04184线性代数(经管类)基础知识

第一章行列式（一）行列式的定义1．行列式的定义D n=∑(-1)t a1c1a2c2…a n cn(t是列标c的逆序数)=∑(-1)t a r11a r22…a rn n(t是行标r的逆序数) 2．余子式及代数余子式设有n阶行列式D n,对任何一个元素a ij,划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成一个n-1阶行列式,称它为元素a ij的余子式,记作M ij,再记A ij=(-1)i+j M ij,称A ij为元素a ij的代数余子式.3．特殊行列式①②③（二）行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等，即|A|=|A T|性质2用数k乘行列式D中某一行(列)的所有元素等于用数k乘此行列式D.推论1行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面性质3互换行列式的任意两行(列),行列式的值改变符号.推论2如果行列式中有某两行(列)相同,则此行列式的值等于零.推论3 如果行列式中某两行(列)的对应元素成比例,则此行列式的值等于零.性质4如果行列式某行(列)所有元素均为两个数的和,则行列式可以按该行(列)拆为两个行列式的和.性质5 把行列式某一行(列)所有元素都乘以同一个数然后加到另一行(列)的对应元素上去,行列式不变. 定理1（行列式展开定理）n阶行列式D=|a ij|n等于它任意一行(列)各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即D=a i1A i1+a i2A i2+…+a in A in(i=1,2,…n)（D按第i行的展开式）或D=a1j A1j+a2j A2j+…+a nj A nj(j=1,2,…n)（D按第j列的展开式）定理2行列式D=|a ij|n的任一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即a i1A k1+a i2A k2+…+a in A kn=0(i≠k)或a1j A1s+a2j A2s+…+a nj A ns=0(j≠s)（三）行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法：（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：第二章矩阵（一）矩阵的定义矩阵定义：m*n个数a ij(i=1,2,…m，j=1,2,…n)排列成一个m行n列的有序数表，称为m*n矩阵，记为(a ij)m*n （二）矩阵的运算1．矩阵的同型与相等设有矩阵A=(a ij)m*n, B=(b ij)k*s，若m=k, n=s，则说A与B是同型矩阵,若A与B同型,且对应元素相等，即a ij=b ij，则称矩阵A与B相等，记为A=B2．矩阵的加、减法设A=(a ij)m*n, B=(b ij)m*n，是两个同型矩阵，则A+B=(a ij+b ij)m*n , A-B=(a ij-b ij)m*n注意：矩阵的相加(减)体现为对应元素的相加(减),只有A与B为同型矩阵，它们才可以相加(减).①A+B=B+A ②(A+B)+C=A+(B+C) ③A-B=A+(-B)3．数乘运算设A=(a ij)m*n，k为任一个数，则规定kA=(ka ij)m*n, 数k与矩阵A的乘积就是A中所有元素都乘以k①(kj)A=k(j A) ②(k+j)A=k A+j A ③k(A+B)=k A+k B4．乘法运算设A=(a ij)m*k，B=(b ij)k*n，则规定AB=(c ij)m*n，其中c ij=a i1b1j+a i2b2j+…+a ik b kj (i=1,2,…,m, j=1,2,…,n)只有当左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等时，AB才有意义，且AB的行数为A的行数，AB的列数为B的列数，AB中的元素是由左矩阵A中某一行元素与右矩阵B中某一列元素对应相乘再相加而得到.矩阵乘法与普通数乘法不同：不满足交换律,即①AB≠BA②当AB=0,不能推出A=0或B=0,不满足消去律.①(AB)C=A(BC) ②A(B+C)=AB+AC ③(B+C)A=BA+CA ④k(AB)=(k A)B=A(k B)⑤AE=EA=A5．方阵的乘幂与多项式方阵A为n阶方阵，则A m=AAA…A(m个).①A k A j=A k+j ②(A k)j=A kj ③特别地A0=E④若f(x)=a m x m+a m-1x m-1+…+a1x+a0，则规定f(A)=a m A m+a m-1A m-1+…+a1A+a0E，称f(A)为A的方阵多项式。

6．矩阵的转置设A为m*n矩阵,把A中行与列互换,得到n*m矩阵,称为A的转置矩阵,记为A T,转置运算满足以下运算律：①(A T)T=A ②(A+B)T=A T+B T③(kA)T=kA T ④(AB)T=B T A T设A为n阶方阵，若满足A T= A，则称A为对称矩阵，若满足A T= -A，则称A为反对称矩阵.7．方阵的行列式设A=(a ij)为一个n阶方阵，则由A中元素构成一个n阶行列式|a ij|n，称为方阵A的行列式，记为|A|8. 方阵的行列式的性质设A，B为n阶方阵，k为数，则①|A T|=|A|②|kA|=k n|A|③|AB|=|BA|=|A||B|（三）方阵的逆矩阵1．可逆矩阵的概念与性质对n阶方阵A，若存在另一个n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆矩阵，且称A为可逆方阵逆矩阵的性质：设A，B为同阶可逆矩阵，k≠0为常数，则：⑤A-1可逆，且(A-1)-1=A;②AB可逆，且(AB)-1=B-1A-1；③kA可逆，且(kA)-1=A-1/k ④A T可逆，且(A T)-1=(A-1)T ⑤可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即设P为可逆矩阵，则PA=PB A=B，AP=BP A=B 2．伴随矩阵的概念及性质设A=(a ij)为n阶方阵，A ij为A的行列式|A|=|a ij|n中元素a ij的代数余子式，则：矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nnnnAAAA1111称为A的伴随矩阵，记为A*（务必注意A*中元素排列的特点）伴随矩阵的性质：①AA*=A*A=|A|E，②|A*|=|A|n-1（n为A的阶数）3．n阶方阵可逆性的判定定理：n阶方阵A可逆|A|≠0推论：设A，B均为n阶方阵，且满足AB=E，则A，B都可逆，且A-1=B，B-1=A4.逆矩阵的求解①用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵(★必须是行变换，不能是列变换)设A为任一个n阶可逆矩阵，构造n*2n矩阵（A，E），然后(A,E) (E,A-1)②用伴随阵求可逆矩阵的逆矩阵A-1= A*/|A|（四） 分块矩阵1. 分块矩阵的概念与运算用贯穿矩阵的横线和纵线把矩阵分成若干小块，每个小块叫矩阵的子块，以子块为元素的矩阵叫分块阵. 在作分块矩阵的运算时，加、减法，数乘及转置是完全类似的，特别在乘法时，要注意到应使左矩阵A 的列分块方式与右矩阵B 的行分块方式一致，然后把子块当作元素来看待，相乘时A 的各子块分别左乘B 的对应的子块.2．分块对角矩阵的逆矩阵形如元素分块沿主对角线排列的分块阵称分块对角阵。

①若rA A A ,,,21 均为方阵，空白处都是零，则|A|=|A 1||A 2|…|A t | ②若rA A A ,,,21 均可逆，则A 可逆，且 （五）矩阵的初等变换与初等方阵1.初等变换对一个矩阵A 施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行(列)变换，统称为初等变换，（1）交换A 的某两行(列)；（2）用一个非零数k 乘A 的某一行(列)；（3）把A 中某一行(列)的k 倍加到另一行(列)上.注意：对矩阵施行初等变换是变换过程用“→”连接前后矩阵.初等变换是矩阵常用的运算，最常见的是利用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵.2．初等方阵由单位阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵.由于初等变换有三种类型，相应的有三种类型的初等方阵，依次记为ij P ，)(k D i 和)(k T ij ，容易证明，初等方阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵还是同一类的初等方阵.3．初等变换与初等方阵的关系设A 为任一矩阵，当在A 的左边乘一个初等方阵所的乘积相当于对A 作同类型的初等行变换；在A 的右边乘一个初等方阵所的乘积相当于对A 作同类型的初等列变换.4．矩阵的等价与等价标准形若矩阵A 经过若干次初等变换变为B ，则称A 与B 等价，记为A ≌B,矩阵等价的性质;①对称性 A ≌B 则B ≌A ②传递性A ≌B ，B ≌C 则A ≌C对任一矩阵A ，必与分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O O E r 等价，称这个分块矩阵为A 的等价标准形. 即对任一矩阵A ，必有n 阶可逆矩阵P 及 Q 使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O E PAQ r 5. 用初等行变换法求解矩阵方程(★必须是行变换，不能是列变换)方法①先求逆阵，再求解矩阵方程AX=B →A -1AX=A -1B → EX=A -1B → X=A -1B方法②构造增广矩阵，直接求解矩阵方程（A ，B ）→(E ，A -1B) →X=A -1B（六）矩阵的秩 1.秩的定义设A 为m*n 矩阵，把A 中非零子式的最高阶数称为A 的秩，记为秩(A)或r(A) ,零矩阵的秩为0， 因而0<秩(A<min(m,n)，对n 阶方阵A ，若秩(A)=n ，称A 为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵. 2、秩的求法由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数，又矩阵初等变换不改变矩阵的秩.对任一个矩阵A ，只要用初等行变换把A 化成阶梯形矩阵T ，则秩(A)=秩(T)=T 中非零行的行数. 3．满秩矩阵等价的条件n 阶方阵A 满秩 A 可逆，即存在B ，使AB=BA=EA 非奇异，即|A|≠0 A 的等价标准形为EA 可以表示为有限个初等方阵的乘积 齐次线性方程组AX=0只有零解对任意非零列向量b ，非齐次线性方程组AX=b 有唯一解 A 的行(列)向量组线性无关A 的行(列)向量组为R*的一个基 任意n 维行(列)向量均可表示为A 的行(列)向量组的线性组合且表示法唯一. A 的特征值均不为零 A T A 为正定矩阵. （七）线性方程组的消元法. 对于给定的线性方程组Ax=b ，可利用矩阵的初等行变换，把它的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解. 第三章 向量空间 （一）向量的定义及向量组的线性组合 1.向量的定义及运算 由n 个数组成的一个有序数组称为一个n 维向量，若用一行表示，称为n 维行向量，即1×n 矩阵， 若用一列表示，称为n 维列向量，即n ×1矩阵. ①α+β=β+α ②(α+β)+γ=α+(β+γ) ③k (j α)=(kj )α④k (α+β)= k α+k β ⑤(k+j )α=k α+j α 2、向量组的线性组合 设α1 α2…αm 是一组n 维向量，k 1 k 2 …k m 是一组常数， 则称k 1α1+k 2α2+…k m αm 为α1 α2…αm 的一个线性组合，常数k 1 k 2 …k m 称为组合系数. 若一个向量β可以表示成β=k 1α1+k 2α2+…k m αm 则称β是α1 α2…αm 的线性组合，或称β可用α1 α2…αm 线性表出. 3．矩阵的行、列向量组 设A 为一个m*n 矩阵，若把A 按列分块，可得一个m 维列向量组称之为A 的列向量组.若把A 按行分块，可得一个n 维行向量组称之为A 的行向量组. 4．线性表示的判断及表出系数的求法. 向量β能用α1 α2…αm 线性表出 方程组x 1α1+x 2α2+…x m αm =β有解，且每一个解就是一个组合系数. （二） 向量组的线性相关与线性无关1.线性相关性概念 设α1 α2…αm 是m 个n 维向量，如果存在m 个不全为零的数k 1,k 2,…,k m 使得k 1α1+ k 2α2+…+k m αm =0，则称向量α1 α2…αm 线性相关，称k 1,k 2,…,k m 为相关系数.否则，称向量α1 α2…αm 线性无关.由定义知，α1 α2…αm 线性无关就是指向量等式k 1α1+ k 2α2+…+k m αm =0当且仅当k 1=k 2=,…,=k m =0时成立. 特别①单个向量α线性相关 α=0； ②单个向量α线性无关 α≠0 2．求相关系数的方法 m 元齐次线性方程组x 1α1+x 2α2+…x m αm =0有非零解，且每一个非零解就是一个相关系数3．线性相关性的若干基本定理①向量组α1 α2…αm线性相关至少有一个向量是其余向量的线性组合.向量组α1 α2…αm线性无关任一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.②如向量组α1 α2…αm线性无关，又βα1 α2…αm线性相关，则β可用α1 α2…αm线性表示且表示法唯一.③若向量组中有部分组线性相关，则整体组也必相关，若整体组无关，则部分组必无关.④无关组的接长向量组必无关，相关组的截短向量组必相关⑤如向量组中有零向量，则向量组必相关⑥m>n时，m个n维向量必相关⑦向量组线性无关的充要条件是它的向量个数等于它的秩⑧由m个向量构成的向量组线性相关，则向量组的秩小于m⑨A能由向量组B表示，则A的秩不大于B的秩⑩矩阵A=(a ij)r*n(r≤n)的行(列)向量组线性无关中存在一个不为零的r阶子式D≠0,含有D的r个行向量及r个列向量线性无关。