线性代数吴赣昌第五版1-2

解
分析
展开式中项的一般形式是
a1 p1 a2 p2 anpn .
pn n, pn1 n 1, pn 3 n 3, p2 2, p1 1,
所以不为零的项只有 a11a22 ann .
a11 a12 a1n N 12n 0 a22 a2 n 1 a11a22 ann 0 0 ann a11a22 ann .
定理3 n阶行列式也可定义为
s
其中 i1i2 in , j1 j2 jn 是两个 n 级排列，s为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. S=N( i1i2 in)+N( j1 j2 jn ) 例1 试判断 a14a23a31a42a56a65和 a32a43a14a51a25a66 是否都是六阶行列式中的项. 解 a14a23a31a42a56a65 下标的逆序数为
列标排列的逆序数为
偶排列 正号
t 312 1 1 2,
a11 a 23 a 32
列标排列的逆序数为 奇排列 负号,
N ( j1 j2 j3 ) ( 1 ) a1 j1 a2 j2 a3 j3
t 132 1 0 1,
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
定义
在一个排列 i1 i2 it i s in 中，若数 it i s 则称这两个数组成一个逆序.
例如 排列32514 中， 逆序 3 2 5 1 4 逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 例如 排列32514 中，
0
0
1
3 2 5 1 4
1
逆序数为3
故此排列的逆序数为0+1+0+3+1=5.
0 1


1

2

2

t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
2 当 k 为偶数时，排列为偶排列பைடு நூலகம்

k

21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
二、n阶行列式
观察三阶行列式特点
a11 D a 21 a 31
D 1 ai11ai2 2 ainn
N
N 记 D1 1 a1 j a2 j
1 2
anjn
t
1 2 n
对于D中任意一项
1 a1 p a2 p anp ,
s
总有且仅有 D1 中的某一项 1 aq1 1aq2 2 aqnn ,
与之对应并相等; 反之, 对于 D1 中任意一项
j1 j2 jn
1
N j1 j2 jn
a1 j1 a2 j2 anjn
说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的; 2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和;
3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积; 4、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
a1 ala b1 bm b c1 cn a1 al b b1 bm a a c1 cn
对换与排列的奇偶性的关系
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 证明 设排列为
对换 a 与 b
a1 al ab b1 bm
a1 al ba ba b1 bm
除 a , b 外，其它元素的逆序数不改变.

1 2 3 4
练习
0 4 2 1 D ? 0 0 5 6 0 0 0 8
1 2 3 4 0 4 2 1 D a11a 22a 33a44 1 4 5 8 160. 0 0 5 6 0 0 0 8
同理可得下三角行列式
a11 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a n1 an2 a n 3 a nn
N a a a 1 . 1 j 2 j nj 5、 1 2 的符号为 (不包含元素符号） n
例3
计算对角行列式
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
解
分析
展开式中项的一般形式是
a1 p1 a2 p2 a3 p3 a4 p4
若 p1 4 a1 p1 0, 从而这个项为零，
说明
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a 33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列． 例如 a13 a 21 a 32
m 次相邻对换
a1 al ab b1 bm c1 cn
m 1 次相邻对换 a a b b b a 1 l 1 m a c1 cn
a1 al ab1 bm bc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a a bb b ac c , 1 l 1 m 1 n
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
例5 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.
(1) a23a31a42a56a14a65 ; ( 2) a32a43a14a51a66a25 .
解
(1) a 23a 31a42a56a14a65 a14a 23a 31a42a56a65 ,
431265的逆序数为
N 0 1 2 2 0 1 6, 所以 a23a31a42a56a14a65 前边应带正号.
2 1 7 9 8 6 3 5 4
0 10 0 1 3 4 4 5
t 0 1 0 0 1 3 4 4 5
18
此排列为偶排列.
2 nn 1n 2321
解
n 1 n n 1 n 2 321 n 2
所以 p1 只能等于4 , 同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为a14a 23a 32a41 .
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
1
N 4321
1 2 3 4 24.
例4计算上三角行列式
a11 a12 a1n 0 a22 a2 n 0 0 ann
D 1 ai1 j1 ai2 j2 ain jn
0 1 2 2 0 1 6 N 431265
所以 a14a23a31a42a56a65 是六阶行列式中的项.
a32a43a14a51a25a66 下标的逆序数为
8 N 452316
所以 a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项.
t n 1 n 2 2 1
n n 1 , 2 当 n 4k ,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
an 2 ann
简记作det(aij ). 数 aij 称为行列式det(aij ) 的元素．
其中 j1 j2 jn 为自然数1， 2， ，n 的一个排列， N ( j1 j2 ... jn ) 为这个排列的逆序数．
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n D an1 an 2 ann
1t a p 1a p 2 a p n , 也总有且仅有D中的某一项
1 2 n
1 a1q a2q anq , 与之对应并相等, 于是D与 D1
s
1 2 n
中的项可以一一对应并相等,
从而 D D1 .
定理2：n级排列共有n！个，其中 奇偶排列各占一半
证 设在全部 n 阶排列中有 s 个奇排列, t 个偶 排列,现来证 s t . 将s 个奇排列的前两个数对换,则这 s个奇排 列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以 s t . 若将 t 个偶排列的前两个数对换, 则这 t 个偶排列 全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有 t s . 故必有 s t .
方法2 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.（常用） 例1 解 求排列32514的逆序数. 在排列32514中,
3排在首位,逆序数为0;
2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;
5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;
推论 证明
奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的
变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此 知推论成立.
n阶行列式也可定义为
D 1
证明
N ( i1i2 ...in )
ai11ai2 2 ain n
其中N为行标排列 i1i2 in 的逆序数. 按行列式定义有
j1 j2 j3
定义4 由 n 2 个数组成的n 阶行列式等于所有
取自不同行不同列的n 个元素的乘积 的代数和
j1 j2 ... jn N ( j1 j2 ... jn ) ( 1 ) a1 j1 a2 j2 ...anjn .
记作 D
a11 a21 an1
a12 a22
a1n a2 n
当 a b时，
经对换后 a 的逆序数增加1 ,
当 a b时，
b 的逆序数不变;
b 的逆序数减少1. 经对换后 a 的逆序数不变 ，
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 a1 al ab1 bm bc1 cn 现来对换 a 与 b .
a1 al a b1 bm b c1 cn
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. 由引例 P3 3 2 1 6.
同理
Pn n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!.
排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
a11a22 ann .
对角行列式
1 2

12 n ;
n
1
n n1 2
2

1
12 n .
n
三、对换
定义5 在排列中，将任意两个元素对调，其余 元素不动，这种作出新排列的方法叫做 对换．
将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如
a1 al a b b b1 bm a1 al b ba a b1 bm
( 2) a32a43a14a51a66a25
1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;
4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; 3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 于是排列32514的逆序数为
N (32514 ) 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1 217986354
解
排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列;
逆序数为偶数的排列称为偶排列.
计算排列逆序数的方法
方法1 分别计算出排在1 ,2 , , n 1 , n 前面比它大的数 码之和即分别算出 1 ,2 , , n 1 , n 这 n个元素 的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数.
第二节
n阶行列式
引例
用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
解
百位
十位 个位
1 1 1 2 1 2 3
2 2 1 3
3
3
3种放法 2种放法 1种放法
共有 3 2 1 6
种放法.
一、排列及其逆序数
，共有几种不 问题 把 n 个不同的元素排成一列 同的排法？ 定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个 元素的全排列（或排列）.