线性代数4
4线性代数
一、单项选择题（共20题）1.设A为m×n矩阵，方程Ax=0仅有零解的充分必要条件是（）A.A的行向量组线性无关B.A的行向量组线性相关C.A的列向量组线性无关D.A的列向量组线性相关【正确答案】C【您的答案】C 【答案正确】【答案解析】设为齐次方程组的系数矩阵的列向量组，则齐次方程组可写成，因此齐次方程组AX=0仅有零解的充分必要条件就是向量组线性无关.Ax=0仅有零解的充分必要条件是r（A）=未知数的个数（即矩阵A的列数）.2.已知是非齐次线性方程组的两个不同的解，是其导出组Ax=0的一个基础解系，C1，C2为任意常数，则方程组Ax=b的通解可以表为（）【正确答案】A【您的答案】A 【答案正确】【答案解析】3.对于齐次线性方程组的系数矩阵化为阶梯形时( )A.只能进行行变换B.只能进行列变换C.不能进行行变换D.可以进行行和列变换【正确答案】A【您的答案】A 【答案正确】【答案解析】齐次线性方程组的系数矩阵化为阶梯形时只能进行行变换4.设下列说法正确的是（）【正确答案】B【您的答案】B 【答案正确】【答案解析】5.若是线性方程组的解，是方程组的解，则（）是的解.【正确答案】A【您的答案】A 【答案正确】【答案解析】考查齐次方程组和非齐次线性方程组解的性质6.非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵的秩都等于4，A是4×6矩阵，则( )。
A.无法确定方程组是否有解B.方程组有无穷多解C.方程组有惟一解D.方程组无解【您的答案】B 【答案正确】【答案解析】由于方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同，方程组必有解，因为方程组的未知数个数是6，而系数矩阵的秩为4，因此方程组有无穷多解，选B.7.下列说法不正确的是（）【正确答案】D【您的答案】D 【答案正确】【答案解析】8.下列说法不正确的是（）A.齐次方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是r（A）<未知数的个数n.B.线性方程组Ax=b有解系数矩阵与增广矩阵有相等的秩.C.如果r（A b）=r（A）=n（n为未知数的个数），则方程组Ax=b有惟一的解.D.如果r（A b）=r（A）=n（n小于未知数的个数），则方程组Ax=b有惟一解.【正确答案】D【您的答案】D 【答案正确】【答案解析】请参看教材P1199.对于齐次线性方程组而言，它的解的情况是( )。
线性代数 第四章 第2节
★矩阵、线性方程组的向量表示 ★向量组的线性相关与线性无关 ★向量组的等价性
本节中向量组的线性相关性与第三节中向量组的秩 的概念是本章的重点和难点。同学们必须熟练且准确地 掌握。通过理清“矩阵”，“向量组”和“线性方程组”的密 切关系可以更好地理解概念和解决问题。
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矩阵的向量表示
定义3 设有两个 n 维向量组
A : a1, a2 , , am; B : b1, b2 , , bs .
如果向量组 A 中每一个向量都能由 B 组中的向量
线性表示，则称向量组 A 能由向量组 B 线性表示。
如果向量组 A 与 B 能相互线性表示，则称向量组 A 与 B 等价。
由上章定理2，可得
定理2 向量组 a1 , a2 , 条件是它所构成的矩阵A
, am (a1 ,
线性相关的充分必要
a2 , , am ) 的秩小于
向量的个数 m ；向量组线性无关的充分必要条件是 R（A）= m。
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1 0
0
例4
n 维向量
4,
试讨论向量组
a1
,
a2
,a13及向量 组5
a1
,
a2的 7线 性相关性。
解法一 (同例4解法一的方法)
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5
1
a1
,
a2
,
a3
1
0 2
2 r2 r1 1 4 ~ 0
0 2
2 r3 2 r2 1 2 ~ 0
.
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线性方程组的向量表示
线性代数习题课4
定义: 设有两向量组 A: a1, a2, · · · , am 与 B: b1, b2, · · · , bs . 若B组中的每一个向量都能由A组线性表示, 则称向量 组B能由向量组A线性表示; 若向量组B与向量组A可 以相互线性表示, 则称这两个向量组等价.
四、线性相关性
定义: 给定向量组A: a1, a2, · · · , am , 如果存在不全 为零的数 k1, k2, · · · ,km , 使 k1a1 + k2a2 + · · · + kmam = O 则称向量组A是线性相关的, 否则称它是线性无关.
典
型
例
题
一、向量组线性相关性的判定
研究这类问题有两个常用的方法. 方法1. 从定义出发 令 k 1a 1 + k 2a 2 + · · · + kmam = 0, 即 a m1 0 a11 a 21 0 k 1 a12 + k 2 a 22 + + k m a m 2 = 0 a1 n a2n a mn 整理得齐次线性方程组: a11 k 1 + a 21 k 2 + + a m 1 k m = 0 a12 k 1 + a 22 k 2 + + a m 2 k m = 0 (1) a1n k 1 + a 2 n k 2 + +s Bsn, 则 R(C)R(A), R(C)R(B). 定理4: 向量组a1, a2, · · · , am线性相关的充分必要 条件是它所构成的矩阵A=(a1, a2, · · · , am)的秩小于向 量个数m; 向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m. 定理5: (1)若向量组A:a1, a2, · · · , am线性相关, 则向 量组B: a1, a2, · · · , am, am+1也线性相关; 反言之, 若向量 组B线性无关, 则向量组A也线性无关. (2) m个n维向量组成的向量组当维数n小于向量 个数m时一定线性相关 (4) 设向量组A: a1, a2, · · · , am线性无关, 而向量组 B: a1, a2, · · · , am, b 线性相关, 则向量b 必能由向量组A 线性表示, 且表示式是唯一的.
线性代数第四章4-5节课件
后n-r列
x1 - b11 xr +1 - b12 xr + 2 x -b x - b x 2 21 r + 1 22 r + 2 xr - br 1 xr +1 - br 2 xr + 2 -
- b1,n- r xn , - b2,n- r xn , - br ,n - r xn .
方法1：先求出通解，再从通解求得基础解系．
1 -2 1 0 -3 4 1 2 r A 2 3 0 -1 ~ 0 1 2 -3 1 -1 -5 7 0 0 0 0
x1 - 3 x3 + 4 x4 0 x 2 + 2 x 3 - 3 x4 0
：线性方程组的解的判定
1. 包含 n 个未知数的齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充 分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) < n ． 2. 包含 n 个未知数的非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分 必要条件是系数矩阵的秩 R(A) = R(A, b)，并且 当R(A) = R(A, b) = n时，方程组有唯一解；
因为
方程组的任意一个解都可以表示为x1, x2 的线性组合．
x1, x2 的四个分量不成比例，所以 x1, x2 线性无关． 所以x1, x2 是原方程组的基础解系．
方法2：先求出基础解系，再写出通解．
1 -2 1 0 -3 4 1 2 r A 2 3 0 -1 ~ 0 1 2 -3 1 -1 -5 7 0 0 0 0
把 Ax = 0 的全体解组成的集合记作 S，若求得 S 的一个 最大无关组S0：x = x1, x = x2, ...,, x = xt ，那么Ax = 0 的
线性代数4-4
昆明理工大学数学系 2009.12
2
第四节 用初等变换解线性方程组
方程组的初等变换 用初等变换解线性方程组
一. 方程组的初等变换 m个方程 个未知数的线性方程组为 个方程n个未知数的线性方程组为 个方程
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2 （1） ） ... am 1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm 简记为Ax=b。其中 简记为 。 A = (aij )m×n , b = (b1 , b2 ,..., bm )T , x = ( x1 , x2 ,..., xn )T
二. 用初等变换解线性方程组 对方程组作初等变换 相当于对增广矩阵[A,b]作行 初等变换， 对方程组作初等变换，相当于对增广矩阵 作行 行初等变换。因此， 行初等变换。因此，得到用初等变换解线性方程组的步 骤如下： 骤如下： 第一，写出增广矩阵[A,b](若是齐次方程组，只要写 若是齐次方程组， 第一，写出增广矩阵 若是齐次方程组 出系数矩阵A)； 出系数矩阵 ； 第二， 作行初等变换， 第二，对[A,b](或A)作行初等变换，使其化成阶梯形 或 作行初等变换 矩阵，通过同解方程组判断其是否有解、有多少个解。 矩阵，通过同解方程组判断其是否有解、有多少个解。 第三，若有解，通过同解方程组求其通解（ 第三，若有解，通过同解方程组求其通解（或求其 基础解系）。 基础解系）。
α 4 = (1, 2,4, a + 8)T
β = (1,1, b + 3,5)T 的线性组合。 (1) a、b为何值时， 不能表示成 α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 的线性组合。 为何值时， 、 为何值时 β (2) a、b为何值时， 有α1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 的唯一线性表示式， 为何值时， 的唯一线性表示式， 、 为何值时 β 并写出该式。 并写出该式。 解：
线性代数4-3
那么称向量组A0 是向量组 A 的一个最大线性无关 向量组 （简称最大无关组） ; 最大无关组所含向量个 数 r 称为向量组A 的秩，记作 A 。 R 只含零向量的向量组没 有最大无关组，规定它 的秩 为0。
1
矩 阵 的 秩 与 向 量 组 秩 的 关 系
定理１ 矩阵的秩等于它的列向 量组的秩，也等于
a1 a2 a3 a4 a5
2 4 4 9
~
1 r 0 0 0
b1 b2 b3 b4 b5
0 1 0 4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
易知 a1 x1 a2 x2 a3 x3 a4 x4 a5 x5 o 与 b1 x1 b2 x2 b3 x3 b4 x4 b5 x5 o 同解, 故 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 与 b1 , b2 , b3 , b4 , b5有完全相同的线性关系
证一 设向量组 A 与向量组B 合成向量组C，
因为B能由A线性表示, 故 RA RC ,
而 RA RB , 故 RA RB RC ,
由定理 2 的推论可知，A 组与 B 组等价。
11
例2 设向量组 B 能由向量组A 线性表示 且它们的 ,
秩相等，证明向量组 与向量组 B 等价. A 证二 设两个向量组的秩都为，并设 A 组和 B 组的 r
说明
最大无关组不唯一; 若向量组 A 的秩为 r , 则 A 中任意 r 个线性无关的 向量都是A的一个最大无关组.
3
例1
全体 n 维向量构成的向量组记 R ，求 R 的 作
n n n
一个最大无关组及 的秩. R
解 因为n维单位坐标向量构成的 向量组
E : e1 , e2 , , en 是线性无关的， 知 R n 中的任意n 1 个向量都 又
线性代数 第四章 (1-2节)
第四章线性方程组§1 消元法在实际问题中，我们经常要研究一个线性方程组的解，解线性方程组最常用的方法就是消元法，其步骤是逐步消除变元的系数，把原方程组化为等价的三角形方程组，再用回代过程解此等价的方程组，从而得出原方程组的解.例1 解线性方程组解 将第一个方程加到第二个方程，再将第一个方程乘以（-2）加到第三个方程得在上式中交换第二个和第三个方程，然后把第二个方程乘以-2加到第三个方程得再回代,得.分析上述例子，我们可以得出两个结论：（1） 我们对方程施行了三种变换：① 交换两个方程的位置；② 用一个不等于0的数乘某个方程；③ 用一个数乘某一个方程加到另一个方程上.我们把这三种变换叫作线性方程组的初等变换.由初等代数可知，以下定理成立.定理1 初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组.（2） 线性方程组有没有解,以及有些什么样的解完全决定于它的系数和常数项，因此我们在讨论线性方程组时，主要是研究它的系数和常数项.定义1 我们把线性方程组的系数所组成的矩阵叫做线性方程组的系数矩阵，把系数及常数所组成的矩阵叫做增广矩阵.设线性方程组则其系数矩阵是增广矩阵是显然，对一个方程组实行消元法求解，即对方程组实行了初等变换，相当于对它的增广矩阵实行了一个相应的初等变换.而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵，这样，不但讨论起来比较方便，而且能够给予我们一种方法，利用一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出.例2 解线性方程组解 增广矩阵是,交换矩阵第一行与第二行，再把第一行分别乘以和(-2)加到第二行和第三行，再把第二行乘以(-2)得,在中将第二行乘以2加到第三行得,相应的方程组变为三角形(阶梯形)方程组：回代得.§2 线性方程组有解判别定理上一节我们讨论了用消元法解方程组(4.1)这个方法在实际解线性方程组时比较方便，但是我们还有几个问题没有解决，就是方程组(4.1)在什么时候无解?在什么时候有解?有解时，又有多少解?这一节我们将对这些问题予以解答.首先，由第三章，我们有下述定理定理2 设A是一个m行n列矩阵，通过矩阵的初等变换能把A化为以下形式这里ｒ≥0，ｒ≤ｍ，ｒ≤ｎ.注：以上形式为特殊标准情况，不过，适当交换变元位置，一般可化为以上形式.由定理2，我们可以把线性方程组(4.1)的增广矩阵进行初等变换化为：（4.２）与(4.2)相应的线性方程组为：（4.3）由定理1知：方程组(4.1)与方程组(4.3)是同解方程组，要研究方程组(4.1)的解，就变为研究方程组(4.3)的解.① 若ｄｒ＋１，ｄｒ＋２，…，ｄｍ中有一个不为0，方程组(4.3)无解，那么方程组(4.1)也无解.② 若ｄｒ＋１，ｄｒ＋２，…，ｄｍ全为0，则方程组(4.3)有解，那么方程组(4.1)也有解.对于情形①，表现为增广矩阵与系数矩阵的秩不相等，情形②表现为增广矩阵与系数矩阵的秩相等，由此我们可以得到如下定理.定理3 (线性方程组有解的判别定理)线性方程组（4.1）有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩r.① 当r等于方程组所含未知量个数n时，方程组有惟一的解；② 当r＜ｎ时，方程组有无穷多解.线性方程组（4.1）无解的充分必要条件是：系数矩阵A的秩与增广矩阵B的秩不相等.在方程组有无穷多解的情况下，方程组有n-r个自由未知量，其解如下：其中是自由未知量，若给一组数就得到方程组的一组解例3 研究线性方程组解 写出增广矩阵对进行初等行变换可化为由此断定系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不相等，所以方程组无解.例4 在一次投料生产中，获得四种产品，每次测试总成本如下表:生产批次产品（公斤）总成本（元）ⅠⅡⅢⅣ12001001005029002500250200100705031004002013604400180160605500试求每种产品的单位成本.解 设Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品的单位成本分别为，由题意得方程组：化简，得写出增广矩阵对其进行初等行变换，化为由上面的矩阵可看出系数矩阵与增广矩阵的秩相等，并且等于未知数的个数，所以方程组有唯一解：例5 解线性方程组解 这里的增广矩阵是对其进行初等行变换，化为由上式可看出系数矩阵与增广矩阵的秩相等，所以方程组有解，对应的方程组是把移到右边，作为自由未知量，得原方程组的一般解为给自由未知量一组固定值：，我们就得到方程组的一个解.事实上，在例5中，也可作为自由未知量.我们同样可考察.。
线性代数第四章复习
一般地，用正交线性替换将二次型
f ( x1 , x2 ,
…, xn ) = xTAx (其中 AT = A) 化为标准形的步骤如下:
Step1 求出二次型矩阵 A 的全部特征值
1 , 2 , … , n ;
Step2 求出正交矩阵 P，使 PTAP = diag(1 , 2 , … , n) ; Step3 作正交线性替换 x = Py ，其中 y = (x1 , x2 , … , xn )T Rn ，则二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 化为标准形
det An det A 0.
实二次型正定性的判别方法 定理 4 . 7 n 元实二次型 f ( x1 , x2 , ··, xn ) 是 ·
正定二次型的充要条件是它的正惯性指数等于 n .
定理 4 . 8 实对称矩阵 A 为正定矩阵的充分
必要条件是 A 的所有特征值均为正数.
如果记
c11 c12 c1n x1 y1 c21 c22 c2 n x2 y2 n C , x R , y Rn c x y cn 2 cnn n1 n n
A AT
二次型 可以写成
f (x1 ,x2 ,,xn )
i 1
n
a x x
j 1 ij i
n
j
x Ax
T
其中 AT = A 为实对称矩阵, 称 A 为二次型的矩阵.
称矩阵 A 的秩 r(A) 为二次型的秩.
线性替换
1 定义 4.2 设 x1 , x2 , ··, xn ； y1 , y2 , ··, yn 是 · ·
求 A 对应的二次型 f (x1 , x2 , x3) .
线性代数第4章习题答案(48p)
由于 D = 1
2 −1
⇒ k ≠ 4且k ≠ −1. 故应选 (C) .
(2) 线性方程组 Am×n X = b 有唯一解的条件是 B ). 有唯一解的条件是( (B) R(A) = R(A b) = n ; (A) m = n ; ) 都不对. 都不对 (C) Ax = θ 只有零解 只有零解; (D) (A),(B),(C)都不对 解: 线性方程组 Am×n X = b 有唯一解的充要条件是其 系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且为n 选项(A)只 系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且为 . 选项 只 表明方程组中方程的个数与未知量个数相同, 表明方程组中方程的个数与未知量个数相同 此时系 数矩阵的秩与增广矩阵的秩未必相等且为n 数矩阵的秩与增广矩阵的秩未必相等且为 , 故选项 (A)不正确 选项 成立的条件是系数矩阵的秩为 , 不正确. 选项(C)成立的条件是系数矩阵的秩为 成立的条件是系数矩阵的秩为n 不正确 也不正确. 但此时增广矩阵的秩未必为n, 故选项(C)也不正确 但此时增广矩阵的秩未必为 故选项 也不正确 由排除法知选项(B)正确 因此应选(B). 由排除法知选项 正确, 因此应选 正确
四. 求方程组
x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 = 5 的特解. x1 − x2 + x3 + x4 = 1 的特解
解: B = 1 2 3 4 5 → 1 2 3 4 5 1 −1 1 1 1 0 −3 −2 −3 −4
∴ R( A) = R( B) = 2 < 4 = n.
α 4. 设Ax = b为四元齐次线性方程组，R(A)=3，1 , α 2 , α 3 为四元齐次线性方程组， 为四元齐次线性方程组 ，
《线性代数》第四章第二节 方阵的特征值与特征向量
若P是与对应的特征向量，则显然k 0时， kP也是与对应的特征向量.
6.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合 仍是属于这个特征值的特征向量．
例1
设
A
=
−2 0
1 2
1 0,
求A的特征值与特征向量．
− 4 1 3
分析：
1.特征方程的根就是特征值；
2. (A-E)x=0的通解（去掉零解）就是特征值对应
所以对应于 2 = 3 = 2的全部特征向量为 :
k2 p2 + k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
例2 证明：若 是矩阵A的特征值，x 是A的属于 的特征向量，则
(1) m是Am的特征值(m是任意常数).
(2) 当A可逆时,−1是A−1的特征值.
证明 (1) Ax = x A(Ax) = A(x) = (Ax) = (x) A2 x = 2 x
有x.
3. A − E = 0 为A的特征方程。
a11 −
a21
an1
a12
a22 −
an2
a1n
a2n
=0
ann −
记 f ( ) = A − E ,它是的n次多项式, 称其
为方阵A的 特征多项式 .
( ) 4. 设 n阶方阵A = aij 的特征值为1, 2 ,,
n ,则有 (1) 1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann; (2) 12 n = A .
将1 = 2 = 1代入(A − E )x = 0,
解之得基础解系
− 2
1 = 1 ,
0