线性代数经管类PPT课件

a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23 a 1 1A 1 1a 1 2A 1 2a 1 3A 1 3
a a a 31
32
33 a 2 1A 2 1 a 2 2A 2 2 a 2 3A 2 3
a 3 1A 3 1 a 3 2A 3 2 a 3 3A 3 3
a 1 1A 1 1 a 2 1A 2 1 a 3 1A 3 1
an1 an1 ... ann
.
30
例如 175 175 6 6 2 3 5 8, 358 662
17 5 71 5 6 6 2 6 6 2. 35 8 53 8
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零.
证明 互换相同的两行，有 DD, D0.
例如
123 2 3 5 0 123
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零．
0 0 ... a nn
2) 下 三 角 行 列 式
a11 0 ... 0
a 21 ...
a 22 ...
... ...
0 ...
a11a 22 ...a nn
a n1 a n2 ... a nn
3) 主 对 角 行 列 式
1 0 ... 0
0 ...
2 ...
... ...
0 ...
1 2 ... n
j1
j1
注意 必须按行或按列逐次提出公因数．
25 5 例1 计算行列式 D 6 4 1 0
3 6 15
ab ac ae
例2 计算行列式 D bd cd de
bf cf ef
例3 计算反对称行列式
0 ab D a 0 c
b c 0
结论：奇数阶反对称行列式的值为零
性 质 3. 互 换 行 列 式 两 行 (或 列 )的 位 置 ， 行 列 式值变号。
a1a 122 a33a12 a23 a31a13 a2a 132 a13a22a31a12a2a 133a1a 12a 33.2
a11 D a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a 1 a 2 1 a 3 2 3 a 1 a 2 2 a 3 3 1 a 1 a 2 3 a 3 12 a 1 a 2 3 a 3 2 1 a 1 a 2 1 a 3 3 2 a 1 a 2 2 a 3 13
a i1 a i2 L a in LLLLLLL a n1 a n2 L a nn
1 2 5
例4 计算行列式 D 2 4 10
a11 a12 ... a1n ... ... ... ...
ai1 ai2 ... ain 设 D ... ... ... ...
a j1 a j2 ... a jn ... ... ... ...
an1 an1 ... ann
则
D D1
a11 a12 ... a1n ... ... ... ... a j1 a j2 ... a jn D1 ... ... ... ... ai1 ai2 ... ain ... ... ... ...
11 2
0a 0 2.计算 D b c d .
0e0
三、n阶行列式的定义
三阶行列式
a11 D a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a 1 a 2 1 a 3 2 3 a 1 a 2 2 a 3 3 1 a 1 a 2 3 a 3 12 a 1 a 2 3 a 3 2 1 a 1 a 2 1 a 3 3 2 a 1 a 2 2 a 3 13
主对角线 a11
次对角线
a 21
a12 a11a22a12a21.
a 22
说明 （1）二阶行列式共有 2 项，即 2 ! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的两个元素的 乘积． （3）正负项各占一半.
（4）行列式的本质是数.
例如 1 3
17(2)313
2 7
a a2
b b2
ab2 ba2
二、三阶行列式
定 理 2： 行 列 式 某 一 行 (列 )的 各 元 素 与 另 一 行 (列 )的 对 应 元 素 的 代 数 余 子 式 乘 积 之 和 等 于 零 即 ：ai1Aj1ai2Aj2...ainAjn0 ij (3)
a1jA 1ia2jA 2i...anjA ni 0 ij (4)
练习题
2 1 0
线性代数
主讲：刘 群
海口经济学院继教学院
2014.5.11---2014.6.22
目录
第一章 行列式 第二章 矩 阵 第三章 向量空间 第四章 线性方程组 第五章 特征值与特征向量 第六章 实二次型
第一章 行列式
行列式是为了求解线性方程组而引入 的，但在线性代数和其它数学领域以及工 程技术中，行列式是一个很重要的工具。 本章主要介绍行列式的定义、性质及其计 算方法。
0 0 ... n
4) 次 对 角 行 列 式
0 ... 0 1
0 ...
... 2 ... ...
0 ...
n (n1)
( 1) 2 1 2 ... n
n ... 0 0
例1 计算下列行列式的值
1 1 2 3
0 24 6
D1 0
03
; 7
0 0 0 5
0001 0020 D2 0 3 0 0 4000
证明
a11 a12 L a1n
LLLLLLL
a11 a12 L a1n LLLLLLL
a i1 a i2 L a in
a i1 a i2 L a in
L L L L L L L k L L L L L L L 0.
k a i1 k a i2 L k a in LLLLLLL a n1 a n2 L a nn
a 1 2A 1 2 a 2 2A 2 2 a 3 2A 3 2
a 1 3A 1 3 a 2 3A 2 3 a 3 3A 3 3
结论：三阶行列式的值等于任一行（列）的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和.
定理1(行列式展开定理)：行列式等于任一行(列)的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和。 即： ai1Ai1ai2Ai2...ainAinD (i1,2,L,n) (1)
4 6 3 4 2 8 24 1.4
a10
例 2 当a取何值时，1 a 0 0 ?
411
解解 1 a 1 a 0 0 a 2 1 4 1 1
因此可得：a210当且仅当|a|1
a10
所以，当|a|1时， 1 a 0 0 .
411
练习题
11 0
1.计算 D 2 3 1 .
1.求出 D 4 1 2 中元素a23、a33的代数余子式，并求
1 1 1
出D的值. 2.计算下列行列式的值
1 2 5 4 0 32 0 D 0 4 1 1 0 11 3
§1.3 行列式的性质与计算
一、行列式的性质
n阶行列式共有n!项 因此定义计算n阶行列 式是较为困难的 只有少数行列式用定义计算比 较方便
同理，称
a 11 a 12 a 13
a 21 a 31
a 22 a 32
a 23 a 33
a1a 12a 233 a1a 22a 331 a1a 32a 132 a1a 12a 332 a1a 22a 133 a1a 32a 231
为一个三阶行列式。 可用下面的对角线法则计算。
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
1 0 21
例2 计算行列式 D 2 1 1 0
1 0 03 1 0 2 1
3 1 0 7
例3 计算行列式 D 1 0 1 5
2 3 3 1 0 0 1 2
01000 00200
例4 计算行列式 D 0 0 0 3 0
00004 50000
01
例4 计算行列式 D
02 OO
0 n1
n
0
当ij偶数时，Aij Mij; 当ij奇数时，Aij Mij;
行列式的每个元 对素 应分 着别 一个余子式 个代数余.子式
1
例1 行列式 3
2
为
A．-2
1 2
0 1 的元素 a 2 3 的代数余子式 A 2 3
47
（A）
B．2 C．-1
D．1
解：
A23(1)23M23
1 2
1
4 2
二、行列式展开定理
§1.1 行列式的定义
一、二阶行列式
我们用记号 a11 a12 a21 a22
表示代数和a11a22a12a21 称为二阶行列式。
其中元素 aij 的第一个下标 i 为行下标，第二个下标 j 为列下标。
即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。
二阶行列式的计算
对角线法则 （口诀：叉叉相乘来相减）
100 D3 0 3 0 ;
102
解： D 13 0 ;D 22 4 ;D 36 ;
§1.2 行列式按行（列）展开
一、余子式与代数余子式
在n阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i行和第 j 列划去后，留下来的 n1 阶行列式叫做元素 a ij 的余子式，记作 M ij .
记A ij1ijM i， j 叫做元素 a ij 的代数余子式．
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的
乘积． （3）正负项各占一半.
1 2 -4 例1 计算三阶行 D列 -2式 2 1
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4 1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的
乘积． （3）正负项各占一半.
定义 由 n2个数aij (i j1 2 n)组成的记号
a11 a12 L D a21 a22 L
MM
a1n
a2n M
a ij
an1 an2 L ann
称为n阶行列式.
说明（1）n阶行列式共有n!项．
解:按照第一列展开
1
DnAn1 (1)n1n
2 O
(1)n1n!
wk.baidu.comn1
定理1(行列式展开定理)：行列式等于任一行(列)的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和。 即： ai1Ai1ai2Ai2...ainAinD (i1,2,L,n) (1)
或a1jA1j a2jA2j ...anjAnj D(j1,2,L,n) (2) 其中，Aij是元素aij在D中的代数余子式.
131
DT 0
1
0
(1)(1)22 1 1
2 2
4
264
说明
行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 所以只需研究行列式有关行的性质，其所 有结论对列也是自然成立的.
性质2 用数k乘行列式D的某一行（列）的所有 元素所得到的行列式等于k D. 这也就是说，行列 式可以按行（列）提出公因数.
a11 a12 L a1n LLLLLLL
a11 a12 L a1n LLLLLLL
D1 ka i1 ka i2 L ka in k ai1 ai2 L ain kD
LLLLLLL
LLLLLLL
an1 an2 L ann
an1 an2 L ann
n
n
证明：D1 kaijAij k aijAij kD.
或a1jA1j a2jA2j ...anjAnj D(j1,2,L,n) (2) 其中，Aij是元素aij在D中的代数余子式.
1 1 2
例1 计算行列式 D 3 0 4
211
解一：对角线法则； 解二：展开法则.
总结：1. 利用展开法则计算行列式时，应选择还有 零元素最多的行（列）展开.
2. 如果行列式的某一行（列）只有一个非零元，则 行列式等于该非零元与其代数余子式的乘积.
a 22
a 2 n 则 DT a 12 a 22
an2
a n 1 a n 2 a nn
a 1 n a 2 n a nn
102
131
例 D3 1 6行 列 互换 DT 0 1 0
104
264
性质1 行列式与它的转置行列式相等.即D=DT.
102
例
D3
1
6
(1)(1)22 1
2 2
14
104
我们已经知道三角行列式的值就是主对角 线上各元素的乘积 因此我们想到能否把一般的 行列式化成三角行列式来计算 这就需要研究行 列式的性质
转置行列式
将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置 行列式 记为DT或D 即如果
a 11 a 12 a 1 n
a 11 a 21 a n 1
a D
21
（2）每项都是位于不同行不同列的n个元素的
乘积． （3）正负项各占一半.
（4）一阶行列式a a 不要与绝对值记号相混淆. （5）行列式的本质是数.
四、几个特殊的行列式
1) 上 三 角 行 列 式
a11 a12 ... a1n
0 ...
a 22 ...
... a 2n ... ...
a11a 22 ...a nn