线性代数第四章习题答案

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(完整版)线性代数练习册第四章习题及答案

第四章线性方程组§4-1 克拉默法则一、选择题1．下列说法正确的是（ C ）A.n 元齐次线性方程组必有n 组解；B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解；C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ）A 。

当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解;B 。

当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解;C 。

若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =; D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题1．已知齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解,则λ= 1 ，μ= 0 。

2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程组有唯一解i x =iD D. 三、用克拉默法则求解下列方程组 1．832623x y x y +=⎧⎨+=⎩解：832062D ==-≠123532D ==-,2821263D ==-所以，125,62D Dx y D D====- 2．123123123222310x x x x x x x x x -+=-⎧⎪+-=⎨⎪-+-=⎩解：213112112122130355011101r r D r r ---=--=-≠+---11222100511321135011011D r r ---=-+-=---,212121505213221310101101D r r --=-+-=-----， 3121225002112211511110D r r --=+=---所以, 3121231,2,1D D Dx x x D D D ======3．21241832x z x y z x y z -=⎧⎪+-=⎨⎪-++=⎩解：132010012412041200183583D c c --=-+-=≠-13110110014114020283285D c c -=-+=，2322112102112100123125D c c -=-+=--, 31320101241204120182582D c c =-=--所以, 3121,0,1D D Dx y z D D D ====== 4．12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩解：2131412131111111111214012322315053733121102181231235537013814222180514r r D r r r r r r r r ---=------------+=----=-+---3214212325111511102221422518231523528110121101005110010525182733214210252823522c c D c c c c c c --------=----------+=-----=----212314113231511151112140723222150123733021101518723230132123733031284315181518r r D r r r r r r r r -----=--------------=----=------12342213111512151031224522182325111132283101101002510200251521852974265211228115127c c D c c c c c c -------=---------+=-----=----12432322111152115312125252223121135231200100215215552502714251152604c c D c c r r r r --------=----------+=----=---所以， 312412341,2,3,1D D D Dx x x x D D D D========-§4-2 齐次线性方程组一、选择题1．已知m n ⨯矩阵A 的秩为1n -，12,αα是齐次线性方程组0AX =的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0AX =的通解为（ D ）。

【最新试题库含答案】线性代数练习册第四章习题及答案

线性代数练习册第四章习题及答案：篇一：线代第四章习题解答第四章空间与向量运算习题4.14-1-1、已知空间中三个点A,B,C坐标如下：A?2,?1,1?,B?3,2,1?,C??2,2,1? （1）求向量,,的坐标，并在直角坐标系中作出它们的图形；（2）求点A与B之间的距离．解：(1) (1,3,0), (?5,0,0), (4,?3,0)(2)AB??4-1-2．利用坐标面上和坐标轴上点的坐标的特征，指出下列各点的特殊位置： A?3,4,0?; B?0,4,3? ； C?3,0,0? ；D?0,?1,0? 解： A (3，4，0) 在xoy面上 B（0，4，3）点在yoz面上C（3，0，0）在x轴上 D（0，－1，0）在y轴上 4-1-6. 设u?a?b?2c,v??3b?c，试用a、b、c表示3u?3v．解：3u－2v＝3（a－b＋2c）－2（－3b－c）＝3a＋3b＋8c4-1-7. 试用向量证明：如果平面上的一个四边形的对角线互为平分，那么这个四边形是平行四边形．解：设四边形ABCD中AC与DB交于O，由已知AO＝OC，DO＝OB 因为AB ＝AO＋OB＝OC＋DO＝DC,AD=AO+OD=OC+BO=BC 所以ABCD为平行四边形。

4-1-8. 已知向量a的模是４，它与轴u的夹角60，求向量a在轴u上的投影．?解：.prju?u)?4*cos60＝4?r?rcos(r。

3＝23 24-1-9. 已知一向量的终点在点B?2,?1,7?，它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4、-4、7，求这向量起点A的坐标解：设起点A为（x,y,z）prjxAB?(2?x0)?4prjyAB?(?1?y)??4 prjzAB?(7?z0)?7解得：x??2y?3z0?04-1-12. 求下列向量的模与方向余弦，并求与这些向量同方向的单位。

线代第4章习题答案

第4章1.（1）是；（2）是；（3）是；（4）否.2. 证：（1）假设零向量不唯一，即存在两个零向量120,0，但1200≠，则由10αα+=和20αα+=推出1200=，这与假设矛盾. （2）类似（1）中证明. （3）0()0k k k k αααα=-=-=， (1)(01)01ααααα-=-=-=-， 0()0k k k k αααα=-=-=. 3.（1）是；（2）是；（3）否；（4）否. 4. 证：设11223344k A k A k A k A O +++=，则有12341234123412340,0,0,0,k k k k k k k k k k k k k k k k ++-=⎧⎪-++=⎪⎨+-+=⎪⎪---=⎩系数矩阵11111111111101011111001111110001A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦，则()4r A =，故12340k k k k ====，即1234,,,A A A A 线性无关.又对任意一个11122122a a A a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若11223344k A k A k A k A A +++=，则可得123411123412123421123422,,,,k k k k a k k k k a k k k k a k k k k a ++-=⎧⎪-++=⎪⎨+-+=⎪⎪---=⎩解得唯一一组解为：()()()()1111221222111221223111221224111221221,41,41,41,4k a a a a k a a a a k a a a a k a a a a ⎧=+++⎪⎪⎪=-+-⎪⎨⎪=+--⎪⎪⎪=-++-⎩即任意一个A 都可以由这组矩阵线性表出，且表达式唯一，则22dim()4R ⨯=，且1234,,,A A A A 构成22R ⨯的一组基.5. 解：令123110100,,000011A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则由112233k A k A k A O ++=可解得1230k k k ===，即123,,A A A 线性无关. 又对任意一个A V ∈，a ab Ac c +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若112233k A k A k A A ++=，可解得唯一一组解为： 123,,k a k b k c ===，即任意一个A 都可以由123,,A A A 线性表出，且表达式唯一，则dim()3V =，且123,,A A A 构成V 的一组基. 6. 解：2()65f x x x =-+，故在这组基下的坐标为[]6,5,1T-.7. 解：（1）根据过渡矩阵C 的3个列向量分别是21,1,(1)x x ++在基21,,x x 下的坐标，可得111012001C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （2）新的基为：21,1,2x x x -+-+. 8. 解：（1）显然对加法和数乘封闭.（2）令1100A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，2010A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，…，001n A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ . 若1122n n k A k A k A O ++= ，显然可推出120n k k k ==== ，即12,,,n A A A 线性无关.又对任意一矩阵12A n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，若 1122n n k A k A k A A ++= ，可解得唯一一组解为：121,2,,n k k k n === .即任意一个A W ∈都可以由12,,,n A A A 线性表出，且表达式唯一，则dim()W n =，且12,,,n A A A 构成W 的一组基. 9. 解：11211121211101111103001301170000A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则()3r A =，故由1234,,,αααα 生成的子空间维数是3，一组基为123,,ααα（或124,,ααα）.11．解：过渡矩阵为：205133113C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦，若有一非零向量[],,T w x y z =，满足w Cw =，则可得方程组25,33,3,x x z y x y z z x y z =+⎧⎪=++⎨⎪=---⎩对系数矩阵经初等行变换后得阶梯形方程组50,0,x z y z +=⎧⎨-=⎩ 可解得一般解为： [5,,]w c c c =-，c 为任一非零常数.12. 证：已知()()()()112112212211,,313b a a b a a b a a b αβ-⎛⎫⎛⎫==-+-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，（1）()()()()112212,3,b a a b a a αββα=-+-+=；（2）()()()()()1112221122,33,,c a b a b c a b a b αβγαγβγ+=+--+--++=+；（3）()()()()112212,3,k kb a a kb a a k αβαβ=-+-+=；（4）()()()()22112212122,320a a a a a a a a a αα=-+-+=-+≥，若(),0αα=，当且仅当1220,0,a a a -=⎧⎨=⎩ 故120a a ==，即0α=.由于(),αβ满足定义4.6中的4个性质，故是2R 的内积.13. 解：（1）1||α=2||α=，3||α=.因为()2323,cos ||||10ααθαα==-，故arccos 10θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. （2）设与123,,ααα都正交的向量为()1234,,,b b b b β=，则可得12341234123420,230,220,b b b b b b b b b b b b +-+=⎧⎪++-=⎨⎪---+=⎩ 经过初等行变换可得阶梯形矩阵：123423420,330,b b b b b b b +-+=⎧⎨-+-=⎩ 解得一般解为()34343455,33,,Tb b b b b b β=-+-，其中34,b b 为自由变量，或者通解表达式为1255331001k k β-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.14. 解：()111,0,1,1Tβα==，)1111,0,1,1||Tβγβ==. ()22211121,,1,,333Tβααγγ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，)2221,3,2,1||Tβγβ==--. ()()333113223112,,,,,5555Tβααγγαγγ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，)3333,1,1,2||Tβγβ==--. 15. 解：()110,0,1Tβα==，()10,0,1Tγ=. ()()22211,0,1,0T βααγγ=-=，()20,1,0Tγ=.()()()33311322,,1,0,0T βααγγαγγ=--=，()31,0,0Tγ=. 16. 证：（1）()()T T T T T AB AB B A AB B EB B B E ====.（2）A 正交，则||1A =±，*1*||A A A A -==±，则**1111()()()T T T A A A A A A E E ----====. 17. 解：已知1T X X =，则(2)(2)(2)(2)T T T T T T Q Q E XX E XX E XX E XX =--=-- 44()44T T T T T E XX X X X X E XX XX E =-+=-+=，即Q 为正交矩阵.若T X =，则122122123221T Q E XX --⎡⎤⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 18. 解：73217737326a Q b c -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，通过T Q Q E =得 214960,1421180,621120,a bc abc -+-=⎧⎪-+=⎨⎪---=⎩解得626,,777a b c =-==-.19. 证：因为T Q Q E =，故对任意n X R ∈，有()()()22||,||TT T T QX QX QX QX QX X Q QX X X X =====，则一定有 ||||QX X =.20.（1）否；（2）是；（3）是；（4）否. 21. 解：（1）A 112(1,1,0)T εεε==+，A 212(1,1,0)T εεε=-=-， A 33(0,0,1)T εε==，所求矩阵为：110110001D ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (2) A ()12110T,,ηη==，A()212002T,,ηη==，A ()31232012T,,ηηηη==-+，故所求的矩阵为022101001⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.22. 解：（1）A 1123(2,3,5)235T εεεε==++,A 2ε=A 110⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ A 1123(1,3,5)35T εεεε=---=---,A 2ε=A 111⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ A 2ε-A 1123(1,1,1)T εεεε=--=-+-,故所求的矩阵为211331551A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.（2）已知1232αεεε=-+，则21124331110551114y AX --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭.23. 解：010001000D ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦24. 证：必要性：因为12,,,n εεε 是V 的标准正交基，则(,),1,i j ij i j n εεδ=≤≤. 因为A 是正交变换，则（A ()i ε，A ()j ε）ij δ=， 1,i j n ≤≤. 即A ()i ε，A ()j ε，…，A ()n ε是V 的标准正交基. P 40.3.(作业册)解：211111111111011312240000---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，解得4343423x x x X x x -⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则解空间的解向量为[]10,1,1,0T α=，[]22,3,0,1Tα=-，通过Schmidt 标准正交化得]10,1,1,0T γ=，]24,3,3,2Tγ=--.。

线性代数 (清华大学出版)课后习题部分解答(第四章)

第四章课后习题及解答1. 证明：T ）（1,1,1,11=α, T ）（1,1,1,12--=α, T ）（1,1,1,13--=α, T ）（1,1,1,14--=α是4R 的一组基, 并求T ）（1,1,2,1=β在这组基下的坐标.证明：0161111111111111111,,,4321≠-=------=）（αααα.R ,,,44321的一组基是αααα∴设β在这组基下的坐标为x ，则x ）（4321,,,ααααβ=，从而 βαααα14321,,,-=）（x⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫--→→⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫------4141414510001000010000111211111111111111111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∴111541x 2. 已知3R 的两组基为.6,1,1,1,2,5,4,1,3,1,7,3,3,3,2,1,2,1T3T 2T 1T1T 2T 1）（）（）（）（）（）（-======βββααα求：（1）向量T2,6,3）（=γ在基{}321,,ααα下的坐标；（2）基{}321,,ααα到基{}321,,βββ的过渡矩阵；（3）用公式（4.7）求γ在基{}321,,βββ下的坐标。

解：（1）设γ在基{}321,,ααα下的坐标为x ，则：x ）（321,,αααγ=从而 γααα1321,,-=）（x⎪⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛→→ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫112100010001263131732321 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∴112x（2）设基{}321,,ααα到基{}321,,βββ的过渡矩阵为A ，则：A ,,,,321321）（）（αααβββ=从而）（）（3211321,,,,A βββααα-= ⎪⎪⎪⎭⎫--- ⎝⎛→→ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫-8124920941712710010001614121153131732321 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=∴81249209417127A （3）设γ在基{}321,,βββ下的坐标为y ，则：x y 1A -= ⎪⎪⎪⎭⎫-⎝⎛→→ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫----4832534153100100111281249209417127⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴83106153414832534153y3. 已知4R 的两组基为.2,1,3,1,2,1,1,2,2,2,1,0,1,0,1,21,0,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,0,1,2,1T4T3T2T1T4T 3T 2T 1）（）（）（）（）（）（）（）（=-===--=-=-=-=ββββαααα（1）求基{}4321,,,αααα到基{}4321,,,ββββ的过渡矩阵；若γ在基{}4321,,,αααα下的坐标为T 0,0,0,1）（，求γ在基{}4321,,,ββββ下的坐标.（2）求基{}4321,,,ββββ到基{}4321,,,αααα的过渡矩阵；若ξ在基{}4321,,,ββββ下的坐标为T 0,1,2,1）（-，求ξ在基{}4321,,,αααα下的坐标.（3）已知向量α在基{}4321,,,αααα下的坐标为T 0,1,2,1）（-，求它在基{}4321,,,ββββ下的坐标.解：（1）设基{}4321,,,αααα到基{}4321,,,ββββ的过渡矩阵为A ，则：A ,,,,,,43214321）（）（ααααββββ=从而）（）（432114321,,,,,,A ββββαααα-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→→⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫------0111101011100110001000010000122211120311112021110011112121111 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴010111010111001A 设γ在基{}4321,,,ββββ下的坐标为y ，则：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0001A 1-y⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→→⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫101-01000100001000010001010111010111001 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴101-0y(2) 设基{}4321,,,ββββ到基{}4321,,,αααα的过渡矩阵为B ，则:B ,,,,,,43214321）（）（ββββαααα= ），，，（），，，（432114321B ααααββββ-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫----⎝⎛→→⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫------11111000001111101000100001000011110111121211112221112031111202⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=∴1111100000111110B设ξ在基{}4321,,,αααα下的坐标为x ，则：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1131012101011101011100101-21A x（3）设α在基{}4321,,,ββββ下的坐标为z ，则：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=20130121111110000011111001-21B z 4. 在4R 中找一个向量γ，它在自然基{}4321,,,εεεε和基T4T3T2T13,1,6,6,1,2,3,5,0,1,3,0,1,1,1,2）（）（）（）（===-=ββββ下有相同的坐标.解：设所求坐标为x ，则它满足：x x ）（）（43214321,,,,,,ββββεεεε= 即：0211111163216501=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000110010101001211111163216501 ∴此齐次线性方程组的一般解为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1111k x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==∴1111,,,4321k x ）（可取εεεεγ 5. 已知）（）（）（2,2,1,1,1,1,3,2,1,1,2,1---=-=-=γβα。

高等数学线性代数习题答案第四章

习题 4-11.验证函数f (x )=lnsin x 在[π5π,66]上满足罗尔定理的条件，并求出相应的ξ，使f ′(ξ)=0.解: 显然()lnsin f x x =在5π,66x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续,在π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭内可导,且π5π()()ln 266f f ==-,满足罗尓定理的条件. 令cos ()cot 0sin x f x x x '===,则π2x =即存在ππ5π(,)66ξα=∈,使()0f ξ'=成立.2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件?有没有满足定理结论中的ξ ?[][][]2(1)()1,;(2)(),;1,10,21sin ,0π(3)()0,π1,0e x f x f x x x x f x x =-=--<≤⎧=⎨=⎩解: (1) 2()1e x f x =-在[]1,1-上连续,在()1,1-内可导,且(1)1,(1)1,e e f f -=-=- 即 (1)(1)f f -=() f x ∴在[]1,1-上满足罗尓定理的三个条件. 令 2()20e x f x x '==得 0x =, 即存在0(1,1)ξ=∈-,使()0f ξ'=.(2) 101()1112x x f x x x x -≤<⎧==-⎨-≤≤⎩显然()f x 在(0,1),(1,2)内连续,又1111(10)lim ()lim(1)0,(10)lim ()lim(1)0,(10)(10)(1)0,即x x x x f f x x f f x x f f f --++→→→→-==-=+==-=-=+==所以()f x 在1x =处连续,而且22(00)lim ()lim(1)1(0),(20)lim ()lim(1)1(2),x x x x f f x x f f f x x f ++--→→→→+==-==-==-==即()f x 在0x =处右连续,在2x =处左连续,所以()f x 在[]0,2上连续.又1111()(1)1(1)lim lim 1,11()(1)1(1)lim lim 111x x x x f x f xf x x f x f xf x x --++-→→+→→--'===-----'===--(1)(1)() f f f x -+''∴≠∴在1x =处不可导,从而()f x 在(0,2)内不可导. 又 (0)(2)1f f == 又由 101()112x f x x -<<⎧'=⎨<<⎩知 ()0f x '≠综上所述,函数()f x 满足罗尓定理的条件(1),(3)不满足条件(2),没有满足定理结论的ξ.(3) 由0(00)lim sin 0(0)1x f x f +→+==≠=知()f x 在0x =不右连续, () f x ∴在[]0,π上不连续, 显然()f x 在()0,π上可导,又(0)1,(π)0f f ==,即(0)(π)f f ≠,且()cos (0,π) f x x x '=∈,取π(0,π)2ξ=∈,有π()cos cos 02f ξξ'===. 综上所述,函数()f x 满足罗尓定理的条件(2),不满足条件(1),(3),有满足定理结论的ξ,ξ=π2. 3. 不用求出函数()(1)(2)(3)f x x x x =---的导数，说明方程()0f x '=有几个实根，并指出它们所在的区间.解: 显然()f x 在[]1,2上连续,在()1,2内可导,且(1)(2)0f f ==,由罗尓定理知,在()1,2内至少存在一点1ξ,使1()0f ξ'=,即()0f x '=在()1,2内至少有一个实根.同理()0f x '=在()2,3内也至少有一个实根2ξ.又()0f x '=是二次方程,最多有两个实根,故()0f x '=有两个实根,分别在区间()1,2和()2,3内.4. 验证拉格朗日中值定理对函数3()2f x x x =+在区间［0，1］上的正确性.解: 显然3()2f x x x =+在［0，1］上连续,在()0,1内可导,满足拉格朗日中值定理的条件.若令2(1)(0)()32310f f f x x -'=+==-则33x =±,取33ξ=,即存在3(0,1)3ξ=∈,使得(1)(0)()10f f f ξ-=-成立. 从而拉格朗日中值定理对函数3()2f x x x =+在［0，1］上成立.5. 已知函数f (x )在［a ,b ］上连续，在(a ,b )内可导，且f (a )=f (b )=0,试证：在(a ,b )内至少存在一点ξ，使得f (ξ)+f ′(ξ) = 0，ξ∈(a ,b ). 证: 令()()e xF x f x =,则()()()e e xxF x f x f x ''=+由e x在(),-∞+∞上连续,可导,()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,知()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,而且()()0,()()0,()()e e 即abF a f a F b f b F a F b =====,由罗尓定理至少存在一点(,)a b ξ∈使()0F ξ'=.即 ()()0e e f f ξξξξ'+= 而0e ξ≠故 ()()0f f ξξ'+=即在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()()0f f ξξ'+=. 6.若方程10110n n n a x a x a x --+++=有一个正根x 0,证明方程 12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=必有一个小于0x 的正根.证: 令1011()…n n n f x a x a x a x --=+++,显然()f x 在[]00,x 连续,在()00,x 内可导,且(0)0f =,依题意知0()0f x =.即有0(0)()f f x =.由罗尓定理,至少存在一点0(0,)x ξ∈,使得()0f ξ'=成立,即12011(1)0…n n n a n a n a ξξ---+-++=成立,这就说明ξ是方程12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=的一个小于0x 的正根.7. 设f (a ) = f (c ) = f (b ),且a ＜c ＜b , f ″(x )在［a ,b ］上存在，证明在(a ,b )内至少存在一点ξ，使f ″(ξ) = 0.证: 显然()f x 分别在[],a c 和[],c b 上满足罗尓定理的条件,从而至少存在1(,)a c ξ∈,2(,)c b ξ∈,使得12()()0f f ξξ''==.又由题意知()f x '在[]12,ξξ上满足罗尓定理的条件,从而至少存在一点12(,)(,)a b ξξξ∈⊂,使得()0f ξ''=.即在(,)a b 内至少存在一点ξ,使()0f ξ''=.习题4-21.利用洛必达法则求下列极限：(1) sin3lim tan5x xxπ→; (2) 0e 1lim (e 1)x x x x x →---;(3)lim m m n n x a x a x a →--； (4) 20()lim x xx a x a x→+-,(a ＞0)； (5) 0ln lim cot x xx +→； (6) 0lim sin ln x x x +→;(7) 1ln(1)lim arccot x x x →+∞+; (8) 0e 1lim()e 1x x x x →--;(9) 1lim(1sin )xx x →+;(10) 2lim (arctan )πx x x →+∞(11) csc 03e lim()2x x x x →-+ ; (12) 2120lim e x x x →;(13) 332lim (1)x x x x x →+∞+++; (14) 1101lim (1)e xxx x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦. 解:222000011sin 33cos33(1)limlim lim cos3cos 5tan 55sec 5533(1)(1)5511(2)lim lim lim (1)111lim 22(3)lim lim lim πππe e e e e e e e e x x x x x xx x x xx xx x x x m m m n n n x a x a x a x x x x x x x x x x x x a mx x a nx →→→→→→→--→→→==⋅=⋅-⋅-=----==--+++==+-==-.m n m nm m x a n n --=2002220()ln ln()()(4)lim lim 21()()()ln ln()()lim2x x x x x x x x x x x a x a a a x a x a a x x xa x a x a x a a a x a x a x a x →→→⎡⎤+-++⎢⎥+-+⎣⎦=⎡⎤++++-++⎢⎥+++⎣⎦=[]2000221()ln ln 012 aa a a aa a a a ++-⋅+==2200000000001ln sin 2sin cos (5)lim lim lim lim cot csc 12sin 0cos 001ln sin (6)lim sin ln lim lim lim tan csc csc cot sin lim lim tan 100 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x xxx x++++++++++→→→→→→→→→→==-=--=-⋅====-⋅-=-⋅=-⨯=222221111ln(1)111(7)lim lim lim lim 111cot 11arc x x x x xx x x x x x x x x→+∞→+∞→+∞→+∞-++++====+-++ 20002200001(1)(8)lim()lim lim 1(1)21443limlim 12022e e e e e e e e e e e e e e e e e e e x x x x x x x x x x x xxxxx x x x x x x xx x x x x x →→→→→-----==-------====+-++00022cos 11ln(1sin )cos 1sin ln(1sin )lim limlim 11sin 12112ln(arctan )arctan 1limlim 112ln(arctan )(9)lim(1sin )lim 2(10)lim (arctan )lim πππee =e ee ee eeπx x x x x xx xx x xxxxx x x x x x x x xxx x x x →→→→+∞→+∞++++→→⋅⋅+-→+∞→+∞+========2221lim12lim(1)arctan (1)arctan πe e ex x x x x xx →+∞→+∞--+-+===020033lnln322csc ln lim csc 2sin sin 0002(2)(3)33(2)limlim 1(3)(2)cos cos 3(11)lim()lim lim 21e e e e e e e e eee ee exxxx x x x x x x x x e e e x x x x xxxxx x x x x x x x xxx →→→---+++→→→+-+--⋅----+--+-===+====22221111220000221()(12)lim limlimlim 11()e eee x x x x x x x x x x x x→→→→'⋅====∞'2002332322332232323232311ln(1)1ln(1)1lim lim lim 01(13)lim (1)lim(1)111111lim3111111111(1)111(14)lim (1) eeee x x x x x x x x xx xxx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx →→→+∞→+∞→+∞+-+-→+++++-=++++++++++===++++++++++⎡⎤===+⎢⎥⎣⎦00111211lim2(1)2eex x xx →→-+--+==2.设21lim1x x mx nx →++-=5,求常数m ,n 的值. 解: 1lim(1)0, x x →-= 而21lim51x x mx nx →++=- 21lim()0x x mx n →∴++=且21()lim5(1)x x mx n x →'++='- 即 10m n ++= 且 1lim(2)5x x m →+=即 1m n +=- 且 25m += 于是得 3,4m n ==-. 3.验证极限sin lim x x xx→∞+存在，但不能由洛必达法则得出.解: sin 1limlim(1sin )1x x x x x x x→∞→∞+=+=,极限存在,但若用洛必达法则,有sin limlim(1cos )x x x xx x→∞→∞+=+ 因lim cos x x →∞不存在,所以不能用洛必达法则得出.4.设f (x )二阶可导，求2()2()()limh f x h f x f x h h →+-+-.解: 这是型未定式,利用洛必达法则有 [][]200000()2()()()()limlim2()()()()1lim 21()()1()()11lim lim ()()2222().h h h h h f x h f x f x h f x h f x h h hf x h f x f x h f x hf x h f x f x h f x f x f x h h f x →→→→→''+-+-+--=''''-+---=''''+---''''=+=+-''= 5.设f (x )具有二阶连续导数，且f (0) = 0,试证g (x ) = (),0'(0),0f x x x f x ⎧≠⎪⎨⎪=⎩可导，且导函数连续. 证: 当0x ≠时,2()()()()()f x xf x f x g x x x'-''== 当0x =时,由200000()(0)()(0)()(0)lim lim lim 00()(0)1()(0)1lim lim (0)2202x x x x x f x f g x g f x xf x x x x f x f f x f f x x →→→→→'-'--==--''''--''===- 即 1(0)(0)2g f '''=所以 2()(),0()1(0),02xf x f x x xg x f x '-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩由(),()f x f x '的连续性知()g x '在0x ≠处连续,又20000()()()()()lim ()limlim211lim ()(0)(0)22x x x x xf x f x f x xf x f x g x x xf x fg →→→→'''''-+-'=='''''===故()g x '在0x =处连续,所以()g x '在(),-∞+∞内处处连续.综上所述,(),0()(0),0f x xg x x f x ⎧≠⎪=⎨⎪'=⎩可导,且导函数连续.习题4-31.求函数f (x ) =e x x 的n 阶马克劳林公式.解:()()(1),()(1)(2),()()?…x x x x x x k x f x e xe e x f x e x e e x f x e k x '=+=+''=++=+=+()()(0)1(0),(1,2,3,)!!(1)!k k f k fk k k k k ∴====-又 (0)0f =321(1)()(01)2!(1)!(1)!n x n x x e n x f x x x x n n θθθ+++∴=+++++<<-+2.当01x =-时，求函数f (x ) = 1x的n 阶泰勒公式. 解:()()[]23()2341()1()112212!3!!()(1),()(1),()(1),,()(1)!(1)(1)!(1)(1)!1,(0,1,2,)!!(1)()(1)1(1)111(1) ? … n nn n n n n n n nn n f x f x f x f x x x x x n f n f n n n n x f x x x x x θ-++++''''''=-=-=-=-∴-=-⋅=----==-=+∴=-+-⎡⎤+++++++⎣⎦-++(01)θ<<3.按(4)x -的乘幂展开多项式432()53 4.f x x x x x =-+-+解: 函数432()534f x x x x x =-+-+,根据泰勒公式按(4)x -的幂的展开式是2(4)34(4)()(4)(4)(4)(4)2!(4)(4)(4)(4)3!4! f f x f f x x f f x x '''=+-+-'''+-+-而[][][]432324244(4)(4)454434456,(4)21,41523(4)137,123022!2(4)111,24303!3!(4)12414!4!x x x f f x x x f x x f x f ====-⨯+-⨯+=-'==-+-''==-+'''==-=⨯=所以,234()5621(4)37(4)11((4)(4)f x x x x x =-+-+-+-+-.4.利用泰勒公式求下列极限: (1)30sin limx x x x →-; (2) 21lim ln(1)x x x x →+∞⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦. 解: (1) 利用泰勒公式,有34sin ()3!x x x o x =-+所以 343300430()sin 3!lim lim 1()1lim()66x x x x o x x x x x o x x →→→--==-= (2) 利用泰勒公式,有221111ln(1)()2o x x x x+=-+,所以222222221111lim lim ln(1)(())21()1111lim lim .()1222x x x x x x x x o x x x x o x x o x x →+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤=-+--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 习题4-41. 求下面函数的单调区间与极值：(1)32()26187f x x x x =---； (2)()ln f x x x =-；(3)23()1(2)f x x =--； (4)()(4)f x x x =-. 解: (1) 2()612186(1)(3),f x x x x x '=--=+-令()0f x '=得驻点121,3,x x =-=-在()(),,13,-∞-+∞上,()0f x '>,在()1,3-上()0f x '<∴ ()f x 在(,1],[3,)-∞-+∞上单调增加,在[]1,3-上单调减少.当 1x =-时, ()f x 有极大值,极大值为(1)3f -=, 当 3x =时,()f x 有极小值,极小值为(3)61f =-.(2) 11()1x f x x x-'=-=,令()0f x '=得驻点1x =在()0,1上,()0f x '<;在()1,+∞上,()0f x '>∴ ()f x 在(0,1]上单调递减;在[1,)+∞上单调递增. 当1x =时,()f x 有极小值,极小值为(1)1f =. (3) 3()()032f x f x x ''=≠- 但当2x =时,()f x '不存在,在(,2)-∞上,()0f x '>;在(2,)+∞上,()0f x '<,∴ ()f x 在(,2]-∞上单调递增;在[2,)+∞上单调递减. 当2x =时, ()f x 有极大值,极大值为(2)1f =.(4) 2240()40x x x f x x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩ ,则 240()240x x f x x x ->⎧'=⎨-+<⎩且当 0x =时,()f x '不存在,又令()0f x '=得2x =在(,0),(2,)-∞+∞上,()0f x '>,在(0,2)上()0f x '<∴ ()f x 在(,0],[2,)-∞+∞上单调递增;在[0,2]上单调递减; 当0x =时,()f x 有极大值,极大值为(0)0f =; 当2x =时, ()f x 有极小值,极小值为(2)4f =-.2. 试证方程sin x = x 只有一个根.证: 显然0x =是方程sin x x =得一个根(亦可将()sin f x x x =-运用零点定理).令()sin f x x x =-,则()cos 10f x x '=-≤,而()0f x '=的点不是单调区间的分界点,故()f x 在(,)-∞+∞内单调下降,所以()f x 在(,)-∞+∞内只有一个零点,即方程sin x x =只有0x =一个根.3. 已知()([0,))f x C ∈+∞，若f (0) = 0, f ′(x )在[0,)+∞内存在且单调增加，证明()f x x在［0,＋∞)内也单调增加.解: 0 x ∀>,由题意知()f x 在[]0,x 上满足拉格朗日中值定理的条件,利用拉格朗日中值定理得,(0,) x ξ∃∈,使()(0)()f x f xf ξ'-=, 因 ()f x '在[0,)+∞单调增加,且(0)0f =,所以()()()f x xf xf x ξ''=≤ 即 ()()0xf x f x '-≥令 ()()(0) f x F x x x=>,则 2()()()0xf x f x F x x '-'=≥ 所以()F x 单调递增,即 ()f x x在(0,)+∞内单调增加.4. 证明下列不等式：(1) 1+12x 1x +x ＞0； (2)2ln(1)(0)2 x x x x x -<+<>. 证: (1) 令 1()112f x x x =+-+则1()(121f x x'=+, 当 0x >时1,()01f x x'<>+即()f x 单调递增,从而 ()(0)0f x f >=,故1112x x +>+. (2) 令 2()ln(1)2x f x x x =+-+,则 21()111x f x x x x'=-+=++当 0x >时,有()0f x '>,即()f x 单调递增,从而()(0)0f x f >= ,即2ln(1)2x x x +>-又令 ()ln(1)g x x x =-+,则1()111xg x x x'=-=++ 当 0x >时,()0g x '>,即 ()g x 单调递增,从而()(0)0g x g >=,即ln(1)x x >+.综上所述,当0x >时有2ln(1)2x x x x -<+<. 5. 试问a 为何值时，f (x ) = a sin x +13sin ３x 在x =3π处取得极值?是极大值还是极小值?并求出此极值.解: ()cos cos3f x a x x '=+若3πx =为极值点,则cos cos 03ππa +=,所以2a =. 又()2sin 3sin 3,()303πf x x x f ''''=--=-<故函数在3πx =处取得极大值,极大值为()33πf =.习题4 - 51. 某个体户以每条10元的价格购进一批牛仔裤，设此批牛仔裤的需求函数为402Q P =-,问该个体户应将销售价定为多少时，才能获得最大利润? 解: 利润2()10260400L P PQ Q P P =-=-+-, ()460L P P '=-+,令 ()0L P '=得 P =15所以应将销售价定为每条15元,才能获得最大利润. 2.设 f (x ) = cx α (c ＞0,0＜α＜1)为一生产函数，其中c 为效率因子，x 为投入量，产品的价格P 与原料价格Q 均为常量，问：投入量为多少时可使利润最大? 解: 依题意,总利润()()()L x Pf x Q x P cx Qx α=-=⋅- 则 1()L x Pc xQ αα-'=-令 ()0L x '=得 11Q x Pc αα-⎛⎫=⎪⎝⎭所以,投入量为11Q Pc αα-⎛⎫⎪⎝⎭时利润最大.3. 某产品的成本函数为23()156C Q Q Q Q =-+，(1) 生产数量为多少时，可使平均成本最小?(2) 求出边际成本，并验证边际成本等于平均成本时平均成本最小. 解: (1) 2()()156C Q C Q Q Q Q==-+ 令 260()Q C Q '=-=⎡⎤⎣⎦得Q =3 故生产数量3Q =时,可使平均成本最小. (2) 2()15123MC C Q Q Q '==-+当 3Q =时,15123396MC =-⨯+⨯=2()156336C Q =-⨯+=即边际成本等于平均成本时平均成本最小. 4. 已知某厂生产Q 件产品的成本为C ＝25000＋2000Q ＋1402Q （元). 问：(1) 要使平均成本最小，应生产多少件产品?(2) 若产品以每件5000元售出，要使利润最大，应生产多少件产品? 解: (1) 平均成本 250001()200040C Q Q Q =++ 边际成本1()200020C Q Q '=+. 当()()C Q C Q '=时,平均成本最小, 由()()C Q C Q '=即2500011200020004020Q Q Q ++=+ 得1000Q =(负值不合题意已舍去). 所以要使平均成本最小,应生产1000件产品.(2)221()5000()500025000200040130002500040L Q Q C Q Q Q Q Q Q =-=---=-+-令 1()3000020L Q Q '=-+=, 得60000Q =(件) 所以应生产60000件产品.5. 某厂全年消耗(需求)某种钢材5170吨，每次订购费用为5700元，每吨钢材单价为2400元，每吨钢材一年的库存维护费用为钢材单价的13.2%，求： (1) 最优订购批量； (2) 最优批次； (3) 最优进货周期； (4) 最小总费用.解: 由题意 215170,5700,1,240013.2%316.8 R C T C ====⨯= 则(1)最优订购批量*431.325q === (2)最优批次 5170*12*431.325R n q ==≈(次) (3)最优进货周期 36530.452*12T t n ===(天) (4)最小总费用*136643.9E ==≈(元)6. 用一块半径为R 的圆形铁皮，剪去一圆心角为α的扇形后，做成一个漏斗形容器，问α为何值时，容器的容积最大?解: 设漏斗的底面半径为r ,高为h ,为了计算方便令2ϕπα=-,则2,,2ππR r R r h ϕϕ====漏斗的容积2322123(83)πππV hr V ϕϕ==<<'=-令 0V '=得10ϕ=(舍之),2ϕ=34222237),40,9πππV V ϕϕϕ''=-+-⎫''=-<⎪⎭故当ϕ=时漏斗得容积最大.由2πϕα=-得2π2πα=-=,所以,当2ππ3α=-时,容积最大. 7. 工厂生产出的酒可即刻卖出，售价为k ；也可窖藏一个时期后再以较高的价格卖出.设售价V 为时间t 的函数V = k (k ＞0)为常数.若贮存成本为零，年利率为r ，则应何时将酒售出方获得最大利润(按连续复利计算). 解: ()e rt rtA t k k -=⋅=令()0rtr A t k ⎫'==⎪⎭得214t r = 所以,应窖藏214r 时以后售出可获得最大利润. 8. 若火车每小时所耗燃料费用与火车速度的三次方成正比，已知速度为20km/h ，每小时的燃料费用40元，其他费用每小时200元，求最经济的行驶速度. 解: 设火车每小时所耗燃料费为Q ,则 3Q kv = (k 为比例常数) 依题意得 34020k =⋅, 解得 1200k =, 又设火车行驶()km s 后,所耗费用为, 32200(200)()s E kv kv s v v=+⋅=+ 令 2200()0100v E s v'=-=, 得27.14v =≈ (km/h), 所以,最经济得行驶速度为27.14 km/h.习题 4-61. 讨论下列函数的凸性，并求曲线的拐点：(1) y =2x －3x ； (2) y = ln(1+2x )； (3) y = x e x； (4) y = 4(1)x +＋e x； (5) y =2(3)x x +； (6) y=arctan e x. 解: (1)223,126,0.3令得 y x x y x y x '=-''''=-==当13x <时,0y ''>; 当13x >时,0y ''<,且12()327f =所以,曲线23y x x =-在1(,)3-∞内是下凸的,在1(,)3+∞内是上凸的,点12(,)327是曲线的拐点.(2) 222222222(1)222(1),1(1)(1)x x x x x y y x x x +-⋅--'''===+++, 令0y ''=得,121,1x x =-=,这两点将定义域(,)-∞+∞分成三个部分区间,列表考察各部分区间上二阶导数得符号.所以,曲线2ln(1)y x =+在(,1)-∞-及(1,)+∞内是上凸的,在(1,1)-内是下凸的,点(1,ln 2)±是曲线的拐点.(3) 324(1),12(1)0xxy x e y x e '''=++=++> 所以,曲线在定义域(,)-∞+∞内处处下凸,没有拐点.(4) 343212,(3)(3)x x y y x x --'''==++,令 0y ''=得6x =当 6x <时,0y ''<,当6x >时,0y ''>;又2(6)27f =,函数的定义域为(,3)(3,)-∞--+∞;所以曲线在(,3),(3,6)-∞--内上凸,在(6,)+∞内下凸,点2(6,)27是拐点. (6)arctan 2arctan arctan arctan 2222221112(12)(1)(1)(1)x x x xy e x x x e y e e x x x '=⋅+-''=⋅-⋅=+++令 0y ''= 得 12x =当 12x <时,0y ''>,当12x >时,0y ''<,且 1arctan 21()2e f =,所以曲线在1(,)2-∞内向下凸,在1(,)2+∞内向上凸,点1arctan 21(,)2e是拐点.2. 利用函数的凸性证明下列不等式：(1) e e 2x y+＞2e x y+， x ≠y ;(2) x ln x +y ln y ＞(x +y )ln2x y +,x ＞0,y ＞0,x ≠y .证: (1) 令()e xf x =,则()e xf x '=,()0e xf x ''=>,所以函数()f x 的曲线在定义域(,)-∞+∞内是严格下凸的,由曲线下凸的定义有: ()(),()()22x y f x f y x y f x y ++∀≠<≠ 即 22e e ex y x y ++< 即2()2e e e x yx y x y ++>≠. (2) 令()ln f x x x =,则1()1ln ,()f x x f x x'''=+=当 0x >时,恒有()0f x >,所以()f x 的曲线在(0,)+∞内是严格下凸的,由曲线下凸的定义有, 0,0,,x y x y ∀>>≠有()()()22f x f y x y f ++>即ln ln ()ln222x x y x y x y+++> 即 ln ln ()ln 2x yx x y y x y ++>+.3. 当a ，b 为何值时，点(1，3)为曲线y =a 3x +b 2x 的拐点. 解: 因为32y ax bx =+是二阶可导的,所以在拐点处0y ''=,而 232,62y ax bx y ax b '''=+=+ 所以 620a b +=又拐点(1,3)应是曲线上的点,所以3a b +=解方程6203a b a b +=⎧⎨+=⎩ 得 39,22a b =-=所以当39,22a b =-=时,点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点. 4. 求下列曲线的渐近线：(1) y = ln x ; (2) 22x -;(3) y = 23xx-； (4) y = 221x x -. 解: (1) 0lim lim ln x x y x ++→→==-∞,所以ln y x =有垂直渐近线 0x =. 又 lim x y →+∞=+∞,但1ln lim lim lim 01x x x y xx y x x→+∞→+∞→+∞====,lim (0)x y x →+∞-⋅=∞,所以不存在水平或斜渐近线.(2) 220x x -=,所以有水平渐近线0y =,又22lim 0x x x y x -→∞→∞==,所以没有斜渐近线,又函数22x y -=没有间断点,因而也没有垂直渐近线.(3) 221limlim 0331x x xxx x→∞→∞==--,所以有水平渐近线0y =,又函数23xy x==-有两个间断点x x == 且22,,3x x xxx x=∞=∞--所以有两条垂直渐近线x =x = 又 21lim lim 3x x y x x →∞→∞==∞-,所以没有斜渐近线.(4) 2lim lim21x x x y x →∞→∞==∞-,所以没有水平渐近线, 又函数221x y x =-有间断点12x =,且212lim21x x x →=∞-,所以有垂直渐近线12x =. 又1limlim 212x x y x x x →∞→∞==- 2111lim()lim()lim 22122(21)4x x x x x y x x x x →∞→∞→∞-=-==-- 所以有斜渐近线1124y x =+. 5.作出下列函数的图形：(1) f (x ) =21xx +； (2) ()2arctan f x x x =- (3) ()2,(0,)e xf x x x -=∈+∞. 解: (1) (i) 定义域为(,)-∞+∞.()()f x f x -=-,故曲线关于原点对称.(ii)21lim limlim 012x x x x y x x→∞→∞→∞===+,故曲线有渐近线0y =.(iii) 222222121,(1)(1)x x x x y x x +-⋅-'==++ 22223322423232(1)(1)2(1)222442(3)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x y x x x -+--⋅+⋅---+-''===+++,令0y '=即210x -=得驻点1x =±,又使0y ''=的点为0,3x =±.列表讨论如下x(,3)-∞-3-(3,1)--1-(1,0)-0 y′ - - - 0 + 1 y″- 0+++ 0 y34-拐点12-极小值x(0,1)1 (1,3)3(3,)+∞y′ + 0 - - - y″- -- 0+y12极大值34拐点作图如下:图4-1(2) (i) 定义域为(,)-∞+∞.又 ()arctan y x x x y -=-+=-,故为奇函数.(ii) 2arctan lim ,limlim (1)1,x x x y x y x x→±∞→±∞→±∞=∞=-=πlim ()lim (2arctan )(2)()π2x x y x x →±∞→±∞-=-=-±= 所以有渐近线πy x =.(iii) 222211,11x y x x -'=-=++ 2222222(1)(1)24,(1)(1)x x x x x y x x +--⋅''==++令 0y '=得驻点1x =±,又使0y ''=的点为0x =. 列表如下:x(,1)-∞-1-(1,0)-(0,1)1 (1,)+∞y′+ 0 - -1 - 0 + y″- --+ ++yπ12-+极大值拐点π12-极小值图4-2(3) (i) 定义域为(,)-∞+∞,且()((,))f x C ∈-∞+∞. (ii) ()2(1),()2(2),e e xxf x x f x x --'''=-=-由()0f x '=得1x =,由()0f x ''=得2x =,把定义域分为三个区间 (,1),(1,2),(2,);-∞+∞ (iii) 列表如下.x(,1)-∞1 (1,2)2 (2,)+∞f ′(x ) + 0 - - - f ″(x )- -- 0+ ()f x2e极大值24(2,)e 拐点(iv) lim ()0x f x →+∞=,故曲线()y f x =有渐近线0y =,lim ()x f x →+∞=-∞.(v) 补充点(0,0)并连点绘图,如图所示:图4-3（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

线性代数第四章习题答案

0 a+1 1 −1
1 − a2 = (a + 1)2 (a − 2). a
a −1 a
0 a + 1 −1 − a
1 −1
所以, a = −1 或 a = 2 时向量组线性相关. 更常规的思路是: 向量组 a1 , a2 , a3 线性相关, 则存在不全为零的数 k1 , k2 , k3 使得
k1 a1 + k2 a2 + k3 a3 = 0.
50
第四章向量组的线性相关性解: (1) 因为
A= −1 2 3 1 1 0 1 −1 0 0 2 7 2 1 7 2 −1 0 0 2 1 0 1 1 , 0
r2 + 3r1 4 r3 + r1 1
可见 R(A) = 2, 所以该向量组是线性相关的. 或者: 由 −1 2 1 3 + 1 = 4 1 0 1 知线性相关. (2) 因为

1 a3 = −1 1
4
.
解: 由 3(a1 − a) + 2(a2 + a) = 5(a3 + a) 得 2 10 1 1 5 + 1 1 a = (3a1 + 2a2 − 5a3 ) = 6 2 1 3 5 3= 3 0 1
2
;

4 −2 1 , b3 = B : b1 = , b2 = 1 1 1 3 1 2
2

0

4
.
即线性方程组

《线性代数》(陈维新)习题答案(第4章)

⇔ 矩阵 [α1 α 2 α 3 ] 的秩是否与矩阵 [α1 α 2 α 3
解对矩阵 [α1
β ] 的秩相同.
α 2 α 3 β ] 作初等行变换化为阶梯形:
[α1
1 2 3 1 7 1 2 −1 α2 = α 3 β ] 3 7 −6 − 2 → 0 1 −3 − 5 . 5 8 1 a 0 0 0 a − 1 5
证明设�� ≠ �� ∈ �� ，则��，2��， ⋯ ，��， ⋯ ∈ �� 。下证当�� ≠ ��时，�� ≠ ��。 (反证) 若�� = ��，则(�� − ��)�� = ��，因�� ≠ ��，则�� − �� = 0，这与 �� ≠ ��矛盾，所以�� 中至少有无穷多个向量��，2��， ⋯ ，��， ⋯。
第四章线性空间和线性变换
习题 4.1
1．检验以下集合关于所指定的运算是否构成实数域��上的线性空间： (1) ��阶实对称矩阵的全体，关于矩阵的加法和实数与矩阵的数乘； (2) 次数等于��(�� ≥ 1)的实系数一元多项式的全体，关于多项式的加法和实数与多项式的数乘； (3) 有理数的全体��，关于数的加法和实数与有理数的乘法；： (4) 平面上全体向量��2 ，关于通常的向量加法和如下定义的数量乘法“∘” 解 (1) 是因为任意两个��阶实对称矩阵和是��阶实对称矩阵，任意一个实数乘以��阶实对称矩阵也是��阶实对称矩阵，所以��阶实对称矩阵的全体关于矩阵的加法和实数与矩阵的数乘运算是封闭的。下面验证八条运算规律成立。记��阶零矩阵为��，显示��是实对称矩阵，且对任意的��阶实对称矩阵��都有�� + �� = ��。对任意的��阶实对称矩阵��，显然−��也是��阶实对称矩阵，且�� + (−��) = ��。其它 6 条运算规律显然成立，这里就不证。由此可知，��阶实对称矩阵的全体，关于矩阵的加法和实数与矩阵的数乘否构成实数域 ��上的线性空间。 (2) 否因为零多项式的次数不是��，所以这个集合不含零向量，因此次数等于��(�� ≥ 1)的实系数一元多项式的全体，关于多项式的加法和实数与多项式的数乘不能构成实数域��上的线性空间。或者说：因为两个任意的次数等于��(�� ≥ 1)的实系数一元多项式和的多项式次数不一定等于��，有可能小于��，所以关于多项式的加法不封闭，因此次数等于��(�� ≥ 1)的实系数一元多项式的全体，关于多项式的加法和实数与多项式的数乘不能构成实数域��上的线性空间。 �� ∘ �� = ��，∀�� ∈ ��，∀�� ∈ ��2

线性代数第4章习题答案(48p)

k 1 k 1 −1 = k 2 − 3k − 4 = (k − 4)(k + 1) ≠ 0 1
由于 D = 1
2 −1
⇒ k ≠ 4且k ≠ −1. 故应选 (C) .
(2) 线性方程组 Am×n X = b 有唯一解的条件是 B ). 有唯一解的条件是( (B) R(A) = R(A b) = n ; (A) m = n ; ) 都不对. 都不对 (C) Ax = θ 只有零解只有零解; (D) (A),(B),(C)都不对解: 线性方程组 Am×n X = b 有唯一解的充要条件是其系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且为n 选项(A)只系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且为 . 选项只表明方程组中方程的个数与未知量个数相同, 表明方程组中方程的个数与未知量个数相同此时系数矩阵的秩与增广矩阵的秩未必相等且为n 数矩阵的秩与增广矩阵的秩未必相等且为 , 故选项 (A)不正确选项成立的条件是系数矩阵的秩为 , 不正确. 选项(C)成立的条件是系数矩阵的秩为成立的条件是系数矩阵的秩为n 不正确也不正确. 但此时增广矩阵的秩未必为n, 故选项(C)也不正确但此时增广矩阵的秩未必为故选项也不正确由排除法知选项(B)正确因此应选(B). 由排除法知选项正确, 因此应选正确
四. 求方程组
x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 = 5 的特解. x1 − x2 + x3 + x4 = 1 的特解
解: B = 1 2 3 4 5 → 1 2 3 4 5 1 −1 1 1 1 0 −3 −2 −3 −4
∴ R( A) = R( B) = 2 < 4 = n.
α 4. 设Ax = b为四元齐次线性方程组，R(A)=3，1 , α 2 , α 3 为四元齐次线性方程组，为四元齐次线性方程组，

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习题四答案(A)1．求下列矩阵的特征值与特征向量:(1) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3113 (2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---122212221 (3) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022 (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--201034011 (5) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011102124 (6)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----533242111 解（1）矩阵A 的特征多项式为=-A E λ)4)(2(3113--=--λλλλ，所以A 的特征值为4,221==λλ．对于21=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )2(O ，可得它的一个基础解系为)1,1(1=αT ，所以A 的属于特征值2的全部特征向量为)1,1(111k k =αT (01≠k 为任意常数)．对于42=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )4(O ，可得它的一个基础解系为)1,1(2-=αT ，所以A 的属于特征值4的全部特征向量为)1,1(222-=k k αT(02≠k 为任意常数)．（2）矩阵A 的特征多项式为=-A E λ)3)(1)(1(122212221--+=------λλλλλλ，所以A 的特征值为11-=λ，12=λ，33=λ．对于11-=λ，解对应齐次线性方程组=--X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)0,1,1(1-=αT ，所以A 的属于特征值-1的全部特征向量为)0,1,1(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)．对于12=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)1,1,1(2-=αT ，所以A 的属于特征值1的全部特征向量为)1,1,1(222-=k k αT (02≠k 为任意常数)．对于33=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )3(O ，可得它的一个基础解系为)1,1,0(3-=αT ，所以A 的属于特征值3的全部特征向量为)1,1,0(333-=k k αT (03≠k 为任意常数)．(3) 矩阵A 的特征多项式为=-A E λ)4)(1)(2(2021222--+=--λλλλλλ，所以A 的特征值为11=λ，42=λ，23-=λ．对于11=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)2,1,2(1-=αT ，所以A 的属于特征值1的全部特征向量为)2,1,2(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)．对于42=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )4(O ，可得它的一个基础解系为)1,2,2(2-=αT ，所以A 的属于特征值4的全部特征向量为)1,2,2(222-=k k αT (02≠k 为任意常数)．对于23-=λ，解对应齐次线性方程组=--X A E )2(O ，可得它的一个基础解系为)2,2,1(3=αT ，所以A 的属于特征值-2的全部特征向量为)2,2,1(333k k =αT (03≠k 为任意常数)．(4)矩阵A 的特征多项式为=-A E λ)3()1(212123242--=------λλλλλ，所以A 的特征值为12,1=λ（二重），23=λ．对于12,1=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)1,2,1(1-=αT ，所以A 的属于特征值1的全部特征向量为)1,2,1(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)．对于23=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )2(O ，可得它的一个基础解系为)1,0,0(2=αT ，所以A 的属于特征值2的全部特征向量为)1,0,0(222k k =αT (02≠k 为任意常数)．(5)矩阵A 的特征多项式为=-A E λ2)2(11132124-=------λλλλλ，所以A 的特征值为01=λ，23,2=λ（二重）．对于01=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )0(O ，可得它的一个基础解系为)2,1,1(1--=αT ，所以A 的属于特征值0的全部特征向量为)2,1,1(111--=k k αT (01≠k 为任意常数)．对于23,2=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )2(O ，可得它的一个基础解系为)0,1,1(2-=αT ，所以A 的属于特征值2的全部特征向量为22αk )0,1,1(2-=k T (02≠k 为任意常数)．(6)矩阵A 的特征多项式为=-A E λ)3()1(212123242--=------λλλλλ，所以A 的特征值为61=λ，23,2=λ（二重）．对于61=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )6(O ，可得它的一个基础解系为)3,2,1(1-=αT ，所以A 的属于特征值6的全部特征向量为)3,2,1(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)．对于23,2=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )2(O ，可得它的一个基础解系为)0,1,1(2-=αT ，)1,0,1(3=αT ，所以A 的属于特征值2的全部特征向量为3322ααk k +)0,1,1(2-=k T )1,0,1(3k +T (32,k k 为不全为零的任意常数)．2．设A 为n 阶矩阵， (1) 若O A ≠，且存在正整数k ，使得O A k=(A 称为幂零矩阵)，证明:A 的特征值全为零；(2) 若A 满足A A =2(A 称为幂等矩阵)，证明:A 的特征值只能是0或1；(3) 若A 满足E A =2(A 称为周期矩阵)，证明: A 的特征值只能是1或1-．证明：设矩阵A 的特征值为λ，对应的特征向量为α，即λαα=A .（1）因αλαk k A =，而,O A k=故O k =αλ.又因O ≠α，故0=k λ，得.0=λ（2）因αλα22=A ，而,2A A =故αλααλα22===A A ，即.)(2O =-αλλ又因O ≠α，故02=-λλ，得0=λ或1.（3）同（2）可得αλααα22===A A ，即.)1(2O =-αλ又因O ≠α，故012=-λ，得1=λ或1-.3．设21,αα分别为n 阶矩阵A 的属于不同特征值1λ和2λ的特征向量，证明:21αα+不是A 的特征向量．证明：反证法.若21αα+是A 的特征向量，相应的特征值为λ，则有)()(2121ααλαα+=+A ，即2121λαλααα+=+A A .又因21,αα分别为矩阵A 的属于特征值1λ和2λ的特征向量，即111αλα=A ，222αλα=A ，则2121λαλαλαλα+=+，即O =-+-2211)()(αλλαλλ.因21,αα是矩阵A 的属于不同特征值的特征向量,故21,αα线性无关，于是可得0,021=-=-λλλλ，即21λλλ==，矛盾.4．证明定理4.4.若λ是n 阶矩阵A 的特征值，则(1)设m m x a x a a x f +++= 10)(，则)(λf 是)(A f 的特征值，其中m m A a A a E a A f +++= 10)()(N m ∈；(2)若A 可逆，则0≠λ，且λ1是1-A 的特征值，λ||A 是A 的伴随矩阵*A 的特征值．证明：设矩阵A 属于特征值λ的特征向量为α，即λαα=A .（1）因故)(λf 是)(A f 的特征值.（2）因A 可逆，故0||≠A .而||A 为A 的特征值之积，故A 的特征值0≠λ.用1-A 左乘λαα=A 两端得 αλλααα111---===A A A A .因0≠λ，故αλα11=-A ，即λ1是1-A 的特征值. 因1*||-=A A A ，故λ||A 是A 的伴随矩阵*A 的特征值．5．证明:矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的特征值全不等于零．证明：因矩阵A 可逆，故0||≠A .由n n A λλλλ,,(||11 =是A 的全部特征值）得01≠n λλ ，故),,1(0n i i =≠λ.6．已知三阶矩阵A 的特征值为1，2，3，求*12,,3A A E A A -++的特征值．解：由矩阵的特征值的性质得 A A 32+的特征值为41312=⨯+，102322=⨯+，183332=⨯+；1-+A E 的特征值为34311,23211,2111=+=+=+；因6321||=⨯⨯=A *A 的特征值为236,326,616===. 7． A 是三阶矩阵，已知0|3|,0|2|,0||=-=-=+A E A E A E ，求|4|A E +．解：因,0||)1(||3=+-=--A E A E 0|3|,0|2|=-=-A E A E ，故三阶矩阵A 的全部特征值为－1，2， 3.因此A E +4的特征值为,734,624,3)1(4=+=+=-+于是126763|4|=⨯⨯=+A E .8．已知向量)1,,1(k =αT 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211121112A 的逆矩阵1-A 的特征向量，求常数k 的值．解：因α是1-A 的特征向量，故也是A 的特征向量.设对应的特征值为λ，于是由λαα=A 可得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++λλλ2112112k k k k ，解得2-=k 或1=k .9．证明:如果矩阵A 可逆，则BA AB ~．证明：因BA BA A A A AB A ==--))(()(11，且A 可逆，则BA AB ~．10．如果B A ~，证明：存在可逆矩阵P ，使得BP AP ~．证明：因B A ~，故存在可逆矩阵P ，使得AP P B 1-=.将上式两端右乘，P 得P AP P AP P BP )(11--==，即BP AP ~.11．如果B A ~，D C ~，证明:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D O O B C O O A ~．证明：因B A ~，D C ~，故存在可逆矩阵Q P ,，使得CQ Q D AP P B 11,--==.于是有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---D O O B Q O O P C O O A Q OO P Q O O P C O O A Q O O P 111. 而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Q O O P 可逆，故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D O O B C O O A ~.12．已知A 为二阶矩阵，且0||<A ，证明:存在可逆矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵．证明：A 为二阶矩阵，且0||<A ，故A 必有两个不等特征值，因此必存在可逆矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵．13．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x A 14020112与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21y B 相似，求(1) 常数x 和y 的值；(2) 可逆矩阵P ，使得B AP P =-1．解：（1）因B A ~，故B A 与有相同的特征值.而B 的特征值为2,,1y -，故－1，2也是A 的特征值.而=-A E λ]42)2()[2(140201122+--+-=-----+x x xλλλλλλ. 将1-=λ代入上式中得3=x .于是可得)1()2(2+-=-λλλA E ，故有A 的特征值为2,2,1-，因此2=y .（2）由（1）知A 的特征值为11-=λ，23,2=λ（二重）．对应11-=λ的无关特征向量为)1,0,1(1=αT ，对应23,2=λ的无关特征向量为)0,4,1(2=αT ，)4,0,1(3=αT ，令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=401040111P ，则P 可逆，且B AP P =-1.14．设三阶矩阵A 的特征值为1， 2， 3，对应的特征向量分别为)1,1,1(T ，)1,0,1(T ，)1,1,0(T ，求(1)A ；(2)n A ．解：（1）令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111101011P ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3211AP P .而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-1011101111P 则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-4122121113211P P A . （2）因⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-3211ΛAP P ，所以1-=P P A Λ，故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-1011101113211111010111n nn n P P A Λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+------=13221311313112211n n n n n n n n. 15．判断第1题中各矩阵是否可以对角化?若可以对角化，求出可逆矩阵P ，使得AP P 1-为对角阵．解：由第1题结果知(1) 可以对角化， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111P ； (2) 可以对角化， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=110111011P ；(3) 可以对角化， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=212221122P ； (4) (5) 不可以对角化；(6) 可以对角化， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=103012111P ．16．证明正交矩阵的实特征值只能是1或1-．证明：设A 为正交矩阵，则AA T E A A T ==.设矩阵A 的特征值为λ，对应的特征向量为α，即λαα=A .将上式两端取转置得TT T A λαα=.将上面两式左右相乘得ααλααT T T A A 2=，即ααλααT T 2=.而ααT 为非零常数，故1,12±==λλ.17．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111111111A ，求正交矩阵P ，使得AP P 1-为对角阵．解：矩阵A 的特征多项式为=-A E λ)3(1111111112-=---------λλλλλ，所以A 的特征值为02,1=λ（二重），33=λ．对于02,1=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )0(O ，可得它的一个基础解系为)0,1,1(1-=αT ，)1,0,1(2-=αT ．将其正交化，取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111β，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=1212101121101),(),(1111222ββββααβ，再单位化，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==366666,02222222111ββγββγ；对于33=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )3(O ，可得它的一个基础解系为)1,1,1(3=αT．将其单位化，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==333333333ααγ．令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=33360336622336622P ，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-3001ΛAP P ． 18．设三阶实对称矩阵A 的特征值为1,23,21=-=λλ，属于1λ的特征向量为)1,1,0(1=αT，求属于3,2λ的特征向量及矩阵A ．解：设属于13,2=λ的无关特征向量为32,αα.因A 是实对称矩阵，故123,21=-=λλ的特征向量与的特征向量必正交，于是⎪⎩⎪⎨⎧==03121ααααTT ，即32,αα是齐次线性方程组O X T=1α的两个线性无关解向量.求得上述方程组的基础解系为)0,0,1(T ，)1,1,0(-T，故取)0,0,1(1=αT，)1,1,0(2-=αT，因此属于13,2=λ的全部特征向量为)0,0,1(1k T)1,1,0(2-+k T(21,k k 不全为零)；令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=101101010P ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-1121ΛAP P . 而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-21210011212101P ，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----==-21230232100011P P A Λ． (B)1．设n 阶矩阵A 的各行元素之和为常数a ，证明:a =λ是矩阵A 的一个特征值，)1,,1,1( T是对应的特征向量．证明：设n n ij a A ⨯=)(，其中T nj ija a)1,,1,1(,1==∑=α.由知a =λ是矩阵A 的一个特征值，)1,,1,1( =αT是对应的特征向量．2．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n b b b a a a 2121,βα都是非零向量，且0=βαT，记αβ=A T ，求(1)2A ；(2)A 的特征值与特征向量．解：（1）由0=βαT得0)(==TTTβααβ，于是O A T T T T ===βαβααβαβ)())((2.（2）由A 组第2题（1）知A 的特征值为0.求A 的特征向量.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==n n n n n n Tb a b a b a b a b a b a b a b a b a A 212221212111αβ，因βα,都是非零向量，故必存在某个i a 和j b 不为零，因此A 中元素0≠j i b a ，不妨设011≠b a .将A 做初等行变换得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000021n b b b ，即1)(=A r ，故齐次线性方程组O AX =-的基础解系含有1-n 个解向量.令T n x x x ),,,(21 为T b )0,,0,(1 ，T b )0,,,0(1 ，T b ),,0,0(,1 ，得T b b )0,,0,,(121 -=α，T b b )0,,,0,(132 -=α，T n n b b ),,0,0,(,11 -=-α，于是所求特征向量为T n n b b k ),,0,0,(111 ---++，121,,,(-n k k k 不全为零）.3．已知三阶矩阵A 的特征值为2， 3， 4，对应的特征向量分别为)1,2,1(1-=αT ，)2,1,2(2-=αT ，)2,3,3(3-=αT ．令向量=β)6,5,4(T ，（1）将β用321ααα，，线性表示；（2）求βnA (n 为正整数)．解：（1）由得321234αααβ++=.（2）321321234)234(ααααααβnn n n n A A A A A ++=++=)23222212++++⨯+-n n n T ．4．设A 为三阶实对称矩阵，2)(=A r ，且满足条件O A A =+232，求矩阵A 的全部特征值．解：设矩阵A 的特征值为λ，则由O A A =+232得0223=+λλ，故0=λ或2-=λ.因A 为三阶实对称矩阵，故A 必与某三阶对角矩阵Λ相似.因2)(=A r ，故2)(=Λr ，所以Λ的对角线元素有两个－２和一个0.因此A 的全部特征值为22,1-=λ（二重），03=λ．5．设四阶矩阵A 满足AAA E ,0|2|=+T0||,2<=A E ，求*A 的一个特征值．解：因0||<A ，故矩阵A 可逆.由E AA T 2=知422||=A 得4||-=A .因,0|2|)1(|2|4=+-=--A E A E 得2-=λ是矩阵A 的一个特征值，因此*A 的一个特征值为22．6．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0011100y x A 有3个线性无关的特征向量，求x 与y 满足的条件．解：矩阵A 的特征多项式为=-A E λ2)1)(1(01110-+=-----λλλλλy x ，所以A 的特征值为11-=λ，13,2=λ（二重）．因A 有3个线性无关的特征向量，故齐次线性方程组=-X A E )(O 的系数矩阵的秩为1，即1)(=-A E r .而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-000001011010101y x y x A E ，于是0=+y x ．7．问n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00100100 n 是否相似，为什么? 解：令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111111111 A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00100100 n B ，则B A ~. 矩阵B 的特征值为1(01,,1-=-n n λ重），n n =λ.01,,1=-n λ对应的齐次线性方程组的系数矩阵为故属于01,,1=-n λ的无关特征向量有1-n 个；n n =λ对应的齐次线性方程组的系数矩阵为故属于n n =λ的无关特征向量有1个.因此矩阵B 有n 个线性无关的特征向量，故B 可对角化，且;00~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n B Λ因为0||,11===++A trA n n λλλλ ，故A 的特征值必有0和非零数值.因1)()(==-A r A r ，故特征值0有1-n 个线性无关的特征向量，所以0的重数至少为1-n ，则A 的非零特征值为n ，因此矩阵A 的特征值为1(01,,1-=-n n λ重），n n =λ.因A 为实对称矩阵，故必可对角化，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A 00~ Λ，于是B A ~.8．设A 为n 阶矩阵， O A ≠，且存在正整数m ，使得O A m=，证明A 不能对角化．解：反证法.假设A 可对角化，由A 组第2题（1）知，A 的特征值都为0，故O A ~，即存在可逆矩阵P ，使得O AP P =-1，则O A =，矛盾.9．设矩阵,22002100003000⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=B 矩阵B A ~，求)3()(E A r E A r -+-．解：矩阵B 的特征方程为=-B E λ0)3)(2(2=-+=λλλ，所以B 的特征值为01=λ，22-=λ，14,3=λ（二重）．因矩阵B 是实对称矩阵，故属于14,3=λ的线性无关的特征向量必有2个，即224)3(=-=-B E r .因B A ~，则A 的特征值只有0，－２，3（二重），且属于3的线性无关的特征向量也有2个，即2)3(=-A E r .因1不是矩阵A 的特征值，故0||≠-A E ，即4)(=-A E r .因此6)3()(=-+-E A r E A r .。