线性代数吴赣昌第五版1-2资料

t132 1 0 1, 奇排列 负号,
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(1) a a a N ( j1 j2 j3 ) 1 j1 2 j2 3 j3
a31 a32 a33
j1 j2 j3
定义4 由 n2 个数组成的n 阶行列式等于所有
取自不同行不同列的n 个元素的乘积
的代数和
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1 217986354
解
217986354
0 10 0 1 3 4 4 5
t 010013 4 45
18
此排列为偶排列.
2 nn 1n 2321
解 n1
nn1n 2321 n 2
t n 1 n 2 2 1 nn 1,
2 当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
元素的全排列（或排列）.
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. 由引例 P3 3 2 1 6. 同理 Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n!.
排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
定义 在一个排列 i1i2 it is in 中，若数
2
当 k 为偶数时，排列为偶排列，
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
二、n阶行列式
观察三阶行列式特点
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
(1) N ( j1 j2 ... jn ) a1 j1 a2 j2 ...anjn .
j1 j2 ... jn
a11 a12 a1n
记作
D
a21
a22
a2n
an1 an2 ann 简记作 det(aij ). 数 aij 称为行列式det(aij ) 的元素．
其中 j1 j2 jn 为自然数1，2，，n 的一个排列， N ( j1 j2...jn ) 为这个排列的逆序数．
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
3 2k12k 122k 232k 3k 1k
解 2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
01 1 2 2
k
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
21 k 1k 1 k k 2 ,
a11 a12 a1n
D
a21 a22 a2n
an1 an2 ann
1 a a a N j1 j2 jn
1 j1 2 j2
njnБайду номын сангаас
j1 j2 jn
说明
1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的;
2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和;
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1, 所以不为零的项只有 a11a22 ann .
a11 a12 a1n
0 a22 a2n
1 N12na11a22 ann
0 0 ann a11a22 ann .
例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中,
3排在首位,逆序数为0;
2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;
5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;
32514 01 031 于是排列32514的逆序数为 N(32514) 0 1 0 3 1 5.
it is 则称这两个数组成一个逆序.
例如 排列32514 中， 逆序
32514
逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 例如 排列32514 中，
0 01
32514
1 逆序数为3
故此排列的逆序数为0+1+0+3+1=5.
排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
说明
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列．
例如 a a a 13 21 32 列标排列的逆序数为
t312 1 1 2, 偶排列 正号
a a a 11 23 32
列标排列的逆序数为
所以 p1只能等于4 , 同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为a14a23a32a41 .
0001
0
0
0 3
2 0
0 0
1 N 43211 2 3 4 24.
4000
例4计算上三角行列式
a11 a12 a1n 0 a22 a2n
0 0 ann
解 分析
3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积;
4、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
5、a1 a j1 2 j2 anjn 的符号为 1N .(不包含元素符号）
例3 计算对角行列式
0001 0020 0300 4000
解 分析 展开式中项的一般形式是 a a a a 1 p1 2 p2 3 p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 从而这个项为零，
第二节 n阶行列式
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
解
123
百位 1 十位 1 2 个位 1 2 3
2
3
3种放法
13
2种放法
1种放法
共有 3 2 1 6 种放法.
一、排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 同的排法？
定义 把 n个不同的元素排成一列，叫做这 n 个
计算排列逆序数的方法
方法1
分别计算出排在1,2,,n 1,n前面比它大的数 码之和即分别算出 1,2,,n 1,n 这 n个元素
的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数.
方法2 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.（常用）
练习
1234
0421
D
?
0056