积化和差与和差化积
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)能够推导“和差化积”及“积化和差”公式，并对此 有所了解．
(2)能较熟练地运用公式进行化简、求值、探索和证明一 些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作 用，体会如何综合利用这些公式解决问题． (3)揭示知识背景，培养学生的应用意识与建模意识．
，β＝
x－y ； 2
积化和差与和差化积公式在给角求值 中的应用
求值：sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° .
【思路探究】 首先将三角函数化为余弦形式，代入特
高中数学 3.3 三角函数的积化和差与和差化积课件 新人教B版必修4
－2sinα＋2 β·sinα－2 β
第八页，共31页。
1．sin1π2cos51π2的值是( )
A．1－
3 2
B．14(2＋ 3)
C．14(2－ 3)
D．14( 2－1)
[答案(dáàn)] C
[解析] sin1π2cos51π2＝12sin1π2＋51π2＋sin1π2－51π2 ＝12×1－ 23＝14(2－ 3)，故选C.
－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]
第七页，共31页。
2．三角函数(sānjiǎhánshù)的和差化积公式 ssiinnαα＋－ssiinnββ＝＝______2__s__i__n__α__α＋2__＋__β__β·c__o__s__α__α－__－ 2__β__β__________，， cosα＋cosβ＝___2_c_o_s___2__·_si_n__2________， cosα－cosβ＝___2_c_o_s_α_＋_2_β_·_c_o_sα_－_2_β______.
第三十页，共31页。
[点评] 解法一：通过对该题中两个角的特点分析，巧妙 地避开了和差化积与积化和差公式．
解法二：运用代数中方程的方法，将三角问题代数化处 理，解法新颖别致，不拘一格，体现了数学的内在美．
解法三：利用正余弦函数的互余对偶，构造对偶式，组成 方程组，解法简明．
在此基础上，通过分析三角函数式中的角度(jiǎodù)数之间 的特定关系，作推广创新．
第二十三页，共31页。
易错疑难辨析
第二十四页，共31页。
求函数y＝5sin(x＋20°)＋4cos(x＋50°)的最大值． [错解] 函数的最大值为 52＋42＝ 41. [辨析] 形如y＝asinx＋bcosx的函数的最大值为 a2＋b2， 而函数y＝5sin(x＋20°)＋4cos(x＋50°)，不符合上述形式．
第八页，共31页。
1．sin1π2cos51π2的值是( )
A．1－
3 2
B．14(2＋ 3)
C．14(2－ 3)
D．14( 2－1)
[答案(dáàn)] C
[解析] sin1π2cos51π2＝12sin1π2＋51π2＋sin1π2－51π2 ＝12×1－ 23＝14(2－ 3)，故选C.
－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]
第七页，共31页。
2．三角函数(sānjiǎhánshù)的和差化积公式 ssiinnαα＋－ssiinnββ＝＝______2__s__i__n__α__α＋2__＋__β__β·c__o__s__α__α－__－ 2__β__β__________，， cosα＋cosβ＝___2_c_o_s___2__·_si_n__2________， cosα－cosβ＝___2_c_o_s_α_＋_2_β_·_c_o_sα_－_2_β______.
第三十页，共31页。
[点评] 解法一：通过对该题中两个角的特点分析，巧妙 地避开了和差化积与积化和差公式．
解法二：运用代数中方程的方法，将三角问题代数化处 理，解法新颖别致，不拘一格，体现了数学的内在美．
解法三：利用正余弦函数的互余对偶，构造对偶式，组成 方程组，解法简明．
在此基础上，通过分析三角函数式中的角度(jiǎodù)数之间 的特定关系，作推广创新．
第二十三页，共31页。
易错疑难辨析
第二十四页，共31页。
求函数y＝5sin(x＋20°)＋4cos(x＋50°)的最大值． [错解] 函数的最大值为 52＋42＝ 41. [辨析] 形如y＝asinx＋bcosx的函数的最大值为 a2＋b2， 而函数y＝5sin(x＋20°)＋4cos(x＋50°)，不符合上述形式．
高中数学人教B版必修四3.3 三角函数的积化和差与和差化积.pptx
3.3 三角函数的积化和差与和差化积
17
规律方法 解答此类问题，关键是合理引入辅助角α，将实际问题 转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解，在求解 过程中，要注意角的范围.
3.3 三角函数的积化和差与和差化积
18
跟踪演练3 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块 一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出 的长方形桌面的最大面积(如图). 解 连接OC，设∠COB＝θ， 则0°<θ<45°，OC＝1. ∵AB＝OB－OA＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ， ∴S矩形ABCD＝AB·BC ＝(cos θ－sin θ)·sin θ
x 2.
∴原式成立.
3.3 三角函数的积化和差与和差化积
15
要点三 三角恒等变换的实际应用
例3 点P在直径AB＝1的半圆上移动，过P作圆的切线PT且PT＝1，
∠PAB＝α，问α为何值时，四边形ABTP面积最大？
解 如图所示，∵AB为直径，
∴∠APB＝π2，又 AB＝1，
∴PA＝cos α，PB＝sin α.
第三章——
3.3 三角函数的积化和差与和差化积
[学习目标]
1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化 积两组公式的过程. 2.理解在推导积化和差、和差化积公式中方程思想、换元思想所 起的作用.
栏目索引
CONTENTS PAGE
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
＝sin32xcos2x3－x cosx32xsin2x＝sin332xx－2xx
cos 2 cos2
cos 2 cos2
高中数学第三章三角恒等变换3.3三角函数的积化和差与和差化积课件新人教B版必修4
(3)和差化积、积化和差公式的基本功能在于:当和积互化时,角 度要重新组合,因此有可能产生特殊角;结构将变化,因此有可能产 生互消项或互约因式,从而利于化简求值. 正因为如此,“和积互化” 是三角恒等变形的一种基本方法.在解题过程中,当遇到三角函数 的和时,就试着化为积的形式;当遇到三角函数的积时,就试着化为 和差的形式.往往这样就能发现解决三角函数问题的思路.为了能 够把三角函数化成积的形式,有时需要把某些数当作三角函数值,
π
)
D.4
π
������- ������-
π 3
故最小正周期为 π. 答案:B
1
2
【做一做1-2】 sin 37.5°cos 7.5°=
.
解析:sin 37.5° cos 7.5°
1 =2[sin(37.5° +7.5° )+sin(37.5° -7.5° )] 1 1 2 1 =2(sin 45° +sin 30° )=2 2 + 2
.
②在 Rt△ONQ 中,
=
2+1 . 4
答案:
2+1 4
1
2
2.和差化积公式 设 α+β=x,α-β=y,则 α= 2 ,β= 2 .这样,上面的四个式子可以写 成 sin x+sin
������+������ ������-������ y=2sin 2 cos 2 ;
������ +������ 2 ������ +������ 2 ������ +������ 2
������+������ ������+������ , sin 2 2
.
������+������ ������-������ , . 2 2
三角函数的积化和差与和差化积PPT精品课件
合理开发地下水
四、协调人地关系，从我做起
阅读教材P107“四、协调人地关系，从我做起”， 讨论回答：（1）按照可持续发展的思想和方法，协 调人地关系主要包括哪些方面？ （2）我们每个人 能为可持续发展做些什么？
协调社会经济发展与自然资源、生态环境之间的关系
协调人类社会的眼前利益与长远利益之间的关系
甘蔗蔗糖分一般为 12.5～14%，在我国主 要分布在南方。
甜菜：含蔗糖高，一般达 15～20％,主要分布在北 纬30°～63° 中国甜菜 主要种植在北纬40°以北。
两种发展模式
三、自然资源的可持续利用
可
再
补给、再
利用超
自然资
生
生和繁殖
过极限，
源需求
自
资
需要时间
恢复困
源
难
量越来 环 越大
然
境
倍角、半角公式 及三角函数的 积化和差与和差化积
复习目标： 1.掌握倍角、半角公式，并能用这些公式 进行简单三角函数式的化简、求值和证明 恒等式。 2.了解积化和差，和差化积公式的推导过 程。初步运用公式进行和积互化。进行简 单的三角函数求值、化简、证明。
题型一：求三角函数值
问题：求非特殊角的三角函数值的基 本思路是什么呢？
思考：森林资源的含义是什么？它有哪些生态效益？ 我国森林资源开发利用中存在的主要问题及解决措 施.
我国森林资源开发利用中存在的主要问题:
1 消耗量大于生长量。 2 计划外采伐量大，难以控制。 3 森林火灾及病虫害。 4 毁林开荒和滥砍滥伐现象。
实现可持续发展的目标，意味着一场深刻的变 革，是世界观、价值观、道德观的变革，是人 类行为方式的变革。公众既是消费者，又是生 产者，也是环境的管理者。因此，公众是否认 识、愿意接受并积极参与，是实施这些变革的 必要条件。我们只有建立起可持续发展的世界 观，进而用符合可持续发展的方法来改变我们 的生产、生活方式，才能使可持续发展从观念 走向实践。例如，工厂实行清洁生产，社会公 众积极参与，选购带环境标志的产品。
课件7：3.3 三角函数的积化和差与和差化积
3.3 三角函数的积化和差与和差化积
学习目标
核心素养
1．能根据公式 Sα±β 和 Cα±β 进行 1．通过三角函数的积化和差与和
恒等变换，推导出积化和差与 差化积公式的推导，培养学生逻辑
和差化积公式．(Байду номын сангаас点) 推理核心素养．
2．了解三角变换在解数学问题 2．借助积化和差与和差化积公式
时所起的作用，进一步体会三 的应用，提升学生的数学运算及逻
角变换的特点，提高推理、运 辑推理的核心素养.
算能力．(重点)
新知初探
1．积化和差公式 cos αcos β＝ 12[cos(α＋β)＋cos(α－β)] sin αsin β＝ －12[cos(α＋β)－cos(α－β)] sin αcos β＝ 12[sin(α＋β)＋sin(α－β)] cos αsin β＝ 12[sin(α＋β)－sin(α－β)]
(2)原式＝cos
10°cos
30°cos
50°cos
70°＝
3 2 cos
10°cos
50°cos
70°
＝
2312cos
60°＋cos
40°·cos
70°＝
3 8 cos
70°＋
3 4 cos
40°cos
70°
＝
3 8 cos
70°＋
3 8 (cos
110°＋cos
30°)
＝
3 8 cos
70°＋
3．下列等式正确的是( )
A．sin x＋sin y＝2sin
x＋y 2 sin
x－y 2
B．sin x－sin y＝2cos
x＋y 2 cos
x－y 2
学习目标
核心素养
1．能根据公式 Sα±β 和 Cα±β 进行 1．通过三角函数的积化和差与和
恒等变换，推导出积化和差与 差化积公式的推导，培养学生逻辑
和差化积公式．(Байду номын сангаас点) 推理核心素养．
2．了解三角变换在解数学问题 2．借助积化和差与和差化积公式
时所起的作用，进一步体会三 的应用，提升学生的数学运算及逻
角变换的特点，提高推理、运 辑推理的核心素养.
算能力．(重点)
新知初探
1．积化和差公式 cos αcos β＝ 12[cos(α＋β)＋cos(α－β)] sin αsin β＝ －12[cos(α＋β)－cos(α－β)] sin αcos β＝ 12[sin(α＋β)＋sin(α－β)] cos αsin β＝ 12[sin(α＋β)－sin(α－β)]
(2)原式＝cos
10°cos
30°cos
50°cos
70°＝
3 2 cos
10°cos
50°cos
70°
＝
2312cos
60°＋cos
40°·cos
70°＝
3 8 cos
70°＋
3 4 cos
40°cos
70°
＝
3 8 cos
70°＋
3 8 (cos
110°＋cos
30°)
＝
3 8 cos
70°＋
3．下列等式正确的是( )
A．sin x＋sin y＝2sin
x＋y 2 sin
x－y 2
B．sin x－sin y＝2cos
x＋y 2 cos
x－y 2
高中数学人教B版必修四3.3《三角函数的积化和差与和差化积》ppt课件
课堂讲练互动 中小学课件
α tan ＝± 2
x＋y 2 2．若 α＋β＝x，α－β＝y，则 α＝________ ，β x－y 2 ＝__________.
1＋cosα
sinα 1－cosα 1－cosα 1＋cosα ＝ ＝____________
sinα
课堂讲练互动 中小学课件
5π π (2)sin cos 12 12 1 5π π 5π π ＝ [sin( ＋ )＋sin( － )] 2 12 12 12 12 1 π π ＝ (sin ＋sin ) 2 2 3 1 3 1 3 ＝ (1＋ )＝ ＋ . 2 2 2 4
课堂讲练互动 中小学课件
思考感悟
1．和差化积公式的适用条件是什么？
提示：只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，
才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正
弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成
同名函数后再运用公式．
课堂讲练互动 中小学课件
课堂讲练互动 中小学课件
1 1 例1 已知 cosα－cosβ＝ ，sinα－sinβ＝－ ， 2 3 求 sin(α＋β)的值．
【思路点拨】
解答本题利用和差化积公式，
对所求式子进行变形，利用特殊角或所给条件 求解．
课堂讲练互动 中小学课件
课堂讲练互动 中小学课件
3x x sin － 2 2 sinx ＝ ＝ 3x x 3x x cos cos cos cos 2 2 2 2 2sinx ＝ . cosx＋cos2x 2sinx sinx 法二： ＝ 3x x cosx＋cos2x cos cos 2 2 3x x sin － 2 2 ＝ 3x x cos cos 2 2
【点评】 证明三角恒等式，一般是从左证右或 从右证左或是两边分头化简得同一结果．
三角函数的积化和差与和差化积PPT
团结 信赖 创造 挑战
学生练习、教师巡视、答疑，对一些有困难的学 生作些提示，适当时候，安排几个学生作板演． 练习题解法： 1．sin20·cos70°+sin10°·sin50°
2． cos37.5°·cos22.5°
团结 信赖 创造 挑战
而sin20°·sin40°·sin80°
团结 信赖 创造 挑战
团结 信赖 创造 挑战
(三)小结 和差化积公式的左边全是同名函数的和或差，只有负 数绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用公式 化成积的形式，如果是一个正弦与一余弦的和或差必 须先用诱导公式化成同名函数后，再运用积化和差公 式化成积的形式． 无论是和差化积还是积化和差中的“和差”与“积”， 都是指得三角函数间的关系，并不是角的关系，这是 必须十分清楚的． 三角函数的和差化积所要求的最后结果，只要是三角 函数的积的形式就可以了，不求形式上的一致．
团结 信赖 创造 挑战
当然，也可以这样配方 原式= (sin20°-sin40°)2+3sin20°cos50°
例题2 求ctg70°+4cos70°的值． 分析：由于本题余切函数与余弦函数共存，∴首 先应化切为弦，接着自然是要做通分，最后再考 虑分子的化简，由于分子的三角函数的系数不同， 一拆为二就是必然的了．
(四)课堂小结 本节课，我们学习了三角函数的积化和差公式，虽 然这些公式是新出现的，但它和过去学习的一些三 角公式有密切的关系，所以首先应理清他们的内在 联系，这组公式的功能可以把三角函数的积的形式 转化为和差的形式，通过例解及课堂练习，同学们 也开始发现这组公式的作用，希望同学们在今后的 学习中记好、用好这一组公式 五、作业 P．231中3；P．236中1、2． 六、板书设计
学生练习、教师巡视、答疑，对一些有困难的学 生作些提示，适当时候，安排几个学生作板演． 练习题解法： 1．sin20·cos70°+sin10°·sin50°
2． cos37.5°·cos22.5°
团结 信赖 创造 挑战
而sin20°·sin40°·sin80°
团结 信赖 创造 挑战
团结 信赖 创造 挑战
(三)小结 和差化积公式的左边全是同名函数的和或差，只有负 数绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用公式 化成积的形式，如果是一个正弦与一余弦的和或差必 须先用诱导公式化成同名函数后，再运用积化和差公 式化成积的形式． 无论是和差化积还是积化和差中的“和差”与“积”， 都是指得三角函数间的关系，并不是角的关系，这是 必须十分清楚的． 三角函数的和差化积所要求的最后结果，只要是三角 函数的积的形式就可以了，不求形式上的一致．
团结 信赖 创造 挑战
当然，也可以这样配方 原式= (sin20°-sin40°)2+3sin20°cos50°
例题2 求ctg70°+4cos70°的值． 分析：由于本题余切函数与余弦函数共存，∴首 先应化切为弦，接着自然是要做通分，最后再考 虑分子的化简，由于分子的三角函数的系数不同， 一拆为二就是必然的了．
(四)课堂小结 本节课，我们学习了三角函数的积化和差公式，虽 然这些公式是新出现的，但它和过去学习的一些三 角公式有密切的关系，所以首先应理清他们的内在 联系，这组公式的功能可以把三角函数的积的形式 转化为和差的形式，通过例解及课堂练习，同学们 也开始发现这组公式的作用，希望同学们在今后的 学习中记好、用好这一组公式 五、作业 P．231中3；P．236中1、2． 六、板书设计
数学人教B必修4课件：3.3三角函数的积化和差与和差化积
3.3 三角函数的积化和差与和差化积教师用书独具演示•三维目标1. 知识与技能(1) 能够推导“和差化积”及“积化和差”公式，并对此有所了解.敷歩教法分析明课标分条解读双"敎法”(2)能较熟练地运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题.(3)揭示知识背景，培养学生的应用意识与建模意识.2.过程与方法让学生自己导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；同时让学生初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.通过例题讲解，总结方法.通过做练习，巩固所学知识.3.情感、态度与价值观通过本节的学习，使学生对三角恒等变形公式的意义和作用有一个初步的认识；理解并掌握三角函数各个公式的灵活变形，体会公式所蕴涵的和谐美，增强学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力.•重点难点重点：积化和差公式、和差化积公式的推导.难点：综合运用公式进行三角恒等变换.•教学建议1・关于积化和差公式的教学建议教师首先让学生复习两角和与差的正、余弦公式,观察公式左边的结构形式，如I ： sin(a+0) = sin acos 0+cos asin 卩,sin(a —0) = sin acos0—cos asin0•引导学生自己导出三角函 数的积化和差公式及sin acos 0=g[sin(a —”) + sin(a+0)]等 授方略 涼程细解 用“敎案等.2.关于和差化积问题的教学建议教师要强调把两个三角函数式的和差化为积的形式，最后结果应是几个三角函数式的积的最简形式.•教学流程VVVVVV演示结束理铁材自查自测固“基础 課询自主导学 自主学 习区4积化和差与和差化积公式【问题导思】利用两角和与差的正弦公式能否用sin(a+0)与sin(a—0) 表不sin acos 0 和cos «-sin0?sin(a+0) = sin acos0+cos «sin0【提示】sin(a—0) = sin acos 0—cos asin 0 •••sin(tz+0) + sin(a—#) = 2sin «cos 0，艮卩sin acos 0=空[sin(« +0) + sin(a —0)]・同理得cos ocsin0=*[sin(a+0) —sin(Q—0)].1・积化和差公式cos (ZCOS B= gcosGz+Q+cosG —Q] sin asin 一可心@+0)—cos@—0)]；B= *[sin(a+0) + sin(a —0)] p= ㊁[sin(a+0) —sin(a —〃)]sin acos cos asin2・和差化积公式x+y设a+p=x、a—p=y,贝U a=2这样，上面的四个式子可*写成，x~ry x—ysin x+ sin y= 2血可cos p ；~x—ysin x—siny= "os ? sin ? ；x~ry x—y cosx+cos y= 2c°‘2 2 ;宀.孑+y.云—ycos%—cos y= -Bn 2 "" 2 ・x—y~T~积化和差与和差化积公式在给角求值中的应用卜例 求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.【思路探究】 首先将三角函数化为余弦形式，代入特殊值后进行积化和差.課它互动探究破疑难师生互动提“知能［自主解答】原式= cos 10°cos 30°cos 50° cos 70°牙cos 10°cos 50°cos 70°1=迈■［㊁(cos 60°+cos 40°)-cos 70°］ycos 70° +才cos 40°cos 70°育cos 70。
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C.12sin(α＋β)＋12sin(α－β)
D.12cos(α＋β)＋12cos(α－β)
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解析 sinπ4＋αcosπ4＋β ＝12sinπ4＋α＋π4＋β＋sinπ4＋α－π4－β ＝12cos(α＋β)＋12sin(α－β)． 答案 B
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2．cosx－π4－cosx＋4π化为积的形式是(
)
A. 2cosx
B. 2sinx
C．－ 2sinx
D．－ 2cosx
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解析 cosx－π4－cosx＋4π＝－2sinx·sin－4π＝ 2sinx. 答案 B
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3．函数 y＝sin3π＋2x·sin3π－2x的最大值为(
)
3 A.4
B．－14
1 C.4
自学导航 1.积化和差公式 cosαcosβ＝ 12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]． sinαsinβ＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)] ． sinαcosβ＝ 12[sin(α＋β)＋sin(α－β)] ． cosαsinβ＝ 12[sin(α＋β)－sin(α－β)] ．
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(3)sin78°－sin42°＝2cos78°＋2 42°·sin78°－2 42° ＝2cos60°·sin18°＝sin18°. (4)cos75°－cos23°＝－2sin75°＋2 23°·sin75°－2 23° ＝－2sin49°sin26°.
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解析 ①不正确，右边的角应是5θ＋2 3θ＝4θ 与5θ－2 3θ＝θ. ②也不正确，右边应是 2sin4θsinθ. ③的右边应是－2cos4θsinθ，故③不正确． ④的左边不是同名函数，不能直接用和差化积的公式，应 先用诱导公式化为同名再化积． ∴①②③④均不正确．故选 A. 答案 A
D．－34
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解析 由题意可知 y＝－12cos23π－cos4x ＝12cos4x＋14.∴y 的最大值为34. 答案 A
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4．有下列关系式： ①sin5θ＋sin3θ＝2sin8θcos2θ； ②cos3θ－cos5θ＝－2sin4θsinθ； ③sin3θ－sin5θ＝－12cos4θcosθ； ④sin5θ＋cos3θ＝2sin4θcosθ. 其中正确的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．4
思考探究 积化和差公式有什么结构特点？ 提示 (1)同名函数积化为余弦函数的和差；异名函数积化 为正弦函数的和差； (2)角的顺序是“α＋β”在前，“α－β”在后.
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自测自评
1.sinπ4＋αcosπ4＋β化为和差的形式为(
)
A.12sin(α＋β)＋12cos(α－β)
B.12cos(α＋β)＋12sin(α－β)
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课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
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典例剖析 例 1 计算： (1)sin75°－sin15°； (2)cos105°＋cos15°. 剖析 利用和差化积公式．
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解析 (1)sin75°－sin15° ＝2cos75°＋2 15°·sin75°－2 15°
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名师点拨 利用和差化积公式应注意 (1)在遇到数与三角函数的和差时，需要把数化作某角的函 数值，再化积．如将12－cosα 化为 cos3π－cosα，再化积． (2)当遇到正、余弦函数的平方时，应首先考虑灵活应用二 倍角公式的变形进行降幂，然后和差化积． (3)只有系数绝对值相等的同名函数的和差，才能直接应用 公式化成积的形式，否则需要化成同名函数后再化积.
2．和差化积公式x＋y x－y sinx＋siny＝ 2sin 2 ·cos 2 .
x＋y x－y sinx－siny＝ 2cos 2 ·sin 2 .
x＋y x－y cosx＋cosy＝2cos 2 ·cos 2 . cosx－cosy＝－2sinx＋2 y·sinx－2 y .
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例 2 计算：(1) sin15°·sin30°·sin75°； (2) cos105°·sin45°. 剖析 考查积化和差运算公式．
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解析 (1) 原式＝12sin15°·sin75°
＝－14(cos90°－cos60°)＝18.
(2)
原式＝12(sin150°－sin60°)＝1－4
＝2cos45°·sin30°＝ 22； (2)cos105°＋cos15° ＝2cos105°＋2 15°·cos105°－2 15° ＝2cos60°·cos45°
＝
2 2.
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规律技巧 掌握好和差化积公式并能够熟练运用是解题关 键．
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变式训练 1 把下列各式化为积的形式． (1)sin122°＋sin36°； (2)cosα＋34π＋cosα－34π； (3)sin78°－sin42°； (4)cos75°－cos23°.
第三章 三角恒等变换
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3．3 三角函数的积化和差与和差化积
课前预习目标
课堂互动探究
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课前预习目标
梳理知识 夯实基础
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学习目标 能运用两角和与差公式及倍角公式进行简单的三角恒等变 换(包括导出积化和差、和差化积公式，但不要求记忆).
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解析 (1)sin122°＋sin36° ＝2sin122°＋ 2 36°·cos122°－ 2 36°＝2sin79°cos43°. (2)cosα＋34π＋cosα－34π ＝2cosα＋34π＋2 α－34π·cosα＋34π－2 α－34π ＝2cosαcos34π＝－ 2cosα.
3 .
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规律技巧 牢固掌握积化和差公式并能熟练运用是解题的 关键．
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ห้องสมุดไป่ตู้
变式训练 2 把下列各式化为和差的形式． (1)sin1π2·cos152π； (2)2cos35°·sin55°； (3)cos(x－y)·cos(x＋y)．