吴赣昌经管类线性代数第四章答案
工类_第四版)吴赣昌主编课后习题答案第四章
第四章随机变量的数字特征4.1 数学期望
习题1
设随机变量X服从参数为p的0-1分布，求E(X).解答：
依题意，X的分布律为
=1-C110×0.1×0.99-0.910≈0.2639,
所以E(X)=4×p=4×0.2639=1.0556.
习题4
据统计，一位60岁的健康(一般体检未发生病症)者，在5年之内仍然活着和自杀死亡的概率为p(0<p<1,p为已知),在5年之内非自杀死亡的概率为1-p,保险公司开办5年人寿保险，条件是参加者需交纳人寿保险费a元(a已知),若5年内非自杀死亡，公司赔偿b元(b>a),应如何确定b才能使公司可期望获益，若有m人参加保险，公司可期望从中收益多少？
解答：
令X=“从一个参保人身上所得的收益”，由X的概率分布为
求E(XY).
解答：
解法一由独立性.
-dy=23×6=4.
E(XY)=E(X)⋅E(Y)=⎰10x⋅2xdx⎰+∞0()5y
ye-
解法二令z=y-5,则
E(XY)=E(X)⋅E(Y)=⎰10x⋅2xdx⋅E(z+5)=23×(1+5)=4.。
线性代数第四章练习题答案
线性代数第四章练习题答案第一篇：线性代数第四章练习题答案第四章二次型练习4、11、写出下列二次型的矩阵2（1）f(x1,x2,x3)=2x12-x2+4x1x3-2x2x3；（2）f(x1,x2,x3,x4)=2x1x2+2x1x3+2x1x4+2x3x4。
解：（1）因为⎛2f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3) 0 2⎝⎛2 所以二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为： 0 2⎝0-1-10-1-12⎫⎪-1⎪0⎪⎭⎛x1 x2 x⎝3⎫⎪⎪, ⎪⎭2⎫⎪-1⎪。
0⎪⎭（2）因为⎛0 f(x1,x2,x3,x4)=(x1,x2,x3,x4) 1 1⎝⎛0 1所以二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩阵为： 1 1⎝***11⎫⎪0⎪1⎪⎪0⎪⎭⎛x1 x2 x 3 x⎝4⎫⎪⎪⎪，⎪⎪⎭1⎫⎪0⎪。
⎪1⎪0⎪⎭2、写出下列对称矩阵所对应的二次型：⎛1 1（1） -2 1 ⎝212⎛01⎫⎪2⎪1 -2⎪；（2）2 ⎪-1⎪2⎪⎭0⎝12-11212-112012⎫0⎪⎪1⎪2⎪。
1⎪⎪2⎪1⎪⎪⎭-0-2T解：（1）设X=(x1,x2,x3)，则⎛1 f(x1,x2,x3)=XTAX=(x1,x2,x3) -2 1 ⎝2-120-21⎫⎪2⎪-2⎪⎪⎪2⎪⎭⎛x1 x2 x⎝3⎫⎪⎪⎪⎭=x12+2x32-x1x2+x1x3-4x2x3。
（2）设X=(x1,x2,x3,x4)T，则⎛0 1f(x1,x2,x3,x4)=XTAX=(x1,x2,x3,x4)2 -1 0⎝12-11212-11201 2⎫0⎪⎪1⎪2⎪1⎪⎪2⎪1⎪⎪⎭⎛x1 x2 x 3 x⎝4⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎭2=-x2+x4+x1x2-2x1x3+x2x3+x2x4+x3x4。
练习4、21、用正交替换法将下列二次型化为标准形，并写出所作的线性替换。
22（1）f(x1,x2,x3)=2x1+x2-4x1x2-4x2x3；（2）f(x1,x2,x3)=2x1x2-2x2x3；222（3）f(x1,x2,x3)=x1+2x2+3x3-4x1x2-4x2x3。
线性代数习题答案第四章
线性代数习题答案第四章第四章线性相关性与线性无关性线性代数是数学中的重要分支，它研究向量空间及其上的线性变换。
在线性代数的学习过程中，理解线性相关性与线性无关性是非常重要的一部分。
本文将针对线性代数习题第四章中的相关问题进行讨论和解答。
一、线性相关性与线性无关性的定义在开始解答具体问题之前，我们先来回顾一下线性相关性与线性无关性的定义。
定义1：对于向量组V={v1,v2,...,vn}，如果存在一组不全为零的实数c1,c2,...,cn，使得c1v1+c2v2+...+cnvn=0，则称向量组V是线性相关的；否则，称向量组V是线性无关的。
定义2：如果向量组V中的任意一组向量都是线性无关的，则称向量组V是极大线性无关的。
根据以上定义，我们可以通过求解线性方程组来判断向量组的线性相关性与线性无关性。
二、线性相关性与线性无关性的判断1. 问题一已知向量组V1={(-1,2,1), (2,-4,2), (3,-6,3)}，判断该向量组的线性相关性与线性无关性。
解答：我们可以将向量组V1写成矩阵形式，即：A = [(-1,2,1), (2,-4,2), (3,-6,3)]然后，我们将矩阵A进行行变换，得到行阶梯形矩阵：B = [(-1,2,1), (0,0,0), (0,0,0)]由于矩阵B中存在一行全为零的情况，因此向量组V1是线性相关的。
2. 问题二已知向量组V2={(1,1,1), (1,2,3), (1,3,6)}，判断该向量组的线性相关性与线性无关性。
解答：同样地，我们将向量组V2写成矩阵形式：A = [(1,1,1), (1,2,3), (1,3,6)]进行行变换，得到行阶梯形矩阵：B = [(1,1,1), (0,1,2), (0,0,0)]由于矩阵B中不存在一行全为零的情况，因此向量组V2是线性无关的。
3. 问题三已知向量组V3={(1,2,3), (4,5,6), (7,8,9)}，判断该向量组的线性相关性与线性无关性。
线性代数第四章答案
第四章 向量组的线性相关性1 设v1(1 1 0)T v2(0 1 1)T v3(3 4 0)T求v1v2及3v12v2v3解v1v2(1 1 0)T(0 1 1)T(10 11 01)T(1 0 1)T3v12v2v33(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3 4 0)T(31203 31214 30210)T(0 1 2)T2 设3(a1a)2(a2a)5(a3a) 求a其中a1(2 5 1 3)Ta2(10 1 5 10)T a3(4 1 1 1)T解由3(a1a)2(a2a)5(a3a)整理得(1 2 3 4)T3 已知向量组A a1(0 1 2 3)T a2(3 0 1 2)T a3(2 3 0 1)TB b1(2 1 1 2)T b2(0 2 1 1)T b3(4 4 1 3)T证明B组能由A组线性表示但A组不能由B组线性表示证明由知R(A)R(A B)3 所以B组能由A组线性表示由知R(B)2 因为R(B)R(B A) 所以A组不能由B组线性表示4 已知向量组A a1(0 1 1)T a2(1 1 0)TB b1(1 0 1)T b2(1 2 1)T b3(3 2 1)T证明A组与B组等价证明由知R(B)R(B A)2 显然在A中有二阶非零子式故R(A)2 又R(A)R(B A)2 所以R(A)2 从而R(A)R(B)R(A B) 因此A组与B组等价5 已知R(a1a2a3)2 R(a2a3a4)3 证明(1) a1能由a2a3线性表示(2) a4不能由a1a2a3线性表示证明 (1)由R(a2a3a4)3知a2a3a4线性无关故a2a3也线性无关又由R(a1 a2a3)2知a1a2a3线性相关故a1能由a2a3线性表示(2)假如a4能由a1a2a3线性表示则因为a1能由a2a3线性表示故a4能由a2a3线性表示从而a2a3a4线性相关矛盾因此a4不能由a1a2a3线性表示6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关(1) (1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T(2) (2 3 0)T (1 4 0)T (0 0 2)T解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A因为所以R(A)2小于向量的个数从而所给向量组线性相关(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B因为所以R(B)3等于向量的个数从而所给向量组线性相无关7 问a取什么值时下列向量组线性相关？a1(a 1 1)T a2(1 a 1)T a3(1 1 a)T解以所给向量为列向量的矩阵记为A由如能使行列式等于0，则此时向量组线性相关（具体看书后相应答案）8 设a1a2线性无关a1b a2b线性相关求向量b用a1a2线性表示的表示式解因为a1b a2b线性相关故存在不全为零的数12使(a1b)2(a2b)01由此得设则b c a1(1c)a2c R9 设a1a2线性相关b1b2也线性相关问a1b1a2b2是否一定线性相关？试举例说明之（也可看书后答案）解不一定例如当a1(1 2)T, a2(2 4)T, b1(1 1)T, b2(0 0)T时有a1b1(1 2)T b1(0 1)T, a2b2(2 4)T(0 0)T(2 4)T而a1b1a2b2的对应分量不成比例是线性无关的10 举例说明下列各命题是错误的(1)若向量组a1a2a m是线性相关的则a1可由a2a m线性表示解设a1e1(1 0 0 0) a2a3a m0则a1a2a m线性相关但a1不能由a2a m线性表示(2)若有不全为0的数12m使a1m a m1b1m b m01成立则a1a2a m线性相关, b1b2b m亦线性相关解有不全为零的数12m使a1m a m 1b1m b m01原式可化为(a1b1) m(a m b m)01取a1e1b1a2e2b2a m e m b m其中e1e2e m为单位坐标向量则上式成立而a1 a2a m和b1b2b m均线性无关(3)若只有当12m全为0时等式a1m a m1b1m b m01才能成立则a1a2a m线性无关, b1b2b m亦线性无关解由于只有当12m全为0时等式由1a1m a m1b1m b m0成立所以只有当12m全为0时等式(a1b1)2(a2b2) m(a m b m)01成立因此a1b1a2b2a m b m线性无关取a1a2a m0取b1b m为线性无关组则它们满足以上条件但a1a2a m线性相关(4)若a1a2a m线性相关, b1b2b m亦线性相关则有不全为0的数12m使a1m a m0 1b1m b m01同时成立解a1(1 0)T a2(2 0)T b1(0 3)T b2(0 4)Ta12a2 01221b12b2 01(3/4)210 与题设矛盾1211 设b1a1a2b2a2a3 b3a3a4 b4a4a1证明向量组b1b2b3b4线性相关证明由已知条件得a1b1a2a2b2a3 a3b3a4 a4b4a1于是a1 b1b2a3b1b2b3a4b1b2b3b4a1从而b1b2b3b40这说明向量组b1b2b3b4线性相关12 设b1a1b2a1a2b r a1a2 a r且向量组a1a2a r线性无关证明向量组b1b2b r线性无关证明已知的r个等式可以写成上式记为BAK因为|K|10 K可逆所以R(B)R(A)r从而向量组b1b2b r线性无关13 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组(1)a1(1 2 1 4)T a2(9 100 10 4)T a3(2 4 2 8)T解 由知R(a1a2a3)2 因为向量a1与a2的分量不成比例故a1a2线性无关所以a1 a2是一个最大无关组(2)a1T(1 2 1 3) a2T(4 1 5 6) a3T(1 3 4 7)解由知R(a1T a2T a3T)R(a1a2 a3)2 因为向量a1T与a2T的分量不成比例故a1T a2T 线性无关所以a1T a2T是一个最大无关组14 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组(1)解因为所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)解因为所以第1、2、3列构成一个最大无关组（关于14的说明：14题和书上的14题有些不同，答案看书后的那个）15 设向量组(a 3 1)T (2 b 3)T(1 2 1)T (2 3 1)T的秩为2 求a b解设a1(a 3 1)T a2(2 b 3)T a3(1 2 1)T a4(2 3 1)T因为而R(a1a2a3a4)2 所以a2 b516 设a1a2a n是一组n维向量已知n维单位坐标向量e1e2e n能由它们线性表示证明a1a2a n线性无关证法一记A(a1a2a n) E(e1e2e n) 由已知条件知存在矩阵K使EAK两边取行列式得|E||A||K|可见|A|0 所以R(A)n从而a1a2a n线性无关证法二因为e1e2e n能由a1a2a n线性表示所以R(e1e2e n)R(a1a2a n)而R(e1e2e n)n R(a1a2a n)n所以R(a1a2a n)n从而a1a2a n线性无关17 设a1a2a n是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示证明必要性设a为任一n维向量因为a1a2a n线性无关而a1a2a n a 是n1个n维向量是线性相关的所以a能由a1a2a n线性表示且表示式是唯一的充分性已知任一n维向量都可由a1a2a n线性表示故单位坐标向量组e1 e2e n能由a1a2a n线性表示于是有nR(e1e2e n)R(a1a2a n)n即R(a1a2a n)n所以a1a2a n线性无关18 设向量组a1a2a m线性相关且a10证明存在某个向量a k (2km) 使a k能由a1a2a k1线性表示证明因为a1a2a m线性相关所以存在不全为零的数12m使a12a2m a m01而且23m不全为零这是因为如若不然则1a10由a10知10 矛盾因此存在k(2km) 使0 k1k2m0k于是a12a2k a k01a k(1/k)(1a12a2k1a k1)即a k能由a1a2a k1线性表示19 设向量组B b1b r能由向量组A a1a s线性表示为(b1b r)(a1a s)K其中K为sr矩阵且A组线性无关证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)r证明 令B(b1b r) A(a1a s) 则有BAK必要性设向量组B线性无关由向量组B线性无关及矩阵秩的性质有rR(B)R(AK)min{R(A) R(K)}R(K)及R(K)min{r s}r因此R(K)r充分性因为R(K)r所以存在可逆矩阵C使为K的标准形于是(b1b r)C( a1a s)KC(a1a r)因为C可逆所以R(b1b r)R(a1a r)r从而b1b r线性无关20 设证明向量组12n与向量组12n等价证明将已知关系写成将上式记为BAK因为所以K可逆故有ABK1由BAK和ABK1可知向量组12n与向量组12n可相互线性表示因此向量组12n与向量组12n等价21 已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x3A x A2x且向量组x A x A2x线性无关(1)记P(x A x A2x) 求3阶矩阵B使APPB解因为APA(x A x A2x)(A x A2x A3x)(A x A2x 3A x A2x)所以(2)求|A|解由A3x3A x A2x得A(3x A x A2x)0因为x A x A2x线性无关故3x A x A2x0即方程A x0有非零解所以R(A)3 |A|0（从22题开始，凡涉及到基础解系问题的，答案都不是唯一的，可以参考本文答案，也可以看书后的答案，不过以书后的答案为主。
线性代数第四章习题答案
0 a+1 1 −1
1 − a2 = (a + 1)2 (a − 2). a
a −1 a
0 a + 1 −1 − a
1 −1
所以, a = −1 或 a = 2 时向量组线性相关. 更常规的思路是: 向量组 a1 , a2 , a3 线性相关, 则存在不全为零的数 k1 , k2 , k3 使得
k1 a1 + k2 a2 + k3 a3 = 0.
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第四章 向量组的线性相关性 解: (1) 因为
A= −1 2 3 1 1 0 1 −1 0 0 2 7 2 1 7 2 −1 0 0 2 1 0 1 1 , 0
r2 + 3r1 4 r3 + r1 1
可见 R(A) = 2, 所以该向量组是线性相关的. 或者: 由 −1 2 1 3 + 1 = 4 1 0 1 知线性相关. (2) 因为
1 a3 = −1 1
4
.
解: 由 3(a1 − a) + 2(a2 + a) = 5(a3 + a) 得 2 10 1 1 5 + 1 1 a = (3a1 + 2a2 − 5a3 ) = 6 2 1 3 5 3= 3 0 1
2
;
4 −2 1 , b3 = B : b1 = , b2 = 1 1 1 3 1 2
2
0
4
.
即线性方程组
线性代数第四章答案解析
线性代数第四章答案解析第四章向量组的线性相关性1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3.解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T=(1-0, 1-1, 0-1)T=(1, 0, -1)T .3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T .2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1,3)T ,a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T .解由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得)523(61321a a a a -+=])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61TT T --+==(1, 2, 3, 4)T .3. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明由-=312123111012421301402230) ,(B A ????? ??-------971820751610402230421301~r ????? ?------531400251552000751610421301 ~r-----000000531400751610421301~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.由-????? ??---????? ??-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R(B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.4. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价. 证明由- ??- ??--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B ,知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示;(2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1,a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2, a 3线性表示.(2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾. 因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为-???? ??-???? ??-=000110121220770121101413121~~r r A , 所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为022200043012||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1,a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由aa aA 111111||--=如能使行列式等于0，则此时向量组线性相关.（具体看书后相应答案）8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1,a 2线性表示的表示式. 解因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0, 由此得2211121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-=,设211λλλ+-=c , 则b =c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相关？试举例说明之. （也可看书后答案）解不一定.例如, 当a 1=(1, 2)T , a 2=(2, 4)T , b 1=(-1, -1)T , b 2=(0, 0)T 时, 有 a 1+b 1=(1, 2)T +b 1=(0, 1)T , a 2+b 2=(2, 4)T +(0, 0)T =(2, 4)T , 而a 1+b 1, a 2+b 2的对应分量不成比例, 是线性无关的.10. 举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组a 1, a 2, ? ? ?, a m 是线性相关的, 则a 1可由a 2, ? ? ?,a m 线性表示. 解设a 1=e 1=(1, 0, 0, ? ? ?, 0), a 2=a 3= ? ? ? =a m =0, 则a 1, a 2, ? ? ?, a m 线性相关, 但a 1不能由a 2, ? ? ?, a m 线性表示.(2)若有不全为0的数λ1, λ2, ? ? ?, λm 使λ1a 1+ ? ? ? +λm a m +λ1b 1+ ? ? ? +λm b m =0成立, 则a 1, a 2, ? ? ?, a m 线性相关, b 1, b 2, ? ? ?, b m 亦线性相关. 解有不全为零的数λ1, λ2, ? ? ?, λm 使λ1a 1+ ? ? ? +λm a m +λ1b 1+ ? ? ? +λm b m =0,原式可化为λ1(a1+b1)++λm(a m+b m)=0.取a1=e1=-b1,a2=e2=-b2,,a m=e m=-b m,其中e1,e2,,e m为单位坐标向量,则上式成立,而a1,a2,,a m和b1,b2,,b m均线性无关.(3)若只有当λ1,λ2,,λm全为0时,等式λ1a1++λm a m+λ1b1++λm b m=0才能成立,则a1,a2,,a m线性无关, b1,b2,,b m亦线性无关.解由于只有当λ1,λ2,,λm全为0时,等式由λ1a1++λm a m+λ1b1++λm b m=0成立,所以只有当λ1,λ2,,λm全为0时,等式λ1(a1+b1)+λ2(a2+b2)++λm(a m+b m)=0成立.因此a1+b1,a2+b2,,a m+b m线性无关.取a1=a2==a m=0,取b1,,b m为线性无关组,则它们满足以上条件,但a1,a2,,a m线性相关.(4)若a1,a2,,a m线性相关, b1,b2,,b m亦线性相关,则有不全为0的数,λ1,λ2,,λm使λ1a1++λm a m=0,λ1b1++λm b m=0同时成立.解a1=(1, 0)T,a2=(2, 0)T,b1=(0, 3)T,b2=(0, 4)T,λ1a1+λ2a2 =0?λ1=-2λ2,λ1b1+λ2b2 =0?λ1=-(3/4)λ2,λ1=λ2=0,与题设矛盾.11.设b1=a1+a2,b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1,证明向量组b1,b2,b3,b4线性相关.证明由已知条件得a 1=b 1-a 2, a 2=b 2-a 3, a 3=b 3-a 4, a 4=b 4-a 1, 于是 a 1 =b 1-b 2+a 3 =b 1-b 2+b 3-a 4 =b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.12. 设b 1=a 1, b 2=a 1+a 2, ? ? ?, b r =a 1+a 2+ ? ? ? +a r , 且向量组a 1, a 2, ? ? ? , a r 线性无关, 证明向量组b 1, b 2, ? ? ? , b r 线性无关. 证明已知的r 个等式可以写成=100110111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b , 上式记为B =AK . 因为|K |=1≠0, K 可逆, 所以R (B )=R (A )=r , 从而向量组b 1, b 2, ? ? ? , b r 线性无关.13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:(1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解由-????? ??--????? ??----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.(2)a 1T =(1, 2, 1, 3), a 2T =(4, -1, -5, -6), a 3T =(1, -3, -4, -7).。
概率论与数理统计(理工类_第四版)吴赣昌主编课后习题答案第四章
第四章随机变量的数字特征4.1 数学期望习题1设随机变量X服从参数为p的0-1分布，求E(X).解答：依题意，X的分布律为X01P1-p p由E(X)=∑i=1∞xipi,有E(X)=0⋅(1-p)+1⋅p=p.习题2袋中有n张卡片，记有号码1,2,…,n.现从中有放回抽出k张卡片来，求号码之和X的期望.分析：.解答：设Xi表示第i次取得的号码，则X=∑i=1kXi,且P{Xi=m}=1n,其中m=1,2,⋯,n,i=1,2,⋯,k,故E(Xi)=1n(1+2+⋯+n)=n+12,i=1,2,⋯,k,从而E(X)=∑i=1kE(Xi)=k(n+1)2.习题3某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次. 每次随机地抽取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备. 以X表示一天中调整设备的次数，试求E(X)(设诸产品是否为次品是相互独立的).解答：X的可能取值为0,1,2,3,4,且知X∼b(4,p),其中p=P{调整设备}=1-C101×0.1×0.99-0.910≈0.2639,所以E(X)=4×p=4×0.2639=1.0556.习题4据统计，一位60岁的健康(一般体检未发生病症)者，在5年之内仍然活着和自杀死亡的概率为p(0<p<1,p为已知),在5年之内非自杀死亡的概率为1-p,保险公司开办5年人寿保险，条件是参加者需交纳人寿保险费a元(a已知),若5年内非自杀死亡，公司赔偿b元(b>a),应如何确定b才能使公司可期望获益，若有m人参加保险，公司可期望从中收益多少？解答：令X=“从一个参保人身上所得的收益”，由X的概率分布为=-115.(3)E(Z)=E[(X-Y)2]=∑i∑j(xi-yj)2pij=(1-(-1))2×0.2+(1-0)2×0.1+(1-1)2×0.1+32×0.1+22×0.0+12×0.1+42×0.0+32×0.3+22×0.1=5.也可以利用期望的性质求E(Z),得E[(X-Y)2]=E(X2-2XY+Y2)=E(X2)-2E(XY)+E(Y2)=(12×0.4+22×0.2+32×0.4)-2[-1×0.2+1×0.1+(-2)×0.1+2×0.1+(-3)×0.0+3×0.1]+(-1)2×0.3+12×0.3=5.习题12设(X,Y)的概率密度为f(x,y)={12y2,0≤y≤x≤10,其它,求E(X),E(Y),E(XY),E(X2+Y2).解答：如右图所示.E(X)=∫-∞+∞∫-∞+∞xf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xx⋅12y2dy=45,E(Y)=∫-∞+∞∫-∞+∞yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xy⋅12y2dy=35,E(XY)=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xxy⋅12y2dy=12,E(X2+Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞(x2+y2)f(x,y)dxdy=∫01dx∫0x(x2+y2)⋅12y2dy=23+615=1615.习题13设X和Y相互独立，概率密度分别为ϕ1(x)={2x,0≤x≤10,其它,ϕ2(y)={e-(y-5),y>50,其它,求E(XY).解答：解法一由独立性.E(XY)=E(X)⋅E(Y)=∫01x⋅2xdx∫0+∞ye-(y-5)dy=23×6=4.解法二令z=y-5,则E(XY)=E(X)⋅E(Y)=∫01x⋅2xdx⋅E(z+5)=23×(1+5)=4.4.2 方差习题1设随机变量X服从泊松分布，且P(X=1)=P(X=2),求E(X),D(X).解答：由题设知，X的分布律为P{X=k}=λkk!e-λ(λ>0)由P{X=1}=P{X=2},得λ11!e-λ=λ22!e-λ，即λ=0(舍去),λ=2.所以E(X)=2,D(X)=2.习题2下列命题中错误的是().(A)若X∼p(λ),则E(X)=D(X)=λ;(B)若X服从参数为λ的指数分布，则E(X)=D(X)=1λ;(C)若X∼b(1,θ),则E(X)=θ,D(X)=θ(1-θ);(D)若X服从区间[a,b]上的均匀分布，则E(X2)=a2+ab+b23.解答：应选(B).E(X)=1λ,D(X)=1λ2.习题3设X1,X2,⋯,Xn是相互独立的随机变量，且都服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0),则ξ¯=1n∑i=1nξi服从的分布是¯.解答：由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(X¯)=μ,D(X¯)=σ2n.习题4若Xi∼N(μi,σi2)(i=1,2,⋯,n),且X1,X2,⋯,Xn相互独立，则Y=∑i=1n(aiXi+bi)服从的分布是 .解答：应填N(∑i=1n(aiμi+bi),∑i=1nai2σi2).由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(Y)=∑i=1n(aiμi+bi),D(Y)=∑i=1nai2σi2.习题5设随机变量X服从泊松分布，且3P{X=1}+2P{X=2}=4P{X=0},求X的期望与方差.解答：设X∼N(1,2),Y服从参数为3的(泊松)分布，且X与Y独立，求D(XY).解答：\becauseD(XY)=E(XY)2-E2(XY)=E(X2Y2)-E2(X)2(Y),又\becauseE(X2Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞x2y2f(x,y)dxdy=∫-∞+∞x2fX(x)dx∫-∞+∞y2fY(y)dy =E(X2)E(Y2),∴D(XY)=E(X2)E(Y2)-E2(X)E2(Y)=[D(X)+E2(X)][D(Y)+E2(Y)]-E2(X)E2(Y)=D(X)D(Y)+D(X)E2(Y)+D(Y)E2(X)=2×3+2×32+3×12=27.习题9设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且有E(Xi)=i,D(Xi)=5-i,i=1,2,3,4,又设Y=2X1-X2+3X3-12X4,求E(Y),D(Y).解答：E(Y)=E(2X1-X2+3X3-12X4)=2E(X1)-E(X2)+3E(X3)-12E(X4)=2×1-2+3×3-12×4=7,D(Y)=4D(X1)+D(X2)+9D(X3)+14D(X4)=4×4+3+9×2+14×1=37.25.习题105家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量(以kg计)分别为X1,X2,X3,X4,X5.已知X1∼N(200,225),X2∼N(240,240),X3∼N(180,225),X4∼N(260,265),X5∼N(320,270),X1,X2,X3,X4,X5相互独立.(1)求5家商店两周的总销售量的均值和方差；(2)商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存该产品多少千克？解答：(1)设总销售量为X,由题设条件知X=X1+X2+X3+X4+X5,于是E(X)=∑i=15E(Xi)=200+240+180+260+320=1200,D(X)=∑i=15D(X i)=225+240+225+265+270=1225.(2)设商店的仓库应至少储存y千克该产品，为使P{X≤y}>0.99,求y.由(1)易知，X∼N(1200,1225),P{X≤y}=P{X-≤y-=Φ(y-)>0.99.查标准正态分布表得y-=2.33,y=2.33×1225+1200≈1282(kg).习题11设随机变量X1,X2,⋯,Xn相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布，求Z=min{X1,X2,⋯,Xn}的数学期望和方差.解答：Xi(i=1,2,⋯,n)的分布函数为F(x)={1-e-x,x>00,其它,Z=min{X1,X2,⋯,Xn}的分布函数为FZ(z)=1-[1-F(z)]n={1-e-nz,z>00,其它,于是E(Z)=∫0∞zne-nzdz=-ze-nz∣0∞+e-nzdz=1n,而E(Z2)=∫0∞z2ne-nzdz=2n2,于是D(Z)=E(Z2)-(E(Z))2=1n2.4.3 协方差与相关系数习题1设(X,Y)服从二维正态分布，则下列条件中不是X,Y相互独立的充分必要条件是().(A)X,Y不相关；(B)E(XY)=E(X)E(Y);(C)cov(X,Y)=0;(D)E(X)=E(Y)=0.解答：应选（D）。
线性代数第四章答案
第4章习题答案思考题4-11.（1）不对。
我们现在遇到的向量都是自由向量，可以平行移动。
a 与b 共线的意思是a 与b 平行，a 与b 一开始并不一定在一条直线上。
（2）不对。
我们现在遇到的向量都是自由向量，可以平行移动。
a 、b 、c 共面的意思是它们平行于同一个平面, a 、b 、c 一开始并不一定在一个平面上; （3）不对。
参考下图，水平方向的向量为c .2．一个向量的方向可用它的单位向量、方向角、方向余弦表示。
习题4-11.（1）a ⊥b ；（2）a 与b 同向；（3）a 与b 反向且a b ≥；（4）a 与b 为同向的非零向量。
2.证：因为M 是线段AB 的中点,所以AM MB =，即O M O AO B O M-=-. 因而1()2OM OA OB =+. 3．()/a b a b abab++注：因为a a和b b都是单位向量，所以以它们为边的平行四边形是菱形，其对角线也是角平分线。
4．图略。
点A 关于Oxy 面的对称点的坐标为(2,4,1), 点B 关于y 轴的对称点的坐标为(2,4,1)-.5．A 在第II 卦限，B 在第V 卦限，C 在第VIII 卦限，D 在第III 卦限。
6．（1）点(,,a b c ) 关于Oxy 面，Oyz 面和Ozx 面的对称点的坐标分别为(,,)a b c -，(,,)a b c -和(,,)a b c -；（2）点(,,a b c )关于x 轴，y 轴和z 轴的对称点的坐标分别为(,,)a b c --，(,,)a b c --和(,,)a b c --；（3）点(,,a b c )关于坐标原点O 的对称点的坐标为(,,).a b c ---7．（1）从点(,,a b c )向x 轴,y 轴和z 轴作垂线的垂足分别为(,0,0)a ，(0,,0)b 和(0,0,)c ； （2）从点(,,a b c )向Oxy 面,Oyz 面和Ozx 面作垂线的垂足的坐标分别为(,,0)a b ，(0,,)b c 和(,0,)a c .8．234122.a b c i j k ++=-+-9．因为AB BC =，所以,2OB OA OC OB OC OB OA -=-=-。